[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

Transkriptio

1 ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( - b - b )x( - b e ( - b e ( E ~ x ( ) b b b + b estimointivirheen varianssi: [ ] E ~ x ( ) ~ x ( ) E x ( ) x $( ) E x ( ) x ( )$( x ) + x $ ( ) x ( x( E... + [ b x( + b e ( + b x( + b e (]... b x( + b e ( + b x( + b e ( Kirjoitetaan lausee aui. Muistetaan, että E(x + y) E(x) + E(y) E(c x) c E(x),un con vaio

2 Käytetään hyväsi tietoa, että x( on vaioarvoinen signaali, ja että e ja e ovat esenään orreloimattomia nollaesiarvoisia satunnaissignaaleja: [ x (] E c c x x( x, osa x( on vaioarvoinen signaali [ x( e( ] c x E[ e (] E c e on nollaesiarvoistaohinaa [ e( e (] c E[ e ( e (] E c e ja e orreloimattomia Lausee saadaan nyt sievennetysi muotoon x ( b + b b + + b b ) + b E[ e ] + b E[ e ] sij.b b b E e + ( b ) E[ e ] [ ] E e E e var(e ) var(e ) 6 8b b + 6 lasetaan minimi (derivaatan nollaohta): 6b b. 75, b. 5 x$ b y ( + b y (. 75y ( +. 5y ( y ( + y ( y ( + y ( σ σ σ σ 6. 75y ( +. 5y ( Parametrit ( b, b ) ovat samat uin mittauset painotettaisiin mittausvirheen varianssin äänteisluvulla eli hyvyysluvulla.

3 ehtävä. ( i+ ) x( A x + A Bu( i), x A Z z z A Z { z( zi A) } Z z z z Z z ( z ) z Z z z z z ( z ) z z Odotusarvo: Varianssi: E x E A Bu i A BE u i i ( i+ ) ( i+ ) ( i + ) ( j+ ) E[ x( x ( ] E A Bu( i) A Bu( j) j ( i+ ) ( j+ ) [ ] E A Bu i u j B A j [ ] A BE u i u j B A j ( i+ ) ( j+ ) lauseeen arvo ( tyhjä jouo), jos indesit erisuuret!! i i i ( + ) A B B ( A ) i i ( + ) ( + ) i + ( i) ( i) ( i) ( + )( + ) ( + ) 6 ( + )

4 Aritmeettisen sarjan summa: S n ( + ) u u n n 3 Potenssisarja: + + K+ n n + n + n i i + i ( ) ( + )( + ) 6

5 Laajennettu Kalman-suodin Prosessi uvataan yleisessä tilamuodossa: x( + ) f ( x(, u(, + w( y( h( x(, + v( Funtiot f ja h eivät välttämättä ole lineaarisia, ja saattavat riippua x(:n ja u(:n lisäsi :sta (huomaa f- ja h-funtioiden parametrit). Funtio f ei välttämättä uvaa täydellisesti seuraavan tilan muodostumista, jolloin seuraavaan tilaan x(+) saattaa vaiuttaa myös ohinatermi w(. Lisäsi mittaus sisältää aina ohinaa, jolloin mittausvetoriin y( summautuu funtion h(x(, lisäsi ohinatermi v(. Kohinatermien ovarianssimatriisit oletetaan tunnetuisi. Kohinatermin w( ovarianssimatriisia meritään Q(:lla, ja v(:n ovarianssimatriisia R(:llä. Yleisessä tapausessa ovarianssit saattavat muuttua ajan funtiona, tämän vuosi ovarianssimatriisit esitetään :n funtioina. Prosessin tila x, syöte u, mittaus y, funtiot f ja h, seä ohinatermit w ja v ovat aii yleisessä tapausessa vetoreita. Kalman-suodin estimoi prosessin sisäistä tilaa. A-priori-estimaatti xˆ ( -) äyttää hyväseen prosessin syötettä u(-), seä edellisen ajanheten a-posteriori-estimaattia xˆ (- -). ämä estimaatti xˆ ( -) syötetään mittausfuntiolle h, jolloin saadaan estimaatti mittausesta ŷ (. ätä verrataan todelliseen mittauseen y(, jolloin saadaan virhetermi, joa ertoo, uina paljon estimaatti eroaa prosessin tilasta. Huom! Kosa mittaus y( sisältää ohinaa, myös tähän erotuseen on summautunut ohinaa. A-posteriori-estimaatti xˆ ( orjaa a-priori-estimaattia painottamalla erotusta vahvistusmatriisilla K (ei meritty eriseen uvaan, sisältyy "orjaus"-lohoon). syöte u u( x( Prosessi y( u(-) x( -) ^ + ^ x( x(- -) ^ - A-prioriestimaatti (ennaointi) A-posterioriestimaatti (orjaus) Vahvistusmatriisin K lasemisesi suodin estimoi a-priori- ja a-posteriori-estimaattien ovariansseja. Estimaatin a-priori-ovarianssi meritään P( -) ja a-posteriori-ovarianssi P(. K:n ja P:n estimaattien lasemisesi tarvitaan matriiseja A ja C, eli lineaarisessa tilamallissa äytettyjä matriiseja: x( + ) Ax( + Bu( y( Cx( Näiden lasemisesi tarvitaan Jaobin matriisia, eli jaobiaania. A-matriisi muodostetaan derivoimalla f-funtion omponentit f, f, jne. (f on siis vetori) unin tilamuuttujan (tilavetorin x omponentit x, x,...) suhteen, ja muodostamalla niistä matriisi. Vastaavasti C-matriisi muodostetaan derivoimalla h-funtion omponentit tilamuuttujien suhteen.

