Modaalilogiikan harjoitusteht vi Aatu Koskensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesim

Transkriptio

1 Modaalilogiian harjoitusteht vi Aatu Kosensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesimerin avulla. Otamme ehysisi F 1 = hz? ;?i ja F 1 = hz + ; Z + Z + i. Kehysess F 1 joainen muotoa A oleva aava on selv sti validi, un taas F 1 :ss ei. Jos olisi Th(F 1 F 2 ) = Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) t ytyisi siis p te joaisella aavalle A F 1 F 2 A, osa A 2 Th(F 1 ) ja siten A 2 Th(F 1 ) [ Th(F 2 ). Mutta jos valitsemme A = p 1 :p 1 huomaamme, ett A ei voi p te miss n F 2 :sta F 1 F 2 :n tulleessa maailmassa, joten Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ). b) V ite Th(F 1 F 2 ) = Th(F 1 ) \ Th(F 2 ) pit paiansa. Evivalentissa muodossa v ite uuluu F 1 F 2 A, (F 1 A ja F 2 A). Osoitamme, ett un w 2 F i, hf 1 F 2 ; P i; w A joss hf i ; P i; w A. Oletetaan siis, ett hf 1 F 2 ; P i; w A. Indutiivisen totuusm ritelm n muaan tied mme, ett A:n totuus riippuu propositiolauseiden totuudesta w:ss se niiss maailmoissa, joihin w:st p see. w:st p see uitenin vain F i :n maailmoihin, josta seuraa, ett hf i ; P i; w A, hf 1 F 2 ; P i; w A. Kun huomioimme, ett jos aava A on totta aiissa F 1 F 2 :n mallien maailmoissa, on se edellisen huomion muaan totta eriseen joaisessa F 1 :n ja F 2 :n mallien maailmoissa, saamme tulosesi, ett F 1 F 2 A jos ja vain jos F 1 A ja F 2 A. 1.2 Teht v 197 A B! C Osoitamme, ett p ttelys nt (RR) A B! C A B! C. Voimme silloin p tell seuraavasti: 1. A B! C (Oletus) 2. A! (B! C) (PL, 1) 3. A! (B! C) (RM, 2) 4. (B! C)! (B! C) (K) 5. A! (B! C) (PL, 2, 4) 6. A B! C (PL, 5) on johdettavissa. Oletetaan, ett on p telty 1.3 Teht v 203 Todistamme `K (A B), A B: 1. A B! A (PL) 2. A B! B (PL) 3. (A B)! A (RM, 1) 4. (A B)! B (RM, 2) 5. (A B)! A B (PL, 3, 4) 6. B! (A! A B) (PL) 7. B! (A! A B) (RM, 6) 1

2 2 Osio 2 8. (A! A B)! (A! (A B)) (K) 9. (A B) $ A B (PL, 5, 7, 8) 1.4 Teht v 213 Todistamme indutiolla n:n suhteen, ett A! B n A! n B. 1. Kun n = 0 on triviaali tapaus, osa 0 A! 0 B = A! B. 2. Oletetaan, ett v ite p tee luuun n asti. T ll in voimme siis A! B:st p tell n A! n B. T m n j leen voimme jataa todistusta seuraavasti: 1. n A! n B (Oletus) 2. ( n A! n B) (RN, 1) 3. ( n A! n B)! ( n A! n B) (K) 4. n A! n B (PL, 3, 2) mutta n A = n+1 A ja n B = n+1 B, joten v ite on todistettu. 1.5 Teht v 256 Prediaattilogiian aava 8w9w 0 P (w; w 0 ) m rittelee seriaalisuuden. Seriaalisuuden m rittelev modaalilogiian aava puolestaan on }(p 1 _ :p 1 ). M ritelm n taustalla on seuraava huomio: maailman w mielest ristiriita voi olla mahdollinen vain jos w:st ei p se mihin n maailmaan. 