PHYS-A2120 Termodynamiikka Mallitehtävät

Transkriptio

1 Mallitehtävät 1. Määritä kuinka paljon kaasua tarvitaan nostaaan ilaan kaksi ihistä ja kori, siinä tapauksessa, että kaasu on a) heliuia (tiheys 0,18 kg/ 3 ), b) läitettyä ilaa, jonka tiheys on 10% pienepi kuin ypäröivän ilan. Ihisten, korin ja pallon kuoren yhteenlaskettu assa on 280 kg. 2 Käytät lappoa saadaksesi vettä läheisestä laesta ökkipihan kasteleiseen. eden syvyys laessa on d = 85 c, laen pinta on korkeudella h = 1,5 pihan tasosta itattuna. Käytössäsi on ¾ tuuan puutarhaletku (sisähalkaisija 15 ). Määritä a) issä ajassa saat 8 litran kastelukannun täytettyä puutarhaletkulla b) kuinka korkealla (x) letku voi käydä laen pinnasta, jotta sen läpi vielä virtaa nestettä. 3 Lentokoneen nopeutta suhteessa sitä ypäröivään ilaan voidaan itata oheisten kuvien ukaisella Pitot-putkella. nturi koostuu kahdesta putkesta ja niiden välisen paine-eron ittaavasta ittarista, joka estää virtauksen putkesta toiseen. Toinen putki (B) on ilavirtauksen suuntainen ja toinen () kohtisuorassa ilavirtausta vastaan. Määritä lentokoneen nopeus, jos lentokorkeudella ilan tiheys on 0,52 kg/ 3, ja ittarin iloittaa paine-ero on 11 kpa. 4. Pullo (tilavuus on 3,0 l) on aluksi auki laboratoriossa (101 kpa, 20 C). Pullo suljetaan ja upotetaan kiehuvaan veteen. Kun pullossa oleva ila on saavuttanut terodynaaisen tasapainon, pullo avataan ja paineen annetaan tasoittua. Tään jälkeen pullo suljetaan ja jäähdytetään takaisin 20 C läpötilaan. Määritä a) pullossa kokeen aikana vallinnut suurin paine, b) kuinka paljon kaasua virtasi pullosta, kun se avattiin ja c) pullossa vallitseva paine kokeen päättyessä. d) Ilanpaine voidaan itata tarkkuudella p = 1 kpa, läpötila tarkkuudella T = 0,5 C ja pullon tilavuus tarkkuudella = 0,05 l. Millaisella välillä pullossa vallinnut suurin paine on?

2 5. Kuuassa höyryssä toiivassa läpötilaohjaiessa teräsliuska ja essinkiliuska on kiinnitetty päistään kuvan ukaisesti niiteillä toisiinsa. Kupikin etalliluiska on 2,0 paksu. Huoneenläpötilassa (20 C) kupikin luiska on 10,0 c pitkä ja täysin suora. Määritä illainen kaarevuussäde rakenteella on 100 C läpötilassa. 6. Eräässä kaasufaasissa tapahtuvassa keiallisessa reaktiossa reagoivalla vetyolekyylillä pitää olla 0,5 e energiaa. Reaktioastian tilavuus 8 litraa, sen läpötila 700 K ja paine 150 kpa. Kaasusta 30 % on vetyä. Käytä hyväksesi tehtävässä sitä, että Maxwell-Boltzan -jakautua 3/2 f (v) = 4π 2π kt v 2 e K /kt kertoo olekyylien vauhtijakauan läpötilassa T ja jakautuan avulla voidaan äärittää, kuinka onella olekyylillä on vauhti välillä (v, v+dv). Jakauan uoto on esitetty kirjan kuvassa a) Määritä kuinka onta vetyolekyyliä reaktioastiassa on. b) Osoita, että lauseke olekyylien todennäköisiälle vauhdille on v tod = c) Määritä vetyolekyylien todennäköisin vauhti 700 K läpötilassa d) Määritä kuinka onella vetyolekyylillä