Ilkka Mellin (2006) 1/1

Transkriptio

1 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma, Geometre keskarvo, Harmoe keskarvo, Hstogramm, Itervallastekko, Järjestysastekko, Järjestystuusluvut, Keskarvo, Keskhajota, Kvaltatvset muuttujat, Kvattatvset muuttujat, Laatueroastekko, Luokteltu frekvessjakauma, Maksm, Medaa, Mm, Mttaame, Mtta-astekot, Mttart, Nomaalastekko, Ordaalastekko, Otos, Otoskeskhajota, Otosvarass, Perusjoukko, Pylväsdagramm, Suhdeastekko, Suhteelle frekvess, t-jakauma Tlastolle aesto, Tlastolle muuttuja, Vahteluväl, Vahteluväl ptuus, Välmatka-astekko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollset aestot Tlastollse tutkmukse kakk mahdollset kohteet muodostavat tutkmukse (kohde-) perusjouko. Tutkmukse kohteta tarkastellaa aa jok perusjouko muodostamassa kehkossa. Tutkmukse kohteks valttuja perusjouko alkota kutsutaa havatoyksköks. Tlastolle aesto koostuu havatoyksköde omasuuksa ja olosuhteta kuvaavsta umeerssta ta kvattatvssta tedosta. Havatoykskötä koskeva umeersa ta kvattatvsa tetoja kutsutaa havatoarvoks ta havaoks. Tlastollste aestoje kerääme Muutetaako tutkmuksessa tutkmukse kohtede olosuhteta aktvsest? () Tutkmus o koe, jos tutkmukse tavotteea o selvttää, mte kohtede olosuhtede aktve muuttame vakuttaa tutkmukse kohtes. () Tutkmus perustuu suor havatoh, jos tutkmukse tavotteea o va seurata, mte kohtede olosuhteet ja ssä tapahtuvat muutokset vakuttavat kohtes. Kohdstuuko tutkmus kakk perusjouko alkoh va johok perusjouko osaa? () Tutkmusta kutsutaa kokoastutkmukseks, jos kakk perusjouko alkot tutktaa. () Tutkmusta kutsutaa otatatutkmukseks, jos tutkmus kohdstuu johok perusjouko osajoukkoo. Mttaame ja mttart Tlastollse tutkmukse kohtede omasuuksa ja olosuhteta sekä de muutoksa kuvaavat umeerset ta kvattatvset tedot saadaa selvlle mttaamalla. Mttaame tarkottaa umeerste arvoje lttämstä tutkmukse kohtede omasuuks ja olosuhtes. Ilkka Mell (006) /

2 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mttara vodaa ptää fuktoa, joka lttää umeerset arvot tutkmukse kohtede omasuuks ja olosuhtes. Mttaukse tulos vodaa aa lmasta jok tutkmukse kohtee omasuutta ta olosuhdetta kuvaava muuttuja arvoa. Ste tutkmukse kohtede omasuuksa ja olosuhteta kuvataa mttaustapahtumassa aa umeerslla muuttujlla. Mttar valdteett ja tarkkuus Mttar o vald el okea, jos se esttää mttaukse kohteea olevaa omasuutta oke, merktyksellsest ja tarkotuksemukasest. Mttar o tarkka, jos se o harhato ja relaabel: () Mttar o harhato, jos se e systemaattsest al- ta ylarvo mtattava omasuude määrää. () Mttar o relaabel el luotettava, jos mttaustulos e muutu, ku mttausta tostetaa. Mtta-astekot Mttaus o tehty omaal- el laatueroastekolla, jos mttaus kertoo mh luokkaa mttaukse kohde kuuluu. Mttaus o tehty ordaal- el järjestysastekolla, jos mttaus kertoo oko mttaukse kohteella mtattavaa omasuutta eemmä ta vähemmä ku jollak tosella kohteella. Mttaus o tehty tervall- el välmatka-astekolla, jos mttaus kertoo kuka paljo kahde mtattava kohtee omasuudet eroavat tosstaa. Mttaus o tehty suhdeastekolla, jos mttaus kertoo kuka mota kertaa eemmä ta vähemmä mttaukse kohteella o mtattavaa omasuutta ku jollak tosella kohteella. Kvaltatvset ja kvattatvset muuttujat Omasuutta ja stä kuvaavaa muuttujaa kutsutaa kvaltatvseks, jos mttaukse kohteet vodaa luoktella mttaukse perusteella tosstaa eroav kategoroh ta luokk. Kvaltatvsa omasuuksa kuvataa laatueroastekollslla muuttujlla. Omasuutta ja stä kuvaavaa muuttujaa kutsutaa kvattatvseks, jos mttaus tuottaa omasuude määrällse arvo. Kvattatvsa omasuuksa kuvataa välmatka- ta suhdeastekollslla muuttujlla. Dskreett ja jatkuvat muuttujat Mtattavaa omasuutta vastaava muuttuja o dskreett, jos se vo saada va erllsä arvoja. Dskreettejä muuttuja ovat esmerkks kakk laatueroastekollste ja järjestysastekollste muuttuje lsäks myös sellaset kvattatvset muuttujat kute lukumäärämuuttujat. Mtattavaa omasuutta vastaava muuttuja o jatkuva, jos se vo saada kakk arvot joltak välltä. Jatkuva muuttuja ovat esmerkks usemmat fyskaalset suureet kute ptuus, pta-ala, tlavuus, pao, aka, opeus ja pae sekä myös moet talouselämää kuvaavat suureet kute rahamäärä ja korko. Ilkka Mell (006) /

