Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Transkriptio

1 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien tunnusluvut Avainsanat: Desiili, Diskreetti jakauma, Diskreetti satunnaismuuttuja, Huipukkuus, Insidenssikuvaus, Jatkuva jakauma, Jatkuva satunnaismuuttuja, Kertymäfunktio, Keskusmomentti, Kvantiili, Kvartiili, Mediaani, Momentti, Moodi, Odotusarvo, Origomomentti, Painopiste, Piste, Pistetodennäköisyys, Pistetodennäköisyysfunktio, Prosenttipiste, Puu, Puutodennäköisyys, Reitti, Rinnan kytkentä, Sarjaan kytkentä, Satunnaismuuttuja, Standardipoikkeama, Särmä, Tiheysfunktio, Todennäköisyysjakauma, Todennäköisyysmassa, Toimintatodennäköisyys, Toimintaverkko, Tulosääntö, Tunnusluku, Varianssi, Verkko, Vinous, Yhteenlaskusääntö Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa V, A, A V = Insidenssikuvaus kertoo mitkä verkon pisteistä ovat särmien yhdistämiä. Verkkoja tarkastellaan tässä suunnattuina verkkoina, millä tarkoitetaan sitä, että verkon jokaisella särmällä on suunta, joka osoittaa särmän alkupisteestä särmän loppupisteeseen. Kuviossa oikealla V = { v, v, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9, v, v} A= { a, a, a, a, a, a, a, a, a, a } ja esimerkiksi Reitti Särmät ( a ) = ( v, v ) { a a },,, ak muodostavat reitin pisteestä v pisteeseen v k, jos on olemassa pisteet siten, että v, v,, v k Ilkka Mellin (8) /3

2 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B ( a ) = ( v, v ), i =,,, k i i i+ Jos pisteestä v pisteeseen v k on reitti, sanotaan, että reitti vie pisteestä v pisteeseen v k tai, että pisteestä v pääsee pisteeseen v k. Kuviossa yllä särmät a, a 3, a 7, a 8 muodostavat reitin pisteestä v pisteeseen v 6. Puu Verkko on puu, jonka juurena on piste v, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) Verkko on yhtenäinen. (ii) Verkossa ei ole silmukoita. (iii) Jos w v on mielivaltainen verkon piste, pisteestä v pisteeseen w pääsee täsmälleen yhtä reittiä pitkin. Yllä olevan kuvion verkko ei ole puu, koska siinä on silmukoita ja se ei ole yhtenäinen. Sen sijaan oikealla olevan kuvion verkko on puu. Puudiagrammin konstruointi satunnaisilmiölle Satunnaisilmiötä voidaan kuvata puudiagrammilla, jos ilmiö osataan esittää seuraavassa muodossa: (i) Ilmiöllä on yksi alkutila ja yksi tai useampia lopputiloja. (ii) Ilmiö koostuu vaihtoehtoisista tapahtumajonoista. (iii) Tapahtumajonoissa edetään vaiheittain tapahtumasta toiseen lähtien ilmiön alkutilasta ja päätyen johonkin ilmiön lopputiloista. (iv) Jokaisessa vaiheessa kohdataan yksi tai useampia tapahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusin tapahtumavaihtoehtoihin. Satunnaisilmiötä vastaava puudiagrammi konstruoidaan seuraavalla tavalla: (i) Asetetaan puun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa. (ii) Asetetaan puun loppupisteet ( oksien kärjet ) vastaamaan ilmiön lopputiloja. (iii) Asetetaan puun pisteet ( oksien haarautumiskohdat ) vastaamaan ilmiön tapahtumia. (iv) Viedään puun jokaisesta pisteestä särmä ( oksa ) kaikkiin sellaisiin pisteisiin, joita vastaavat tapahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia. (v) Liitetään jokaiseen pisteestä lähtevään särmään siinä vaiheessa mahdollisten tapahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet. Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä päästä puun alkupisteestä yhden tai useamman muun puun pisteen määräämään yhdistettyyn tapahtumaan. Pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkupisteestä ko. pisteeseen vievän reitin todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean pisteen määräämän yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan soveltamalla ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä. Ilkka Mellin (8) /3

