Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Transkriptio

1 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α β 8 β β 7

2 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty a) α 8 b) β α β a) 8 6 +, joten ulmalla on sama alu- ja loppuyli. b) 5 6 Kulmaa vastaava positiivisen iertosuunnan ulma on a) Suunnattu ulma on b) Suunnattu ulma on 8,5,5 46 t min Seuntiviisari iertää minuutissa yhden ierrosen myötäpäivään eli viisari iertää ulman 6. Siis α ( 6 ) 96 t min h 6 Tuntiviisari iertää tunnissa myötäpäivään yhden numerovälin eli 6. Siis α ( ) 5,5 6 Vastaus 96 ; 5,5

3 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty a) Pystysuoran suoran suuntaulma on 9. b) b) Vaaasuoran suoran suuntaulma on 48 a) Meritään suoran s ja positiivisen -aselin välistä ulmaa β :lla. Kosa suora s on nouseva, on suuntaulma α >. α β 8 vierusulmat 6 Kosa suora s on laseva, on suuntaulma α <. Siis α β 6 Vastaus Suoran s suuntaulma on a) 6 b) 5

4 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty a) Pisteet (, ) ja ( 5,) y y y 5 b) Pisteet (, ) ja ( 5, ) y y y 5 c) Pisteet (, ) ja (, 5) Kosa pisteillä on sama -oordinaatti, on suora pystysuora. Siis ulmaerroin ei ole määritelty. b) c) (, y) ( 4,) (, y ) (,) y y y ( 4) Kosa, on suora vaaasuora. (, y) (,) (, y ) (, 4) y y y 4 7 7> ( ) Kosa >, on suora nouseva. Vastaus a) b) c) ei ulmaerrointa 4 a) (, y) (,) (, y ) ( 5, ) y y y < 5 Kosa <, on suora laseva. d) (, y) (, ) (, y ) (,) Kosa pisteiden -oordinaatit ovat samat, on suora pystysuora. Vastaus a) laseva b) vaaasuora c) nouseva d) pystysuora

5 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 4 Päivitetty y y y a ( ) a 4 ( a ) a 6 a 9 Vastaus a 9, (, y) (,) (, y ) (, a) 4 Oloon suoran ja -aselin leiauspisteenä A (, ) seä suoran ja y-aselin leiauspisteenä B (, y ). Suoran ulmaerroin AB (, y) (,) (, ) (, ) y y y y y y Toisaalta ulmaerroin y 4 4 y 4. Siis

6 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 44 Päivitetty 9..6 Janan AB pituus on Siis ( ) ( y ) (, y ) (,) (, y ) (, y ) AB + y y + y Kun 9, niin 4 y 9 Kun 9, niin 4 y 9 Siis A ( 9, ) ja B (, ) tai A 9, ja B, Vastaus A 9, ja B, tai A 9, ja B, ± 9

7 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 45 Päivitetty tan α, un α 9 a) tan 6 tan 6 tan 6 b) tan 45 tan 45 c) d) tan e) Kosa α 9, niin suoralla ei ole ulmaerrointa. Vastaus a) b) c) d) e) ei ulmaerrointa 44 a) b) c) d) tanα α tan α 6, tanα α tan ( ) α 7, tanα tan α tanα α tan α 54, e) tanα α Vastaus a) 6 b) 7 c) d) 55 e)

8 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 46 Päivitetty tan α, α 9 y tanα, y 7 7 tanα α 4, Vastaus 5 46 (, y ) (, ) (, y ) (,) y + + ) y + + tanα tanα + α 67,5 Vastaus + Suuntaulma on 67,5.