3 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Huomautus: Muuttuje mtta-astekollslla omasuukslla (kvaltatvsuudella/kvattatvsuudella ta dskreettydellä/jatkuvuudella) o syvälle vakutus she, mtä tlastollsa meetelmä kysesessä tlateessa o luvallsta soveltaa. Ilkka Mell (006) 3/3

4 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tlastollste aestoje kuvaame Frekvess Olkoo muuttuja dskreett ja oletetaa, että se mahdollset arvot ovat Olkoot y, y,, y m,,, muuttuja havatut arvot. Muuttuja mahdollse arvo y k, k =,,, m frekvess f k kertoo kuka mota kertaa y k estyy havatoarvoje,,, joukossa. Frekvessjakauma Muuttuja mahdollset arvot y, y,, y m yhdessä de frekvesse f, f,, f m kassa muodostavat muuttuja havattuje arvoje,,, frekvessjakauma. Huomaa, että f + f + + f m = jossa o havatoje kokoaslukumäärä. Pylväsdagramm Frekvessjakaumaa (y k, f k ), k =,,, m vodaa kuvata graafsest pylväsdagrammlla, jossa muuttuja mahdollse arvo y k havatoarvoje,,, joukossa esttää pylväs, joka korkeus vastaa frekvessä f k. Huomautus: Pylväsdagramm tulkta o aaloge dskreet todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyysfukto tulka kassa. Luokkafrekvess Olkoo muuttuja jatkuva ja oletetaa, että se mahdollset arvot ovat välllä (a, b) jossa vo olla a =, b = +. Jaetaa väl (a, b) pstellä psteveras osaväleh a = a < a < a < < a < a = b 0 m (a k, a k ], k =,,, m m Ilkka Mell (006) 4/4

5 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Olkoot,,, muuttuja havatut arvot. Muuttuja havattuje arvoje frekvess f k luokassa k kertoo de havatoarvoje,,, lukumäärä, jotka kuuluvat väl (a k, a k ], k =,,, m Luokteltu frekvessjakauma Luokkavält (a k, a k ], k =,,, m yhdessä vastaave luokkafrekvesse f, f,, f m kassa muodostavat muuttuja havattuje arvoje,,, luoktellu frekvessjakauma. Huomaa, että f + f + + f m = jossa o havatoje kokoaslukumäärä. Hstogramm Luokteltua frekvessjakaumaa ((a k, a k ], f k ), k =,,, m vodaa kuvata graafsest hstogrammlla, jossa muuttuja havattuje arvoje,,, frekvessä f k luokassa (a k, a k ], esttää suorakade, joka kataa o väl (a k, a k ] ja joka pta-ala vastaa luokkafrekvessä f k. Huomautus: Hstogramm tulkta o aaloge jatkuva todeäkösyysjakauma theysfukto tulka kassa. Ilkka Mell (006) 5/5

6 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Suhdeastekollste muuttuje tuusluvut Artmeette keskarvo Olkoot,,, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Lukuje,,, artmeette keskarvo saadaa kaavalla = = Artmeette keskarvo o havatoarvoje paopste ja kuvaa havatoarvoje keskmäärästä arvoa. Varass Olkoot,,, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Lukuje,,, (otos-) varass saadaa kaavalla s ( ) = = = jossa = = o lukuje,,, artmeette keskarvo. Otosvarass kuvaa havatoarvoje hajaatuesuutta (ta keskttyesyyttä) de artmeettse keskarvo (paopstee) ympärllä. Artmeettse keskarvo ja varass laskeme Olkoot,,, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Jos havatoarvoje,,, artmeette keskarvo ja varass joudutaa laskemaa käs ta laskta käyttäe, kaattaa laskut järjestää alla oleva tauluko muotoo ja käyttää de veressä estettyjä kaavoja. Ilkka Mell (006) 6/6

