Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Johdatus todeäköisslasketaa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat: Mitä opimme? /3 Tässä luvussa tarkastellaa seuraavia ogelmia: (i) Jos satuaismuuttuja jakauma tuetaa, mitä voidaa saoa se muuokse jakaumasta? (ii) Jos satuaismuuttujie jakaumat tuetaa, mitä voidaa saoa iide summa jakaumasta? (iii) Jos satuaismuuttujie jakaumat tuetaa, mitä voidaa saoa iide miimi ja maksimi jakaumasta? Ei ole mahdollista lötää leistä tulosta, joka ataa satuaismuuttuja mielivaltaise muuokse jakauma (ogelma (i)), mutta ogelma (i) voidaa ratkaista moissa erikoistilateissa esittämällä lisäehtoja, jotka rajoittavat sallittuje muuoste luokkaa. Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat: Mitä opimme? /3 Ogelmalle (i) löt ratkaisu, jos rajoitutaa muuoksii, joilla o kääteismuuos. Kahde riippumattoma satuaismuuttuja summa ja osamäärä jakaumat saadaa erikoistapauksea ogelma (i) ratkaisusta kaksiulotteiste satuaismuuttujie tapauksessa. Useamma satuaismuuttuja summa jakauma (ogelma (ii)) voidaa lötää kättämällä apua momettiemäfuktiota; lisätietoja momettiemäfuktiosta: ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio. Ogelma (iii) voidaa ratkaista kättämällä pelkästää kertmä- ja tihesfuktio määritelmiä. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat: Mitä opimme? 3/3 Sovelluksia esitettävälle teorialle tässä luvussa johdetaa mm. χ -, F- ja t-jakaumie tihesfuktioide lausekkeet (jakaumie määrittel: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia). Lisäksi tarkastellaa mm. seuraavia esimerkkejä: satuaismuuttuja lieaarimuuokse jakauma erikoistapaukseaa ormaalijakautuee satuaismuuttuja lieaarimuuokse jakauma (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) Beroulli- ja biomijakautueide satuaismuuttujie summa jakauma (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) Poisso-jakautueide satuaismuuttujie summa jakauma (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) ormaalijakautueide satuaismuuttujie summa jakauma (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satuaismuuttujat ja todeäköissjakaumat Jakaumie tuusluvut Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Moiulotteiset satuaismuuttujat ja todeäköissjakaumat Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6

2 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat: Lisätiedot Esitettä teoriaa sovelletaa mm. satuaismuuttujie lieaarimuuoksie ja riippumattomie satuaismuuttujie summie jakaumia koskevissa tarkasteluissa seuraavissa luvuissa: Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat >> Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Lieaarimuuokse jakauma Avaisaat Aidosti mootoie muuos Cauch jakauma Ei-mootoie muuos Kertmäfuktio χ ()-jakauma Kääteismuuos Lieaarimuuos Muuos Satuaismuuttuja Studeti t-jakauma Tihesfuktio Todeäköissjakauma Olkoo jatkuva satuaismuuttuja, joka tihesfuktio o f (x) Muodostetaa satuaismuuttuja lieaarimuuos Y a + b jossa a ja b ovat vakioita. Satuaismuuttuja Y tihesfuktio o fy( ) f b b TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Lieaarimuuokse jakauma: Kommetti Satuaismuuttuja lieaarimuuokse Y a + b (a ja b vakioita) jakauma o aia samaa tppiä kui satuaismuuttuja jakauma. Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Lieaarimuuokse jakauma: Todistus /4 Olkoo jatkuva satuaismuuttuja tihesfuktio f (x). Olkoo Y a + b jossa a ja b ovat vakioita. Muodostetaa esi satuaismuuttuja Y kertmäfuktio, josta satuaismuuttuja Y tihesfuktio saadaa derivoimalla. Jaetaa tarkastelu kahtee osaa: (i) b > (ii) b < TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)

3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Lieaarimuuokse jakauma: Todistus /4 Jos b >, satuaismuuttuja Y a + b kertmäfuktio o FY ( ) Pr( Y ) Pr( a+ b ) Pr b F b Derivoimalla satuaismuuttuja Y tihesfuktioksi saadaa d d fy( ) FY( ) F d d b f b b Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Lieaarimuuokse jakauma: Todistus 3/4 Jos b <, satuaismuuttuja Y a + b kertmäfuktio o FY ( ) Pr( Y ) Pr( a+ b ) Pr b Pr b F b Derivoimalla satuaismuuttuja Y tihesfuktioksi saadaa d d fy( ) FY( ) F d d b f b b TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Lieaarimuuokse jakauma: Todistus 4/4 Kalvoilla /4 ja 3/4 johdetut kaavat satuaismuuttuja Y tihesfuktiolle f Y () voidaa hdistää hdeksi kaavaksi: Satuaismuuttuja Y a + b tihesfuktio o kaikille b : fy( ) f b b Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Välillä (,) jatkuvaa tasaista jakaumaa oudattava satuaismuuttuja lieaarimuuokse jakauma Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä (,): ~ Uiform(,) Satuaismuuttuja tihesfuktio o f ( x), x Olkoo Y a + b (a ja b > vakioita) Satuaismuuttuja Y tihesfuktioksi saadaa fy ( ), a a+ b b Site Y oudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (a, a + b): Y ~Uiform(a, a + b) TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Stadardoitua ormaalijakaumaa oudattava satuaismuuttuja lieaarimuuokse jakauma Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): ~N(, ) Satuaismuuttuja tihesfuktio o f ( x) exp x π Olkoo Y a + b (a ja b vakioita) Satuaismuuttuja Y tihesfuktioksi saadaa fy ( ) exp b π b Site Y oudattaa ormaalijakaumaa parametrei a ja b : Y ~N(a, b ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Normaalijakaumaa oudattava satuaismuuttuja lieaarimuuokse jakauma Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa ormaalijakaumaa parametrei µ ja σ (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): ~N(µ, σ ) Satuaismuuttuja tihesfuktio o x µ f ( x) exp σ π σ Olkoo Y a + b (a ja b vakioita) Satuaismuuttuja Y tihesfuktioksi saadaa abµ fy ( ) exp b σ π bσ Site Y oudattaa ormaalijakaumaa parametrei a + bµ ja b σ : Y ~N(a + bµ, b σ ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 8

