Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Transkriptio

1 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista särmistä toteutuu muista särmistä riippumatta luua p vastaavalla todeäöisyydellä. Nyt joaisella luvulla m N saadaa tulos P X = m } M = p m ( p) M m, m missä luu ( M m) o iide tapoje määrä, joilla M aliota sisältävästä jouosta voidaa valita tasa m aliota. Erityisesti joaisella ehdo m > M toteuttavalla ooaisluvulla m o väite ( M m) = 0 voimassa. Lisäsi edellie lausee ataa oiea tulose myös satuaisvero G, p() tapausessa. Oletuste p>0ja p<perusteella satuaismuuttuja X oudattaa äi olle biomijaaumaa parametrie M ja p suhtee. Satuaismuuttuja X odotusarvo o tuetusti luuje M ja p tulo, miä toisaalta voidaa osoittaa muu muassa idiaattoreita äyttäe vastaavalla tavalla ui tehtävä 5 rataisu yhteydessä. Tehtävä : Joaisella luvulla N oloo A sellaie totuusarvoie satuaismuuttuja, joa toteutumie meritsee, että verolla G, p() o omiaisuus P voimassa. Oloo joaisella luvulla N vastaavasti A satuaismuuttuja, joa ilmaisee verolla G, p() omiaisuude P toteutuva. Oloo ehdo 0<ε< toteuttava luu ε R lisäsi mielivaltaie. Oloo seuraavissa päätelmissä luu joi jouonalio. TapahtumatA } ja A A } ovat eseää erillisiä. Tällöi tapahtuma A A } havaitaa oleva iide erillie yhdiste. Erilliste tapahtumie yhdistee todeäöisyys o tapahtumie todeäöisyysie summa, jote saadaa tulos P A } } A = P A +P A A }.

2 Vastaavasti tapahtumata } jaa A } ovat eseää erillisiä seä tuottavat tapahtumaa A } yhdisteeää. Saadaa havaito P A A } = P A } +P A A }. Toisaalta tapahtuma A A } o erillie seä tapahtuma A A } assa että tapahtumaa A } assa. Lisäsi tapahtumaa A } saadaa äide olme tapahtuma yhdisteeä. Saadaa siis tulos P A A } = P A A } P A A } P A A } = P ( A A } P A A } P A ) (P } ) A A } P A } = P A }+P A } P A A }. Saatua lopputulosta voidaa edellee jataa tiedo PA A } perusteella. Hyödyetää jatossa yseistä arviota. Tehtävä oletuste perusteella o olemassa luvut N ja N site, että joaisella luvulla Npätee, että ehdosta seuraa ehdo PA } < ε/ toteutuva ja että ehdosta seuraa väittee PA } < ε/ toteutuva. Tällöi joaisella vaatimuse max, } toteuttavalla N pätee P A A } P A }+P ( A } ε ) = ε. Site tapahtuma A A } todeäöisyys lopulta lähestyy rajatta varmuudella toteutuva tapahtuma todeäöisyyttä. Haluttu lopputulos o siis voimassa. Tehtävä : 3 Joaisella luvulla N satuaisvero G, p särmäjouossa o mahdollista olla yhteesä ( ) aliota, jolloi luu p ( )/ o täydellise vero todeäöisyys. Oletuse p < muaa asymptoottisesti lähes varmasti satuaisvero ei ole täydellie. Toisaalta joaisella verolla H toteutuu väite diam(h) = tasa siiä tapausessa, että vero H o täydellie. Nämä molemmat ehdot ovat imittäi yhtäpitäviä se assa, että joaise solmupari välillä o särmä.

