x k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.

Transkriptio

1 28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella: reaaliluujono (x n ) suppenee R:ssä joss (x n ) on Cauchyn jono. Tätä reaaliluujen jouon R ominaisuutta sanotaan täydellisyydesi. Toisena esimerinä mainitaan avaruus varustettuna seminormilla E = {f : [0, 1] R f on Riemann-integroituva} f 1 = 1 0 f(t) dt, f E. Avaruus (E, 1 ) ei ole täydellinen (todistus sivuutetaan); tämä puute oli eräs eseisistä syistä Lebesgue integraalin äyttöönottoon ja ehittämiseen. Yleisemmällä tasolla, (esim. differentiaali)yhtälöitä rataistaan tyypillisesti haemalla approsimatiivisia rataisuja, ja lähes säännöllisesti funtioavaruusilta vaaditaan täydellisyyttä, jotta approsimatiivisille rataisuille löydetään join rajafuntio Määritelmä. Normiavaruuden (E, ) jono (x n ) n N on Cauchyn jono, jos joaista ε > 0 vastaa sellainen luu m ε N, että aina un m ε ja j m ε. x x j < ε Huomautus. Kun tarastellaan jonon (x n ) n N määräämiä loppuosan jouoja A m = { x n : n m }, missä m = 1, 2,... ja huomataan näiden halaisijoitten avulla, että: (x n ) on Cauchyn jono lim m diam(a m ) = 0. Edellä jouon A E halaisja on diam(a) = sup x,y A x y. Seuraavat olme lausetta ertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet Lause. Normiavaruuden E suppeneva jono (x n ) on aina Cauchyn jono. Todistus. Oloon lim n x n = y eli lim n x n y = 0. Jos ε > 0, on olemassa sellainen m ε N, että x n y < ε 2 aiilla n m ε. Siis un j, m ε, niin x x j ey Toisaalta, x y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.

2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Lause. Normiavaruuden E Cauchy jono (x n ) on rajoitettu, eli on olemassa M < jolle x n M aiilla n N. Todistus. Oloon (x n ) E Cauchy jono ja A m = { x n : n m }. Kosa (x n ) on Cauchy jono, niin on olemassa sellainen m 0 N, että diam(a m0 ) < 1. Jos y A m0, niin olmioepäyhtälön avulla saadaan y ey y x m0 + x m0 < 1 + x m0. Siispä täyden jonon vetoreille saamme arvion sup x n max{ x 1, x 2,..., x m0 1, 1 + x m0 } <. n N Lopusi hyödyllinen riittävä ehto Cauchyn jonon suppenemiselle Lause. Jos normiavaruuden E Cauchyn jonolla (x n ) on osajono (x nj ), joa suppenee ohti vetoria y E, niin myös oo jonolle pätee lim n x n = y. Todistus. Oloon ε > 0 mielivaltainen. Valitaan Cauchyn ehdosta sellainen m ε N, että x x j < ε 2 aiilla,j m ε. Kosa lim j x nj = y, niin on olemassa sellainen indesi j ε N että aiilla j j ε pätee n j m ε ja x nj y < ε 2. Tällöin x n y x n x nj + x nj y < ε 2 + ε 2 = ε aiilla n m ε. Siis lim n x n = y. Alamme sitten tarastelemaan täydellisiä normiavaruusia Määritelmä. Normiavaruus (E, ) on täydellinen, jos avaruuden E joainen Cauchyn jono (x n ) suppenee avaruudessa E (siis on olemassa sellainen y E, että lim n x n = y). Täydelliset normiavaruudet ovat funtionaalianalyysin eseinen tutimusohde ja työalu, joten näille on otettu äyttöön oma nimi (puolalaisen Stefan Banach in ( ) muaan, joa merittävällä tavalla ehitti alaa) Määritelmä. Täydellistä normiavaruutta (E, ) sanotaan Banachin avaruudesi (usein sanomme lyhyesti: E on Banachin avaruus).

3 30 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Selvitetään seuraavasi mitä edellisessä luvussa löydetyistä avaruusista ovat täydellisiä, ja erityisesti, uina äytännössä näytetään että annettu normiavaruus on täydellinen. Oloon siis ensin A jouo ja varustettuna normilla B(A, K) = B(A) := {x : A K x rajoitettu uvaus}, x = sup x(t), un x B(A, K). t A 3.7. Lause. (B(A, K), ) on Banachin avaruus. Todistus. Todistus perustuu salaariunnan K täydellisyyteen. Nimittäin, oloon (x n ) Cauchyn jono avaruudessa B(A, K), ε > 0 ja t A mielivaltainen. Kosa (3.8) x (t) x j (t) x x j < ε un indesit,j m ε ovat riittävän suuria, on salaarijono (x (t)) N Cauchyn jono salaariunnassa K. Tällöin on siis olemassa raja-arvo lim n x n (t) K, sillä metriset avaruudet K = R tai K = C ovat täydellisiä. Pitämällä t A muuttujana saadaan raja-arvosta uvaus y : A K, y(t) := lim n x n (t), t A. Lauseen väite seuraa osoittamalla seuraavat apuväitteet: (i) uvaus y B(A, K) eli y on rajoitettu uvaus A K, (ii) x n y 0, un n, eli x n y avaruudessa B(A, K). Tätä varten, oloon ε > 0 mielivaltainen, ja äytetään arviota (3.8), joa pätee tasaisesti joaisella t A. Pidetään siinä m ε seä t A iinteinä, ja annetaan j. Silloin lim x (t) x j (t) = x (t) y(t), j osa yo. tarastelee vain salaariluuja x j (t). Epäyhtälön (3.8) säilyminen rajalla taaa, että (3.9) x (t) y(t) ε un t A ja m ε. Tästä saadaan ensinnäin että y(t) y(t) x (t) + x (t) ε + x un t A

4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 31 eli että y B(A, K). Toisesi (3.9) pätee tasaisesti, so. samalla yläarviolla ε joaisessa pisteessä t A. Saadaan siis x y = sup x (t) y(t) ε aiilla m ε t A Olemme näin näyttäneet, että lim x = y avaruudessa B(A, K), eli suppeneminen tapahtuu o. avaruuden normin suhteen. Ylläolevat argumentit yhdistäen nähdään että (B(A), ) on Banachin avaruus. Erioistapausina A = {1,...,n} ja A = N saadaan tästä Seuraus. a) vetoriavaruus K n varustettuna metriialla x = sup x i, x = (x 1,...,x n ) K n, 1 i n on Banachin avaruus. b) (l, ) on Banachin avaruus. Annetaan myös esimeri epätäydellisestä normiavaruudesta Esimeri. (l 1, ) ei ole täydellinen normiavaruus, un (x ) = sup x, (x ) l 1. N Rataisu: Oloon x (n) = (1, 1 2, 1 3,... 1 n, 0, 0,...), un n N. Selvästi x(n) l 1 aiilla n N. Toisaalta aiilla n, p N pätee, 1 x (n) x (n+p) = (0,...,0 }{{},..., 1, 0, 0,...) n+1 n+p n pl 1 = sup n+1 j n+p j = 1 n aiilla p N, un n. Siispä (x (n) ) Cauchyn jono avaruudessa (l 1, ). Väite epätäydellisyydestä seuraa, un osoitetaan, että ei ole olemassa sellaista jonoa y = (y ) l 1, että lim n x(n) y = 0. Tehdään vastaoletus eli oletetaan, että löytyisi sellainen y = (y ) l 1, että x (n) y sup-normissa. Jonon (x (n) ) alioiden :nnet oordinaatit x (n) ovat muotoa x (n) 1 =, 1 n 0, > n,

