1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88

Transkriptio

1 Sisältö 1 Kertausta algebran kurssilta 1 2 Lisää polynomeista 10 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta 20 4 Kuntalaajennukset 27 5 Kuntalaajennuksen aste 49 6 Harppi-viivoitin-konstruktiot 64 7 Galois n ryhmä 83 8 Hajoituskunnat 88 9 Normaalit kuntalaajennukset ja separoituvat polynomit Lineaarialgebraa ja monomorfismeja Galois n päälause Ryhmäteoriaa: ratkeavat ja yksinkertaiset ryhmät Radikaalit kuntalaajennukset Algebran peruslauseen analyyttis-algebrallinen todistus 225 i

2 Johdanto Tämä algebran jatkokurssi (tai nämä kaksi jatkokurssia, jotka liittyvät saumattomasti toisiinsa) on nimensä mukaisesti suoraa jatkoa algebran cum laudekurssille. Tämä tarkoittaa sitä, että ne algebran perusasiat, jotka tuolloin on opetettu ja toivottavasti myös opittu, on hallittava. Nämähän eivät ole kovin mystisiä juttuja; perustiedot ryhmistä, renkaista ja kunnista ja erityisesti polynomeista riittävät. Lisäksi tarvitaan lineaarialgebran peruskuvioita eli vektoriavaruuden, lineaarisen riippumattomuuden, kannan ja dimension käsitteitä. Lineaarialgebran peruskurssilla nämä on käsitelty, mutta siellä yleensä vektoriavaruuksien kerroinkuntana on R. Tällä kurssilla kerroinkunta tulee olemaan mielivaltainen kunta, mutta mitään oleellista eroa reaalikertoimiseen tapaukseen ei ole. Lukija voi varmistua asiasta käymällä läpi LAG:n määritelmät ja todistukset: kaikki oleellinen pätee myös mielivaltaisen kerroinkunnan tapauksessa. Pieniä eroja toki tulee; esimerkiksi jos vektoriavaruuden V kerroinkuntana on Z 2, niin pätee x + x = 0 kaikille x V. Kaikki LAG:n tärkeät lauseet kuitenkin pätevät sellaisenaan, erityisesti dimensiolause, jota jatkossa käytetään. Tämä kurssi rakentuu niin, että ensin kerrataan (ilman todistuksia) vanhoja algebran kurssin asioita ja esitetään (todistusten kera) vähän uusia juttuja lähinnä polynomeihin ja jakokuntiin liittyen. Sitten päästään tämän kurssin keskeiseen teemaan eli kuntalaajennuksiin. Kuntalaajennus on nimensä mukainen: siinä jotakin kuntaa K laajennetaan suuremmaksi kunnaksi L lisäämällä siihen tavaraa. Tyyppiesimerkki on Q:n laajentaminen R:ksi ja edelleen C:ksi. Syy kuntalaajennusten käyttöönottoon näkyy myös tästä esimerkistä: kaikilla Q- kertoimisilla polynomeilla ei ole juuria kunnassa Q, mutta R:stä tai viimeistään C:stä löytyy. Tämä kuntalaajennus K L määritellään itse asiassa vähän yleisemmin eli K:n ei välttämättä tarvitse olla L:n alikunta, vaan lähtökohtaisesti K ja L ovat erillisiä kuntia ja käytetään upotuskuvausta eli kuntamonomorfismia i : K L, jolloin K on isomorfinen L:n alikunnan i(k) kanssa, ja sanotaan, että tämä upotus on kuntalaajennus. Tässä tulee heti vastaan kysymys, että millä ehdolla kunta voidaan toiseen upottaa: onko esimerkiksi olemassa upotusta i : Z p Z q? Kuntalaajennusten avulla saadaan heti alkuun helppo todistus sille, että algebrallisten lukujen joukko on kunta. Algebralliset luvut ovat määritelmän mukaan sellaisia reaali- tai kompleksilukuja, jotka ovat jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuria. On hyvin vaikeaa suoraan todeta, että nämä toteuttavat kunnalta vaadittavat aksioomat: miten esimerkiksi todistetaan, että on algebrallinen luku yleisemmästä vastaavasta tuloksesta puhumattakaan. (Tosin tuon yksittäisen luvun toteaminen algebralliseksi ei nyt niin ii

