Remez-menetelmä FIR-suodinten suunnittelussa
|
|
- Teuvo Järvinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku Remez-menetelmä FIR-suodinten suunnittelussa Remez-menetelmä, eli optimaalinen menetelmä etsii minimax-mielessä optimaalista suodinta. Algoritmi johdetaan seuraavassa (täydellisyyden vuoksi) melko yksityiskohtaisesti. Olennaisinta on kuitenkin ymmärtää tuloksena saatavan suotimen ominaisuudet. Luvun lopussa varsinainen suunnittelu tehdään käyttäen valmista Matlab-ohjelmaa.. Lähtökohta: optimaalisuus minimax-mielessä Tarkastellaan tuttua ideaalista taajuusvastetta: { H id (e iω, kun ω P )=, kun ω P, missä ω [, π] ja P on päästökaista. Remez-algoritmia johdettaessa tarkastellaan vain suotimia, joiden vaihevaste on nolla kaikilla taajuuksilla ja taajuusvaste on reaalinen. Tämä tarkoittaa, että suotimen kertoimet ovat symmetrisesti origon suhteen (eli h(n) = h(n) aina kun n ). Tämä vastaa täysin ikkunamenetelmän tilannetta, jossa suunnitellaan ensin origokeskinen suodin, jota sitten viivästetään niin paljon, että suotimesta saadaan kausaalinen. Jakamalla taajuusvasteen määräävä summa kolmeen osaan ja soveltamalla kertoimien symmetrisyyttä (kertoimia = 2M+ kappaletta) sekäeulerinkaavaavoidaanlauseketta muokata seuraavasti. H(e iω ) = h(n)e iωn M = h()+ = h()+ h(n)e iωn + h(n)e iωn h(n)e iωn + M h( n)e iωn
2 2 SIGAALIKÄSITTELY SOVELLUKSET = h()+ = h()+ = h()+ h(n)(e iωn + e iωn ) h(n)(cos( ωn)+isin( ωn)+cos(ωn)+isin(ωn)) h(n)(2 cos(ωn))). Jatkossa tästä käytetään lyhyempää muotoa, joka saadaan ottamalla käyttöön apukertoimet a(n): H(e iω )= a(n) cos(ωn), n= missä { h(n), kun n = a(n) = (.) 2h(n), kun n M. yt suotimen suunnitteluongelma voidaan esittää seuraavasti: on löydettävä sellaiset kertoimet a(),a(),...,a(m), että virhefunktion E(ω) =H(e iω ) H id (e iω ), itseisarvon suurin arvo on mahdollisimman pieni. Toisin sanoen on etsittävä sellaiset kertoimet a(n), että a(n) =arg min max E(ω), a( ) ω X missä X [, π) koostuu päästö- ja estokaistoista (ei siirtymäkaistasta). Usein virhettä päästö- ja estokaistoilla halutaan painottaa eri tavoin. Tällöin virhefunktioksi valitaan E(ω) =W(ω) ( H(e iω ) H id (e iω ) ), missä painofunktio W(ω) saa eri arvot esto- ja päästökaistalla. Painofunktion arvo voi olla vaikkapa 2 estokaistalla ja päästökaistalla. Tällöin päästökaistalla sallitaan kaksinkertainen virhe estokaistaan nähden. Painofunktion valintaan tutustutaan tarkemmin harjoitustehtävässä.5. Optimaaliselle ratkaisulle voidaan löytää seuraava riittävä ja välttämätön ehto: H(e iω ) on minimax-mielessä optimaalinen, jos ja vain jos on olemassa ainakin M + 2 sellaista pistettä ω,ω,...,ω M+ X, että seuraavat ehdot ovat voimassa: ω <ω < <ω M <ω M+, E(ω k+ )= E(ω k ), kun k =,,...,M, E(ω k ) = max ω X E(ω), kun k =,,...,M+ Optimaalisen ratkaisun taajuusvasteen jokainen värähtelyhuippu päästökaistalla ja estokaistalla on tarkalleen saman korkuinen. Lisäksi virheen merkki vaihtuu jokaisessa värähtelyhuipussa, ks. kuva. yt kuvassa on nimenomaan suotimen taajuusvaste, joka tässä tapauksessa on reaalinen. äinollen kuvaaja voi saada myös negatiivisia arvoja. Amplitudivaste on alla olevan kuvaajan itseisarvo.