on todennäköisin vauhti ± 0,5 /s:n tarkkuudella. e) Määritä kuinka onella vetyolekyylillä on 0,5 e:n liike-energiaa vastaava vauhti ± 0,5 /s:n tarkkuudella. f) Määritä kuinka suurella osalla olekyyleistä on tätä suurepi vauhti? ihje: Ratkaistavaksi tulee integraali, jonka voi laskea Matheaticalla tai Wolfraalphalla tai jollain uulla sopivalla ohjelistolla. Mitä voit tään perusteella sanoa siitä, tapahtuuko ko. olosuhteissa haluttua reaktiota? Koentti: 1 e vastaa 1, J ja sen perusteella voidaan laskea, että reaktion aktivointienergia on 0,5 e J at kj 1, at e 6, = 48 ol ol 7. Ihisen päivittäinen energian tarve on noin 2000 kcal, ikäli hän ei harrasta liikuntaa. a) Määritä ihisen keskiääräinen teho, jos kaikki tää energia käytetään vuorokaudessa sen sijaan, että se varastoitaisiin rasvaksi. Käytä hyväksesi kalorin ääritelää: 1 cal energiaa läittää 1 g:n vettä 1 C:lla. b) Määritä edellisen perusteella kuinka atalassa läpötilassa voi nukkua untuvaakuupussissa, jonka eristekerroksen paksuus on 3 c ja pinta-ala 1,7 2, kehon pintaläpötilan laskeatta alle 33 C:een. Untuvan läönjohtavuus on 0,043 W/ K. 8. Heliuilla täytetty pallo (0,30 ol He) nousee aan pinnalta (100 kpa, 300 K) läpötilansa säilyttäen korkeudelle, issä ilan paine on 75 kpa. Määritä a) pallon tilavuus pallon alkuperäisen tilavuuden avulla ja b) kuinka paljon työtä pallossa oleva kaasu tekee. c) Mistä ja kuinka paljon pallo saa energiaa työn tekeiseen?

3 p 9. Ideaalikaasu (3,5 ol, γ = 5/3) laajenee pisteestä ( = 0,15 3 ) isoterisesti pisteeseen C (p C = 85 kpa, C = 0,30 3 ). Tään jälkeen sen painetta lasketaan pisteeseen B ja lopuksi kaasu puristetaan adiabaattisesti takaisin pisteeseen. a) Määritä paine pisteessä ja B. b) Määritä kaasun kierron aikana tekeä kokonaistyö. c) Selvitä, inkä prosessien aikana ja kuinka paljon kaasu ottaa vastaan ja luovuttaa läpöä. 10.Kuusisylinterinen 3,0 litran bensaoottori toiii Otto-kiertoa (BCD) käyttäen, siten, että prosessi B on adiabaattinen, BC isokoorinen, CD adiabaattinen ja D isokoorinen. Syötetyn polttoaineseoksen läpötila on T = 300 K, paine p = 85 kpa ja sylinterin aksiitilavuus = 0,50 l. Muista pisteistä tiedetään taulukoidut asiat: Oleta kaasulle oinaisläpö C v = 20,8 J/ol K ja adiabaattivakio γ = 1,4. Läpötilojen T B ja T C avulla voidaan äärittää, että polttoaineesta saadaan läpö Q BC = 267 J yhden kierron aikana sylinteriä kohti. a) Piirrä kiertoprosessin periaatteellinen p-kuvaaja ja täydennä taulukko b) Määritä kuinka paljon läpöä oottorista poistetaan yhden kierroksen aikana c) Määritä koko oottorin tekeä työ yhden kierroksen aikana. d) ertaa koneen hyötysuhdetta saojen läpötilojen välillä toiivan Carnot n koneen hyötysuhteeseen. T p B 754 K 0,050 l 2,14 Mpa C 1507 K 4,27 MPa D 11. stiassa on 5,0 ol kaksiatoista ideaalikaasua (C v = 5R/2 ) aluksi 1,0 at paineessa ja 300 K läpötilassa. Kaasun läpötila nostetaan 500 K:iin. Määritä entropian uutos, kun läitys tehdään a) isokoorisesti b) adiabaattisesti. c) Miten läpötilan nosto tehdään eri tapauksessa? 12. iereisessä kuvaajissa on kuvattuna Stirling-kiertoprosessi B C D sekä P, että STkuvaajina. a) Millaisista prosesseista se koostuu? b) Minkä prosessien aikana systeei ottaa vastaan läpöä? c) Minkä prosessien aikana systeei tekee työtä? p B C T B C D D S

