TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014

2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista Pro gradu -tutielma, 33 s. Matematiia Maalisuu 2014 Tiivistelmä Tämän tutielman aiheena ovat Stirlingin luvut, jota on nimetty englantilaisen matemaation James Stirlingin ( muaan. Stirlingin luuja on ahta lajia. Stirlingin toiset luvut S(n, määritellään n-alioisen jouon -ositusten luumäärinä. Luvussa 3 todistetaan reursiivinen aava ja muita lasuaavoja Stirlingin luvuille S(n,. Luvussa 4 määritellään Stirlingin ensimmäiset luvut s(n, osoittamalla yhteys muuttujan x astetta n olevien reaaliertoimisten polynomien ja ertomapolynomien välillä. Myös Stirlingin ensimmäisille luvuille s(n, todistetaan reursiivinen aava ja muita lasuaavoja. Aliluvussa 4.4 osoitetaan Stirlingin ensimmäisten luujen yhteys n-alioisen jouon permutaatiosylien luumäärään. Tutielman viimeisessä luvussa määritellään luujonon generoiva ja esponentiaalinen generoiva funtio. Tämän jäleen johdetaan lausee luujen S(n, generoivalle funtiolle seä luujen S(n, ja B(n esponentiaaliselle generoivalle funtiolle. 2

3 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Kombinatoriian perusteita Osajouot Osajonot Funtioiden luumääristä Osituset ja Stirlingin toiset luvut Osituset Stirlingin toiset luvut Bellin luvut Polynomit ja Stirlingin ensimmäiset luvut Kertomafuntiot Stirlingin ensimmäiset luvut Polynomien matriisiesitys Sylinen permutaatio Differenssioperaattori Generoivista funtioista 29 Viitteet 33 3

4 1 Johdanto Tämän tutielman pääaiheena ovat Stirlingin luvut, jota on nimetty englantilaisen matemaation James Stirlingin ( muaan. Stirlingin luuja on ahta lajia. Kosa molemmille lajeille on olemassa ombinatorinen tulinta, ertaamme luvussa 2 ombinatoriian perustulosia seä esittelemme tutielmassa äytettäviä merintöjä. Luvussa 3 määrittelemme n-alioisen jouon ositusen äsitteen jouoopista tutulla tavalla ja havainnollistamme ositusta esimerein. Tämän jäleen määrittelemme Stirlingin toiset luvut S(n, n-alioisen jouon -ositusten luumäärinä. Lauseessa 3.1 johdamme lauseeen, jolla luvut S(n, voidaan määrittää reursiivisesti. Tutimme lisäsi luujen S(n, arvoa tietyissä erioistapausissa seä johdamme vaihtoehtoisia lauseeita luujen S(n, määrittämisesi. Aliluvussa 3.3 määrittelemme Bellin luvut B(n Stirlingin toisten luujen summina. Lauseessa 3.8 esitämme myös Bellin luvuille reursiivisen aavan. Luvun 4 aloitamme tutimalla muuttujan x astetta n olevia polynomeja. Määrittelemme Stirlingin ensimmäiset luvut s(n, tiettyä muotoa olevien polynomien vaioertoimina. Lauseessa 4.1 johdamme reursiivisen lauseeen luvuille s(n, äyttäen apuna ertomafuntion määritelmää. Aliluvussa 4.3 perehdymme evyesti muuttujan x astetta n olevien polynomien esittämiseen matriisien avulla. Esimerissä 4.8 osoitamme Stirlingin luujen S(n, ja s(n, matriisien olevan polynomivetoriavaruuden annanmuutosmatriiseja ja lauseessa 4.7 toistensa äänteismatriiseja. Stirlingin ensimmäisten luujen ombinatoriseen tulintaan perehdymme aliluvussa 4.4, un osoitamme, että s(n, liittyy n-aloisen jouon sylisiin permutaatioihin. Aliluvussa 4.5 määrittelemme luujonon differenssin äsitteen ja osoitamme toisen yhteyden luujen S(n, ja polynomien välille tutimalla funtion x n differenssejä. Luvussa 5 määrittelemme generoivan funtion ja esponentiaalisen generoivan funtion äsitteen. Esimerien avulla johdamme lauseeet luujen S(n, generoivalle funtiolle seä luujen S(n, ja B(n esponentiaalisille generoiville funtiolle. Tutielman päälähteinä on äytetty Kenneth B. Bogartin teosta Introductory Combinatorics seä John G. Michaelsin ja Kenneth H. Rosenin irjaa Applications of Discrete Mathematics. Aliluu 4.5 ja luu 5 perustuvat uitenin pitälti David R. Mazurin teoseen Combinatorics - A Guided Tour. Tutielman luemisesi riittää ombinatoriian ja lineaarialgebran perusteet. Määritelmiä ja lauseita on pyritty havainnollistamaan runsain esimerein ja lauseiden todistusteniiat vaihtelevat ombinatorisesta päättelystä indutiotodistusiin sen muaan, miä sopii uhunin tilanteeseen parhaiten. 4