4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Mootoiste muuoste jakaumat Olkoo jatkuva satuaismuuttuja, joka tihesfuktio o f (x) Muodostetaa satuaismuuttuja muuos Y h() jossa fuktio h o aidosti mootoie ja jatkuvasti derivoituva. Satuaismuuttuja Y tihesfuktio o dh ( ) fy( ) f( h ( )) d Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Mootoiste muuoste jakaumat: Todistus /4 Olkoo jatkuva satuaismuuttuja tihesfuktio f (x). Olkoo Y h() jossa h o aidosti mootoie ja jatkuvasti derivoituva fuktio. Tällöi satuaismuuttuja Y kertmäfuktio o FY ( ) Pr( Y ) Pr( h( ) ) Jaetaa tarkastelu kahtee osaa: (i) Fuktio h o aidosti väheevä. (ii) Fuktio h o aidosti kasvava. TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Mootoiste muuoste jakaumat: Todistus /4 Oletetaa esi, että fuktio h o aidosti väheevä. Koska fuktio h oletettii aidosti väheeväksi, sillä o kääteisfuktio h, joka mös o aidosti väheevä. Site satuaismuuttuja Y kertmäfuktio o FY ( ) Pr( Y ) Pr( h( ) ) Pr( h ( h( )) h ( )) Pr( h ( )) Pr( h ( )) F ( h ( )) Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Mootoiste muuoste jakaumat: Todistus 3/4 Derivoimalla satuaismuuttuja Y kertmäfuktio lauseke saadaa satuaismuuttuja Y tihesfuktioksi d d fy( ) FY( ) F( h ( )) d d dh ( ) f( h ( )) d Koska fuktio h kääteisfuktio h oletettii aidosti väheeväksi, ii dh ( ) < d Voimme siis kirjoittaa: f ( ) f ( h ( )) Y dh ( ) d TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Mootoiste muuoste jakaumat: Todistus 4/4 Jos fuktio h o aidosti kasvava, mös kääteisfuktio h o aidosti kasvava, jolloi dh ( ) > d Site mös tässä tapauksessa pätee dh ( ) fy( ) f( h ( )) d Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Lieaarimuuos mootoisea muuoksea Olkoo jatkuva satuaismuuttuja, joka tihesfuktio o f (x) Muodostetaa satuaismuuttuja lieaarimuuos Y a + b jossa a ja b ovat vakioita. Satuaismuuttuja Y tihesfuktio o fy( ) f b b TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4

5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Lieaarimuuos mootoisea muuoksea: Todistus Olkoo jatkuva satuaismuuttuja tihesfuktio f (x). Olkoo Y a + b (a ja b vakioita) Tällöi h( x) a+ bx, b a x h ( ) b dh( x) b dx jote dh ( ) a fy( ) f( h ( )) f d b b Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Cauch jakauma Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä (π/, +π/): ~ Uiform(π/, +π/) Muodostetaa satuaismuuttuja muuos Y ta() Satuaismuuttuja Y tihesfuktio o fy ( ) π + Satuaismuuttuja Y jakaumaa kutsutaa Cauch jakaumaksi. TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Cauch jakauma: Tihesfuktio johto / Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (π/, +π/), jolloi se tihesfuktio o f (x) /π, π/ x +π/ Olkoo Y h() ta() Muuos h(x) ta(x) o aidosti kasvava ja se kääteismuuokse x h () arcta() derivaatta o dh ( ) d arcta( ) d d + Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Cauch jakauma: Tihesfuktio johto / Site satuaismuuttuja Y ta() tihesfuktioksi saadaa dh ( ) fy( ) f( h ( )) d π + Satuaismuuttuja Y jakaumaa kutsutaa Cauch jakaumaksi. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Cauch jakauma ja Studeti t-jakauma Voidaa osoittaa, että Cauch jakauma o sama kui Studeti t-jakauma hdellä vapausasteella (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) eli, jos ~ Uiform(π/, +π/) ja Y ta() ii Y ~ t() Huomautus: Cauch jakaumalla ei ole mometteja eli sillä ei ole edes odotusarvoa. Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Ei-mootoiste muuoste jakaumat Jos satuaismuuttujaa sovelletaa ei-mootoista muuosta, ei ole mahdollista lötää leistä muuokse jakaumaa ja se tihesfuktiota koskevaa tulosta. Ei-mootoiste muuoste tapauksessa joudutaa tarkastelu tekemää tapauskohtaisesti. Seuraavassa tarkastellaa esimerkkiä χ ()-jakauma (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tihesfuktio johtoa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3