7 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Summa = s = Keskhajota Olkoot,,, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Lukuje,,, (otos-) keskhajota o jossa s = ( ) = = = s = = o lukuje,,, artmeette keskarvo ja s o lukuje,,, (otos-) varass. Otoskeskhajota kuvaa (kute otosvarass) havatoarvoje hajaatuesuutta (ta keskttyesyyttä) de artmeettse keskarvo (paopstee) ympärllä. Stadardot Olkoo välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuje arvoje,,, artmeette keskarvo ja s de varass. Tällö stadardotuje havatoarvoje z =, =,,, s artmeette keskarvo ja varass ovat z = z = 0 sz = ( z z) = Ilkka Mell (006) 7/7

8 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tlastolle etäsyys Olkoot välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuje arvoje,,, artmeette keskarvo ja s de varass. Tällö havatoarvoje k ja l tlastolle etäsyys o Orgomomett Olkoot d kl =,,, k s l välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Lukuje,,, k. orgomomett o k a =, k =,, Keskusmomett Olkoot k,,, = välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Lukuje,,, k. keskusmomett o jossa k k ( ) = m = = = o lukuje,,, artmeette keskarvo. Vous Olkoot,,, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Havatoarvoje,,, jakauma voutta vodaa kuvata otostuusluvulla jossa c = m 3 3/ m m =. keskusmomett luvulle,,, m 3 = 3. keskusmomett luvulle,,, Ilkka Mell (006) 8/8

9 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Hupukkuus Olkoot,,, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Havatoarvoje,,, jakauma hupukkuutta vodaa kuvata otostuusluvulla jossa c m = 4 m m =. keskusmomett luvulle,,, m 4 = 4. keskusmomett luvulle,,, Geometre keskarvo Olkoot,,, postvsa lukuja. Lukuje,,, geometre keskarvo o G = Lukuje,,, geometrse keskarvo logartm o lukuje,,, logartme artmeette keskarvo: log( ) + log( ) + + log( ) log( G) = = log( ) = Huomaa, että G = va, jos = = = Harmoe keskarvo Olkoot,,, postvsa lukuja. Lukuje,,, harmoe keskarvo o H = Lukuje,,, harmose keskarvo käätesluku o lukuje,,, kääteslukuje artmeette keskarvo: = H Ilkka Mell (006) 9/9

10 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Huomaa, että va, jos H = = = = Järjestysastekollste muuttuje tuusluvut Järjestystuusluvut Olkoot,,, järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havattuja arvoja. Järjestetää havatoarvot,,, suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa ja olkoot z, z,, z järjestyksee asetetut havatoarvot. Suuruusjärjestyksessä k. havatoarvoa z k kutsutaa k. järjestystuusluvuks. Mm, maksm, vahteluväl Olkoot z, z,, z järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havatut arvot järjestettyä suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Tällö Prosettpsteet Olkoot z = mmarvo z = maksmarvo (z, z ) = vahteluväl z z = vahteluväl ptuus z, z,, z järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havatut arvot järjestettyä suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Havatoarvoje p. prosettpste z (p), p =,,, 99 o pste, joka jakaa havatoaesto kahtee osaa: () p % havatoarvosta o lukua z (p) peempä ta korketaa yhtä suura ku z (p). () (00 p) % havatoarvosta o lukua z (p) suurempa. Ilkka Mell (006) 0/0

11 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Medaa Olkoot z, z,, z järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havatut arvot järjestettyä suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Medaa Me o havatoarvoje 50. prosettpste: Me = z (50) Medaa jakaa havatoaesto kahtee yhtä suuree osaa, että tosessa kakk havatoarvot ovat medaaa peempä, tosessa kakk havatoarvot ovat medaaa suurempa. Havatoarvoje medaa Me vodaa määrätä seuraavalla tavalla: () Järjestetää havatoarvot suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. (a) Jos havatoarvoje lukumäärä o parto, medaa o järjestetystä havatoarvosta keskmmäe. (b) Jos havatoarvoje lukumäärä o parlle, medaa o järjestetystä havatoarvosta kahde keskmmäse artmeette keskarvo. Oletetaa, että artmeette keskarvo M ja medaa Me määrätää samasta jatkuva muuttuja havattuje arvoje luoktellusta frekvessjakaumasta. Jos havatoarvoje jakauma o ykshuppue, pätee seuraava: Vasemmalle volla jakaumlla M < Me Symmetrsllä jakaumlla M Me Okealle volla jakaumlla Kvartlt Olkoot Me < M z, z,, z järjestys-, välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havatut arvot järjestettyä suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Tällö Q = Alakvartl = 5. prosettpste = z (5) Q = Keskkvartl = 50. prosettpste = z (50) Q 3 = Yläkvartl = 75. prosettpste = z (75) Kvartlt Q, Q, Q 3 jakavat suuruusjärjestyksee asetetu havatoaesto eljää yhtä suuree osaa. Ilkka Mell (006) /

