3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus
|
|
- Petteri Heikkilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella: reaaliluujono x n suppenee joss (x n ) on Cauchyn jono. Tätä reaaliluujen jouon R ominaisuutta sanotaan täydellisyydesi. Toisena esimerinä mainitaan avaruus varustettuna seminormilla E = { f : [0, 1] R : f on Riemann-integroituva } f 1 = 1 0 f(t) dt, f E. Avaruus (E, 1 ) ei ole täydellinen (todistus sivuutetaan); tämä puute oli eräs eseisistä syistä Lebesgue integraalin äyttöönottoon ja ehittämiseen. Yleisemmällä tasolla, (esim. differentiaali)yhtälöitä rataistaan tyypillisesti haemalla approsimatiivisia rataisuja, ja lähes säännöllisesti funtioavaruusilta vaaditaan täydellisyyttä, jotta approsimatiivisille rataisuille löydetään join rajafuntio Määritelmä. Normiavaruuden (E, 1 ) jono (x n ) n on Cauchyn jono, jos joaista ε > 0 vastaa sellainen luu m ε N, että aina un m ε ja j m ε. x x j < ε Huomautus. Kun tarastellaan jonon (x n ) n määräämiä jouoja A m = { x n : n m }, missä m = 1, 2,... ja huomataan näiden halaisijoitten diam(a) = sup x,y A x y avulla, että: (x n ) on Cauchyn jono lim m diam(a m ) = 0. Seuraavat olme lausetta ertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet Lause. Normiavaruuden E suppeneva jono (x n ) on aina Cauchyn jono. Todistus. Oloon lim x n sellainen m ε N, että = y eli lim x n y = 0. Jos ε > 0, on olemassa x n y < ε 2 aiilla n m ε. Siis un j, m ε, niin x x j ey x y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε. Toisaalta, 3.3. Lause. Normiavaruuden E Cauchy jono (x n ) on rajoitettu.
2 26 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Todistus. Oloon (x n ) E Cauchy jono ja A m = { x n : n m }. Kosa (x n ) on Cauchy jono, niin on olemassa sellainen m 0 N, että diam(a m0 ) < 1. Jos y A m0, niin olmioepäyhtälön avulla saadaan y ey y x m0 + x m0 < 1 + x m0. Siispä täyden jonon vetoreille saamme arvion sup x n max{ x 1, x 2,..., x m0 1, 1 + x m0 } <. n Lopusi hyödyllinen riittävä ehto Cauchyn jonon suppenemiselle Lause. Jos normiavaruuden E Cauchyn jonolla (x n ) on osajono, joa suppenee ohti vetoria y E, niin myös oo jonolle on lim x n = y. Todistus. Oloon ε > 0 mielivaltainen. Valitaan Cauchyn ehdosta sellainen m ε N, että x x j < ε 2 aiilla, j m ε. Jos (x nj ) on sellainen osajono, jolle lim j x nj = y, niin aiilla riittävän suurilla indeseillä j N on n j m ε ja x nj y < ε. Tällöin 2 x n y x n x nj + x nj y < ε 2 + ε 2 = ε aiilla n m ε. Siis lim x n = y. Alamme sitten tarastelemaan täydellisiä normiavaruusia Määritelmä. Normiavaruus (E, ) on täydellinen, jos avaruuden E joainen Cauchyn jono (x n ) suppenee avaruudessa E (siis on olemassa sellainen y E, että lim x n = y). Täydelliset normiavaruudet ovat funtioanalyysin eseinen tutimusohde ja työalu, joten näille on otettu äyttöön oma nimi (puolalaisen Stefan Banach in ( ) muaan, joa merittävällä tavalla ehitti alaa) Määritelmä. Täydellistä normiavaruutta (E, ) sanotaan Banachin avaruudesi (usein sanomme lyhyesti: E on Banachin avaruus). Selvitetään seuraavasi mitä edellisessä luvussa löydetyistä avaruusista ovat täydellisiä, ja erityisesti, uina äytännössä näytetään että annettu normiavaruus on täydellinen. Oloon siis ensin A jouo ja B(A, K) = B(A) := { x : A K : x rajoitettu uvaus },
3 varustettuna normilla FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 27 x = sup x(t), un x B(A, K) t A 3.7. Lause. (B(A, K), ) on Banachin avaruus. Todistus. Todistus perustuu salaariunnan K täydellisyyteen. Nimittäin, oloon (x n ) Cauchyn jono avaruudessa B(A, K) ja t A mielivaltainen. Kosa (3.8) x (t) x j (t) x x j < ε aiilla j, N, un indesit, j m ε ovat riittävän suuria, on salaarijono (x (t)) Cauchyn jono salaariunnassa K. Tällöin on siis olemassa raja-arvo lim x n (t) K, sillä metriset avaruudet K = R tai K = C ovat täydellisiä. Pitämällä t A muuttujana saadaan raja-arvosta uvaus y : A K, y(t) := lim n x n (t), t A. Lauseen väite seuraa osoittamalla seuraavat apuväiteet: (i) uvaus y B(A, K) eli y on rajoitettu uvaus, (ii) x n y 0, un n eli x n y avaruudessa B(A, K) Tätä varten, oloon ε > 0 mielivaltainen, ja äytetään arviota (3.8), joa pätee tasaisesti joaisella t A. Pidetään siinä m ε seä t A iinteinä, ja annetaan j. Silloin lim x (t) x j (t) = x (t) y(t), j osa yo. tarastelee vain salaariluuja x j (t). Epäyhtälön (3.8) säilyminen rajalla taaa, että (3.9) x (t) y(t) ε un t A ja m ε. Tästä saadaan ensinnäin että y(t) y(t) x (t) + x (t) ε + x un t A eli että y B(A, K). Toisesi (3.9) pätee tasaisesti, so. samalla ε joaisessa pisteessä t A, Saadaan siis x y = sup x (t) y(t) ε aiilla m ε t A Olemme näin näyttäneet, että lim x = y avaruudessa B(A, K), eli suppeneminen tapahtuu o. avaruuden normin suhteen. Ylläolevat argumentit yhdistäen nähdään että (B(A), ) on Banachin avaruus.
