Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006"

Transkriptio

1 Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien taajuusvasteita Z-tason avulla voidaan myös helposti varmistua järjestelmän stabiilisuudesta Z-tasoon nollat merkitään ympyröillä ja navat ristillä Z-tasoon piirretään yleensä myös origokeskeinen yksikköympyrä Järjestelmän taajuusvaste saatiin sijoituksella e jω siirtofunktioon () koska e jω taajuusvaste saadaan evaluoimalla ():n arvo yksikköympyrällä, eli (e jω ) uomaa että sinisignaalilla jonka vaihe hetkellä n on º on yksi nolla origossa sekä kaksi kompleksikonjugaattinapaa yksikköympyrällä T5/JV

2 Z-taso ja stabiilisuus - navat Oletetaan että meillä on järjestelmä jossa on yksi reaalinen napa α Y ( ) ( ) Y ( ) αy( ) X ( ) X ( ) ( α ) Differenssiyhtälö on muotoa [ n + ] αy[ n] x[ n] y Koska aikainvariantti, voidaan muuttaa kausaaliseksi [ n] αy[ n ] + x[ n ] y pulssivaste on [ n] αh[ n ] + δ [ n ] h pulssivasteen arvot ovat alkaen n 3 4,, α, α, α, α,... Jos α<, impulssivaste lähenee nollaa kun n ; jos taas α>, vaste kasvaa rajatta Järjestelmä on stabiili vain jos α <, eli napa on yksikköympyrän sisäpuolella T5/JV 3 α Z-taso ja stabiilisuus - navat Oletetaan että järjestelmässä on kaksi napaa imaginääriakselilla ±jα ( ) Y X ( ) ( ) ( jα )( + jα ) ( + α ) Differenssiyhtälö on muotoa [ n] α y[ n ] + x[ n ] y pulssivasteen arvot ovat alkaen n,,,,,,,,,,... Y ( ) + α Y ( ) X ( ) huomaa, kertoimet reaalisia kun konjugaattinavat 4 6 α α α Jos α <, järjestelmä on stabiili apojen täytyy olla yksikköympyrän sisäpuolella Jotta järjestelmä olisi stabiili napojen ei tarvitse sijaita reaali- tai imaginääriakseleilla, vaan riittää että ne ovat yksikköympyrän sisäpuolella Stabiilisuustarkastelu pätee myös signaaleihin Siniaalto, eksponentiaalinen signaali, α -α T5/JV 4

3 Z-taso ja stabiilisuus - navat Oheisessa kuvassa navat ovat konjugaattiparina Molempien etäisyys origosta on r Molempien kulma reaaliakselista on ±θ Z-tasolla napojen sijainti on siis re jθ ja re -jθ Järjestelmä () on stabiili jos r< uomaa että kun navat ovat konjugaattiparina, niin differenssiyhtälön kertoimet ovat reaalisia ( ) ( ) jθ jθ ( ) ( re )( re ) ( r cos θ + r ) vastaava differenssiyhtälö on [ n] r cos θy[ n ] r y[ n ] + x[ n ] y Y X cosθe -jθ +e jθ T5/JV 5 Z-taso ja stabiilisuus - navat Oletetaan järjestelmän siirtofunktioksi ( ) ( )( + ) ( +,8)( +, ,964)(, ,95) välittömästi nähdään että järjestelmällä on napa kohdassa -,8 ja kaksi kompleksikonjugaattiparinapaa Ensimmäinen napapari : +, ,964 ähdään että r eli r,98 ja θ 45,964 ja r cosθ,38593 Toinen napapari:, ,95 ähdään että r eli r,95 ja θ 5,95 ja r cosθ,64545 avat ovat yksikköympyrän sisäpuolella, joten järjestelmä on stabiili T5/JV 6 3

