Koordinaatiston muunnokset. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

Transkriptio

1 Koodinaatiston muunnokset Kai Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

2 Monikappalesimulointikussi Olisitko kiinnostunut käymään kussin Kon Monikappalesimulointi? Kussi jäjestettiin viimeisen kean syksyllä 215, mutta jos kiinnostuneita on tapeeksi, yliopisto selvittää mahdollisuutta jäjestää kovaava kussi (tai vanha kussi vielä kean). Mikäli olet kiinnostunut, käy laittamassa nimesi listaan osoitteessa Todennäköinen ajankohta kussille olisi syksy 216. Ilmoittautuminen ei ole sitova ja kussi olisi vain vanhaa maisteiohjelmaa opiskeleville.

3 Matlab Koodinaatistot cat2pol: Tansfom Catesian coodinates to pola o cylindical [THET,RHO,Z] = cat2pol(x,y,z) cat2sph: Tansfom Catesian coodinates to spheical pol2cat: Tansfom pola o cylindical coodinates to Catesian sph2cat: Tansfom spheical coodinates to Catesian [x,y,z] = sph2cat(azimuth,elevation,) Don t use these yet in the fist execises Laitoksen nimi 2/4/216 Pic: 3

4 Koodinaatiston muunnokset 1/3 Motivaatio Fysiikasta tuttu peiaate Koodinaatiston saa valita vapaasti ongelman suhteen

5 Koodinaatiston muunnokset 2/3 Motivaatio Usein syntyy tilanteita että Tunnetaan vastaus ei koodinaatistossa Koodinaatistoja olisi hyvä olla monta - Helpottaa laskemista - Helpottaa mittausta - Helpottaa hahmottamista Koodinaatistoa tulee siitää jne. - Koodinaatisto on kietynyt Laitoksen nimi

6 Koodinaatiston muunnokset 3/3 Motivaatio Tällaista tapahtuu paljon Kinemaattisissa ketjuissa Robotiikassa - CM Mallintaminen - CD - Simulaatiot Visualisoinnissa - Pelit - Elokuvat Laitoksen nimi

7 Mitä tavitaan Oletetaan että koodinaatistot ovat lineaaisia vauudessa voi tapahtua Siitymää - Tanslaatio Kietymistä - Rotaatiota Koko vaihteluita - Skaalausta Vinoutumista - Skew Lisäksi olisi kiva saada Pojektioita Peilikuvia - Molemmat ovat eikoistapauksia skaalauksesta Laitoksen nimi

8 Tigonometiaa? Monimutkaisuus kasvaa liian suueksi Eteenkin kolmiulotteisessa tapauksessa - Rotaatioita on joka nivelelle 3 kpl Olisiko olemassa tapa jolla tämän voi välttää? - Ei oikeastaan mutta voimme piilottaa monimutkaisuuden silmistä Unohdetaan matemaattiset yksityiskohdat hetkeksi Palataan tähän luennon lopulla Keskitytään nyt avauuden ominaisuuksiin Laitoksen nimi

9 Tanslaatio ja skaalaus on helppoja ymmätää Tanslaatio Siietään vain pisteitä johonkin suuntaan - 2d tapauksessa kaksi komponenttia - 3d tapauksessa kolme Kolme toisistaan iippumatonta suuntaa Skaalaus Lähes analoginen tanslaation kanssa - Eikoistapaukset Pojektio (skaalaus nollalla) Peilikuva (skaalaus miinus yhdellä) Laitoksen nimi

10 Rotaatio on aika hankala Kahdessa ulotteisuudessa Oientaatio Helppo yksi otaatio - Kaikki ymmätää Kolmessa ulotteisuudessa Oientaatio Vaikea Todella vaikea Tavitaan kolme otaatiota (Leonhad Eule), oientaation määittämiseen. Tai monimutkaisempia matemaattisia konstuktioita - kseli ja yksi kieto - Quatenionion jos tavitsee intepoloida - Matiisit (kolme vektoia) - Eule paametit Laitoksen nimi