5 2 Kombinatoriian perusteita Tässä luvussa ertaamme ombinatoriian merintöjä ja yleisimpiä lasuaavoja. Meritsemme n-alioista jouoa symbolilla [n] {1, 2,..., n}, un n 1. Vastaavasti meritsemme [] {1, 2,..., }, [n 1] {1, 2,..., n 1}, [5] {1, 2, 3, 4, 5} ja niin edelleen. Todistamme lauseen 2.2 esimerinä ombinatorisesta todistusesta, mutta muuten sivuutamme todistuset, osa ne ovat tutielman aiheen annalta vain aputulosia. 2.1 Osajouot Jouon [n] -osajouolla taroitamme jouoa, joa on saatu valitsemalla (0 n mielivaltaista, mutta eri aliota jouosta [n]. Lause 2.1. Jouon [n] -alioisten osajouojen luumäärä on n n!!(n!. (2.1 Erityisesti ( ( n 0 n n 1, un n 0, ja n 0 aina, un n <. Lause 2.2. Oloot n ja oonaisluuja ja oloon 0 < < n. Tällöin n n n 1. (2.2 Todistus. Yhtälön vasen puoli ilmaisee jouon [n] -osajouojen luumäärän. Tällaiset osajouot voidaan jaaa ahteen ryhmään sen muaan, sisältävätö ne alion n vai ei. Alion n sisältäviä -osajouoja on n 1 1 appaletta, osa ne ovat muotoa A {n}, missä A on jouon [n 1] 1-osajouo. Jouon [n] -osajouoja, jota eivät sisällä aliota n, on n 1 appaletta, osa ne ovat myös jouon [n 1] -osajouoja. 2.2 Osajonot Jouon [n] -osajonolla taroitamme jonoa tai järjestettyä jouoa, joa on muodostettu valitsemalla (0 n mielivaltaista mutta eri aliota jouosta [n]. Jos n, utsumme järjestettyä jouoa jouon [n] permutaatiosi. Lause 2.3. Jouon [n] -alioisten osajonojen luumäärä on (n n(n 1(n 2 (n + 1. (2.3 Erityisesti (n 0 1, (n 1 n ja (n n n!, un n 0, ja (n 0 aina, un > n. 5

6 2.3 Funtioiden luumääristä Monet ombinatoriset valintatilanteet voidaan samaistaa funtioisi, jolloin valintamahdollisuusien luumäärä ertoo funtioiden luumäärän. Esimeri 2.1. Funtio f : [n] [] voidaan tulita jonona f f([n] f({1, 2,..., n} ( f(1, f(2,..., f(n, missä f(i [], un i 1, 2,..., n. Kosa jonon jäsenet saavat olla esenään samoja, on funtioiden f : [n] [] luumäärä } {{... } n. n pl Esimeri 2.2. Injetio g : [] [n] (0 < n voidaan tulita jouon [n] -osajonona g g([] g({1, 2,..., } ( g(1, g(2,..., g(, missä g(i [n], un i 1, 2,.... Kosa g on injetio, niin g(i g(j aina, un i j (i, j []. Jonon jäsenet eivät saa toistua, joten injetioiden g : [] [n] luumäärä on n(n 1 (n + 1 (n. Esimeri 2.3. Bijetio π : [n] [n] voidaan tulita jonon (1, 2,..., n permutaationa. Täten bijetioiden π : [n] [n] luumäärä on (n n n!. Esimeri 2.4. Surjetio f : [n] [] voidaan tulita jonona f f([n] f({1, 2,..., n} ( f(1, f(2,..., f(n, missä f(i [], un i 1, 2,..., n, ja joainen jouon [] jäsen esiintyy jonossa f([n] vähintään erran. Voidaan osoittaa, että tällaisten jonojen luumäärä on i0( 1 i( ( i n i (s. [1, s. 103]. 6

7 3 Osituset ja Stirlingin toiset luvut Tässä luvussa määrittelemme ensin n-alioisen jouon ositusen äsitteen. Ositusen määritelmään perustuen määrittelemme Stirlingin toiset luvut S(n, ja Bellin luvut B(n. Ellei toisin mainita, luvut n ja ovat einegatiivisia oonaisluuja ja muut merinnät samoja uin luvussa Osituset Määritelmä 3.1. Jouo P {A i i I} on jouon [n] ositus, miäli seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. A i, un i I 2. [n] i I A i 3. A i A j, un i j (i, j I. Jouo I on mielivaltainen indesijouo ja jouoja A i (i I sanotaan ositusen P luoisi. Määritelmä 3.2. Jono (A 1, A 2,..., A on jouon [n] järjestetty -ositus, miäli seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. [n] i1 A i 2. A i A j, un i j (i, j []. Esimeri 3.1. Tarastellaan funtiota f : [n] []. Oloon A i jouo siten, että A i {x [n] f(x i []}. Funtio f muodostaa jouon [n] (järjestetyn -ositusen, sillä A i A j aina, un i j (i, j []. Jos lisäsi A i aiilla i [], niin f on surjetio. Esimeri 3.2. Jouon [4] 2-osaiset osituset ovat ({1, 2, 3}, {4}, ({1, 2, 4}, {3}, ({1, 3, 4}, {2}, ({2, 3, 4}, {1} ({1, 2}, {3, 4}, ({1, 3}, {2, 4} ja ({1, 4}, {2, 3}. Jouon [4] 3-osaiset osituset ovat ({1, 2}, {3}, {4}, ({1, 3}, {2}, {4}, ({1, 4}, {2}, {3} ({2, 3}, {1}, {4}, ({2, 4}, {1}, {3} ja ({3, 4}, {1}, {2}. Jouon eriooisten ositusten luumäärä riippuu seä jouon oosta että osien luumäärästä. Annamme seuraavasi määritelmän aiheeseen liittyen. 7

8 3.2 Stirlingin toiset luvut Määritelmä 3.3. Stirlingin toinen luu S(n, on jouon [n] -ositusten luumäärä. Erityisesti S(n, 0 0, un n > 0 ja S(n, 0 aina, un n <. Sovitaan lisäsi, että S(0, 0 1 (vrt. [5, s ]. Esimeri 3.3. Esimerin 3.2 perusteella S(4, 2 7 ja S(4, 3 6. Esimeri 3.4. S(n, 1 1, un n 1, sillä jouon [n] ainoa ysiluoainen ositus on ({1, 2,..., n} ([n]. Vastaavasti S(n, n 1, un n 0, sillä jouon [n] ainoa n-luoainen ositus on ({1}, {2},..., {n}. Lause 3.1. Oloot n 1 ja 1. Tällöin S(n, S(n 1, 1 + S(n 1,. (3.1 Todistus. (Vrt. [1, s. 80]. Kaavan (3.1 vasen puoli ilmaisee jouon [n] - ositusten luumäärän. Tällaiset osituset voidaan jaaa ahteen ryhmään. Jos {n} on ysi ositusen luoista, niin loput 1 luoaa muodostavat ositusen jouolle [n 1]. Määritelmän 3.3 muaan tällaisia ositusia on S(n 1, 1 appaletta. Jos {n} ei ole ysi ositusen luoista, niin n on lisätty johonin jouon [n 1] -ositusen luoista. Kosa n voidaan lisätä eri luoaan, on tällaisia ositusia yhteensä S(n 1, appaletta. Esimeri 3.5. Tauluossa 1 on esitetty Stirlingin luujen S(n, arvot, un 1 n n Tauluo 1: Stirlingin luuja S(n,. Lause 3.2. S(n, n 1 n 2, un n 1. Todistus. Oloon P {A 1,..., A n 1 } jouon [n] n 1-ositus. Kosa jouot A 1,... A n 1 ovat epätyhjiä, yhdessä niistä on oltava asi aliota ja muissa ysi. Tällöin asialioinen jouo A i määrää ositusen P ysiäsitteisesti ja se voidaan valita jouosta [n] n 2 tavalla. 8

