Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi:

Transkriptio

1 77 Aemmn oleen, eä mars A on dagonalsouva. Tällanen on lanne äsmälleen sllon, un joasen omnasarvon geomernen eraluu on sama un algebrallnen. Täydenneään eoraa seuraavlla uloslla apaussa, jossa monnerasen omnasarvon geomernen eraluu on ys: Oloon A:n omnasarvon λ algebrallnen eraluu, geomernen eraluu ja veor u λ:aa vasaava omnasveor. Sllon as λ:aa vasaavaa lneaarses rppumaona syseemn x' = Ax raasua ova () e λ u ja e λ u + e λ v. mssä veor u ja v raasaan yhälösä () (A-λI)u =, (A-λI)v = u. (Todseaan sjoamalla () yhälöön x' = Ax. Ensmmänen yhälö lmasee sen, eä u on A:n omnasveor.) Edelleen, jos λ:n algebrallnen eraluu on ja geomernen eraluu, nn lneaarses rppuva raasuja dfferenaalyhälösyseemlle ova () e λ u, e λ u + e λ v ja ½ e λ u + e λ v + e λ w, mssä u, v ja w raasaan perään yhälösä () (A-λI)u =, (A-λI)v = u, (A-λI)w = v. Nän synyvä veor v, w ova yleseyjä omnasveorea. Vodaan odsaa, eä joasella n n-marslla A on n lneaarses rppumaona yleseyä omnasveora. Yhälön () yhälöden määrämä veorjono u, v, w on (eräs) yleseyjen omnasveoren eju, jona puus on. Esm. Raasaan dfferenaalyhälösyseem x'() = 5 4 x(). 5

2 78 Omnasarvo: 5 λ 4 λ = (5 λ)( λ(5 λ) 4) ( 4)(5 λ) = (5 λ)( λ 5 λ) = 5 λ λ = 5, λ =, Omnasveor omnasarvolle 5: x+ x =, x =, van ys lneaarses rppumaon: esm. u =. Tonen raenneava aavan (4) avulla (ylesey omnasveor): 4 5 5/ ( A 5 I) v = u 5 ½ ½ 5/ x+ x = 5/, x = ½, v = ½ + s, valaan esm. s =, jollon ½ v = ½. 4 Omnasarvon omnasveors saadaan vasaavas w = 5. Ss ylenen raasu on aavan () muases: ½ x () = ce + c( e + e ½) + c 5.

3 79 Ylesemmä lanee johava marsen Jordann anonsen muodon äyöön. Jos A on n n-mars, nn on olemassa sellanen äänyvä mars P, eä (4) P AP= J J J s = : J, mssä Jordann loho ova (5) J = λ λ λ. λ Muooa (4) sanoaan marsn A Jordann anonses muodos. Marsn omnasarvo ova λ, =,, s. Jos omnasarvo on ysneranen (alg(λ )=), Jordann loho on ooa. Jos dfferenaalsyseemn erronmars on Jordann loho, nn raasu on ysneranen: Lause Yhälön (6) x = Jx, jossa Jordann loho J on ooa, ylenen raasu on (7) x() = e M () c, mssä λ

4 8 (8)!! ( )! M () =.! Todsus: Yhälö (6) on au rjoeuna (9) x = λ x + x x = λ x + x x = λ x + x x = λ x. Raasaan se vmesesä aloaen: λ () x ( ) = e c, ja sjoeaan ämä oses almpaan yhälöön: () x λ λ x = e c. Tämän ensmmäsen eraluvun lneaarsen vaoeromsen epähomogeensen yhälön raasu on λ λ λ λ () x = e ( c + e e cd) = e ( c + c), joa sjoeuna olmannes vmeseen yhälöön anaa yhälös () x x e λ ( c c λ = + ) ja raasus

5 8 (4) λ λ λ λ x = e ( c + e e ( c + c) d) = e ( c + c + c ). Täsä nähdään nduvses, eä väe on os. Tarasellaan ny dfferenaalyhälösyseemä (5) x = Ax, jossa mars A on muunneu smlaarseen Jordann anonseen muooonsa äänyvällä marslla P: (6) P AP= J. Teemällä muuujanvaho (7) x= Pz saadaan yhälö (5) muunneua muooon (8) Pz = APz z = P APz= Jz el yhälös (9) z = Jz. Tämä osuu erllsen osaryhmen npus () z = Jz =,, s joden ylese raasu ova lauseen nojalla () z() = e M () c = : Dc =,, s, λ mssä on nelömarsn J eraluu. Sllon oo ryhmän (9) raasu on

6 8 () z Dc D c z Dc D c = =. zs Dscs Ds cs Kooaan ulose lausees: Lause. Oloon P sellanen äänyvä mars, joa muunaa marsn A Jordann anonseen muooon P AP= J. Sllon dfferenaalyhälösyseemn x = Ax ylenen raasu on x() = PD() c, mssä D () on loholävsäjämars D () D( ), Ds( ) jona loho ova λ D() = e M () =,, s. Aluehdon x() = x oeuava raasu on x() = PDP x. Todsus: Seuraa edellä ehdysä araselusa. Aluehdon oeuumnen nähdään seuraavas: x() = PD() c= Pc= x c= P x.

