Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Transkriptio

1 Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R, f() = a on asvava ja sen arvojouo on väli (0, ). Jos 0 < a < 1, niin esponenttifuntio f : R R, f() = a on vähenevä ja sen arvojouo on väli (0, ). Alla on esitelty muutamia esponenttifuntioon liittyviä tulosia: 1) a 0 = 1 ja a 1 = a. ) a > 0 aina, un on reaaliluu. 3) Kun ja y R, niin a = a y = y. 4) Jos a > 1, niin aiilla reaaliluvuilla ja y pätee: a < a y < y. 5) Jos 0 < a < 1, niin aiilla reaaliluvuilla ja y pätee: a < a y > y. Esimeri = = 3 = 1 = 1/ Esimeri. < 1 8 < 5 < 3 < 3/ 5. Oloot a ja b ovat positiiviluuja ja ja y reaaliluuja. Tällöin on voimassa: y + y a y 1) a a = a, = a, y a a a ) ( ab ) = a b, =, b b 3) ( a ) y = a y, 4) 1 1 = a =. a a Esimeri < 3 3 < < 3 < < / 3. < 3

2 Esimeri 4. e = e ( 1) / e = 0 e = e 1 1 = 0 = 1. = = 0 Kantaluu e,7188 on n. Neperin luu, ja funtiota matematiiaohjelmissa Ep( ). e meritään usein varsinin Logaritmifuntio Oloon 1 positiivinen reaaliluu. Kun on positiivinen reaaliluu, yhtälön y = reaaliluurataisua y sanotaan luvun -antaisesi logaritmisi ja siitä äytetään merintään y = log. Täten y = log y = ( > 0, y R). Luua nimitetään logaritmin log antaluvusi. Briggsin logaritmi lg määritellään -antaisena logaritmina: y = lg = log y =. Logaritmia, jona antaluuna on Neperin luu e, sanotaan luonnollisesi logaritmisi ja siitä äytetään merintää ln : y = ln = log e e y =. Esimeri 5. a) log 8 = 3, sillä 3 = 8. b) log 39 =, sillä 3 = 9. c) lg 0 =, sillä = 0. d) ln e = 1, sillä e 1 = e. e) ln 1 = 0, sillä e 0 = 1. f) log 4 = 1/, sillä 4 1/ = 4 =. g) log ( ) ei ole määritelty. Tarastellaan seuraavasi logaritmien lasusääntöjä. Kun ja y ovat positiivisia reaaliluuja ja r on reaaliluu, niin 1) log (y) = log + log y, ) log = log log y, y 3) log r = r log, 4) log 1 = 0, log = 1, 5) log r = r, log =. Esimeri 6. a) log ( 3 y ) = = log 3 + log y = 3 log + log y. b) lg 00 = lg 3 = 3 lg = 3 1 = 3. c) lg 0,0001 = lg 4 = 4 lg = 4 1 = 4.

3 a d) ln = ln a ln b = ln a ln b. b 1 e) log = log 1 log a = log a. a n 1/ n 1 f) log a = log a = log a. n Logaritmeilla lasettaessa tarvitaan aina silloin tällöin annanvaihtoa siitä syystä, että lasimista löytyvät vain -antainen ja luonnollinen logaritmi (vaia ysiin tosin riittäisi). Kannanvaihto suoritetaan seuraavasti: un 1 ja ovat positiiviluuja, niin ln 7 1,9459 Esimeri 7. lg7 = 0, ln,30585 log ln =. ln Jos > 1, niin funtio f : (0, ) R, f() = log on asvava ja sen arvojouo on R. Jos 0 < < 1, niin funtio f : (0, ) R, f() = log on vähenevä ja sen arvojouo on R. Oloot 1, ja y positiiviluuja. Tällöin on voimassa: 1) log = log y = y. ) jos > 1, niin log < log y < y. 3) jos 0 < < 1, niin log < log y > y. Esimeri 8. 3 = 5 ln 3 = ln 5 ln 3 = ln 5 ln5 1, = 1, ln 3 1,09861 Esimeri = ln(4 3 ) = ln ln 4 + ln 3 = ln ( )ln 4 + ln 3 = ln (ln 4 + ln 3) = ln 4 + ln ln 1 = ln 4 + ln ln 1 = ln 16 + ln ln 1 = ln (16 ) ln3 3,46574 = 1, ln1,48491

4 Esimeri. Laivassa on asi moottoria, joiden aiheuttama melutaso matustajahytissä on 70 db (desibeliä). Kapteeni päättää varmistaa matustajien unen ja hän hidastaa laivan vauhtia yöajasi pysäyttämällä toisen moottorin. Kuina paljon hytin melutaso putoaa, jos muiden melunlähteiden vaiutus oletetaan erittäin vähäisesi? Melutaso L määritellään decibeleinä seuraavan logaritmiyhtälön avulla: I L = log 1, missä I on äänen intensiteetti watteina neliömetriä ohti. Alusi lasetaan, miten suuri äänen intensiteetti hytissä vaiuttaa: 70 I => = log = I => = => I = * = = 0, Kun toinen moottoreista pysäytetään, äänen intensiteetti putoaa puoleen eli sen arvosi tulee 0, W/m. Nyt voidaan lasea uusi melutason arvo: 1 5 * = L log = log = (log + log ) = log L 67dB Melutason pudotus on niin vähäinen, että apteenin annattaa vaavasti harita toisen moottorin sammuttamista. Esimeri 11. Rataise 0 + = 1. Yhtälöä ei voi rataista ottamalla logaritmia puolittain, osa summan logaritmille ln(a + b) ei ole äyttöelpoista aavaa. Sen sijaan merittäessä y = saadaan 0 = ( ) = ( ) = y, ja yhtälön rataiseminen palautuu toisen asteen yhtälön rataisemiseen: 0 + = 1 [Meritään y =.] y + y 1 = 0 y = 1/ tai y = 1 y = 1/ [Juuri y = 1 ei elpaa, osa y = > 0.] = ½ lg = lg(1/) lg = lg = lg 0,301 [lg = 1]