9 Lause 3.3. S(n, 2 2 n 1 1, un n 2. Todistus. Oloon A 1 miä tahansa jouon [n] aito epätyhjä osajouo ja oloon A 2 [n] \ A 1. Tällöin P {A 1, A 2 } on jouon [n] 2-ositus, sillä A 1 ja A 2 ovat epätyhjiä, [n] A 1 A 2 ja A 1 A 2. Kun ja [n] eivät elpaa valinnasi, osajouo A 1 voidaan valita 2 n 2 tavalla. Kosa joainen ositusen muodostava osajouopari voidaan valita valitsemalla ensin joo A 1 tai A 2, on jouon [n] aiien erilaisten 2-ositusten luumäärä S(n, 2 2n n 1 1. Lause 3.4. Oloot n 1 ja 1. Tällöin S(n, n 1 j0 n 1 S(j, 1. (3.2 j Todistus. (Vrt. [1, s. 81]. Kaavan (3.2 vasen puoli ilmaisee jouon [n] - ositusten luumäärän. Joainen jouon [n] -ositus vastaa j-alioisen jouon J [n 1] 1-ositusta, joa jää jäljelle, un poistetaan alion n [n] sisältävä luoa aluperäisestä ositusesta. Kaavan (3.2 oiea puoli lasee yhteen aii 1-osituset aiilla osajouoilla J [n 1], un 0 j n 1. Jouolla [n 1] on nimittäin n 1 j j-alioista osajouoa ja joaisella j-alioisella osajouolla on S(j, 1 ositusta, jossa on 1 luoaa. Esimeri 3.6. Oloot [n] {a, b, c, d} ja [] {1, 2, 3} ja oloon f : [n] [] funtio siten, että f(a f(b f(d 2 ja f(c 1. Tällöin f([n] {1, 2} [], joten f ei ole surjetio. Esimeri 3.7. (Vrt. [1, s. 81]. Oloon f : [n] [] surjetio. Määritellään alion i [] aluuva asettamalla f 1 (i {x f(x i}. Nyt f 1 (i [n] ja f 1 (i f 1 (j aina, un i j (i, j []. Lisäsi, osa f on surjetio, niin f 1 (i, un i []. Siis jouo P {f 1 (1, f 1 (2,..., f 1 (} on jouon [n] -ositus. Lisäsi voidaan määritellä funtio g : P [n] asettamalla g(f 1 (i i. Selvästi g on injetio. 9

10 Lause 3.5. Surjetioiden luumäärä jouolta [n] jouoon [] on S(n,!. Todistus. (Vrt. [1, s. 82]. Oloon Q {C 1, C 2,..., C } jouon [n] mielivaltainen -ositus ja g : Q [] injetio (bijetio. Määritellään funtio f : [n] [] asettamalla f(x i, jos x C i. Kosa Q on jouon [n] -ositus, niin f on surjetio. Kosa joaista jouon [n] -ositusta ohti on olemassa! bijetiota, niin surjetioiden luumäärä jouolta [n] jouoon [] on tuloperiaatteen nojalla S(n,!. Lause 3.6. Oloot n 1 ja 1. Tällöin S(n, 1! i0( 1 i( ( i n. (3.3 i Todistus. (Vrt. [5, s. 102]. Esimerin 2.4 perusteella surjetioiden luumäärä jouolta [n] jouoon [] on i0( 1 i( i ( i n. (3.4 Kun tämä yhdistetään edellisen lauseen tulosen anssa, saadaan S(n,! i0( 1 i( ( i n. i Jaamalla yhtälö puolittain termillä! saadaan S(n, 1! i0( 1 i( ( i n. i Esimeri 3.8. Oloot n 5 ja 3. Lauseen 3.5 muaan surjetioden luumäärä jouolta [n] jouoon [] on S(5, 3 3! Samaan tuloseen päästään aavalla (3.4, sillä 3 i0( 1 i( 3 i ( i Lause 3.7. Oloot n 1 ja 1. Tällöin S(n, S(n i, 1 i 1. (3.5 i1 10

11 Todistus. Yhtälön vasen puoli ilmaisee jouon [n] -ositusten luumäärän. Tällainen ositus voidaan muodostaa lisäämällä i aliota jouon [n i] 1- ositusen luoiin siten, että lisättävistä alioista vähintään ysi muodostaa uuden luoan. Kosa alioiden lisäysjärjestysellä ei ole meritystä, voidaan sopia että ensimmäinen lisättävä alio aloittaa uuden luoan. Tällöin loput i 1 alioita voidaan sijoittaa mielivaltaisesti luoaan. Tämä voidaan tehdä i 1 eri tavalla. Kun lasetaan yhteen aii vaihtoehdot aiilla muuttujan i arvoilla (1 i n, saadaan S(n, S(n i, 1 i 1. i1 Huomataan uitenin, että S(n i, 1 0, jos n i < 1 eli i > n + 1. Esimeri 3.9. Oloot n 5 ja 3. Tällöin aavan (3.5 muaan 5 S(5, 3 S(5 i, 3 13 i 1 i1 S(4, S(3, S(2, S(1, S(0, Bellin luvut Kuten edellä määrittelimme, Stirlingin toiset luvut S(n, ilmaisevat, uina monella tavalla n-alioinen jouo voidaan osittaa eli jaaa erillisesi epätyhjäsi osajouosi. Jos haluamme ilmaista, uina monella tavalla n- alioinen jouo voidaan ylipäätään osittaa, lasemme yhteen aiien eriooisten ositusten luumäärän. Määritelmä 3.4. (Vrt. [1, s. 85]. Bellin luu B(n on jouon [n] aiien ositusten luumäärä, ts. B(n S(n,. (3.6 Esimeri Kaavalla (3.6 lasettuna ensimmäiset Bellin luvut ovat B(0 S(0, 0 1 B(1 S(1, 0 + S(1, B(2 S(2, 0 + S(2, 1 + S(2,