3 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Puutodennäköisyyksien tulosääntö Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö Jos useita (loppu-) tiloja yhdistetään yhdeksi tapahtumaksi, näin saadun yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Toimintaverkot Toimintaverkko on systeemi, joka koostuu komponenteista, jotka on kytketty rinnan tai sarjaan. Alla olevat kytkentäkaaviot kuvaavat kahden komponentin K ja K muodostamia sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Sarjaan kytkennän toimintatodennäköisyys Oletetaan, että komponentit K ja K on kytketty sarjaan ja oletetaan lisäksi, että komponentin K toiminta (tai toimimattomuus) ei riipu komponentin K toiminnasta (ja kääntäen). Komponenttien K ja K muodostama sarjaan kytkentä toimii, jos komponentti K toimii ja komponentti K toimii. Määritellään tapahtumat A = Komponentti K toimii A = Komponentti K toimii Olkoot tapahtumien A ja A todennäköisyydet p = Pr(A ) p = Pr(A ) Koska tapahtumat A ja A ovat oletuksen mukaan riippumattomia, saadaan komponenttien K ja K muodostama sarjaan kytkennän toimintatodennäköisyydeksi riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Pr(Komponentti K toimii ja komponentti K toimii) = Pr(A A ) = Pr(A )Pr(A ) = p p Ilkka Mellin (8) 3/3

4 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys = Pr(Komponentti K toimii)pr(komponentti K toimii) Oletetaan, että komponentit K ja K on kytketty rinnan ja oletetaan lisäksi, että komponentin K toiminta (tai toimimattomuus) ei riipu komponentin K toiminnasta (ja kääntäen). Komponenttien K ja K muodostama rinnan kytkentä toimii, jos komponentti K toimii tai komponentti K toimii (tai molemmat toimivat). Määritellään tapahtumat A = Komponentti K toimii A = Komponentti K toimii Olkoot tapahtumien A ja A todennäköisyydet p = Pr(A ) p = Pr(A ) Koska tapahtumat A ja A ovat oletuksen mukaan riippumattomia, saadaan komponenttien K ja K muodostama rinnan kytkennän toimintatodennäköisyydeksi yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Pr(Komponentti K toimii tai komponentti K toimii) = Pr(A A ) = Pr(A ) + Pr(A ) Pr(A A ) = Pr(A ) + Pr(A ) Pr(A )Pr(A ) = p + p p p = Pr(Komponentti K toimii) + Pr(Komponentti K toimii) Pr(Komponentti K toimii)pr(komponentti K toimii) Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttuja ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä, jossa S = otosavaruus (perusjoukko) F = otosvaruuden S osajoukkojen joukossa määritelty σ-algebra Pr = σ-algebran F alkioille määritelty todennäköisyysmitta Jos ξ on otosavaruuden S reaaliarvoinen (mitallinen) funktio eli ξ :S niin ξ on satunnaismuuttuja. Jos siis s S niin ξ () s Ilkka Mellin (8) 4/3

