4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
|
|
- Taisto Oksanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon. Tässä Union-Find-ongelmassa sallittuja operaatioita ovat siis seuraavat: Mae-Set(x) : luo yhden alion jouon { x }, un x X. Operaatio saadaan tehdä vain erran ullein x. Find(x) : palauta edustaja siitä jouosta S johon x uuluu. Tämä edellyttää, että josus aiemmin on suoritettu Mae-Set(x). Edustaja on miä tahansa iinteä jouon S alio. Ainoa vaatimus on, että jos x S ja y S, niin Find(x) ja Find(y) palauttavat saman alion. Union(x, y) : Yhdistä alion x sisältävä ja alion y sisältävä jouo esenään. Edellyttää, että ummallein aliolle on josus tehty Mae-Set. Uuden jouon edustaja saa olla mielivaltainen sen alio, josin tyypilliset toteutuset valitsevat edustajasi joo alion Find(x) tai alion Find(y). 232
2 Esimeri perusjouo { a,..., }; jouojen (eräät mahdolliset) edustajat lihavoitu Mae-Set(a)... Mae-Set() { a } { b } { c } { d } { e } { f } { g } { h } { i } { j } { } Union(a, b) Union(c, d) Union(g, h) { a, b } { c, d } { e } { f } { g, h } { i } { j } { } Find(a) palauttaa a Find(b) palauttaa a Find(e) palauttaa e Union(b, d) Union(h, i) { a, b, c, d } { e } { f } { g, h, i } { j } { } Sovellusesimeri: Krusalin algoritmi Jouo muodostuu solmuista, jota ovat samassa puussa. Kaari (u, v) aiheuttaa sylin jos ja vain jos Find(u) = Find(v). Kaaren (u, v) lisääminen otetaan huomioon suorittamalla Union(u, v). 233
3 Jatossa n on perusjouon alioiden luumäärä. Rataisuyritys 1: jouot linitettyjä listoja. Union vaioajassa, mutta Find voi viedä Ω(n) Rataisuyritys 2: tauluoidaan ullein x sen sisältävän jouon edustaja. Find vaioajassa, mutta Union voi viedä Ω(n) Rataisu: linitetty metsä. Kuin jouo muodostaa puun, puun juuri jouon edustaja. c e f g j b d h a i { a, b, c, d } { e } { f } { g, h, i } { j } { } 234
4 Perustoteutus linitettynä metsänä: Mae-Set(x): p[x] := x Union(x, y): Lin(Find(x), Find(y)) Lin(x, y): p[x] := y Find(x): while p[x] x do x := p[x] return x Toteutus linitettynä metsänä ei vielä taaa tehouutta. Tehostamme operaatioita seuraavasti: Pidetään puut matalina äyttämällä luoaan (ran) perustuvaa tasapainotusta. Vältetään saman työn toistamista suorittamalla Find-operaation yhteydessä poluntiiivistys. 235
5 Puun luoan määräytyminen (perusidea): Ysisolmuisen puun juuren luoa on 0. Jos solmu y linitetään solmun x lapsesi, niin solmun x luoa muuttuu seuraavasti: Jos ran(x) ran(y) niin ran(x) := max { ran(x), ran(y) }. Jos ran(x) = ran(y) niin ran(x) := ran(x) + 1. Siis pienin puu, jona juuren luoa on, on binomipuu B. Jatossa esitettävä poluntiivistys sotee hieman tätä perusajatusta. Joa tapausessa Mae-Set ja Lin voidaan esittää muodossa Mae-Set(x): p[x] := x ran[x] := 0 Lin(x, y): if ran[x] > ran[y] then p[y] := x else p[x] := y if ran[x] = ran[y] then ran[y] := ran[y]
6 Poluntiivistysessä samalla un operaatio Find(x) etsii polun solmusta x puun juuren, se oiaisee aiien polun varrelta löytyvien solmujen vanhempi-linit osoittamaan suoraan puun juureen. Find(x): r := x while p[r] r do r := p[r] q := r r := x s := p[x] while s r do p[r] := q r := s s := p[r] d c Find(a) b d a a b c 237