3 kovin vaikeaa ole, se on erään astetta 6 olevan kokonaislukukertoimisen polynomin juuri. Jätetään tämän miettiminen harjoitustehtäväksi.) Seuraavaksi sovelletaan kuntalaajennuksia vähän yllättävään suuntaan eli geometrisiin konstruktioihin. Tutkitaan harpilla ja viivoittimella tehtäviä tasogeometrian eli R 2 :n konstruktioita ja huomataan, että näihin konstruktioihin liittyy tietty kuntalaajennusprinsiippi, jolla on spesifejä ominaisuuksia. Jos nämä ominaisuudet joltakin konstruktiolta puuttuvat, kyseessä ei voi olla harpilla ja viivoittimella tehtävä konstruktio. Kulman kolmijako-ongelma on eräs käsiteltävistä asioista. Jotkut kulmat voidaan harpilla ja viivoittimella jakaa kolmeen yhtäsuureen osaan esimerkiksi suoran kulman jakaminen eli käytännössä 60 asteen kulman piirtäminen on helppoa. Kaikkia kulmia ei kuitenkaan voida näin jakaa. Itse asiassa kulman ei tarvitse asteluvultaan olla kovin mystinen, jotta kolmijako epäonnistuisi. Osoittautuu, että edes mainittua 60 asteen kulmaa ei voi kolmijakaa eli 20 asteen kulmaa ei voi konstruoida harpilla ja viivoittimella. Tästä seuraa tietysti, että ei myöskään 10 asteen kulmaa voi piirtää. Tässä vaiheessa kurssin ensimmäinen osa päättyy. Jälkimmäisen osan päätarkoitus on osoittaa, että rationaalikertoimisella polynomiyhtälöllä, jonka asteluku on ainakin 5, ei ole yleispätevää ratkaisukaavaa. Tunnetusti toisen asteen yhtälöllä on ratkaisukaava ja myös kolmannen ja neljännen asteen yhtälöillä tällainen on. Nämä kaavat tultaneen jossakin vaiheessa esittämään tosin ainakin neljännen asteen yhtälön yhteydessä olisi varmaan parempi puhua ratkaisualgoritmista. Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavaa tai -algoritmia mietittiin kovasti sen jälkeen, kun Lagrange vuonna 1770 esitti neljännen asteen yhtälön ratkaisun. Ratkaisu oli todella yllättävä, kun Niels Henrik Abel vuonna 1824 osoitti, että yleistä ratkaisua ei ole olemassa. Tämän jälkeen oli luonnollista miettiä, millä ehdolla ratkaisukaava sitten löytyy. Tätä pohti Évariste Galois (s.1811) vuoteen 1832 asti, jolloin hän katsoi asialliseksi osallistua onnettomasti päättyneeseen kaksintaisteluun. Galois ehti kuitenkin nuoresta iästään huolimatta saada paljon aikaan ja häneltä on nimensä saanut Galois n teoria, johon tällä kurssilla tutustutaan. Galois n teoria liittyy nimenomaan kuntalaajennuksiin, joita jatkossa luokitellaan eri tavoin, esimerkiksi äärellisasteisiin, normaaleihin ja separoituviin. Tähän teoriaan liittyvät myös Galois n ryhmät, jotka ovat yleensä epäkommutatiivisia ja siinä mielessä vähän hankalia käsitellä. Tätä varten uhrataan yksi pitkähkö luku ryhmäteoriaan, jossa määritellään muun muassa ratkeavan ryhmän käsite. Osoittautuu, että esimerkiksi permutaatioryhmä S 5 ei ole ratkeava. (Tässä S 5 koostuu kaikista permutaatioista {1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5}.) iii