12 B(3 S(3, 0 + S(3, 1 + S(3, 2 + S(3, B(4 S(4, 0 + S(4, 1 + S(4, 2 + S(4, 3 + S(4, 4 Lause 3.8. Jos n 1, niin B(n n 1 j0 Todistus. (Ks. [1, s. 86]. Määritelmän 3.4 muaan n 1 B(j. (3.7 j B(n S(n, S(n,, 1 sillä S(n, 0 0, un n 1. Kaavan (3.2 perusteella voidaan irjoittaa jolloin saadaan S(n, n 1 j0 n 1 S(j, 1, j B(n S(n, 1 n 1 n 1 S(j, 1 1 j0 j n 1 n 1 S(j, 1 j0 1 j n 1 n 1 n S(j, 1 j0 j 1 n 1 n 1 n 1 S(j, i. j0 j i0 Kuitenin n 1 j S(j, i S(j, i B(j, i0 i0 sillä S(j, i 0 aina, un i > j ja tässä erityisesti j n 1. 12

13 4 Polynomit ja Stirlingin ensimmäiset luvut Tässä luvussa tutimme muuttujan x R astetta n olevia reaaliertoimisia polynomeja. Määrittelemme ensin n-asteisen ertomafuntion muuttujalle x ja osoitamme esimerin avulla, että funtio tuottaa muuttujan x astetta n olevan polynomin. Aliluvussa 4.2 määrittelemme Stirlingin ensimmäiset luvut s(n, tällaisen polynomiesitysen vaioertoimina. Lauseessa 4.5 osoitamme yhteyden myös Stirlingin luujen S(n, ja polynomien välille. 4.1 Kertomafuntiot Määritelmä 4.1. Oloon n 0 oonaisluu. Funtiota (x n x(x 1 (x n + 1 (4.1 sanotaan muuttujan x R (lasevasi ertomafuntiosi ja funtiota (x (n x(x + 1 (x + n 1 (4.2 muuttujan x nousevasi ertomafuntiosi. Erityisesti sovitaan, että (x 0 (x (0 1. Lisäsi huomataan, että (n n n!. Esimeri 4.1. Oloon n 0 ja x R. Tällöin ( x n x( x 1 ( x n + 1 ( 1 n (x + 1 (x + n 1 ( 1 n (x (n. Esimeri 4.2. Esitetään (x 4 tavallisena polynomina lasemalla tulo x(x 1(x 2(x 3: (x 4 x(x 1(x 2(x 3 (x 2 x(x 2 3x 2x + 6 x 4 3x 3 2x 3 + 6x 2 x 3 + 3x 2 + 2x 2 6x x 4 6x x 2 6x. Annamme seuraavasi määritelmän luvuille 1, 6, 11 ja 6, jota esiintyvät ertoimina funtion (x 4 tavallisessa polynomiesitysessä. 13

14 4.2 Stirlingin ensimmäiset luvut Määritelmä 4.2. Stirlingin ensimmäiset luvut ovat ne luvut s(n,, jota toteuttavat yhtälön (x n s(n, x. (4.3 Erityisesti s(0, 0 1, s(n, 0 0, un n > 0, ja s(0, 0, un > 0 (vrt. [4, s. 168]. Esimeri 4.3. Kaavan (4.3 muaan (x 4 x 4 6x x 2 6x 4 s(4, x, joten s(4, 0 0, s(4, 1 6, s(4, 2 11, s(4, 3 6 ja s(4, 4 1. Lause 4.1. Oloon n 1 ja 1. Tällöin s(n, s(n 1, 1 (n 1s(n 1,. (4.4 Todistus. (Vrt. [5, s. 107]. Määritelmän 4.2 muaan Toisaalta voidaan irjoittaa (x n (x n + 1(x n 1 (x n s(n, x. n 1 (x n + 1 s(n 1, ix i n 1 x i0 n 1 i1 i0 s(n 1, ix i (n 1 n 1 s(n 1, i 1x i (n 1 i0 n 1 s(n 1, ix i i0 s(n 1, ix i. Kun verrataan muuttujan x esponenttia funtion (x n molemmilla esitystavoilla, on oltava s(n, s(n 1, 1 (n 1s(n 1,. Esimeri 4.4. Kaavan (4.4 ja esimerin 4.3 perusteella s(5, 3 s(4, 2 (5 1s(4, (

15 Esimeri 4.5. Tauluossa 2 on esitetty Stirlingin luujen s(n, arvot, un 1 n n Tauluo 2: Stirlingin luuja s(n,. Lause 4.2. s(n, n 1 n 2, un n 1. Todistus. Määritelmän 4.2 muaan s(n, n 1 on termin x n 1 erroin lasevassa ertomassa (x n x(x 1 (x n + 1. Siis s(n, n 1 ( 1 + ( (n 1 ( 1 2 n + 1 ( n 1 n(n 1 2 n. 2 Lause 4.3. s(n, 1 ( 1 n 1 (n 1!, un n 1. Todistus. Määritelmän 4.2 muaan s(n, 1 on termin x erroin lasevassa ertomassa (x n x(x 1 (x n + 1. Siis s(n, 1 ( 1 ( 2... (n 1 ( 1 n (n 1 ( 1 n 1 (n 1!. Lause 4.4. n 1 s(n, 0, un n 2. Todistus. (Vrt. [5, s. 106]. Tarastellaan luuja s(n,, un n on mielivaltainen, mutta iinteä. Jos n >, niin s(n, 0. Oletetaan siis, että 1 n, jolloin luvut s(n, saadaan aavalla (4.3. Kertomafuntio (x n saa arvon 0 15