5 32 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI ja aiilla indeseillä N pätee un n. Sisi x (n) y x (n) y 0, y = lim x (n) 1 n = lim n = 1, un = 1, 2,... Toisaalta =1 1 =, eli y = ( ) 1 / N l1, miä on ristiriidassa vastaoletusen anssa. Siis (l 1, ) on epätäydellinen. Huomautus. (1) Vastaavalla tavalla osoitetaan (Tee se!) että jos 1 p < q <, niin l p l q mutta (l p, q ) ei ole täydellinen. (2) Polynomien muodostama normiavaruus varustettuna sup-normilla P = { p: [0, 1] R : p polynomi } p = sup p(t) t [0,1] ei ole täydellinen. Samoin, jos P varustetaan luvun 2 Esimerissa 2.13.(2) annetuilla normeilla 1 ja 2, osoittautuu että P:stä ei tule täydellistä. (Epätäydellisyyden todistus on samantapainen uin edellisessä Esimerissä.) Seuraavan tulosen avulla saadaan lisää esimerejä Banachin avaruusista Lause. Oloon E Banachin avaruus ja M E suljettu aliavaruus. Tällöin M on täydellinen eli Banachin avaruus, avaruuden E indusoimassa normissa. Todistus. Jos (x n ) M on Cauchyn jono avaruudessa M, niin (x n ) on myös avaruuden E Cauchyn jono. Kosa E täydellinen, niin on olemassa sellainen raja-alio y E, että lim n x n = y. Kosa M on suljettu ja x n M aiilla n, niin raja y M = M, joten M on täydellinen. Edellinen tulos pätee myös äänteiseen suuntaan: Lause. Normiavaruuden E täydellinen aliavaruus M on suljettu avaruudessa E.

6 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 33 Todistus. Oloon z M mielivaltainen. Kosa M B(z, 1/n) aiilla n = 1, 2,..., niin löytyy sellainen jono (x n ) M, että lim n x n = z. Tällöin (x n ) on Cauchyn jono avaruudessa E Lauseen 3.2 nojalla ja siten myös avaruudessa M, joten avaruuden M täydellisyyden nojalla lim n x n = y M on olemassa. Raja-arvon ysiäsitteisyyden nojalla on oltava z = y M, joten siis M = M ja M on suljettu avaruudessa E Seuraus. Oloon M Banachin avaruuden E vetorialiavaruus. Tällöin M on täydellinen (eli Banachin avaruus) M on suljettu. Todistus. Seuraa välittömästi Lauseista 3.12 ja Käytämme seuraavasi näitä tietoja tutimaan jatuvien uvausten avaruusia Esimeri. Oloon X topologinen avaruus, ja C(X) = C(X, K) := {f : X K f jatuva avaruudessa X} Jos f, g C(X) ja λ K, niin pisteittäinen summafuntio f + g C(X) ja λf C(X) eli C(X) on vetoriavaruus. Meritään BC(X) = BC(X, K) := B(X, K) C(X), eli jatuvien ja rajoitettujen uvausten X K avaruus. Siis BC(X) on avaruuden B(X) on vetorialiavaruus. Kysymys. Ono BC(X) B(X) suljettu (normin suhteen)? Oloon t X iinteä, ja BC t (X) = { f B(X) : f on jatuva pisteessä t }. Huomautus. (Topo I) f : X K on jatuva pisteessä t X, jos joaista ε > 0 vastaa sellainen avoin ympäristö V, t V X, että f(u) f(t) < ε aiilla u V Lemma. BC t (X) on avaruuden B(X) suljettu vetorialiavaruus aiilla t X. Todistus. Oloon g B(X) sellainen funtio X K, että g sisältyy avaruuden BC t (X) suleumaan sup-normin suhteen. Oloon ε > 0 annettu. Tällöin on olemassa sellainen f BC t (X), että g f < ε. Kosa funtio f on 3 jatuva pisteessä t, niin löytyy sellainen avoin ympäristö t V X, että f(t) f(u) < ε aiilla u V. 3

7 34 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tällöin g(t) g(u) g(t) f(t) + f(t) f(u) + f(u) g(u) }{{}}{{} g f g f 2 g f }{{ + ε } 3 < ε < ε 3 aiilla u V. Siis g on jatuva pisteessä t, joten g BC t (X) ja siis BC t (X) on suljettu Lause. (BC(X), ) on Banachin avaruus. Todistus. Kosa f on jatuva avaruudessa X joss f on jatuva aiissa pisteissä t X, niin BC(X) = t XBC t (X), missä BC t (X) on suljettu aiilla t X Lemman 3.16 nojalla. Siis BC(X) on suljettu aliavaruus avaruudessa B(X). Nyt väite seuraa Lauseista 3.7 ja Seuraus. Jos X on ompati topologinen avaruus, niin (C(X), ) on Banachin avaruus. Erityisesti, (C(0, 1), ) on Banachin avaruus. Todistus. Käytetään Topo I:n tulosta jona muaan ompatissa avaruudessa X joainen jatuva uvaus f : X K on rajoitettu, eli C(X) = BC(X). Huomautus. Edellä C(0, 1) C([0, 1]). Sen sijaan vetoriavaruudessa C((0, 1)) = {f : (0, 1) R f jatuva välillä (0, 1)} ei ole edes järevää normia (vrt. Harjoituset 2). Esimerin 2.10 ohdassa (2) esiteltiin avaruuden l aliavaruudet c ja c 0. c := {x = (x n ) : x n K n N, lim n x n on olemassa}, c 0 := x = (x n ) : x n K n N, lim n x n = 0} Lause. c ja c 0 ovat Banachin avaruusia (sup-normin suhteen). Todistus. (1) c 0 l on suljettu vetorialiavaruus (Harjoituset 1) (2) c l on suljettu: Oloon x = (x ) l sellainen jono, että x c. Kun ε > 0, niin löytyy sellainen jono y = (y ) c, että x y < ε 3.