4 Tämän kurssin päätulos todistetaan sitten viimeisenä. Tämä tulos sanoo, että rationaalikertoimisella polynomiyhtälöllä on ratkaisukaava jos ja vain jos siihen liittyvä Galois n ryhmä on ratkeava. Itse asiassa todistettava tulos on paljon yleisempi: polynomin kerroinkuntana voi olla mikä tahansa kunta, jonka karakteristika on 0. (Kunnan karakteristika määritellään jatkossa.) Toisaalta osoitetaan, että tietyillä viidennen asteen yhtälöillä käy niin, että niihin liittyvä Galois n ryhmä on isomorfinen ryhmän S 5 kanssa, joten se ei ole ratkeava. Siispä ratkaisukaavaa ei ole. Tällaisia rationaalikertoimisia polynomeja on itse asiassa helppo tuottaa. Osoittautuu näet, että jos P on jaoton rationaalikertoiminen viidennen asteen polynomi, jolla on täsmälleen kolme reaalista juurta, niin Galois n ryhmälle käy kuten yllä sanottiin, eikä ratkaisukaavaa ole. Lopuksi voi tietysti kysyä mikä on ratkaisukaava? Tämä määritellään täsmällisesti kurssin loppupuolella, mutta karkeasti sanoen se on sellainen algoritmi, jossa annetun polynomin kertoimista sommitellaan kaikki juuret käyttäen normaaleja kuntalaskutoimituksia eli yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua sekä lisäksi juuren ottoa. Toisen asteen yhtälön ax 2 + bx + c = 0 ratkaisukaava selvittänee (vähän) tätä ajatusta. Siinähän ratkaisut ovat b ± b 2 4ac. 2a Tässä muut laskutoimitukset ovat tavallisia kuntalaskutoimituksia paitsi neliöjuuri. Neliöjuurta varten joudutaan ainakin rationaalikertoimisessa tapauksessa usein tekemään kuntalaajennus Q:sta kunnaksi R (jos diskriminantti on positiivinen, mutta neliöjuuri ei ole rationaalinen) tai jopa kunnaksi C (jos diskriminantti on negatiivinen). Sama ilmiö tapahtuu melkein kaikissa muissakin kunnissa: muut laskutoimitukset onnistuvat annetussa kerroinkunnassa, mutta neliöjuuren otto välttämättä ei, jolloin tarvitaan kuntalaajennus. Tämä melkein kaikissa muissakin kunnissa tarkoittaa tässä sitä, että on olemassa kuntia, joissa 2a = 0 vaikka a 0. Tällaisessa tilanteessa tuo tuttu kaava ei toimi, koska siinä tulee vastaan nollalla jakaminen. Harjoitustehtävissä selvitellään sitä, miten toisen asteen yhtälö silloin ratkeaa vai ratkeaako lainkaan. Nyt voi tietysti kysyä, että onko kaikilla kunnilla tällaista tarvittavaa kuntalaajennusta, josta neliöjuuri löytyisi. Vastaus on suoraviivainen: kyllä on. Tämä todistetaan jo varhaisessa vaiheessa kurssia. Edellä on lueteltu asioita, joita tällä kurssilla todistetaan. Rehellisyyden nimissä lienee syytä mainita myös ne seikat, joita ei todisteta, mutta joihin kuitenkin vedotaan. Yhden (mutta vain yhden) lauseen todistuksessa tarvitaan tietoa siitä, että π on transkendenttiluku. Tämä lause esiintyy kurssin alkupuolella, eikä sitä loppuosassa käytetä. Sen sijaan alku- ja loppupuolella käytetään useaan iv

5 otteeseen lausetta, joka sanoo, että jokaisella kompleksikertoimisella ei-vakiolla polynomilla on juuri C:ssä. Tämä on ns. algebran peruslause, mutta sitä ei tällä kurssilla saada (paradoksaalista kyllä) varsinaisesti todistettua. Tosin (jonkinlainen) todistus on luentomonisteen liitteenä luvussa 14. Algebran peruslause todistetaan kompleksianalyysin kurssilla käyttäen Liouvillen lausetta. Se todistetaan joskus myös lukualueiden kurssilla käyttäen tasotopologiaa. Tässä katsannossa tämän kurssin esitietoihin pitäisi lisätä myös kompleksianalyysin tai lukualueiden kurssin nämä kohdat. Toisaalta kuitenkin kuten edellä todettiin algebran peruslauseen todistus on tämän monisteen lopussa liitteenä. Annettava todistus on aivan erilainen kuin esimerkiksi kompleksianalyyttinen todistus, mutta se ei kuitenkaan ole puhtaan algebrallinen, mikä johtuu siitä, että R:n määritelmä ei ole puhtaan algebrallinen tehtiinpä se sitten Cauchy-jonojen, Dedekindin leikkausten tai täydellisyysaksiooman nojalla. Tällöin