Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento

Transkriptio

1 Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien taajuusvasteita Z-tason avulla voidaan myös helposti varmistua järjestelmän stabiilisuudesta Z-tasoon nollat merkitään ympyröillä ja navat ristillä Z-tasoon piirretään yleensä myös origokeskeinen yksikköympyrä Järjestelmän taajuusvaste saatiin sijoituksella e jω siirtofunktioon () koska e jω taajuusvaste saadaan evaluoimalla ():n arvo yksikköympyrällä, eli (e jω ) uomaa että sinisignaalilla jonka vaihe hetkellä n on º on yksi nolla origossa sekä kaksi kompleksikonjugaattinapaa yksikköympyrällä T5/JV

2 Z-taso ja stabiilisuus - navat Oletetaan että meillä on järjestelmä jossa on yksi reaalinen napa α Y ( ) ( ) Y ( ) αy( ) X ( ) X ( ) ( α ) Differenssiyhtälö on muotoa [ n + ] αy[ n] x[ n] y Koska aikainvariantti, voidaan muuttaa kausaaliseksi [ n] αy[ n ] + x[ n ] y pulssivaste on [ n] αh[ n ] + δ [ n ] h pulssivasteen arvot ovat alkaen n 3 4,, α, α, α, α,... Jos α<, impulssivaste lähenee nollaa kun n ; jos taas α>, vaste kasvaa rajatta Järjestelmä on stabiili vain jos α <, eli napa on yksikköympyrän sisäpuolella T5/JV 3 α Z-taso ja stabiilisuus - navat Oletetaan että järjestelmässä on kaksi napaa imaginääriakselilla ±jα ( ) Y X ( ) ( ) ( jα )( + jα ) ( + α ) Differenssiyhtälö on muotoa [ n] α y[ n ] + x[ n ] y pulssivasteen arvot ovat alkaen n,,,,,,,,,,... Y ( ) + α Y ( ) X ( ) huomaa, kertoimet reaalisia kun konjugaattinavat 4 6 α α α Jos α <, järjestelmä on stabiili apojen täytyy olla yksikköympyrän sisäpuolella Jotta järjestelmä olisi stabiili napojen ei tarvitse sijaita reaali- tai imaginääriakseleilla, vaan riittää että ne ovat yksikköympyrän sisäpuolella Stabiilisuustarkastelu pätee myös signaaleihin Siniaalto, eksponentiaalinen signaali, α -α T5/JV 4

3 Z-taso ja stabiilisuus - navat Oheisessa kuvassa navat ovat konjugaattiparina Molempien etäisyys origosta on r Molempien kulma reaaliakselista on ±θ Z-tasolla napojen sijainti on siis re jθ ja re -jθ Järjestelmä () on stabiili jos r< uomaa että kun navat ovat konjugaattiparina, niin differenssiyhtälön kertoimet ovat reaalisia ( ) ( ) jθ jθ ( ) ( re )( re ) ( r cos θ + r ) vastaava differenssiyhtälö on [ n] r cos θy[ n ] r y[ n ] + x[ n ] y Y X cosθe -jθ +e jθ T5/JV 5 Z-taso ja stabiilisuus - navat Oletetaan järjestelmän siirtofunktioksi ( ) ( )( + ) ( +,8)( +, ,964)(, ,95) välittömästi nähdään että järjestelmällä on napa kohdassa -,8 ja kaksi kompleksikonjugaattiparinapaa Ensimmäinen napapari : +, ,964 ähdään että r eli r,98 ja θ 45,964 ja r cosθ,38593 Toinen napapari:, ,95 ähdään että r eli r,95 ja θ 5,95 ja r cosθ,64545 avat ovat yksikköympyrän sisäpuolella, joten järjestelmä on stabiili T5/JV 6 3