3 . REMEZ-MEETELMÄ FIR-SUODITE SUUITTELUSSA 3 +δ p δ p δ s δ s f p f s.5 Päästökaista Siirtymäkaista Merkitään maksimivirhettä muuttujalla ɛ, Estokaista ɛ = max ω X E(ω). Silloin optimaalisen taajuusvasteen virheet pisteissä ω,..., ω M+ voidaan esittää muodossa E(ω k )=W(ω k ) ( H ( ( )) e k) iω Hid e iω k =( ) k ɛ, k =,,...,M+. Pisteet ω,ω,...,ω M+ määräytyvät seuraavassa esitettävän algoritmin avulla. Rutiinin alussa ne valitaan esimerkiksi tasaisin välein väliltä [, π]..2 McClellan-Parks-Rabiner algoritmi Suodin, jonka taajuusvaste toteuttaa optimaalisuusehdon on mahdollista löytää seuraavalla algoritmilla. Oletetaan, että meillä on annettuna M + 2 välin [, π] pistettä, ts. joukko Ω = {ω,ω,...,ω M+ }. Tämä joukko on siis mikä tahansa pistejoukko, useimmiten tasaisin välimatkoin valittu. Kyseisetpisteetkertovat optimaalisentaajuusvasteen otaksutut värähtelyhuiput, jotka siis alkuvaiheessa ovat puhtaalla arvauksella valitut. Jos ne olisivat oikeat optimaalisen taajuusvasteen värähtelyhuiput, niin yhtälö E(ω k )=W(ω k ) ( H ( e iω k) Hid ( e iω k )) =( ) k ɛ, k =,,...,M+, olisi voimassa. Tämä voidaan esittää M + 2:na lineaarisena yhtälönä: n= a(n) cos nω k ( )k ɛ W(ω k ) = H ( ) id e iω k, (.2)
4 4 SIGAALIKÄSITTELY SOVELLUKSET k =,,...,M+. Tämä yhtälöryhmä sisältää M + 2 tuntematonta, nimittäin muuttujat a(),a(),...,a(m) ja muuttujan ɛ. Yhtälöryhmä matriisimuodossa on seuraavaa muotoa, cos(ω ) cos(m ω ) /W(ω ) a() H id (e iω ) cos(ω ) cos(m ω ) /W(ω ) a() H id (e iω ) =.. cos(ω M ) cos(m ω M ) /W(ω M ) a(m) H id (e iω M ) cos(ω M+ ) cos(m ω M+ ) /W(ω M+ ) ɛ H id (e iω M+ ) Vektori (a(),a(),...,a(m),ɛ) T voidaan ratkaista tästä yhtälöstä. Saadut kertoimet määräävät taajuusvasteen, joka on pisteissä ω,ω,...,ω M+ etäisyydellä ɛ ideaalisesta taajuusvasteesta. Virhefunktion huippuarvot eivätkuitenkaan olenäissäpisteissä,vaanfunktio saa suurempia arvoja muualla. Alla olevassa kuvassa on Remez-algoritmin tuottamia kertoimia vastaavan taajuusvasteen kuvaaja algoritmin toisella iteraatiokierroksella ormalisoitu taajuus (Fs=) Tätä vastaava virhefunktio on alla olevassa kuvassa ormalisoitu taajuus (Fs=) yt ɛ =.529 ja pisteet ω,ω,...,ω M+ näkyvät kuvassa ympyröinä. Virhefunktio siis saa arvon ɛ pisteissä ω,ω,...,ω M+, mutta nämä pisteet eivät selvästikään ole virhefunktion huippuarvoja. Virhefunktion todelliset huippuarvot voidaan kuitenkin selvittää ja ottaa nämä uusiksi lähtöarvoiksi iteraatiolle. äiden avulla voidaan jälleen selvittää kertoimet a(),a(),...,a(m) sekä ɛ, joista saadaan uusi virhefunktio ja sille uudet pisteet ω,ω,...,ω M+, ja niin edelleen. äin jatketaan, kunnes uudet alkuarvot poikkeavat edellisen kierroksen lähtöarvoista riittävän vähän, ω k ω k <α. Viimeisen kierroksen kertoimista a(),a(),...,a(m) voidaan muodostaa impulssivaste h(n) ottamalla huomioon impulssivasteen positiivinen symmetria sekä kaava (.).