ei ole oikeastaan toivettakaan saada tätä tulosta todistettua ilman esimerkiksi R:n täydellisyyden käyttöä. Ja tämähän ei ole algebraa vaan lähempänä analyysiä tai topologiaa. Tässä mielessä voitaneen sanoa, että liitteessä oleva todistus on analyyttisalgebrallinen. Siinä ei kuitenkaan käytetä lainkaan kompleksianalyysiä, vaan ainoastaan sellaisia tietoja, jotka saadaan helposti analyysi 1:n kurssilta: jokaisella positiivisella reaaliluvulla on reaalinen neliöjuuri ja jokaisella rationaalikertoimisella polynomilla, jonka aste on pariton luku, on reaalinen juuri. Lisäksi tarvitaan melko kovia algebrallisia tuloksia, joita tässä matkan varrella saadaan todistettua. Tämä todistus on ehkä uutta myös niille lukijoille, jotka algebran peruslauseen todistukseen ovat jollakin aiemmalla kurssilla tutustuneet. On kuitenkin sanottava, että esitettävä todistus erittäin paljon vaikeampi kuin edellä mainitut tulokset. Mutta mitäpä puristi ei tekisi pyrkiessään mahdollisimman puhtaaseen lopputulokseen. v

6 1 Kertausta algebran kurssilta Tässä luvussa esitetään kertauksenomaisesti algebran (cum laude-)kurssin perusasioita määritelmiä ja lauseita, joiden todistuksen osalta viitataan esimerkiksi Jouni Parkkosen luentomonisteeseen, joka löytyy hänen kotisivuiltaan. Laskutoimituksella varustettu epätyhjä joukko G on ryhmä, jos on assosiatiivinen, G:ssä on neutraalialkio e G, jolle pätee e g = g e = g kaikille g G ja jokaisella g G on käänteisalkio g 1 G, jolle pätee g g 1 = g 1 g = e. Jos on varmasti tiedossa, mitä laskutoimitusta tarkoitetaan, jätetään usein symboli kirjoittamatta, eli merkitään lyhyesti gh := g h. Ryhmän alkioiden lukumäärä voi olla äärellinen tai ääretön. Äärellisen ryhmän (tai yleisemminkin äärellisen joukon) G tapauksessa merkitään symbolilla #G ryhmän alkioiden lukumäärää, ja sanotaan, että tämä on G:n kertaluku. Jos G on ryhmä ja g G sekä A G, niin käytetään merkintöjä ga := {ga a A} ja Ag := {ag a A}. Pääsääntöisesti nämä ovat eri joukkoja, eli yleensä on ga Ag. Jos pätee gh = hg kaikille g,h G, niin sanotaan että G on kommutatiivinen eli Abelin ryhmä. Kommutatiivisessa ryhmässä pätee tietysti aina ga = Ag. Ryhmän G epätyhjä osajoukko H on aliryhmä, jos H on ryhmä G:n laskutoimituksen suhteen. Yhtäpitävää tälle on, että kaikille alkioille x,y H pätee xy 1 H. Jos H on G:n aliryhmä, käytetään merkintää H G. Ryhmän G aliryhmä H on normaali, jos kaikille g G ja h H pätee ghg 1 H. Tämä on yhtäpitävää ehdoille ghg 1 = H kaikille g G tai gh = Hg kaikille g G. Kommutatiivisessa ryhmässä jokainen aliryhmä on normaali. Normaalille aliryhmälle H käytetään merkintää H G. Jos H G, niin voidaan muodostaa tekijäjoukko G/H = {gh g G} ja erityisesti varustaa se järkevällä laskutoimituksella, joka määritellään asettamalla (xh) (yh) = xyh kaikille x,y G. Joukko G/H varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, ns. tekijäryhmä. Tekijäryhmän neutraalialkio on eh = H ja alkion xh käänteisalkio on x 1 H. Usein käytetään merkinnän xh sijasta merkintää [x] ja sanotaan, että [x] on alkion x G määräämä tekijäluokka. Tällä merkintätavalla tekijäryhmän neutraalialkio on [e] ja luokan [x] käänteisalkio on luokka [x 1 ]. Alkiot x,y G määräävät saman luokan eli pätee [x] = [y] jos ja vain jos xy 1 H. 1