8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 35 Kosa (y ) on suppeneva jono, niin erityisesti (y ) on salaariunnan K Cauchyn jono. Siis on olemassa sellainen m ε N, että aiilla j, m ε. Tällöin y j y < ε 3 x j x ey x j y j + y j y + y x < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε aiilla j, m ε. Kosa ε > 0 mielivaltainen, niin x = (x ) on myös salaariunnan K Cauchyn jono. Siispä (x ) suppenee, joten x c. Siis c = c on suljettu, joten Lauseen 3.12 nojalla c on Banachin avaruus. Huomautus. Oloon N = N { } ja varustetaan se topologialla τ, jona antana ovat jouot U = {n} ja V = { } { N : m }, missä n, m N. Saatu avaruus (N, τ) on N:n yhden pisteen ompatifiointi. Tällöin itse asiassa c = C(N). Siten Lause 3.19 seuraa myös Seurausesta Vetoriarvoisista sarjoista Oloon E normiavaruus ja (x ) N jono avaruudessa E. Mietimme seuraavasi vastaavan vetorisarjan j=1 x j summautumista. Toisin sanoen, pätevätö tutut sarjateorian perusteet myös äärettömän dimension tapausessa? Sarjaa meritään tavallisesti symbolilla x tai x. Osasummille äytetään myös tuttuja merintöjä, n s n = x 1 + x x n = x j un n N. (s n E n.) j=1 Edelleen, alio x E on sarjan :s termi Määritelmä. Oloon x normiavaruuden E alioiden muodostama sarja. Miäli osasummien jono (s n ) suppenee ohti vetoria s E, eli lim s n s = 0, n sanotaan että sarja x suppenee E:ssa ja sen summa on s; meritään tällöin s = x. =1 Sanotaan, että E:n sarja x on absoluuttisesti suppeneva (josus myös: normisuppeneva), jos positiiviterminen sarja x suppenee.

9 36 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimeri. Oloon e n = (0, 0,...,0, }{{} 1, 0,...) l 2, un n N. Suppeneeo sarja n:s e nn l 2 :ssä? Entä suppeneeo Rataisu: Oloon x = ( 1 n ) n N. Nyt x l 2 osa 1 n 2 <. e nn absoluuttisesti l 2 :ssä? Tällöin sarja e nn suppenee l 2 :ssä ja sen summa e nn = x. Nimittäin, sarjan m:s osasumma s m on ja siis s m = m x s m 2 = (0, 0,...,0, }{{} m pl e n n = (1, 1 2, 1 3,..., 1, 0, 0,...) m 1 m + 1, 1 ( m + 2,...) 2 = j=m+1 1 j 2 ) 1/2 0, un m ; yseessä on suppenevan sarjan jäännöstermi. Kuitenaan sarja enn ei ole normisuppeneva avaruudessa l 2, sillä e n = n 2 1 n e n 2 = 1 n DI =. Täydellisyyden ja normisuppenevien sarjojen välillä on täreä yhteys: Lause. Normiavaruus E on Banachin avaruus jos ja vain jos joainen avaruuden E absoluuttisesti suppeneva sarja x suppenee avaruudessa E. Todistus. Oloon E Banachin avaruus ja x avaruuden E absoluuttisesti suppeneva sarja. Jos n N, p N, ja s m = m =1 x on sarjan m:s osasumma, niin n+p s n+p s n = x j ey j=1 n+p j=n+1 n x j = x n x n+p j=1 x j j=n+1 x j 0 aiilla p N, un n. Siis (s n ) on Cauchyn jono avaruudessa E, joten se suppenee.

10 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 37 Oletetaan, että avaruuden E joainen absoluuttisesti suppeneva sarja suppenee. Oloon (x n ) Cauchyn jono avaruudessa E. Lauseen 3.4 nojalla riittää löytää suppeneva osajono (x nj ). Konstruoidaan osajono (x nj ) indutiolla seuraavasti: Kosa (x n ) on Cauchyn jono, niin löytyy sellainen n 0 N, että x p x q < 1 2 aiilla p, q n 0. Oletetaan, että on jo valittu luvut n 0 < n 1 <... < n j joille x p x q < aiilla p, q n ja = 0, 1,...,j. Valitaan seuraavasi n j+1. Kosa jono (x n ) on Cauchyn jono, niin löytyy sellainen n j+1 N, että n j+1 > n j ja x p x q < 1 2 j+2 aiilla p, q n j+1. Meritään nyt y 0 = x n0, y j = x nj x nj 1 un j = 1, 2,... Tällöin y j = x nj x nj 1 < 1 aiilla j = 1, 2,..., sillä n 2 j j > n j 1 ja arvio seuraa valitsemalla p = n j ja q = n j 1. Siispä sarja y j on absoluuttisesti suppeneva, sillä y j < y (j+1) <. j=0 Oletusen nojalla sarja y j siis suppenee. Meritään sarjan summaa y = ja tarastellaan sarjan j=0 y j osasummia. Havaitaan, että itse asiassa y j = x n0 + (x n1 x n0 ) + + (x n x n 1 ) = x n aiilla. j=0 j=0 Näin ollen jonon (x n ) osajono (x n ) N suppenee ohti pistettä y E. Lauseen 3.4 nojalla siis myös jono (x n ) suppenee ohti pistettä y ja siis E on täydellinen. Lauseen 3.22 nojalla voidaan usein osoittaa avaruuden täydellisyys: näin on esimerisi reaaliluujen jouon R tapausessa. Oloon a itseisesti suppeneva sarja R:ssä. Meritään b = a a, un N. Tällöin 0 b 2 a, joten sarja b suppenee vertailuperiaatteen nojalla. Kosa a = a b, suppenee sarja a myös. Siis Lause 3.22 sanoo, että R on täydellinen. Absoluuttisesti suppenevien sarjojen riteerin avulla myös avaruusien l p täydellisyys saadaan verraten ivuttomasti. j=1 y j

11 38 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Lause. Jonoavaruus (l p, p ) on Banachin avaruus aiilla 1 p <. Todistus. Oloon x (n) absoluuttisesti suppeneva sarja avaruudessa l p, siis x (n) p <. Jos meritään vetoria eli jonoa x (n) = (x (n) ) N l p, niin aiilla N, joten x (n) ( x (n) Siten salaariluujen sarja n x(n) y = i i p ) 1 p x (n) = x (n) p <, ullain N. suppenee, sillä K on täydellinen. Meritään x (n), N. Olemme näin löytäneet uuden luujonon y = (y ) N. Väitämme, että y = x (n) avaruudessa l p. Oloon ε > 0. Absoluuttisen suppenevuuden perusteella löytyy sellainen m N, että x (n) p ε. n=m+1 Oloon i, r, s N, m r < s. Kosa yseessä äärellinen summa, niin saadaan i y =1 r x (n) p = lim i s =1 s x (n) r x (n) p lim s =1 Toisaalta, avaruuden l p olmioepäyhtälön perusteella s x (n) p s = p ( s ) p x (n) p p =1 n=r+1 n=r+1 n=r+1 ( ) p x (n) p ε p. Kun s, niin tästä seuraa, että i y =1 r x (n) x (n) p ε p n=r+1 s x (n) n=r+1 p.