5 . REMEZ-MEETELMÄ FIR-SUODITE SUUITTELUSSA 5 McClellan-Parks-Rabiner algoritmi. Valitse M + 2 pistettä Ω = {ω,ω,...,ω M+ } joukosta X. 2. Ratkaise yhtälöryhmästä (.2) tuntemattomat a(),a(),...,a(m) ja ɛ. 3. Etsi uudet M + 2 ääriarvoa Ω = {ω,ω,...,ω M+ } näin saadulle uudelle virhefunktiolle. 4. Jos ω k ω k < α, niin palauta joukon Ω pisteitä vastaavat kertoimet h(),h(),...,h(m). Muutoin sijoita Ω := Ω ja palaa kohtaan 2. Algoritmin suppenemisen todistaminen sivuutetaan tässä yhteydessä. Kuitenkin suppeneminen tapahtuu kohti optimiratkaisua, jos äärellinen laskentatarkkuus ei aiheuta juuttumista johonkin sykliin. Todistus on löydettävissä numeerisen matematiikan ja funktioiden approksimoinnin kirjoista. Remez-algoritmin alkuperäinen käyttötarkoitus oli nimittäin parhaan ns. Chebychev-approksimaation löytäminen annetulle funktiolle välillä [, ]. Suotimen asteen (kertoimien määrän) arviointiin ei ole olemassa mitään analyyttistä lauseketta ja aste onkin yleensä enemmän tai vähemmän arvailun varassa. Ifeachorin kirjassa on olemassa empiirisiä arvioita kertoimien määräksi, mutta niihin ei puututa tässä. Matlab antaa arvion tarvittavasta kertoimien määrästä komennolla remezord. Kuten ikkunamenetelmässäkin, myös Remez-algoritmin käytännön hyödyntämisessä on Matlabin signaalinkäsittelyn toolbox korvaamaton apu. Remez-suunnittelun suorittava Matlab-komento on b = remez (n,f,m,w);, missä n on suotimen aste (kertoimien määrä -),f on vektori, joka määrää pisteet väliltä [, ],joissa asetetaan taajuustason vaatimuksia. Vektori m kertoo vektorin f määräämissä pisteissä halutut taajuusvasteet ja w on Remez-algoritmin käyttämä painofunktio W(ω). Vektorin f määrittelyssä on syytä huomata, että taajuudet on skaalattu välille [, ], missä vastaa yquistin rajataajuutta, eli kompleksitason pistettä e iπ. Lisäksi vektorin ensimmäinen piste pitää olla ja viimeinen. ämä parametrit saadaan komennolla [n,f,m,w] = remezord (F,A,Dev,Fs);, missä vektori F sisältää siirtymäkaistan rajataajuudet, A sisältää amplitudivasteen arvot eri kaistoilla, Dev sisältää maksimipoikkeamat eri kaistoilla lineaarisella asteikolla ja Fs on näytteenottotaajuus. Esimerkki: Suunnittele Matlabin avulla optimaalinen suodin, jonka vaatimukset ovat: Chebychevin polynomit T (x), T (x),t 2 (x),...määritellään seuraavasti äistä muodostettu lineaarikombinaatio on muotoa S M (x) = T n (x) = cos nθ, θ = arccosx. a n T n (x) = n= a n cos nθ, josta pitää löytää optimaaliset kertoimet a n. Tämä puolestaan on täsmälleen sama ongelma kuin optimaalisen taajuusvasteen löytämisessä. äin ollen optimaalinen suodinsuunnittelu on itse asiassa Chebyshevapproksimointia. n=