9 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 47 Päivitetty a) (, y ) (, ) (, y ) (,6) y y 6 6 tanα tanα α 7,56... α 7 b) (, y ) (, ) (, y ) (, ) y y tanα α 9,... α 9, Vastaus a), suuntaulma on 7 b), suuntaulma on 9, 48 tan α 45 α tan 45 tan 45 Toisaalta y 8 ( ) a ( 6) 8+ a a (, y) ( 6, ) (, ) (, 8) y y y a Siis 6 6 a 6 6+ a a Vastaus a

10 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 48 Päivitetty ( a, ) (, ) A B a+ a a) Pisteiden A ja B autta uleva suora on pystysuora, jos pisteiden -oordinaatit ovat yhtä suuret. Siis a a+ a a + a a b) Pisteiden A ja B autta uleva suora on vaaasuora, jos pisteiden y-oordinaatit ovat yhtä suuret. Siis a a a ± Vastaus a) a b) a ± 4 Oloon, y, a ( ) (, y ) (, a a ) Kulmaerroin on y y a a a a a a + a+ a) Suora on nouseva, jos >. a + a+ > Nollaohdat: a + a+ ± 4 ( ) a ( ) ± 4 a a tai a

11 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 49 Päivitetty 9..6 Kuvaaja: Siis a + a+ >, un < a<. Näin ollen suora on nouseva, un < a <. b) Suora on laseva, jos <. Kuvaajan avulla saadaan, että a + a+ < a< a>, un tai Siis suora on laseva, un a< tai a >. Vastaus a) < a < b) a< tai a> 4 a) y y, y,, y ( ) y Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y. b) y y ( ) (, y) (, ), y ( ( ) ) y y 9 + y 7 7 Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y +. c) y y, y 9,98, y 98 ( 9) y 98 y 98 Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y 98. Vastaus a) y b) + y 7 c) y 98

12 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty a) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y),, y ( ) y y Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y y y b) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y),, y ( ) y+ y Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y y y c) Suoran yhtälö on y y ( ) (, y) ( a, a), y a ( ( a) ) y a ( + a) y a + a y + a Yhtälö voidaan esittää myös yleisessä muodossa y + a y + 6a y+ 6a Vastaus a) y b) y c) y + a

13 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty a) Piste (, y ) (, 5) Kosa suora on vaaasuora, on sen yhtälö muotoa y y Siis yhtälö on y 5. b) Piste (, y ) (, 5) Kosa suora on pystysuora, on sen yhtälö muotoa Siis yhtälö on. Vastaus a) y 5 b) 44 a) (, y) (,) (, y ) (, 4) y y y y y y 4 y ( ) ( ) 5 y ( + ) y 5( + ) y 5 y y+ 9

14 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty 9..6 b) c) (, y) (,) (, y ) (,) y y y y y ( ) y ( ) ( 4) 4 9 4y 9 y y 9 (, y) ( a, b) (, y ) ( b, a) y y y y a b y b ( a) b a a b y b ( a a b ) y b + a + y a b y + a+ b 45 a) y y y y 5 y ( + 4) y ( + 4) 4 y ( + 4) y 8 + y+ 5 y 5 y (, y) ( 4,) (, ) (, 5) y y y y ( ) b) Pisteet ovat (, ) ja ( 6, ). Kosa pisteiden y-oordinaatit ovat samat, on suora y y. vaaasuora. Siis suoran yhtälö on c) Pisteet ovat ( 5, ) ja ( 5,). Kosa pisteiden -oordinaatit ovat samat, on suora pystysuora ja sen yhtälö on 5 ( 5 ). Vastaus a) 5 + y + 9 b) + 4y 9 c) + y a b Vastaus a) + y + 5 b) y c) 5

15 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 5 Päivitetty Origon autta ulevan suoran yhtälö on muotoa y. a) Suora ei ole pystysuora, joten suoran ulmaerroin on suuntaulman tangentti. tanα α tan Suoran yhtälö on y y ( -aselin yhtälö) b) Suora ei ole pystysuora, joten suoran ulmaerroin on suuntaulman tangentti. tanα α tan Suoran yhtälö on y ( y ) c) Kosa suora on pystysuora, ei suoralla ole ulmaerrointa. Suoran yhtälö on ( y ) -aselin yhtälö 47 a) Piste (, y ) (, ) tanα α 45 tan 45 tan 45 Suoran yhtälö on y y y+ ( ) y+ y y b) tanα α 45 tan 45 tan 45 tan 45 Suoran yhtälö on y y y+ ( ) y+ + + y+ y c) Kosa suuntaulma α, niin suora on vaaasuora ja sen yhtälö on muotoa y y. Siis suoran yhtälö on y. Vastaus a) y b) y c) Vastaus a) y b) + y + c) y