12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 39 aiilla i N ja r m. Antamalla siis i nähdään, että y r x (n) p p = y =1 r x (n) p ε p, un r m. Siis jono (y m x(n) ) N l p, joten Lauseen 2.23 sivulla 20 nojalla ja edelleen y = (y ) N = ( y m y ) x (n) + N r x (n) p ε, ( m ) x (n) l p, N un r m. Näin ollen sarja x (n) suppenee ja Lauseen 3.22 sivulla 36 nojalla l p on Banachin avaruus. L p -avaruudet Haluamme seuraavasi määritellä jonoavaruuden l p vastineet jatuvassa tapausessa, eli avaruudet joiden normit uvausille f : K saadaan suureista ( 1/p. f p := f(x) dµ(x)) p Päädymme näin L p -avaruusien äsitteeseen. Tämän tarempi/syvällisempi teoria uuluu ursseihin Mitta- ja integraali seä Reaalianalyysi. L p -avaruudet ovat uitenin eseisiä esimerejä Funtionaalianalyysissä ja sen sovellusissa; lisäsi Hilbert-avaruusien (todellisesta) äytöstä ei saa unnon uvaa ilman L 2 -avaruusia. Käymme sisi alla L p -avaruusien perusideat lyhyesti läpi, niitä luijoita silmällä pitäen, jota eivät ole vielä suorittaneet yo. ursseja. Kesitymme nimenomaan ideoitten esittelyyn ja sivuutamme useiden väitteiden todistuset, jota jäävät Mittateorian ursseilla äsiteltävisi. Tämän urssin tarpeisiin riittää tarastella (Lebesgue-)mitallisia osajouoja R n ja n-ulotteista Lebesgue mittaa µ, mutta mitä alla errotaan pätee myös yleisissä mitta-avaruusissa (, Σ, µ) (missä Σ on join jouoon liittyvä σ-algebra ja µ on Σ:ssa määritelty positiivinen mitta). Muotoa f = n a χ E =1 olevia funtioita utsutaan ysinertaisisi funtioisi; tässä a K, E on mitallinen jouo un = 1,...,n, seä arateristinen funtio χ E (x) =

13 40 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1 jos x E ja χ E (x) = 0 un x / E. Ysinertaisen funtion integraali määritellään helposti aavalla f dµ = f(x)dµ(x) = n a µ(e ). [Muista myös: m.. melein aiialla, so. nollamittaisen jouon ulopuolella.] Jos 0 f on mitallinen funtio, löytyy jono ysinertaisia funtioita f n niin että 0 f n f n+1 f ja f(x) = lim n f n (x) melein aiialla. (Itse asiassa funtio on mitallinen jos ja vain jos se on ysinertaisten funtioiden pisteittäinen raja m.. x.) Asetetaan (3.24) f dµ = lim f n dµ, n missä f n :nien integraalit muodostavat asvavan luujonon, ja siten yo. rajaarvo on olemassa (voi olla ). Mittateoriassa näytetään että (3.24):n raja-arvo on approsimoivan jonon {f n } valinnasta riippumaton. Mutta voi hyvin olla että (3.24):n raja-arvo ja siis f:n integraali on! Tämän pulman välttämisesi, yleiselle mitalliselle funtiolle f sanotaan että se on integroituva, miäli f dµ <. Jos nyt f : R on integroituva, funtion positiivinen osa f + = max{f(x), 0} ja negatiivinen osa f (x) = max{ f(x), 0} ovat integroituvia, ja voimme asettaa fdµ = f + dµ f dµ. Komplesiarvoiselle funtiolle f = u+iv asetetaan fdµ = udµ+i vdµ. Mittateoriassa osoitetaan, että jos R on suljettu ja rajoitettu väli, ja f on Riemann integroituva :ssa (erityisesti, jos f on jatuva!), silloin nyt määritelty integraali on täsmälleen sama uin tuttu Riemann integraali!! Oloon sitten 1 p <, R n mitallinen jouo ja µ() > 0, missä µ on Lebesguen mitta avaruudessa R n. Määrittelemme alusi jouon L (p) () = L (p) niiden mitallisten funtioiden f : K jouona, joille ( 1/p f p := f(x) dµ(x)) p <. Jotta L (p) olisi vetoriavaruus, on näytettävä, että p on seminormi avaruudessa L (p). Tähän tarvitaan (uten l p -avaruusien tapausessa) Hölderin epäyhtälöä. =1

14 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Lemma (Hölderin epäyhtälö). Jos f L (p) ja g L (q), un = 1, p q p > 1, niin tällöin (pisteittäinen) tulo fg L (1) ja fg 1 f p g q eli ( ) 1 ( )1 f(x)g(x) dµ(x) f(x) p p dµ(x) g(x) q q dµ(x) Todistus. Jos f p = 0, niin f(x) = 0 m.. x, jolloin myös tulo f(x)g(x) = 0 m.. x ja siis fg dµ = 0. Samoin pätee, jos g q = 0. Näissä tapausissa väite on ilmeinen. Voidaan siis olettaa, että f p g q > 0. Sovelletaan Lemmaa 2.17 sivulla 16 valitsemalla (un x ) mistä seuraa epäyhtälö a = f(x) f p ja b = g(x) g q, (fg)(x) 1 f(x) p f p g q p f p + 1 p q g(x) q g q, x. q Integroimalla tämä puolittain muuttujan x suhteen saadaan f 1 p g 1 q fg dµ 1 p f p p f(x) p dµ + 1 q g q q = 1 p + 1 q = 1. g(x) q dµ Seuraus (Minowsin epäyhtälö). Jos f, g L (p) ja p 1, niin f + g p f p + g p. Todistus. HT. Kosa selvästi λf p = λ f p, niin L (p) on tämän ja Minowsin epäyhtälön nojalla K-ertoiminen vetoriavaruus. Mutta avaruudessa L (p) on se pulma, että p ei ole normi: f p = 0 f(x) = 0 m.. x! (Siis f f p on vain seminormi). Pulmasta selvitäsemme, samaistamme aii ne funtiot, jota ovat samoja m.. x. Seuraava esimeri antaa mieliuvan mitä tämä samaistaminen äytännössä meritsee. Integroidaan vaiapa seuraava funtio välillä [0, 1], f(x) = x, un 0 x < 1/2 ja f(x) = 3, un 1/2 x 1 Voisimme myös asettaa (Piirrä funtioiden uvaajat!) f(x) = 1, un 0 x 1/2 ja f(x) = 3, un 1/2 < x 1