4 Missä toisen asteen napoja esiintyy Viive ja integraattori muodostavat toisen asteen järjestelmän Sähkömoottorin ohjauksen ja akselin kulman siirtofunktio (servo) Auton liikkeen suunta suhteessa ohjauskomentoon Siirtofunktio -tasossa jos a C(s) ( s + a) Φ(s) s ohjaus nopeus positio Θ(s) ( s) jos T s( s + ) s s +, niin T ( ) ( e ) T ( )( e ) ( ) e T T ( e ) ( )( e ) ( e ),63 ( )( e ),3678 +, 3678 T, ,4 T5/JV 7 Z-taso ja stabiilisuus - nollat Stabiilisuuteen vaikuttavat vain napojen sijainti Stabiilisuutta ajatellen nollat voivat sijaita missä tahansa -tasolla Origossa oleva nolla aiheuttaa ajan edistämisen tai viiveen Mutta sillä ei ole mitään muuta vaikutusta siirtofunktioon Tarkastellaan tuttua kahden konjugaattinavan järjestelmää ( ) ( rcosθ + r ) vastaavadifferenssiyhtälö on y[ n] r cosθy[ n ] r y[ n ] + x[ n ] järjestelmällä ei ole yhtään nollaa, lisäksi differenssiyhtälöstä havaitaan että järjestelmän lähtö y[n] riippuu sisäänmenosta kahdella näytteellä viivästettynä (x[n-]) pulssivaste alkaa näytehetkellä n eikä n kuten yleensä Yleensä tämä viive on tarpeeton ja se voidaan korjata asettamalla toisen asteen nolla origoon, siirtofunktio on tällöin ( ) ( r cosθ + r ) ja vastaavadifferenssiyhtälö y[ n] r cosθy[ n ] r y[ n ] + x[ n] Minimiviiveinen järjestelmä saadaan kun varmistetaan että nollien ja napojen määrä on yhtä suuri Jos järjestelmässä on nollia enemmän kuin napoja, täytyy napoja lisätä origoon Muutoin järjestelmän vaste alkaa ennen kun n, eli järjestelmä on ei-kausaali T5/JV 8 4

5 y ( ) k k b k Siirtofunktio Z-tasossa k bk ( k ) b k k a ak ( p ) k k x n k ak y n k k [ n] [ ] [ ] T5/JV 9 Amplitudivaste Z-tasosta Yleisesti ottaen voidaan ajatella taajuusmuuttujaksi joka voi saada reaalisia, imaginäärisiä tai kompleksisia arvoja Lisäksi jos tehdään sijoitus e jω, saadaan suoraan Fourier-muunnoksen eksponenttisarjat Kaikki -muuttujan arvot jotka saadaan sijoituksesta e jω, sijaitsevat yksikköympyrällä Taajuus on yksikköympyrällä kohdassa (,), taajuuden Ω kasvaessa siirrytään yksikköympyrällä vastapäivään Yksikköympyrällä sijaitsevan pisteen kulma reaaliakselin suhteen kertoo taajuuden Ω arvon, kun Ωπ ollaan -tason pisteessä (-,) Z-muunnos ottaa automaattisesti huomioon näytteistyksen aiheuttaman jaksollisuuden taajuustasolla (taajuudet toistuvat π välein), yksi π intervalli on yksi kierros yksikköympyrällä T5/JV 5

6 Amplitudivaste Järjestelmällä on napa kohdassa -,8 ja nolla kohdassa,8. Tarkastellaan amplitudivastetta,8 ( ) +,8 tehdään sijoitus e jω, jolloin jω e,8 ( Ω) jω e +,8 Yksittäisessä taajuuspisteessä Ω osoittajaa voidaan esittää nollavektorina nollasta taajuuspisteeseen, ja nimittäjää napavektorilla p Amplitudivaste tässä taajuuspisteessä on siten nollavektorin pituus jaettuna napavektorin pituudella Vaihevaste on puolestaan nollavektorin kulma reaaliakselin suhteen vähennettynä napavektorin kulmalla reaaliakselin suhteen Kuvassa taajuus on Amplitudivaste on x/y,6 Vaihevaste on º 35º 75º T5/JV Amplitudivaste Tarkastellaan (Ω) muuttumista kun taajuus muuttuu π Kohdassa Ω, amplitudivaste on (Ω),/,8, Taajuuden kasvaessa nollavektorin pituus kasvaa ja napavektorin pituus lyhenee Kohdassa Ωπ/ vektorit ovat samanpituisia, joten (Ω) Kun taajuus on kasvanut arvoon Ωπ/, nollavektori on maksimipituudessaan ja napavektori nimipituudessaan, (Ω),8/,9 Kun taajuus tästä edelleen kasvaa, palataan takaisin kohtaan Ω jolloin koko jakso toistuu taajuuden edelleen tästä kasvaessa T5/JV 6

7 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio e jω ( e ) jω b a k k k pisteiden e ja välinen etäisyys Laskemalla etäisyyksien tulo kaikkiin nolliin ja jakamalla se etäisyyksien tulolla kaikkiin napoihin saadaan amplitudivaste Laskemalla nollien vektorien kulmien summa ja vähentämällä napojen vektorien summa, saadaan vaihevaste Vasteet ovat yksikäsitteisesti määrätty (kun navat ja nollat ovat reaaliakselilla tai konjugaattipareina, eli signaali on reaalinen) taajuusalueella Ω π Tämä vastaa reaalitaajuutta f F s / e e jω jω jω k p k k T5/JV 3 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio p π/ 5π/8 3π/8 3π/4 π/4 7π/8 π -,7 p e jπ/8 ω e jω - e jω - e jω -p e jω -p (e jω ) π/8 π/4 3π/8 π/ 5π/8 3π/4 7π/8 π T5/JV 4 7