5 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Todennäköisyysjakauma Satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysjakaumalla tarkoitetaan kuvauksen ξ :S reaalilukujen joukkoon indusoimaa todennäköisyysmittaa. Diskreetti satunnaismuuttuja ξ :S satunnaismuuttuja. Jos otosavaruus S on äärellinen tai numeroituvasti ääretön, jolloin myös funktion ξ arvoalue on äärellinen tai numeroituvasti äärellinen, sanotaan satunnaismuuttujaa ξ diskreetiksi. Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio ξ :S diskreetti satunnaismuuttuja. satunnaismuuttujan ξ arvojen joukko T = {x, x, x 3,, x n } jos arvojen joukko on äärellinen tai T = {x, x, x 3,, x n, } jos arvojen joukko. Reaaliarvoinen funktio f määrittelee diskreetin satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktion, jos () f ( xi) = Pr( ξ = xi) kaikille xi T () f( xi) kaikille xi T (3) f( x ) = Todennäköisyys i xi T i Pr( ξ = x ) = f( x ) = p, i=,,3, i i i on satunnaismuuttujan ξ arvoa x i vastaava pistetodennäköisyys. Diskreetti todennäköisyysjakauma Jos f on diskreetin satunnaismuuttujan ξ :S pistetodennäköisyysfunktio, sanomme, että satunnaismuuttuja ξ noudattaa diskreettiä todennäköisyysjakaumaa, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f. Ilkka Mellin (8) 5/3

6 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Pistotodennäköisyysfunktio ja reaaliakselin välien todennäköisyydet ξ :S diskreetti satunnaismuuttuja ja f vastaava pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin reaaliakselin välin [a, b] todennäköisyys on Jatkuva satunnaismuuttuja Pr( a ξ b) = f( x ) = Pr( ξ = x ) ξ :S i i xi a b i xi a b [, ] [, ] satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja ξ on jatkuva, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) Satunnaismuuttuja ξ saa kaikki reaalilukuarvot joltakin reaaliakselin väliltä. (ii) Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja ξ saa minkä tahansa yksittäisen arvon =. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio ξ :S jatkuva satunnaismuuttuja. Reaaliarvoinen funktio f määrittelee satunnaismuuttujanξ tiheysfunktion, jos () f( x) on x:n jatkuva funktio () f( x) kaikille x + (3) f( x) dx= b (4) Pr( a ξ b) = f( x) dx Jatkuva todennäköisyysjakauma Jos f on jatkuvan satunnaismuuttujan ξ :S a tiheysfunktio, sanomme, että satunnaismuuttuja ξ noudattaa jatkuvaa todennäköisyysjakaumaa, jonka tiheysfunktio on f. Tiheysfunktio ja reaaliakselin välien todennäköisyydet ξ : S jatkuva satunnaismuuttuja ja f vastaava tiheysfunktio. Tällöin reaaliakselin välin [a, b] todennäköisyys on i Ilkka Mellin (8) 6/3

7 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Huomaa, että kaikille x. Pr( a ξ b) = f( x) dx Pr(ξ = x) = b a Kertymäfunktio Kertymäfunktio ξ : S satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on reaaliarvoinen funktio F( x) = Pr( ξ x) Funktio F : [,] on kertymäfunktio, jos ja vain jos Jos funktio () lim x F( x) = () lim x + F( x) = (3) F on ei - vähenevä: F( x ) F( x ), jos x x (4) F on jatkuva oikealta: lim F( x+ h) = F( x) h + F : [,] on kertymäfunktio, niin (5) Pr( ξ > x) = F( x) (6) Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) Diskreetin jakauman kertymäfunktio ξ :S diskreetti satunnaismuuttuja ja f vastaava pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on ja kääntäen F( x) = Pr( ξ x) = f( x ) = Pr( ξ = x ) i i xi x i xi x i Ilkka Mellin (8) 7/3

8 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B f ( x ) = Pr( ξ = x ) = F( x ) F( x ) i i i i Diskreetin jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jolla on hyppäys jokaisessa pisteessä x i, jossa f( x ) = Pr( ξ = x ) > i i Hyppäyskohtien välillä diskreetin jakauman kertymäfunktio saa vakioarvon. Diskreetit jakaumat ja reaaliakselin välien todennäköisyydet ξ : S diskreetti satunnaismuuttuja, f vastaava pistetodennäköisyysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio. Tällöin reaaliakselin välin (a, b] todennäköisyys on Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) = f( x ) = Pr( ξ = x ) Jatkuvan jakauman kertymäfunktio ξ :S i i xi a b i xi a b (, ] (, ] jatkuva satunnaismuuttuja ja f vastaava tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on ja kääntäen F( x) = Pr( ξ x) = f( t) dt x d f ( x) = F ( x) = F( x) dx Reaaliakselin välien todennäköisyydet ξ :S jatkuva satunnaismuuttuja, f vastaava tiheysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio. Tällöin reaaliakselin välin (a, b] todennäköisyys on b Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) = f( x) dx Huomaa, että jatkuvalle satunnaismuuttujalle pätee: Pr( a< ξ b) = Pr( a ξ < b) = Pr( a< ξ < b) = Pr( a ξ b) a i Ilkka Mellin (8) 8/3

