2 Raja-arvo ja jatkuvuus

Transkriptio

1 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti kohdassa =. Korkeus on siis y 8 4. Pinta-ala on siis 7 9 A 4 8, Lasketaan vastaavasti suorakulmion pinta-alan arvoja, kun -akselilla oleva piste lähestyy origoa. = y A = = =,5 y 8 3,5 7,5 5 A =,5 3 6,6667, 5 5 =,3 y 8 8,3 7,3 9 A =,3 8 8, 9589, 9 73 =, y 8 8, 7, 7 A =, 8 8,766, 7 7 Vastaus: Pinta-ala näyttää lähestyvän lukua,.

2 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Jos suorakulmion kärki on -akselin kohdassa, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on tällöin käyrän y- koordinaatti, eli y 8. 7 Suorakulmion pinta-ala on A ( 7) 7 Kun -akselilla oleva kärki lähestyy origoa, muuttujan arvo lähestyy arvoa. Tällöin pinta-alan lausekkeen nimittäjä + 7 lähestyy lukua 7 eli pinta-ala lähestyy lukua 8. 7 Vastaus: Tarkka arvo on Piirretään ensin kuvaaja. Funktion kuvaaja koostuu kahdesta osasta, jotka näyttävät kohtaavan kohdassa = 3. Katkos voi kuitenkin olla hyvin pieni. Lähestyttäessä kohtaa = 3 vasemmalta puolelta, lähestyy funktion arvo lukua,5 ( 3) +,5 =,85. Kohdan = 3 oikealla puolella funktion f lauseke on 3 7. Tästä ei 4 4 nähdä suoraan, mitä lukua lausekkeen arvo lähestyy kohdassa = 3, sillä 3( 3) 7. 4( 3) 4

3 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Muokataan lauseketta ( 9) 3( 3) ( 3) 44 4( 3) 4( 3) 3( 3). 4 Tästä muodosta nähdään, että kun lähestyy lukua 3, lausekkeen 3( 3) arvo lähestyy lukua 3( 3 3) 8, Lähestyttäessä kohtaa = 3 oikealta puolelta, lähestyy funktion arvo lukua,8574. Funktion f kuvaaja siis katkeaa kohdassa = 3. Jos kuvaajaa suurennetaan riittävästi, huomataan katkos kuvaajassakin. Vastaus: Funktion kuvaaja katkeaa kohdassa = 3.

4 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktion raja-arvo. A-IV, B-III, C-I ja D-II. a) kuvaaja - taulukko, kuvaaja - taulukko 3 ja kuvaaja 3 - taulukko 3. a) b) Merkintä sopii kaikkiin kuvaajiin. f( ) b) f( ) 5 c) f( ) d) f () = ja f(5) ei ole määritelty. 4. a) b) (3 5) 35 ( c) ( ) ) a) b) ( 5)( 5 5 ) ( 5) c) (3 )(3 9 ) ( )

5 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f () 3 8, kun. b) f(),9,4,99,94,999,99 -,,,,6,,6 f ( ), VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 7. A: Väärin. Funktion ei tarvitse olla määritelty kohdassa, jossa raja-arvo lasketaan. B: Oikein. C: Väärin. Raja-arvo ja funktion arvo voivat olla tarkastelukohdassa eri suuret. 8. a) Kuvaajat ja 3. Molemmissa funktion arvo lähestyy lukua 3 kun muuttuja lähestyy lukua. b) Kuvaajaan

6 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) ( )( 4 ) ( ) 4 b) c) d) 44 ( ) ( ) a) 6) 4) 3) b) c) ( ) ( ) 3 ( 49) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) 7. a) Epätosi. Voi olla myös esimerkiksi a f () 3 ja a g() 6. b) Tosi. Jos osoittaja lähestyy lukua ja raja-arvo on, niin nimittäjän on lähestyttävä lukua.

7 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( 4) ( 4) Määritetään funktion f nollakohdat. Funktio f on määritelty, kun 4. 86, kun 4 86 ( 4) 4 4, ei täytä määrittelyehtoa. Funktiolla f ei ole nollakohtia. 3. a) 4 4 (4 )(4 ) b) f( ) 4, kun Osoittaja on positiivinen vakio ja nimittäjä on suuruudeltaan vähintään neljä, joten funktio saa vain positiivisia arvoja. Funktio ei saa koskaan arvoa nolla.