5 Esimeri 1. lg( 1) = [Oltava 1 > 0 eli > ½.] 1 = = 1 = 50,5. Esimeri 13. ln( 1) + ln( + 1) =ln 3 [Oltava > 1.] ln(( 1)( + 1)) = ln 3 ( 1)( + 1) = 3 1 = 3 = 4 = (arvo - ei äy). Esimeri 14. lg(3 + 1) < [Oltava > 1/3.] lg(3 + 1) < lg < 0 1/3 < < 33. Esimeri 15. Radioatiivisen aineen massa hetellä t on muotoa m(t) = m 0 e λt, missä λ on positiivinen vaio ja m 0 = m(0) on aineen massa hetellä t = 0. Millä hetellä t massasta on enää jäljellä 1 %, un massan tiedetään puoliintuvan 1400 vuodessa? Rataistaan yhtälöstä m(1400) = m 0 / parametri λ: m 0 e 1400λ = m 0 / e 1400λ = 1/ ln e 1400λ = ln(1/) 1400λ = ln ln λ = Rataistaan t yhtälöstä m(t) = m 0 /0: m 0 e λt = m 0 /0 e λt = 1/0 ln e λt = ln(1/0) λt = ln0 ln ln0 t = = λ ln Täten massasta on jäljelle 1 % noin 9300 vuoden uluttua.

6 at Esimeri 16. Ravintoliuosessa olevien bateerien luumäärä Nt () = Ne 0. Liuosessa olevien bateerien määrä oli eräällä hetellä 000 pl/ cm 3 ja 4 tuntia 15 minuuttia myöhemmin pl/ cm 3. Määritä se aia, jona liuosessa olevien bateerien määrä a) asinertaistuu, b) olminertaistuu, c) ymmenertaistuu. N(0) = 000 N = ,5a ln 5,5 N(4, 5) = e = 100 a= 4, 5 Nt ( ) = 000e ln5,5 t 4,5 1 a) ( ) ( 1) at at Nt = Nt e = e ln( ) at = ln + at1 t ln 4,5ln = = a ln5,5 t1 1,73 (h) b) Nt ( 3) = 3 Nt ( 1) 3 1 4, 5ln 3 t t =, 74 (h) ln 5,5 4, 5ln c) N ( t4 ) = N ( t1) t4 t1 = 5, 74 (h) ln 5,5 Esimeri 17. Tavallisissa lämpötiloissa appaleen jäähtyminen voidaan tyydyttävällä t taruudella esittää muodossa Tt () = Ty + ( T0 Ty) e, missä T 0 = appaleen alulämpötila, T y = ympäristön lämpötila (vaio), ja = jäähtymisvaio. Kappaleen valmistusprosessin aiana appaleen lämpötilan annettiin pudota arvosta 15 C arvoon 50 C jäähdyttämällä appaletta 1,5 minuuttia tunnelissa, jona lämpötila oli 15 C. Kuina paljon tunnelissaoloaiaa on pidennettävä, jos loppulämpötilasi halutaanin 40 C? 1,5 ln1 ln 35 T 0 = 15 T(1,5) = (15 15) e = 50 = 1,5 Tt ( ) = e ln1 ln35 t 1,5 5 1,5 Tt ( 1) = 40 t1 = ln 16, 1 ln1 ln 35 t = t 1 1,5 3, 7 (min) (min)

7 Esimeri 18. Liuosen ph on vetyionionsentraation (-väevyyden) ymmenantaisen logaritmin vastaluu, ts. ph = lg[ H + ]. a) Lase ph, un [H + ]=0,001 mol / l. b) Miä on liuosen vetyionionsentraatio, un ph=4,8? a) b) 3 lg 0, 001 lg ( 3) 3 liuos hapan ph = = = = + + 4, ,8 = lg[ H ] [ H ] = = 1,6 (mol / l) 4,8 Esimeri 19. Äänen voimauus I L = lg db, I0 missä I on intensiteetti (äänen siirtämä energia pinta-ala- ja aiaysiöä ohden) ja I 0 = -16 W / cm (W = J / s). a) Määritä äänen voimauus, un intensiteetti on - W / cm. b) Lase intensiteetti, un äänen voimauus on 80 db. c) Tehdassalin hälytyslaitteen äänen voimauus on 80 db. Montao laitetta tarvitaan, jotta äänen voimauus on 1 db? a) b) 6 L = lg = lg = 6lg = 60 (db) I 8 I = 80 = lg lg I lg = 8 lg I = 8 + ( 16 lg) = c) 1 = lg 11 = lg( ) lg = 11 lg = 11 8 = 3 3 = = 00