9 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Jakaumien tunnusluvut Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo f( x ) = Pr( X = x ) = p, i =,,3, i i i diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X ja sitä vastaavan todennäköisyysjakauman odotusarvo on ei-satunnainen vakio E( X ) = µ = xf( x) = xpr( X= x) = xp Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo f ( x ) X i i i i i i i i i jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X ja sitä vastaavan todennäköisyysjakauman odotusarvo on ei-satunnainen vakio + E( X ) = µ X = xf ( x) dx Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopiste. a vakio. Tällöin E( a) = a Olkoot X i, i =,,, n satunnaismuuttujia ja a i, i =,,, n vakioita. Tällöin n n E ax i i = ai E( Xi) i= i= Diskreetin satunnaismuuttujan funktion odotusarvo f( x ) = Pr( X = x ) = p, i =,,3, i i i diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. g reaaliarvoinen funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(x) odotusarvo on ei-satunnainen vakio E( gx ( )) = µ = gx ( ) f( x) = gx ( )Pr( X= x) = gx ( ) p Jatkuvan satunnaismuuttujan funktion odotusarvo f ( x ) g ( X) i i i i i i i i i jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. g reaaliarvoinen funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(x) odotusarvo on ei-satunnainen vakio Ilkka Mellin (8) 9/3

10 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B + = µ g( X) = E( g( X)) g( x) f( x) dx Varianssi satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X ) = µ X Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on ei-satunnainen vakio D( X) = Var( X) = σ X = E[( X µ X)] Varianssi voidaan laskea myös kaavalla jossa D( X) = Var( X) = σ = E( X ) µ X X E( X ) = satunnaismuuttujan X.momentti Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi f( x ) = Pr( X = x ) = p, i =,,3, i i i diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on D( X ) = Var( X) = σ = E[( X µ )] = ( x µ ) p X X i X i i Jatkuvan satunnaismuuttujan varianssi f ( x ) jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on + D( ) = Var( ) = σ X = E[( µ X)] = ( µ X) () X X X x f x dx Standardipoikkeama Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on ei-satunnainen vakio D( X) = σ X = E[( X µ X) ] Varianssin ominaisuuksia Satunnaismuuttujan X varianssi ja standardipoikkeama kuvaavat satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen E( X ) = µ X ympärillä. Ilkka Mellin (8) /3

11 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B a vakio. Tällöin D() a = Var() a = Olkoot X i, i =,,, n riippumattomia satunnaismuuttujia ja a i, i =,,, n vakioita. Tällöin Markovin epäyhtälö = n n D ax i i ai D ( Xi) i= i= g(x) satunnaismuuttujan X positiivinen reaaliarvoinen funktio, jonka odotusarvo on E(g(X)) Tällöin jokaiselle reaaliselle, ei-satunnaiselle vakiolle a > pätee Markovin epäyhtälö: E( g( X)) Pr( g( X) a) a Tshebyshevin epäyhtälö X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E(X) = µ ja varianssi on Var(X) = σ Tällöin pätee Tshebyshevin epäyhtälö: Pr( X µ kσ) k Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavasta seuraa, että Pr( X µ < kσ ) = Pr( X µ kσ) k Momentit X satunnaismuuttuja. Tällöin satunnaismuuttujan X k odotusarvo k E( X ) = α, k =,,, k on satunnaismuuttujan X k. momentti eli k. momentti origon suhteen. Erityisesti: α = α = E( X ) = µ Siten satunnaismuuttujan X. momentti origon suhteen on satunnaismuuttujan X odotusarvo. X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E( X ) = µ Ilkka Mellin (8) /3