1.6 Teht v 257 Todistamme edellisen teht v n tulosen oieasi, t.s. hw ; Ri }(p 1 _ :p 1 ), (R on seriaalinen). ( ( ) Oletetaan, ett R on seriaalinen, t.s. 8w9w 0 : wrw 0. p 1 _ :p 1 on lauselogiian tautologia, joten se p tee joaisessa maailmassa mallin propositiosymboleille m ritt m st jaaumasta riippumatta. Kosa joaisesta maailmasta p see jonnein, ja osa p 1 _ :p 1 on totta aiialle, p tee joaisen maailman ohdalla }(p 1 _ :p 1 ). ( ) ) Todistamme impliaation ontrapositiivin: (R ei ole seriaalinen) ) hw ; Ri 2 }(p 1 _ : p 1 ). Kosa R ei ole seriaalinen, on olemassa maailma w, josta ei p se mihin n. Mallin m ritt m st propositiosymbolien totuusjaaumasta riippumatta t llaisessa maailmassa p tee joaiselle aavalle A on totta :}A, joten erityisesti :}(p 1 _ :p 1 ) on totta t llaisessa maailmassa. 2 Harjoitusteht v t Teht v 211 Todistamme, ett `K (}A! B)! (}A! }B): 1. (B :B)! :A (PL) 2. (B :B)! :A (K) 3. (}A! B) :(}A! }B)! }A B :B (PL, DEF}) 4. B :B $ (B :B) (teht v 204) 5. (B :B)! :A 6. }A B :B! :}A 7. :((}A! B) :(}A! }B))

3 ; ; ja ja Harjoitusteht v t (}A! B)! (}A! }B) 2.2 Teht v 223 Jos ` A $ B, niin lauselogiian avulla ` :A $ :B. Mutta t ll in voimme teht v n 222 evivalenssin muaan orvata :A:n A D :ll ja :B:n B D :ll, jolloin saamme ` A D $ B D. 2.3 Teht v 232 Todistamme `S5 (A }B)! A }B: 1. (A }B)! (A }B) (T) 2. (A }B) $ A }B (R, s. teht v 230) 3. }B! }B (T) 4. (A }B)! A }B (PL,1,2,3) 2.4 Teht v 237 Todistamme asinertaisella indutiolla, ett `S5 i A! } j A un i; j 2 N: 1. Kun i = 0 on helppoa todeta indutiolla j:n suhteen, ett `S5 A! } j A: i. Tapaus j = 0 on triviaali: A! A on tautologia ja siten johdettavissa PL:n avulla ii. Jos v ite pit paiansa luuun j = n asti, p tee se my s luuun n + 1 asti, osa voimme p tell : 1. } n A! }} n A (T}) 2. A! } n A (indutio-oletusen muaan) 3. A! }} n A (=A! } n+1 A) (1,2,PL) 2. Oletetaan, ett v ite p tee tapausessa i = n. Osoitamme, ett v ite p tee my s tapausessa i = n + 1 palauttamalla sen tapauseen i = n: 1. n A! n A (harjoitusteht v n 228 muaan) 2. n A! } j A joaiselle j indutio-oletusen muaan. 3. n A! } j A (= n+1 A! } j A) (1,2, PL) 2.5 Teht v 247 Oloon luotettava luoan C suhteen ja oloon olemassa sellainen F 2 C, ett Th(F ) =. T ll in \ Th(F ) = F 2C Oletetaan nimitt in ettei n in ole. Kosa on olemassa sellainen F 2 C, ett Th(F ) =, ainoa tapa, jolla aiien ehysten teoreemojen leiaus ei ole on se, ett jossain ehysess F 2 C ei join :n lause p de. Mutta t ll in ei ole luotettava: se todistaa lauseen, joa ei ole validi joaisessa luoan C ehysess. 2.6 Teht v 248 Oletetaan, ett M B i (i = 1; 2; ) ja M B 1 B! B. Indutiolla voidaan helposti todistaa, ett M B i B! B jos ja vain jos M B 0 ja M B 1 ja M B. Samaten indutiolla huomaamme, ett M B 1 B jos ja vain jos M B 0 ja M B 1 ja M B, joten oletusen muaan M B 1 B. M ritelm n muaan M B 1 B! B jos ja vain jos joaisessa maailmassa w, jossa M ; w B 1 B, M ; w B. Mutta oletusen muaan M B 1 B, joten joaiselle w M ; w B 1 ; B, ja siten oletusen M B 1 B! B muaan M ; w B, joten M B.