7 Huomataan ensin, että yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että Union-operaatioiden sijaan äytetään vain Lin-operaatioita, jota saavat argumenttina osoittimen puun juureen. Tämä seuraa ysinertaisesti siitä, että operaatio Union(x, y) antaa saman tulosen uin operaatiot x := Find(x) y := Find(y) Lin(x, y ) Siis miä tahansa m Union-Find-operaation jono voidaan muuntaa oreintaan 3m operaation Lin-Find-jonosi. Tavoitteena on osoittaa, että m operaation jono äyttäen luoaan perustuvaa tasapainotusta ja poluntiivistystä vie oreintaan ajan O(mα(n)), missä α on erittäin hitaasti asvava ( äytännössä vaio, esim. α(n) 4 un n ). Edellä esitetyn perusteella voidaan olettaa, että Union-operaation ohdistuvat puiden juuriin. Samoin selvästi riittää tarastella tapausta, että aii Mae-Set-operaatiot tehdään ennen mitään muita operaatioita. Sama asymptoottinen aiavaativuus voidaan saavuttaa myös muilla samantyyppisillä tasapainotus- ja polunlyhennysteniioilla. 238
8 Hitaasti asvava funtio α saadaan nopeasti asvavan funtion A äänteisfuntiona. Käytetään merintää A funtion A iteroinnille ertaa: A 0 (n) = n ja A +1 (n) = A(A (n)). Määritellään reursiivisesti { j + 1 jos = 0 A (j) = A j+1 1 (j) jos 1. Indesiä nimitetään funtion A tasosi. Selvästi A (j) asvaa aidosti seä tason että argumentin j suhteen. Pari ensimmäistä tasoa saadaan suljettuun muotoon helpolla indutiolla: A 1 (j) = 2j + 1 A 2 (j) = 2 j+1 (j + 1) 1 Lasetaan vielä parin tason ensimmäinen arvo: ja A 3 (1) = A 2 2 (1) = A 2(7) = 2047 A 4 (1) = A 2 3 (1) = A 3(2047) A 2 (2047) = Siis un määritellään α(n) = min { A (1) n } saadaan α(n) 4 un n Tätä rajaa voidaan verrata esim. arvioituun universumin atomien luumäärään
9 Tasoitetussa analyysissa eseisesi tulee sen tarastelu, miten arvot ran[x] ja ran[p[x]] suhtautuvat toisiinsa. Luoa ran[x] voi vaihtua vain un x saa uuden lapsen Lin-operaatiossa. Sen sijaan p[x], ja näin ollen myön lauseeen ran[p[x]] arvo, voi muuttua myös suoritettaessa Find jona etsintäpolu ulee solmun x autta. Propositio A Kaiilla x pätee ran[x] ran[p[x]], ja yhtäsuuruus pätee vain jos x on puun juuri. Arvo ran[x] on alusi nolla, eiä osaan pienene. Sen jäleen, un x on linitetty toisen solmun lapsesi, arvo ran[x] ei myösään enää asva. Arvo ran[p[x]] ei osaan pienene. Todistus Suoraan operaatioiden toteutusesta. Propositio B Kaiilla x pätee ran[x] log n. Todistus Helppo indutio. 240
10 Ryhdymme nyt määrittelemään potentiaalia Φ. Potentiaali hetellä q (un on suoritettu ensimmäiset q operaatiota) on Φ q = x φ q (x) missä summa on aiien alioiden yli ja φ q (x) on aliolle x pian määriteltävä potentiaali hetellä q. Perusidea on, että φ q (x) on pieni, jos ran[p[x]] on hyvin paljon pienempi uin ran[x]. Tämä on seurausta siitä, että poluntiivistysten taia lini x p[x] oiaisee monen solmun yli. Jos jollain x operaatio Find(x) vie hyvin pitän ajan, niin solmusta x juureen johtavalla polulla oli paljon solmuja. Erityisesti polulla siis on ollut solmuja, joiden vanhempi-lini ei aiemmin oiaissut ovinaan paljon. Kun tehdään poluntiivistys, nämä solmut saavat uuden vanhemman ja niiden potentiaali putoaa. Potentiaaliin φ(x) vaiuttaa paitsi suoraan ran[x], myös ran[p[x]] epäsuorasti funtioiden level ja iter välitysellä. (Näissä pitäisi aiissa olla alaindesi q, osa ne vaihtuvat ajan myötä, mutta jätetään se selvyyden vuosi meritsemättä.) 241
11 Määritellään funtio level seuraavasti: level(x) = max { ran[p[x]] A (ran[x]) }. Siis un meritään ran[x] = r pätee level(x) = 0 jos ja muuten level(x) = jos r < ran[p[x]] 2r + 1, A (r) ran[p[x]] < A +1 (r) = A r+1 (r). Siis level(x) ertoo sellaisen, että funtiota A voidaan pisteestä r lähtien iteroida ainain erran mutta enintään r ertaa ennen uin mennään arvon ran[p[x]] yli. Ylläoleva aava osoittaa, että funtioiden A määritelmän nojalla tämä on ysiäsitteinen. Lisäsi on helppo nähdä 0 level(x) α(n) 1. Oloon edelleen ran[x] = r ja = level(x). Määritellään iter(x) = max { i ran[p[x]] A i (r) }. Siis iter antaa hienosäätöä sille, missä välillä [A (r), A r+1 (r)] arvo ran[p[x]] sijaitsee. Ylläesitetyn perusteella 1 iter(x) r. 242