16 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 54 Päivitetty Suoran piste on (,). Suoran ja -aselin välinen ulma on 6, joten suoran suuntaulma α on 6 tai 6. I II II α 6 Suoran ulmaerroin on tan6 Suoran yhtälö on y ( + ), (, ) (,) y y y y + + y+ + Vastaus y + + ( y+ + ) tai y + + y + I α 6 Suoran ulmaerroin on Suoran yhtälö on y ( + ) tan 6 tan 6, (, ) (,) y y y y + + y +

17 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 55 Päivitetty Oloon A (,4) ja suoralla oleva piste B ( y, ). Kosa piste B on suoralla, niin y-oordinaatti saadaan suoran yhtälöstä y + y + Janan AB pituus on ( ) ( ) (, ) (,4) (, y ) (,+ ) 5 ( ( ) ) + ( + 4) 5 ( + ) + ( ) 5 ( + ) + ( ) :5 9 ± AB 5 AB + y y y Kun, niin y + 9 Kun, niin y ( ) + Siis piste B on (,9 ) tai (, ) Vastaus Suoralla olevat pisteet ovat (,9 ) ja (, ).

18 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 56 Päivitetty a) y + + y 4 a) + y 7 y + 7 b) 5 5 b) 9y + 8 9y 8 :( 9) c) y + 6 6y + 6y+ c) y 6 y 6 8 y Vastaus a) + y b) 5 c) 6y + d) Vastaus a) y + 7 b) 8 y + c) y 6 d) 4 9 9

19 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 57 Päivitetty a) b) + y 4 y + 4 tanα tanα α 6, y + 9 y 9 y tanα α, c) d) 6y 7 7 y 6 Suora on -aselin suuntainen, joten tanα α + Suora on y-aselin suuntainen, joten suoralla ei ole ulmaerrointa. Kosa suora on pystysuora, on suuntaulma α 9 Vastaus a), 7 α b), α 4 c), α d) ei ulmaerrointa, α 9.

20 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 58 Päivitetty Suora 7 y 8 a) Sijoitetaan pisteen ( 5, 9) oordinaatit suoran 7 y 8 yhtälöön. Yhtälön vasen puoli on 7 ( 5) ( 9) Yhtälön oiea puoli on 6 Siis piste ei ole suoralla. b) Sijoitetaan pisteen 5,9 oordinaatit suoran 7 y 8 yhtälöön. Yhtälön vasen puoli on Yhtälön oiea puoli on. Siis piste on suoralla. 44. Pisteiden -oordinaatit ovat erisuuret, joten A, B ja C eivät ole samalla pystysuoralla eivätä pareittain samalla pystysuoralla. Pisteet ovat samalla suoralla täsmälleen silloin, un pisteiden A ja B seä A ja C autta ulevien suorien ulmaertoimet ovat samat. Pisteiden A ja B autta ulevan suoran ulmaerroin on Oloon A ( 8, ), B ( 5, 6 ) ja C ( 4, ) AB ( 6 ( ) (, y) A ( 8, ) (, ) ( 5, 6) y y y B Pisteiden A ja C autta ulevan suoran ulmaerroin on AC (, y) A ( 8, ) (, ) ( 4, ) y y y C ( ( ) Vastaus a) ei b) on Kosa AB Vastaus, ovat pisteet A, B ja C samalla suoralla. AC ovat

21 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 59 Päivitetty a) P, 5, y y y, y 5 Suora ulee origon autta, joten yhtälö on muotoa y. Kosa suora ulee myös pisteen P autta, toteuttavat sen 4 oordinaatit ja y yhtälön y. 5 Siis Suoran yhtälö on 6 y rataistu muoto 5 6 5y yleinen muoto 6 6 5, joten ei ulje Vastaus a) y b) ei 5 b) P, 5 Lasetaan origon ja pisteen P autta ulevan suoran ulmaerroin.