15 42 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI osa ei ole mitään luonnollista tapaa valita f:n arvoa epäjatuvuuspisteessä x = 1/2; selvästi molemmat valinnat ovat yhtä hyviä, ja integroinnin annalta molemmat valinnat tuottavat saman tulosen. Onin sisi järevää samaistaa nämä funtiot! Yleisemmin, annetulla funtiolla voi olla paljon enemmän epäjatuvuus- (tai epämääräisyys )pisteitä, joten saman filosofian muaan on järevää samaistaa funtiot f ja g, jos f(x) = g(x) nollamittaista x:ien jouoa luuunottamatta. Täsmällistä määrittelyä varten sanotaan että funtiot f, g L (p) ovat evivalentit, mer. f g, jos f = g m.. x eli µ({x : f(x) g(x)}) = 0. Asetetaan [f] = {g L (p) : g f}, f L (p). Huomataan, että jos f 1 g 1 ja f 2 g 2 niin (f 1 +f 2 ) (g 1 +g 2 ). Tämä seuraa siirtymällä omplementteihin inluusiossa {x : f 1 (x) = g 1 (x)} {x : f 2 (x) = g 2 (x)} {x : f 1 (x)+f 2 (x) = g 1 (x)+g 2 (x)}. Samoin af 1 af 2 jos f 1 f 2 ja a K. Näin evivalenssiluoat muodostavat vetoriavaruuden: [af + bg] = a[f] + b[g] un f, g L (p), a,b K. (Selvitä itsellesi tämän ysityisohdat!). Määritellään nyt (3.27) L p () = {[f] : f L (p) ()}. Huomataan että f p = g p aina un f g, joten [f] p = f p, f L (p), on siten hyvin määritelty. Edelleen, f p = 0 [f] = [0], eli avaruudessa L p () suure p on normi. Käytännössä, pidämme (so. ohtelemme) L p ():n elementtejä funtioina. Myös, siisteissä tapausissa, esimerisi jos luoassa [f] on jatuva funtio, valitsemme sen luoan edustajasi, eiä tulinta f L p () tuota pulmia. Kuitenin, yleisessä tapausessa L p -funtion arvo ei ole pisteittäin hyvin määritelty. Jos tarvitsemme tiettyä arvoa f(x), joudumme valitsemaan luoasta [f] yhden edustajan; jos haluamme näin saada tietoa oo luoasta [f], meidän on tällöin huolehdittava siitä, että päättelyjen lopputulos (!) ei riipu edustajan f valinnasta. Vaihtoehto. Määritellään L p () tulitsemalla yo. onstrutio enemmän lineaarialgebrallisin onstein, äyttäen vetoriavaruuden teijäavaruusia. Taremmin, oloon X vetoriavaruus ja M sen aliavaruus. Kosa X on yhteenlasun

16 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 43 suhteen Abelin ryhmä ja M sen aliryhmä, voimme muodostaa teijäryhmän X/M, jona alioina ovat jäännösluoat modulo M, x + M, x X. Tässä x + M = {x + m : m M} on määritelty jouona, uten Luvussa 2. Asetetaan yhteenlasu ja salaarilla ertominen luonnollisilla aavoilla (3.28) (x + M) + (y + M) = (x + y) + M (3.29) λ(x + M) = λx + M ja näin saadaan teijäryhmästä X/M vetorialiavaruus. 3 Oloon nyt M = {f L (p) : f(x) = 0 m.. x }, joa on avaruuden L (p) vetorialiavaruus Määritelmä. Avaruus L p = L p () on teijäavaruus L (p) /M. Huomataan, että edellä f + M = g + M jos ja vain jos f g M, eli siis f g. Kuten edellä todettiin, f p on sama aiille funtioille f L (p), jota poieavat toisistaan enintään 0-mittaisessa jouossa, joten lausee f + M p = f p, f L (p), on hyvin määritelty tässäin vaihtoehdossa. Näin teijäavaruusonstrutio tuottaa saman avaruuden L p uten edellä. Jos f L (p) on yleensä tapana meritä funtion f määräämää teijäavaruuden L p aliota eli luoaa f+m myös symbolilla f! Tässä on siis taas pidettävä mielessä, että jos asi avaruuteen L (p) uuluvaa funtiota poieaa toisistaa enintään 0-mittaisessa jouossa, ne ovat avaruuden L p alioina samoja. Seuraava tulos on eseinen Funtionaalianalyyttisiä sovellusia silmälläpitäen Lause. Oloon 1 p <. Tällöin (L p, p ) on Banachin avaruus. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa yo. esustelusta (Huomaa, että Hölderin ja Minowsin epäyhtälöt pätevät myös avaruudessa L p ; Misi?). L p -avaruusien täydellisyys uuluu oieastaan Reaalianalyysin urssin materiaaliin, sillä päättely tarvitsee muutaman perustulosen Lebesgue-integroinnista. Sisi ne luijat, jota eivät ole vielä Reaalianalysiä seuranneet, voivat ottaa tulosen annettuna; todistusen argumentteja ei tarvita muualla tässä urssissa. 3 Taremmin tätä ideaa selvitetään urssilla Lineaarialgebra II.

17 44 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Luonnostelemme alla uitenin täydellisyystodistusen pääpiirteet, jotta Mittateoriaan perehtymätönin luija saa mieliuvan miten mitallisten funtioiden anssa operoidaan. Täydellisyysagumentti on itse asiassa analoginen l p avaruusien tapausen anssa. L p -avaruusien täydellisyyttä varten tarvitaan seuraava Mitta ja integraalin tulos: Lemma (Fatoun Lemma). Jos f n : [0, ] on mitallinen aiilla n N, niin lim inf f n(x)dµ(x) lim inf f n (x)dµ(x). n n Todistus. Oloon g (x) = inf n f n (x). Silloin g on mitallinen, g f, 0 g 1 g 2... seä lim g (x) = lim inf f n(x). n Kosa {g } on asvava funtiojono, Monotonisen suppenemisen lauseen muaan lim g dµ = lim g dµ. Erityisesti, lim inf f n(x) dµ = lim g j (x) dµ lim inf f (x) dµ. n j Lauseen 3.31 todistus jatuu. Oloon f n absoluuttisesti suppeneva sarja avaruudessa L p, eli M = f n p <. Lauseen 3.22 sivulla 36 nojalla riittää osoittaa, että f n suppenee L p :ssa. Voimme valita edustajan f n L (p) joaisella n N ja riittää siis löytää sellainen f L (p), jolle Jos meritään lim g (x) = f n f = 0. p f n (x), x, niin avaruuden L (p) olmioepäyhtälön nojalla g p = f n p f n p M, N. Monotonisen suppenemisen lauseen nojalla ( f n ) p dµ = lim ( f n ) p dµ = lim g p p M p <.