8 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio () IIR, 5 napaa, yksi reaaliakselila ja kaksi konjugaattiparia T5/JV 5 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio Yksikköympyrän lähellä olevien nollien ja napojen vaikutuksen taajuusvasteeseen voi likimääräisesti visualisoida nolla-napakuviosta Taajuuden vaihdellessa kuljettaessa yksikköympyrää pitkin taajuusvasteeseen tulee piikki kun ollaan navan läheisyydessä Jotta järjestelmä olisi stabiili, napojen täytyy olla yksikköympyrän sisäpuolella, eli taajuusvaste ei voi olla ääretön Taajuusvaste on minimissään kun ollaan nollan läheisyydessä Jos nolla on yksikköympyrällä, silloin taajuusvaste on sillä kohdalla nolla Oikealla olevan järjestelmän siirtofunktiolla on nolla kohdissa ja ±j Tästä aiheutuvat nollat taajuuksilla Ω ja Ωπ/ Toisen asteen nolla origossa ei vaikuta mitään taajuusvasteeseen Järjestelmällä on navat taajuudella Ω,5π, toiset taajuudella Ω,833π ja yksi reaalinen napa -,8 Siksi näillä taajuuksilla taajuusvasteen täytyy amplitudiltaan olla kohtuullisen suuri ( ) ( )( + ) ( +,8)( +, ,964 )(, ,95 ) T5/JV 6 8

9 Amplitudivaste ja nolla-napakuvio Digitaalitaajuus Ωπ vastaa kahta näytettä yhtä signaalin jaksoa kohti Taajuus Ω,5π vastaa silloin kahdeksaa näytettä jaksoa kohti Taajuus Ω,833π vastaa,4 näytettä jaksoa kohti T5/JV 7 Ensimmäisen asteen järjestelmä Ensimmäisen asteen yleinen siirtofunktio Yksi reaalinen napa ja nolla Taajuusvasteen muodon määrää nollien ja napojen sijainti avat ovat erityisen tehokkaita tämän suhteen, sillä yksikköympyrän lähellä ne aiheuttavan terävän, hyvin määritellyn piikin amplitudivasteeseen Usein taajuusvasteen määräävätkin vain navat apoja vastaava määrä nollia asetetaan origoon jotta järjestelmä olisi kausaalinen apojen dominanssin johdosta, tarkastellaan ensimmäisen asteen järjestelmää jossa napa on reaaliakselilla ja nolla origossa avan täytyy olla yksikköympyrän sisäpuolella (stabiilisuus) Jos napa on positiivisella reaaliakselilla, syntyy rekursiivinen alipäästösuodin jonka suurin vaste on nollataajuudella Ω Maksimivaste G e j /(e j -α) /(- α) Minimivaste G e jπ /(e jπ -α) /(+ α) Jos napa on negatiivisella reaaliakselilla, syntyy rekursiivinen ylipäästösuodin jolla on suurin vaste taajuudella Ωπ Jos ensimmäisen asteen järjestelmän napaa siirretään lähemmäs yksikköympyrää Maksimivahvistus kasvaa Kaistanleveys kapenee pulssivaste pienenee hitaammin ( ) ( ) ( p ) ( ) ( α ) äissä näkyy aika/taajuustason kytkentä miksi ylipäästötapauksessa T5/JV vaste oskilloi? 8 9

