Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta tavosta, jolla hotelln vodaan sjotaa verata. Täyttä huonetta tarottaa numero 1 ja tyhjää. Esmers 111... tarotaa, että partonnumeroset huoneet ovat varattuja ja parllsnumeroset vapata. Muutaman pävän aheran työn jäleen hotelln johtaja tul Ion the Quetn luo muanaan ptä lsta. Ion vätt, että lstalla e vo olla aa mahdollsa tapoja veraden sjottamses. Mten hän perustel vätteensä? Jos hotelln johtajan teemä lsta ssältäs a tavat täyttää huoneet, tarottas se stä, että tapoja ols numerotuvast ääretön määrä. Nän e utenaan ole, vaan erllastan täyttötapojen jouo on ylnumerotuvast ääretön. Tämän vo osottaa johtamalla vastaoletusesta rstrdan: Oletetaan, että on olemassa bjeto luonnollsten luujen jouon ja täyttötapoja esttäven jonojen jouon välllä. Tämä tarottas stä, että tällasten jonojen jouo votasn esttää muodossa {x : N, x a a 1 a 2 a 3...}, mssä joanen a j on joo ta 1 ja a nj a mj anan yhdellä j N, un x n x m. (Tosn sanoen, tällasten jonojen jouo vottasn järjestää jonos el "luetteloda". Konstruodaan nyt jono y seuraavast { jos amm 1 y b b 1 b 2 b 3..., mssä b m 1 jos a mm el jono y luu b m on er un jonon x m a m a m1 a m2 a m3... luu a mm. Nyt, osa jono y muodostuu luvusta ja 1, tuls sen uulua täyttötapoja lmaseven jonojen juooon, mutta y x n alla n N, sllä jos ols y x n tuls olla b n a nn, mutta jono y on määrtelty juur sten että nän e ole, mä on haluttu rstrta. 2. Osota ndutolla, että alla luonnollslla luvulla n 1. 1 1! 2 2!... n n! (n 1! 1 Tapaus n1, Induto-oletus Nyt 1 1! 1 2 1 (1 1! 1. 1 1! 2 2!...! ( 1! 1, jollan N. 1 1! 2 2!...! ( 1 ( 1!.o. ( 1! 1 ( 1 ( 1! ( 1 ( 1 ( 1! 1 ( 2( 1! 1 ( 2! 1 ( ( 1 1! 1
2 ja sten ndutoperaatteen nojalla aava pätee alla n N, jolla n 1. 3. Eräässä erhossa on 25 jäsentä. Kuna monella tavalla vodaan valta (a nelhennen johtounta, (b puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, shteer ja rahastonhotaja? (a (b ( 25 25! 22 23 24 25 336 1265. 4 4!(25 4! 1 2 3 4 24 25 24 23 22 336. Huomaa, että (a-ohdassa oltn nostuneta van 25 alosen jouon 4 alosten osajouojen määrästä, un taas (b-ohdassa ol mertystä sllä ua henlöstä mhnn tehtävään tulee valtus. 4. Kuna monta erllasta sanaa vodaan muodostaa sanan MIMMI rjamsta, jos rjama vo myös jättää äyttämättä? Lasetaan ensn una mona tetyn ptusa sanoja rjamsta vodaan muodostaa. Oloon n sanan ptuus ja snä oleven I-rjanten luumäärä. (Lasu votasn yhtä hyvn tehdä myös M-rjanten luumäärän suhteen. n: ( 1 el on van ys tapa muodostaa tyhjä sana, jossa e ole yhtään rjanta. (Tyhjän sanan määrttelemnen oeas sanas saattaa uulosta ummalta, mutta tällaselle määrtelmälle on äyttöä anan ns. automaatten teorassa. n1: appaletta. n2: appaletta. ( 2 ( 1 ( 2 1 ( 1 1 1 2 1 ( 2 1 2 1 4 2
3 n3: ( ( ( 3 3 3 1 3 3 7 1 2 appaletta. Huomaa, että I-rjama on ana äytössä enntään 2 appaletta. n4: ( ( 4 4 4 6 1 1 2 appaletta. Nyt I -rjama on pao äyttää vähntään 1 appale, osa M- rjama on äytössä enntään 3 appaletta. n5: ( 5 1 2 appaletta. Tässä on a rjamet pao äyttää. Kaen aaan sanoja vodaan ss muodostaa appaletta. 5. Todsta: 1 2 4 7 1 1 34 2 n ja ( 1, mssä ensmmänen aava pätee alla n N ja tonen alla n N, jolla n 1. Käytämme tässä ja seuraavann tehtävän ratasussa Pascaln dentteettä ( ( ( n n 1 n 1, 1 joa pätee alla n, N, jolla < n. 1. Väte: n ( n 2 n, alla n N. Todstus: Tapaus n, Induto-oletus Nyt ( ( 1 2. 2 n, jollan n N. n1 ( 1 n 1 n 1 (( ( n 1 1 n 1 1 1 1 1
4 n1 1 1 ( 1 1 ( n 2 n1 1 1 1 1 1 1 1 ( n.o. 2 2 n 2 n1. 1 Käytmme toses vmeselle rvlle sryttäessä dentteettä n1, 1 mssä on yse pelästään ndesonnn vahdosta. 2. Väte: n ( 1( n, alla n N, jolla n 1. n 1, osa n 1 > n Todstus: Tämä todstus onn pelä lasu, eä ss vaad ndutota. ( ( n n (( ( n 1 n 1 ( 1 ( 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ( 1 1 ( 1 1 ( n 1 ( 1 ( 1 1 1 1 ( 1 ( 1 1 ( 1 ( ( n 1 ( 1 ( 1 1 ( n 1 ( 1 1 ( ( n 1 n 1 ( 1 ( 1 n n 1, osa n > n 1 1 ( 1. Käytmme olmannelle rvlle srryttäessä dentteettä 1 n 1 1 ( 1 1 ( 1, 1 1 mssä on taas yseessä pelä ndesonnn vahto. 6. Todsta Bnomlause: (a b n a b n. Väte: (a b n n ( n a b n, alla n N.
5 Todstus: Tapaus n, Induto-oletus Nyt Tosaalta n1 ( n 1 el ( ( a b a b 1 (a b. 1 (a b n a b n, jollan n N. (a b n1 (a b(a b n.o. (a b a b n1 (a 1 b n a b n1. a b n ( n1 n 1 ( n 1 a b n1 1 1 a b n1 n1 (( ( n 1 1 n 1 1 a b n1 a b n1 1 1 a 1 b n a b n1 1 (a 1 b n a b n1 n1 1 (a b n1 a b n1. a b n1 Käytmme lasussa Pascaln dentteettä, edellä olleesta tehtävästä tuttua ndesonnn vahtoa, seä stä että 1 ( n. Lsähuomota: Mäl ensn todstaa tehtävän 6. Bnomlauseen, seuraavat tehtävän 5. aavat stä. Tällön nmttän 2 n (1 1 n } 1 1 {{ n }, alla n N, 1 un a 1 ja b 1 (ndes on vahdettu ndess. Seä ( 1 1 n ( 1 1 } n {{}, alla n N, n 1, 1 un a 1 ja b 1.
6 Luentomonsteessa Pascaln dentteetn sanotaan pätevän arvolla < < n, se pätee lsäs myös, un n > muodossa ( ( ( n n 1 n 1, n n 1 n 1 1 osa määrtelmän nojalla ( m m 1, alla m N ja ( j, ana un j >.