Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Transkriptio

1 Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts. jos x A, niin x B, (ii) osoitetaan, että B A, ts. jos x B, niin x A. 1 / 15

2 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Esimerkki 1 Osoita, että {0,1} = {x R x 2 = x}. Todistus. On osoitettava kaksi seikkaa: {0,1} {x R x 2 = x} ja {x R x 2 = x} {0,1}. Perustellaan 1. väite: Koska 0 2 = 0 ja 1 2 = 1, niin {0,1} {x R x 2 = x}, joten 1. väite on totta. Perustellaan vielä 2. väite: Jos x R on sellainen, että x 2 = x, niin 0 = x 2 x = x(x 1), mistä nähdään, että x = 0 tai x = 1. Siis 2. väite pätee. 2 / 15

3 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Esimerkki 2 Olkoot A = {x R x 2 5x + 6 = 0} ja B = {n N 3 < n 2 < 10}. Osoita, että A = B. Todistus. On osoitettava, että A B ja B A. (i) Väite 1: A B, ts. jos x A, niin x B. Todistus. Olkoon x A. Tällöin x R ja x 2 5x + 6 = 0. Ratkaistaan toisen asteen yhtälö jakamalla polynomi x 2 5x + 6 tekijöihin: 0 = x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3). Tästä nähdään, että x = 2 tai x = 3. Koska 2 N ja 3 < 2 2 < 10, niin 2 B. Koska 3 N ja 3 < 3 2 < 10, niin 3 B. Siis A B. 3 / 15

4 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Esimerkin 2 todistus jatkuu (ii) Väite 2: B A, ts. jos x B, niin x A. Todistus. Olkoon n B, ts. n N ja 3 < n 2 < 10. Tällöin n = 2 tai n = 3. Sijoittamalla 2 x:n paikalle lausekkeeseen x 2 5x + 6 saadaan = = 0. Siis 2 A. Sijoittamalla 3 muuttujan x paikalle lausekkeeseen x 2 5x + 6 saadaan = = 0. Siis 3 A. Näin ollen B A. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A = B. 4 / 15

5 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Esimerkki 3 Osoita, että A (B C) = (A B) (A C). Todistus. (i) Väite 1: A (B C) (A B) (A C), ts. jos x A (B C), niin x (A B) (A C). Todistus. Oletetaan, että x A (B C).Tällöin x A tai x B C. Käsitellään nämä tapaukset erikseen. Jos x A, niin x A B ja x A C yhdisteen määritelmän nojalla. Siis x (A B) (A C). Jos x B C, niin x B ja x C leikkauksen määritelmän perusteella. Edelleen yhdisteen määritelmän nojalla x A B ja x A C. Siis x (A B) (A C). Koska molemmissa tapauksissa x (A B) (A C), niin väite 1 on totta. 5 / 15

6 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Todistus. (ii) Väite 2: (A B) (A C) A (B C), ts. jos x (A B) (A C), niin x A (B C). Todistus. Oletetaan, että x (A B) (A C).Tällöin x A B ja x A C. Jos x A, niin yhdisteen määritelmän nojalla x A (B C). Jos taas x / A, niin koska x A B ja x A C, on x molempien joukkojen B ja C alkio. Näin ollen x B C, mistä seuraa, että x A (B C). Siis väite 2 on totta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A (B C) = (A B) (A C). 6 / 15

7 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Esimerkki 4 Osoita, että (A B) C = A C B C. Todistus. (i) Väite 1: (A B) C A C B C, ts. jos x (A B) C, niin x A C B C. Todistus. Oletetaan, että x (A B) C, ts. x / A B. Perustellaan, että tästä seuraa, että x / A ja x / B. Vastaoletus: x A tai x B. Tällöin x A B, mikä on ristiriita, sillä oletuksen perusteella x / A B. Siis vastaoletus on väärä. Näin ollen x / A ja x / B, ts. x A C ja x B C. Siis x A C B C. Väite 1 on siis totta. 7 / 15