6 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat χ ()-jakauma Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa: ~N(, ) Määritellää satuaismuuttuja Y Satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakauma määritelmä mukaa χ -jakaumaa hdellä vapausasteella: Y ~ χ () Satuaismuuttuja Y tihesfuktio o fy ( ) e π Satuaismuuttujie muuoste jakaumat χ ()-jakauma: Tihesfuktio johto / Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa: ~N(, ) Tällöi Y ~ χ () Olkoo Φ( ) stadardoidu ormaalijakauma N(, ) kertmäfuktio. Satuaismuuttuja Y kertmäfuktio o FY ( ) Pr( Y ) Pr( ) Pr( ) Pr( + ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Satuaismuuttujie muuoste jakaumat χ ()-jakauma: Tihesfuktio johto / Stadardoidu ormaalijakauma N(, ) tihesfuktio o d x Φ ( x) Φ ( x) e dx π jossa Φ( ) o stadardoidu ormaalijakauma N(, ) kertmäfuktio. Site satuaismuuttuja Y ~ χ () tihesfuktioksi saadaa d d fy( ) FY( ) Φ( ) d d Φ ( ) e π Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat >> Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 TKK (c) Ilkka Melli (4) 34 Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Avaisaat Boxi ja Mülleri muuos Jacobi determiatti Kääteismuuos Muuos Normaalijakauma Satuaisluvut Satuaismuuttuja Tasaie jakauma Tihesfuktio Todeäköissjakauma Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Bijektiiviste muuoste jakaumat /3 Olkoot ja Y jatkuvia satuaismuuttuja, joide hteisjakauma tihesfuktio o f Y (x, ) Määritellää satuaismuuttujat U g(, Y) V h(, Y) Tehdää muuoksesta u g( x, ) () v h( x, ) seuraavalla kalvolla esitettävät oletukset. TKK (c) Ilkka Melli (4) 35 TKK (c) Ilkka Melli (4) 36

7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 37 Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Bijektiiviste muuoste jakaumat /3 Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Bijektiiviste muuoste jakaumat 3/3 Oletukset muuoksesta ( ): (i) Muuttujat x ja voidaa ratkaista htälörhmästä ( ) ksikäsitteisesti muuttujie u ja v fuktioia. (ii) Fuktioilla g ja h o jatkuvat osittaisderivaatat muuttujie x ja suhtee. (iii) Muuokse ( ) Jacobi determiatti o ollasta poikkeava alueella, jossa tihesfuktio f Y (x, ) o positiivie: ( u, v) u v u v ( x, ) x x kaikille x ja, joille f Y (x, ) >. Jos oletukset (i)-(iii) pätevät, satuaismuuttujie U ja V hteisjakauma tihesfuktio o ( uv, ) fuv ( u, v) fy ( x, ) ( x, ) jossa x ja ratkaistaa kalvo /3 htälörhmästä ( ). TKK (c) Ilkka Melli (4) 38 Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Normaalijakauma geeroiti jatkuvasta tasaisesta jakaumasta / Oletetaa, että satuaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia ja oudattavat jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä (, ): ~ Uiform(, ) Y ~ Uiform(, ) Y Määritellää satuaismuuttujat U cos( π ) log( Y) V si( π ) log( Y) Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Normaalijakauma geeroiti jatkuvasta tasaisesta jakaumasta / Satuaismuuttujat U ja V ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): U ~ N(, ) V ~ N(, ) U V TKK (c) Ilkka Melli (4) 39 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Normaalijakauma geeroiti jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus /5 Oletetaa, että satuaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia ja oudattavat jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (, ): ~ Uiform(, ) Y ~ Uiform(, ) Y Olkoot U cos( π ) log( Y) V si( π ) log( Y) Tarkastellaa htälörhmää u cos( π x) log( ) () v si( π x) log( ) Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumia Normaalijakauma geeroiti jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus /5 Yhtälörhmä u cos( π x) log( ) () v si( π x) log( ) ratkaisut muuttujie x ja suhtee saadaa htälöistä u cos( π x) u + v v si( π x) u + v exp ( u + v ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4