4 28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Seuraus. a) vetoriavaruus K n varustettuna metriialla on Banachin avaruus. b) (l, ) on Banachin avaruus. x = sup x i 1 i n Annetaan myös esimeri epätäydellisestä normiavaruudesta Esimeri. (l 1, ) ei ole täydellinen normiavaruus, un (x ) = sup x, (x ) l 1. Rataisu: Oloon x (n) = (1, 1 2, 1 3,... 1 n, 0, 0,...), un n N. Selvästi x(n) l 1 aiilla n N. Toisaalta aiilla n, p N pätee x (n) x (n+p) 1 = (0,..., 0, }{{},..., 1, 0, 0,...) n+1 n+p n pl 1 = sup n+1 j n+p j = 1 n aiilla p N, un n. Siispä (x (n) ) Cauchyn jono avaruudessa (l 1, ). Väite epätäydellisyydestä seuraa, un osoitetaan, että ei ole olemassa sellaista jonoa y = (y ) l 1, että lim n x(n) y = 0. Tehdään vastaoletus eli oletetaan, että löytyisi sellainen y = (y ) l 1, että x (n) y sup-normissa. Jonon (x (n) ) alioiden :nnet oordinaatit x (n) ovat muotoa x (n) 1 =, 1 n 0, > n. ja aiilla indeseillä N pätee un n. Sisi un = 1, 2,.... Toisaalta x (n) y x (n) y 0, =1 y = lim x (n) n = lim n 1 = 1, 1 =, eli y = ( ) 1 / l1, miä on ristiriidassa vastaoletusen anssa. Siis (l 1, ) on epätäydellinen.
5 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 29 Huomautus. Vastaavalla tavalla osoitetaan (Tee se!) että jos 1 p < q <, niin l p l q mutta (l p, q ) ei ole täydellinen. Huomautus. Polynomien muodostama normiavaruus varustettuna sup-normilla P = { p: [0, 1] R : p polynomi } p = sup p(t) t [0,1] ei ole täydellinen. Samoin, jos P varustetaan luvun 2 Esimerin 2.11 ohdassa (2) annetuilla normeilla, osoittautuu että P:stä ei tule täydellistä. Epätäydellisyyden todistus on samantapainen uin edellisessä Esimerissä (vrt. Harjoituset). Seuraavan tulosen avulla saadaan lisää esimerejä Banachin avaruusista Lause. Oloon E Banachin avaruus ja M E suljettu aliavaruus. Tällöin M on täydellinen eli Banachin avaruus, avaruuden E indusoimassa normissa. Todistus. Jos (x n ) M on Cauchyn jono avaruudessa M, niin (x n ) on myös avaruuden E Cauchyn jono. Kosa E täydellinen, niin on olemassa sellainen raja-alio y E, että lim x n = y. Kosa M on suljettu ja x n M aiilla n, niin raja y M, joten M on täydellinen. Edellinen tulos pätee myös äänteiseen suuntaan: Lause. Normiavaruuden E täydellinen aliavaruus M on suljettu avaruudessa E. Todistus. Oloon z M mielivaltainen. Tällöin löytyy sellainen jono (x n ) M, että x n M aiilla n = 1, 2,... ja lim x n = z. Tällöin (x n ) n=0 on Cauchyn jono avaruudessa E Lauseen 3.2 nojalla ja siten myös avaruudessa M, joten avaruuden M täydellisyyden nojalla lim x n = y M on olemassa. Raja-arvon ysiäsitteisyyden nojalla on oltava z = y M, joten siis M = M ja M on suljettu avaruudessa E Seuraus. Oloon M Banachin avaruuden E vetorialiavaruus. Tällöin M on täydellinen (eli Banachin avaruus) M on suljettu. Todistus. Seuraa välittömästi Lauseista 3.12 ja Käytämme seuraavasi näitä tietoja tutimaan jatuvien uvausten avaruusia.
6 30 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimeri. Oloon X topologinen avaruus, ja C(X) = C(X, K) := { f : X K : f jatuva avaruudessa X }. Jos f, g C(X) ja λ K, niin pisteittäinen summafuntio f + g C(X) ja λf C(X) eli C(X) on vetoriavaruus. Meritään BC(X) = BC(X, K) := B(X, K) C(X), eli jatuvien ja rajoitettujen uvausten X K avaruus. Siis BC(X) on avaruuden B(X) on vetorialiavaruus. Kysymys. Ono BC(X) B(X) suljettu (normin suhteen)? Oloon t X iinteä, ja BC t (X) = { f B(X) : f on jatuva pisteessä t }. Huomautus. (Topo I) f : X K on jatuva pisteessä t X, jos joaista ε > 0 vastaa sellainen avoin ympäristö V, t V X, että f(u) f(t) < ε aiilla u V Lemma. BC t (X) on avaruuden B(X) suljettu vetorialiavaruus aiilla t X. Todistus. Oloon g B(X) sellainen funtio X K, että g sisältyy avaruuden BC t (X) suleumaan sup-normin suhteen. Oloon ε > 0 annettu. Tällöin on olemassa sellainen f BC t (X), että g f < ε. Kosa funtio f on 3 jatuva pisteessä t, niin löytyy sellainen avoin ympäristö t V X, että f(t) f(u) < ε 3 aiilla u V. Tällöin g(t) g(u) g(t) f(t) + f(t) f(u) + f(u) g(u) }{{}}{{} g f g f 2 g f }{{ + ε } 3 < ε < ε 3 aiilla u V. Siis g on jatuva pisteessä t, joten g BC t (X) ja siis BC t (X) on suljettu Lause. (BC(X), ) on Banachin avaruus. Todistus. Kosa f on jatuva avaruudessa X joss f on jatuva aiissa pisteissä t X, niin BC(X) = BC t (X), t X
7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 31 missä BC t (X) on suljettu aiilla t X Lemman 3.16 nojalla. Siis BC(X) on suljettu aliavaruus avaruudessa B(X). Nyt väite seuraa Lauseista 3.7 ja Seuraus. Jos X on ompati topologinen avaruus, niin (C(X), ) on Banachin avaruus. Erityisesti (C(0, 1), ) on Banachin avaruus. Todistus. Käytetään Topo I:n tulosta jona muaan ompatissa avaruudessa X joainen jatuva uvaus f : X K on rajoitettu, eli C(X) = BC(X). Esimerin 2.8 ohdassa (2) esiteltiin avaruuden l aliavaruudet c ja c 0. c := { x = (x n ) n=0 : x n K, lim x n on olemassa, un n }, c 0 := { x = (x n ) n=0 : x n K, lim x n = 0 } Lause. c ja c 0 ovat Banachin avaruusia. Todistus. 1) c 0 l on suljettu vetorialiavaruus (Harjoituset 1) 2) c l on suljettu: Oloon x = (x ) l sellainen jono, että x c. Kun ε > 0, niin löytyy sellainen jono y = (y ) c, että x y < ε 3. Kosa (y ) on suppeneva jono, niin erityisesti (y ) on salaariunnan K Cauchyn jono. Siis on olemassa sellainen m ε N, että aiilla j, m ε. Tällöin y j y < ε 3 x j x ey x j y j + y j y + y x < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε aiilla j, m ε. Kosa ε > 0 mielivaltainen, niin x = (x ) on myös salaariunnan K Cauchyn jono. Siispä (x ) suppenee, joten x c. Siis c = c on suljettu, joten Lauseen 3.12 nojalla c on Banachin avaruus. Huomautus. Oloon N = N { } ja varustetaan se topologialla τ, jona antana ovat jouot U = {n} ja V = { } { N : m }, missä n, m N.
