Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4

Transkriptio

1 Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS , Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4

2 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen tai yleisessä muodossa

3 Ideaalinen tilamalli Lineaarinen tilamalli Yleisessä muodossa oleva tilamalli 1 C y Bu A ], [ ],, [ 1 h y u f

4 Todellinen ohinainen tilamalli Lineaarinen tilamalli Yleisessä muodossa oleva tilamalli 1 v C y w Bu A ], [ ],, [ 1 v h y w u f

5 Kohina Kohinaomponentit äsitellään usein nollaesiarvoisina, ja niiden ovarianssit oletetaan tunnetuisi Ellei todellisia ovariansseja tunneta, äytetään ovarianssimatriiseja viritysparametreina

6 Varianssi Kuvaa yhden satunnaismuuttujan vaihtelua Nollaseiarvoisen muuttujan varianssi lasetaan muuttujan arvojen neliöiden esiarvona var e E e [ ] 2

7 Kovarianssi Kuvaa useamman muuttujan vaihtelua Muuttujat pystyvetorissa Nollaesiarvoisen muuttujan ovarianssi lasetaan muuttujavetorin ja sen transpoosin esiarvona cov e [ ] T e e Diagonaalielementit unin muuttujan variansseja Muut elementit uvaavat muuttujien esinäisiä ovariansseja E

8 Kalman-suodin Estimoi prosessin sisäistä tilaa Ennaoi prosessin tilaa perustuen malliin Korjaa ennaoitua estimaattia perustuen mittauseen Mittausen ja estimaatin esinäinen paino riippuu mittausten, prosessimallin ja estimaatin ovariansseista

9 Laajennettu Kalman-suodin Kalman-suotimen perusversio toimii vain lineaarisilla tilamalleilla Laajennettua Kalman-suodinta voidaan äyttää myös epälineaaristen prosessien anssa

10 Laajennettu Kalman-suodin Prosessin tilamalli yleisessä muodossa Kohinatermien w ja v ovarianssit ], [ ],, [ 1 v h y w u f var var R v Q w

11 Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^

12 Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^

13 Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^

14 Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^

15 Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^

16 Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^

17 Indesien merintä A-priori estimaatti: ennaointi ^ 1 Ajanheti, johon asti on olemassa mittausdataa Tarasteltava ajanheti A-posteriori estimaatti: orjaus ^ ^ tai 1 1

18 Vahvistusmatriisi K Kuvaa mallin taruutta Jos jotin osat mallissa ovat epätaroja, painotetaan mittausia enemmän uin mallia Lineaarisessa ja staattisessa tapausessa K- matriisia voidaan pitää vaiona Epälineaarisessa tapausessa K pitää lasea joaisella ierrosella uudelleen

19 Vahvistusmatriisi K K lasetaan äyttäen hyväsi estimaatille estimoitua ovarianssia P P:lle lasetaan a-priori- ja a-posterioriestimaatit P:n ja K:n lasemisessa tarvitaan lineaarisen mallin matriiseja A ja C ^

20 A-ja C-matriisien linearisoiminen Lasetaan Jaobin matriisi jaobiaani Derivoidaan f:n uin omponentti :n omponenttien suhteen Matriisi, jota voidaan äyttää A:n paialla Derivoidaan h:n uin omponentti :n omponenttien suhteen Matriisi, jota voidaan äyttää C:n paialla

21 Esimeri Tilavetorissa on 2 elementtiä: 1, 2 f on vetori, jossa on 2 elementtiä: f 1, f 2 A on 22 ooinen A:n orvaava matriisi: f f f f A

22 Esimeri Mittausvetorissa y on 1 elementti h on vetori, jossa on 1 elementti C on 12 ooinen C:n orvaava matriisi: C h h 1 2

23 Laajennetun Kalman-suotimen aavat 1/7 Tilan ennaointi seuraavaan mittausheteen ˆ 1 f[ˆ 1 1, u 1, 1]

24 Laajennetun Kalman-suotimen aavat 2/7 A:n orvaava derivaatta A[ˆ 1 1] f[ˆ 1 1, u 1, ˆ 1 1 1]

25 Laajennetun Kalman-suotimen aavat 3/7 Tilan estimointivirheen ovarianssi ennaointi seuraavaan mittausheteen P 1 A[ˆ 1 1] P A T [ˆ 1 1] Q 1

26 Laajennetun Kalman-suotimen aavat 4/7 C:n orvaava derivaatta C[ˆ 1] h[ˆ 1, ] ˆ 1

27 Laajennetun Kalman-suotimen aavat 5/7 Estimoinnin vahvistusen K lasenta K P 1 C T [ˆ 1] T C[ˆ 1] P 1 C [ˆ 1] R 1

28 Laajennetun Kalman-suotimen aavat 6/7 Tilan päivitys mittausella ˆ y h[ˆ 1] ˆ 1 K

29 Laajennetun Kalman-suotimen aavat 7/7 Tilan estimointivirheen ovarianssin päivitys P P 1 K C[ ˆ 1] P 1

30 Reursio Siirrytään seuraavaan ajanheteen 1 ^ ^-1-1 P P-1-1 Palaataan Kalman-suotimen vaiheeseen 1