Mat Sovelletun matematiikan erikoistyöt Teknillinen korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Olli Stenlund 47068f

Transkriptio

1 Ma-2.08 Sovellen maemaiian erioisyö Liivan ennaoinihorisonin ohjaseniian sovelaminen oimiohjasen raaisemisessa enillinen oreaol Syseemianalyysin laboraorio Olli Senlnd 47068f

2 . Johdano Liivan ennaoinihorisonin ohjaseniia Sovells Miehiämäömän lenoalsen lenoradan laseminen Lenoone-esimeri ehävän määriely Raais ja lose Yheenveo Viiee...6 Liiee...7

3 . Johdano Liivan ennaoinihorisonin ohjaseniia MPC Model Prediive Conrol on algorimi joa aroiaa dynaamisen oimoiniehävän raaisemisesa reaaliajassa. Reaalimaailmassa malli ei osaan ole äydellinen vaan mallin ja odellisden välillä esiinyy aina virheä. ämän aia miaaan odellisa ieoa ehävän ilamjisa ieyjen eriodien välein. Miasen jäleen aina ennseaan syseemin äyäyymisä eeenäin ja laseaan oimiohjas joa äyeään nnes de miaslose ova saaavilla. MPC:ä on helo äyää eriyisesi monimjasyseemeihin ja se selviyyy rosessien vorovaisisa ja dynamiiasa helosi. MPC:n asi ääyyiä ova DMC Dynami Mari Conrol ja MAC Model Algorihmi Conrol [4]. Syseemiyhälön lineaariss raaisee sen ono yseessä lineaarinen MPC vai eälineaarinen NMPC Nonlinear Model Prediive Conrol-ongelma. Lineaarinen syseemi on sein riiämäön vaamaan odellisa. Usea ongelma eriyisesi aii emiallise rosessi ova jri eälineaarisia. ämän aia NMPC:n iminen ja äyö on yleisyny vaia eälineaarisia malleja on selväsi vaieami raenaa in lineaarisia [4]. MPC on ehiey 960- ja 970-lvilla äyännön areisiin. Se on oll yleisin raaisaa rosessieollisdessa jo ahden vosiymmenen ajan. MPC:ä on äyey yli 2000 eollisessa sovellsessa jaloss- emiaali- sell- aeri- ja roaeollisdessa [3]. ässä yössä esieään NMPC:n maemaainen formloini ja arasellaan inaolisesi yhä sovellsa jossa on äyey NMPC:ä. Lisäsi esieään esimerisovells jossa on avoieena ohjaa lenoone lähöiseesä maaliiseeseen minimoiden sannsfnio n maalla on eseiseiä joia lenoone yriää välää reiillään. Ksannsia aihe siä enemmän miä lähemänä eseiseiä lenoone lee. Ksannsfniona on lenooneen eseise-eäisyysien smma ja vasaaismerinen eäisyys maaliiseeseen. Maaliiseen saavamisen äreyä verrana eseiseiden eäisyyden smman minimoimisen äreyeen vaaan verrannollisseroimella. Lenooneen mallina on ysineraise malli jossa lenoonea voi ohjaa ahdella säädöllä snnan ja noeden sheen. Noea voi maa soraan ohjasella ma lenooneen äänymiseen vaiaa ohjasen lisäsi aina myös lenooneen sen heinen noes. Syseemiyhälö ova disreeissä modossa joa lenooneen lenoa voiaisiin simloida ieooneella. ässä aasessa yö ehdään äyäen Malabia joa lasee lenooneen liieen ja oimaalise ohjase. yössä iaan ina noeasi ja minälaisa reiiä iin lenoone saavaa maaliiseen erilaisilla verrannollisseroimen arvoilla. Lenoone-esimerin Malab-oodi on liieenä.