4 Missä toisen asteen napoja esiintyy Viive ja integraattori muodostavat toisen asteen järjestelmän Sähkömoottorin ohjauksen ja akselin kulman siirtofunktio (servo) Auton liikkeen suunta suhteessa ohjauskomentoon Siirtofunktio -tasossa jos a C(s) ( s + a) Φ(s) s ohjaus nopeus positio Θ(s) ( s) jos T s( s + ) s s +, niin T ( ) ( e ) T ( )( e ) ( ) e T T ( e ) ( )( e ) ( e ),63 ( )( e ),3678 +, 3678 T, ,4 T5/JV 7 Z-taso ja stabiilisuus - nollat Stabiilisuuteen vaikuttavat vain napojen sijainti Stabiilisuutta ajatellen nollat voivat sijaita missä tahansa -tasolla Origossa oleva nolla aiheuttaa ajan edistämisen tai viiveen Mutta sillä ei ole mitään muuta vaikutusta siirtofunktioon Tarkastellaan tuttua kahden konjugaattinavan järjestelmää ( ) ( rcosθ + r ) vastaavadifferenssiyhtälö on y[ n] r cosθy[ n ] r y[ n ] + x[ n ] järjestelmällä ei ole yhtään nollaa, lisäksi differenssiyhtälöstä havaitaan että järjestelmän lähtö y[n] riippuu sisäänmenosta kahdella näytteellä viivästettynä (x[n-]) pulssivaste alkaa näytehetkellä n eikä n kuten yleensä Yleensä tämä viive on tarpeeton ja se voidaan korjata asettamalla toisen asteen nolla origoon, siirtofunktio on tällöin ( ) ( r cosθ + r ) ja vastaavadifferenssiyhtälö y[ n] r cosθy[ n ] r y[ n ] + x[ n] Minimiviiveinen järjestelmä saadaan kun varmistetaan että nollien ja napojen määrä on yhtä suuri Jos järjestelmässä on nollia enemmän kuin napoja, täytyy napoja lisätä origoon Muutoin järjestelmän vaste alkaa ennen kun n, eli järjestelmä on ei-kausaali T5/JV 8 4

5 y ( ) k k b k Siirtofunktio Z-tasossa k bk ( k ) b k k a ak ( p ) k k x n k ak y n k k [ n] [ ] [ ] T5/JV 9 Amplitudivaste Z-tasosta Yleisesti ottaen voidaan ajatella taajuusmuuttujaksi joka voi saada reaalisia, imaginäärisiä tai kompleksisia arvoja Lisäksi jos tehdään sijoitus e jω, saadaan suoraan Fourier-muunnoksen eksponenttisarjat Kaikki -muuttujan arvot jotka saadaan sijoituksesta e jω, sijaitsevat yksikköympyrällä Taajuus on yksikköympyrällä kohdassa (,), taajuuden Ω kasvaessa siirrytään yksikköympyrällä vastapäivään Yksikköympyrällä sijaitsevan pisteen kulma reaaliakselin suhteen kertoo taajuuden Ω arvon, kun Ωπ ollaan -tason pisteessä (-,) Z-muunnos ottaa automaattisesti huomioon näytteistyksen aiheuttaman jaksollisuuden taajuustasolla (taajuudet toistuvat π välein), yksi π intervalli on yksi kierros yksikköympyrällä T5/JV 5

6 Amplitudivaste Järjestelmällä on napa kohdassa -,8 ja nolla kohdassa,8. Tarkastellaan amplitudivastetta,8 ( ) +,8 tehdään sijoitus e jω, jolloin jω e,8 ( Ω) jω e +,8 Yksittäisessä taajuuspisteessä Ω osoittajaa voidaan esittää nollavektorina nollasta taajuuspisteeseen, ja nimittäjää napavektorilla p Amplitudivaste tässä taajuuspisteessä on siten nollavektorin pituus jaettuna napavektorin pituudella Vaihevaste on puolestaan nollavektorin kulma reaaliakselin suhteen vähennettynä napavektorin kulmalla reaaliakselin suhteen Kuvassa taajuus on Amplitudivaste on x/y,6 Vaihevaste on º 35º 75º T5/JV Amplitudivaste Tarkastellaan (Ω) muuttumista kun taajuus muuttuu π Kohdassa Ω, amplitudivaste on (Ω),/,8, Taajuuden kasvaessa nollavektorin pituus kasvaa ja napavektorin pituus lyhenee Kohdassa Ωπ/ vektorit ovat samanpituisia, joten (Ω) Kun taajuus on kasvanut arvoon Ωπ/, nollavektori on maksimipituudessaan ja napavektori nimipituudessaan, (Ω),8/,9 Kun taajuus tästä edelleen kasvaa, palataan takaisin kohtaan Ω jolloin koko jakso toistuu taajuuden edelleen tästä kasvaessa T5/JV 6