6 6 SIGAALIKÄSITTELY SOVELLUKSET Päästökaistat Estokaista Päästökaistan maksimivärähtely Estokaistan minimivaimennus äytteenottotaajuus [ Hz,88Hz] ja [2 Hz, 256 Hz] [5 Hz, 75 Hz].5 db 45 db 52 Hz Desibelit täytyy ensin muuntaa lineaariselle asteikolle. Päästökaistalla saa värähtelyä olla.5 db ja ihannearvo on. Amplitudivasteen suurin arvo saa olla siis.5 db ja pienin arvo.5 db. Suurin arvo lineaarisella asteikolla saadaan yhtälöstä 2 log x =.5, eli x =.5/2 =.593. Pienin arvo puolestaan tulee yhtälöstä 2 log x =.5, eli x =.5/2 =.944. äistä jälkimmäinen on lähempänä ihannearvoa eli ykköstä, joten maksimipoikkeama lineaarisella asteikolla on.944 =.559. Estokaistalla amplitudivasteen pitää olla arvon 45 db alapuolella, eli lineaarisella asteikolla: 2 log x = 45, josta x = 45/2 =.56.VektoriDev on siis Dev=[.559,.56,.559]; Vektori F puolestaan on F=[88,5,75,2]; ja vektori A=[,,];. äytteenottotaajuus Fs=52. Aste arvioidaan siis komennolla [n,f,m,w] = remezord (F,A,Dev,Fs); ja tulokseksi saadaan mm. aste n=34, josta kertoimien määräksi tulee Varsinainen suunnittelu tapahtuu komennolla b=remez(n,f,m,w);, joka palauttaa kuvassa olevan impulssivasteen Taajuusvaste: Amplitudivaste (db) ormalisoitu taajuus Taajuusvaste lineaarisella asteikolla: Matlabin versio 5.3 palauttaa virheellisesti myös parittomia asteita eli parillisia kertoimien määriä. Tällöin ei kaistanestosuotimen toteutus onnistu.
7 . REMEZ-MEETELMÄ FIR-SUODITE SUUITTELUSSA 7 apa-nollakuvio: 2.5 Imaginary Part Real Part Esimerkki: Suunnitellaan ylipäästösuodin seuraavilla vaatimuksilla: Päästökaista Estokaista Päästökaistan maksimivärähtely Estokaistan minimivaimennus äytteenottotaajuus [5 khz, 22.5 khz] [ khz,8khz]. db 25 db 44. khz Desibeliarvo. db vastaa lineaarisen asteikon maksimipoikkeamaa.4 ja minimivaimennus 25 db poikkeamaa.562, joten vektori Dev=[.562,.4];. Lisäksi F=[8,5];, A=[,]; ja Fs=44.;. Rutiini remezord antaa asteeksi Matlabin versiolla 5.3 arvon n=7, mutta ylipäästösuotimen asteen pitää olla parillinen (ja kertoimien määrän pariton). Siksi otetaan asteeksi n=8. Suunnittelukomento antaa seuraavan impulssivasteen Taajuusvaste desibeleinä on alla
8 8 SIGAALIKÄSITTELY SOVELLUKSET 2 Amplitudivaste (db) ormalisoitu taajuus Kuvasta nähdään, että asteen arviointirutiini antaa toisinaan liian pieniä arvoja. Tässä tapauksessa seurauksena oli, ettei estokaistan minimivaimennus ole määrittelyjen mukainen. Oikeaan lopputulokseen päästäisiin kasvattamalla astetta. Taajuusvaste lineaarisella asteikolla on puolestaan seuraavan näköinen Lopuksi napa-nollakuvio näyttää seuraavalta..5.5 Imaginary Part Real Part Harjoitustehtäviä.. Piirrä alla olevaa kuvaa vastaava suunnittelukriteereitä havainnollistava kuvio, kun kriteerit ovat seuraavat: äytteenottotaajuus on 44. khz, Taajuuksilla -8 khz tulee suotimen vaimennuksen olla vähintään 25 db, Taajuuksilla on päästökaista ja värähtely saa olla enintään. db.