12 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Ertysest: Alakvartl Q Keskkvartl Q Yläkvartl Q 3 Kvartlt, kvartlväl, kvartlpokkeama = Havatoarvoje medaaa Me peempe havatoarvoje medaa = Havatoarvoje medaa Me Olkoot havatoarvoje kvartlt Q, Q, Q 3. Tällö (Q, Q 3 ) = kvartlväl = Havatoarvoje medaaa Me suurempe havatoarvoje medaa Q 3 Q = IQR = kvartlväl ptuus (Q 3 Q )/ = IQR/ = kvartlpokkeama Kvartlvälä, kvartlväl ptuutta (IQR = terquartle rage) ja kvartlpokkeamaa vodaa käyttää kuvaamaa havatoarvoje hajaatuesuutta (keskttyesyyttä). Jos havatoarvoje jakaumaa kuvaavaa kesklukua o käytetty medaaa, hajotalukua käytetää use kvartlpokkeamaa. Laatueroastekollste muuttuje tuusluvut Frekvess Olkoo otoskoko el kerättyje havatoarvoje lukumäärä. Olkoo A jok perusjouko osajoukko ja olkoo f otoksee kuuluve A-tyyppste havatoarvoje frekvess el lukumäärä. Tällö A-tyyppste havatoarvoje suhteelle frekvess el osuus otoksessa o f Mood Frekvessjakauma mood el tyypparvo Mo o yles havatoarvo. Luoktellu frekvessjakauma mood el tyypparvo Mo o sä luokassa, jossa luokteltua frekvessjakaumaa vastaava hstogramm saavuttaa maksmsa. Huomautuksa: Jos käytetty luoktus o tasaväle, luoktellu frekvessjakauma mood o sä luokassa, jota vastaava frekvess o suur. Jos käytetty luoktus e ole tasaväle, luoktellu frekvess jakauma mood e välttämättä ole sä luokassa, jota vastaava frekvess o suur. Ilkka Mell (006) /

13 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Oletetaa, että artmeette keskarvo M, medaa Me ja mood Mo määrätää samasta jatkuva muuttuja havattuje arvoje luoktellusta frekvessjakaumasta. Jos havatoarvoje jakauma o ykshuppue, pätee seuraava: Vasemmalle volla jakaumlla M < Me < Mo Symmetrsllä jakaumlla M Me Mo Okealle volla jakaumlla Mo < Me < M Ilkka Mell (006) 3/3

14 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.. Alla o lueteltu joukko tlastollsa muuttuja.. Maskode C-vtamptosuus; ykskkö: mg/00 g. Alvar aukolta löydety kasv laj 3. Pae, joka vaadtaa teräksse sälö murtumsee; kg/cm 4. Heklöde reakto vätteesee Suome o ltyttävä NATO:o mtattua astekolla: täys er meltä, yhde tekevää, täys samaa meltä 5. Jokerede sjotus jääkekkolgassa; astekkoa,, 6. Teekkar koulutusohjelma 7. Teekkar älykkyysosamäärä; ykskkö: äo-pste 8. Teekkar pstemäärä kurss. välkokeessa; astekkoa 0,,,, Letokoee opeus; ykskkö: km/h (a) Mtkä ovat muuttuje -9 mtta-astekot? (b) Mtkä muuttujsta -9 ovat kvaltatvsa ja mtkä kvattatvsa? (c) Mtkä muuttujsta -9 ovat dskreettejä ja mtkä jatkuva? Tehtävä 7.. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa tlastollste muuttuje mtta-astekollsa omasuuksa sekä tlastollste muuttuje luokttelua tosaalta kvaltatvs ja kvattatvs muuttuj ja tosaalta dskreetteh ja jatkuv muuttuj. Tehtävä 7.. Ratkasu: (a) Laatueroastekollsa muuttuja:, 6 Järjestysastekollsa muuttuja: 4, 5, 7, 8 Suhdeastekollsa muuttuja:, 3, 9 (b) Kvaltatvsa muuttuja:, (4), (5), 6 Kvattatvsa muuttuja:, 3, (4), (5), 7, 8, 9 Kvaltatvste ja kvattatvste muuttuje välmaastossa olevat järjestysastekollset muuttujat o merktty sulkuh. (c) Dskreettejä muuttuja:, 4, 5, 6, 7, 8 Jatkuva muuttuja:, 3, 9 Ilkka Mell (006) 4/4