12 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Tällöin satunnaismuuttujan ( X µ ) k odotusarvo k E ( X µ ) = µ k, k =,,, on satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti eli k. momentti painopisteen µ suhteen. Erityisesti: µ = µ = E ( X µ ) = σ = Var( X) = D ( X) Siten satunnaismuuttujan X. keskusmomentti häviää ja. keskusmomentti on satunnaismuuttujan X varianssi. Momenttien olemassaolo Satunnaismuuttujan X k. origomomentti on olemassa, jos k E( X ) < Satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti on olemassa, jos vastaava origomomentti on olemassa. Voidaan osoittaa, että jos jollekin n, niin n E( X ) < k E( X ) < kaikille k < n. Jos siis satunnaismuuttujalla on n. origomomentti, niin sillä on myös kaikki alempien kertalukujen momentit. Vinous Tunnuslukua γ = µ 3 3/ µ käytetään todennäköisyysjakaumien vinouden mittana. Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava: γ < : Jakauma on negatiivisesti vino eli vino vasemmalle, jolloin jakauman vasen häntä on pitempi kuin oikea häntä. γ = : Jakauma on symmetrinen. γ > : Jakauma on positiivisesti vino eli vino oikealle, jolloin jakauman oikea häntä on pitempi kuin vasen häntä. Huomautus: Normaalijakaumalle γ =. Huipukkuus Tunnuslukua µ γ = 3 4 µ Ilkka Mellin (8) /3

13 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B käytetään todennäköisyysjakaumien huipukkuuden mittana. Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava: γ > : Jakauma on huipukas (normaalijakaumaan verrattuna). γ = : Jakauma on yhtä huipukas kuin normaalijakauma. γ < : Jakauma on laakea (normaalijakaumaan verrattuna). Huomautus: Normaalijakaumalle γ =. Kvantiilit X satunnaismuuttuja. lisäksi < p < Jos luku x p toteuttaa ehdot Pr(X x p ) p Pr(X x p ) p sanomme, että x p on satunnaismuuttujan X ja sen jakauman kvantiili kertalukua p. Siten kvantiili x p toteuttaa epäyhtälöt Pr(X < x p ) p Pr(X x p ) Kvantiilit voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole momentteja. Kvantiilit eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä: (i) Diskreettien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat usein monikäsitteisiä. (ii) Jatkuvien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat yksikäsitteisiä. F(x) = Pr(X x) jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X kvantiili x p toteuttaa yhtälön F(x p ) = p Kvantiili x p jakaa satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta p % on kvantiilista x p vasemmalla ja ( p) % on kvantiilista x p oikealla. Tilastolliset taulukot ja kvantiilit Useimmissa todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen oppikirjoissa on taulukoituna keskeisten tilastollisessa päättelyssä käytettävien jatkuvien jakaumien (standardoidun normaalijakauman t- jakauman, χ -jakauman ja F-jakauman) kvantiileja x p ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p ja useimmissa tilastollisissa tietokoneohjelmissa on aliohjelmia, jotka laskevat em. jakaumien kvantiileja x p ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p. Ilkka Mellin (8) 3/3