7 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio e jω ( e ) jω b a k k k pisteiden e ja välinen etäisyys Laskemalla etäisyyksien tulo kaikkiin nolliin ja jakamalla se etäisyyksien tulolla kaikkiin napoihin saadaan amplitudivaste Laskemalla nollien vektorien kulmien summa ja vähentämällä napojen vektorien summa, saadaan vaihevaste Vasteet ovat yksikäsitteisesti määrätty (kun navat ja nollat ovat reaaliakselilla tai konjugaattipareina, eli signaali on reaalinen) taajuusalueella Ω π Tämä vastaa reaalitaajuutta f F s / e e jω jω jω k p k k T5/JV 3 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio p π/ 5π/8 3π/8 3π/4 π/4 7π/8 π -,7 p e jπ/8 ω e jω - e jω - e jω -p e jω -p (e jω ) π/8 π/4 3π/8 π/ 5π/8 3π/4 7π/8 π T5/JV 4 7

8 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio () IIR, 5 napaa, yksi reaaliakselila ja kaksi konjugaattiparia T5/JV 5 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio Yksikköympyrän lähellä olevien nollien ja napojen vaikutuksen taajuusvasteeseen voi likimääräisesti visualisoida nolla-napakuviosta Taajuuden vaihdellessa kuljettaessa yksikköympyrää pitkin taajuusvasteeseen tulee piikki kun ollaan navan läheisyydessä Jotta järjestelmä olisi stabiili, napojen täytyy olla yksikköympyrän sisäpuolella, eli taajuusvaste ei voi olla ääretön Taajuusvaste on minimissään kun ollaan nollan läheisyydessä Jos nolla on yksikköympyrällä, silloin taajuusvaste on sillä kohdalla nolla Oikealla olevan järjestelmän siirtofunktiolla on nolla kohdissa ja ±j Tästä aiheutuvat nollat taajuuksilla Ω ja Ωπ/ Toisen asteen nolla origossa ei vaikuta mitään taajuusvasteeseen Järjestelmällä on navat taajuudella Ω,5π, toiset taajuudella Ω,833π ja yksi reaalinen napa -,8 Siksi näillä taajuuksilla taajuusvasteen täytyy amplitudiltaan olla kohtuullisen suuri ( ) ( )( + ) ( +,8)( +, ,964 )(, ,95 ) T5/JV 6 8

9 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio Digitaalitaajuus Ωπ vastaa kahta näytettä yhtä signaalin jaksoa kohti Taajuus Ω,5π vastaa silloin kahdeksaa näytettä jaksoa kohti Taajuus Ω,833π vastaa,4 näytettä jaksoa kohti T5/JV 7 Ensimmäisen asteen järjestelmä Ensimmäisen asteen yleinen siirtofunktio Yksi reaalinen napa ja nolla Taajuusvasteen muodon määrää nollien ja napojen sijainti avat ovat erityisen tehokkaita tämän suhteen, sillä yksikköympyrän lähellä ne aiheuttavan terävän, hyvin määritellyn piikin amplitudivasteeseen Usein taajuusvasteen määräävätkin vain navat apoja vastaava määrä nollia asetetaan origoon jotta järjestelmä olisi kausaalinen apojen dominanssin johdosta, tarkastellaan ensimmäisen asteen järjestelmää jossa napa on reaaliakselilla ja nolla origossa avan täytyy olla yksikköympyrän sisäpuolella (stabiilisuus) Jos napa on positiivisella reaaliakselilla, syntyy rekursiivinen alipäästösuodin jonka suurin vaste on nollataajuudella Ω Maksimivaste G e j /(e j -α) /(- α) Minimivaste G e jπ /(e jπ -α) /(+ α) Jos napa on negatiivisella reaaliakselilla, syntyy rekursiivinen ylipäästösuodin jolla on suurin vaste taajuudella Ωπ Jos ensimmäisen asteen järjestelmän napaa siirretään lähemmäs yksikköympyrää Maksimivahvistus kasvaa Kaistanleveys kapenee pulssivaste pienenee hitaammin ( ) ( ) ( p ) ( ) ( α ) äissä näkyy aika/taajuustason kytkentä miksi ylipäästötapauksessa T5/JV vaste oskilloi? 8 9