8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 43 Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumia Normaalijakauma geeroiti jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 3/5 Muuokse ( ) Jacobi determiatti o ( uv, ) u v u v ( x, ) x x si( π x) πsi( πx) log( ) log( ) cos( π x) π cos( πx) log( ) log( ) π Koska >, ii ( uv, ) ( x, ) Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumia Normaalijakauma geeroiti jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 4/5 Satuaismuuttujie ja Y hteisjakauma tihesfuktio o f Y (x, ), < x <, < < Site satuaismuuttujie U ja V hteisjakauma tihesfuktio o ( uv, ) fuv ( uv, ) fy ( x, ),< x<,< < ( x, ) π Sijoittamalla tähä x ja lausuttua muuttujie u ja v fuktioa saadaa fuv ( u, v) exp ( u + v ) π TKK (c) Ilkka Melli (4) 44 Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumia Normaalijakauma geeroiti jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 5/5 Nt π exp u exp v π π f ( u) f ( v) ( ) fuv ( u, v) exp ( u + v ) U V jossa f U (u) ja f V (v) ovat stadardoidu ormaalijakauma N(, ) tihesfuktioita. Koska satuaismuuttujie U ja V hteisjakauma tihesfuktio voidaa esittää satuaismuuttujie U ja V reuajakaumie tihesfuktioide tuloa, satuaismuuttujat U ja V ovat riippumattomia. Yhtälöstä ( ) ähdää lisäksi se, että satuaismuuttujat U ja V oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa N(, ). Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumia Normaalijakauma geeroiti jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Kommetteja Muuosta u cos( π x) log( ) () v si( π x) log( ) kutsutaa tavallisesti Boxi ja Mülleri muuokseksi. Boxi ja Mülleri muuos tarjoaa erää keio geeroida ormaalijakautueita satuaislukuja tasaista jakaumaa välillä (, ) oudattavista satuaisluvuista. TKK (c) Ilkka Melli (4) 45 TKK (c) Ilkka Melli (4) 46 Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat >> Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Avaisaat Biomijakauma Jacobi determiatti Kertmäfuktio χ -jakauma Momettiemäfuktio Normaalijakauma Poisso-jakauma Satuaismuuttuja Satuaismuuttujie summa jakauma Tihesfuktio Todeäköissjakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) 47 TKK (c) Ilkka Melli (4) 48

9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 49 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Satuaismuuttujie riippumattomuus Olkoot ja Y riippumattomia ja jatkuvia satuaismuuttujia. Tällöi iide hteisjakauma tihesfuktio f Y (x, ) voidaa esittää satuaismuuttujie ja Y reuajakaumie tihesfuktioide f (x) ja f Y () tuloa: f Y (x, ) f (x)f Y () Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot ja Y riippumattomia ja jatkuvia satuaismuuttujia, joide tihesfuktiot ovat f (x) ja f Y (). Muodostetaa satuaismuuttujie ja Y summa U + Y Satuaismuuttuja U tihesfuktio o + f ( u) f ( ux) f ( x) dx U Y TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma: Todistus /3 Olkoot ja Y riippumattomia ja jatkuvia satuaismuuttujia, joide tihesfuktiot ovat f (x) ja f Y (). Koska satuaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, f Y (x, ) f Y ()f (x) Olkoot U + Y V Satuaismuuttujie ja Y summa jakauma saadaa määräämällä satuaismuuttuja U reuajakauma satuaismuuttujie U ja V hteisjakaumasta. Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma: Todistus /3 Tarkastellaa muuosta u x+ () v x Muuokse ( ) kääteismuuos: u v x v Muuokse ( ) Jacobi determiatti: ( uv, ) u v u v ( x, ) x x TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma: Todistus 3/3 Site satuaismuuttujie U + Y ja V hteisjakauma tihesfuktio o ( uv, ) fuv ( u, v) fy ( x, ) ( x, ) f( x) fy( ) f () v f ( uv) Y Summa U + Y tihesfuktio saadaa tästä satuaismuuttuja U reuajakauma tihesfuktioa: + + f ( u) f ( u, v) dv f ( v) f ( uv) dv U UV Y Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma /3 Tarkastellaa riippumattomie satuaismuuttujie summa jakaumaa koskeva leise tulokse sovelluksea χ -jakauma (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tihesfuktio lausekkee johtoa. + f ( x) f ( ux) dx Y TKK (c) Ilkka Melli (4) 53 TKK (c) Ilkka Melli (4) 54

10 TKK (c) Ilkka Melli (4) 55 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma /3 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma 3/3 Oletetaa, että satuaismuuttujat,,, ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa:,,, i ~ N(, ), i,,, Määritellää satuaismuuttuja Y Satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakauma määritelmä mukaa χ -jakaumaa :llä vapausasteella: Y ~ χ () Satuaismuuttuja Y χ ( ) tihesfuktio o f ( ) C e Normeerausvakio C saadaa kaavasta C jossa ( ) o Euleri gammafuktio: z t ( z) t e dt TKK (c) Ilkka Melli (4) 56 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto / Oletetaa, että satuaismuuttujat,,, ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa:,,, i ~ N(, ), i,,, Tällöi Y χ ( ) Kätetää satuaismuuttuja Y tihesfuktio lausekkee f ( ) C e perustelemisee tädellistä iduktiota ja leistä tulosta riippumattomie satuaismuuttujie summa jakaumalle. TKK (c) Ilkka Melli (4) 57 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto / Olkoo. Tässä luvussa o jo todettu (ks. kappaletta Satuaismuuttujie muuoste jakaumat), että Y χ () ja satuaismuuttuja Y tihesfuktio o f( ) e π Koska C π satuaismuuttuja Y χ ( ) tihesfuktio lauseke pätee, ku. TKK (c) Ilkka Melli (4) 58 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto 3/ Tarkastellaa seuraavaksi tapausta. Koska satuaismuuttujat ja o oletettu riippumattomiksi, mös satuaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Site voimme soveltaa satuaismuuttujaa Y + χ () riippumattomie satuaismuuttujie summa tihesfuktio kaavaa: + ( z) z ( ) ( ) ( ) ( ) Ce ( z) z dz f f z f z dz C z e z e dz jossa C o muuttuja suhtee vakio. TKK (c) Ilkka Melli (4) 59 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto 4/ Tapaus jatkuu... Sijoituksella z t itegraali f ( ) C e ( z) z dz saadaa muokatuksi muotoo f ( ) C e ( t) ( t) dt Ce ( t) t dt Ce jossa C C ( t) t dt o muuttuja suhtee vakio. TKK (c) Ilkka Melli (4) 6