8 32 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Saatu avaruus (N, τ) on N:n yhden pisteen ompatifiointi. Tällöin itse asiassa c = C(N). Siten Lause 3.19 seuraa myös Seurausesta Vetoriarvoisista sarjoista Oloon E normiavaruus ja (x ) jono avaruudessa E. Mietimme seuraavasi vastaavan vetorisarjan j=1 x j summautumista. Toisin sanoen, pätevätö tutut sarjateorian perusteet myös äärettömän dimension tapausessa? Sarjaa meritään tavallisesti symbolilla x tai x. Osasummille äytetään myös tuttuja merintöjä, n s n = x 1 + x x n = x j un n N. (s n E n.) j=1 Edelleen, alio x E on sarjan :s termi Määritelmä. Oloon x normiavaruuden E alioiden muodostama sarja. Miäli osasummien jono (s n ) suppenee ohti vetoria s E, eli lim s n s = 0, n sanotaan että sarja x suppenee ja sen summa on s; meritään tällöin s = x. =1 Sanotaan, että E:n sarja x on normisuppeneva (tai absoluuttisesti suppeneva), jos (R-terminen) sarja x suppenee Esimeri. Oloon e n = (0, 0,..., 0, 1 }{{}, 0,...) l 2, un n N. Sup- n:s peneeo sarja e nn l 2 :ssä? Rataisu: Oloon x = ( 1 n ) n. Nyt 1 n 2 <, joten x l 2. Tällöin e nn = x ja yseinen sarja suppenee, sillä sarjan m:s osasumma s m on m e n s m = n = (1, 1 2, 1 3,..., 1, 0, 0,...) m ja siis 1 x s m 2 = (0, 0,..., 0, }{{} m + 1, 1 ( m + 2,...) 2 = mpl j=m+1 1 j 2 ) 1/2 0,
9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 33 un m ; yseessä on suppenevan sarjan jäännöstermi. Kuitenaan sarja enn ei ole normisuppeneva avaruudessa l 2, sillä e n = n 2 1 n e n 2 = 1 n DI =. Täydellisyyden ja normisuppenevien sarjojen välillä on täreä yhteys: Lause. Normiavaruus E on Banachin avaruus jos ja vain jos joainen avaruuden E normisuppeneva sarja x suppenee avaruudessa E. Todistus. Oloon E Banachin avaruus ja x sarja. Jos n N, p N, niin avaruuden E normisuppeneva n+p s n+p s n = x j ey j=1 n+p j=n+1 n x j = x n x n+p j=1 x j j=n+1 x j 0 aiilla p N, un n. Siis (s n ) on Cauchyn jono avaruudessa E, joten se suppenee. Oletetaan, että avaruuden E joainen normisuppeneva sarja suppenee. Oloon (x n ) Cauchyn jono avaruudessa E. Lauseen 3.4 nojalla riittää löytää suppeneva osajono (x nj ). Konstruoidaan osajono (x nj ) indutiolla seuraavasti: Kosa (x n ) on Cauchyn jono, niin löytyy sellainen n 0 N, että x p x q < 1 2 aiilla p, q n 0. Oletetaan, että on jo valittu luvut n 0 < n 1 <... < n j ja valitaan seuraavasi n j+1. Kosa jono (x n ) on Cauchyn jono, niin edelleen löytyy sellainen n j+1 N, että n j+1 > n j ja x p x q < 1 2 j+2 aiilla p, q n j+1. Meritään nyt y 0 = x n0, y j = x nj x nj 1 un j = 1, 2,.... Tällöin y j = x nj x nj 1 < 1 2 j aiilla j = 1, 2,..., sillä n j > n j 1 ja valitsemalla p = n j ja q = n j 1 arvio seuraa.