7 8 Seuraavas arasellaan (ysnerasen) omplessen omnasarvon λ=α+β apausa. Mars A oleeaan reaalses ja dfferenaalyhälösyseemlle haeaan nmenomaan reaalsa raasuja. Reaalsen marsn omplesse omnasarvo esnyvä loluuparena λ, =α±β. Sllon yleensä myös vasaava omnasveor ova omplesveorea, ja reaalmarsn apausessa ne ova osensa loveorea. Suoralla sjousella odeaan, eä jos v on vasaava omnasveor, nn () e (α+β) v on syseemn raasu (omplesnen), ja sen reaal- ja magnaarosa ova myös. Ne ova sllon as omnasarvoon λ =α+β lyvää reaalsa raasua. Kosa omnasarvoon λ =α-β lyvä sama reaalse raasu, saadaan nää aha omplessa omnasarvoa vasaamaan lopula as reaalsa raasua (4) Re(e (α+β) v) ja Im(e (α+β) v). Jos merään v=a+b, saadaan sllon yhälösä e (α+β) v=e α e β v = e α (cos(β)+sn(β))(a+b) = e α (cos(β)a-sn(β)b +(cos(β)b+sn(β)a)) raasujen muodos (5) x () = e α (cos(β)a-sn(β)b) ja x () = e α (cos(β)b+sn(β)a)). 8 Esm. Tarasellaan aluarvoehävää x' = x, x()=. Kerronmarsn omnasarvo ova ±, ja vasaava omnasveor v= +, josa reaalosa a = ja magnaarosa b =. Syseemn ylenen raasu on ss x()=c (cos -sn )+c (cos +sn ). Aluehdo oeuuva, un vaolla on arvo c =, c =.

8 84 5. Epähomogeennen lneaarnen vaoeromnen syseem Tarasellaan seuraavas epähomogeensen yhälön aluarvoprobleemaa: () x'() = Ax() + b(), x()=x. Tässä A on edelleen vaomars ja funo b jauva. Olemassaolo- ja ysäsesyyslauseen muaan ysäsenen raasu on olemassa. Palaueaan ensn meleen ylenen yheys homogeensen ja epähomogeensen lneaarsen dfferenaalyhälösyseemen vällle: Epähomogeensen yhälön ylenen raasu on homogeensen yhälön ylenen raasu plus epähomogeensen yhälön jon ysysraasu. El jos x h on homogeensen syseemn x'=ax ylenen raasu ja x p epähomogeensen syseemn x'=ax+b ysysraasu, nn epähomogeensen syseemn ylenen raasu on x=x h +x p. Epähomogeensa yhälöä vodaan (varsnasen numeersen meneelmen lsäs) raasa usealla er meneelyllä, josa eselemme seuraava: vaoden varon, elmnonmeneelmä, määräämäömen eromen meneelmä ja Laplace-muunnosen äyö. 5. Vaoden varon Haeaan vn raasun muodolle aas ysuloesesa apausesa: Yhälön x'( ) = ax( ) + b( ) ylenen raasu on x()=e a c + e a e -a b()d ja aluarvoprobleeman raasu aluehdolla x() = x x()=e a a( s) x + e b() s ds.

9 85 Koellaan ss n-uloeselle syseemlle aluarvoehävän raasus () x()=e A x + ea(-s) b(s) ds, joa dervomalla ja sjoamalla odeaan raasus. Se on ss olemassaolo- ja ysäsesyyslauseen peruseella probleeman () ysäsenen raasu. Ylenen raasu saadaan orvaamalla x ylesellä vaoveorlla c. Esm. Raasaan aluarvoprobleema x'() = 4 x()+ e, x()=. A:n omnasarvo ova -5 ja -, vasaava omnasveor v = & = v. Sllon A:n dagonalson anaa esponenfunon: e A 5 5 e e = e =. e Ss aluarvoehävän raasu on aavan () muases () = A A( s) + ( ) x e x e b s ds 5 5( s) e e s = + ds ( s) s e e e 5 5s 4s e ( e s 5 e ) ds 5 e ( 4 ) e s s e ( e s+ e ) ds = + (mars yhesenä ejänä)

10 e 5 ( 5 e + e = 4 ) + e + e + 6e ( e + e 9 ) e 6e = e + e + e = e + e 5 e