15 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.. Erää talo asukkalla o seuraavat kuukaustulot ( /kk): Määrää aestosta seuraavat tuusluvut: (a) mm, maksm (b) vahteluväl, vahteluväl ptuus (c) medaa (d) kvartlväl, kvartlväl, kvartlväl ptuus, kvartlpokkeama Tehtävä 7.. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa järjestystuuslukuje määräämstä. Tehtävä 7.. Ratkasu: Kakk määrättävks pyydetyt tuusluvut ovat järjestystuuslukuja ta h perustuva tuuslukuja. Järjestetää havatoarvot suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa järjestystuuslukuje määräämstä varte: (a) Mm ja maksm: M = 4300, Ma = 500 (b) Vahteluväl: (M, Ma) = (4300, 500) Vahteluväl ptuus: Ma M = = Ilkka Mell (006) 5/5

16 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (c) Etstää havatoje medaa Me. Medaa Me jakaa havatoaesto kahtee yhtä suuree osaa ste, että puolet stä havatoarvosta, jotka evät ole yhtä suura ku medaa, ovat medaaa peempä, ja puolet stä havatoarvosta, jotka evät ole yhtä suura ku medaa, ovat medaaa suurempa. Oletetaa, että havatoa o järjestetty suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. () Jos o parto, medaaks valtaa havatoarvo, joka löytyy pakasta ( + )/ () Jos o parlle, medaaks valtaa kahde keskmmäse havao artmeette keskarvo. Koska havatoje lukumäärä o tässä parlle, Me = ( )/ = 300 (d) Etstää es havatoje kvartlt Q, Q, Q 3. Kvartlt Q, Q, Q 3 jakavat suuruusjärjestyksee asetetu havatoaesto eljää yhtä suuree osaa. Keskkvartl Q o sama ku medaa. Alakvartl Q o medaaa peempe havatoarvoje medaa ja yläkvartl Q 3 o medaaa suurempe havatoarvoje medaa. Ste Q = Me = 300 Q = ( )/ = 000 Q 3 = ( )/ = 8050 Kvartlväl o (Q,Q 3 ) = (000,8050) Kvartlväl ptuus o IQR = Q 3 Q = = 7850 Kvartlpokkeama o IQR/ = (Q 3 Q )/ = 7850/ = 395 Ilkka Mell (006) 6/6

17 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.3. Muodosta tehtävä 7.. aestosta luokteltu frekvessjakauma, joka luokkaväleä ovat (4000,000] (00, 8000] (8000,60000] Määrää myös frekvessjakaumaa vastaava hstogrammkuvo suorakatede korkeudet, ku luokkavälä [4000,000] vastaava suorakatee korkeudeks valtaa 5 ykskköä. Hahmottele myös ko. hstogrammkuvo ruudullselle paperlle. Mssä luokassa o jakauma mood? Tehtävä 7.3. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa luoktellu frekvessjakauma ja stä vastaava graafse estykse el hstogramm muodostamsta. Tehtävä 7.3. Ratkasu: Hstogrammkuvo muodostuu suorakatesta, jode pta-alat suhtautuvat tossa kute vastaavat luokkafrekvesst (ta suhteellset luokkafrekvesst). Tehtävä 7.. aestosta saadaa seuraava luokteltu frekvessjakauma, ku luokkaväleä ovat (4000,000], (00, 8000], (8000,60000] : Luokkaväl Luokkafrekvess Suorakatee korkeus (ykskköä) (4000,000] 5 5 (000,8000] 9 9/ = 9.5 (8000,60000] /4 = 0.5 Hstogrammkuvo suorakatede korkeukse määrääme: () Valtaa luokkaväl (4000,000] lttyvä suorakatee korkeudeks 5 ykskköä. () Luokkaväl (000,8000] o kaks kertaa ptemp ku luokkaväl (4000,000]. Sks luokkaväl (000,8000] lttyvä suorakatee korkeus saadaa jakamalla luokkavälä vastaava frekvess 9 luvulla. (3) Luokkaväl (8000,60000] o eljä kertaa ptemp ku luokkaväl (4000,000]. Sks luokkaväl (8000,60000] lttyvä suorakatee korkeus saadaa jakamalla luokkavälä vastaava frekvess luvulla 4. Ilkka Mell (006) 7/7