10 Toisen asteen järjestelmä Toisen asteen järjestelmän siirtofunktiossa on toisen asteen nolla origossa sekä kompleksikonjugaattinapapari re ±jθ Maksimivahvistus (tai keskitaajuus) määräytyy parametrilla θ, ja selektiivisyys (tai kaistanleveys) määräytyy parametrilla r Taajuusvaste saadaan sijoituksella e jω ( Ω) jω r cosθe + r e vahvistus on siten ( Ω) jω ( r cosθ cosω + r cosω) + ( r cosθ sin Ω + r sin Ω) ( ) ( ) ( r cosθ + r ) ( r cosθ + r ) [ n] r cosθy[ n ] r y[ n ] + x[ n] y jakamalla osoittaja ja nimittäjä ja vastaava differenssiyhtälö T5/JV 9 Toisen asteen järjestelmä Oikealla kuvassa on toisen asteen järjestelmän impulssivaste ja taajuusvaste (taajuusvaste normalisoitu maksimivasteeseen) Kuvassa a) navat ovat reaaliakselilla varsin lähellä yksikköympyrää Järjestelmän suorituskyky on sama kuin kahden perättäin kytketyn ensimmäisen asteen järjestelmän järjestelmä on kohtuullisen selektiivinen alipäästösuodin Kuvassa b) navat ovat vielä lähempänä yksikköympyrää (selektiivisyys on suurempi) ja ovat 5º kulmassa reaaliakseliin nähden Koska ensimmäisen asteen järjestelmällä navat ovat aina reaaliakselilla, tätä järjestelmää ei voi korvata kahdella ensimmäisen asteen järjestelmällä Järjestelmä on kaistanpäästösuodin Kuvassa c) navat ovat kauempana yksikköympyrästä Taajuusselektiivisyys on huonompi ja impulssivaste on lyhyempi Kuvassa d) navat ovat reaaliakselilla kohdassa - pulssivasteen verhokäyrä on sama kuin kohdassa a), mutta joka toinen vastepiste on invertoitu Taajuusvaste on muodoltaan samanlainen kuin kohdassa a) mutta käänteinen ja sijoittunut taajuudelle Ωπ (ylipäästösuodatin) T5/JV

11 j Siirtofunktio nolla-napa kuviosta π /3 j π / 3 b ( ) ( e )( e ) π/3 a ( )( ) e j π / 3 j π /3 j π / 3 j π /3 ( e + e ) + e e b a ( )( ) maksimi cos π / 3 + (e jω ) b a ollakohdat e jπ/3 ja e -jπ/3 b a b ( + + ) ( + + ),( a ) π/3 π nollakohta T5/JV Siirtofunktio nolla-napa kuviosta j e b + + b { Siirtofunktiot yleensä skaalataan siten, että maksimiamplitudivaste on (db-asteikolla db) Esimerkin tapauksessa maksiamplitudivaste on taajuudella ω 3 olla-napakuviosta saatu skaalattu siirtofunktio on siten ( ) ( + + ) 3 T5/JV

12 Siirtofunktio nolla-napa kuviosta b ( + ) b ( + ) ( ) a ( ) a 4 3/4 skaalaus + a j b b e 8 a 3 4 a b 8 ( ) (e jω ) maksimi nollakohta T5/JV 3 π olla-napakuvioita Kaistanpäästösuodin (e jω ) maksimi egatiiviset taajuudet π/ π nollakohta Ylipäästösuodin (e jω ) π/ π T5/JV egatiiviset 4 taajuudet

13 olla-napakuvioita FIR-järjestelmässä navat ovat origossa ja nollat tasaisin välein yksikköympyrällä avat syntyvät takaisinkytkennästä, koska sitä ei ole FIR-järjestelmässä navat ovat origossa eivätkä vaikuta siirtofunktion muotoon Yksi nolla puuttuu taajuudella Ω Siksi järjestelmällä on alipäästösuotimen luonne Koska nollat ovat yksikköympyrällä, vasteessa on todellisia nollia Mitä useampia nollia, sitä suurempi estokaistan vaimennus, jyrkempi siirtyminen päästökaistalta estokaistalle sekä pienempi estokaistan rippeli T5/JV 5 olla-napakuvioita () FIR, navat origossa nollat yksikköympyrällä T5/JV 6 3

14 olla-napakuvion tulkinta Amplitudivaste Siirtofunktio ( k ) b k ( ) a ( pk ) Stabiilisuus k Stabiili, kun navat yksikköympyrän sisällä Kriittisen stabiili, kun navat yksikköympyrällä Epästabiili, kun navat yksikköympyrän ulkopuolella FIR järjestelmä, jos kaikki navat origossa IIR, jos yksikin napa origon sivussa Jos napa ja nolla päällekkän, niin ne kumoavat toisensa Z-taso s-taso stabiili stabiili jω e jω ωπ/f s f ωπf T5/JV 7 Järjestelmän eri esitystavat LTI-järjestelmä voidaan kuvata pulssivasteen avulla Differenssiyhtälön avulla Siirtofunktion avulla Taajuusvasteen avulla Lineaarisesta, vakiokertoimisesta differenssiyhtälöstä voidaan muut esitysmuodot johtaa helposti Eri kuvauksia tarvitaan erilaisissa käyttökohteissa T5/JV 8 4