22 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty Suoran + y eli y + ulmaerroin on. Suoran suuntaulma saadaan yhtälöstä tanα tanα α 6,4... Suoraulmaisesta olmiosta saadaan γ 8 9 δ 8 9 6,4... 6, δ β 6,4... ristiulmat Oloon suoran ja -aselin välinen ulma β seä suoran ja y- aselin välinen ulma γ. Vastaus -aselin 6 ulmassa ja y-aselin 7 ulmassa Kulma β on β α 6,4... 6

23 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty Oloon pisteen (, 4) autta uleva suora l, jona ulmaerroin tanα. Tapa Suoran yhtälö: y y, y 4, y 4 ( ) y 4 y 5 Tutitaan uleeo suora l pisteen ( 5,74 ) autta. Kun 5, niin suoran yhtälöstä saadaan y Suora l ulee siis pisteen ( 5,74 ) autta. Tapa Lasetaan ulmaerroin suoralle, joa ulee pisteiden A, 4 ja B 5, 74 autta. y AB eli AB 5 5 Suora ulee siis pisteen ( 5,74 ) autta. Vastaus on

24 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty Suora Piste (, a) 8 7 a ay a on suoralla, joten pisteen oordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. a ( ) a( a) 8a 7 + a a 8a 7 a 8a 7 ( ) a + 8a+ 7 ± a ± 6 6 a 8± 6 a a 7 tai a Vastaus a 7 tai a 49 (, ), (, ) ja (, ) A B C Sivun BC esipiste oloon D. y + 5 y + y 5 Siis D,. Suoran l yhtälö on + y+ ( ) 5 5 y+ ( ) 7 5 y+ ( ) 7 7 7y y+ 9 Vastaus 5 + 7y + 9

25 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 6 Päivitetty Esitetään suoran yhtälö rataistussa muodossa. + y+ + y+ y + + Suoran ulmaerroin on +. a) Suora on nouseva, jos ulmaerroin on positiivinen. + > Nollaohdat: + ( + ) tai Kuvaaja: b) Suora on laseva, un ulmaerroin on negatiivinen. Edellä olevasta uvaajasta saadaan + <, un < < c) Suora on vaaasuora, un ulmaerroin on nolla. + ( + ) tai Vastaus a) < tai > b) < < c) tai Siis + >, un < tai >

26 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 64 Päivitetty Kosa ilmoittaa fahrenheitasteet ja y celsiusasteet, saadaan oordinaatiston pisteet (, ) ja (, ). Näiden pisteiden autta ulevan suoran ulmaerroin on y y y Suoran yhtälö: 5 y y ( ), y, 9 5 y ( ) y y Kun 45, niin y Siis 45 F C 9 Vastaus 5 7 y 7, missä on lämpötila fahrenheitasteina 9 9 ja y celsiusasteina F C 9 44 Pisteet A, B ja C eivät ole samalla pystysuoralla suoralla, sillä pisteiden B ja C -oordinaatit ovat eri suuret. Oletetaan, että t eli t. Meritään pisteiden A ja B autta ulevan suoran ulmaerrointa AB : lla ja pisteiden B ja C autta ulevan suoran ulmaerrointa BC : llä. 4 ( t 5) 4 t+ 5 t t AB, t t t ( t+ ) t+ t 5 ( 4) t 5+ 4 BC t Pisteet ovat samalla suoralla, jos AB. Saadaan yhtälö t t t t + t t t+ t t + t ± 4 ( ) t ± t t tai t elpaavat Vastaus t tai t BC

27 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 65 Päivitetty Oloon suora l: y a+ b, a ja suora s : y c+ d, c. Kosa ulmaertoimet eroavat nollasta, a ja c, seä lisäsi -aseli puolittaa suorien välisen ulman, on toinen suorista nouseva ja toinen laseva. Meritään suoran l suuntaulmaa α : lla ja suoran s suuntaulmaa β : lla. Oloon nousevana suorana suora l. Saadaan yhtälöpari a + b c + d sijoitetaan c a a + b a + d + + b+ b+ d d b d Vastaus c a ja d b Suuntaulmat toteuttavat ehdon -aseli puolittaa α β suorien välisen ulman Siis suorien ulmaertoimet ovat toistensa vastaluuja eli a c c a Suorien on lisäsi leiattava -aselilla eli suorien on uljettava autta. jonin pisteen,

28 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 66 Päivitetty A, Suora y eli y. Oloon B (, y) Kosa piste B on suoralla y, niin y. Pisteen B etäisyys origosta on Toisaalta 9 OB + y OB, joten ± Siis B,. Suoran l yhtälö on y y y y,, ( y ) ( y),, + y+ ( ) y+ ( ) y+ + y y 5 Vastaus + y 5 Kosa on I neljännesessä, on sijoitus yhtälöön y y