8 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Raja-arvo on noin,3. 5. Kun sijoitetaan luku = lausekkeeseen, tulee molemmista nimittäjistä nolla. Tällöin = on myös nimittäjän nollakohta ja + on tekijä. Nimittäjän toinen tekijä on +, joka saadaan selville esimerkiksi ratkaisemalla lausekkeen nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. ) ( ) ( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 6. a) 4 8 ( 9) ( 9) ( 9) ( 9) 3 3 b) ) 7) ( 7)

9 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jotta osamäärä supistuisi, tulee myös osoittajan tekijä olla 9 4. Huomataan, että toisen tekijän pitää tällöin olla (4 )( ) (4 ) ( ) b) Osoittaja voidaan jakaa tekijöihin ryhmittelemällä termit. 3 ( 3) 4( 3) ( 3) 3 4 ( 4) ( 3) ( 4) ( 3) Piirretään paraabeli y 3 ja pisteet (3, 3) ja a, a. 3 a) Kulmakerroin lähestyy lukua. b) Suoran kulmakerroin: 3) y a 3 y a a 3 9 ( 3)( 3 k a ) a 3. a3 3( a3) 3( a 3) 3 Kun a lähestyy lukua 3, lähestyy kulmakertoimen arvo lukua a a3 3 3

10 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 9. Kumpikaan funktio ei ole määritelty kohdassa =, koska se on nimittäjän nollakohta. Funktiolla voi olla raja-arvo kohdassa =, jos = on myös osoittajan nollakohta, eli jos lauseke on muotoa ja lauseke voidaan supistaa. a) f ( ) a, kun Kohta = tulee olla osoittajan a nollakohta. a =, josta a =. ( )( ) ( ) b) f ( ) a, Kohta = tulee olla osoittajan + a + nollakohta. + a + =, josta a =. ( ) ( ). Kohdassa = osoittajan lauseke saa arvon. Kohdassa = nimittäjän lauseke c saa arvon c. Raja-arvo on olemassa kun vakion c arvoksi asetetaan mikä tahansa luku siten, että nimittäjän lauseke c ei ole nolla, eli c.. Esimerkiksi f (),. Tällöin ( ) ( ) ( ).

11 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuvat eri tilanteista. Kun > : Kun < : Kun < < : Kärkipiste B on funktion f( ) 4 kuvaajalla, joten sen koordinaatit ovat (, 4 ). Kärkipisteen C -koordinaatti on sama kuin pisteen B, koska kulma C on suora. Pisteen C koordinaatit ovat (, ). Syntyneen kolmion kanta ja korkeus ovat janojen pituudet CA = ja CB 4. Pinta-alan lauseke on 4 A,kun ja ( ). Lausekkeen raja-arvo kohdassa = on, joten pinta-ala lähestyy arvoa.

12 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ympyrän s ( ) (y ) keskipiste on (, ) ja säde. Piste (4, ) on ympyrän s kehällä, koska (4 ) + ( ) = 9 + =. Kun piste P lähestyy pistettä (4,), on molempien ympyröiden sisälle jäävä alue sama kuin pienemmän ympyrän ala. Ympyrän halkaisija on pisteiden (, ) ja (4, ) väatka, eli isomman ympyrän säde. Pinta-ala on π( ) π 5π 7,85. 4 b) Piste (, 3) on ympyrän s kehällä, koska ( ) + (3 ) = 9 + =. Pisteet (, 3) ja (4, ) ovat ympyrän vastakkaisilla puolilla, koska niiden väatka on ( 4) (3) 4, eli ympyrän s halkaisija. Kun piste P lähestyy pistettä (, 3), lähestyy ympyröiden yhteinen ala puoliympyrän pintaalaa π π 3,4.