4 4 Osio 3 3 Harjoitusteht v t Teht v 228 Todistamme, ett `S5 A $ A: 1. A! A (T) 2. A! A (4) 3. A $ A (PL, 1, 2) 3.2 Teht v 230 Osoitamme, ett `S5 }A $ }A 1. }A! }A (T) 2. }A! }A (5) 3. }A $ }A (PL, 1, 2) 3.3 Teht v 236 Todistamme indutiolla, ett `S5 } n (A _ :A): 1. Kun n = 1 osoittaa seuraava todistus suoraan v itteen 1. A _ :A (PL) 2. A _ :A! }(A _ :A) (T}) 3. }(A _ :A) (1,2, PL) 2. Oletetaan, ett v ite pit paiansa johonin luuun n asti. T ll in siis `S5 } n (A _ : A). Voimme esitt seuraavanlaisen todistusen: 1. } n (A _ :A) 2. } n (A _ :A)! }} n (A _ :A) (T}) 3. }} n (A _ :A) (=} n+1 (A _ :A)) (1,2, PL) joten v ite pit siis paiansa my s = n + 1:lle. Matemaattisen indution periaatteen muaan toteamme siis, ett `S5 } n (A _ :A) joaiselle n 2 N. 3.4 Teht v 274 Todistamme, ett hw ; Ri }p _ p, joaisella w:n maailmalla joo a) ei ole vaihtoehtoisia maailmoja tai b) jollain sen vaihtoehtoisista maailmoista ei ole vaihtoehtoisia maailmoja. (() Oletetaan, ett joainen maailma w t ytt ehdon a tai b. Osoitamme, ett hw ; R; P i; w }p _ p ummassain tapausessa P :st riippumatta. a) Jos maailmalle w ei ole vaihtoehtoisia maailmoja, p tee p triviaalisti b) Maailmalla w on vaihtoehtoinen maailma w 0, joa t ytt ehdon a. T ten siis w }p, osa p on totta w 0 :ss. ()) Todistamme impliaation ontrapositiivin: (hw ; Ri:n maailmat eiv t aii toteuta ehtoa a tai b ) hw ; Ri 2 }p _ p. Valitaan maailma w, joa ei toteuta ehtoa a ei ehtoa b, ja onstruoidaan propositiosymboleille totuusjaauma P, s.e. hw ; R; P i; w 2 }p _ p asettamalla P =?. Kosa ehtoa a ei t yty, ei p voi p te w:ss. Kosa ehto b ei my s n t yty, p see joaisesta maailmasta w 0, johon w:st p see, johonin toiseen maailmaan. Kosa n iss n maailmoissa ei p de p, ei w:ss p de }p.