16 aina, un x on positiivinen oonaisluu ja n > x. Täten, asettamalla x 1 aavaan (4.3 saadaan s(n, 0, un n 2. Lause 4.5. Oloon n 0 oonaisluu ja x R. Tällöin x n S(n, (x. (4.5 Todistus. (Vrt. [3, s. 31]. Todistetaan väite indutiolla luvun n suhteen. Jos n 0, 1, niin väite on tosi, sillä x 0 1 S(0, 0(x 0 ja x 1 x S(1, 0(x 0 + S(1, 1(x x. Oletetaan sitten, että väite on tosi, un n m 1 (n 1. Tällöin m 1 x m x x m 1 x S(m 1, (x ( (x + m 1 m 1 m 1 m 1 m S(m 1, (x +1 + S(m 1, 1(x + S(m, (x S(m, (x, S(m 1, (x m 1 m S(m 1, (x S(m 1, (x sillä S(m 1, 0, un > m 1 ja S(m, 0 0, un m 1. Esimeri 4.6. Esitetään polynomi x 4 ertomafuntioiden (x lineaariombinaationa: 4 x 4 S(4, (x S(4, 0(x 0 + S(4, 1(x 1 + S(4, 2(x 2 + S(4, 3(x 3 + S(4, 4(x 4 (x 1 + 7(x 2 + 6(x 3 + (x 4. 16

17 4.3 Polynomien matriisiesitys Tässä aliluvussa jatamme muuttujan x R astetta n olevien reaaliertoimisten polynomien tutimista. Käytämme tarastelussa apuna matriiseja ja niille määriteltyjä lasutoimitusia. Esimerissä 4.8 osoitamme, että Stirlingin luvuista S(n, ja s(n, muodostetut matriisit ovat polynomivetoriavaruuden annanmuutosmatriiseja ja lauseessa 4.7 osoitamme, että ne ovat toistensa äänteismatriiseja. Esimeri 4.7. Tarastellaan muuttujan x R astetta n olevaa reaaliertoimista polynomia, jona vaiotermi on 0. Tällainen polynomi on muotoa a n x n + a n 1 x n a 1 x. Tämä voidaan irjoittaa myös matriisien (vetorien tulona: a n x n + a n 1 x n a 1 x [ ] a 1 a 2 a n x 1 x 2.. x n Vasemmanpuoleista vetoria sanotaan polynomin erroinvetorisi ja oieanpuoleista polynomiavaruuden luonnollisesi annasi. Esimeri 4.8. Lauseen 4.5 muaan x n S(n, (x. Kosa uitenin S(n, 0 0 aina, un n > 0, niin voidaan irjoittaa x 1 S(1, 1(x 1 x 2 S(2, 1(x 1 + S(2, 2(x 2. x n S(n, 1(x 1 + S(n, 2(x S(n, n(x n ja edelleen matriisiertolasuna x 1 S(1, (x 1 x 2. S(2, 1 S(2, (x x n S(n, 1 S(n, 2 S(n, 3 S(n, n (x n tai lyhyemmin x 1 (x 1 x 2. [ S(i, j ] (x 2 n n.. x n (x n 17

18 Vastaavaan tapaan voidaan määritelmän 4.2 perusteella irjoittaa (x 1 x 1 (x 2. [ s(i, j ] x 2 n n.. (x n x n Stirlingin toisten luujen matriisi on siis polynomiavaruuden annanmuutosmatriisi luonnolliselta annalta [x i ] i 1 ertomaannalle [(x i ] i 1 ja Stirlingin ensimmäisten luujen matriisi on annanmuutosmatriisi päinvastaiseen suuntaan. Määritelmä 4.3. Funtiota δ(n, j, missä 0, un n j δ(n, j 1, un n j, sanotaan Krönecerin delta-funtiosi. Lause 4.6. Oloot n ja j positiivisia oonaisluuja ja oloon r min{n, j}. Tällöin r S(n, s(, j δ(n, j (4.6 ja r s(n, S(, j δ(n, j. (4.7 Todistus. Lauseen 4.5 perusteella voidaan irjoittaa x n S(n, (x S(n, s(, jx j j0 S(n, s(, j x j j0 j ( n S(n, s(, j x j. j0 Vertailemalla luvun x esponentteja yhtälön molemmilla puolilla saadaan S(n, s(, j δ(n, j. 18

19 Todistetaan jälimmäinen väittämä irjoittamalla (x n s(n, x s(n, S(, j(x j j0 s(n, S(, j (x j j0 j ( n s(n, S(, j (x j. j0 Vertailemalla nyt luvun x ertomafuntion arvoja yhtälön molemmilla puolilla saadaan s(n, S(, j δ(n, j. Lause 4.7. [S(i, j] n n [s(i, j] 1 n n ([3, s. 31]. Todistus. Matriisit [S(i, j] n n ja [s(i, j] n n ovat toistensa äänteismatriiseja, jos niiden tulo on identiteettimatriisi I n [δ(i, j] n n. Matriisien ertolasusäännön ja aavan (4.6 perusteella saadaan joten lause on todistettu. [ n ] [S(i, j] n n [s(i, j] n n S(i, s(, j 1 n n [δ(i, j] n n I n, Esimeri 4.9. Tarastellaan matriiseja S [S(i, j] n n ja s [s(i, j] n n, un n 4. Tällöin S s