7 Huomaa, että tekijäryhmän määrittely vaatii sitä, että aliryhmä H on normaali. Ei-normaalissakin tapauksessa toki voidaan määritellä vastaava tekijäjoukko, mutta siitä ei ole paljon hyötyä, koska laskutoimituksen määritelmä ylläkuvatulla tavalla ei toimi järkevästi eli se ei ole hyvin määritelty, vaan riippuu käytetyistä tekijäluokkien edustajista x ja y. Jos G on äärellinen, niin jokaisessa tekijäluokassa xh on täsmälleen yhtä monta alkiota: #xh = #H kaikille x G. Koska nämä tekijäluokat ovat pistevieraita, niin pätee #(G/H) = #G #H. (1) Vastaava ilmiö tapahtuu myös silloin, jos aliryhmä H ei ole normaali. Tällöinkin kaikissa luokissa xh on täsmälleen yhtä monta alkiota eli #xh = #H kaikille x. Myös luokille Hx pätee #Hx = #H kaikille x. Tällöin luokissa xh ja Hx on sama määrä alkioita, vaikkeivät ne samoja joukkoja välttämättä (einormaalin aliryhmän kyseessä ollen) olekaan. Lisäksi käy niin (tämä on Lagrangen lause), että näissä luokissa olevien alkioiden lukumäärä eli #H jakaa G:n kertaluvun eli pätee #G N. (2) #H Ehdossa (2) olevaa kokonaislukua #G/#H sanotaan aliryhmän H indeksiksi. Tämä voidaan siis määritellä myös ei-normaalille aliryhmälle. Normaalille aliryhmälle H pätee ehdon (1) nojalla H:n indeksi on #(G/H). Koska Abelin ryhmässä jokainen aliryhmä on normaali, voidaan tekijäryhmä kommutatiivisessa tapauksessa aina muodostaa ilman mitään lisäoletuksia. Ryhmän G alkioille g G voidaan määritellä kokonaislukupotenssit g n asettamalla ensin g 0 = e ja positiivisille n rekursiivisesti g n+1 = gg n sekä sitten negatiivisille n määritellään g n = (g n ) 1. Sanotaan, että joukko g := {g n n Z} on alkion g virittämä syklinen ryhmä. Nimitys on oikeutettu, sillä g on aina G:n aliryhmä. Sanotaan, että ryhmä G on syklinen, jos on olemassa g G siten, että G = g. Tällöin sanotaan, että alkio g G on ryhmän G virittäjä. Syklinen ryhmä on aina kommutatiivinen. Jos aliryhmä g on äärellinen, niin sanotaan, että luku # g on alkion g kertaluku. Jos g:n kertaluku on n 1, niin n on pienin positiivinen kokonaisluku, jolle pätee g n = e. Lisäksi tällöin g m = e jos ja vain jos m on n:n monikerta ja g = {e,g,...,g n 1 }, missä g i g j kun i j. Jos G ja G ovat ryhmiä, niin kuvaus f : G G on ryhmähomomorfismi jos kaikille x, y G pätee f(xy) = f(x)f(y). Injektiivinen ryhmähomomorfismi 2

8 on monomorfismi, surjektiivinen epimorfismi ja bijektiivinen isomorfismi. Isomorfismin käänteiskuvaus on homomorfismi ja siten myös isomorfismi. Jos ryhmien G ja G välillä on (jokin) isomorfismi, niin sanotaan, että nämä ryhmät ovat (keskenään) isomorfiset ja käytetään merkintää G = G. Ryhmähomomorfismin f : G G ydin Ker(f) määritellään asettamalla Ker(f) = {x G f(x) = e } missä e on ryhmän G neutraalialkio. Ryhmähomomorfismi kuvaa aina neutraalialkion neutraalialkiolle ja jokaisen pisteen käänteisalkion vastaavan kuvapisteen käänteisalkiolle. Ytimelle pätee Lause 1.1 Ryhmähomomorfismi f : G G on monomorfismi jos ja vain jos Ker(f) = {e}, missä e on ryhmän G neutraalialkio. Ryhmähomomorfismin f : G G ydin samoin kuin sen kuvajoukko Im(f) ovat aliryhmiä. Lisäksi aliryhmä Ker(f) G on normaali. Ytimelle ja kuvajoukolle pätee tärkeä isomorfialause Lause 1.2 Ryhmähomomorfismille f : G G pätee Aliryhmille pätee seuraavaa: G/Ker(f) = Im(f). Lause 1.3 Olkoon f : G G ryhmähomomorfismi ja H G sekä H G. Tällöin f(h) G ja f 1 (H ) G. Jos H G, niin f 1 (H ) G. Jos H G ja lisäksi f on epimorfismi, niin f(h) G. Lauseen 1.3 viimeinen