18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 45 Siis funtio g(x) := f n (x) L (p) ja edelleen tästä seuraa, että g(x) < m.. x ja näillä x f(x) := f n (x) suppenee avaruudessa K. Asetetaan f(x) = 0, jos g(x) =, jolloin f(x) g(x) aiilla x ja f L (p). Lisäsi Fatoun lemman nojalla f p f n dµ = lim j lim inf j j f n p f n dµ j f n p f n dµ Otetaan nyt p:nnet juuret puolittain saadusta epäyhtälöstä, jolloin f f n p lim inf j j n=+1 f n p lim inf j j n=+1 f n p = n=+1 f n p 0, un. Siispä joainen avaruuden L p normisuppeneva sarja suppenee, joten L p on täydellinen eli L p on Banachin avaruus. Yllä oletettiin, että 1 p <. Tapaus p = on itse asiassa helpompi. Kosa tapausissa 1 p < samaistimme funtiot, jota poieavat enintään 0-mittaisessa jouossa, haetaan nyt tälle vastine un p =. Päädymme seuraavaan äsitteeseen: Määritelmä. Mitallinen funtio f : K on oleellisesti rajoitettu, jos on olemassa 0 M <, jolle f(x) M aiilla x jonin 0-mittaisen jouon ulopuolella. Oleellinen supremum eli f := ess sup f(x), x on infimum aiista edellä mainituista luvuista M, siis f := inf{ M : mitta µ({ x : f(x) > M }) = 0 }. Kuten tapausessa 1 p < samaistamme taas f g, jos f(x) ja g(x) poieavat enintään 0-mittaisessa jouossa. Meritään L = L () = {[f] : f oleellisesti rajoitettu K}, missä siis [f] = {g : g f, g on oleellisesti rajoitettu } on vastaava evivalenssiluoa. Kuten edellä, tulemme säännöllisesti äyttämään merintää f L, un taraan ottaen taroitetaan, että f:n määräämä luoa [f] L.

19 46 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Lause. (L, ) on Banachin avaruus. Todistus. Taas tarvitaan hieman Mittateorian tietoja, ja sisi ne luijat jota eivät ole Reaalianalyysia seuranneet, voivat ottaa tulosen annettuna. Selvyyden vuosi annamme uitenin tässä todistusen ysityisohdat. 1) jos f L (on mitallinen edustaja K), niin f(x) f m.. x, sillä subadditiivisuuden nojalla µ({x : f(x) > f }) = µ( {x : f(x) > f + 1/n}) µ({x : f(x) > f + 1/n}) = 0. 2) L on vetoriavaruus ja on normi: Kosa f(x) f ja g(x) g m.. x, saadaan f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g m.. x f + g f + g (Selvitä itsellesi misi af = a f aiilla f L! ) 3) L on täydellinen: Oloon (f n ) Cauchyn jono avaruudessa L. Lauseen 3.3 sivulla 29 nojalla jono on rajoitettu eli f n M < aiilla n N. Kiinnitetään mitalliset edustajat f n : K aiilla n = 1, 2,... Oloon A ja B n,m ne jouon osajouot, joissa f (x) > f ja f n (x) f m (x) > f n f m. Kohdan (1) nojalla jouot A ja B n,m ovat 0-mittaisia. Asetetaan ( ) ( ) E = A B n,m N Tällöin mitan subadditiivisuuden perusteella n,m N µ(e) µ(a ) + n,m µ(b n,m ) = 0. Oloon ε > 0. Kosa jono (f n ) on Cauchyn jono, löytyy sellainen n ε N, että f n f m < ε unhan n, m n ε. Kun x \ E, niin f n (x) f m (x) f n f m < ε unhan n, m n ε, joten (f n (x)) on Cauchyn jono avaruudessa K. Siispä K:n täydellisyyden nojalla on olemassa raja-arvo f(x) := limf n (x) joaisella x \ E. Asetetaan f(x) = 0, un x E. Tällöin f on maitallinen uvaus, ja osa f n (x) f n M

20 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 47 aiilla x \ E, niin f L. Samoin on voimassa f(x) f n (x) = lim f m(x) f n (x) lim sup f m f n ε, m m un n n ε ja x \ E. Kosa µ(e) = 0, niin tästä seuraa, että lim f f n = 0. n Huomautus. Yleisimmin määritellään (vastaavalla tavalla uin L -avaruus) Banachin avaruus L p (, Σ, µ) un (, Σ, µ) on (täydellinen) mitta-avaruus ja 1 p (vrt. Reaalianalyysi I, ). Tässä Σ on σ-algebra jouossa ja µ : Σ [0, ] on positiivinen mitta. Ylimääräinen huomautus (ei luennoilla): Avaruuden L täydellisyys voidaan todistaa myös äyttäen edellä uvattua teijäavaruuden strutuuria. Nimittäin, jos M on avaruuden X vetorialiavaruus niin yhtälöiden (3.28) avulla määriteltiin uusi vetoriavaruus X/M. Jos nyt X on normiavaruus ja M sen suljettu vetorialiavaruus, saadaan X/M:stä normiavaruus asettamalla x+m X/M = inf{ x+m : m M} = inf{ x m : m M} = dist(x, M) Helposti nähdään että x + M X/M on normi: Joaisella m 1, m 2 M x + y + M X/M x + y + m 1 + m 2 x + m 1 + y + m 2 ja ottamalla inf yli vetoreiden m 1, m 2, saadaan x + y + M X/M x + M X/M + y + M X/M Samalla tavalla nähdään, että ax + M X/M = a x+m X/M. Lisäsi, ylläolevasta seuraa, että x + M X/M = 0 dist(x, M) = 0 x M = M, eli x + M = 0 + M, avaruuden X/M nolla-alio. Lisäsi, harjoitusissa näytetään, että jos X on Banach avaruus ja M X on suljettu v.a.a, niin silloin X/M on Banach avaruus. Valitsemalla nyt X = {f : K rajoitettu ja mitallinen} B(, K) havaitaan mittateorian avulla, että X on suljettu B(, K):ssa, ja siis Banach avaruus. Jos M = {f X : f(x) = 0 m.. x }, niin silloin voidaan samaistaa L = X/M. (Väitteen ysityisohdat jätetään ylimääräisesi harjoitustehtäväsi. Huomaa, että samaistusessa pitää valita aliolle f L rajoitettu edustaja g : K, g f, jolle esimerisi g(x) f aiilla x. ) Harjoitus 4/Tehtävä 5 ertoo nyt että L on Banach avaruus.