4 2. Liivan ennaoinihorisonin ohjaseniia NMPC:n ersraenne voidaan esiää van avoin. Heellä iedeään syseemin ila ja syseemin äyäyyminen. Laseaan oimiohjas ohjasvälille < niin eä sannsfnio minimoi. ämä aah ennsamalla syseemin äyäyymisä ennssvälille syseemiyhälön maisesi. Kosa syseemissä on häiriöiä joia ei voida eäeen ennsaa syseemin ila miaaan aina desaan aiavälin d = jäleen. Silloin laseaan ohjas desaan silla ilan miaslosilla heesä +d eeenäin. Ohjasa äyeään vain d:n ajan jona jäleen äyeään aas a lasea ohjasa. Ohjas voidaan määriellä myös vaiosi välin d ajasi. Kva NMPC:n ers eriaae. Jos syseemissä ei olisi häiriöiä voiaisiin ohjas lasea heellä ja äyää siä nnes olaisiin avoieilassa. Ma osa häiriöiä äyännössä esiinyy jodaan häiriöiden vais miaamaan riiävän sein. odellinen syseemi ei osaan äyäydy äysin mallin maisesi. NMPC-ongelman maemaainen formloini eenee seraavasi. Syseemin äyäyymisä vaava differeniaaliyhälö ova mooa 0 0 f Kn aas disreeiaiaisa syseemiä voidaan vaa.

5 f. Rajoise ova mooa 0 U 0 X 2 ja disreeissä aasessa U X missä n X ja m U. Seraavassa äsiellään ainoasaan javaa aasa disreeiaas voidaan määriellä vasaavalla avalla. X:llä ja U:lla aroieaan äyiä iloja ja ohjasia. Määriellään ise oimoiniehävä eli äärellisen välin dynaaminen ohjasehävä. Sen avlla laseaan ohjase odelliseen syseemiin d:n välein. Alarvona äyeään odellisa miaa ilaa. ja ova syseemimallin sisäisiä mjia. Yhälö ova mooa.; min. J missä d F J :.; 4 s.e. X U f ' 5 Ksannsfnio joa oimoidaan ennssvälille on yleensä mooa s s s s R Q F 6 missä s s = 0 0 ja Q ja R ova osiiividefiniiejä ja symmerisiä ainomariiseja.

6 * Raais on mooa.; : U ja ämä oen-loo raais laseaan desaan ajanheinä =j j=0 eli hei n de miaslose on saa. Closed-loo-ohjas on aas mooa ohjasväleiäin. * : * ; Raaisa vasaavaa sannsfnion arvoa meriään V ; J.; ;. ää arvoa äyeään sabiilissaraselissa ja myösin Ljanovin fnion andidaaina. ilan- ja ohjasen aiavälien isina äyeään äärellisiä ja riiävän ieniä arvoja joa ennse rada ja ohjase voidaan lasea reaaliajassa. Men lasenaaasieei voi loa. NMPC oimii siis seraavanlaisena looina:. Haniaan miaslose ja laseaan esimaai syseemin iloisa 2. Laseaan oimaalinen ohjas minimoimalla sannsfnio ieyn araselajanjason yli äyämällä mallia syseemisä 3. Käyeään saaa ohjasa nnes de miaslose ova saaavilla 4. Palaaan. ohaan *

7 3. Sovells 3. Miehiämäömän lenoalsen lenoradan laseminen Arielissa [2] selvieiin miehiämäömän lenoalsen ohjaamisa aniymärisössä jossa on aloja eseenä. Sen aia soria lenoraoja ei voi äyää. Lenoraa laseaan äyämällä NMPC:ä. Lenoalsen la arasellaan asiloeisena. Lenoalsella oli lähöise ja sen äyyi lea loiseeseen äymällä maalla myös aaliseessä. Sora linja näiden olmen iseen välillä ova aloilla eseyjä. ilanne on esiey vassa 2. Kva 2 Lenoalsen lenoradan lähöise aalise ja loise seä eseiä. Oimaalinen lenoraa laseiin äyämällä NMPC-algorimia oisvasi lenoalsen liiessa. ämän aia ongelmasa äyyi ehdä disreeiaiainen. Minimoiava sannsfnio on mooa J l ln l y r Q y r R Siinä siis laseaan sannse smmana nyyisesä heesä l loheeen N. Ksannsia aiheaa eroaminen ns. referenssireiilä r joa voidaan ajaella sorana reiinä liseisä oiseen vaia ämä reii olisiin i eseillä. Myösin lenoalsen noeden ja llman