13 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toispuoliset raja-arvot YDINTEHTÄVÄT 4. a) f( ) 3 f( ) b) 3 c) Funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa = 3, koska sen toispuoliset rajaarvot eivät ole samat. 5, kun 3 5. f( ), kun 3 Lasketaan vasemmanpuoleinen raja-arvo: f( ) ( 5) Lasketaan oikeanpuoleinen raja-arvo: f ( ) ( ) Koska toispuoliset raja-arvot ovat eri suuret, funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa = a) Kohta = 3: f () f (). 3 3 Kohta = : f ( ) 3 ja f ( ). Kohta = : b) Kohdissa = ja = 3. f ( ) f ( ). c) f( 3) = ja f() = 3. d) Funktiota ei ole määritelty kohdassa = 3.

14 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty , kun 7. a) f( ), kun Kuvaaja on suoran y = + 4 kuvaaja kohdan = vasemmalla puolen ja kohdassa = ja suoran y = + kuvaaja kohdan = oikealla puolella. b) f() = + 4 = 3 f(4) = 4 + = 5 c) Kohta = : f( ) ( 4) 4 3, f( ) ( ). Toispuoliset raja-arvot ovat eri suuret, joten kohdassa = funktiolla ei ole raja-arvoa. Kohta = 4: f( ) ( ) 4 5, 4 4 f( ) ( ) Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, joten kohdassa = 4 funktiolla on raja-arvo. Funktion raja-arvo kohdassa = 4 on 5.

15 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Epätosi. Vasemmanpuoleisen raja-arvon perusteella ei voida päätellä oikeanpuoleista raja-arvoa, sillä tarkastelukohdassa funktion lauseke saattaa vaihtua. b) Epätosi. Funktion arvo tarkastelukohdassa voi olla erisuuri kuin rajaarvo. Raja-arvosta ei voi päätellä funktion arvoa. c) Epätosi. Funktion arvo tarkastelukohdassa voi olla erisuuri kuin rajaarvo. Funktion arvosta ei voida päätellä raja-arvoa. d) Tosi. Jos funktion raja-arvo on olemassa, niin toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. 9. a) f( ) ( ) b) f ( ) ( 5) 5 9 f( ) ( ) Koska toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret ei raja-arvoa olemassa. f ( ) ole c) f ( ) ( 5) d) f() =

16 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 3. a) f ( ) b) 3 f( ) 3 c) f ( ) d) 3 f( ) e) f( ) f) Raja-arvoa kohdassa = ei ole olemassa. 3. a) Kohta = : f( ) () ( ) f( ) ( ) ( ) b) Koska toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, niin kohdassa = funktiolla f on raja-arvo. Arvoa f( ) ei voida laskea, koska funktio ei ole siinä kohdassa määritelty. Kohta = : f( ) ( ) f( ) ( ) Koska toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, niin kohdassa = funktiolla f ei ole olemassa raja-arvoa. f ()

17 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty , kun 6 3. f ( ) 36,kun 6 6 f( ) ( 3 6) ( 6)( 6) f( ) ( 6) 66 Toispuoliset raja-arvot ovat samat, joten raja-arvo kohdassa = 6 on olemassa. Raja-arvo on. 33. a) Esimerkiksi: b) Esimerkiksi: c) Esimerkiksi:

18 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) a, kun b) f ( ) a 5, kun. f ( ) ( ) 3 f ( ) ( a5) a 5 a 5 Jotta raja-arvo olisi olemassa, toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. a 53 a a 3 a, kun 35. f ( ) a 4 a,kun f ( ) ( a3 a) a 3 a 3 f ( ) ( a 4 a) 4a 4a 3 Koska toispuoliset raja-arvot ovat molemmat 3, on funktiolla raja-arvo f( ) 3, joka ei riipu vakion a arvosta.

19 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a b, kun f ( ) 3, kun a b, kun Määritetään toispuoliset raja-arvot kohdassa = : ( a b) a b ( a b ) 4a b Koska funktiolla on raja-arvo kohdassa =, ja tämä raja-arvo on sama kuin funktion arvo f() = 3, niin toispuoleisten raja-arvojen tulee molempien olla 3. Tästä saadaan yhtälöpari: ab3 4ab3 ab4ab a a b = 3 a = 3 ( ) = 4. 4, kun Funktio on f( ) 3, kun 5, kun

20 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6, kun b 37. Funktiolla f( ) on raja-arvo kohdassa = b, kun b jos toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. f ( ) () b b b f( ) ( ) b b b Tästä saadaan yhtälö: bb b b b b3 b tai b3 4, kun 38. a) f ( ) a,kun a Etsitään vakiolle a arvo, jolla raja-arvo on olemassa kohdassa =. f ( ) (4 ) 4 f( ) a a a 4 a a a Jotta raja-arvo olisi olemassa, toispuolisten raja-arvojen on oltava yhtä suuret: a 4 ( a ) a a4a 4 a a aa ( ) a tai a Jotta raja-arvoa ei olisi olemassa, mikä tahansa a:n arvo kelpaa lukuun ottamatta arvoja ja eli a ja a.