18 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Alla oleva kuvo esttää yo. luokteltua frekvessjakaumaa vastaavaa hstogramma. 5 f/ Jakauma mood o luokassa (4000,000], koska sä hstogramm saavuttaa maksmsa. Huomaa, että mood e ole luokassa (000,8000], vakka stä vastaava frekvess o suur. Huomautuksa: () Hstogrammssa suorakatede pta-alat evät ss korkeudet ovat suhteessa luokkafrekvesseh. () Hstogrammssa suorakatede korkeudet ovat suhteessa luokkafrekvesseh va, jos luoktus o tasaväle. () Okea laatu pystyaksellle o tehtävä 7.3. tapauksessa frekvess/ : Vaaka-aksel laatu: Pystyaksel laatu: frekvess/ Suorakatee pta-ala: frekvess/ = frekvess Ilkka Mell (006) 8/8

19 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.4. Määrää tehtävä 7.. aesto kahde esmmäse sarakkee 8:sta luvusta artmeette keskarvo, otosvarass ja otoskeskhajota. Tehtävä 7.4. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa artmeettse keskarvo, otosvarass ja otoskeskhajoa määräämstä. Tehtävä 7.4. Ratkasu: Laskutomtukset vodaa suorttaa kahdella tavalla. Tapa : Tapa : = s = s = s ( ) = s = s = s Jos havatoarvoje artmeettse keskarvo ja varass laskemsta varte laadtaa tetokoeohjelma, laskutomtukset vodaa järjestää laskutavassa, että havaot käydää läp va kerra, ku taas laskutavassa havaot o käytävä läp kaks kertaa. Se sjaa laskutava kaavat ovat umeersest vakaampa ku laskutavassa. Alla o kopo laskutomtuste tekemsessä apua käytetty Mcrosoft Ecel taulukosta. Ilkka Mell (006) 9/9

20 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Taulukosta saadaa: 8 8 = = = s = = ( ) = s = ( ) = s 8 8 = = s = Palkka -Ka (-Ka)^ ^ Summa Ka = 96.5 Tapa : Var = Hajota = Tapa : Var = Hajota = Ilkka Mell (006) 0/0

21 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.5. Olkoo = = lukuje,,, artmeette keskarvo. (a) Todsta, että (b) ( ) = 0 Todsta, että mmo elösumma ( a) parametr a suhtee. Tehtävä 7.5. Mtä opmme? Tehtävässä tutktaa artmeettse keskarvo karakterstsa omasuuksa. Okea keskluku tehtävä ogelma ratkasemsee o tässä geometre keskarvo. Tehtävä 7.5. Ratkasu: Olkoo = = lukuje,,, artmeette keskarvo. (a) Tällö ( ) = = = = 0 Ilkka Mell (006) /

22 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (b) Todstus : ( a) = ( + a) [( ) ( )( a) ( a) ] ( ) ( a) ( ) ( a) ( ) 0 = ( ) + ( a) = + + = + + = ( ) ja lsäks alaraja ( ) saavutetaa, ku a = (a)-kohda mukaa Todstus : Etstää fukto f ( a) = ( a) äärarvot parametr a suhtee dervomalla fuktota f(a). Dervodaa fukto f(a), merktää dervaatta ollaks ja ratkastaa saatu ormaalyhtälö parametr a suhtee: f a = a = a = + a = + a = ( ) ( ) ( ) 0 a = = = = = Ratkasuks saadaa = a = = Ratkasu vastaa fukto f(a) mmä, koska f a = a = > ( ) ( ) 0 a Ilkka Mell (006) /

23 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Lsäks fukto f(a) mmarvoks saadaa f ( ) = ( ) = ( ) s jossa s o lukuje,,, otosvarass. Ilkka Mell (006) 3/3

24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.6. Hetetää oppaa 30 kertaa. Olkoo tuloksea seuraava slmälukuje joo:, 4, 4,, 5, 4,,, 6, 5, 3, 3, 5, 4, 4,, 6,, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 5, 5, 3, 4, 5, 4 (a) Määrää slmälukuje frekvesst ja suhteellset frekvesst. (b) Määrää slmälukuje frekvessjakauma mood. Tehtävä 7.6. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa laatueroastekollste muuttuje tuuslukuje määräämstä. Tehtävä 7.6. Ratkasu: Kakk määrättävks pyydetyt tuusluvut ovat laatueroastekollste muuttuje tuuslukuja ta h perustuva tuuslukuja. Olemme hettäeet oppaa 30 kertaa ja tuloksea o seuraava slmälukuje joo:, 4, 4,, 5, 4,,, 6, 5, 3, 3, 5, 4, 4,, 6,, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 5, 5, 3, 4, 5, 4 (a) Määrätää slmälukuje frekvesst f ja suhteellset frekvesst f/. Tehtävää helpottaa, jos järjestämme joo luvut suuruusjärjestyksee. Saamme tällö joo,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6 Ste slmälukuje frekvesse ja suhteellste frekvesse jakaumat vodaa esttää alla oleva tauluko muodossa: Slmäluku Summa Frekvess f Suhteelle frekvess f/ 5/30 /30 6/30 9/30 7/30 /30 (b) Kohda (a) frekvesstaulukosta vomme lukea, että frekvessjakauma mood o Mo = 4 koska slmäluvu 4 frekvess o suur. Ilkka Mell (006) 4/4