8 maminen i aiheaa sannsia eli äyännössä laa oloainea. Syseemiyhälö ova y v os os vsin sin v 2 2 jossa ja 2 ova lenoalsen oordinaai ja 3 on noes ja 4 eenemislma. Ohjasien ja noeden rajoise ova mooa v i min min v v ma 3 3 i i 4 4 ma i {2} Raaisa varen sannsfnio linearisoiiin. Oimaalinen lenoraa raaisaan eriseen onveseissa aleissa -3 va 3. Alee määriävä myös lähimmä esee joa vaiava oimaalisen reiin lasemisessa. Joa löydeäisiin referenssireii joa ei lje eseiden läi äyyy lisää si lise lähöiseen ja seraavan liseen väliin. ämä ehiin läheämällä säeiä lähöiseesä aleessa olevien eseiden lmaiseisiin A ja B joa näevä seä lähöiseen eä seraavan aaliseen. Piseisä A ja B modoseiin olmio lähöiseeseen OAB ja aaliseeseen äin. Näin voidaan rajoia araselemaan vain siä onvesia alea ja sen rajoisehoja jossa als o. heellä on. Piseiden A ja B välisen janan esiohaan aseeiin ämä si lise josa on näyvyys sorilla linjoilla seä lähöiseeseen eä aaliseeseen. Näin ise lasena-algorimi voi seraa referenssireiiä osa se ei lje eseiden läi. Samalla avalla jaeaan määriämällä sia aaliseiä n lenoals eenee aleisa oiseen. losesi saaiin rajoisehdo äyävä reii joa mailee referenssireiiä. Oimireiiä laseaessa äyyy aina homioida virheiden vais reiiin. Jos virheiä on aljon ja ne ova meriäviä jodaan reiiä orjaamaan radiaalisiin jolloin reiiin lee jyremiä lmia. Oimaaliss siis rii aina olosheisa osa virheeijä vaiheleva araselajanohdan vaihdellessa. Eriyisesi haaseia aihe n eseiä on mona alsen läheisyydessä. ällöin jodaan lasemaan monia iseiä ja imaan näyväö ne lähö- ja avoieiseisä. Algorimi selviyyy näisä ienin jos esee ova nelilmaisia osa silloin ei le monia lmaiseiä laseavasi eiä silloin le ongelmia eseiden liiallisen monimaisden sheen miä saaaisi aiheaa monien onvesien olmioiden homioonoamisen. Lisää ongelmia lee jos eseiä on niin mona iellä eä eläsään jonn eseen ierämällä ei nähäisi avoieiseä. ällöin

9 jodaan aseelemaan lisää aaliseiä miä vaaii sein ihmisälyä ai sien sremaa lasenaaasieeia. Kva 3 Reiiä laseaessa arviaan nin iseen ymärille iirreyjä ymyröiä aiivisien eseiden nnisamisessa ja äyvän referenssireiin lasennassa sien aaliseiden määriämisen aa.

10 4. Lenoone-esimeri 4. ehävän määriely Laseaan esimeri jossa äyyy ohjaa lenoone aiasa A aiaan B minimoiden sannsfnio jossa sannsa aihe ieyisä vaarallisesi iseisä joihin yrieään masimoida eäisyys ja oisaala minimoida eäisyys iseeseen B. Paian A y = 0 0 ja aian B 0 0. Syseemimallina äyeään seraavia ysineraisia lenooneen liieä asossa vaavia differeniaaliyhälöiä v os X y vsin Y v R v n missä ja y ova lenooneen oordinaaeja asossa v on noes on veorin v ja -aselin välinen lma ja ilmoiaa lenooneen lsnnan. R on radan aarevssäde joa ilmoiaa mien helosi ai noeasi lenoone äänyy. Miä sremi on R siä hiaammin lenoone äänyy. X ja Y ova virheermejä joa aiheva lesa ieyllä ajanheellä. Lenooneen ohjaseen äyeään mjia ja n. aroiaa rain äänämisä eli lsna m. n aas aroiaa aasn ainamisa eli noes asvaa. Joa ongelma voiaisiin raaisa nmeerisesi se äyyy maa disreeiin mooon: y v y v v os sin v R v n ässä siis ja y aroiava oordinaaeja heellä. v ja aroiava noea ja lmaa aiavälillä :sa +:een. ja n aroiava rain ja aasn äyämisä heellä. ällöin oleeaan eä lenooneen sna ja noes mva ääreömän noeasi heellä. Esimerissä äyeiin seraavia rajoisia:

11 5 5 y 0 v n Seraavasi aseeaan minimoiava fnio: J n n n a B a B n ässä siis n on ns. haiseiden lmäärä ja isee ova haiseiä ja ise B on loise ja a on verrannollisserroin joa vaa ina aljon äreämää on ääsä loiseeseen B in masimoida eäisyys haiseisiin. ehävässä äyeiin seraavia vaioia: R 0.5 y v Miden aramerien arvoja vaihdeliin. 4.2 Raais ja lose Periaaeena raaisssa oli eä laseaan mallin maise ohjase ja ila ahden aiavälin äähän oeeaan vain ensimmäisen aiavälin ohjas ja sen jäleen saadaan ieoa ina aljon li on heielly lenoonea. ämän iedon erseella laseaan lenooneen odellinen aia ja laseaan sen maan de ohjase seraaville aiaväleille. Lenoraa modos viivoisa joa aeava aina n lenooneen odellinen aia laseaan desaan. Vaalea neliö on sijoie yhenäisen viivojen ja aoviivojen al- ja loiseisiin. Kvassa 4-6 on esiey lasen ohjasen mainen lenoraa yhenäisellä viivalla ja oisen aiavälin hyoeeinen lenoraa aoviivalla. Uhaisee on esiey alloilla ja maaliise on mmemi neliö. Kvissa on äyey erilaisa ainosa loiseeseen ääsemisen ja eseiden välämisen sheen.

12 Kva 4 Lenooneen raaäyrän raais a:n arvolla 40. Kva 5 Lenooneen raaäyrän raais a:n arvolla 95.

13 Kva 6 Lenooneen raaäyrän raais a:n arvolla 5. Kvisa 4-5 havaiaan eä lenoone ääsee määränäähänsä varsin hyvin. Niissä on asee a:n arvo riiävän sresi eä maaliiseeseen ääsy on riiävän äreää sannsen annala. Lenooneen äyäyyminen on ohllisen rahaona eli lsna ja noes mva melo noeasi. ämä joh siiä eä aiaväli miasen välillä on sri. Lisäsi ohjase eli lenooneen äänäminen ja noeden mose on rajoie vaiosi joaiselle aiavälille. Lenooneen äänymisen masimimos rii lenooneen noedesa. Noeden masimimos on esimerissä sri verrana masiminoeeen. Kvassa 6 a:n arvo on liian ieni eli lenoone väiselee eseiseiä eiä ääse riiävän lähelle maaliiseä. losisa homaamme eä raais ehävään löyyi riiävällä ardella. Lenoone ääsi riiävän lähelle maaliiseä a:n arvoilla 95 ja 40. Raais ei ole äysin oimaalinen osa disreoiniväli on niin sri. ämän aia reii on ooileva ja silloin lenoone yliää eseiä ilman eä niiden sannsia oeaan areesi homioon. Oimaalisessa raaisssa aiaväli olisi mahdollisimman ieni. Silloin voiaisiin reagoida hei vähäiseenin ymärisön mmiseen ja reiisä lisi asaisemi. Oimaalisia reiejä voi olla monain esim. jos esee on sijoiel jollain avalla symmerisesi. Eseiden sijoiel määrää aia iäli myös oimaalisen reiin ja monao niiä on. Disreoiniaiavälin ienenäminen asvaaa ienin lasena-aiaa selväsi.

