Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Transkriptio

1 hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen on riippumaton kuljetuta reititä. ällöin e ei muuta energiaa lämmöki. Konervatiiviia voimia ovat muun muaa gravitaatiovoima ja jouivoima. Sitä vatoin eimerkiki kitka ei ole konervatiivinen voima, illä e muuttaa liike-energiaa lämmöki. ällä kurilla käitellään voimia, joiden uuruu ja uunta pvät vakioina niiden iirteä. ällöin pitevoiman F tekemä tö W = F u ja en potentiaalienergia WP = - W = -F u, jolloin potentiaalienergian nollatao on valittu kappaleen kuormittamattomaan aemaan ja iirtmä u on voiman uuntainen. Potentiaalienergiata on mö kätöä muun muaa euraavat merkinnät ja E p. iivakuormituken potentiaalienergia aadaan ummaamalla viivan pituuden li = ( ) ( ) () WP q u d u miä q u on viivakuormitu iirtmän u uuntaan. atavati painekuormitu ummataan en vaikutualueen li. ilavuuvoiman potentiaalienergia aadaan () WP = f u d = A f u d Koottuna hteen ja iirrttäeä leieen kolmiulotteieen tapaukeen voidaan ulkoien voiman potentiaalienergia lauua WP = u f d u p ds u F (3) i i S i p miä on kätett merkintöjä: iirtmä = ( u v w) p = ( p ) p p ja pitevoima F = ( F ) F F f = f f f u, tilavuuvoima ( ) eri kirjaimilla, mutta muuten energialaueke on tämälleen ama., paine. Merkinnät Chandrupatlan kirjaa ovat hieman

2 hum.9. Kimmoenergia arkatellaan kuvan akiaalita jännittilaa d σ P d σ d Elementin -uuntaieen tahkoon kohdituva voima tekemä muodonmuutotö F = σ d d. oiman F tilavuuelementtiin dw = σ F( ) d (4) miä = d eli dwσ = σ ( ) d d d d = σ ( ) d d (5) Kimmoiella materiaalilla muodonmuutotötä kututaan kimmoenergiaki du. Oamäärää U dwσ σ ( ) d d = = (6) anotaan tilavuuelementtiin kuuluvan piteen kimmoenergiatihedeki. Jo materiaali on =. lineaarieti kimmoita, niin σ = E ja U E Kappaleen kimmoenergia aadaan ummaamalla U = U d = d σ (7) Homogeenien, uoran auvan, jonka pituu on ja poikkileikkauala A, kekeieä vedoa tai puritukea aadaan auvan kimmoenergialle laueke ( = u, ) U = EAu, d (8)

3 hum.9. Otetaan tää toitaieki ilman peruteluja mö uoran taopalkin taivutuongelman kimmoenergia, kun palkin materiaali on lineaarieti kimmoita U EI v, d = (9) ineaarieti kimmoien kappaleen, joa on leinen jännittila, kimmoenergia aadaan U = U d = d miä σ () σ = = ( σ, σ, σ ) (,, ) () Potentiaalienergian minimin periaate Kimmoien kappaleen, johon vaikuttaa konervatiivinen ulkoinen voimakuormitu, kokonaipotentiaalienergia on Π = U + WP () aue: Kaikita kinemaattieti kävitä iirtmäkentitä u(,,) e, joka tuottaa kokonaipotentiaalienergialle Π = Π ( u ) minimin, toteuttaa mö taapainoehdot ja on tarkka ratkaiu. Kinemaattieti käpä iirtmäkenttä toteuttaa oleelliet reunaehdot, jotka leenä ovat annettuja iirtmiä (tai kiertmiä), kuten kappaleen kiinnit. Jo kappaleen iirtmäkenttä ritetään määrittää likimääräieti kättäen ritettä n uɶ (,, ) = Qi Gi (,, ) (3) i= niin kantafunktiot G i tulee valita niin, että rite toteuttaa oleelliet reunaehdot. Näitä reunaehdoita on ii ite huolehdittava ritettä (etimaattia) valittaea. untemattomat kertoimet Q i voidaan ratkaita ääriarvoehdoita Π ( uɶ ) Q i = (4) jotka johtavat lujuuopin tehtäviä lineaarieen htälörhmään, joa on n kappaletta tuntemattomia. Määritettäeä kappaleen iirtmäkenttä likimääräieti kättäen ritettä (3), niin menettelä kututaan Raleigh-Ritin menetelmäki.

4 hum.9. Mainittakoon tää htedeä vielä, että palkkirakenteella mö ritteen derivaatta voi olla oleellinen reunaehto. Eimerkiki palkin pää voi olla jäkäti kiinnitett, jolloin iirtmäetimaatin derivaatta tulee olla nolla palkin ko. päää. Alla olevaa kuvaa on palkkirakenteen erilaiia kiinnitkiä. Huomaa, että kuvaa ˆQ on leikkauvoima. Enimmäieä tapaukea oleellinen reunaehto on v() =. oiea tapaukea oleellita iirtmäreunaehtoa ei ole. Jäkätä kiinnitketä euraa ehdot v() = ja v, () =. iukujohteeta aadaan ehto v, () =. Eimerkki. Siirtmäetimaatti uɶ ( ) on kinemaattieti käpä, illä e toteuttaa iirtmäreunaehdon ( ) Poikkileikkauken pinta-alalla on laueke A( ) = A ( ). Sauvan potentiaalienergia on Π = + = ( uɶ ) U WP EAuɶ, d F uɶ ( ) Π = Π = / ( uɶ ) ( C ) EA ( / ) C d F C (5) 3 Π ( ) = 4 C EA C F C u ɶ =. Potentiaalienergian minimin välttämätön ehto on

5 hum.9. d Π 6 F = EA C F = C = d C 4 3EA F F uɶ ( ) = C = EA EA (6)