11 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto 5/ Tapaus jatkuu... Site satuaismuuttuja Y χ ( ) tihesfuktio lauseke pätee, ku : f ( ) C e f ( ) C e Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto 6/ Iduktio-askel. Iduktio-oletus: Satuaismuuttuja Y χ ( ) tihesfuktio o ( ) f ( ) C e TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto 7/ Iduktio-askel jatkuu Koska satuaismuuttujat,,, o oletettu riippumattomiksi, mös satuaismuuttujat Y ja ovat riippumattomia. Site voimme soveltaa satuaismuuttujaa Y Y χ ( ) riippumattomie satuaismuuttujie summa tihesfuktio kaavaa: + ( z) ( ) z f ( ) f ( z) f ( z) dz C ( z) e z e dz 3 ( ) jossa C o muuttuja suhtee vakio. Ce z z dz TKK (c) Ilkka Melli (4) 63 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto 8/ Iduktio-askel jatkuu Sijoituksella z t itegraali 3 f ( ) C e ( z) z dz saadaa muokatuksi muotoo 3 3 ( ) f ( ) C e ( t) ( t) dz C e t t dt C e 3 jossa C C ( t) t dt o muuttuja suhtee vakio. TKK (c) Ilkka Melli (4) 64 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto 9/ Iduktiopäättel jatkuu... Yhdistämällä kalvoje /-8/ tulokset ähdää, että satuaismuuttuja Y χ ( ) tihesfuktio lauseke f( ) C e pätee kaikille,, 3, TKK (c) Ilkka Melli (4) 65 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma χ -jakauma: Tihesfuktio johto / Määrätää vielä ormeerausvakio C. Todetaa esi, että tihesfuktio f toteuttaa seuraava ehdo: ( ) f d C e d Sijoituksella t tämä itegraali saadaa muokatuksi muotoo t C t e dt Site ormeerausvakio C arvoksi saadaa C jossa ( ) o Euleri gammafuktio: z t ( z) t e dt TKK (c) Ilkka Melli (4) 66

12 TKK (c) Ilkka Melli (4) 67 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Momettiemäfuktio Olkoo satuaismuuttuja. Oletetaa, että odotusarvo m (t) E(e t ) o olemassa kaikille t (h, +h) jossa h > o vakio. Tällöi fuktiota m (t) kutsutaa satuaismuuttuja ja se jakauma momettiemäfuktioksi eli mometit geeroivaksi fuktioksi. Lisätietoja: ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio. Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktio Olkoot,,, riippumattomia satuaismuuttujia, joide momettiemäfuktiot ovat m (t), m (t),, m (t) Tällöi summa momettiemäfuktio o satuaismuuttujie,,, momettiemäfuktioide tulo: m (t) m (t)m (t) m (t) TKK (c) Ilkka Melli (4) 68 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Beroulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beroulli-jakaumaa parametrilla p:,,, i ~ Beroulli(p), i,,, Tällöi satuaismuuttujie,,, summa Y oudattaa biomijakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrei (, p): Y ~ Bi(, p) Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Beroulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma: Perustelu / Oletetaa, että,,, i ~ Beroulli(p), i,,, Tällöi satuaismuuttujie,,, momettiemäfuktio o muotoa m () t i t q+ pe, i,,, Lisätietoja: ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio. Muodostetaa satuaismuuttujie,,, summa: Y TKK (c) Ilkka Melli (4) 69 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Beroulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma: Perustelu / Riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktiota koskeva tulokse mukaa satuaismuuttuja Y momettiemäfuktio o my() t m() t m() t m() t t t t ( q+ pe )( q+ pe ) ( q+ pe ) t ( q+ pe ) Koska m Y (t) o biomijakauma Bi(, p) momettiemäfuktio, ii Y k ~ Bi(, p) Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, k riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat biomijakaumia parametrei (, p), (, p),, ( k, p):,,, k i ~ Bi( i, p), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie,,, k summa Y k oudattaa biomijakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrei ( k, p): Y ~ Bi( k, p) TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7