3 Toisaalta joaisella verolla K väite diam(k) 3 pätee täsmällee silloi, u o olemassa asio a, b} V(K) site, että ehto a, b} / E(K) toteutuu ja että joaisella solmulla x V(K)\a, b} o aiai toie ehdoista a, x} / E(K) jax, b} / E(K) voimassa. Molemmissa tapausissa joi solmupari välisessä lyhyimmässä polussa o imittäi vähitää olme särmää. Oloo N joi luu. Joaisella satuaisvero G, p asiolla a, b} äytetää meritää D(a, b) totuusarvoisesta satuaismuuttujasta, joa toteutuu täsmällee silloi, u ehto a, b} / E(K) pätee ja u vero joaisella muulla solmulla x aiai toie ehdoista a, x} / E(K) ja x, b} / E(K) o voimassa. Nyt tapahtuma diam(g, p ) 3 } todeäöisyys o sama ui tapahtuma ( D(a, } [ P b) : a, b} V(G, p) ] }) todeäöisyys. Toisaalta mielivaltaisesta ahdesta särmästä vähitää toie jää toteutumatta luua p vastaavalla todeäöisyydellä, jolloi satuaisvero G, p solmujouo joaisella asiollaa, b} saadaa satuaismuuttuja D(a, b) toteutumiselle todeäöisyys ( p) ( p ). Määritelmä muaa todeäöisyysmitat ovat subadditiivisia, jote tapahtuma diam(g, p ) 3 } todeäöisyydellä o yläraja ( p) ( p ), sillä satuaisverolla G, p o yhteesä ( ) erilaista ahde solmu osajouoa. Tiedo p < perusteella yseistä tulosta voidaa arvioida ylöspäi ja määrittää tapahtumalle diam(g, p ) } samalla todeäöisyys ( p ). Luu valittii mielivaltaisesti, jote oletusesta p < ja espoettifutio omiaisuusista voidaa päätellä väittee diam(g, p ) } = lim oleva voimassa. Yhdistettyä täydellise vero rajatodeäöisyytee saadaa haluttu väite tehtävä seurausea. 3

4 Tehtävä : 4 Tuetusti joaisella luvulla N\0,, } sellaisessa tasoverossa, jossa o yhteesä eri solmua, o oreitaa 3 6 särmää. Joaisella N\0,, } satuaisvero G, p tasoveroutta vastaava tapahtuma o site osajouo sille tapahtumalle, että verossa särmiä o eitää 3 6 appaletta. Joaisella ehdo 3 toteuttavalla luvulla N todeäöisyys, että satuaisvero G, p o tasovero, o äi olle tehtävä perusteella oreitaa (( ) ) p ( p) (). 3 6 =0 Joaisella aliolla N\0,, } pätee, että luu 6 o edellise lauseee uloimma biomiertoime arvo ylärajaa yseessä olevalla summausvälillä ja että epäyhtälö 3 5 o voimassa, jolloi havaio p <seä väheevä espoettifutio omiaisuusie ojalla saadaa oo lauseeelle yläraja ( 6 ( p) ( )/ 3) Toisaalta espoettifutio ja polyomifutio osamäärä rajaäyttäytymise välillä vallitseva suhtee perusteella voidaa havaita väittee ( 6 ( p) ( )/ 3) = 0 lim oleva voimassa, sillä jostai rajaohdasta lähtie lauseee espoeti arvo asvamie lopulta vai voimistaa oo lauseee arvo väheemistä. Luujooje summie ja tuloje raja-arvot määräytyvät suoraa raja-arvoje summia ja tuloia. Site edellise raja-arvo perusteella saadaa tulosea, että asymptoottisesti lähes varmasti satuaisvero ei ole tasovero. Tehtävä : 5 Tehtävä väite aluperäisessä muodossaa ei päde. Perustellaa tätä valitsemalla uvaus p site, että joaisella luvulla Z + ehto p()=c/ toteutuu. Tällöi joaisella aliolla Z + haluttu vaatimus p()<c/ toteutuu. Joaisella luvulla 4