21 48 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Banachin iintopistelause (epälineaarinen FA) Seuraava täydellisyyden aspeti on osoittautunut hyödyllisesi ja monipuolisesi työalusi monissa eri funtionaalianalyysin sovellusissa Määritelmä. Oloon E Banach-avaruus ja D E osajouo (D ). Kuvaus T : D E on ontratio D:ssä, jos T(x) T(y) x y aiillax, y D Kuvaus T : D E on aito ontratio jos on olemassa sellainen vaio 0 < 1, että T(x) T(y) x y aiillax, y D Joainen ontratio T : D E on tasaisesti jatuva D:ssä. Piste x D on uvausen T : D E iintopiste, jos T(x) = x. (Huomaa, että ontration ei tarvitse olla lineaarinen uvaus.) Huomautus. Oloon (X, d) metrinen avaruus ja D X osajouo. Vastaavalla tavalla määritellään (aito) ontratio T : D X ja sen iintopiste Lause (Banachin iintopistelause, 1922). Oloon E Banachin avaruus ja D E suljettu osajouo ja T : D D aito ontratio. Tällöin uvausella T on ysiäsitteinen iintopiste x D (eli T(x) = x). Todistus. Jos x 0 D on mielivaltainen, asetetaan reursiivisesti x 1 = T(x 0 ), x n+1 = T(x n ), un n = 1, 2... Meritään α n = x n+1 x n (n N). Tällöin (3.37) α n = x n+1 x n = T(x n ) T(x n 1 ) x n x n 1 = T(x n 1 ) T(x n 2 ) 2 x n 1 x n 2... n x 1 x 0 = n α 0, un n N. Kolmioepäyhtälöä, arviota (3.37) ja geometrisen sarjan summaaavaa äyttämällä saadaan aiilla p = 1, 2,... ja n N arvio (3.38) x n+p x n n+p 1 j=n x j+1 x j = j=0 n+p 1 j=0 j=n α j n+p 1 j=n j α 0 p 1 = α 0 n j α 0 n j = α 0 n 1 0,

22 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 49 un n. Siis (x n ) E on Cauchyn jono. Kosa E Banachin avaruus, niin on olemassa lim n x n = x E. Kosa x n = T(x n 1 ) D aiilla n = 1, 2,..., niin x = lim n x n D = D, osa D on suljettu. Kosa edelleen oletettiin, että T jatuva, niin T(x) = T( lim n x n ) = lim n T(x n ) = lim n x n+1 = x, eli x on iintopiste. Osoitetaan vielä, että x on ysiäsitteinen. Oloon y D toinen iintopiste uvauselle T eli T(y) = y. Tällöin x y = T(x) T(y) x y jollain 0 < 1, sillä T on aito ontratio. Siispä ainoa mahdollisuus on, että x y = 0 eli x = y. Huomautus. Yllä olevassa todistusessa iintopiste x löytyi iteroimalla: x = lim T(x n ), missä x n = T(x n 1 ) =... = T... T n }{{}(x 0 ), missä x 0 D oli jopa mielivaltainen. Lisäsi epäyhtälöstä (3.38) saadaan virhearvio (antamalla p ): (3.39) x T n (x 0 ) n 1 T(x 0) x 0 aiilla n N. Seuraavasi tarastellaan parilla esimerillä uina Banachin iintopistelausetta voidaan soveltaa. Sovellusohteita on itse asiassa luematon määrä, aina yhden muuttujan numeriiasta esim. frataaligeometriaan asti. Sovellusissa on tietysti löydettävä uhunin ongelmaan sopiva Banachin avaruus ja vastaava ontratiouvaus Esimeri. Johdantoluvussa [ vrt. (0.2) ] lupasimme rataista integraaliyhtälön (3.41) f(x) λ 1 0 npl K(x, s)f(s)ds = g(x), x [0, 1], ainain un parametri λ on pieni. Nyt meillä on oossa tässä tapausessa tarvittavat rataisun elementit: Annetuista funtioista g : [0, 1] R ja K : [0, 1] [0, 1] R oletettiin että ne ovat jatuvia. Sisi on luontevaa valita alla olevasi Banach avaruudesi

23 50 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI C(0, 1) sup-normilla varustettuna. Sopiva ontratiouvaus voidaan muodostaa monellain tavalla; niistä helpoin ja luonnollisin ehä (3.42) T : C(0, 1) C(0, 1), (Tf)(x) = g(x) + λ 1 0 K(x, s)f(s)ds sillä heti nähdään, että f on T:n iintopiste, T(f) = f, jos ja vain jos f rataisee yhtälön (3.41). Esimerin 2.31 tulosista seuraa, että T : C(0, 1) C(0, 1) on jatuva uvaus. Saman Esimerin menetelmillä voimme myös taremmin selvittää milloin T on aito ontratio. Nimittäin 1 Tf Th = sup λ K(x, s) (f(s) h(s))ds x [0,1] 0 λ K f h missä K = sup{ K(x, s) : x, s [0, 1] }. Havaitaan siis että T on aito ontratio jos λ on niin pieni, että λ < 1/ K. Banachin iintopistelauseesta seuraa nyt että miäli λ < 1/ K, on uvausella T iintopiste ja siten yhtälöllä (3.41) rataisu f C(0, 1); lisäsi f on ysiäsitteinen. (Tässä sovellusessa D = C(0, 1).) Banachin iintopistelause on varsin vahva, sillä se antaa myös nopean algoritmin integraaliyhtälön rataisun f onstruoimisesi (esim. numeerisesti): Lauseen jäleisen huomautusen muaan f = lim n g n missä g 2 (x) = g(x) + λ g 0 (x) = g(x), 1 0 g 1 (x) = g(x) + λ 1 0 K(x, s)g(s)ds, 1 ( 1 K(x, s)g(s)ds + λ 2 K(x, t) 0 0 ) K(t, s)g(s)ds dt, ja niin edelleen. Lisäsi, arvion (3.39) muaan jonon (g n ) suppeneminen on esponentiaalista. Ainoa pulma Banachin iintopistelauseessa on että se toimii vain (aidoille) ontratioille. Erityisesti, herää ysymys: miten yhtälöt (3.41) äyttäytyvät yleisillä parametreilla λ?! Seuraava esimeri näyttää, että yllä λ:n pienuus oli olennaista; yleisten parametrien tapaus on siis paljon monimutaisempi Esimeri. Valitaan integraaliyhtälön (3.41) ytimesi K(x, s) = xs, 0 x, s 1, seä oloon annettu funtio g(x) 1. Silloin yhtälö (3.41) saa muodon (3.44) f(x) λ x 1 0 sf(s)ds = 1, x [0, 1]