5 Harjoitusteht v t Teht v 300 Osoitamme, ett F }A _ A ) F }A _ ((B! B)! B). Teht v n 274 tulosen muaan tied mme, ett jos F }p _ p, niin F :n vaihtoehtorelaatiolla R on ominaisuus: joaisesta maailmasta w ei joo a) p se mihin n maailmaan tai b) joillain sen vaihtoehtoisista maailmoista ei ole lainaan vaihtoehtoisia maailmoja. Kosa er s mahdollinen A:n arvo on p seuraa t st tulosesta, ett F }A _ A ) joaisella w:n maailmalla joo a) ei ole vaihtoehtoisia maailmoja tai b) jollain sen vaihtoehtoisista maailmoista ei ole vaihtoehtoisia maailmoja. Oletetaan siis, ett R:ll on t m ominaisuus ja oloon P join totuusjaauma propositiosymboleille. Otetaan nyt join maailma w. Jos w toteuttaa vaihtoehdon b p tee w }A, osa w:n vaihtoehtoisten maailmojen mielest aii on mahdollista, sill niiden mielest mi n toinen maailma ei ole mahdollinen. Oletetaan siis, ett w toteuttaa vaihtoehdon a, t.s. sill ei ole vaihtoehtoisia maailmoja. T ll in ((B! B)! B) on triviaalisti totta w:ss. 3.6 Teht v 301 Tied mme, ett aava }p! p ei ole systeemin K(VB) teoreema. Kuitenin, jos seema }A _ ((B! B)! B) on validi jossain ehysess, edellisen teht v n (rataisussa osoittamattoman evivalenssin suunnan) muaan my s }p! p on. T st seuraa, ettei voi olla ehysten luoaa, joa m ritt isi aii K(VB):n teoreemat, osa aiissa ehysiss se VB:n ja }p! p:n pit isi olla valideja. 3.7 Teht v 305 Oloon? masimaalinen -ristiriidaton jouo. Oletetaan, ett? 0 on sen aito laajennus, t.s. on olemassa A 2? 0, A?. Kosa? on masimaalinen :A 2?, mutta t ll in? 0 on -ristiriitainen, osa ` :(A :A). 3.8 Teht v 306 Oloon? masimaalisesti -ristiriidaton jouo. a) Edellisen teht v n muaan mi n masimaalisesti -ristiriidattoman jouon laajennus ei ole -ristiriidaton. Oletetaan, ett A 2?, mutta ::A?, mist edellisen tulosen muaan seuraa, ett? [ f::ag on ristiriitainen. T ll in uitenin?:in on ristiriitainen, osa ` A $ ::A. b) Oletetaan, ett A 2? ja A! B 2?, mutta B?. T ll in siis? [ fbg on -ristiriitainen. Mutta t st seuraa, ett? on -ristiriitainen, osa ` (A (A! B) :B)! :A ja siten ` :(A (A! B) :B), mi on ristiriidassa oletusen anssa. c) Tied mme, ett A 2? ) B 2 G, B 2 G _ A?. Oletetaan, ett B 2?. T ll in joaiselle A, A! B 2?, osa ` :(B :(A! B)). Oletetaan sitten, ett A?. T ll in :A 2?, ja?:n masimaalisuuden vuosi my s A! B, osa ` :(:A :(A! B)). Toisen suunnan evivalenssista saamme edellisen tulosen perusteella. 4 Harjoitusteht v t 7.5 on johdettava p ttelys nt sys- 4.1 Teht v 214 A Osoitamme indutiolla :n suhteen, ett! A 2 A! B A 1 A 2 teemiss K. 1. Kun = 1 on yseess s nt RM A! B