4 1. Pallo nousee ilaan, koska ilan aiheuttaa noste on hiukan suurepi kuin pallon paino. Piirretään pallon, korin ja lastin uodostaan systeein voiakuvio. Newtonin II lain ukaan pallo nousee, jos a > 0 joten tarkastellaan rajatapausta a 0. Pallon lähtiessä liikkeelle ilanvastus on hyvin pieni. Noste F b = ρ air g, issä on pallon tilavuus, jos oletetaan korin ja ihisten tilavuus pieneksi pallon tilavuuteen verrattuna Kaasun assa = ρ gas. Pallonkuoren, korin ja ihisten assa yhteensä M. Ratkaisu: F b (M + )g 0 => F b (M + )g ρ gas => ρ air g (M + )g => ρ air M + => ρ gas ρ air ρ gas M a) Kun kaasu on heliuia 49,4 kg b) Kun kaasun on läintä ilaa (ρ gas = 0.9ρ air ) 2520 kg F b F g 2 Oletetaan, että virtaus on lainaarista ja Bernoullin laki pätee p + ρgh ρv 2 = vakio alitaan potentiaalienergian nollatasoksi pihan/putken suun taso. a) Tarkastellaan virtausta laen pinnalla (l) ja pihalla putken suulla (s). paine on ulkoista painetta p l = p a ja p s = p a Laen pinnalla v l 0, koska laen virtausta vastaava ala l >> s (putken poikkipinta-ala) p a + ρgh = p a ρv s => v s = 2gh Kannu täyttyy, kun tilavuusvirtaus d/dt = v täyttää sen => =v t => Δt = = 8,3 s v s πr 2 2gh b) Kirjoitetaan Bernoullin laki letkun korkeialle kohdalle (k) ja laen pinnalle (l) Letkun sisällä ei ole ilanpainetta ja paine saa olla korkeiassa kohdassa pieni p k 0 Kun ennään riittävän korkealle, virtausnopeus enee nollaan; raja-arvo v k 0 ( ) ρv k 2 x = p a p a + ρgh = p k + ρg h + x => ρgx = p a => 10 ρg Todellisuudessa virtaushäviöiden takia näin korkealle ei korkeinta kohtaa kannata viedä. Lisäksi paine letkun sisällä ei voi ennä nollaan, koska vesi alkaisi kiehua. 3 Käytetään Bernoullin lakia ja tarkastellaan tilannetta putken päissä kohdassa () ja (B) p + ρgh ρv 2 = p B + ρgh B ρv 2 B Päät ovat saalla korkeudella h = h B Mittarin läpi ei ole virtausta, joten virtaus pysähtyy B:ssä v B = ρv => 2 = p B p => v = 2Δp / ρ 738 k/h

5 4. a) Oletetaan pullossa oleva ila ideaalikaasuksi. Ideaalikaasun tilanyhtälöstä p = nrt saadaan pullossa alussa oleva kaasuäärä n 1 = p 1 1 R Kun pullo on suljettu, tilavuus ja aineäärä ovat vakioita ja ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan p 2 => Suurin paine p 2 = T 2 p 1 p kpa b) Kun pullo avataan, paine laskee 1 at:ään, utta läpötila ei laske heti ja pulloon jää kaasuäärä n 2 = p 1 1 RT 2. Pullosta virtasi n = n 1 - n 2 0,027 ol. c) Jäähdyttäisen jälkeen pullon paine on p 3 = n 2R = p 1 79 kpa 1 T 2 d) Paineen lauseke on p 2 p 1. Se