10 Toisen asteen järjestelmä Toisen asteen järjestelmän siirtofunktiossa on toisen asteen nolla origossa sekä kompleksikonjugaattinapapari re ±jθ Maksimivahvistus (tai keskitaajuus) määräytyy parametrilla θ, ja selektiivisyys (tai kaistanleveys) määräytyy parametrilla r Taajuusvaste saadaan sijoituksella e jω ( Ω) jω r cosθe + r e vahvistus on siten ( Ω) jω ( r cosθ cosω + r cosω) + ( r cosθ sin Ω + r sin Ω) ( ) ( ) ( r cosθ + r ) ( r cosθ + r ) [ n] r cosθy[ n ] r y[ n ] + x[ n] y jakamalla osoittaja ja nimittäjä ja vastaava differenssiyhtälö T5/JV 9 Toisen asteen järjestelmä Oikealla kuvassa on toisen asteen järjestelmän impulssivaste ja taajuusvaste (taajuusvaste normalisoitu maksimivasteeseen) Kuvassa a) navat ovat reaaliakselilla varsin lähellä yksikköympyrää Järjestelmän suorituskyky on sama kuin kahden perättäin kytketyn ensimmäisen asteen järjestelmän järjestelmä on kohtuullisen selektiivinen alipäästösuodin Kuvassa b) navat ovat vielä lähempänä yksikköympyrää (selektiivisyys on suurempi) ja ovat 5º kulmassa reaaliakseliin nähden Koska ensimmäisen asteen järjestelmällä navat ovat aina reaaliakselilla, tätä järjestelmää ei voi korvata kahdella ensimmäisen asteen järjestelmällä Järjestelmä on kaistanpäästösuodin Kuvassa c) navat ovat kauempana yksikköympyrästä Taajuusselektiivisyys on huonompi ja impulssivaste on lyhyempi Kuvassa d) navat ovat reaaliakselilla kohdassa - pulssivasteen verhokäyrä on sama kuin kohdassa a), mutta joka toinen vastepiste on invertoitu Taajuusvaste on muodoltaan samanlainen kuin kohdassa a) mutta käänteinen ja sijoittunut taajuudelle Ωπ (ylipäästösuodatin) T5/JV

11 j Siirtofunktio nolla-napa kuviosta π /3 j π / 3 b ( ) ( e )( e ) π/3 a ( )( ) e j π / 3 j π /3 j π / 3 j π /3 ( e + e ) + e e b a ( )( ) maksimi cos π / 3 + (e jω ) b a ollakohdat e jπ/3 ja e -jπ/3 b a b ( + + ) ( + + ),( a ) π/3 π nollakohta T5/JV Siirtofunktio nolla-napa kuviosta j e b + + b { Siirtofunktiot yleensä skaalataan siten, että maksimiamplitudivaste on (db-asteikolla db) Esimerkin tapauksessa maksiamplitudivaste on taajuudella ω 3 olla-napakuviosta saatu skaalattu siirtofunktio on siten ( ) ( + + ) 3 T5/JV

12 Siirtofunktio nolla-napa kuviosta b ( + ) b ( + ) ( ) a ( ) a 4 3/4 skaalaus + a j b b e 8 a 3 4 a b 8 ( ) (e jω ) maksimi nollakohta T5/JV 3 π olla-napakuvioita Kaistanpäästösuodin (e jω ) maksimi egatiiviset taajuudet π/ π nollakohta Ylipäästösuodin (e jω ) π/ π T5/JV egatiiviset 4 taajuudet

13 olla-napakuvioita FIR-järjestelmässä navat ovat origossa ja nollat tasaisin välein yksikköympyrällä avat syntyvät takaisinkytkennästä, koska sitä ei ole FIR-järjestelmässä navat ovat origossa eivätkä vaikuta siirtofunktion muotoon Yksi nolla puuttuu taajuudella Ω Siksi järjestelmällä on alipäästösuotimen luonne Koska nollat ovat yksikköympyrällä, vasteessa on todellisia nollia Mitä useampia nollia, sitä suurempi estokaistan vaimennus, jyrkempi siirtyminen päästökaistalta estokaistalle sekä pienempi estokaistan rippeli T5/JV 5 olla-napakuvioita () FIR, navat origossa nollat yksikköympyrällä T5/JV 6 3