6 6 Osio 4 2. Oletetaan, ett v ite pit paiansa :n asti. T ll in voimme p tell K:ssa seuraavasti: 1. A 1 2. A 1 3. A 1 A +1! B (Oletus) A! (A +1! B) (PL, 1) A! (A +1! B) (Indutio-oletusen muaan) 4. (A +1! B)! (A +1! B) (K) 5. A 1 A A +1! B (PL, 3, 4) 4.2 Teht v 218 }A n on sys- Osoitamme indutiolla n:n suhteen, ett aava }(A 1 A 2 teemin K teoreema. A n )! }A 1 1. Ensimm inen ei-triviaali tapaus on n = 2. Seuraavassa K-todistus sille: 1. :A 1! :(A 1 A 2 ) (PL) 2. (:A 1! :(A 1 A 2 )) (RN, 1) 3. (:A 1! :(A 1 A 2 ))! (:A 1! :(A 1 A 2 )) (K) 4. (::(A 1 A 2 )! ::A 1 ) (PL, 2,3) 5. }(A 1 A 2 )! }A 1 (4 toisin irjoitettuna) 6. :A 1! :(A 1 A 2 ) (PL) 7. (:A 1! :(A 1 A 2 )) (RN, 6) 8. (:A 1! :(A 1 A 2 ))! (:A 1! :(A 1 A 2 )) (K) 9. (::(A 1 A 2 )! ::A 1 ) (PL, 7,8) 10. }(A 1 A 2 )! }A 1 (9 toisin irjoitettuna) 11. }(A 1 A 2 )! }A 1 }A 2 (PL, 10, 5) 2. Oletetaan, ett v ite pit paiansa luuun n asti. T ll in voimme p tell K:ssa seuraavasti: 1. }(A 1 (A n A n+1 )! }A 1 }(A n A n+1 ) (oletus) 2. }(A n A n+1 )! }A n+1 }A n+1 yll olevan todistusseeman muaan 3. }(A 1 (A n A n+1 )! }A 1 }A n }A n+1 (PL, 1, 2) 4.3 Teht v 264 Todistamme, ett aava (}(p q) }(p r) }(q r))! }(p q r) m ritt ominaisuuden: joaisella maailmalla on oreintaan asi vaihtoehtoista maailmaa, t.s. hw ; Ri (}(p q) }(p r) }(q r))! }(p q r), 8w(w:n vaihtoehtoisten maailmojen luum r on 6 2) (() Oletetaan, ett maailman w vaihtoehtoisten maailmojen m r on 6 2. T ll in on olme vaihtoehtoa: i. vaihtoehtoisten maailmojen m r on 0. T ll in }(p q) }(p r) }(q r) ei ole totta, jolloin impliaatio on triviaalisti tosi. ii. vaihtoehtoisten maailmojen m r on 1. T ll in jos }(p q) }(p r) }(q r) on tosi w:ss, on my s }(p q r) totta.

7 Harjoitusteht v t iii. vaihtoehtoisten maailmojen m r on 2. Teemme seuraavan havainnon, joa voidaan perustella esimerisi yyhyslaaperiaatteen avulla tai listaamalla aii ombinaatiot: valitsimmepa mit tahansa asi jouoa jouoista fp; qg, fp; rg ja fq; rg, niiden yhdiste on jouo fp; q; rg. Jos }(p q) }(p r) }(q r) on w:ss totta, t ll in jouot fp; qg, fp; rg ja fq; rg ovat alioittain tosia w:ss saavutettavissa ahdessa maailmassa ja siten ahden n ist unionin aliot ovat tosia v hint n toisessa n ist maailmoista. Mutta havaintomme muaan t ll in aii jouon fp; r; qg aliot ovat tosia t ss maailmassa, ja siten }(p q r) on tosi w:ss. ()) Todistamme impliaation ontrapositiivin: hw ; Ri 2 (}(p q) }(p r) }(q r))! }(p q r) ) 9w(w:st p see useampaan uin olmeen maailmaan). Oloon siis w join maailma, josta p see maailmoihin w 1 ; w 2 ja w 3 (ja tietysti mahdollisesti muihin maailmoihin, mutta t ll ei ole onstrutiomme annalta v li ). Asetetaan P (p) = w 1 ; w 2 ; P (q) = w 1 ; w 3 ; P (r) = w 2 ; w 3. Selv stiin hw ; R; P i; w }(p q) }(p r) }(q r), mutta uitenin hw ; R; P i 2 }(p q r). 4.4 Teht v 269 Osoitamme, ett hw ; Ri } p! } p, R toteuttaa ehdon. Ominaisuuden m rittelee prediaattilogiian aava R, 8w 1 ; w 2 ; w 3 (w 1 R w 2 w 1 R w 3! 