väite f(h) G ei päde ilman oletusta f:n surjektiivisuudesta vaikkakin lauseen alkuosan nojalla pätee aina f(h) G. Ryhmäteoriaan palataan laajemmin luvussa 12. Siirrytään nyt kuitenkin renkaisiin. Oletetaan, että epätyhjässä joukossa R on määritelty kaksi laskutoimitusta + ja joita sanotaan yhteen- ja kertolaskuksi. Sanotaan, että R varustettuna laskutoimituksilla + ja on rengas, jos (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, kertolasku on assosiatiivinen ja distributiivinen yhteenlaskun suhteen ja kertolaskulla on neutraalialkio. Tätä kertolaskun neutraalialkiota merkitään symbolilla 1; yhteenlaskun neutraalialkiota merkitään symbolilla 0. Käytännössä usein kertolaskun piste jätetään merkitsemättä eli kirjoitetaan xy := x y; sen sijaan yhteenlaskun symboli kirjoitetaan aina näkyviin. Tällä kurssilla tarkastellaan vain kommutatiivisia renkaita, joilta vaaditaan, että (yhteenlaskun lisäksi myös) kertolasku on kommutatiivinen. Lisäksi vaaditaan, että yhteen- ja kertolaskun neutraalialkiot ovat eri alkioita eli pätee 0 1; tämä vaatimus sulkee pois vain triviaalin tapauksen R = {0}. 3

9 Sanotaan, että renkaan R alkio y on alkion x käänteisalkio kertolaskun suhteen, jos pätee xy = 1 (= yx). Renkaan R kaikilla alkioilla ei välttämättä ole käänteisalkiota (kertolaskun suhteen). Niitä alkioita, joilla käänteisalkio on olemassa, sanotaan renkaan R yksiköiksi. Nolla eli yhteenlaskun neutraalialkio ei koskaan ole yksikkö. Jos kaikilla nollasta eroavilla R:n alkioilla on käänteisalkio, sanotaan, että R on kunta. Erityisesti siis jokaisessa kunnassa 0 1. Lause 1.4 Renkaan yksiköt muodostavat ryhmän kertolaskun suhteen, neutraalialkiona 1 R. Erityisesti siis jos R on kunta, niin joukko R \ {0} on ryhmä kertolaskun suhteen. Olkoot R ja R renkaita, joiden ykkösalkiot ovat 1 R ja 1 R. Olkoon lisäksi f : R R kuvaus. Sanotaan, että f on rengashomomorfismi, jos f(x + y) = f(x) + f(y) kaikille x,y R, f(x y) = f(x) f(y) kaikille x,y R ja f(1) = 1. Kuten ryhmähomomorfismille myös rengashomomorfismille sanotaan, että se on mono-, epi- tai isomorfismi, jos se on injektio, surjektio tai bijektio. Rengasisomorfismin käänteiskuvaus on myös rengashomomorfismi ja siten rengasisomorfismi. Jos renkaiden R ja R välillä on (jokin) rengasisomorfismi, niin sanotaan, että nämä renkaat ovat (keskenään) isomorfisia ja käytetään merkintää R = R. Jos renkaat R ja R ovat molemmat kuntia, puhutaan usein myös kuntahomomorfismista, joka tarkoittaa täsmälleen samaa kuin rengashomomorfismi. Rengashomomorfismin f : R R ydin Ker(f) (sama merkintä kuin ryhmähomomorfismille, mutta se ei aiheuttane sekaannuksia) määritellään asettamalla Ker(f) = {x R f(x) = 0 }, missä 0 on renkaan R yhteenlaskun neutraalialkio. Lause 1.1 pätee myös rengashomomorfismeille: Lause 1.5 Rengashomomorfismi f : R R on monomorfismi jos ja vain jos Ker(f) = {0}, missä 0 on renkaan R yhteenlaskun neutraalialkio. Renkaan R epätyhjä osajoukko S on alirengas, jos S on rengas R:n laskutoimituksin ja lisäksi sillä on sama ykkösalkio kuin R:llä. Vastaavasti kunnan K epätyhjä osajoukko K on alikunta, jos K on kunta K:n laskutoimituksin. Alikunnan ykkösalkio on automaattisesti sama kuin K:lla. Alirengas määritellään siis analogisesti aliryhmän kanssa. Normaalin aliryhmän käsite on vähän pulmallisempi. Koska yhteenlasku on renkaassa kommutatiivinen, alirengas on aina normaali aliryhmä yhteenlaskun suhteen, mutta kertolasku tuottaa vähän vaikeuksia. Nämä vaikeudet voitetaan (tai ainakin 4