21 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) f ( ) a Jotta raja-arvo kohdassa = olisi olemassa, tulee nimittäjän nollakohdan = olla myös osoittajan nollakohta, eli a = mistä saadaan a = 4. Jotta raja-arvoa ei olisi olemassa, mikä tahansa muu luku kelpaa kuin luku 4 eli a 4., kun 39. f (), kun. a) Havaitaan, että kulmakerroin näyttäisi lähestyvän lukua liu utettiinpa pistettä P kohti origoa vasemmalta tai oikealta. b) Pisteen P koordinaatit ovat (, ), kun < ja (, ), kun >. Lasketaan kulmakertoimet: ( ) ( ) kun < k, ja kun > k. ( ) Lasketaan toispuoliset raja-arvot ( ) ( ) Tutkimalla toispuolisia raja-arvoja huomataan, että kulmakertoimen arvo on sama molemmilta puolilta eli luku.

22 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Määritetään toispuoliset raja-arvot: ( 3)( 3) 9 ( 3) ( 3) 3 3 ( 3) 3 9 3( 3)( 3) Sievennetystä muodosta huomataan, että ennen kohtaa = 3 funktio käyttäytyy lineaarisesti, sen kuvaajana on suora y = + 3. Kohdan = 3 jälkeen funktion lauseke on. Tämän lausekkeen arvot kasvavat 3 rajatta, kun lähestytään kohtaa = 3 oikealta. Funktion raja-arvo vasemmalta kohdassa = 3 on 6, mutta oikealta lähestyttäessä raja-arvoa ei ole (lauseke on muotoa ). Funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa = 3. SYVENTÄVIÄ TEHTÄVIÄ 4. Kun >, on = kaikilla muuttujan arvoilla ja siten. Samoin, kun >, on = ja siten. Tämän tarkastelun perusteella ei ole mielekästä antaa potenssille kumpaakaan arvoa. 4. Piirretään ehdot täyttävät puolisuorat ja määritetään niiden yhtälöt. Esimerkiksi y, f( ) on ehdon mukainen funktio. y 5,

23 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f( ) Funktio on määritelty kohdassa =, mutta ei ole määritelty kohdassa =, koska se on nimittäjän nollakohta. Kirjoitetaan itseisarvolauseke paloittain määriteltynä.,,, Tällöin f( )., Funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa =, koska sen toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, ja. Kohdassa = funktiolla on raja-arvo. b) f( ) Funktio on määritelty kohdassa =, mutta ei ole määritelty kohdassa =, koska se on nimittäjän nollakohta. Kirjoitetaan funktio paloittain määriteltynä., f( ), f ( ) ja f ( ), joten funktiolla f on raja-arvo kohdassa =. Funktiolla on raja-arvo kohdassa =.

24 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) f ( ) Funktio ei ole määritelty kohdassa =, koska se on nimittäjän nollakohta. Funktio on määritelty kohdassa =. Kirjoitetaan funktio paloittain määriteltynä., f ( ) ( ), f( ) ja f ( ), joten funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa =. Kohdassa = funktiolla on raja-arvo f ( ). 44. a) f ( ) b) Funktion arvo on enintään, etäisyydellä raja-arvosta 6, kun 6,, 6, 6 5,999 6, :,9995 3,5 Vastaavasti 6,, kun, ,5.