10 34 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Siispä jono (y j ) on normisuppeneva, sillä y j < 2 (j+1) <. j j Oletusen nojalla sarja y j siis suppenee ja meritään sarjan summaa y = y j. j=0 Tarastellaan sitten sarjan y j osasummia. Havaitaan, että itse asiassa y j = x n0 + (x n1 x n0 ) + + (x n x n 1 ) = x n. j=0 Näin ollen jonon (x n ) osajono (x n ) suppenee ohti pistettä y E. Lauseen 3.4 nojalla siis myös jono (x n ) suppenee ohti pistettä y ja siis E on täydellinen. Lauseen 3.22 nojalla voidaan usein osoittaa avaruuden täydellisyys: näin on esimerisi reaaliluujen jouon R tapausessa. Oloon a itseisesti suppeneva sarja R:ssä. Meritään b = a a, un N. Tällöin 0 b 2 a, joten sarja b suppenee vertailuperiaatteen nojalla. Kosa a = a b, suppenee sarja a myös. Siis Lause 3.22 sanoo, että R on täydellinen. Normisuppenevien sarjojen avulla myös avaruusien l p täydellisyys saadaan ivuttomasti Lause. Joainen jonoavaruus l p on Banachin avaruus. Todistus. Oloon x (n) normisuppeneva sarja avaruudessa l p, siis x (n) p <. n=0 Jos vetori eli jono x (n) = (x (n) ), niin ( x (n) aiilla N, joten x (n) n=0 x (n) i i p ) 1 p = x (n) p <, ullain N. Siten salaariluujen sarja n x(n) suppenee, sillä K on täydellinen. Meritään y = x (n), N. n=0
11 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 35 Olemme näin löytäneet uuden luujonon (y ), ja väitämme että o. sarja suppenee ohti vetoria y. Oloon ε > 0. Normisuppenevuuden perusteella löytyy sellainen m N, että x (n) p ε. =0 n=0 n=m+1 Oloon i, r, s N, m r < s. Tällöin i r y x (n) i p s = lim s Mutta =0 s n=r+1 n=r+1 x (n) =0 p = n=0 s n=r+1 ( ) p x (n) p ε p. Kun s, niin tästä seuraa, että i y =0 x (n) r n=0 x (n) x (n) r n=0 x (n) p ( s p p ε p p lim s n=r+1 =0 ) p x (n) p aiilla i N ja r m. Antamalla siis i nähdään, että r y x (n) p p = r y p ε p, n=0 =0 n=0 x (n) s n=r+1 un r m. Siis jono (y m n=0 x(n) ) l p, joten Lauseen 2.20 sivulla 18 nojalla ja edelleen y = (y ) = ( y y m n=0 ) x (n) ( m + r x (n) p ε, n=0 n=0 ) x (n) l p un r m. Näin ollen sarja x (n) suppenee ja Lauseen 3.22 sivulla 33 nojalla l p on Banachin avaruus. x (n) p
12 36 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI L p -avaruudet Haluamme seuraavasi määritellä jonoavaruuden l p vastineet jatuvassa tapausessa, eli avaruudet joiden normit saadaan suureista ( ) 1/p f p := f(x) p µ( dx) Päädymme näin L p -avaruusien äsitteeseen. Tämän tarempi/syvällisempi teoria uuluu ursseihin Mitta- ja integraali seä Reaalianalyysi. L p -avaruudet ovat uitenin eseisiä esimerejä Funtionaalianalyysissä ja sen sovellusissa; lisäsi Hilbert-avaruusien (todellisesta) äytöstä ei saa unnon uvaa ilman L 2 -avaruusia. Käymme sisi alla L p -avaruusien perusideat lyhyesti läpi, niitä luijoita silmällä pitäen, jota eivät ole vielä suorittaneet yo. ursseja. Kesitymme nimenomaan ideoitten esittelyyn ja sivuutamme useiden väitteiden todistuset, jota jäävät Mittateorian ursseilla äsiteltävisi. Tämän urssin tarpeisiin riittää tarastella (Lebesgue-)mitallisia osajouoja R n, mutta mitä alla errotaan pätee myös yleisissä mitta-avaruusissa (, µ). Muotoa n f = a χ E =1 olevia funtioita utsutaan ysinertaisisi funtioisi; tässä a K, E on mitallinen jouo seä arateristinen funtio χ E (x) = 1 jos x E ja χ E (x) = 0 un x / E. Ysinertaisen funtion integraali määritellään ysinertaisesti n f dµ = f(x)dµ(x) = a µ(e ) [Muista myös: m.. melein aiialla, so. nollamittaisen jouon ulopuolella.] Jos 0 f on mitallinen funtio, löytyy jono ysinertaisia funtioita f n niin että 0 f n f n+1 f ja f(x) = lim n f n (x) melein aiialla. Itse asiassa funtio on mitallinen jos ja vain jos se on ysinertaisten funtioiden pisteittäinen raja m.. x. Asetetaan (3.24) f dµ = lim f n dµ, n missä f n :nien integraalit muodostavat asvavan luujonon, ja siten yo. rajaarvo on olemassa. Mittateoriassa näytettään että (3.24):n raja-arvo on approsimoivan jonon {f n } valinnasta riippumaton. Mutta voi hyvin olla että (3.24):n raja-arvo ja siis f:n integraali on! Tämän pulman välttämisesi, yleiselle mitalliselle funtiolle f sanotaan että se on integroituva, miäli f dµ <. =1
13 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 37 Jos nyt f : R on integroituva, funtion positiivinen osa f + = max{f(x), 0} ja negatiivinen osa f (x) = max{ f(x), 0} ovat integroituvia, ja voimme asettaa fdµ = f + dµ f dµ Komplesiarvoiselle funtiolle f = u+iv asetetaan fdµ = udµ+i vdµ. Mittateoriassa osoitetaan, että jos f on Riemann integroituva (erityisesti, jos f on jatuva!), silloin nyt määritelty integraali on täsmälleen sama uin tuttu Riemann integraali!! Oloon sitten 1 p <, R n mitallinen jouo ja µ() > 0, missä µ on Lebesguen mitta avaruudessa R n. Määrittelemme alusi jouon L (p) () = L (p) niiden mitallisten funtioiden f : K jouona, joille ( 1/p f p := f(x) p µ( dx)) <. Jotta L (p) olisi vetoriavaruus, on näytettävä, että p on seminormi avaruudessa L (p). Tähän tarvitaan (uten l p -avaruusien tapausessa) Hölderin epäyhtälöä Lemma (Hölderin epäyhtälö). Jos f L (p) ja g L (q), un = 1, p q p > 1, niin tällöin tulo fg L (1) ja fg 1 f p g q eli ( ) 1 ( ) 1 (fg)(x) dµ(x) f(x) p p dµ(x) g(x) q q dµ(x) Todistus. Jos f p = 0, niin f(x) = 0 m.. x, jolloin myös tulo (fg)(x) = 0 m.. x ja siis fg dµ = 0. Samoin pätee, jos g q = 0. Näissä tapausissa väite on ilmeinen. Voidaan siis olettaa, että f p g q > 0. Sovelletaan Lemmaa 2.14 sivulla 14 muuttujat asettamalla mistä seuraa epäyhtälö a = f(x) f p ja b = g(x) g q, (fg)(x) 1 f(x) p f p g q p f p + 1 p q g(x) q g q. q Integroimalla tämä puolittain muuttujan x suhteen saadaan f 1 p g 1 q fg dµ 1 p f p p f(x) p dµ + 1 q g q q = 1 p + 1 q = 1. g(x) q dµ
14 38 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Seuraus (Minowsin epäyhtälö). Jos f, g L p ja p 1, niin f + g p f p + g p. Todistus. HT. Kosa selvästi λf p = λ f p, niin L (p) on tämän ja Minowsin epäyhtälön nojalla K-ertoiminen vetoriavaruus. Mutta avaruudessa L (p) on se pulma, että p ei ole normi: f(x) = 0 m.. x f p = 0! ( f p on vain seminormi). Pulmasta selvitäsemme, samaistamme aii ne funtiot, jota ovat samoja m.. x. Seuraava esimeri antaa mieliuvan mitä tämä samaistaminen äytännössä meritsee. Integroidaan vaiapa seuraava funtio välillä [0, 1], f(x) = x, un 0 x < 1/2 ja f(x) = 3, un 1/2 x 1 Voisimme myös asettaa (Piirrä funtioiden uvaajat!) f(x) = 1, un 0 x 1/2 ja f(x) = 3, un 1/2 < x 1 osa ei ole mitään luonnollista tapaa valita f:n arvoa epäjatuvuuspisteessä x = 1/2; selvästi molemmat valinnat ovat yhtä hyviä, ja integroinnin annalta molemmat valinnat tuottavat saman tulosen. Onin sisi järevää samaistaa nämä funtiot! Yleisemmin, annetulla funtiolla voi olla paljon enemmän epäjatuvuus- (tai epämääräisyys )pisteitä, joten saman filosofian muaan on järevää samaistaa funtiot f ja g, jos f(x) = g(x) nollamittaista x:ien jouoa luuunottamatta. Täsmällistä määrittelyä varten sanotaan että funtiot f, g L (p) ovat evivalentit, mer. f g, jos f = g m.. x. Asetetaan myös [f] = {g L (p) : g f} Huomataan, että jos f g ja F G niin (f +F ) (g +G), eli evivalenssiluoat muodostavat vetoriavaruuden, [af + bg] = a[f] + b[g] (Selvitä itsellesi tämän ysityisohdat!). Määritellään nyt (3.27) L p () = {[f] : f L (p) ()} Huomataan että f p = g p aina un f g, ja [f] p := f p on siten hyvin määritelty. Edelleen, f p = 0 [f] = [0], eli avaruudessa L p () suure p on normi.