24 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 Kosa K = sup x,s [0,1] K(x, s) = 1, yhtälöllä on iintopistelauseen nojalla rataisu ainain un λ < 1. Lisäsi uten yllä, rataisun voi löytää iteroimalla operaattoria Th = 1 + λ 1 xsh(s)ds; iteroinnissa huomataan että 0 rataisun voi ehittää potenssisarjana λ:n suhteen. Valitussa erioistapausessamme potenssisarjan voi jopa esittää suljetussa muodossa (Ylimääräinen HT: Määrää o. sarja ja sen summa). Toisaalta, tapausessa K(x, s) = x s yhtälön voi myös rataista suoraan: Havaitaan nimittäin, että joainen (3.44):n rataisu on muotoa f(x) = 1 + Cx jollain vaiolla C (Misi?). Sijoittamalla nähdään että (3.44):n anssa on yhtäpitävää (3.45) 1 + Cx λ x 1 0 s(1 + Cs)ds = 1, x [0, 1]. Integroinnin jäleen (Tee se!) tämä identiteetti saa muodon C λ(1/2+c/3) = 0. Siten C = 3 λ 3λ x ja f(x) = λ 6 2λ Integraaliyhtälö siis rateaa aina un λ 3. Kun λ = 3 rataisua ei olemassa, millään vaiolla C. Ylläolevassa löysimme tasan yhden poieusarvon λ. Esimeriä muoaamalla voit helposti löytää ytimiä, joilla on 2, 3 tai useampia poieusarvoja. Kun seuraavassa luvussa olemme raentaneet Hilbertavaruusien perusteorian, tulemme osoittamaan vielä enemmän: Esimeri. (ei luennoilla) Oloon (3.47) K(x, s) = 1 3 e2πi(x s), x,s [0, 1] [Huom: Eulerin identiteettiä e ix = cos x + i sin x äyttäen yo. ytimen voi irjoittaa myös trigonometristen funtioiden avulla.] Tällöin: Jos λ 3 n, n = 1, 2,..., yhtälö (3.41) rateaa aiilla g C(0, 1). Toisaalta, jos λ = 3 n jollain n, ei rataisua aiilla funtioilla g löydy! Väitteen todistus seuraa nopeasti Fourier-sarjojen ominaisuusista, ja jätämme sen sisi luuun 4. Huomaa, että tässäin esimerissä poieusarvojen jouo jää disreetisi.

25 52 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Katsotaan lopusi vielä ysi (hyvin!) erilainen esimeri Banachin iintopistelauseen soveltamisesta; tämä esimerin luonne on yleissivistävä, eiä uulu varsinaiseen urssisisältöön; sivuutamme sisi osan todistusista. Muistetaan että Banachin iintopistelause on yleispätevä periaate, jota voidaan äyttää myös täydellisissä metrisissä avaruusissa (oleellisesti samalla todistusella). Konstruoidaan nyt sen avulla Kochin lumihiutaleäyrä! Esimeri. Oloon X = { A R 2 : A ompati 4 osajouo, A }. Jos A, B X, asetamme d H (A, B) = max{sup dist(x, B), sup dist(y, A)}, x A y B missä etäisyys dist(x, B) pisteestä x jouoon A määritellään dist(x, B) = inf{ x b : b B } un normina on eulidinen normi tasossa R 2. Tällöin d H on metriia jouoperheessä X ja tätä metriiaa sanotaan Hausdorffin metriiasi. Lisäsi (X, d H ) on täydellinen (perustuu ompatisuuteen, sivuutetaan ysityisohdat; HT). Oloot f j : R 2 R 2, 1 j n, aitoja ontratioita ja j < 1 vastaavat ontratiovaiot. Tällöin ( ) = max j=1,...,n j < 1, jolloin siis f j (x) f j (y) x y aiilla x, y R 2 ja j = 1, 2,...,n. Asetetaan n Φ(A) = f j (A), j=1 un A X eli un A R 2 on ompati osajouo. Kosa ompatien jouojen äärellinen yhdiste on ompati (Topologia I) on Φ(A) = n f j (A) j=1 ompati aiilla A X. Siis Φ(A) on uvaus X X. Väite. Φ on aito ontratio (X, d H ) (X, d H ) Todistus. Oloot A, B R 2 ompateja. Jos n z Φ(A) = f j (A), j=1 4 Heine-Borel: A R 2 ompati A suljettu ja rajoitettu

26 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 53 niin z = f l (x) joillain x A ja l {1,...,n}. Oloon y B m.v. Tällöin f l (y) f l (B) Φ(B), joten dist(z, Φ(B)) f l (x) f l (y) x y missä < 1 ehdon ( ) nojalla. Siis ottamalla infimum muuttujan y B suhteen saadaan, että Kosa z Φ(A) mielivaltainen, on sup z Φ(A) Symmetrian perusteella pätee: dist(z, Φ(B)) dist(x, B). dist(z, Φ(B)) sup dist(x, B) x A Siispä sup z Φ(B) dist(z, Φ(A)) sup dist(y, A) y B d H (Φ(A), Φ(B)) d H (A, B) un A, B X, joten Φ on aito ontratio. Nyt Banachin iintopistelauseen metrisen version nojalla uvausella Φ on ysiäsitteinen iintopiste A X eli on olemassa ompati osajouo A R 2, jolle n A = Φ(A) = f j (A). Lisäsi A = lim n Φ n (B), missä suppeneminen tapahtuu metriian d H suhteen, lähtien mistä tahansa jouosta B X. j=1 Valitaan esimerisi ontratiot f j similariteeteisi eli f j (x) = r j O j (x) + b j, j = 1,...,n missä 0 < r j < 1, b j R 2 ja O j : R 2 R 2 join tason ierto origon ympäri. Tällöin saadaan auniita esimerejä frataaleista jouoista. Valitaan vaiapa similaariteetit f 1,...,f 4 : R 2 R 2 siten, että ne uvaavat ysiöjanan I = [0, 1] R 2 uten seuraavassa uvassa. f 2 (I) f 3 (I) f 1 (I) f 4 (I) Nämä similariteetit määräävät uvausen Φ uten yllä. Miä on tällöin vastaava (ysiäsitteinen) invariantti jouo A, jolle Φ(A) = A?!

27 54 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Banachin iintopistelauseen todistusesta tiedämme, että iintopiste A saadaan iteroimalla uvausta Φ (esim. lähtien jouosta I X ). Nyt Φ 2 (I) = Φ(Φ(I)) näyttää tältä: Rajalla A = lim n Φ n (I) saa seuraavan muodon (Kochin lumihiutaleäyrä): tähän tulee uva!! Edellä oleva Banachin iintopistelauseen sovellus on peräisin J. E. Hutchinsonilta vuodelta 1981.