9 . REMEZ-MEETELMÄ FIR-SUODITE SUUITTELUSSA 9 +δ p δ p δ s f f p s.5 Päästökaista Siirtymäkaista Estokaista.2. a) Muunna seuraavat luvut desibeleiksi:.5,.2,.,.,., 2. b) Muunna seuraavat desibeliarvot lineaariselle asteikolle: 25 db, 3 db, 6 db, 2 db, 3 db, 6 db..3. Tarkastellaanensimmäisentehtävän suunnitteluvaatimuksia ja erityisesti sen päästöja estokaistan sijainteja (vaimennusvaatimukset unohdetaan hetkeksi). Laske montako kerrointa tarvitaan kun suodin suunnitellaan ikkunamenetelmällä käyttäen (a) Suorakulmaista ikkunaa, (b) Hanning-ikkunaa, (c) Hamming-ikkunaa, (d) Blackman-ikkunaa?.4. (Matlab) Suunnittele Remez-algoritmilla suodin, joka toteuttaa ensimmäisen tehtävän vaatimukset (help remez, help remezord). Suunnittele vastaava suodin ikkunamenetelmällä (help fir). Tulosta ruudulle amplitudi- ja vaihevasteet sekä napa-nollakuviot..5. Remez-menetelmän painofunktion avulla voidaan säätää värähtelyä päästö- ja estokaistoilla. Merkitään päästö- ja estokaistan maksimivärähtelyjen suhdetta muuttujalla K: K = δ p δ s = Tällöin painofunktion tulee olla muotoa maksimivärähtely päästökaistalla maksimivärähtely estokaistalla. W(ω) = { päästökaistalla, K estokaistalla. Jos esimerkiksi δ p =. ja δ s =.5, niin K 7.28, ja painofunktio on W(ω) = { päästökaistalla, 7.28 estokaistalla.
10 SIGAALIKÄSITTELY SOVELLUKSET Yleensä suunnittelukriteerit on annettu desibeleinä. Tällöin ne pitää ensin muuntaa lineaariselle asteikolle. Määritä Remez-algoritmin painofunktio, kun (a) Päästökaistan värähtely saa olla enintään.26 db ja estokaistan vaimennus vähintään 3 db. (b) Päästökaistan värähtely saa olla enintään.5 db ja estokaistan vaimennus vähintään 4 db. (c) Päästökaistan värähtely saa olla enintään. db ja estokaistan vaimennus vähintään 8 db.
11 Luku 2 Käänteisen Fourier-muunnoksen menetelmä Käänteisen Fourier-muunnoksen suunnittelumenetelmässä (engl. frequency sampling method) näytteistetään ideaalinen taajuusvaste ja otetaan sen käänteinen diskreetti Fouriermuunnos. Diskreetti Fourier-muunnoshan vastaa taajuusvastetta tietyissä kompleksitason yksikköympyrän pisteissä ja näin ollen käänteinen DFT tuottaa approksimaation ideaaliselle impulssivasteelle. Ongelmana on, että tietoa taajuustason käyttäytymisestä on ainoastaan tietyissä yksikköympyrän pisteissä, ja muista pisteistä ei tiedetä mitään. Tämän menetelmän merkitys on lähinnä historiallinen. Käänteisen Fourier-muunnoksen menetelmä on tapana mainita siksi, että se on helppo ymmärtää ja se on usein ensimmäinen mieleen tuleva ratkaisu taajuuksien suodattamiselle. Kuvassa on esitetty ideaalinen taajuusvaste, taajuusvasteen näytteistyspisteet ja niiden ja käänteisen DFT:n avulla selvitetyn impulssivasteen todellinen taajuusvaste. Kuvasta havaitaan taajuusvasteen heittelehtiminen kiinteiden pisteiden ulkopuolella Mikään ei kuitenkaan takaa, että kertoimista tulee reaalisia otettaessa käänteinen DFT. Meidän pitääkin eksplisiittisesti valita se taajuusvaste, jonka tuloksena on lineaarivaiheinen reaalikertoiminen FIR-suodin. Valinta suoritetaan niiden ideaalisten taajuusvasteiden
12 2 SIGAALIKÄSITTELY SOVELLUKSET joukosta, joiden itseisarvot toimivat toivotulla tavalla: Hid (e iω ) {, kun ω P =, kun ω P, missä päästökaista P on jokin joukon [, π] osajoukko. Valinta selviää tarkastelemalla käänteisen DFT:n lauseketta h(n) = H(k)w kn, missä w = e 2πi/. Muunnetaan H(k) napakoordinaatistoon: h(n) = k= k= H(k) e iarg H(k) w kn = H(k) e iarg H(k) e 2πikn/ = k= k= i(arg H(k)+2πkn/) H(k) e = H(k) cos(arg H(k)+2πkn/) k= + i H(k) sin(arg H(k)+2πkn/) k= Koska halutaan reaalikertoiminen suodin, pitää jälkimmäinen summattava jättää pois, h(n) = H(k) cos(arg H(k)+2πkn/). k= Erityisesti lineaarivaiheisille FIR-suotimille on voimassa kun on parillinen ja α = 2. Tällöin arg(h(k)) = 2παk, h(n) = H(k) cos(2π(n α)k/). k= Käänteisen DFT:n suunnittelumenetelmä voidaan kiteyttää tähän kaavaan.