15 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 39 Käytännössä, pidämme (so. ohtelemme) L p ():n elementtejä funtioina. Myös, siisteissä tapausissa, esimerisi jos luoassa [f] on jatuva funtio, valitsemme sen luoan edustajasi, eiä tulinta f L p () tuota pulmia. Kuitenin, yleisessä tapausessa L p -funtion arvo ei pisteittäin hyvin määritelty. Jos tarvitsemme tiettyä arvoa f(x), joudumme valitsemaan luoasta [f] yhden edustajan; jos haluamme näin saada tietoa oo luoasta [f], meidän on tällöin huolehdittava siitä, että päättelyjen lopputulos (!) ei riipu edustajan f valinnasta. Toinen tapa määritellä L p () on tulita yo. onstrutio enemmän lineaarialgebrallisin onstein, äyttäen vetoriavaruuden teijäavaruusia. Taremmin, oloon X vetoriavaruus ja M sen aliavaruus. Kosa X on yhteenlasun suhteen Abelin ryhmä ja M sen aliryhmä, voimme muodostaa teijäryhmän X/M, jona alioina ovat jäännösluoat modulo Y, x + M, x X. (Tässä x + M määritelty jouona, uten Luvussa 2) Asetetaan yhteenlasu ja salaarilla ertominen luonnollisilla aavoilla (3.28) (x + M) + (y + M) = (x + y) + M (3.29) λ(x + M) = λx + M ja näin saadaan teijäryhmästä X/M vetorialiavaruus. 3 Oloon nyt M avaruuden L (p) vetorialiavaruus, joa oostuu niistä funtioista f, joille pätee f(x) = 0 m.. x Määritelmä. Avaruus L p = L p () on teijäavaruus L (p) /M. Jos f L (p) on yleensä tapana meritä funtion f määräämää teijäavaruuden L p aliota eli luoaa f +M myös symbolilla f! Tässä on siis vain pidettävä mielessä, että jos asi avaruuteen L (p) uuluvaa funtiota poieaa toisistaa enintään 0-mittaisessa jouossa, ne ovat avaruuden L p alioina samoja. Kuten edellä todettiin, f p on sama aiille funtioille f L (p), jota poieavat toisistaan enintään 0-mittaisessa jouossa, joten lausee f p on hyvin määritelty myös aiille f L p. Seuraava tulos on eseinen Funtionaalianalyyttisiä sovellusia silmälläpitäen Lause. p on normi avaruudessa L p. Tällä normilla varustettena L p on Banachin avaruus. 3 Taremmin tätä ideaa selvitetään urssilla Lineaarialgebra II.
16 40 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Todistus. Ensimmäinen väite seuraa yo. esustelusta (Huomaa, että Hölderin ja Minowsin epäyhtälöt pätevät myös avaruudessa L p ; Misi?). L p -avaruusien täydellisyys uuluu oieastaan Reaalianalyysin urssin materiaaliin, sillä päättely tarvitsee muutaman perustulosen Lebesgue-integroinnista. Sisi ne luijat, jota eivät ole vielä Reaalianalysiä suorittaneet, voivat ottaa tulosen annettuna; todistusen argumentteja ei tarvita muualla tässä urssissa. Luonnostelemme alla uitenin täydellisyystodistusen pääpiirteet, jotta Mittateoriaan perehtymätönin luija saa mieliuvan miten mitallisten funtioiden anssa operoidaan. Täydellisyysagumentti on itse asiassa analoginen l p avaruusien tapausen anssa. L p -avaruusien täydellisyyttä varten tarvitaan seuraava Mitta ja integraalin tulos: Lemma (Fatoun Lemma). Jos f n : [0, ] on mitallinen aiilla n N, niin lim inf f n(x) dµ lim inf f n (x) dµ. n n Todistus. Oloon g (x) = inf n f n (x). Silloin g on mitallinen, g f, 0 g 1 g 2... seä lim g (x) = lim inf f n(x). n Kosa {g } on asvava funtiojono, Monotonisen suppenemisen lauseen muaan lim g dµ = lim g dµ. Erityisesti, lim inf f n(x) dµ = lim g j (x) dµ lim inf f (x) dµ. n Lauseen 3.31 todistus jatuu. Oloon f n normisuppeneva sarja avaruudessa L p ja f n p M <. Lauseen 3.22 sivulla 33 nojalla riittää osoittaa, että fn suppenee. Voimme valita edustajan f n L (p) joaisella n N ja riittää siis löytää sellainen f L (p), jolle Jos meritään niin g p = lim g (x) = f n f = 0. p f n (x), x, f n p f n p M.