riippuu alkupaineesta ja kahdesta läpötilasta. Kukin näistä kolesta ittaus aiheuttaa epätarkkuutta lopputulokseen. Määritetään virhe käyttäen kokonaisdifferentiaalia. Menetelä toiii siten, että derivoidaan lauseketta kaikkien sen uuttujien suhteen pitäen uita uuttujia vakioina. Merkitään uuttujaksi valittua suuretta x:llä. Se ei ole välttäätöntä, utta saattaa auttaa. Kun p 1 = x => p 2 x => dp 2 dx => dp 2 dx => dp 2 dp 1 astaavasti saadaan dp 2 = p 1 dt 2 T 2 Kun T 2 = x => p 2 x p => dp 2 1 dx = d dx x p 1 = T 2 x p => dp = T x p dx => dp = T T p dt Koska funktio p 2 riippuu kolesta uuttujasta, käytetään tällaisessa osittaisderivoinnissa hiukan erilaista erkintää differentiaalille => p 2 p 1, p 2 = p 1 T 2 ja p 2 = T 2 2 p 1. Funktion p 2 kokonaisdifferentiaali on osittaisdifferentiaalien sua dp 2 p 1 + p 1 T 2 T 2 2 p 1 Tätä lauseketta voidaan käyttää virheen arvioiiseen Δp 2 Δp 1 + p 1 ΔT 2 + T 2 2 p 1 Δ 1,7 kpa => p 3 = (79 ± 2) kpa 5. Liuskojen pituudet uuttuvat läpötilan uuttuessa l = l o (1 + α T). Liuskat kaareutuvat siten, että niiden karien pituudet ovat l R = θ r R ja l M = θ r M. Kula θ on oleille yhteinen => θ = l M / r M = l R / r R => (1 + α M T) / r M = (1 + α R T) / r R. Koska liuskat ovat kiinni toisissaan, voidaan havaita, että r M = r R + d => (r R + d) (1 + α R T) = r R (1 + α M T) => r R (1 + α M T) - r R (1 + α R T) = d (1 + α R T) => r R (α M - α R ) T = d (1 + α R T) => r R = d (1 + α R T) / (α M - α R ) T 3,6 Kaarevuussäde on siis varsin suuri

6 6. Kaasuolekyylien energiat (vauhdit) eivät ole saoja kaikilla olekyyleillä, vaan ne jakautuvat Maxwell-Boltzan jakauan ukaisesti. a) Ideaalikaasun tilanyhtälö p = NkT Ratkaisu: N = p/kt 1, olekyyliä, joista 30% on 3, vetyä. b) Todennäköisin vauhti saadaan MB-jakauan aksiin kohdalla. Se löytyy derivaatan nollakohdasta. Ratkaisu: df dv = d 3/2 dv 4π 2π kt v 2 e v2 3/2 = 4π 2π kt 2ve v 2 + v 2 e v2 d dv f (v) = 0 => 2ve v 2 / v kt v2 e v 2 / = 0 => kt v2 = 2 => v tod = c) Ratkaisu: v tod = 2400 /s d) auhtivälillä (v, v+dv) olevien olekyylien äärä on dn = N f(v) dv Ratkaisu: dn = N H2 4π 2πkT e) Liike-energia K = 1 2 H 2 v 2 3/2 v 2 e v2 dv 1, olekyyliä Ratkaisu: v = 2K / H /s => dn = N f(v) dv 7, olekyyliä. 2v Havaitaan, että tällaisiakin olekyylejä on, utta vain pieni osuus olekyylien kokonaisäärästä; reaktiota ileisesti tapahtuu. f) Niiden olekyylien osuus, joiden vauhti on suurepi kuin edellisen kohdan v = 6900 /s saadaan ( ) = f v MB-jakauasta integroialla jakauaa N v > 6900 / s 6900 ( )dv Muokataan integraalia niin, että integrointi äärettöyyteen saadaan korvattua. Koska kyseessä on noritettu jakaua 0 f ( v)dv = 1, saadaan integraali laskettua uodossa /2 N ( v > 6900 / s) = 1 4π 2πkT v 2 e v2 dv 0 Mennään sivulle ja kirjoitetaan haku/laskuikkunaan integraalin lauseke integrate 4 pi (1.66e-27/(2 pi 1.38e ))^(3/2) x^2 exp(-1.66e-27 x^2/(2 1.38e )) dx fro 0 to 6900 Wolfraalfa palauttaa hetken ietittyään lausekkeen, jotta syötön voi tarkastaa, ja lopputuloksen. Saadaan siis tulos, jonka ukaan noin 4,2%:lla olekyyleistä on kysyttyä suurepi nopeus.