14 5. Yheenveo ässä yössä on arasel NMPC:n maemaaisa formloinia ja sen sovellsia. NMPC on melo moniäyöinen. Siä voidaan äyää seissa eri alojen ongelmissa joissa arviaan syseemin ohjasa avoieilaan oimoiden sannse ja joissa esiinyy häiriöiä joa vaaiva javaa ohjasen orjaamisa. Ongelmien äyyy olla myösin maemaaisesi halliavissa osa lasena vaaii jonin verran resrsseja. Algorimi sovelin aremmin sovellsiin joa äyäyyvä hiaasi esim. emiallise rosessi. Sovellsen osala araseliin inaolisesi miehiämäömän lenoalsen ohjasa raennsen oimiessa eseinä reiillä. Lenoone-esimerissä araseliin algorimin oiminaa ja losia ysiyisohaisemmin. Lenooneen avoieena oli lenää lähöiseesä maaliiseeseen välellen samalla eseiseiä joiden eäisyysien smmasa aihei siä enemmän sannsia miä ienemi smma oli. oisaala sannsia ienensi eäisyys maaliiseeseen ja ämän vaisa vielä oroseiin ns. verrannollisseroimella joa ainoi sannsissa selväsi enemmän maaliiseen saavamisa in eseiseiden väiselyä. Sen avlla ehiin maaliiseen saavaminen riiävän äreäsi eä lenoone yleensäin saavi maaliiseen. Eseisee oli sijoiel lähö- ja maaliiseiden välillä niin eä sora ja riviaali lenoraa ei ll yseeseen. Myösin yriiin aiaaseleen valinnassa siihen eä joaisen delleenlasennan yheydessä si lenoraa myös misi olennaisesi joa nähäisiin mien oimaalinen lenoraa m lähöiseen ja edessä olevien eseiseiden sheen. Lenooneen äyäyyminen mallinneiin ysineraisilla liieyhälöillä ahdessa lovdessa osa realisisemma liieyhälö olisiva ehnee esimerisä liian haasavan ja yölään. Lenoonea ysyi ohjaamaan soraan asvaaen noea ja eenemislmaa jona mos riii myös sen heisesä noedesa. Noes ja eenemislma oleeiin vaioisi joaisella aiavälillä joa voiiin ia ongelmaa ieooneella ässä aasessa Malabilla. Lenoone-esimerissä oimiiin olme raaisa erilaisilla verrannollisseroimen arvoilla. Kahdessa näisä lenoone ääsi maaliiseeseen va 4 ja 5 ma viimeisessä ei va 6 osa eseiseiden väiselyn äreys oli asee liian sresi. Vaia lenoone äyäyyi eäasaisesi se ei oll algorimin via vaan se johi aiaaseleen sresa arvosa lenoradan selvenämisesi. Lisäsi eseiseiden läheisyys aihei vaihela lenoradassa. Maaliiseen läheisyyeen ienin ääsiin jos maalin saavamisen äreysvaio oli riiävän sri. lose osoiiva eä NMPC-algorimi oimii n algorimin arameri oli vali soivasi. osin verrannollisseroimen arvo sai vaihdella melo aljonin ja sili ääsiin maaliiseeseen. yössä olisi voin lisää eseiseiden määrää ja maa niiden sijoiela jolloin olisi voin lla sremia mia lenoradalle ma oisaala lasena-aja olisiva asvanee. Eseisee olisiva voinee olla

15 sannselaan myös erilaisia jolloin sremisaneise isee lenoone olisi ohian aemaa. Myösin aia-asel olisi voin olla ienemi eä lenoradasa olisi ll asaisemi ma oisaala ny lenoradan mose näyvä selvemmin. Lenooneen liieen malli olisi voin olla monimaisemi jos aiaa yön eemiseen olisi oll enemmän. Se olisi aroian ensinnäin lenoaleen ja eseiseiden eemisä olmiloeisisi jolloin lenooneen lenoores olisi myös vaian eäisyyeen eseiseisä. ällöin myös lenooneen aian ja eseiseiden arasel vien avlla olisi vaien homaavasi.

16 6. Viiee [] Findeisen R. Allgöwer F. An Inrodion o Nonlinear Model Prediive Conrol. Insie for Sysems heory in Engineering Universiy of Sgar. [2] Singh L. Fller J. 200 rajeory Generaion for a UAV in Urban errain sing Nonlinear MPC. Pro. 200 Amerian Conrol Conferene. [3] Pihe S. Sayyar-Rodsari B. Johnson D. Gerles M Nonlinear Model Prediive Conrol Using Neral Newors. IEEE Conrol Sysems Magazine. [4] Babande A. Ognnaie W. Ray H. 994 Proess Dynamis Modeling and Conrol. Oford Universiy ress.