25 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.7. Olet ottaut paksta 0000 euro laa, jota e saa lyhetää kahde esmmäse vuode akaa. Alkuperäse sopmukse mukae korko o. vuotea 0 % ja. vuotea 0 %, jollo takas maksettava laapääoma kasvaa kahdessa vuodessa %. Oletetaa, että pak vaatmuksesta sopmusta muutetaa, että kahde esmmäse vuode akaa käytetää samaa korkoprosetta, joka määrätää, että laapääoma kasvaa tää akaa samaks ku alkuperäse sopmukse mukaa. (a) Määrää. (b) Näytä, että uude sopmukse korkoa e saada kaavalla (0 + 0)/ % (c) Näytä, että uude sopmukse korko saadaa kaavalla jossa (.. ) 00 %.. o lukuje. ja. geometre keskarvo. Tehtävä 7.7. Mtä opmme? Tehtävässä äytetää, että artmeette keskarvo e ole aa käypä tuusluku. Okea keskluku tehtävä ogelma ratkasemsee o tässä geometre keskarvo. Tehtävä 7.7. Ratkasu: (a) Olkoo korko. vuotea 0 % ja. vuotea 0 %. Laapääoma. vuode lopussa: ( + 0/00) 0000 = ( + 0.) 0000 = = 000 Laapääoma. vuode lopussa: ( + 0/00) 000 = ( + 0.) 000 =. 000 = 300 Ste laapääoma kasvaa kahdessa vuodessa 00 ( )/0000 % = 3 % jote = 3 Ilkka Mell (006) 5/5

26 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (b) Määrätää. ja. vuode korkoprosette artmeette keskarvo: % = 5% Olkoo korko ss molempa vuosa 5 %. Laapääoma. vuode lopussa: ( + 5/00) 0000 = ( + 0.5) 0000 = = 500 Laapääoma. vuode lopussa: ( + 5/00) 500 = ( + 0.5) 500 = = 35 Ste laapääoma kasvaa kahdessa vuodessa 00 ( )/0000 % = 3.5 % > 3 % Huomaa, että okea korkoprosett e ole myöskää 3 % = 6% (c) Määrätää korkoprosett kaavalla (.. ) 00 % jossa.. o lukuje. ja. geometre keskarvo: (.. ) Olkoo korko ss molempa vuosa %. Laapääoma. vuode lopussa: ( /00) 0000 = ( ) 0000 = = Ilkka Mell (006) 6/6

27 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Laapääoma. vuode lopussa: ( /00) = ( ) = Ste laapääoma kasvaa kahdessa vuodessa 00 ( )/0000 % = 3 % kute ptääk. Huomautus: Olkoo korko. vuotea p % ja tosea vuotea q %. Ylesest pätee: p q p q = mutta ( p + q)/ ( p+ q)/ p q pats, jos p = q Ilkka Mell (006) 7/7

28 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.8. Pakkakute A ja B välmatka o 0 km. Heklö ajaa A:sta B:he keskopeudella 60 km/h ja B:stä A:ha keskopeudella 0 km/h. (a) Määrää keskopeus edestakasella matkalla. (b) Näytä, että keskopeutta edestakasella matkalla e saada kaavalla (60 + 0)/ = 90 km/h (c) Näytä, että okea keskopeus saadaa määräämällä lukuje 60 ja 00 harmoe keskarvo Tehtävä 7.8. Mtä opmme? Tehtävässä äytetää, että artmeette keskarvo e ole aa käypä tuusluku. Okea keskluku tehtävä ogelma ratkasemsee o tässä harmoe keskarvo. Tehtävä 7.8. Ratkasu: (a) A: ja B: välmatka: 0 km Ajoaka A:sta B:he (60 km/h): 0/60 = h Ajoaka B:stä A:ha (0 km/h): 0/0 = h Matka edestakas: 40 km Ajoaka edestakas: + = 3 h Keskopeus edestakasella matkalla: 40/3 = 80 km/h (a) Määrätää keskopeukse artmeette keskarvo: (60 + 0) km/h = 90 km/h 80 km/h Ilkka Mell (006) 8/8

29 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (b) Määrätää keskopeukse harmoe keskarvo: km/h = 80 km/h Ilkka Mell (006) 9/9