29 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 67 Päivitetty a) Suora y + 4 leiaa y-aselin pisteessä (,4 ). Kosa ulmaerroin, niin -oordinaatin muutosta vastaa y-oordinaatin muutos y. Siirtymällä pisteestä (,4 ) asi ysiöä oiealle ja olme ysiöä ylös saadaan suoran piste (,7 ). Suora ulee siis pisteiden (,4 ) ja (,7 ) autta. b) Suora leiaa y-aselin pisteessä (, ). Kosa y aina, on suora vaaasuora. c) Määritetään suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet. : + 4y + 4 4y 4 y Suora leiaa y-aselin pisteessä (, ). y : Suora leiaa -aselin pisteessä ( 4,). Suora ulee siis pisteiden (, ) ja ( 4,) autta. d) Kosa 4 aina, on suora pystysuora. 4,. Se leiaa -aselin pisteessä

30 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 68 Päivitetty b) Suora l: 5y Kun, niin 5y 5y :( 5) y 4 Suora l leiaa y-aselin pisteessä (, 4). Kun y, niin 5 :,. Suora l leiaa -aselin pisteessä Valitaan oordinaatistossa -aselille pituusysiösi 5 ja y-aselille. Suora s: + 4y Kun, niin + 4y 4y : 4 y 5 Suora s leiaa y-aselin pisteessä (,5 ). Kun y, niin + 4 Suora s leiaa -aselin pisteessä (, ).

31 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 69 Päivitetty a) + y y Kosa suoran yhtälö on muotoa y, niin suora ulee origon autta. Suoran join toinen piste saadaan antamalla :lle esimerisi arvo. Tällöin y ( ). Siis toinen piste on (, ). Suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet: : y + eli piste, y : + eli piste, b) y 7 4 : 7 y Määritetään asi suoran pistettä. c) 7 y (, y) 7, 7, 6 + y 9 y 9 6 : y + Vastaus Suorat ovat yhdensuuntaiset.

32 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty Kosa tehtävässä on annettu äyrän tyyppi (suora), ei ole välttämätöntä esittää suoran yhtälöä rataistussa tai yleisessä muodossa, sillä suoran piirtämiseen riittää tuntea sen asi pistettä. Suoran yhtälö parametrimuodossa on t ( t R ) y t + 4 Suoran piirtämistä varten määritetään sen asi pistettä. Kun t, niin ja y 4 eli piste,4 Kun t, niin ja y 6 eli piste,6 Toinen tapa: Määritetään suoran yhtälö rataistussa muodossa eliminoimalla parametri t. t y t + 4 () t + sijoitetaan alempaan yhtälöön y t + 4 y ( + ) + 4 y y + 6 Piirretään suora saadun yhtälön y + 6 avulla. Kun, niin y 6 eli piste (,6 ). Kun y, niin,. eli piste

33 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty Kosa tehtävässä ei ole ilmoitettu äyrän tyyppiä, ei äyrää voida piirtää antamalla t:lle arvoja. Esitetään parametrimuotoinen äyrän yhtälö yleisessä muodossa eliminoimalla parametri t. t + y 6t ( t R ) () t + t : t sijoitus yhtälöön y 6 y ( ) y y 5 : + y 5 y 5 Piste,5 y : Piste, Saatu yhtälö esittää suoraa. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet.

34 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty a) Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. y , un + 6 6, un + 6 < + 6, un 6 6, un < 6 + 6, un 6, un < ) Alue < Annetaan :lle arvoja < ja lasetaan vastaavat y:n arvot. Lisäsi annetaan :lle arvo, mutta sitä vastaava piste ei uulu uvaajaan y 6, <. ( ) ( ) ( ) y 6, y,, 4 6 4,6 b) Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. y + +, un +, un <, un, un > ) Alue Yhtälön y uvaajana on puolisuora, jona päätepisteenä on (, ). ) Alue Annetaan :lle arvoja ja lasetaan vastaavat y:n arvot y + 6 (, y) (,) (,) 6,6