20 4.4 Sylinen permutaatio Tässä luvussa tutimme jouon [n] permutaatioita, jota antavat ombinatorisen tulinnan Stirlingin ensimmäisten luujen s(n, itseisarvoille. Esimerissä 2.3 samaistimme jouon [n] permutaation bijetion π : [n] [n] anssa. Otetaan äyttöön merintä aiien bijetioiden [n] [n] jouolle. Määritelmä 4.4. Oloon S n {bijetiot [n] [n]}. Määritelmä 4.5. Jonon {a 1, a 2,..., a n } permutaatio π S n on sylinen, jos π(a i a i+1, un i 1, 2,..., n 1, ja π(a n a 1. Tällöin merintää (a 1 a 2 a n sanotaan sylisi. Merintä (a 2 a n a 1 taroittaa samaa syliä. Esimeri Oloon π : [7] [7] bijetio siten, että π(1 7, π(2 1, π(3 3, π(4 2, π(5 6, π(6 5 ja π(7 4. Tämä voidaan meritä 7-jonona π (7, 1, 3, 2, 6, 5, 4 tai tauluona ( Permutaatio π voidaan esittää myös erillisten sylien tulona. Nyt 1 π(1 7 π(7 4 π(4 2 π(2 1 taroittaa syliä (1742. Vastaavasti taroittaa syliä (3 ja syliä (56. Meritään nyt 3 π(3 3 5 π(5 6 π(6 5 π (1742(3(56. Kosa sylien aluohdalla ja sylien esinäisellä järjestysellä ei ole meritystä, niin esimerisi merinnät taroittavat samaa permutaatiota. π (3(56(4217 ja π (65(7421(3 20.

21 Määritelmä 4.6. Luu c(n, on jouon [n] niiden permutaatioiden luumäärä, joissa on tasan syliä. Erityisesti c(n, 0 0, un n > 0, ja c(n, 0 aina, un n <. Sovitaan lisäsi, että c(0, 0 1 (s. [4, s. 170]. Esimeri Jouon [4] 3-syliset permutaatiot ovat Täten c(4, 3 6. (12(3(4, (13(2(4, (14(2(3, (23(1(4, (24(1(3 ja (34(1(2. Esimeri Identtinen uvaus f id : [n] [n], f id (x x aiilla x [n], on jouon [n] ainoa permutaatio, jossa on n syliä. Siis c(n, n 1. Lause 4.8. (Ks. [4, s. 170]. Oloon n 1 ja 1. Tällöin c(n, c(n 1, 1 + (n 1c(n 1,. (4.8 Todistus. Jouon [n] permutaatiot, joissa on syliä, voidaan jaaa ahteen ryhmään. Jos (n on oma sylinsä, loput 1 syliä muodostavat jouon [n 1] {1, 2,..., n 1} permutaation. Määritelmän 4.6 muaan tällaisia permutaatiota on c(n 1, 1 appaletta. Jos (n ei ole oma sylinsä, se uuluu johonin jouon [n 1] permutaation syleistä. Tällaisia permutaatioita on (n 1c(n 1, appaletta, sillä n voi sijaita n 1 eri ohdassa. Esimeri Tauluossa 3 on esitetty luujen c(n, arvot, un 1 n n Tauluo 3: Luuja c(n,. Lause 4.9. c(n, n 1 n 2, un n 1. Todistus. Oloon π jouon [n] mielivaltainen permutaatio, jossa on n 1 syliä. Laatioperiaatteen nojalla permutaatiossa π on ysi syli, jossa on 2 aliota ja loput n 2 aliota uvautuvat itselleen. Tällöin ahden alion syli määrää permutaation π ysiäsitteisesti. Se voidaan valita n 2 tavalla, sillä alioiden esinäisellä järjestysellä ei ole väliä. 21

22 Lause n c(n, n!, un n 0. Todistus. Todistetaan väite indutiolla luvun n suhteen. Kun n 1, väite on tosi sillä c(n, n 1 ja c(n, 0 0. Oletetaan sitten, että väite on tosi, un n m 1 (n 1. Tällöin m m m c(m, c(m, c(m 1, 1 + (m 1 c(m 1, 1 1 m m c(m 1, 1 + (m 1 c(m 1, 1 1 m 1 m 1 c(m 1, + (m 1 (m 1! + (m 1(m 1! (1 + m 1(m 1! m(m 1! m!. c(m 1, Väitteen voi todistaa myös ombinatorisella päättelyllä (s. [2, s. 248]. Summalausee n c(n, nimittäin lasee yhteen jouon [n] aii permutaatiot, joissa on syliä, un 0, 1, 2,..., n. Kosa jouolla [n] ei ole muita permutaatioita, on summasi tultava n! eli jouon [n] aiien permutaatioiden luumäärä. Esimeri Oloon n 5. Tällöin lauseen 4.10 muaan 5 c(5, c(5, 0 + c(5, 1 + c(5, 2 + c(5, 3 + c(5, 4 + c(5, !. Lause ([4, s. 174: 7]. Jos n 0 ja x R, niin c(n, x x(x + 1 (x + n 1 x (n. (4.9 Todistus. Todistetaan väite indutiolla luvun n suhteen. Kun n 1, väite on tosi, sillä c(1, 0x 0 + c(1, 1x 1 x. Oletetaan sitten, että väite on tosi 22

23 mielivaltaisella oonaisluvulla n m 1 (n 1. Tällöin m m c(m, x c(m 1, 1 + (m 1c(m 1, x 1 m m x c(m 1, 1x 1 + (m 1 c(m 1, x 1 1 m 1 x m 1 c(m 1, x + (m 1 x (x (m 1 + (m 1(x (m 1 (x + m 1(x (m 1 (x (m. c(m 1, x Esimeri Kun verrataan lasevaa ertomafuntiota (x 4 x(x 1(x 2(x 3 nousevaan ertomafuntioon x 4 6x x 2 6x s(4, 4x 4 s(4, 3x 3 + s(4, 2x 2 s(4, 1x x (4 x(x + 1(x + 2(x + 3 x 4 + 6x x 2 + 6x c(4, 4x 4 + c(4, 3x 3 + c(4, 2x 2 + c(4, 1x, niin huomataan, että teijöiden x, x 2, x 3 ja x 4 vaioertoimet ovat itseisarvoltaan samat. Osoitetaan tämä seuraavassa lauseessa. Lause s(n, ( 1 n+ c(n,, un n 0 ja 0. Todistus. (Vrt. [4, s. 171]. Jos 0, niin väite on tosi aiilla n 0, sillä s(0, 0 1 ( 1 0 c(0, 0 ja s(n, 0 0 c(n, 0, un n > 0. Jos > 0, niin todistetaan väite indutiolla luvun n suhteen. Väite on tosi, un n 0, sillä s(0, 0 c(0, aiilla > 0. Oletetaan sitten, että väite on tosi mielivaltaisella oonaisluvulla n m 1 (n 1. Kaavan (4.4 ja indutiooletusen perusteella voidaan irjoittaa s(m, s(m 1, 1 (m 1 s(m 1, ( 1 m 1+ 1 c(m 1, 1 (m 1 m 1+ c(m 1, ( 1 m+ c(m 1, 1 + (m 1 ( 1 m+ c(m 1, ( 1 m+( c(m 1, 1 + (m 1 c(m 1, ( 1 m+ c(m,. 23