9w 4 (w 2 R w 4 w 3 R w 4 ) Intuitiivisesti sanoo, ett jos w 2 ja w 3 ovat sellaiset maailmat, joihin w 1 :st p see :lla hypyll, on olemassa maailma w 4, johon se w 2 :sta, ett w 3 :sta p see :lla aseleella. (() Oletetaan, ett R t ytt ehdon. V it mme, ett joaiselle hw ; Ri } p! } p. Oloon w join maailma, jossa impliaation etuj sen on totta muutoin impliaatio tietysti p tee triviaalisti. } p voi olla tosi ainoastaan maailmassa w, josta on :n aseleen etju saavutettavia maailmoja. Ehdon perusteella t m n etjun viimeisest maailmasta w 2 p see :lla aseleella maailmaan w 4 ja joaisessa maailmassa, johon w 2 :sta p see on p totta. Pidet n w 2 iinnitettyn ja yd n l pi aii maailmat w 3 johon w:st p see :lla aseleella. Ehdon muaan joaisella maailmalla w 3 ja iinnitetyll w 2 :lla on yhteinen maailma w 4, johon niist p see :lla aseleella. Mutta osa p on totta joaisessa maailmassa, johon w 2 :sta p see :lla aseleella, on } p totta w 3 :ssa. Siisp } p on totta maailmassa w. ()) Osoitamme loogisesti evivalentin v itteen: (ei R) ) hw ; Ri 2 } p! } p. Kosa ei R t ytyy olla olemassa maailma w, s.e. siit p see :lla aseleella maailmoihin w 2 ja w 3, mutta w 2 :sta ja w 3 :sta ei p se :lla aseleella samaan maailmaan w 4. Asetetaan nyt P (p) = fw 0 jw 2 :sta p see :lla aseleella maailmaan w 0 g. Nyt hw ; R; P i; w } p, osa p on totta w 2 :ssa, johon w:st p see :lla aseleella, mutta hw ; R; P i; w 2 } p, osa maailmassa w 3, johon w:st p see :lla aseleella, ei ole totta } p. N in ollen hw ; Ri 2 } p! } p. 4.5 Teht v 309 Kaava D A! }A on luotettava niiden ehysten luoassa, jota toteuttavat seuraavan ehdon: joaiselle maailmalle on olemassa join vaihtoehtoinen maailma. Merit n t t ehysten luoaa merinn ll C.

8 ; 8 Osio 4 T ydellisyyden todistamisesi on todistettava, ett KD:n anoninen ehys uuluu luoaan C. Ehto A! }A sanoo, ett jos A 2 w, niin }A 2 w. V it mme, ett anoninen vaihtoehtorelaatio RKD on sellainen, ett joaiselle maailmalle on olemassa join vaihtoehtoinen maailma. D:n muaan jos A 2 w, niin ::A 2 w ja siten :A w. T ll in uitenin jouo fbjb 2 wg on KD-ristiriidaton. Oletetaan nimitt in, ett fbjb 2 wg on KD-ristiriitainen, t.s. on olemassa aavat B 1 ; B n, s.e. B i 2 w ja `KD :(B 1 B n ). S nn n RN muaan t ll in `KD :(B 1 B n ). Mutta jo K:ssa voidaan todistaa, ett B 1 B n! (B 1 B n ), joten (B 1 B n ) 2 w. T ll in uitenin w on KD-ristiriitainen, sill `KD :((B 1 B n ) :}(B 1 B n )), `KD :((B 1 B n ) :(B 1 B n )). T ten fbjb 2 wg:l on masimaalisia ristiriidattomia laajennusia, jota ovat w:n vaihtoehtoisia maailmoja. Kosa KD:n anoninen ehys uuluu luoaan C, jona suhteen KD on luotettava, on KD t ydellinen.