17 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 41 Monotonisen suppenemisen lauseen nojalla ( p ( p f n ) dµ = lim f n ) dµ = lim g p p M p <. Siis g := f n (x) L (p) ja edelleen tästä seuraa, että g(x) < m.. x ja näillä x f(x) := f n (x) suppenee avaruudessa K. Asetetaan f(x) = 0, jos g(x) =, jolloin f(x) g(x) ja f L (p). Lisäsi Fatoun lemman nojalla p j p f f n dµ = lim f n f n dµ j lim inf j j f n p f n dµ Otetaan nyt p:nnet juuret puolittain saadusta epäyhtälöstä, jolloin päädytään p j p j f f n = lim inf f n lim inf f n p = f n p 0, j j n=+1 n=+1 n=+1 un. Siispä joainen avaruuden L p normisuppeneva sarja suppenee, joten L p on täydellinen eli L p on Banachin avaruus. Yllä oletettiin, että 1 p <. Tapaus p = on itse asiassa helpompi. Kosa tapausissa 1 p < samaistimme funtiot, jota poieavat enintään 0-mittaisessa jouossa, haetaan nyt tälle vastine un p =. Päädymme seuraavaan äsitteeseen: Määritelmä. Mitallinen funtio f : K on oleellisesti rajoitettu, jos on olemassa 0 M <, jolle f(x) M aiilla x jonin 0-mittaisen jouon ulopuolella. Oleellinen supremum eli f := ess sup f(x), x on infimum aiista edellä mainituista luvuista M, siis f := inf{ M : jouon { x : f(x) > M } mitta = 0 }. Kuten tapausessa 1 p < samaistamme taas f g, jos f(x) ja g(x) poieavat enintään 0-mittaisessa jouossa. Meritään avaruudella L jouoa, jona muodostavat aii oleellisesti rajoitettujen funtioiden evivalenssiluoat [f]. Kuten edellä, tulemme säännöllisesti äyttämään merintää f L, un taraan ottaen taroitetaan, että f:n määräämä luoa [f] L.
18 42 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Lause. (L, ) on Banachin avaruus. Todistus. Taas tarvitaan hieman Mittateorian tietoja, ja sisi ne luijat jota eivät ole Reaalianalyysia suorittaneet, voivat ottaa tulosen annettuna. Selvyyden vuosi annamme uitenin tässä todistusen ysityisohdat. 1) f(x) f m.. x, sillä µ({x : f(x) > f }) µ({x : f(x) > f + 1/n}) = 0 2) L on vetoriavaruus ja on normi: Kosa f(x) f ja g(x) g m.. x, saadaan f + g f + g f + g m.. x f + g f + g (Selvitä itsellesi misi af = a f aiilla f L! ) 3) L on täydellinen: Oloon (f n ) Cauchyn jono avaruudessa L. Lauseen 3.3 sivulla 25 nojalla jono on rajoitettu eli f n M < aiilla n N. Oloon A ja B n,m ne jouon osajouot, joissa f (x) < f ja f n (x) f m (x) < f n f m. Oleellisen supremumin määritelmän nojalla jouot A ja B n,m ovat 0-mittaisia. Asetetaan ( ) ( ) E = A B n,m Tällöin n,m µ(e) µ(a ) + µ(b n,m ) = 0. n,m Oloon ε > 0. Kosa jono (f n ) on Cauchyn jono, löytyy sellainen n e N, että f n f m < ε unhan n, m n ε. Kun x \ E, niin f n (x) f m (x) f n f m < ε unhan n, m n ε, joten (f n (x)) on Cauchyn jono avaruudessa K. Siispä on olemassa raja-arvo f(x) := lim f n (x) joaisella x \ E. Asetetaan f(x) = 0, un x E. Kosa f n (x) f n M aiilla x \ E, niin f L. Samoin on voimassa f(x) f n (x) = lim f m(x) f n (x) lim sup f m f n ε, m m
19 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 43 un n n ε. Kosa µ(e) = 0, niin tästä seuraa, että lim f f n = 0. n Huomautus. Yleisimmin määritellään (vastaavalla tavalla uin L -avaruus) Banachin avaruus L p (, Σ, µ) un (, Σ, µ) on (täydellinen) mitta-avaruus ja 1 p (vrt. Reaalianalyysi I, ) Ylimääräinen huomautus: Avaruuden L täydellisyys voidaan todistaa myös äyttäen edellä uvattua teijäavaruuden strutuuria. Nimittäin, jos M on avaruuden X vetorialiavaruus niin yhtälöiden (3.28) avulla määriteltiin uusi vetoriavaruus X/M. Jos nyt X on normiavaruus ja M sen suljettu vetorialiavaruus, saadaan X/M:stä normiavaruus asettamalla x+m X/M = inf{ x+m : m M} = inf{ x m : m M} = dist(x, M) Helposti nähdään että x + M X/M on normi: Joaisella m 1, m 2 M x + y + M X/M x + y + m 1 + m 2 x + m 1 + y + m 2 ja ottamalla inf yli vetoreiden m 1, m 2, saadaan x + y + M X/M x + M X/M + y + M X/M Samalla tavalla nähdään, että ax + M X/M = a x + M X/M. Lisäsi, ylläolevasta seuraa, että x + M X/M = 0 dist(x, M) = 0 x M = M, eli x + M = 0 + M, avaruuden X/M nolla-alio. Lisäsi, harjoitusissa näytetään, että jos X on Banach avaruus ja M X on suljettu v.a.a, niin silloin X/M on Banach avaruus. Valitsemalla nyt X = {f : K rajoitettu ja mitallinen} B(, K) havaitaan mittateorian avulla, että X on suljettu B(, K):ssa, ja siis Banach avaruus. Jos M = {f X : f(x) = 0 m..x }, niin silloin voidaan samaistaa L = X/M (Väitteen ysityisohdat jätetään ylimääräisesi harjoitustehtäväsi) Harjoitus 4/Tehtävä 5 ertoo nyt että L on Banach avaruus.