13 2. KÄÄTEISE FOURIER-MUUOKSE MEETELMÄ 3 Käänteisen DFT:n suunnittelumenetelmä ( parillinen). Kiinnitä ideaalinen taajuusvaste H id (e iω ). 2. Selvitä tätä vastaava DFT H(n) kaavasta ( H(n) =H id missä n =,,2,...,. e 2πin 3. Suunnitellun suotimen impulssivaste saadaan kaavasta k= ), h(n) = ( ) 2π(n α)k H(k) cos, missä n =,,..., ja α = 2. Kokeillaan tätä menetelmää Matlabin avulla. Vaatimukset: äytteenottotaajuus on 44. khz, Taajuuksilla khz on estokaista, Taajuuksilla -8 khz on päästökaista. Olkoon kertoimien määrä = 32. Yllä olevan algoritmin tuloksena on suodin, jonka taajuusvaste ideaalisen taajuusvasteen ja kiinnitettyjen pisteiden kanssa on kuvassa..4.2 Amplitudi (abs.) ormalisoitu taajuus Ikkunoiden avulla tuloksia saadaan parannettua, mutta ei merkittävästi, eikä lähellekään ikkunamenetelmän tai optimaalisen menetelmän tuloksia. Harjoitustehtäviä 2.. (Matlab) Laadi funktio, joka toteuttaa käänteisen Fourier-muunnoksen suunnittelumenetelmän Matlabissa. Apuna kannattanee käyttää Matlabin editoria (komento edit). Tiedoston ensimmäiselle riville tulee määrittely, tässä tapauksessa function b=invfft(h) missä H on haluttu amplitudivaste eri pisteissä (vektori, jossa on n komponenttia, n on kertoimien määrä) ja tulokseksi tulee suotimen kertoimet sisältävä vektori b. Tiedosto talletetaan samalla nimellä kuin varsinainen funktiokutsu (tässä tapauksessa invfft.m). Tämän jälkeen kirjoitetaan ohjelmakoodi jonka lopussa halutut kertoimet sijoitetaan vektoriin b. Vihje: menetelmäkiteytyy yhteen kaavaan,joka on määrä
14 4 SIGAALIKÄSITTELY SOVELLUKSET toteuttaa. Koska kyseessä on summa, homman voi hoitaa for-silmukassakin. Tyylikkäämpi ratkaisu saadaan kuitenkin sisätulon avulla, jossa vaakavektori kerrotaan oikealta puolelta pystyvektorilla. Saatat tarvita seuraavia Matlabin funktioita: length, fix ja cos. Jos halutaan 8-kertoiminen alipäästösuodin, jonka rajataajuus on puolet yquistin rajataajuudesta, määritellään ensin taajuusvaste H=[,,,,,,,] (huomaa, että amplitudivektori (,,, ) tulee kahteen kertaan) ja kutsutaan rutiinia. Tulokseksi pitäisi tulla b=[-.58,,.38,.5,.38,,-.58,] (Matlab) Suunnittele edellisen tehtävän rutiinilla suodin, jonka amplitudivaste on nolla nollataajuudella ja kasvaa lineaarisesti kunnes on yksi yquistin rajataajuudella. Tutustu fir2-rutiiniin ja suunnittele sen avulla vastaava suodin. Vertaa tuloksia eri kerroinmäärillä. Vihje: vertailu onnistunee helpoiten lineaarisella asteikolla; komennoilla [h,w]=freqz(b); plot(w/(2*pi),abs(h));
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 30.1.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 6.3.006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 18.3.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 24.4.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti..005 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja sen
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 5.5.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotEsipuhe. Tampereella, 9. toukokuuta 2003, Heikki Huttunen heikki.huttunen@tut.fi
Esipuhe Käsillä oleva moniste on tarkoitettu opetusmateriaaliksi Tampereen teknillisen yliopiston signaalinkäsittelyn laitoksen kurssille "8253: Johdatus signaalinkäsittelyyn 2". Materiaali on kehittynyt
Lisätiedot8000253: Johdatus signaalinkäsittelyyn 2