8 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Todistus. (ii) Väite 2: A C B C (A B) C, ts. jos x A C B C, niin x (A B) C. Todistus. Oletetaan, että x A C B C, ts. x / A ja x / B. Perustellaan, että tästä seuraa, että x / A B. Vastaoletus: x A B. Tällöin x A tai x B, mikä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x / A ja x / B. Siis vastaoletus on väärä. Näin ollen x / A B, ts. x (A B) C, ja väite 2 on osoitettu todeksi. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että (A B) C = A C B C. 8 / 15

9 Joukko-oppia Määritellään seuraavaksi joukkojen äärelliset ja numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. Määritelmä 2 Joukkojen A 1,A 2,...,A k äärellinen yhdiste on k A i = A 1 A 2... A k i=1 = {x x A 1 tai x A 2 tai... tai x A k } ja äärellinen leikkaus on = {x x A i jollakin i = 1,...,k} k A i = A 1 A 2... A k i=1 = {x x A 1 ja x A 2 ja... ja x A k } = {x x A i kaikilla i = 1,...,k}. 9 / 15

10 Joukko-oppia Määritelmä 3 Joukkojen A 1,A 2,... numeroituva yhdiste on A i = {x x A i jollakin i = 1,2,...} i=1 ja numeroituva leikkaus on A i = {x x A i kaikilla i = 1,2,...}. i=1 10 / 15

11 Joukko-oppia Esimerkki 5 [ ] Tarkastellaan joukkoja A = ] 1,0[, B = ]0,1], C = 1 2,2 ja D = {0,3}. Mitä ovat A B, A B D, B C ja A B C D? Ratkaisu: Määritelmien perusteella saadaan A B = ] 1,0[ ]0,1]= ] 1,1] \{0}, A B D= (A[ B) ] C= [ ] 1,1] ] \{0} {0,3} = ] 1,1] {3}, B C= ]0,1] 1 2,2 = 1 2,1 ja [ ] A B C D= A (B C) D= ] 1,0[ 1 2,1 {0,3}=. 11 / 15

12 Joukko-oppia Esimerkki 6 Kaikilla k N määritellään A k = [k,k + 1[. Mitä ovat 4 A k, 10 A k, 10 k=5 A k ja A k? Ratkaisu: Määritelmien perusteella 4 A k = A 1 A 2 A 3 A 4 = [1,2[ [2,3[ [3,4[ [4,5[= [1,5[, k=5 A k = A 1 A 2... A 10 = [1,2[ [2,3[... [10,11[= [1,11[, A k = A 5 A 6... A 10 = [5,6[ [6,7[... [10,11[= [5,11[ ja A k = {x R x A k jollakin k = 1,2,...}= [1, [. 12 / 15

13 Joukko-oppia Esimerkki 7 Kaikilla k = 1,2,... määritellään A k = [0, 1 k [. Mitä ovat 4 A k, 10 A k, 10 k=5 A k ja A k? Ratkaisu: Määritelmien perusteella 4 A k = A 1 A 2 A 3 A 4 = [0,1[ [0, 1 2 [ [0, 1 3 [ [0, 1 4 [= [0, 1 4 [, k=5 A k = A 1 A 2... A 10 = [0,1[ [0, [... [0, 10 [= [0, 10 [, A k = A 5 A 6... A 10 = [0, 1 5 [ [0, [... [0, 10 [= [0, 10 [ ja A k = {x R x A k kaikilla k = 1,2,...}= {0}. 13 / 15

14 Joukko-oppia Esimerkki 7 jatkuu Perustellaan viimeinen yhtäsuuruus, ts. todistetaan, että A k = {0}. On siis osoitettava, että {0} A k ja A k {0}. Koska 0 [0, 1 k [ kaikilla k = 1,2,..., niin {0} A k. 14 / 15

15 Joukko-oppia Esimerkki 7 jatkuu Osoitetaan vielä, että Oletus: x A k {0}. A k, ts. x A k kaikilla k = 1,2,.... Väite: x = 0. Vastaoletus: x 0. Koska x A 1 ja x 0, niin 0 < x < 1. Valitaan niin suuri i = 1,2,..., että i > 1 x. Tällöin 1 i < x, joten x / A i. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x A i. Näin ollen vastaoletus ei ole tosi, ja siten väite pätee. 15 / 15