7 7. a) Keskiääräinen teho P ave = E/ t Määritetään kuinka paljon on 1 cal läittäällä 1 g vettä 1 C: Q = c T 4,18 J => Ruuasta saatava energia on E 8, J, ja se käytetään 24 h:ssa. => P ave 97 W b) Pussissa vallitsee tasapaino tuotetun tehon ja eristeen läpi johtuvan läpövirran välillä. Läpövirta H = -k T/ x, issä T = T u - T s. P ave + H =0 => P ave = k T/ x => T u = T s P aveδx k -7 C 8. Koska pallon läpötila säilyy tehtävänannon ukaan vakiona, kyseessä on isoterinen prosessi. Oletetaan heliuin käyttäytyvän ideaalikaasun tavoin. Ideaalikaasun tilanyhtälö P = nrt Kaasun tilavuudenuutokseen liittyvä työ W = a) Kun läpötila ja aineäärä ovat vakioita, saadaan ideaalikaasun tilanyhtälöstä p 1 1 = p 2 2 => = 2 = 1 p 1 /p 2 1, b) Koska 2 > 1 voidaan todeta, että kaasu laajenee ja tekee työtä, eli W 12 > 0. 2 nrt Isoterisen prosessin aikana tehty työ W = d = nrt ln J 1 1 c) Ideaalikaasun sisäenergia riippuu vain läpötilasta E int = 3nRT/2, joten ideaalikaasun isoteriselle prosessille E int = 0. Terodynaiikan 1. pääsäännön E int = Q - W perusteella pätee siis Q = W Kaasun tuotu läpö Q = 215 J, ja kaasu ottaa sen ypäristöstään, eli ypäröivästä ilasta. P d

8 9. Kiertoprosessissa on kole vaihetta: isoterinen (C), isokoorinen (CB) ja adiabaattinen (B). a) äli C on isoterinen (läpötila on vakio) joten ideaalikaasun tilanyhtälöstä P = nrt saadaan P = P c c => P = P c c / 170 kpa diabaattiselle prosesille B saadaan P γ γ = P B B b) Kaasun tilavuudenuutokseen liittyvä työ W = P d 1 => P B = P ( / B ) γ 53 kpa Kiertoprosessin aikana kaasun tekeä työ uodostuu kolesta osasta W CB = W C + W CB + W B C C nrt Isoterisen prosessin C aikana tehty työ: W C = dw = d = nrt ln C 18 kj Isokooriselle prosessille CB: d = 0 => W CB = 0 diabaattisen prosessin B aikana tehty työ saadaan seuraavasti. Merkitään C = P γ P = C / γ Työ W B = P d = C γ d B B = C γ +1 γ +1 C B γ +1 2 = P B B P γ 1 Kiertoprosessin aikana kaasun tekeä kokonaistyö työ W CB 3,5 kj c) diabaattisen prosessin B aikana läpöä ei siirry. -14 kj Isokoorisen prosessin CB aikana siirtynyt läpö saadaan käyttäen oinaisläpöä vakiotilavuudessa Q CB = nc T CB Ideaalikaasun tilanyhtälön avulla saadaan läpötilat T C = P C C /nr ja T B = P B B /nr ja kaasun adiabaattivakion perusteella kyseessä on yksiatoinen ideaalikaasu => C = 3R/2 Q CB = (3/2)nR (P B B / nr - P C C / nr) = (3/2)(P B B - P C C ) -14 kj. Koska Q CB < 0 systeei luovuttaa läpöä. Isoterisen prosessin C aikana siirtynyt läpö ääritetään käyttäen terodynaiikan 1. pääsääntöä de int = dq dw. Ideaalikaasun sisäenergia riippuu vain läpötilasta, joten ideaalikaasun isoteriselle prosessille E int = 0 => Q C = W C 18 kj. Koska Q C > 0 systeei ottaa läpöä.