12 Olemme nyt valmiit esittämään potentiaalin määritelmän. Kun ran, level ja iter aii viittaavat tilanteeseen hetellä q, asetetaan φ q (x) = α(n)ran[x] jos x juuri tai ran[x] = 0 φ q (x) = (α(n) level(x))ran[x] iter(x) muuten. Edellä esitetyistä rajoista ja 0 level(x) α(n) 1 1 iter(x) ran[r] seuraa suoraan ylä- ja alarajat 0 φ q (x) α(n)ran(x). Tarastellaan nyt potentiaalin muutosia. Lemma 1 Mae-Set-operaation tasoitettu aiavaativuus on O(1). Todistus Selvästi todellinen aiavaativuus on vaio, ja potentiaali ei muutu. 243
13 Tarastellaan nyt potentiaalin muutosia Union- ja Find-operaatioissa. Lemma 2 Oletetaan, että x ei ole juurisolmu. Missään Union- tai Find-operaatiossa solmun x potentiaali ei asva. Jos ran[x] > 0 ja level tai iter muuttuvat, solmun x potentiaali pienenee ainain yhdellä. Todistus Muulla uin juurisolmulla ran ei muutu. Jos ran[x] = 0, miään potentiaalin omponentti ei muutu. Tarastellaan siis tapausta ran[x] 1. Kosa ran[x] ei muutu, potentiaali muuttuu vain arvon ran[p[x]] muutosen taia. Oloon r = ran[x], = level(x) ja i = iter(x) jollain hetellä. Siis alusi A i (r) ran[p[x]] < Ai+1 (r). Kun arvoa ran[p[x]] ruvetaan asvattamaan, se voi ylittää rajat A i+1 (r), A i+2 (r), A i+3 (r),... ja vastaavasti iter(x) saada arvot i + 1, i + 2, i + 3,
14 Niin auan uin ran[p[x]] < A r+1 (r) = A +1 (r), taso level(x) ei muutu, joten joainen luvun iter(x) asvu pienentää suoraan potentiaalia φ(x). Jos ran[p[x]] lopulta saavuttaa rajan A r+1 (r) = A +1 (r), niin iter ei enää asva rajan r yli vaan x siirtyy tasolle + 1. Tason level(x) asvaminen yhdellä pienentää potentiaalia ran[x] verran. Samalla tosin iter(x) voi pienentyä, mutta osa muuttujan iter(x) arvoalue on { 1,..., ran(x) }, tästä aiheutuva potentiaalin asvu on enimmillään ran[x] 1 ysiöä. Siis tässäin muutosessa potentiaali oonaisuutena pienenee ainain yhdellä. Ysi operaatio voi tietysti muuttaa arvoa ran[p[x]] mielivaltaisen paljon, mutta muutos voidaan aina palautaa sarjasi yhden mittaisia aselia ja soveltaa joaiseen aseleeseen eriseen tätä päättelyä. 245
15 Olemme nyt valmiit varsinaiseen tasoitettuun analyysiin. Lemma 3 Kunin Lin-operaation tasoitettu aiavaativuus on O(α(n)). Todistus Symmetrian perusteella riittää tarastella operaatiota Lin(x, y) un y tulee solmun x vanhemmasi. Todellinen aiavaativuus on selvästi vaio. Pitää osoittaa, että potentiaalin mahdollinen asvu on O(α(n)). Lemman 2 nojalla potentiaali voi asvaa ainoastaan solmuissa x ja y. Solmu x muuttuu juuresta ei-juuresi ja sen ran ei muutu. Määritelmänsä muaan φ(x) siis joo pysyy arvossa 0 (tapaus ran[x] = 0) tai pienenee vähintään määrällä iter(x) 1. Joa tapausessa φ(x) ei ainaaan asva. Solmu y on juuri ennen ja jäleen operaation, ja ran[y] joo pysyy ennallaan tai asvaa yhdellä. Siis φ(y) joo pysyy ennallaan tai asvaa määrällä α(n). 246
16 Jäljellä on enää Find-operaatio, joa onin hanalin ja selittää potentiaalifuntion valinnan. Lemma 4 Kunin Find-operaation tasoitettu aiavaativuus on O(α(n)). Todistus Tarastellaan operaatiota Find(z). Oloon s solmun z etäisyys puunsa juuresta. Siis todellinen aiavaativuus on O(s). Osoitetaan, että potentiaali ei ainaaan asva, ja jos s α(n) + 2 niin potentiaali pienenee ainain määrällä s α(n) 2. Väite seuraa, un oletetaan potentiaalin vaioerroin sopivasti valitusi. Lemman 2 nojalla ainaaan muiden solmujen uin juuren potentiaali ei asva. Juuren ran ei muutu, joten sen potentiaaliaan ei muutu. Koonaispotentiaali ei siis ainaaan asva. Oloon nyt s α(n). Väitämme, että ainain s α(n) 2 solmun potentiaali aidosti pienenee. Tämä seuraa, un osoitamme, että solmun x potentiaali pienenee ainain, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. x on haupolulla solmun z ja juuren välissä (nämä solmut poisluien) ja 2. solmun x ja juuren välissä (taas nämä solmut poisluien) on ainain ysi solmu y jolla level(y) = level(x). 247