25 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f() =, kun on rationaaliluku ja f() =, kun on irrationaaliluku. a) f() = =, koska on rationaaliluku. f() = =, koska on rationaaliluku. f(,4) =,4 =,988, koska,4 on on päättyvä desimaaliluku ja siten rationaaliluku. f ( ), koska on irrationaaliluku. f(3,4) = 3,4 = 9,8596 koska 3,4 on on päättyvä desimaaliluku ja siten rationaaliluku. f() =, koska π on irrationaaliluku. Kuvaaja: b) Funktiolla on raja-arvo kohdassa =, mutta sillä ei ole raja-arvoa kohdassa =.

26 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktion jatkuvuus YDINTEHTÄVÄT 46. a) Funktio on määritelty kohdassa =, sillä f() on olemassa, f() =. b) Tutkitaan kuvaajasta toispuoliset raja-arvot: f( ) f( ) Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, joten raja-arvo on olemassa kohdassa =. f( ). c) Raja-arvo ja funktion arvo ovat samat, joten funktio f on jatkuva. 47. a) Määritetään toispuoliset raja-arvot. f( ) f( ) Toispuoliset raja-arvot ovat eri suuret, joten raja-arvoa ei ole olemassa. Näin ollen funktio ei ole jatkuva. b) Määritetään toispuoliset raja-arvot. f( ) f( ) Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, joten raja-arvo on olemassa kohdassa =. Funktion arvo f() =. Funktion arvo on eri suuri kuin raja-arvo ja näin ollen funktio f ei ole jatkuva. c) Määritetään toispuoliset raja-arvot. f( ) f( ) Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, joten raja-arvo on olemassa kohdassa =. Funktion arvo f() =. Funktion arvo on yhtä suuri kuin raja-arvo ja näin ollen funktio on jatkuva.

27 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6, kun 48. f( ), kun. a) f() = + =. b) Määritetään toispuoliset raja-arvot. ( ) ( ) Toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, joten raja-arvoa ei ole kohdassa =. c) Funktio ei ole jatkuva, sillä funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa =. 49. a) Esimerkiksi b) Esimerkiksi

28 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6, 5. a) f( ), Määritetään toispuoliset raja-arvot. f( ) ja f( ). Toispuoliset raja-arvot ovat samat, joten funktiolla on raja-arvo kohdassa =. Lasketaan f() = + =. Funktion arvo ja raja-arvo ovat yhtä suuria, joten f on jatkuva kohdassa =. Kuvaajasta havaitaan myös, että funktio f on jatkuva kohdassa =. b), f( ), Lasketaan toispuoliset raja-arvot. f( ) ja f( ) ( ) Lasketaan f() = + =. Funktion arvo ja raja-arvo ovat yhtä suuria, joten f on jatkuva kohdassa =.

29 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kuvaajasta havaitaan myös, että funktio f on jatkuva kohdassa =. 5. a) Tosi. Koska f on jatkuva, niin jokaisessa kohdassa funktion arvo on yhtä suuri kuin raja-arvo. b) Tosi. Jatkuvuutta voidaan tutkia vain määritellyissä kohdissa. c) Tosi. Koska f on jatkuva, niin jokaisessa kohdassa funktion arvo on yhtä suuri kuin raja-arvo. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 5. a) Määritetään toispuoliset raja-arvot. 5 (5 ) (5 ) (5 ) (3 5) Funktion arvo on f () Funktion arvo ja raja-arvo ovat samat. Funktio f on jatkuva kohdassa = b) Raja-arvo on erisuuri kuin funktion arvo. Funktio f ei ole jatkuva. 53. a) = 3: Ei, koska raja-arvo ja funktion arvo ovat eri suuret. f( ) ja f() =. 3