14 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Prosenttipisteet Jos p on muotoa p = q/, q =,,, 99 kvantiilia x p kutsutaan q. prosenttipisteeksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. prosentti-piste jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta q % on q. prosenttipisteestä vasemmalla ja ( q) % on q. prosenttipisteestä oikealla. Desiilit Jos p on muotoa p = q/, q =,,, 9 kvantiilia x p kutsutaan q. desiiliksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. desiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta q % on q. desiilistä vasemmalla ja ( q) % on q. desiilistä oikealla. Kvartilit Jos p on muotoa p = 5 q/, q =,, 3 kvantiilia x p kutsutaan q. kvartiiliksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. kvartiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta 5 q % on q. kvartiilista vasemmalla ja ( 5 q) % on q. kvartiilista oikealla. Kvartiileja merkitään tavallisesti symboleilla Q, Q, Q 3 ja sanotaan, että Q = alakvartiili Q = keskikvartiili Q 3 = yläkvartiili Ilkka Mellin (8) 4/3

15 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kvartiilit jakavat jakauman todennäköisyysmassan neljään yhtä suureen osaan: 5 % massasta on kvartiilista Q vasemmalle 5 % massasta on kvartiilien Q ja Q välissä 5 % massasta on kvartiilien Q ja Q 3 välissä 5 % massasta on kvartiilista Q 3 oikealle Mediaani Jos p =.5 kvantiilia x p kutsutaan mediaaniksi. Mediaania merkitään tavallisesti symbolilla Me. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa mediaani Me jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen yhtä suureen osaan niin, että massasta 5 % on mediaanista vasemmalla ja 5 % on mediaanista oikealla. Jakauman mediaani ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Jakauman mediaani yhtyy jakauman 5. prosenttipisteeseen, 5. desiiliin ja keskikvartiiliin Q. Mediaani voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa. Jos satunnaismuuttujan X jakauma on symmetrinen suoran x = a suhteen, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen a: Me = a Jos symmetrisellä jakaumalla on odotusarvo E(X) = µ, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen µ: Me = µ Moodi X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f(x) = Pr(X = x) Piste Mo on diskreetin satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos pistetodennäköisyysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo: f ( Mo) = max f ( x) x X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) Piste Mo on jatkuvan satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos tiheysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo: f ( Mo) = max f ( x) x Ilkka Mellin (8) 5/3

16 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Jakauman moodi ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Moodi voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa. Ilkka Mellin (8) 6/3

17 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Tehtävä 3.. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa kuulaa. Poimitaan kummastakin uurnasta satunnaisesti yksi kuula sekä asetetaan uurnasta A poimittu kuula uurnaan B ja uurnasta B poimittu kuula uurnaan A. Poimitaan tämän jälkeen uurnasta B satunnaisesti kuula. Mikä on todennäköisyys, että poimittu kuula on valkoinen? Ohje: Konstruoi tehtävän ratkaisemista varten tarkoitukseen sopiva puumainen verkko. Tehtävä 3.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemista puumaisten verkkojen avulla. Tehtävä 3.. Ratkaisu: Tehtävän satunnaisilmiön tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko: 4/ 6/ Vaihe 6/ 4/ 6/ 4/ Vaihe 6/ 4/ 7/ 3/ 5/ 5/ 6/ 4/ Vaihe 3 Puun konstruktio perustuu siihen, että voidaan ajatella, että kuulat poimitaan kolmessa vaiheessa: Vaihe : Poimitaan kuula uurnasta A. Vaihe : Poimitaan kuula uurnasta B. Vaihe 3: Poimitaan kuula uurnasta B sen jälkeen, kun vaiheessa uurnasta A poimittu kuula on pantu uurnaan B ja vaiheessa uurnasta B poimittu kuula on pantu uurnaan A. Tarkastellaan puun konstruktiosta esimerkkinä reittiä, joka päättyy nuolella merkittyyn valkoiseen kuulaan: Vaihe : Uurnasta A poimitaan musta kuula; todennäköisyys = 6/ Vaihe : Uurnasta B poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 6/ Uurnasta A poimittu musta kuula pannaan uurnaan B ja uurnasta B poimittu valkoinen kuula pannaan uurnaan B. Tämän jälkeen uurnassa A on 5 valkoista ja 5 mustaa kuulaa ja myös uurnassa B on 5 valkoista kuulaa ja 5 mustaa kuulaa. Vaihe 3: Uurnasta A poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 5/ Ilkka Mellin (8) 7/3