11 Rotaatiolla on hauskoja ominaisuuksia (tai inhottavia) Rotaatio ei ole komutatiivista kolmessa ulotteisuudessa Jäjestyksellä on väliä Pidä huoli että tiedät mikä jäjestys on käytössä! Laitoksen nimi

12 Nyt sitten matematiikkaa käytön tavittavalla tasolla Ei kuitenkaan vielä sellaisella tasolla että pitää laskea mitään. vauudet ja B (kaksiulotteisia akselit piietty nuolilla) Tansfomaatio T muuttaa avauuden B:ksi Ja käänteistansfomaatio T -1 päinvastoin B:n :ksi Laitoksen nimi

13 Jos muunnos avauudesta toiseen tunnetaan Monta muunnosta voi summata yhdeksi muunnokseksi Koska tunnetaan T ja T 2 tunnetaan - myös kaikki muut muunnokset -B-C välillä tunnetaan. - T ac = T. T 2, T ca = (T ac ) -1 jne. Laitoksen nimi

14 Summaamalla enemmän Muunnoksen akentaa monesta palasta pyöitä - liikuta liikuta - pyöitä Kahdessa ulotteisuudessa samat kolmessa ei Laitoksen nimi

15 Peustoiminnoista on moneksi Peus muunnoksilla Siito Pyöitys Skaala saadaan kaikki otogonaaliset muunnokset tehtyä Laitoksen nimi

16 Opeaatioiden toiminnasta 1/3 Opeaatio tapahtuu aina oigon ympäi Koskee kaikkea muuta kuin tanslaatiota - Ielevantti tanslaatiolle Tämän voi kietää siitämällä kappaletta ensin - Kietopisteeseen siitofunktion invessillä, tekee kieon ja siitää takaisin Laitoksen nimi

17 Opeaatioiden toiminnasta 2/3 Rotaatio satunnaisen pisteen kautta T(x, y,...) -1. R z (a). T(x, y,...) Skaala mielivaltaiseen suuntaan (pojektio jos x = ) R z (x,y,...) -1. S(x,1 ). R z (x,y,...) Siito kulmamitalla R z (x,y,...) -1. T(x,, ). R z (x,y,...) Jne Laitoksen nimi

18 Opeaatioiden toiminnasta 3/3 Laitoksen nimi

19 Muunnos siietystä koodinaatistosta Jäsenkoodinaatisto on samansuuntainen kuin unkokoodinaatisto, mutta sijainti on ei Pisteen P paikka jäsenkoodinaatistossa B: Jäsenkoodinaatiston B oigon paikka unkokoodinaatistossa Pisteen P paikka unkokoodinaatistossa saadaan yksinketaisesti vektoisummana: P B P P Bog p p p x y z x y z Bog Bog Bog P B Bog px P py pz x y z Bog Bog Bog 19

20 Siito, esimekki 2

21 Kieetty koodinaatisto Jäsen- ja unkokoodinaatistojen oigot ovat samassa pisteessä, mutta jäsenkoodinaatisto on kietynyt suhteessa unkokoodinaatistoon Jäsenkoodinaatiston B suunta koodinaatistoon nähden voidaan kuvata kijoittamalla B:n akseleiden suuntaiset yksikkövektoit pojisoituna - koodinaatiston akseleille. Saadaan ns. kietomatiisi: xx yx zx on B:n x-akselin yksikkövektoin pojektio :n x-akselilla on B:n x-akselin yksikkövektoin pojektio :n y-akselilla on B:nx-akselin yksikkövektoin pojektio :n z-akselilla 21

22 Kietomatiisit x-, y- ja z-kieoille 22

23 Muunnos kieetystä koodinaatistosta Jäsen- ja unkokoodinaatistojen oigot ovat samassa pisteessä, mutta jäsenkoodinaatisto on kietynyt suhteessa unkokoodinaatistoon Pisteen P paikka jäsenkoodinaatistossa B: Koodinaatiston B suunta unkokoodinaatistossa : B P p p p x y z B R X B Y B Z B xx yx zx xy yy zy xz yz zz Pisteen P paikka unkokoodinaatissa saadaan matiisitulona: P B R B P xx yx zx xy yy zy xz yz zz p p p x y z xx yx zx p p p x x x xy yy zy p p p y y y xz yz zz p p p z z z 23