24 4.5 Differenssioperaattori Tässä aliluvussa tutustumme luujonoihin. Valitsemme luujonosi oonaisluvuilla n 0 määritellyn funtion. Määrittelemme ensin funtion differenssin ja todistamme asi differensseihin liittyvää lasuaavaa. Esimerissä 4.19 osoitamme differenssien avulla uuden yhteyden muotoa f(x x n olevien funtioiden ja Stirlingin luujen S(n, välille. Määritelmä 4.7. Oloon f(n oonaisluvuilla n 0 määritelty funtio. Tällöin funtion f(n ensimmäinen differenssi on f(n f(n + 1 f(n, toinen differenssi ja :s differenssi 2 f(n f(n + 1 f(n f(n ( 1 f(n. Sovitaan lisäsi, että 0 f(n f(n. Esimeri Oloon f(n oonaisluvuilla n 0 määritelty funtio. Tällöin 2 f(n ( f(n ( f(n + 1 f(n f(n + 2 f(n + 1 ( f(n + 1 f(n f(n + 2 2f(n f(n ja 3 f(n ( 2 f(n ( f(n + 2 2f(n f(n f(n + 3 2f(n f(n + 1 ( f(n + 2 2f(n f(n f(n + 3 3f(n f(n + 1 f(n. Lause (Ks. [4, s. 171]. Oloon f(n oonaisluvuilla n 0 määritelty funtio. Tällöin aiilla m 1. m m f(n ( 1 ( m f(n + m 24

25 Todistus. Todistetaan väite indutiolla luvun m suhteen. Väite on tosi, un m 1, sillä 1 ( 1 ( 1 f(n + 1 ( 1 0 ( 1 0 f(n + 1 f(n f(n. f(n ( 1 1 ( 1 1 f(n Oletetaan sitten, että väite on tosi mielivaltaisella oonaisluvulla j m 1. Tällöin m f(n ( m 1 f(n m 1 f(n + 1 m 1 f(n. Nyt indutio-oletusen muaan m 1 m 1 m 1 f(n + 1 ( 1 f(n (m 1 m 1 m 1 ( 1 f(n + m m 1 m 1 f(n + m + ( 1 f(n + m, osa ( 1 0 m Vastaavasti saadaan m 1 m 1 m 1 f(n ( 1 f(n + m 1 m m 1 ( 1 1 f(n + m 1 1 m ( 1 ( m 1 1 f(n + m + ( 1 m f(n. Kosa m 1 + m 1 1 m, niin summalauseeet voidaan yhdistää ja saadaan m 1 m f(n f(n + m + 1( 1 ( m f(n + m + + ( 1 m f(n m ( 1 ( m f(n + m, sillä f(n + m ( 1 0 m 0 f(n + m 0 ja f(n m m f(n + m m. 25

26 Esimeri (Ks. [4, s.172]. Oloon f(n oonaisluvuilla n 0 määritelty funtio ja m 1. Kun n 0, niin lauseen 4.13 perusteella m m f(0 ( 1 ( m f(m. Meritään sitten j m, jolloin lausee saadaan muotoon m m f(0 j0( 1 m j( m f(j. j Tällä lauseeella voidaan ilmaista funtion f(n m:s differenssi pisteessä 0 arvojen f(0, f(1,..., f(m avulla. Lause (Ks. [4, s. 172]. Oloon f(n oonaisluvuilla n 0 määritelty funtio. Tällöin n f(n f(0. (4.10 Todistus. Todistetaan väite indutiolla luvun n suhteen. Kun n 0, 1, väite on tosi, sillä 0 0 f(0 1 f(0 f(0 0 ja 1 0 f( f(0 1 f(0 + 1 f(0 1 f(0 + f(1 f(0 f(1. Oletetaan sitten, että väite on tosi, un n m 1 (n 1. Kirjoitetaan ensin n n n f(0 0 f(0 + f(0. ( Huomataan, että n 0 1 n 1 0. Kaavan (2.2 muaan n n 1 + n 1 1, 26

27 jolloin (4.11 saadaan muotoon n n 0 f(0 + f(0 0 1 ( n 1 n 1 0 f( n 1 n 1 0 n 1 n 1 f(0 + f( ( n 1 n 1 f(0 + ( n 1 f(0 f(n 1 + (f(n 1 f(n 1 + f(n f(n 1 f(n. n 1 f(0 1 n 1 f(0 1 Esimeri (Ks. [4, s.172]. Funtion f(n, n 0, erotustauluo on f(0 f(1 f(2 f(3... f(0 f(1 f( f(0 2 f(1 2 f( f(0 3 f( f(0 4 f( Esimeri (Ks. [4, s.172]. Oloon f(n n 3. Tällöin erotustauluo on Tauluosta nähdään, että f(0 0, f(0 1, 2 f(0 3 f(0 6 ja 27