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietotekniikan osasto Signaalinkäsittelyn laitos TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Information Technology Institute of Signal Processing Opetusmoniste 2-23
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu
Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,
LisätiedotIIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN-11 Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe 3.5.16 Heikki Huttunen Laskimen käyttö sallittu. Muiden materiaalien käyttö ei sallittu. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla 1-3 on. Sivuilla 4-5
LisätiedotTuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin
1 1 Vastaa lyhyesti seuraaviin a) Miksi signaaleja ylinäytteistetään AD- ja DA-muunnosten yhteydessä? b) Esittele lohkokaaviona adaptiiviseen suodatukseen perustuva tuntemattoman järjestelmän mallinnus.
Lisätiedot1 Tarkastellaan digitaalista suodatinta, jolle suurin sallittu päästökaistavärähtely on 0.05 db ja estokaistalla vaimennus on 44 db.
TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) 2.2.26 Tarkastellaan digitaalista suodatinta, jolle suurin sallittu äästökaistavärähtely on.5 db ja estokaistalla vaimennus on 44 db. 6 Kuinka suuri maksimioikkeama vahvistusarvosta
LisätiedotAlipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi
Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö-
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotDigitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006
Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien
LisätiedotT Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-63 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus 2 välikoe / tentti Ke 4528 klo 6-9 Sali A (A-x) ja B (x-ö)m 2 vk on oikeus tehdä vain kerran joko 75 tai 45 Tee välikokeessa tehtävät, 2 ja 7 (palaute)
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
Lisätiedot1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:
Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet
SMG-00: PIIRIANALYYSI I Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet alipäästösuodin ylipäästösuodin kaistanpäästösuodin kaistanestosuodin jännitevahvistus rajataajuus kaistanleveys resonanssi Suotimet:
LisätiedotLuento 8. Suodattimien käyttötarkoitus
Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen
LisätiedotT SKJ - TERMEJÄ
T-61140 SKJ - termit Sivu 1 / 7 T-61140 SKJ - TERMEJÄ Nimi Opnro Email Signaalinkäsittelyyn liittyviä termejä ja selityksiä Kevät 2005 Täytä lomaketta kevään aikana ja kerää mahdollisesti puuttuvia termejä
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotHeikki Huttunen Signaalinkäsittelyn sovellukset
Tampereen teknillinen yliopisto. Signaalinkäsittelyn laitos. Opetusmoniste 2: Tampere University of Technology. Department of Signal Processing. Lecture Notes 2: Heikki Huttunen Signaalinkäsittelyn sovellukset
LisätiedotLuento 8. Suodattimien käyttötarkoitus
Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..007 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden
LisätiedotKatsaus suodatukseen
Katsaus suodatukseen Suodatuksen perustaa, ideaaliset suotimet, käytännön toteutuksia Suodatus Suodatusta käytetään yleensä signaalin muokkaukseen siten, että 2 poistetaan häiritsevä signaali hyötysignaalin
LisätiedotSpektri- ja signaalianalysaattorit
Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden
Lisätiedot1 Äänisignaalin tallentaminen ja analysointi... 2 Q Q Q Q Häiriönpoisto... 5 Q Q Q2.3...