18 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Yo. puu koostuu 8 reitistä ja niistä 4 päättyy valkoiseen kuulaan. Todennäköisyys nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: (i) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus. (ii) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus. Valkoiseen kuulaan vaiheessa 3 johtavat reitit yo. puudiagrammissa: VVV, VMV, MVV, MMV jossa V = valkoinen kuula M = musta kuula Siten todennäköisyydeksi nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 saadaan = =.58 Tehtävä 3.. Mies aikoo pelata uhkapeliä, jonka jokaisella kierroksella joko voittaa tai häviää euron. Kun mies aloittaa pelin, hänellä on yksi euro. Mies päättää pelata kunnes hänellä on kasassa 4 euroa tai kunnes hänen rahansa loppuvat, mutta kuitenkin korkeintaan 5 pelikierrosta. Millä todennäköisyydellä miehellä on lopettaessaan pelin kasassa täsmälleen euroa, kun voiton todennäköisyys on kullakin pelikierroksella /4? Ohje: Konstruoi tehtävän ratkaisemista varten tarkoitukseen sopiva puumainen verkko. Tehtävä 3.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemista puumaisten verkkojen avulla. Ks. myös tehtävää 3.. Ilkka Mellin (8) 8/3

19 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Tehtävä 3.. Ratkaisu: Konstruoidaan miestä pelissä kohtaavista vaihtoehdoista ensin puuverkko: / 3/ / 3/ 3 / 3/ / 3/ 4 / 3/ / 3/ 3 3 / 3/ / 3/ / 3/ / 3/ 4 4 Luvut puuverkon pisteisiin asetetuissa neliöissä ilmaisevat miehen pääoman pelin eri vaiheissa ja luvut puuverkon särmien vieressä ilmaisevat eri vaihtoehtojen todennäköisyydet kussakin pelin vaiheessa. Tiedämme, että Pr(Mies voittaa euron) = /4 Pr(Mies häviää euron) = /4 = 3/4 Näemme, että mahdollisia lopputiloja, joissa miehellä on täsmälleen euroa, on 4 kappaletta. Todennäköisyys, että miehellä on lopettaessaan pelin täsmälleen euroa, voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: (i) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus. (ii) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus. Ilkka Mellin (8) 9/3

20 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Saamme: Pr(Miehellä on lopettaessaan pelin täsmälleen euroa) = = = = Tehtävä 3.3. Seuraava kuva esittää sähköistä verkkoa, jossa on 5 komponenttia, joista jokaisen toimintatodennäköisyys on p. Oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii, ts. virta kulkee verkon läpi? Tehtävä 3.3. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan toimintaverkon toimintatodennäköisyyden määräämistä. Tehtävä 3.3. Ratkaisu: Kaavion toimintaverkko koostuu seuraavista sarjaan kytketyistä osista: Osa : Komponenttien, ja 3 muodostama rinnankytkentä, joka voidaan purkaa komponenttien ja muodostamaksi rinnankytkennäksi, joka on kytketty rinnan komponentin 3 kanssa. Osa : Komponentti 4 Osa 3: Komponentti 5 Olemme olettaneet, että toimintaverkossa yhdenkään komponentin toiminta tai toimimattomuus ei riipu muiden komponenttien toiminnasta. Tällöin toimintaverkon toimintatodennäköisyys saadaan soveltamalla seuraavia sääntöjä: (i) Jos komponentit A ja B on kytketty rinnan, kytkennän toimintatodennäköisyys on yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii tai B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) Pr(A toimii)pr(b toimii) Ilkka Mellin (8) /3

