Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Transkriptio

1 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa mainittu jatkuvuus, joka kaikilla derivoituvilla funktioilla välttämättä on Derivaatta tarjoaa funktion käyttäytymisestä lokaalia eli paikallista tietoa Funktio f : I on pisteessä x I lokaalisti kasvava, jos on olemassa sellainen ε >, että f ( x) < f( x), kun x ε < x< x ja f ( x ) > f( x), kun x < x< x + ε Vastaavasti määritellään lokaalisti vähenevä funktio Lause 1 Jos derivoituvalla funktiolla f : I on pisteessä x I voimassa f ( x ) >, niin f on tässä pisteessä lokaalisti kasvava Vastaavasti, jos f ( x ) <, niin f on pisteessä x lokaalisti vähenevä Lause (Rolle'n lause) Olkoon funktio f : a, b suljetulla välillä jatkuva ja avoimella välillä ( ab, ) derivoituva Jos funktion arvot välin päätepisteissä ovat = : f ( a) = f( b) =, niin on olemassa piste c ( a, b), jossa f () c = Tod; Luennolla, tai Trench s 8, Fitzpatrick s 13

2 Edellä mainittu jatkuvuus suljetulla välillä tarkoittaa sitä, että funktio on avoimella välillä jatkuva ja välin päätepisteissä funktiolla on toispuoleiset raja-arvot joiden arvo on sama kuin funktion arvo Lause 3 (Yleistetty väliarvolause) Olkoot funktiot f : a, b ja g: a, b jatkuvia suljetulla välillä ab, ja derivoituvia avoimella välillä (, ) c a, b, jossa ab Silloin on olemassa piste ( ) ( g( b) g( a)) f ( c) = ( f( b) f( a)) g ( c) Tod: Sovelletaan Rolle'n lausetta apufunktioon hx ( ) = ( gb ( ) ga ( )) f( x) ( f( b) f( a)) gx ( ) Erityistapauksena saadaan moneen tilanteeseen soveltuva Lause 4 (Väliarvolause) Olkoon funktio f : a, b suljetulla välillä jatkuva ja avoimella välillä ( ab, ) derivoituva Silloin on olemassa piste c a, b, jossa ( ) f ( b) f( a) f () c = b a

3 3 Välittöminä seurauksina väliarvolauseesta saadaan: Lause 5 Jos väliarvolauseen oletukset toteuttavalle funktiolle f pätee f ( x) =, x ( a, b), niin f on välillä ab, vakio Lause 6 (Riittävä ehto kasvavalle funktiolle) Olkoon f : I jatkuva välillä I (joka voi olla rajoittamaton) Jos f on derivoituva välin I sisäpisteissä ja siellä f ( x), niin f on välillä I kasvava Lause 7 (Riittävä ehto aidosti kasvavalle funktiolle) Olkoon f : I jatkuva välillä I (joka voi olla rajoittamaton) Jos f on derivoituva välin I sisäpisteissä ja siellä f ( x) ja yhtälö f ( x ) = ei ole voimassa millään I:n avoimella osavälillä, niin f on välillä I aidosti kasvava Tarkastelemalla edellä olevaa kahta lausetta funktiolle tulokset vähenevälle ja aidosti vähenevälle funktiolle f saadaan vastaavat

4 4 Väliarvolausetta käytetään usein numeerisessa matematiikassa funktion arviointiin: Lause 8 Jos f toteuttaa välillä ab, väliarvolauseen oletukset, x ( ab, ) ( ) (, ), niin f ( x) f( x ) M b a, x ( a, b) f x M x a b ja Toispuoleiset derivaatat määritellään erotusosamäärien toispuolisina rajaarvoina Funktion f : I oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä x on f ( x) f( x) f + ( x) = lim Vastaavasti määritellään vasemmanpuoleinen x x+ x x derivaatta f ( x) Esim 1 Funktiolla f : +, f ( x) = x on kohdassa x = vain vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat -1 ja 1, mutta ei derivaattaa