30 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.7. (a) (b) Koe valmstaa kuulalaaker kuula, jode halkasjat vahtelevat satuasest oudattae ormaaljakaumaa parametre µ = 0 mm, σ = 0.0 mm Pomtaa kuule joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 0. Olkoot X ja s kuule halkasjode artmeette keskarvo ja otosvarass otoksessa. Mtkä ovat artmeettse keskarvo X ja otosvarass s muuokse ( )s /σ jakaumat otoksessa? Ääestäjstä 5 % kaattaa puoluetta ABC. Pomtaa ääestäje joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 000. Mkä o puoluee ABC kaattaje suhteellse osuude f/ approksmatve jakauma otoksessa? Tehtävä 7.7. Mtä opmme? Tehtävä (a)-kohdassa tarkastellaa artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakauma. Tehtävä (b)-kohdassa tarkastellaa suhteellse osuude (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 7.7. Ratkasu: (a) Oletukse mukaa havaot X, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa = 0 µ = 0 mm σ = 0.0 mm = mm Ste kuule halkasjode artmeette keskarvo X oudattaa otoksessa ormaaljakaumaa N(µ,σ /), jossa µ = E( X ) = 0 mm σ = Var( X) = D ( X) = = mm 0 Olkoo s kuule halkasjode varass otoksessa. Tällö satuasmuuttuja ( )s /σ oudattaa otoksessa χ -jakaumaa vapausaste = 0 = 9 Ilkka Mell (006) 30/30

31 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (b) Olkoo A = satuasest valttu ääestäjä kaattaa puoluetta ABC Oletukse mukaa Pr(A) = p = 0.5 Pomtaa ääestäje joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o = 000. Puoluetta ABC kaattave ääestäje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, jossa ss p = Pr(A) = 0.5 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.75 Ste puoluee ABC kaattaje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa parametre E( pˆ ) = p = 0.5 pq pˆ = pˆ = = = = Var( ) D ( ) Ilkka Mell (006) 3/3

32 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 7.8. (a) (b) Meste ptuus eräässä maassa vahtelee satuasest oudattae ormaaljakaumaa parametre µ = 80 cm, σ = 5 cm Pomtaa meste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 00. Olkoot X ja s ptuukse artmeette keskarvo ja otosvarass otoksessa. Mtkä ovat artmeettse keskarvo X ja otosvarass s muuokse ( )s /σ jakaumat otoksessa? Koee valmstamsta mutteresta 5 % o vallsa. Pomtaa mutterede joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 00. Mkä o vallste mutterede suhteellse osuude f/ approksmatve jakauma otoksessa? Tehtävä 7.8. Mtä opmme? Tehtävä (a)-kohdassa tarkastellaa artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakauma. Tehtävä (b)-kohdassa tarkastellaa suhteellse osuude (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 7.8. Ratkasu: (a) Oletukse mukaa havaot X, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa = 00 µ = 85 cm σ = 5 cm = 5 cm Ste meste ptuukse artmeette keskarvo X oudattaa otoksessa ormaaljakaumaa N(µ, σ /), jossa µ = E( X ) = 85 cm σ 5 = Var( X) = D ( X) = = 0.5 cm 00 Olkoo s meste ptuukse varass otoksessa. Tällö satuasmuuttuja ( )s /σ oudattaa otoksessa χ -jakaumaa vapausaste = 00 = 99 Ilkka Mell (006) 3/3

33 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (b) Olkoo A = satuasest valttu mutter o valle Oletukse mukaa Pr(A) = p = 0.05 Pomtaa muuterede joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o = 00. Vallste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, jossa ss p = Pr(A) = 0.05 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.95 Ste vallste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa parametre E( pˆ ) = p = 0.05 kasvaa. pˆ pq = pˆ = = = = Var( ) D ( ) Ilkka Mell (006) 33/33

34 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Huomautuksa tehtäv 7.7. ja 7.8.: () Tehtäve 7.7. ja 7.8. deaa o kertoa stä, mllasa ovat tavaomaste havaosta laskettave otostuuslukuje jakaumat perusjoukossa, jos havatoje jakauma perusjoukossa tuetaa. () Otostuuslukuje jakauma koskevat tulokset ovat kutek epäoperatoaalsa, koska jakaume parametreja e yleesä tueta. (3) Jos havatoje jakauma parametreja e tueta, e vodaa pyrkä estmomaa el arvomaa otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Tlastollste malle parametre estmot. (4) Perusjouko parametre arvosta tehtyjä oletuksa vodaa pyrkä testaamaa tlastollsest otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Tlastollste hypoteese testaus. (5) Myös perusjouko jakauma tyyppä koskeva oletuksa vodaa pyrkä testaamaa tlastollsest otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Yhteesopvuude, homogeesuude ja rppumattomuude testaame. Ilkka Mell (006) 34/34