21 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B (ii) Jos komponentit A ja B on kytketty sarjaan, kytkennän toimintatodennäköisyys on riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii)pr(b toimii) Komponenttien ja muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä p + p p p = p p Komponenttien, ja 3 muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä p p + p ( p p ) p = 3p 3p + p 3 Koska tehtävän kaavion kuvaama toimintaverkko koostuu komponenttien, ja 3 rinnan kytkennän kytkennästä sarjaan komponenttien 4 ja 5 kanssa, verkon toimintatodennäköisyydeksi saadaan: (3p 3 p + p ) p p = 3p 3p + p Tehtävä 3.4. asetelmana sama kuin tehtävässä 3.., mutta mies päättää pelata peliä korkeintaan 3 kierrosta. satunnaismuuttuja X = Miehen pääoma hänen lopettaessaan pelin (a) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X =,,, 3, 4 puuverkkoa käyttäen ja määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja paperille. (b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja paperille. (c) Mikä on tapahtuman X =.5 todennäköisyys? (d) Määrää tapahtuman X > todennäköisyys pistetodennäköisyysfunktion avulla. (e) Määrää tapahtuman X > todennäköisyys kertymäfunktion avulla. (f) Määrää satunnaismuuttujan X odotusarvo. (g) Määrää satunnaismuuttujan X varianssi. Tehtävä 3.4. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan diskreetin satunnaismuuttujan määrittelemistä yksinkertaisen esimerkin tapauksessa sekä ko. satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktion ja kertymäfunktion konstruoimista sekä odotusarvon ja varianssin määräämistä ko. satunnaismuuttujalle. Tehtävä 3.4. Ratkaisu: (a) Jos olet onnistunut konstruoimaan tehtävän 3.. puuverkon oikein, voit lukea verkosta seuraavien tapahtumien todennäköisyydet Pr(Miehelle jää euroa) = + = Pr(Miehelle jää euro) = Ilkka Mellin (8) /3

22 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Pr(Miehelle jää euroa) = + = Pr(Miehelle jää 3 euroa) = Pr(Miehelle jää 4 euroa) = = Siten diskreetin satunnaismuuttujan X = Miehen pääoma lopettaessaan pelin pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: x f(x) = Pr(X = x) 57/64 6/ /64 Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja: Pistetodennäköisyysfunktio f(x)..8 f(x) x (b) Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio voidaan määritellä kaavalla F( x) = Pr( X = x ) ixi x i Ilkka Mellin (8) /3

23 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Summassa lasketaan yhteen kaikki pistetodennäköisyydet Pr( X = x i ) joille pätee x i x Siten diskreetin satunnaismuuttujan X = Miehen pääoma lopettaessaan pelin kertymäfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: x F(x) < x < 57/64 x < 4 63/64 4 x Kertymäfunktion kuvaaja välillä [, 5]: Kertymäfunktio F(x)..8 F(x) x (c) Koska tapahtuma X =.5 on mahdoton, Pr(X =.5) = (d) Tapahtuman X > Ilkka Mellin (8) 3/3

24 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B todennäköisyys saadaan satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiosta laskemalla niiden tulosvaihtoehtojen pistetodennäköisyydet yhteen, joissa mies voittaa enemmän kuin euron. Siten Pr(X > ) = Pr(X = ) + Pr(X = 3) + Pr(X = 4) = 6/ /64 = 7/64 (e) Tapahtuman X > todennäköisyys saadaan satunnaismuuttujan X kertymäfunktiosta seuraavalla tavalla: Pr(X > ) = Pr(X ) = F() = 57/64 = 7/64 (f) Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X odostusarvo E(X) saadaan kaavalla: Siten E( X ) = x Pr( X = x ) E( X ) 4 = ipr( X = i) i= i i i = Pr( X = ) + Pr( X = ) + Pr( X = ) + 3 Pr( X = 3) + 4 Pr( X = 4) 57 6 = = 4 Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopiste. (g) Käytetään satunnaismuuttujan X varianssin laskemiseen kaavaa Var( X ) = E( X ) [E( X)] Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X. origomomentti E(X ) saadaan kaavalla: Ilkka Mellin (8) 4/3