35 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 7 Päivitetty 9..6 ) Alue > Annetaan :lle arvoja, >, ja lasetaan vastaavat y:n arvot. Lisäsi annetaan :lle arvo, mutta sitä vastaava piste ei uulu uvaajaan y, >. y (, y) (,) (,) 5,5 y + ( ) +, un [ ( ) ] +, un < + +, un +, un < + 5, un, un < ) Alue < y, y Piste,,,,, ei uulu uvaajaan y, jossa <. c) + y y + Poistetaan itseisarvomerit määritelmän muaan. ) Alue y + 5, y Piste ( ), 4 4, 5 5, 7 7,, uuluu uvaajaan y + 5, jossa.

36 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 74 Päivitetty 9..6 Kun y Siis, niin B, Oloon origo O. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet A ja B. Kun, niin 4 5y 5y 6 6 y 5 6 Siis A, 5. Suoraulmaisen olmion ABO ateetit ovat 6 OA y 5 OB Kolmion ala on 6 OA OB ,9 m ( )

37 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 75 Päivitetty Suora + y + y, Jos, ei muodostu olmiota. Leiausohta -aselilla: y A, Leiausohta y-aselilla: y B, Kerroin voi olla negatiivinen tai positiivinen. Kolmion sivujen pituudet ovat OA OB Kolmion OBA ala on, joten saadaan yhtälö OA OB. : ±

38 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 76 Päivitetty 9..6 I Suoran yhtälö on + y+ ( ) y 6 45 Suoran yhtälö rataistussa muodossa on y + b y + b Oloon suoran ja -aselin leiauspiste A. II Suoran yhtälö on + y+ + y+ 6 Siis A ( b,) y : + b b Oloon suoran ja y-aselin leiauspiste B. : y + b b Vastaus + y+ 6 tai y 6 Siis B (, b) Kosa b> tai b<, saadaan asi tapausta: Kummassain tapausessa OA b ja OB b

39 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 77 Päivitetty 9..6 Kolmion ala on 45 OA OB b b b Siis b 8 b 6 b ± 6 Suoran yhtälö on y + 6 tai y 6 + y 6 tai + y+ 6 Vastaus y + 6 tai y 6 Pisteen (, ) autta ulevan suoran yhtälö on y ( ) y + Tapausessa ei synny olmiota. Lasetaan suoran ja oordinaattiaselien leiauspisteet A ja B. : y + y + A, + Piste A on y : + Piste B on B,

40 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 78 Päivitetty 9..6 Suoraulmaisen olmion OBA ateetit ovat OA + ja OB OA OB Kolmion pinta-ala on, joten saadaan yhtälö + 6 ( ) ± I 9 + 6, ( 6) ± ( 6) 4 ( 9) ( 9) 6± II Vastaus , 8 ± 8 4 ( 9) ( ) ( 9) 8 ± ± ± ± 8 6± 8 ± ± tai

41 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 79 Päivitetty Oloon paine p ja syvyys s. Paine on suoraan verrannollinen syvyyteen, joten p s, on vaio p p, s s a) p s b) p s Rataistaan yhtälö y:n suhteen. a + by + c by a c ) Jos b, niin saadaan a c y b b Tämä suora on nouseva suora, jos a ja b ovat erimeriset. Tämä suora on laseva suora, jos a ja b ovat samanmeriset. Jos ehdon b lisäsi a, niin saadaan vaaasuora suora c y b Jos ehdon b lisäsi a ja c, saadaan origon autta uleva suora a y b ) Jos b, niin saadaan y a c a c Jos ehdon b lisäsi a, niin saadaan pystysuora suora c a

42 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 8 Päivitetty 9..6 Jos ehdon b lisäsi a, niin c c Tällöin yhtälö a + by + c on aina tosi, joten yhtälön toteuttavat aii tason pisteet. Jos ehtojen b ja a lisäsi c, niin yhtälö a + by + c on aina epätosi. Siis yhtälöllä ei ole uvaajaa. Vastaus Yhtälön uvaaja on suora a c y, un b b b. Yhtälön uvaaja on suora c, un a ja b. a Yhtälöllä ei ole uvaajaa, un a, b ja c. Yhtälön uvaaja on oo y-taso, un a, b ja c.