17 Liiee Malab-iedoso nm.m: fnion los=nm % eseiseiden oordinaai: oins=4.7; oins2=6.6; oins3=5; oins4=7.5; oins5=8; oins6=9.5; oins7=8; oins8=3; yoins=3; yoins2=3.5; yoins3=6; yoins4=4; yoins5=6; yoins6=8.5; yoins7=9; yoins8=5; % sannaise lenooneen oieama random=[0.;0.06;-0.;0.06;0.;0.;-0.09;0.06;0.;0.08;-0.;0.06;-0.;- 0.;0.07;0.06;-0.;-0.;0.07;0.03]; randomy=[0.04;0.08;0.;0.;-0.07;0.08;0.;0.08;-0.;0.09;0.;-0.;- 0.05;0.05;0.;0.06;-0.;-0.;0.07;0.02]; ii=3.4; 0=0; % 0 02=0; % y0 03=0; 04=0; 05=0; 06=0; 07=0; 08=0; 09=0; 00=0;

18 0=0; 02=0; % minimiarvo mjille lb=-5; lb2=-5; lb3=0; lb4=-ii; lb5=-; lb6=-; lb7=-5; lb8=-5; lb9=0; lb0=-ii; lb=-; lb2=-; % masimiarvo mjille maseed =.5; b=5; b2=5; b3=maseed; b4=ii; b5=; b6=; b7=5; b8=5; b9=maseed; b0=ii; b=; b2=; oions = oimse'mafnevals'200 yseed=; seed=0; P=[0;0;yseed;ii]; nd=0; % aiavälien oonaislmäärä o=0; yo=0; % laseaan oimaalinen lenoraa for i=2:nd [fval] = fminon@fn 0 [] [] [] [] lb oions P oins yoins

19 % oieeaan lenoonea li P=+4*randomi; P2=2+4*randomyi; P3=3; P4=4; % eräään ieoja aleen o3*i--=; yo3*i--=2; o3*i-=7; yo3*i-=8; o3*i-+=p; yo3*i-+=p2; yonroli-=6; onroli-=i-2; yanglei-=5; anglei-=i-2; yseed2*i-2=3; seed2*i-2=i-2; yseed2*i-=3; seed2*i-=i-; end % iirreään vaaja ile'snniss' 'FonWeigh''bold' label'''fonsize'6 ylabel'y''fonsize'6 end=0; yend=0; lo oins yoins 'or' 'MarerFaeColor''r' ylabel'y'; label''; hold on for draw = :3:nd * 3-5 drawo=odraw; drawo2=odraw+; drawyo=yodraw; drawyo2=yodraw+;

20 lodrawo drawyo '-bs' 'MarerFaeColor''g' drawo=odraw+; drawo2=odraw+2; drawyo=yodraw+; drawyo2=yodraw+2; lodrawo drawyo ':bs' 'MarerFaeColor''g' end loend yend '--bs' 'MarerFaeColor''b' hold off drawnow fn.m: fnion f = fn P oins yoins sannsien smma n=0; yn=0; a=00; =2; 2=2; sm=0; maadd=-300; % sanns on aiien iseiden % eseiden aiheama sanns for i=:8 add = - - oinsi^ yoinsi^ oinsi^ yoinsi^; if add < maadd add = maadd; end sm = sm + add; end % maaliiseen aiheama sanns f = sm + a * - n^2 + a * 2 - yn^2 + a * 7 - n^2 + a * 8 - yn^2; ons.m: fnion [ eq] = ons P oins yoins dela=; R=0.5;

21 % syseemiyhälö ahdelle aiavälille eq = - P - 3 * os 4 * dela; eq2 = 2 - P2-3 * sin 4 * dela; eq3 = 4 - P4 - P3 * 5 / R * dela; eq4 = 3 - P3-6 * dela; eq5 = * os 0 * dela; eq6 = * sin 0 * dela; eq7 = * / R * dela; eq8 = * dela; =0:0:2;