5 5 Harjoituksissa esitellään L'Hospitalin sääntö raja-arvojen laskemiseen Se soveltuu tilanteisiin, joissa raja-arvon laskenta suoraan lausekkeisiin sijoittamalla johtaisi epämääräiseen muotoon /, /, tai vastaaviin Esim Raja-arvo sin x D(sin x) cos x lim = lim = lim = 1, x x x D( x) x 1 jossa toisessa yhtälössä käytettiin L'Hospitalin sääntöä f ( x) f ( x) lim = lim x g( x) x g ( x) Suora sijoitus x = olisi johtanut muotoon / x x e e Esim 3 lim = lim = x x x 1 Sääntöä voidaan toistaa, edellyttäen että säännön soveltamisen ehdot täyttyvät: x x x e e e Esim 4 lim n = lim n 1 = = lim = x x x nx x n! Tämän esimerkin tulos on käytännön kannalta tärkeä tieto: eksponenttifunktio kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa polynomi

6 6 Jos funktio f : I on välillä I derivoituva, niin voidaan kysyä, onko sen derivaatta edelleen derivoituva Jos on, niin kyseessä on toisen kertaluvun d f derivaatta eli toinen derivaatta f = D f = Yleisesti voidaan dx n ( n) n d f vastaavalla tavalla määritellä n kertaluvun derivaatta f = D f = n dx Jos tämä on olemassa, sanotaan, että funktio on n kertaa derivoituva Riittävän monta kertaa derivoituvaa funktiota voidaan approksimoida polynomilla: Olkoon funktio f : I välillä I n 1kertaa derivoituva Haetaan korkeintaan astetta n 1 olevaa polynomia P( x ), joka toteuttaa pisteessä x ehdot ( n 1) ( n 1) (1) P( x ) f( x ), P( x ) f ( x ),, P = = ( x ) = f ( x ) Jos polynomi n 1 k k derivoidaan m kertaa saadaan k= P( x) = a ( x x ) P ( m) n 1 k m ( x) = kk ( 1) ( k m+ 1) a( x x) k= m Sijoittamalla x = x saadaan kertoimelle a m lauseke k a m ( m ) ( x), m,1,, P = =, m! missä on käytetty sopimusta!=1 Tästä seuraa, että jos astetta n 1 oleva polynomi P( x ) ja funktio f ( x ) on kytketty ehdoilla (1) toisiinsa, niin tämä polynomi on yksikäsitteinen, sillä kertoimet ovat välttämättä a m ( m) f ( x) =, m=,1,, m!

7 7 Tämä polynomi on funktion f n-1 asteen Taylorin polynomi kohdassa x : () ( n 1) f '( x) f ''( x) f ( x) Tn 1( x; x) = f( x) + ( x x) + ( x x) + + 1!! ( n 1)! Lause 9 (Taylorin kaava) Jos funktio f ja sen n ensimmäistä derivaattaa ovat olemassa ja jatkuvia välillä ( x hx, + h), niin kaikilla x ( x h, x + h) on voimassa esitys (Taylorin kehitelmä) f ( x) = T ( x; x ) + R ( x; x ), n 1 n missä jäännöstermi ( n) f ( ξ ) n Rn ( x; x) = ( x x), jollakin ξ ( x, x) tai ξ ( x, x) ( n)! Oheisessa kuviossa on funktioiden x ja x e kahden alimman asteen Taylorin polynomit kohdassa 1 ja :

8 8 Lauseen 9 todistus sivuutetaan Voidaan myös todistaa, että mainittu Taylorin polynomi on yksikäsitteinen Esim 5 Funktion cos x Taylorin kehitelmä on 4 6 n x x x n 1 x n cosξ n ( 1) + ( 1) x! 4! 6! (n )! ( n)! Teht 1 Muodosta funktion x f ( x) = e 4 asteen Taylorin polynomi Korvaamalla funktiot Taylorin kehitelmillään voidaan monesti laskea muuten vaikeita raja-arvoja: Esim 6 Lasketaan raja-arvo lim sin x x x x (1 cos x ) Sijoitetaan lausekkeeseen sinin ja kosinin Taylorin kehitelmät 3 x 4 x 3 sin x = x + x ε1( x), cos x = 1 + x ε( x), 6 missä ε1( x), ε( x), kun x Lauseke saa muodon 3 x x ε1( x) + xε1( x) =, kun x x x ε( x) xε ( x)