1 Äänisignaalin tallentaminen ja analysointi... 2 Q1.1... 2 Q1.2... 2 Q1.3... 3 Q1.4... 4 2 Häiriönpoisto... 5 Q2.1... 5 Q2.2... 8 Q2.3... 9 3 FIR- ja IIR-suotimien vertailu... 10 Q3.1... 10 Q3.2... 11
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMatriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotSuodattimet. Suodatintyypit: Bessel Chebyshev Elliptinen Butterworth. Suodattimet samalla asteluvulla (amplitudivaste)
Suodattimet Suodatintyypit: Bessel Chebyshev Elliptinen Butterworth Suodattimet samalla asteluvulla (amplitudivaste) Kuvasta nähdään että elliptinen suodatin on terävin kaikista suodattimista, mutta sisältää
LisätiedotSignaalinkäsittelyn sovellukset
Signaalinkäsittelyn laitos. Opetusmoniste 26: Institute of Signal Processing. Lecture Notes 26: Heikki Huttunen Signaalinkäsittelyn sovellukset Tampere 26 Tampereen teknillinen yliopisto. Signaalinkäsittelyn
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotKirjoitetaan FIR-suotimen differenssiyhtälö (= suodatuksen määrittelevä kaava):
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus. Olkoo x(t) = cos(πt)+cos(8πt). a) Poimi sigaalista x äytepisteitä taajuudella f s = 8 Hz. Suodata äi saamasi äytejoo x[] FIR-suotimella, joka suodikertoimet ovat a
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotSäätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi
Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen 0.4 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotHarjoitustyö 1. Signaaliprosessorit Sivu 1 / 11 Vähämartti Pasi & Pihlainen Tommi. Kaistanestosuodin, estä 2 khz. Amplitudi. 2 khz.
Signaaliprosessorit Sivu 1 / 11 Harjoitustyö 1 Kaistanestosuodin, estä 2 khz Amplitudi f 2 khz MATLAB koodi: clear; close all; w=[0 1900 1950 2050 2100 4000]/4000; m=[1 1 0 0 1 1]; h=remez(800,w,m); [H,w]=freqz(h,1);
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotT-61.246 DSP (Harjoitustyö 2003, v. 5.01) Sivu 2 / 9
T-61.246 DSP (Harjoitustyö 2003, v. 5.01) Sivu 1 / 9 T-61.246 DSP (Harjoitustyö 2003, v. 5.01) Sivu 2 / 9 T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus Versio 5.01 (29.9.2003) T-61.246 Harjoitustyö
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotA B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df)
ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3. a) Suoran tapauksessa ratkaistaan kaksi tuntematonta termiä, A ja B, joten tarvitaan kaksi pistettä, jotka ovat pisteet t = ja t =.. Saadaan yhtälöpari
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot6.2.3 Spektrikertymäfunktio
ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot3. kierros. 2. Lähipäivä
3. kierros. Lähipäivä Viikon aihe (viikko /) Takaisinkytketyt vahvistimet Takaisinkytkentä, suljettu säätöluuppi Nyquistin kriteeri, stabiilisuus Taajuusanalyysi, Boden ja Nyquistin diagrammit Systeemin
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 17.3. Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x),
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 7
Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotKevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /
Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa
LisätiedotSGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen
SGN-5 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe.. Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla - on. Sivuilla 4-6 on. Vastaa
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotKotitehtävät 1-6: Vastauksia
/V Integraalimuunnokset Metropolia/. Koivumäki Kotitehtävät -6: Vastauksia. Merkitse kompleksitasoon näiden kompleksilukujen sijainti: a = 3 j b = 3 35 (3 kulmassa 35 ) jπ / c = d = 3 e j 9.448 e cos(
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN- Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe.5.4 Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla -3 on. Sivuilla 4-5 on. Sivulla
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen
LisätiedotHeikki Huttunen Signaalinkäsittelyn sovellukset
Tampereen teknillinen yliopisto. Signaalinkäsittelyn laitos. Opetusmoniste 2: Tampere University of Technology. Department of Signal Processing. Lecture Notes 2: Heikki Huttunen Signaalinkäsittelyn sovellukset
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016) Tavoitteet (teoria): Ymmärtää kausivaihtelun käsite ja sen yhteys otoshetkiin. Oppia käsittelemään periodogrammia.. Tavoitteet (R): Periodogrammin,
Lisätiedot