14 olla-napakuvion tulkinta Amplitudivaste Siirtofunktio ( k ) b k ( ) a ( pk ) Stabiilisuus k Stabiili, kun navat yksikköympyrän sisällä Kriittisen stabiili, kun navat yksikköympyrällä Epästabiili, kun navat yksikköympyrän ulkopuolella FIR järjestelmä, jos kaikki navat origossa IIR, jos yksikin napa origon sivussa Jos napa ja nolla päällekkän, niin ne kumoavat toisensa Z-taso s-taso stabiili stabiili jω e jω ωπ/f s f ωπf T5/JV 7 Järjestelmän eri esitystavat LTI-järjestelmä voidaan kuvata pulssivasteen avulla Differenssiyhtälön avulla Siirtofunktion avulla Taajuusvasteen avulla Lineaarisesta, vakiokertoimisesta differenssiyhtälöstä voidaan muut esitysmuodot johtaa helposti Eri kuvauksia tarvitaan erilaisissa käyttökohteissa T5/JV 8 4

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen SGN-11 Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe 3.5.16 Heikki Huttunen Laskimen käyttö sallittu. Muiden materiaalien käyttö ei sallittu. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla 1-3 on. Sivuilla 4-5

Lisätiedot

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos

Lisätiedot

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,

Lisätiedot

Yksinkertaisin järjestelmä

Yksinkertaisin järjestelmä Digitaalinen Signaalinkäsittely T05 Luento 5 -.04.006 Jarkko.Vuori@evtek.fi Yksinkertaisin järjestelmä Differenssiyhtälö [ n] x[ n] y Lohkokaavio X() Y() Siirtofunktio H ( ) Nolla-napa kuvio Ei nollia

Lisätiedot

Hyvyyskriteerit. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 8: Säädetyn järjestelmän hyvyys aika- ja taajuustasossa, suunnittelu taajuustasossa, kompensaattorit

Hyvyyskriteerit. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 8: Säädetyn järjestelmän hyvyys aika- ja taajuustasossa, suunnittelu taajuustasossa, kompensaattorit Hyvyyskriteerit ELEC-C1230 Säätötekniikka Aikaisemmilla luennoilla on havainnollistettu, miten systeemien käyttäytymiseen voi vaikuttaa säätämällä niitä. Epästabiileista systeemeistä saadaan stabiileja,

Lisätiedot

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen SGN- Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe.5.4 Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla -3 on. Sivuilla 4-5 on. Sivulla

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi

Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö-

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 7

Kompleksianalyysi, viikko 7 Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet SMG-00: PIIRIANALYYSI I Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet alipäästösuodin ylipäästösuodin kaistanpäästösuodin kaistanestosuodin jännitevahvistus rajataajuus kaistanleveys resonanssi Suotimet:

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( 3 3 3 j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että

Lisätiedot

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Esimerkki 1a. Stubisovituksen (= siirtokaapelisovitus) laskeminen Smithin kartan avulla

Esimerkki 1a. Stubisovituksen (= siirtokaapelisovitus) laskeminen Smithin kartan avulla Esimerkkejä Smithin kartan soveltamisesta Materiaali liittyy OH3AB:llä keväällä 2007 käytyihin tekniikkamietintöihin. 1.5.2007 oh3htu Esimerkit on tehty käyttäen Smith v 1.91 demo-ohjelmaa. http://www.janson-soft.de/seminare/dh7uaf/smith_v191.zip

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Systeemin käyttäytyminen. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Systeemin navat ja nollat. Systeemin navat ja nollat

Systeemin käyttäytyminen. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Systeemin navat ja nollat. Systeemin navat ja nollat Systeemin käyttäytyminen ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 5: Navat ja nollat, systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri Systeemin tai järjestelmän tärkein ominaisuus on stabiilisuus.