28 m f(0 0, un m > 3. Lauseen 4.14 perusteella voidaan irjoittaa n n 3 f(0 n n n n n n n n n n Kosa saatu tulos on voimassa äärettömän monella muuttujan n arvolla, polynomiyhtälönä se on voimassa myös mielivaltaisella muuttujalla x R. Kirjoitetaan sitten x (x, jolloin saadaan! Yleisesti, un f(x x n, niin x n x x x x Kuitenin lauseen 4.5 muaan joten (x ! (x ! (x 3. x f(0 x n S(n, (x, S(n, (x f(0 (x.! f(0 (x.! Kun tämä jaetaan puolittain termillä (x, niin saadaan S(n, f(0, un 0 n.! Tämä voidaan vielä irjoittaa muotoon f(0 S(n,!. Lauseen 3.5 muaan S(n,! on surjetioiden luumäärä jouolta [n] jouoon []. Täten f(0 saa ombinatorisen tulinnan, un f(x x n. 28

29 5 Generoivista funtioista Tässä luvussa annamme määritelmän luujonon tavalliselle ja esponentiaaliselle generoivalle funtiolle. Esimerissä 5.2 johdamme lauseeen luujonon S(n, n 0 tavalliselle generoivalle funtiolle. Lauseessa 5.2 tutimme luujonon S(n, n 0 ja lauseessa 5.3 luujonon B(n n 0 esponentiaalista generoivaa funtiota. Määritelmä 5.1. Generoiva funtio jonolle (a n n0 on muodollinen potenssisarja f(x a n x n. n0 Esimeri 5.1. Oloon n 0 mielivaltainen, mutta iinteä oonaisluu ja a s(n,. Määritelmien 4.2 ja 5.1 perusteella ertomafuntio (x n on jonon s(n, 0 generoiva funtio. Esimeri 5.2. (Ks. [4, s ]. Oloon 0 mielivaltainen, mutta iinteä oonaisluu ja a n S(n,. Meritään Jos 0, niin f (x S(n, x n. n0 f 0 (x S(n, 0x n n0 S(0, 0 + S(1, 0x + S(2, 0x 2 + S(0, 0 1. Jos > 0, niin aloitetaan reursioaavasta (3.1: S(n, S(n 1, 1 + S(n 1,. Kun tämä errotaan puolittain termillä x n ja lasetaan yhteen muuttujan n 1 arvoilla, niin saadaan S(n, x n S(n 1, 1x n + S(n 1, x n. (5.1 n1 n1 n1 Nyt yhtälön (5.1 vasen puoli on S(n, x n S(1, x + S(2, x 2 + n1 S(0, + S(1, x + S(2, x 2 + f (x, 29

30 sillä S(0, 0, un > 0. Vastaavasti yhtälön (5.1 oiean puolen ensimmäinen summa on ja jälimmäinen summa Saadaan siis S(n 1, 1x n x S(n 1, 1x n 1 n1 n1 xf 1 (x S(n 1, x n x S(n 1, x n 1 n1 n1 xf (x. f (x xf 1 (x + xf (x. Kun tästä rataistaan f (x, saadaan reursiivinen aava f (x Edellä osoitettiin, että f 0 (x 1, joten x 1 x f 1(x. f 1 (x x 1 x f 0(x x 1 x f 2 (x x 1 2x f x 2 1(x (1 x(1 2x f 3 (x x 1 3x f x 3 2(x (1 x(1 2x(1 3x ja niin edelleen. Olemme todistaneet seuraavan lauseen. Lause 5.1. Oloon 0 mielivaltainen, mutta iinteä oonaisluu. Luujonon S(n, n 0 generoiva funtio on 1, jos 0, ja un > 0. x (1 x(1 2x (1 x j1 x 1 jx, Määritelmä 5.2. Esponentiaalinen generoiva funtio jonolle (a n n0 on g(x n0 a n x n n!. 30

31 Lause 5.2. (Vrt. [5, s. 111]. Oloon iinteä positiivinen oonaisluu ja a n S(n,. Tällöin g(x (ex 1.! Todistus. Binomilauseen perusteella 1! (ex 1 1! Käytetään sitten tietoa, että jolloin saadaan e ax j0( 1 j( j n0 a n xn n!, e ( jx. 1! (ex 1 1! j0( 1 j( ( j n xn j n0 n! ( 1 j ( j n xn! j n! n0 n0 j0 S(n, xn n!. Lause 5.3. Luujonon B(n n 0 esponentiaalinen generoiva funtio on g(x e ex 1. Todistus. (Vrt. [4, s.165]. Meritään ensin Tutitaan sitten aavaa (3.7: g(x B(n n 1 j0 n0 Kun tämä errotaan puolittain termillä n 1, saadaan B(n xn n!. n 1 B(j. j xn 1 (n 1! ja lasetaan yhteen aiilla x n 1 B(n n1 (n 1! n 1 n 1 B(j xn 1 n1 j0 j (n 1!. (5.2 31

32 Nyt yhtälön (5.2 vasen puoli on funtion g(x derivaatta, ts. x n 1 B(n n1 (n 1! g (x. Yhtälön (5.2 oiealla puolella voidaan meritä m n 1, jolloin se saadaan muotoon n 1 n 1 B(j xn 1 ( n1 j0 j (n 1! m x m B( m0 m! ( ( B(n xn x n n0 n! n0 n! g(x e x. Saadaan siis g (x e x g(x, jona yleinen rataisu on muotoa g(x e ex +C, missä C R on mielivaltainen. Tässä uitenin g(0 B(0 1, joten 1 e e0 +C e 1+C. Siis on oltava C 1. Tällöin luujonon B(n esponentiaalisen generoivan funtion lauseeesi saadaan g(x e ex 1. 32

33 Viitteet [1] Bogart, Kenneth P. Introductory Combinatorics, 2nd ed. Harcourt Brace Jovanovich, Inc., [2] Graham, Ronald L., Knuth, Donald E., Patashni, Oren. Concrete mathematics: a foundation for computer science. Addison-Wesley Publishing Company, [3] Hauanen, Pentti. Kombinatoriiaa. Opintomoniste. Tampereen yliopisto. HauanenKomb.pdf, viitattu [4] Mazur, David R. Combinatorics. A Guided Tour. Mathematical Association of America (MAA, [5] Michaels, John G., Rosen, Kenneth.R Applications of Discrete Mathematics. McGraw-Hill, Inc.,