13 TKK (c) Ilkka Melli (4) 73 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma: Perustelu / Oletetaa, että,,, k i ~ Bi( i, p), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie,,, k momettiemäfuktiot ovat muotoa t m () ( ) i i t q+ pe, i,,, k Lisätietoja: ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio. Muodostetaa satuaismuuttujie,,, k summa: Y k Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma: Perustelu / Riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktiota koskeva tulokse mukaa satuaismuuttuja Y k momettiemäfuktio o my() t m() t m() t mk() t t t t k ( q+ pe ) ( q+ pe ) ( q+ pe ) t k ( q+ pe ) Koska m Y (t) o biomijakauma Bi( k, p) momettiemäfuktio, ii Y k ~ Bi( k, p) TKK (c) Ilkka Melli (4) 74 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Poisso-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, k riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat Poisso-jakaumia parametrei λ, λ,, λ k :,,, k i ~ Poisso(λ i ), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie,,, k summa Y k oudattaa Poisso-jakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrilla λ + λ + + λ k : Y ~ Poisso(λ + λ + + λ k ) Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Poisso-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma: Perustelu / Oletetaa, että,,, k i ~ Poisso(λ i ), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie,,, k momettiemäfuktiot ovat muotoa i ( e ) m () t i t e λ, i,,, k Lisätietoja: ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio. Muodostetaa satuaismuuttujie,,, k summa: Y k TKK (c) Ilkka Melli (4) 75 TKK (c) Ilkka Melli (4) 76 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Poisso-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma: Perustelu / Riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktiota koskeva tulokse mukaa satuaismuuttuja Y k momettiemäfuktio o my() t m() t m() t mk() t t t t λ( e ) λ( e ) λk ( e ) e e e t ( λ+ λ+ + λ)( e ) e Koska m Y (t) o Poisso-jakauma Poisso(λ + λ + + λ k ) momettiemäfuktio, ii Y k ~ Poisso(λ + λ + + λ k ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 77 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Normaalijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, k riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat ormaalijakaumia parametrei ( µ, σ ),( µ, σ ),,( µ k, σk) :,,, k i N( µ i, σ i ), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie,,, k summa Y k oudattaa ormaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametrei ( µ + µ + + µ k, σ + σ + + σk) : Y N( µ + µ + + µ, σ + σ + + σ ) k TKK (c) Ilkka Melli (4) 78 k

14 TKK (c) Ilkka Melli (4) 79 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Normaalijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma: Perustelu / Oletetaa, että,,, k i N( µ i, σ i ), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie,,, k momettiemäfuktiot ovat muotoa mi( t) exp( µ it+ σit ), i,,, k Lisätietoja: ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio. Muodostetaa satuaismuuttujie,,, k summa: Y k Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Normaalijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma: Perustelu / Riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktiota koskeva tulokse mukaa satuaismuuttuja Y k momettiemäfuktio o my() t m() t m() t mk() t exp( µ t+ σ t )exp( µ t+ σ t ) exp( µ kt+ σkt ) exp(( µ + µ + + µ k) t+ ( σ + σ + + σk) t ) Koska m Y (t) o ormaalijakauma N( µ + µ + + µ k, σ + σ + + σk) momettiemäfuktio, ii Y N( µ + µ + + µ, σ + σ + + σ ) k k k TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma >> Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Avaisaat F-jakauma Jacobi determiatti Kertmäfuktio Normaalijakauma Satuaismuuttuja Satuaismuuttujie osamäärä jakauma Studeti t-jakauma Tihesfuktio Todeäköissjakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Satuaismuuttujie riippumattomuus Olkoot ja Y riippumattomia ja jatkuvia satuaismuuttujia. Tällöi iide hteisjakauma tihesfuktio f Y (x, ) voidaa esittää satuaismuuttujie ja Y reuajakaumie tihesfuktioide f (x) ja f Y () tuloa: f Y (x, ) f (x)f Y () Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Olkoot ja Y > riippumattomia ja jatkuvia satuaismuuttujia, joide tihesfuktiot ovat f (x) ja f Y (). Määritellää satuaismuuttuja U / Y Osamäärä U / Y tihesfuktio o + fu( u) f( u) fy( ) d TKK (c) Ilkka Melli (4) 83 TKK (c) Ilkka Melli (4) 84

15 TKK (c) Ilkka Melli (4) 85 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma: Todistus /3 Olkoot ja Y > riippumattomia ja jatkuvia satuaismuuttujia, joide tihesfuktiot ovat f (x) ja f Y (). Koska satuaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, f Y (x, ) f Y ()f (x) Olkoot U / Y V Y Satuaismuuttujie ja Y osamäärä jakauma saadaa määräämällä satuaismuuttuja U reuajakauma satuaismuuttujie U ja V hteisjakaumasta. Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma: Todistus /3 Tarkastellaa muuosta u x () v Muuokse ( ) kääteismuuos: x uv v Muuokse ( ) Jacobi determiatti: ( uv, ) u v u v ( x, ) x x x TKK (c) Ilkka Melli (4) 86 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma: Todistus 3/3 Site satuaismuuttujie U / Y ja V Y hteisjakauma tihesfuktio o ( uv, ) fuv ( u, v) fy ( x, ) ( x, ) f( x) fy( ) vf ( uv) f ( v) Y Osamäärä U / Y tihesfuktio saadaa tästä satuaismuuttuja U reuajakauma tihesfuktioa: + + f ( u) f ( u, v) dv vf ( uv) f ( v) dv U UV Y + f ( u) f ( ) d Y Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma /4 Tarkastellaa riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakaumaa koskeva leise tulokse sovelluksea F-jakauma (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tihesfuktio lausekkee johtoa. Oletetaa, että satuaismuuttujat,,, m, Y, Y,, Y ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa:,,, m, Y, Y,, Y i ~ N(, ), i,,, m Y i ~ N(, ), i,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) 87 TKK (c) Ilkka Melli (4) 88 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma /4 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma 3/4 Määritellää satuaismuuttujat m Y Y + Y + + Y Satuaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia ja χ - jakauma määritelmä mukaa oudattaa χ -jakaumaa m:llä vapausasteella ja Y oudattaa χ -jakaumaa :llä vapausasteella: χ ( m) Y χ ( ) Y Määritellää satuaismuuttuja / m F Y / m Y jossa siis χ ( m) Y χ ( ) Y Satuaismuuttuja F oudattaa F-jakauma määritelmä mukaa F-jakaumaa vapausastei m ja : F ~ F(m, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 89 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9