9 10. Koska B on adiabattinen ja < B kyseessä on puristus Koska BC on isokoorinen (=> C = B ) ja paine nousee P c > P b Näiden perusteella saadaan uoto -B-C. Osan C-D- uoto saadaan, kun tiedetään CD adiabaattiseksi ja D isokooriseksi Isokoorinen D => D = γ γ diabaattinen prosessi CD => p C C = p D D => p D = p C ( C / D ) γ Ideaalikaasun tilanyhtälö p = nrt => p /T = p D D /T D => T D = T p D D / p b) Läönsiirto prosessien aikana: diabaattisten osien aikana ei tapahdu läönsiirtoa. TD 1. pääsäännön U = Q W perusteella isokooristen prosessien aikana ( =0 => W=0) U = Q. Koska ideaalikaasun sisäenergia riippuu vain läpötilasta, läpötilan uuttuinen kertoo läönsiirron. T C > T B => läpöä otetaan osassa BC, T < T D => läpöä luovutetaan osassa D. ineäärä saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla n = p/rt 0,017 ol Isokoorinen läitys/jäähdytys Q D = nc v (T -T D ) -106 J => koko oottorissa jokainen sylinteri käy kierron aikana koko kierron läpi 6Q D -636 J c) TD 1. pääsääntö U = Q W ja kiertoprosessille U = 0 => W = Q ja Q = Q h - Q c = Q BC - Q D => W = nc v (T C -T B ) - nc v (T -T D ) 160 J => koko oottori 6W 964 J d) hyötysuhde e = W/Q h 60 % Carnot n koneen hyötysuhde e Carnot = 1 T c /T h 80 % p B C D T p B 754 K 0,050 l 2,14 Mpa C 1507 K 0,050 l 4,27 MPa D 600 K 0,50 l 170 kpa 11. Entropian uutos läön siirtyessä ds = δq/t Ideaalikaasun isokoorisen läityksen tarvitsea läpö δq = nc dt. 2 2 δq T 2 dt a) ΔS = ds = 1 = nc 1 T T = nc v ln(t 2 / ) 53,1 J/K b) diabaattiselle prosessille δq = 0 joten ΔS adiab = = 0 1 T c) a-kohdassa läpö tuodaan läpölähteestä ja b-kohdassa systeeiin ei tuoda läpöä vaan läpötila nostetaan puristaalla kaasua eristetyssä astiassa. 2 δq 12. a) B ja CD: tilavuus on vakio => isokoorisia D ja BC: läpötila on vakio => isoterisiä b) Kun systeei ottaa läpöä TS-kuvaajassa käyrän alle jäävä ala > 0 => B ja BC c) Kun systeei tekee työtä p-kuvaajassa käyrän alle jäävä ala > 0 => vain BC