17 Oloot siis x ja y sellaiset haupolun solmut, että umpiaan ei ole polun päätepiste ja level[x] = level[y] = ennen poluntiivistystä. Meritään vielä i = iter(x). Tällöin seuraavat arviot pätevät: ran[p[x]] A i (ran[x]) ran[p[y]] A (ran[y]) ran[y] ran[p[x]] Kosa A on asvava, saadaan ennen poluntiivistystä ran[p[y]] A (ran[y]) A (ran[p[x]]) A (A i (ran[x])) Poluntiivistysen jäleen p[x] = p[y] ja siis ran[p[x]] = ran[p[y]]. Kosa poluntiivistysessä ran[x] ei muutu ja ran[p[y]] ei ainaaan pienene, poluntiivistysen jäleen saadaan ran[p[x]] A i+1 (ran[x])). Tiivistysessä siis solmulla x joo iter tai level asvaa, ja siis lemman 2 muaan potentiaali pienenee. Lemmoista 1, 3 ja 4 seuraa suoraan Korollaari Poluntiivistysellä ja tasapainotusella m Union-Find-operaatiota n-alioisessa perusjouossa voidaan suorittaa ajassa O(mα(n)). 248
18 Pienin yhteinen esivanhempi (Least Common Ancestor, LCA) Puun solmujen u ja v pienin yhteinen esivanhempi, LCA(u, v), on solmujen u ja v esivanhemmista se, joa on auimpana puun juuresta. Tarastellaan Union-Find-sovellusesimerinä LCA-ongelman offline-versiota: on annettu jouo P solmupareja, ja halutaan yhdellä puun läpiäynnillä määrätä LCA(u, v) aiille { u, v } P. Ongelma voidaan rataista värittämällä alusi aii puun solmut valoisisi ja utsumalla sitten LCA(r), missä r on puun juuri ja LCA seuraava reursiivinen proseduuri: LCA(u): 1. color[u] := Gray 2. Mae-Set(u) 3. ancestor[find(u)] := u 4. for aiille solmun u lapsille v do 5. LCA(v) 6. Union(u, v) 7. ancestor[find(u)] := u 8. color[u] := Blac 9. for aiilla v joilla { u, v } P do 10. print u, v, ancestor[find(v)] (Harmaa väri on vain analyysin selventämisesi, harmaat solmut voitaisiin jättää myös valeisi.) 249
19 Harmaat solmut muodostavat polun juuresta äsiteltävänä olevaan solmuun. Kussain jouossa on ysi harmaa solmu ja tämän solmun oomustat alipuut (joita voi tietysti olla useampiain, toisin uin alla olevassa aaviomaisessa uvassa). ancestor-find-ombinaatiolla uin musta solmu löytää oman harmaan solmunsa. Tämä harmaa solmu on selvästi oiea vastaus yseistä mustaa solmua oseviin LCA-yselyihin. (Todistusen ysityisohdat sivuutetaan.) 250
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotModaalilogiikan harjoitusteht vi Aatu Koskensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesim
Modaalilogiian harjoitusteht vi Aatu Kosensilta 1 Harjoitusteht v t 16.4 1.1 Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesimerin avulla. Otamme ehysisi F 1 = hz? ;?i ja F 1 = hz
LisätiedotTarkennamme geneeristä painamiskorotusalgoritmia
Korotus-eteen-algoritmi (relabel-to-front) Tarkennamme geneeristä painamiskorotusalgoritmia kiinnittämällä tarkasti, missä järjestyksessä Push- ja Raise-operaatioita suoritetaan. Algoritmin peruskomponentiksi
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotPienin virittävä puu (minimum spanning tree)
Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotAVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta
AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotOHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008
OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
Lisätiedotf(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotFibonacci-kasoilla voidaan toteuttaa samat operaatiot kuin binomikasoilla.