16 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma 4/4 Satuaismuuttuja F ~ F(m, ) tihesfuktio o m+ m m m m ff ( ) m + jossa ( ) o Euleri gammafuktio: z t ( z) t e dt m+ Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma: Tihesfuktio johto /6 Määritellää satuaismuuttuja F m Y jossa χ ( m), Y χ ( ), Y Tällöi F ~ F(m, ) Kätetää satuaismuuttuja F tihesfuktio lausekkee m+ m m+ m m m ff ( ) m + perustelemisee leistä tulosta riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakaumalle. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma: Tihesfuktio johto /6 Määritellää satuaismuuttuja Z Y jossa χ ( m), Y χ ( ), Y χ ()-jakauma tihesfuktio o muotoa (ks. kappaletta Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma): f( ) C e C z t ( z) t e dt Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma: Tihesfuktio johto 3/6 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä tihesfuktio kaava mukaa satuaismuuttuja Z /Y tihesfuktio o + m z f ( z) f ( z) f ( ) d C C ( z) e e d Z Y m m m ( + z) CC z ( ) e d Ku itegraalissa tehdää sijoitus ( + )z t, saadaa m t t t t fz( z) CmC z e dt + z + z + z + z m m m+ ( m+ m) t ( ) CCz + z t e dt TKK (c) Ilkka Melli (4) 93 TKK (c) Ilkka Melli (4) 94 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma: Tihesfuktio johto 4/6 Satuaismuuttuja Z /Y tihesfuktio lausekkee m m+ ( m+ m) t fz( z) CmCz ( + z) t e dt itegraali ( m+ m) t t e dt itegroitava o χ (m + )-jakauma tihesfuktio di. Site ( m+ m) t t e dt C m+ Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma: Tihesfuktio johto 5/6 Sijoittamalla vakioide C m, C ja C m + lausekkeet paikoillee saadaa satuaismuuttuja Z /Y tihesfuktioksi m+ m m+ m m+ CC m fz ( z) z ( + z) z ( + z) C m m+ Satuaismuuttuja F Fm (, ) m Y saadaa satuaismuuttuja Z /Y tihesfuktiosta lieaarimuuoksella F Z m TKK (c) Ilkka Melli (4) 95 TKK (c) Ilkka Melli (4) 96

17 TKK (c) Ilkka Melli (4) 97 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma F-jakauma: Tihesfuktio johto 6/6 Soveltamalla satuaismuuttuja lieaarimuuokse tihesfuktio kaavaa (ks. kappaletta Satuaismuuttujie muuoste jakaumat) saadaa F(m, )-jakauma tihesfuktioksi m+ m m+ m m m ff ( ) m + Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma t-jakauma /4 Oletetaa, että satuaismuuttujat, Y, Y,, Y ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa:, Y, Y,, Y ~ N(, ) Y i ~ N(, ), i,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) 98 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma t-jakauma /4 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma t-jakauma 3/4 Määritellää satuaismuuttuja Y Y + Y + + Y Satuaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia, oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa N(, ) ja Y oudattaa χ -jakauma määritelmä mukaa χ -jakaumaa :llä vapausasteella: N(,) Y χ ( ) Y Määritellää satuaismuuttuja t Y / Y jossa siis N(,) Y χ ( ) Y Satuaismuuttuja t oudattaa t-jakauma määritelmä mukaa Studeti t-jakaumaa vapausastei (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia): t ~ t() TKK (c) Ilkka Melli (4) 99 TKK (c) Ilkka Melli (4) Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma t-jakauma 4/4 Satuaismuuttuja t ~ t() tihesfuktio o + ft ( ) π + jossa ( ) o Euleri gammafuktio: z t ( z) t e dt + TKK (c) Ilkka Melli (4) Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma t-jakauma: Tihesfuktio johto /4 Määritellää satuaismuuttuja t Y jossa N(,), Y χ ( ), Y Tällöi t ~ t() Kätetää satuaismuuttuja t tihesfuktio lausekkee + + ft ( ) π + perustelemisessa hväksi sitä, että t ~ F(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4)

18 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma t-jakauma: Tihesfuktio johto /4 Jakauma F(, ) tihesfuktio o + ff ( z) z z + π + + z π + z + Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma t-jakauma: Tihesfuktio johto 3/4 Koska t z jossa z ~ F(, ) pätee seuraava tulos, ku > : Pr( t ) Pr( t ) Pr( t ) Pr( z ) F ( ) jossa F F o jakauma F(, ) kertmäfuktio. F TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma t-jakauma: Tihesfuktio johto 4/4 Derivoimalla htälö Pr( t ) FF ( ) saadaa satuaismuuttuja t tihesfuktioksi, ku > : ft( ) ff( ) Site jakauma t() tihesfuktioksi saadaa lopulta + + ft ( ) π + Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie satuaismuuttujie osamäärä jakauma >> Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie miimi jakauma / Avaisaat Ekspoettijakauma Kertmäfuktio Maksimi Miimi Satuaismuuttuja Tihesfuktio Todeäköissjakauma Oletetaa, että satuaismuuttujat,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa jakaumaa, joka kertmäfuktio o F(x):,,, i ~ F(x), i,,, Olkoo satuaismuuttuja () satuaismuuttujie,,, miimi: () mi{,,, } TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8