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,

Lisätiedot

SGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen

SGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen SGN-5 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe.. Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla - on. Sivuilla 4-6 on. Vastaa

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

T Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus

T Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus T-63 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus 2 välikoe / tentti Ke 4528 klo 6-9 Sali A (A-x) ja B (x-ö)m 2 vk on oikeus tehdä vain kerran joko 75 tai 45 Tee välikokeessa tehtävät, 2 ja 7 (palaute)

Lisätiedot

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Analogiatekniikka. Analogiatekniikka

Analogiatekniikka. Analogiatekniikka 1 Opintojakson osaamistavoitteet Opintojakson hyväksytysti suoritettuaan opiskelija: osaa soveltaa ja tulkita siirtofunktiota, askelvastetta, Bodediagrammia ja napa-nolla-kuvaajaa lineaarisen, dynaamisen

Lisätiedot

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä

Lisätiedot

Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin

Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin 1 1 Vastaa lyhyesti seuraaviin a) Miksi signaaleja ylinäytteistetään AD- ja DA-muunnosten yhteydessä? b) Esittele lohkokaaviona adaptiiviseen suodatukseen perustuva tuntemattoman järjestelmän mallinnus.

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..007 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden

Lisätiedot

T SKJ - TERMEJÄ

T SKJ - TERMEJÄ T-61140 SKJ - termit Sivu 1 / 7 T-61140 SKJ - TERMEJÄ Nimi Opnro Email Signaalinkäsittelyyn liittyviä termejä ja selityksiä Kevät 2005 Täytä lomaketta kevään aikana ja kerää mahdollisesti puuttuvia termejä

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Kapeakaistainen signaali

Kapeakaistainen signaali Tiedonsiirrossa sellaiset signaalit ovat tyypillisiä, joilla informaatio jakautuu kapealle taajuusalueelle jonkun keskitaajuuden ympäristöön. Tällaisia signaaleja kutustaan kapeakaistaisiksi signaaleiksi

Lisätiedot

Varauspumppu-PLL. Taulukko 1: ulostulot sisääntulojen funktiona

Varauspumppu-PLL. Taulukko 1: ulostulot sisääntulojen funktiona Varauspumppu-PLL Vaihevertailija vertaa kelloreunoja aikatasossa. Jos sisääntulo A:n taajuus on korkeampi tai vaihe edellä verrattuna sisääntulo B:hen, ulostulo A on ylhäällä ja ulostulo B alhaalla ja

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Luento 2. Jaksolliset signaalit Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Elektroniikka, kierros 3

Elektroniikka, kierros 3 Elektroniikka, kierros 3 1. a) Johda kuvan 1 esittämän takaisinkytketyn systeemin suljetun silmukan vahvistuksen f lauseke. b) Osoita, että kun silmukkavahvistus β 1, niin suljetun silmukan vahvistus f

Lisätiedot

1 Äänisignaalin tallentaminen ja analysointi... 2 Q Q Q Q Häiriönpoisto... 5 Q Q Q2.3...

1 Äänisignaalin tallentaminen ja analysointi... 2 Q Q Q Q Häiriönpoisto... 5 Q Q Q2.3... 1 Äänisignaalin tallentaminen ja analysointi... 2 Q1.1... 2 Q1.2... 2 Q1.3... 3 Q1.4... 4 2 Häiriönpoisto... 5 Q2.1... 5 Q2.2... 8 Q2.3... 9 3 FIR- ja IIR-suotimien vertailu... 10 Q3.1... 10 Q3.2... 11

Lisätiedot

PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla

PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla Kriittisen värähtelyn menetelmä Tehtiin kuvan 1 mukainen tasavirtamoottorin piiri PID-säätimellä. Virittämistä varten PID-säätimen ja asetettiin

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4

6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 Datamuuntimet 1 Pekka antala 19.11.2012 Datamuuntimet 6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 7. AD-muuntimet 5 7.1 Analoginen

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

DSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio

DSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio DSP:n kertausta Kerrataan/käydään läpi: ffl Spektri, DFT, DTFT ja FFT ffl signaalin jaksollisuuden ja spektrin harmonisuuden yhteys ffl aika-taajuusresoluutio Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Radioamatöörikurssi 2015

Radioamatöörikurssi 2015 Radioamatöörikurssi 2015 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 5.11.2015 Tatu Peltola, OH2EAT 1 / 25 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus,

Lisätiedot