24 Kieto, esimekki 24

25 Muunnos kieetystä ja siietystä koodinaatistosta Jäsenkoodinaatisto on kietynyt suhteessa unkokoodinaatistoon ja sen sijainti on ei Pisteen P paikka unkokoodinaatistossa saadaan käyttämällä sekä kieon että siion muunnosta: P B R B P P Bog xx yx zx xy yy zy xz yz zz p p p x y z x y z Bog Bog Bog 25

26 Kieto ja siito, esimekki 26

27 4x4 muunnosmatiisi Koodinaatistojen välinen kieon ja siion kuvaus voidaan esittää: xx xy xz xbog B R P yx yy yz y Bog Bog BT 1 zx zy zz z Bog 1 Tämän 4x4 muunnosmatiisin avulla muunnokset koodinaatistosta toiseen saadaan yksinketaisella ketolaskulla: P B P BT P 1 1 B P Ketolaskua vaten paikkavektoit muunnetaan 4x1-vektoeiksi ja 27

28 Muunnosmatiisi, esimekki 28

29 Yleisimmät muunto-opeaattoit ) ( z y x q q q q D 1 ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( 1 ) ( x x x x x R x 1 ) cos( ) sin( 1 ) sin( ) cos( ) ( y y y y y R y 1 1 ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) ( z z z z z R z Kieto x:n ympäi: Siito: Kieto y:n ympäi: Kieto z:n ympäi: 1 1 Bog zz zy zx Bog yz yy yx Bog xz xy xx Bog B B z y x P R T

30 Siito-opeaattoin todistus 3

31 Kieto-opeaattoin todistus (z-kieto) 31

32 Muunnos usean koodinaatiston kautta Muunnokset voidaan ketjuttaa useamman koodinaatiston kautta. Jos tunnetaan pisteen P paikka koodinaatistossa C tunnetaan koodinaatiston C kuvaus koodinaatistossa B sekä koodinaatiston B kuvaus koodinaatistossa, saadaan pisteen paikka koodinaatistossa : P C T C P B T B C T C P Pätee siis myös C T B T B C T Huomattava, että matiisiketolaskun jäjestyksellä ON väliä! Kieto ei ole kommutatiivista 32

33 Ketjutus, esimekki 33

34 Ketjutus vääinpäin, esimekki 34

35 Rinnakkaiset ketjut Ei koodinaatistoketjuja pitkin päästään luonnollisesti samaan tulokseen Voidaan muodostaa yhtälöitä tai yhtälöyhmiä jonkin tuntemattoman muunnoksen atkaisemiseksi 35

36 Käänteinen muunnos Jos koodinaatiston B kuvaus koodinaatistossa tunnetaan, saadaan koodinaatiston kuvaus B:ssä edellisen käänteismatiisina: B Esimekki: T B T 1 36

37 Käänteinen muunnos Käänteinen muunnos ketjuttaessa: P = T B T BC P C P C = T BC 1 T B 1 P Tai: P = D 8, 4, R Z (2 ) P C P C = R Z ( 2 ) D 8, 4, P Käänteismatiisin voi ilmaista myös näin: T 1 = R t 1x3 1 1 = RT R T t 1x3 1 Laitoksen nimi 2/4/216 37

38 Muunto-opeaattoit Tulevissa esimekeissä käytetään näitä yleisimpiä muunto-opeaattoeita, jotka on johdettu jo aiemmin: 38

39 Esimekki I 39

40 Esimekki I 4

41 Esimekki II 41

42 42

43 Lähteitä iila, Maui: Mekatoniikka. Otatieto. Helsinki Ewin Keyzig: dvanced Engineeing Mathematics. Tony podaca: The Loe of the TD s. SIGRPH 22, Poceedings of Kankae, Johannes: Koodinaatistomuunnokset. Moniste. 28. Kankae, Johannes: Luentomonisteet aiemmilta vuosilta. Laitoksen nimi