4.2 Fibonacci-kasat Fibonacci-kasoilla voidaan toteuttaa samat operaatiot kuin binomikasoilla. Pääsiallinen ero on, että paljon Decrease-Key-operaatioita sisältävät jonot nopeutuvat. Primin algoritmi pienimmälle
Lisätiedot3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
Lisätiedot4. Joukkojen käsittely
4 Joukkojen käsittely Tämän luvun jälkeen opiskelija osaa soveltaa lomittuvien kasojen operaatioita tuntee lomittuvien kasojen toteutuksen binomi- ja Fibonacci-kasoina sekä näiden totetutusten analyysiperiaatteet
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
LisätiedotSYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
Lisätiedot(p j b (i, j) + p i b (j, i)) (p j b (i, j) + p i (1 b (i, j)) p i. tähän. Palaamme sanakirjaongelmaan vielä tasoitetun analyysin yhteydessä.
Loppu seuraa suoralla laskulla: n n Tave TR = p j (1 + b (i, j)) j=1 = 1 + 1 i
LisätiedotEulerin φ-funktion ominaisuuksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin
Lisätiedot3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin.
3. Hakupuut Hakupuu on listaa tehokkaampi dynaamisen joukon toteutus. Erityisesti suurilla tietomäärillä hakupuu kannattaa tasapainottaa, jolloin päivitysoperaatioista tulee hankalampia toteuttaa mutta
Lisätiedotx k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.
28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotLuku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
LisätiedotTehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
LisätiedotPinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia
Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 12.9.2018 ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. [10 pistettä] Iso-O-merkintä. (a) Pitääkö paikkansa, että n 3 + 5 = O(n 3 )? Ratkaisu: Pitää paikkansa.
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotLuku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
LisätiedotValitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotHakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina
Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella
Lisätiedot2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************
.. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
LisätiedotVerkon virittävät puut
Verkon virittävät puut Olkoon G = (V, E) suuntaamaton yhtenäinen verkko verkon yhtenäisyydellä tarkoitamme että kaikki verkon solmut ovat saavutettavissa toisistaan, eli verkossa ei ole erillisiä osia
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg
Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou
Lisätiedot58131 Tietorakenteet Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet Erilliskoe 11.11.2008, ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. (a) Koska halutaan DELETEMAX mahdollisimman nopeaksi, käytetään järjestettyä linkitettyä listaa, jossa suurin alkio on listan kärjessä.
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
Lisätiedot1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)
. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.
LisätiedotEPOP Kevät
EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
LisätiedotEräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.
5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotTehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003
Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Matti Nykänen 5. joulukuuta 2003 1 Satelliitit Muunnetaan luennoilla luonnosteltua toteutusta seuraavaksi: Korvataan puusolmun p kentät p. key ja
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotJLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi
JLP:n äyämäömä mahdollisuude Juha Lappi LP ehävä p z = a x + b z 0 Max or Min (.) 0 0 = = subjec o he following consrains: c a x + b z C, =,, q p q K r (.2) = = m n i ij K (.3) i= j= ij x xw= 0, =,, p
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
Lisätiedot