20 44 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Banachin iintopistelause (epälineaarinen FA) Seuraava täydellisyyden aspeti on osoittautunut hyödyllisesi ja monipuolisesi työalusi monissa eri funtionaalianalyysin sovellusissa Määritelmä. Oloon E Banach-avaruus ja D E osajouo (D ). Kuvaus T : D E on ontratio D:ssä, jos T (x) T (y) x y aiilla x, y D Kuvaus T : D E on aito ontratio jos on olemassa sellainen vaio 0 < 1, että T (x) T (y) x y aiilla x, y D Joainen ontratio T : D E on tasaisesti jatuva D:ssä. Piste x D on uvausen T : D E iintopiste, jos T (x) = x. Huomaa, että ontration ei tarvitse olla lineaarinen uvaus. Huomautus. Oloon (X, d) metrinen avaruus ja D X osajouo. Vastaavalla tavalla määritellään (aito) ontratio T : D X ja sen iintopiste Lause (Banachin iintopistelause, 1922). Oloon E Banachin avaruus ja D E suljettu osajouo ja T : D D aito ontratio. Tällöin uvausella T on ysiäsitteinen iintopiste x D (eli T (x) = x). Todistus. Jos x 0 D on mielivaltainen, asetetaan reursiivisesti x 1 = T (x 0 ), x n+1 = T (x n ), un n = 1, 2... Meritään α n = x n+1 x n (n N). Tällöin (3.37) α n = x n+1 x n = T (x n ) T (x n 1 ) x n x n 1 = T (x n 1 ) T (x n 2 ) 2 x n 1 x n 2... n x 1 x 0 = n α 0, un n N. Kolmioepäyhtälöä, arviota (3.37) ja geometrisen sarjan summaaavaa äyttämällä saadaan aiilla p = 1, 2,..., n N arvio (3.38) x n+p x n n+p 1 j=n x j+1 x j = p 1 = α 0 n j α 0 n j=0 n+p 1 j=0 j=n α j n+p 1 j=n j α 0 j = α 0 n 1 0,
21 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 45 un n. Siis (x n ) E on Cauchyn jono. Kosa E Banachin avaruus, niin lim x n = x E. Kosa x n = T (x n 1 ) D aiilla n = 1, 2,..., niin x = lim n x n D = D, osa D on suljettu. Kosa edelleen oletettiin, että T jatuva, niin T (x) = T ( lim n x n ) = lim n T (x n ) = lim n x n+1 = x, eli x on iintopiste. Osoitetaan vielä, että x on ysiäsitteinen. Oloon y D toinen iintopiste uvauselle T eli T (y) = y. Tällöin x y = T (x) T (y) x y jollain 0 < 1, sillä T on aito ontratio. Siispä ainoa mahdollisuus on, että x y = 0 eli x = y. Huomautus. Yllä olevassa todistusessa iintopiste x löytyi iteroimalla: x = lim T (x n ), missä x n = T (x n 1 ) =... = T... T n }{{}(x 0 ), missä x 0 D oli jopa mielivaltainen. Lisäsi epäyhtälöstä (3.38) saadaan virhearvio (antamalla p ): (3.39) x T n (x 0 ) n 1 T (x 0) x 0 aiilla n N. Seuraavasi tarastellaan parilla esimerillä uina Banachin iintopistelausetta voidaan soveltaa. Sovellusohteita on itse asiassa luematon määrä, aina yhden muuttujan numeriiasta esim. frataaligeometriaan asti. Sovellusissa on tietysti löydettävä uhunin ongelmaan sopiva Banachin avaruus ja vastaava ontratiouvaus Esimeri. Johdantoluvussa [ vrt. (0.1) ] lupasimme rataista integraaliyhtälön (3.41) f(x) λ 1 0 n pl K(x, s)f(s)ds = g(x), x [0, 1], ainain un parametri λ on pieni. Nyt meillä on oossa tässä tapausessa tarvittavat rataisun elementit: Annetuista funtioista g : [0, 1] R ja K : [0, 1] [0, 1] R oletettiin että ne ovat jatuvia. Sisi on luontevaa valita alla olevasi Banach avaruudesi C(0, 1). Sopiva ontratiouvaus voidaan muodostaa monellain tavalla; niistä helpoin ja luonnollisin ehä (3.42) T : C(0, 1) C(0, 1), (T f)(x) = g(x) + λ 1 0 K(x, s)f(s)ds
22 46 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI sillä heti nähdään, että f on T :n iintopiste, T (f) = f, jos ja vain jos f rataisee yhtälön (3.41). Esimerin 2.27 tulosista seuraa, että T : C(0, 1) C(0, 1) on jatuva uvaus. Saman Esimerin menetelmillä voimme myös selvittää milloin T on aito ontratio. Nimittäin 1 T f T h = sup λ K(x, s) (f(s) h(s)) ds x [0,1] 0 λ K f h missä K = sup{ K(x, s) : x, s [0, 1] }. Havaitaan siis että T on aito ontratio jos λ on niin pieni, että λ < 1/ K. Banachin iintopistelauseesta seuraa nyt että miäli λ < 1/ K, on uvausella T iintopiste ja siten yhtälöllä (3.41) rataisu f C(0, 1); lisäsi f on ysiäsitteinen. Banachin iintopistelause on varsin vahva, sillä se antaa myös nopean algoritmin integraaliyhtälön rataisun f onstruoimisesi (esim. numeerisesti): Lauseen jäleisen huomautusen muaan f = lim n g n missä g 0 (x) = g(x), g 2 (x) = g(x) + λ 1 0 g 1 (x) = g(x) + λ 1 1 K(x, s)g(s)ds + λ 2 K(x, t) 0 0 K(x, s)g(s)ds, 1 0 K(t, s)g(s)ds dt, ja niin edelleen. Lisäsi, arvion (3.39) muaan jonon g n suppeneminen on esponentiaalista. Ainoa pulma Banachin lauseessa on että se toimii vain (aidoille) ontratioille. Erityisesti, herää ysymys: miten yhtälöt (3.41) äyttäytyvät yleisillä parametreilla λ?! Seuraava esimeri näyttää, että yllä λ:n pienuus oli olennaista; yleisten parametrien tapaus on siis monimutaisempi Esimeri. Valitaan integraaliyhtälön (3.41) ytimesi K(x, s) = xs, 0 x, s 1, seä oloon annettu funtio g(x) 1. Silloin yhtälö (3.41) saa muodon (3.44) f(x) λ x 1 0 sf(s)ds = 1, x [0, 1] Kosa K = sup x,s [0,1] K(x, s) = 1, yhtälöllä on rataisu ainain un λ < 1. Lisäsi uten yllä, rataisun voi löytää iteroimalla operaattoria T h = 1 + λ 1 xsh(s)ds; iteroinnissa huomataan että rataisun voi ehittää 0 potenssisarjana λ:n suhteen. Valitussa erioistapausessamme potenssisarjan
23 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 47 voi jopa esittää suljetussa muodossa (Ylimääräinen HT: Määrää o. sarja ja sen summa). Toisaalta, tapausessa K(x, s) = x s yhtälön voi myös rataista suoraan: Havaitaan nimittäin, että joainen (3.44):n rataisu on muotoa f(x) = 1 + Cx jollain vaiolla C (Misi?). Sijoittamalla nähdään että (3.44):n anssa on yhtäpitävää (3.45) 1 + Cx λ x 1 0 s(1 + Cs)ds = 1 Integroinnin jäleen (Tee se!) tämä identiteetti saa muodon C λ(1/2+c/3) = 0. Siten C = 3 λ 3λ x ja f(x) = λ 6 2λ Integraaliyhtälö siis rateaa aina un λ 3. Kun λ = 3 rataisua ei olemassa, millään vaiolla C. Ylläolevassa löysimme tasan yhden poieusarvon λ. Esimeriä muoaamalla voit helposti löytää ytimiä, joilla on 2, 3 tai useampia poieusarvoja. Kun seuraavassa luvussa olemme raentaneet Hilbertavaruusien perusteorian, tulemme osoittamaan vielä enemmän: Esimeri. Oloon (3.47) K(x, s) = 1, x, s [0, 1] 3 e2πi(x s) [Huom: Eulerin identiteettiä e ix = cos x + i sin x äyttäen yo. ytimen voi irjoittaa myös trigonometristen funtioiden avulla.] Tällöin: Jos λ 3 n, n = 1, 2,..., yhtälö (3.41) rateaa aiilla g C(0, 1). Toisaalta, jos λ = 3 n jollain n, ei rataisua aiilla funtioilla g löydy! Väitteen todistus seuraa nopeasti Fourier-sarjojen ominaisuusista, ja jätämme sen sisi luuun 4. Huomaa, että tässäin esimerissä poieusarvojen jouo jää disreetisi.