6 Esimeri. ilavetori x sisältää riviä, joten f sisältää myös riviä. ällöin linearisoitu A- matriisi (jaobiaani) on x ooinen ja se muodostetaan seuraavasti: f x A f x f x f x Muodostetaan myös C-matriisi. Mittaus y sisältää yhden omponentin, joten myös mittausfuntio h sisältää yhden rivin. Nyt C on x ooinen (-omponenttinen vaaavetori) ja se muodostetaan seuraavasti: h C x h x Jos f ei ole lineaarinen, tulee matriiseihin termejä, jota sisältävät tilamuuttujia (x, x,...), syötevetorin u omponentteja tai -muuttujia. ämän vuosi A- ja C-matriisit lasetaan joaisella ierrosella uudelleen. Matriisia A lasettaessa tilavetorina x äytetään edellisen ierrosen a-posteriori-estimaattia xˆ (- -), un taas C-matriisia lasettaessa äytetään uluvan ierrosen a-priori-estimaattia xˆ ( -). Laajennetun Kalman-suotimen aavat ) ilan ennaointi seuraavaan mittausheteen: x ˆ( ) f(ˆ( x ), u( ), ) ) A:n orvaava derivaatta: f (ˆ( x ), u( ), ) A (ˆ( x )) xˆ( ) 3) ilan estimointivirheen ovarianssi (ennaointi) seuraavaan mittausheteen: P( ) A xˆ( ) P( ) A xˆ( ) + Q( 4) C:n orvaava derivaatta: h(ˆ( x ), C xˆ( ) xˆ( ) ) 5) Estimoinnin vahvistusen K( lasenta: [ + R( )] ( xˆ ( ) ) C( xˆ ( ) ) P( ) C ( xˆ ( ) ) K( P( ) C 6) ilan päivitys mittausella: x ˆ( xˆ( ) + K( y( h(ˆ( x )) 7) ilan estimointivirheen ovarianssin päivitys: P ( P( ) - K( C(ˆ( x )) P( ) Vaiheen 7) jäleen siirrytään seuraavaan ajanheteen +, ja jatetaan reursiivisesti vaiheesta ). Nyt xˆ (- -) on edellisen ierrosen xˆ ( ja P(- -) on edellisen ierrosen P(.

7 ehtävä 3. x& ( t) x ( t) C DA ( t) x& ( t) x ( t) w( t) m + ρ, E{ w t w t } y( t ) M + x ( t ) H + v( t ), Q( t) { } E v( t ) v( t ) R( t ) Annettu järjestelmä, jossa malliyhtälö on jatuvaa muotoa ja mittaus disreetti on uvattu yllä. x on pallon etäisyys maasta, x on pallon nopeus. Mittaustieto on C A t etäisyys pallosta. H ja M ovat vaioita. ρ D VAK m oletetaan vaiosi. x&( t) f x( t), u( t) + w( t) y( t ) h x( t ) + v( t ) Disretointi Eulerin-menetelmällä: t + t ( + ) [ ( )] f x t dt t t f x t (Suoraulmio) x&( t) x( t + ) x( t ) f( x( t), t) (f(x(t),t) dynamiia-yhtälöstä) x( t ) x( t ) x&( t) x( t ) x( t ) + x&( t) + + x( t ) x( t ) + f( x( t )) + x( + ) x( t x ( x ( + ) x ( tvakx ( + w( f DISK., E{ w w } Q(

8 ( ) y( M + x ( H + v(, h DISK. { } E v( v( R( x( + ) f DISK. ( x(, u(, + w o. ( w ( ) o. w( y( h x(, + v( DISK. Meritään ( f f ja h h ). ilan ennaointi seuraavaan mittausheteen: Dis. Dis. x$( ) f($( x ), u( )) A:n orvaava derivaatta: f f f($( x ), u( )) x$ x$ A($( x )) x$( ) f f x$ x$ ilan estimointivirheen ovarianssi (ennaointi) seuraavaan mittausheteen: t tvakx$ ( ) P( -) A x( $ - -) P( - -) A x( $ - -) + Q( ) C:n orvaava derivaatta: C. 5 ( M + x H ) ( x H) h($( x )) ( x$( ) ) x$( ). 5 $ ( ) $ ( ) Estimoinnin vahvistusen K( lasenta: K( P( ) C x$( ) C x$( ) P( ) C x$( ) + R( ilan päivitys mittausella: x$( x$( ) + K( y( h( x$( )) ilan estimointivirheen ovarianssin päivitys: P( P( -) - K( C(x( $ -)) P( -)

9 Laajennetun Kalmanin suodattimen disreetit yhtälöt: ilan ennaointi seuraavaan mittausheteen: x$ ( ) $ ( ) $ x t x ( ) x$ ( ) x$ ( ) tvakx$ ( ) ilan estimointivirheen ovarianssi (ennaointi) seuraavaan mittausheteen: t P( ) tvakxˆ ( ) P( ) + Q( ) t tvakxˆ ( ) Estimoinnin vahvistusen K:n lasenta:. 5 ( M + ( x H) ) ( x H) K( P( ). $ ( ) $ ( ) 5. 5 ( + ( ) ) ( ). 5. ( M + ( x$ ( ) H) ) ( x$ ( ) H). M x$ ( ) H x$ ( ) H 5 P( ) 5 + R( ilan päivitys mittausella: x$ ( ) $ ( ) $ x + K y M + x( ) H x$ ( ) $ ( ) $ x + K y M + x( ) H ilan estimointivirheen ovarianssi (päivitys):. P( P( ) K( 5. 5( M + ( x$ ( ) H) ) ( x$ ( ) H ) P( )