5 N äytetää meritää A satuaisvero G, p() solmujouo sisältämie olmioide muodostamasta ooelmasta. Edellee joaisella N ja joaisella olmiolla A A oloo I A arvojouolla 0, } varustettu satuaismuuttuja, joa saa positiivise arvo juuri silloi, u satuaisverossa G, p() o särmä jouo A aiie solmuje välillä. Voidaa osoittaa, että satuaismuuttujie summa odotusarvo o yseessä olevie satuaismuuttujie odotusarvoje summa. Site joaisella luvulla N odotusarvo satuaisvero G, p() olmesta eri solmusta muodostuvie sylie luumäärälle o luvu ( 3) p() 3 suuruie, sillä o voimassa väite E I A p() 3. A A 3 = A A E I A = A A ( p() 3 ) = Nyt joaisella luvulla N saadaa oletuse p() = c/ perusteella yseiselle odotusarvolle edellee luuarvo p() 3 = ( c3 8 3 = 48 c3 3 + ) Site havaitaa, että olmesta eri solmusta oostuvie sylie määrä odotusarvo lähestyy asymptoottisesti luvu c 3 /48 arvoa. Kuvauselle p asetetu vaatimuse ojalla ehto c > 0 toteutuu, jolloi jollai luvulla c N pätee, että joaisella ehdo c toteuttavalla aliolla N satuaisverossa G, p() o vähitää esimerisi aidosti positiivista odotusarvoa c 3 /50 vastaava määrä sylejä. Tästä tulosesta voidaa todeäöisyyslasea meetelmi edellee osoittaa, että sylie todeäöisyys o myös asymptoottisessa tarastelussa positiivie. Näytetää seuraavasi, että tehtäväao muotoilua vahvemmilla oletusilla haluttu tulos o uitei voimassa. Oletetaa jatossa ehdo lim p() = 0 oleva voimassa. Joaisella aliolla N ja joaisella luvulla N\0,, } satuaisverossa G, p() o todeäöisyysmita subadditiivisuude perusteella joi tasa solmua sisältävä syli oreitaa todeäöisyydellä ( )! p(), 5

6 sillä joaie tasa aliota sisältävä jouo voidaa järjestää( )! eri tavalla sylisi ii, että joi syli solmuista o iiitetty. Syleissä o aiai olme solmua, jolloi syli solmuje joaie mahdollie järjestys iiitety solmu suhtee luetellaa seä lopusta aluu että alusta loppuu. Nyt voidaa määrittää riittävä yläraja satuaisvero syli muodostumise todeäöisyydelle. Joaisella luvulla N verossa G, p() o imittäi joi syli oreitaa todeäöisyydellä ( )! p(). =3 Näytetää seuraavasi, että syli esiitymise todeäöisyys pieeee ilma positiivista rajaa. Joaisella vaatimuse p() < toteuttavalla aliolla N saadaa imittäi geometrise sarja summaa hyödytäe arvio ( )! p() =! ( )! p() =3 =3 =3 p() 3 p() 3 p() 3 p() 3. Oletuse ojalla joaisella ehdo 0 < ε < toteuttavalla luvulla ε R o joi alio ε N site, että joaisella vaatimuse ε toteuttavalla luvulla N o väite p()< 3 ε voimassa, jolloi toisaalta pätee edellee, että satuaisvero G, p() o metsä vähitää luua ε vastaavalla todeäöisyydellä. Haluttu väite o äi olle voimassa. Tehtävä : 6 Huomataa joaisella luvulla Z + ehtoje p() > 0 ja l() > 0 toteutuva. Määritellää uvaus q: Z + N site, että joaisella luvulla Z + ehto (+ε) l() q() = p() 6

7 o voimassa. Toisaalta havaitaa, että jos jollai luvulla Z + ehto e 3/ε o voimassa, ii myös ehto ε l() 3 toteutuu, jolloi saadaa tulos ε l() p() 3 p() p() +. Nimittäi aiilla alioilla N o ehto p()<voimassa. Näi olle joaisella ehdo e 3/ε toteuttavalla luvulla Z + myös epäyhtälöetju l() q() = + ε l() l() + p() p() p() p() toteutuu. Sovelletaa lopputulosea olevaa arviota seuraavasi satuaisvero riippumattomuusluvu yhteydessä. Oloot jatossa luvut N ja r N sellaisia, että ehto e 3/ε toteutuu. Tällöi o ja urssiirja orollaari.. muaa väite P α } G, p() r ( p() ) r r o voimassa, u biomiertoimie tulitaa taroittava osajouoje määriä. Joaisella aliolla x R ehto e x x+ pätee, jote tiedo ( r) r perusteella edellistä ylärajaa voidaa asvattaa muotoo ( e p() (r )/) r. Site oletuse e 3/ε ja aiaisemma päättely seä edellee myös havaio q() + l() perusteella epäyhtälöetju P α } ( G, p() q()+ e l() ) q()+ e l() = o voimassa. Ehdo e 3/ε toteuttava jouo N luu valittii mielivaltaisesti, jote myös joaisella ehdo e 3/ε toteuttavalla luvulla N väite P α ( } ) (+ε) l() G, p() p() toteutuu vastaavasti. Tehtäväaossa ysytty väite seuraa tällöi epäyhtälöetju vasemmapuoleisita lauseetta vastaava luujoo suppeemisesta. 7