30 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) = : Ei, koska tässä kohtaa toispuoliset raja-arvot ovat eri suuret. f( ) ja f( ). c) Välillä [ 4, ]. Ei, koska tällä välillä on kohta = 3, jossa funktio ei ole jatkuva. d) Välillä [, ]. Kyllä, koska funktio on jatkuva jokaisessa välin pisteessä ja sen toispuolinen raja-arvo ja arvo ovat samat välin päätepisteissä. 54. a) Tosi. f() = < ja f() = 3 ja funktio on jatkuva välillä ], [, eli Bolzanon lauseen perusteella tällä välillä on ainakin yksi nollakohta. b) Väite voi olla tosi tai epätosi. Funktio saa erimerkkiset arvot välin [, ] ja [, 3] päätepisteissä ja funktio on jatkuva näillä väleillä. Näin ollen funktiolla on ainakin kaksi nollakohtaa Bolzanon lauseen nojalla. Funktiolla on tietojen perusteella ainakin kaksi nollakohtaa, mutta niitä voi olla useampiakin. c) Tosi. Funktiolla on ainakin kaksi nollakohtaa edellisen kohdan perusteella. 55. a) Funktio f () = on polynomifunktiona jatkuva. Lisäksi f() = < ja f() = >, joten Bolzanon lauseen perusteella funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ], [. b) Etsitään nollakohdalle arvo kahden desimaalin tarkkuudella taulukoimalla funktion arvoja väliltä ], [. f() nollakohta välillä < > ], [,5,84 < ],5; [,75,34 < ],75; [,875,8 > ],75;,875[,8,6 < ],8;,875[,85,5 > ],8;,85[,84, > ],8;,84[,83,3 < ],83;,84[

31 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Nollakohta on arvojen,83 ja,84 välissä. Lasketaan vielä funktion arvo kohtien,83 ja,4 välistä, jotta tiedetään kumpaan arvoon nollakohdan arvo pyöristyy.,835, < ],835;,84[ Nollakohta on, Funktio f () = 4 3 on polynomifunktiona jatkuva. Lisäksi f( ) = ( ) 4 ( ) 3 = 5 > ja f( ) = ( ) 4 ( ) 3 = <, joten Bolzanon lauseen perusteella välillä ], [ on ainakin yksi nollakohta. Myös välillä ], [ on nollakohta, sillä f() = 4 3 = 3 < ja f() = 4 3 = >, joten Bolzanon lauseen perusteella välillä ], [ on ainakin yksi nollakohta. 57. a) a 3, kun b) Funktio f( ) on jatkuva kohdassa =, jos sen a, kun raja-arvo ja arvo ovat samat kohdassa =. Lasketaan toispuoliset rajaarvot raja-arvon määrittämiseksi. f ( ) (3 ) 3 f ( ) ( a) a Funktiolla on raja-arvo kohdassa =, kun toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. + a = a = Funktion arvo kohdassa = on f() = + a, joka on sama kuin oikeanpuoleinen raja-arvo. Funktion raja-arvo ja arvo ovat samat, kun a =. Tällöin funktio on jatkuva.

32 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty , kun 58. Funktio f ( ) a, kun on jatkuva kohdassa =, jos sen 3 a, kun raja-arvo ja arvo ovat samat kohdassa =. Lasketaan toispuoliset rajaarvot raja-arvon määrittämiseksi. f ( ) (3 ) 3 ( ) 5 f ( ) ( 3 a) 3a Funktiolla on raja-arvo kohdassa =, kun toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. 3a = 5 7 a =. 3 7 Funktiolla on raja-arvo 5 kohdassa =, kun a =. 3 Funktion arvo kohdassa = on f( ) = a, joten tulee olla a = 5. Saatu vakio a ei ole sama molemmissa tapauksissa, joten funktiota ei ole mahdollista saada jatkuvaksi millään parametrin a arvolla.

33 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty , kun 59. a) Määritetään funktion f ( ) raja-arvo 4, kun kohdassa =. 44 ( ) f( ) ( ) f( ) ( 4) 4 Toispuoliset raja-arvot ovat samat, joten funktiolla on raja-arvo kohdassa =. Jotta funktio f olisi jatkuva, pitää olla myös f() =. 4 b) Määritetään funktion f( ), raja-arvo kohdassa =. 3 6 ( )( ) ( ) 4 f 36 3( ) ( ) ( ) 4 3( ) 3 3 Jotta funktio f olisi jatkuva, pitää olla myös f() = 4. 3 a a, kun 6. a) Funktio f( ) on jatkuva kohdassa = a a,kun riippumatta parametrin a arvosta. b) Määritetään funktion f raja-arvo ja arvo kohdassa =. ( a a) a a ( a a) a a f a a a a ( ) ( ) Huomataan, että raja-arvo ja funktion arvo ovat samat. Tämä arvo ei riipu a:n arvosta.