19 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie miimi jakauma / Satuaismuuttuja () mi{,,, } kertmäfuktio o F () [ F(x)] Jos satuaismuuttujat,,, ovat lisäksi jatkuvia ja iide tihesfuktio o f(x) F (x) ii satuaismuuttuja () mi{,,, } tihesfuktio o f () [ F(x)] f(x) Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie miimi jakauma: Perustelu /3 Oletetaa, että,,, i ~ F(x), i,,, Olkoo () mi{,,, } TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie miimi jakauma: Perustelu /3 Soveltamalla kertmäfuktio määritelmää, komplemettitodeäköisde kaavaa ja satuaismuuttujie,,, riippumattomuutta satuaismuuttuja () mi{,,, } kertmäfuktioksi saadaa: F() ( x) Pr( x) () Pr( > x) () Pr( > x ja > x ja ja > x) Pr( > x)pr( > x) Pr( > x) [ Pr( x)][ Pr( x)] [ Pr( x)] [ F( x)][ F( x)] [ F( x)] [ F( x)] Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie miimi jakauma: Perustelu 3/3 Oletetaa lisäksi, että satuaismuuttujat,,, ovat jatkuvia ja iide tihesfuktio o f(x) F (x) Tällöi satuaismuuttuja () mi{,,, } tihesfuktio saadaa derivoimalla satuaismuuttuja () kertmäfuktio lauseke: d f() ( x) F () ( x) { [ F( x)] } dx [ F( x)] [ F ( x)] [ F( x)] f( x) TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie miimi jakauma: Ekspoettijakauma / Oletetaa, että riippumattomat satuaismuuttujat,,, oudattavat samaa ekspoettijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametriaa λ :,,, i ~ Exp(λ), i,,, Satuaismuuttujie,,, kertmäfuktio: F( x) e λx Satuaismuuttujie,,, tihesfuktio: f ( x) F ( x) e λx λ Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie miimi jakauma: Ekspoettijakauma / Määritellää satuaismuuttuja () mi{,,, } Satuaismuuttuja () kertmäfuktio: λx F() ( x) [ F( x)] [ ( e )] λx e Satuaismuuttuja () tihesfuktio: d λx f() ( x) F () ( x) ( e ) dx λx λe Site samaa ekspoettijakaumaa Exp(λ) oudattavie satuaismuuttujie,,, miimi () oudattaa ekspoettijakaumaa parametriaa λ : () ~ Exp(λ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4

20 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie maksimi jakauma / Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie maksimi jakauma / Oletetaa, että satuaismuuttujat,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa jakaumaa, joka kertmäfuktio o F(x):,,, i ~ F(x), i,,, Olkoo satuaismuuttuja () satuaismuuttujie,,, maksimi: () max{,,, } Satuaismuuttuja () max{,,, } kertmäfuktio o F () [F(x)] Jos satuaismuuttujat,,, ovat lisäksi jatkuvia ja iide tihesfuktio o f(x) F (x) ii satuaismuuttuja () max{,,, } tihesfuktio o f () [F(x)] f(x) TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie maksimi jakauma: Perustelu /3 Oletetaa, että,,, i ~ F(x), i,,, Olkoo () max{,,, } Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie maksimi jakauma: Perustelu /3 Soveltamalla kertmäfuktio määritelmää ja satuaismuuttujie,,, riippumattomuutta satuaismuuttuja () max{,,, } kertmäfuktioksi saadaa: F( ( x) Pr( x) ) ( ) Pr( xja xja ja x) Pr( x)pr( x) Pr( x) F( x) F( x) F( x) [ F( x)] TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie maksimi jakauma: Perustelu 3/3 Oletetaa lisäksi, että satuaismuuttujat,,, ovat jatkuvia ja iide tihesfuktio o f(x) F (x) Tällöi satuaismuuttuja () max{,,, } tihesfuktio saadaa derivoimalla satuaismuuttuja () kertmäfuktio lauseke: d f( ) ( x) F ( ) ( x) [ F( x)] dx Fx [ ( )] F ( x) Fx [ ( )] f( x) Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie maksimi jakauma: Ekspoettijakauma / Oletetaa, että riippumattomat satuaismuuttujat,,, oudattavat samaa ekspoettijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametriaa λ :,,, i ~ Exp(λ), i,,, Satuaismuuttujie,,, kertmäfuktio: F( x) e λx Satuaismuuttujie,,, tihesfuktio: f ( x) F ( x) e λx λ TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4)

21 TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Satuaismuuttujie maksimi jakauma: Ekspoettijakauma / Määritellää satuaismuuttuja () max{,,, } Satuaismuuttuja () kertmäfuktio: x F( ) ( x) [ F( x)] ( e λ ) Satuaismuuttuja () tihesfuktio: d λx f( ) ( x) F ( ) ( x) ( e ) dx λx λx λe ( e ) Site samaa ekspoettijakaumaa Exp(λ) oudattavie satuaismuuttujie,,, maksimi () ei oudata mitää tavaomaista jakaumaa toisi kui iide miimi (), joka oudattaa ekspoettijakaumaa parametriaa λ.