24 48 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Katsotaan lopusi vielä ysi (hyvin!) erilainen esimeri Banachin iintopistelauseen soveltamisesta; tämä esimerin luonne on yleissivistävä, eiä uulu varsinaiseen urssisisältöön; sivuutamme sisi osan todistusista. Muistetaan että Banachin iintopistelause on yleispätevä periaate, jota voidaan äyttää myös täydellisissä metrisissä avaruusissa. Konstruoidaan nyt sen avulla Kochin lumihiutaleäyrä! Esimeri. Oloon X = { A R 2 : A on ompati 4 osajouo }. Jos A, B X, asetamme d H (A, B) = max{sup dist(x, B), sup dist(y, A)}, x A y B missä etäisyys dist(x, B) pisteestä x jouoon A määritellään dist(x, B) = inf{ x b : b B } un normina on eulidinen normi tasossa R 2. Tällöin d H on metriia jouoperheessä X ja tätä metriiaa sanotaan Hausdorffin metriiasi. Lisäsi (X, d H ) on täydellinen (perustuu ompatisuuteen, sivuutetaan ysityisohdat; HT). Oloot f j : R 2 R 2, 1 j n, aitoja ontratioita ja j < 1 vastaavat ontratiovaiot. Tällöin ( ) = max j=1,...,n j < 1, jolloin siis f j (x) f j (y) x y aiilla x, y R 2 ja j = 1, 2,..., n. Asetetaan n Φ(A) = f j (A), j=1 un A X eli un A R 2 on ompati osajouo. Kosa ompatien jouojen äärellinen yhdiste on ompati (Topologia I) on Φ(A) = n f j (A) j=1 ompati aiilla A X. Siis Φ(A) on uvaus X X. Väite. Φ on aito ontratio (X, d H ) (X, d H ) Todistus. Oloot A, B R 2 ompateja. Jos n z Φ(A) = f j (A), j=1 4 Heine-Borel: A R 2 ompati A suljettu ja rajoitettu
25 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 49 niin z = f l (x) joillain x A ja l {1,..., n}. Oloon y B m.v. Tällöin f l (y) f l (B) Φ(B), joten dist(z, Φ(B)) f l (x) f l (y) x y missä < 1 ehdon ( ) nojalla. Siis ottamalla infimum muuttujan y B suhteen saadaan, että Kosa z Φ(A) mielivaltainen, on sup z Φ(A) Symmetrian perusteella pätee: Siispä sup z Φ(B) dist(z, Φ(B)) dist(x, B). dist(z, Φ(B)) sup dist(x, B) x A dist(z, Φ(A)) sup dist(y, A) y B d H (Φ(A), Φ(B)) d H (A, B) un A, B X, joten Φ on aito ontratio. Nyt Banachin iintopistelauseen metrisen version nojalla uvausella Φ on ysiäsitteinen iintopiste A X eli on olemassa ompati osajouo A R 2, jolle n A = Φ(A) = f j (A). j=1 Valitaan esimerisi ontratiot f j similariteeteisi eli f j (x) = r j O j (x) + b j, j = 1,..., n missä 0 < r j < 1, b j R 2 ja O j : R 2 R 2 join tason ierto origon ympäri. Tällöin saadaan auniita esimerejä frataaleista jouoista. Valitaan vaiapa similaariteetit f 1,..., f 4 : R 2 R 2 siten, että ne uvaavat ysiöjanan I = [0, 1] R 2 uten seuraavassa uvassa. f 2 (I) f 3 (I) f 1 (I) f 4 (I) Nämä similariteetit määräävät uvausen Φ uten yllä. Miä on tällöin vastaava invariantti jouo A, jolle Φ(A) = A?!
26 50 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Banachin iintopistelauseen todistusesta tiedämme, että iintopiste A saadaan iteroimalla uvausta Φ (esim. lähtien jouosta I X ). Nyt Φ 2 (I) = Φ(Φ(I)) näyttää tältä: Rajalla A = lim n Φ n (I) saa seuraavan muodon (Kochin lumihiutaleäyrä): Edellä oleva Banachin iintopistelauseen sovellus on peräisin J. E. Hutchinsonilta vuodelta 1981.
x k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.
28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 26 Kari Astala ja Petteri Piiroinen Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
Lisätiedot4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
Lisätiedot2. Normi ja normiavaruus
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
LisätiedotModaalilogiikan harjoitusteht vi Aatu Koskensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesim
Modaalilogiian harjoitusteht vi Aatu Kosensilta 1 Harjoitusteht v t 16.4 1.1 Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesimerin avulla. Otamme ehysisi F 1 = hz? ;?i ja F 1 = hz
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotLuku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotOHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008
OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotMS-C1540 Euklidiset avaruudet
MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotLuku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
Lisätiedot2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)
3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2012 Kari Astala
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 212 Kari Astala Luentomuistiinpanot perustuvat aikaisempiin versioihin vuodelta 26 (Kari Astala
Lisätiedot