34 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f ( ) ei ole määritelty kohdassa =, joka sisältyy välille [, 3]. Funktio ei siten ole jatkuva välillä [, 3] eikä Bolzanon lauseen ehto jatkuvuudesta siten täyty. Bolzanon lauseen perusteella ei voida sanoa nollakohtien olemassaolosta välillä ], 3[ mitään. SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 3 6. Funktion f( ) 3,, määrittelyehto on 3 8, eli. 3 8 Kohta = on välillä ], 3[, eli funktio f ei ole määritelty, eikä siten myöskään jatkuva koko välillä ], 3[. Tutkitaan, onko funktiolla nollakohtaa jollakin osavälillä, johon ei sisälly kohta =, esimerkiksi välillä ];,9[. 3 3 f () ,9 3,9 59 f (,9) 3,9 8 4 f() > ja f(,9) <, joten Bolzanon lauseen mukaan funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ],,9[ ja siten myös välillä ], 3[. 63. a) Funktiolle okaisessa määrittelyjoukon ( ) pisteessä = a f ( ) f( a). a a a b) Välillä [, ] on määrittelemättömyyskohta eli jatkuvuudesta ei voi sanoa mitään. Edellisessä kohdassa tämä piste = ei kuulunut tarkasteltaviin kohtiin, siksi funktio on jatkuva, mutta ei jatkuva välillä [, ].

35 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a,kun 64. a) Funktion f ( ) a, kun a b, kun ainut mahdollinen epäjatkuvuuskohta on =. Määritetään funktion raja-arvo ja arvo kohdassa =. ( ) 4 a a ( ) 4 a b a b f() a Raja-arvon ja arvon tulee olla yhtä suuret. 4 a a a 4 a 4aba 8b b 6 Tarkistetaan vielä, että toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, eli että yhtälö 4 a = 4a + b toteutuu, kun a = ja b = = 4 ( ) + 6 = Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. Määritellään a = ja b = 6. a b,kun b) Funktion f( ) ab,kun b a,kun ainut mahdollinen epäjatkuvuuskohta on =. Määritetään funktion raja-arvo ja arvo kohdassa =.

36 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( a b) a b ( b a) b a f () ab Kaikilla a:n ja b:n arvoilla funktion raja-arvo ja arvo ovat samat kohdassa =. 65. a) Tosi, sillä jatkuvuus edellyttää funktion arvon määrittämistä. Jos funktiota ei ole määritelty kohdassa = a, ei voida määrittää f(a), jolloin funktio ei olisi jatkuva. b) Tosi, sillä rationaalifunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan. c) Epätosi, sillä f ei ole määritelty välille kuuluvassa kohdassa =. 66. a) Kirjoitetaan funktion f lauseke ilman itseisarvomerkkejä., kun Koska, niin voidaan kirjoittaa, kun, kun f( ), kun Funktio f on määritelty ja jatkuva, kun. Funktio f saadaan jatkuvaksi kohdassa =, jos asetetaan sen arvo tässä kohdassa yhtä suureksi kuin sen raja-arvo. ( ) ( ) Toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret kohdassa =, joten funktiolla ei ole raja-arvoa ja siten funktiota f ei saada jatkuvaksi kohdassa =.

37 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kirjoitetaan funktion f lauseke ilman itseisarvomerkkejä. Funktio f on määritelty, kun., kun, eli, kun, eli Kun <, on 3 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) Kun on 3 3 ( ) 3 3, kun, 3 f( ) 3, kun Selvitetään jatkuvuus kohdassa =. f( ) (3) 3 3( ) ( ) 3 4 f( ) ( ) 3 f ( ) 3. 3 Raja-arvo ja funktion arvo ovat samat, joten funktio on jatkuva kohdassa =.

38 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f saadaan jatkuvaksi kohdassa =, jos asetetaan sen arvo tässä kohdassa yhtä suureksi kuin sen raja-arvo. f( ) (3) 3 ( ) 4. Määritellään, että f( ) = 4, tällöin funktio f on jatkuva koko reaalilukujoukossa. 67. a) Dirichlet n funktio ei ole jatkuva missään pisteessä. b) Funktio f on jatkuva kohdassa =. Kun lähenee nollaa, myös funktion arvot lähenevät nollaa sekä rationaalisilla, että irrationaalisilla muuttujan arvoilla.