10 kierretään), kun määritellään ideaali: Sanotaan, että renkaan R epätyhjä osajoukko S on ideaali, jos (S,+) on ryhmän (R,+) aliryhmä ja jos kaikille x R pätee xs S. Tässä käytetään jo ryhmien yhteydestä tuttua merkintää xs := {xs s S}. Pääsääntöisesti alirengas ei ole ideaali, ja toisaalta ideaali ei ole alirengas, koska sieltä yleensä puuttuu ykkösalkio. Oletetaan, että S on renkaan R ideaali. Tällöin yhteenlaskun kommutatiivisuuden nojalla S on R:n normaali aliryhmä yhteenlaskun suhteen. Siten tekijäryhmä R/S voidaan muodostaa; merkitään vastaavia tekijäluokkia symboleilla [x], x R. Joukossa R/S on järkevästi määritelty yhteenlasku, joka määriteltiin niin, että [x] + [y] = [x + y]. Kun nyt S on ideaali (alirenkaille tämä ei toimi!), niin joukkoon R/S voidaan järkevällä tavalla määritellä myös kertolasku asettamalla [x] [y] = [x y]. Näillä laskutoimituksilla varustettuna R/S on rengas, ns. tekijärengas.tekijärenkaan nolla-alkio on [0] ja ykkösalkio [1]. Korostettakoon tässä vielä sitä, että tekijärenkaassa S:n pitää siis olla ideaali (eikä alirengas). Rengashomomorfismin f : R R ydin on aina ideaali, jolloin tekijärengas R 1 /Ker(f) voidaan muodostaa ja lause 1.2 pätee myös rengashomomorfismeille sovellettuna. Jos R on rengas ja a R, niin joukko Ra on ideaali. Tämä on alkion a R virittämä pääideaali. Rengasta, jossa kaikki ideaalit ovat pääideaaleja, sanotaan pääideaalirenkaaksi. Koska siis Ra on ideaali, niin tekijärengas R/Ra on aina määritelty. Erityisesti kun R = Z, niin Z/Za on rengas kaikille a Z. Tämä on ns. tekijärengas modulo a, ja sille käytetään tällä kurssilla merkintää Z a, jolloin samalla oletetaan, että a 2. Tekijärenkaassa Z a on täsmälleen a alkiota; Z a = {[0],[1],...,[a 1]}. Tekijärengas Z a on kunta jos ja vain jos a on alkuluku. Tämä antaa aiheen ounastella, että äärellisen kunnan alkioiden lukumäärä olisi aina alkuluku. Näin ei kuitenkaan ole, vaan muunkinlaisia äärellisiä kuntia on olemassa. Toisaalta kuitenkin äärellisen kunnan alkioiden lukumäärä ei voi olla mikä tahansa, vaan se on aina alkulukupotenssi eli muotoa p k, missä p on alkuluku ja k 1. Jätetään tämän todistus harjoitustehtäväksi, samoin kuin sen todistaminen, että kaikille alkuluvuille p ja kaikille k 1 on olemassa kunta, jonka kertaluku on p k. Lause 1.6 Kunnan K ainoat ideaalit ovat {0} ja K. Lause 1.7 Olkoon K kunta, R rengas ja ϕ : K R rengashomomorfismi. Tällöin ϕ on monomorfismi. Renkaan R alkio r 0 on nollanjakaja (tai nollan jakaja), jos r x = 0 jollekin x R \{0}. Jos renkaassa R {0} ei ole nollanjakajia, niin sanotaan, että R on kokonaisalue. Kunta on aina kokonaisalue, mutta kokonaisalueen ei tarvitse olla kunta. Äärellinen kokonaisalue on kuitenkin aina kunta. 5

11 Kunnassa (tai kokonaisalueessa) K määritellään alkion x K\{0} kokonaislukupotenssit x n, n Z rekursiivisesti asettamalla ensin x 0 = 1 ja positiivisille n määritellään x n = x x n 1 sekä tämän jälkeen negatiivisille n x n = (x n ) 1. Tämä jälkimmäinen määritelmä on mielekäs, sillä kunta on kokonaisalue, joten siinä ei ole nollanjakajia, jolloin ehdon x 0 nojalla x n 0 kaikille positiivisille n, ja siten on olemassa käänteisalkio (x n ) 1. Alkion x K kokonaiset monikerrat nx, n Z määritellään vastaavasti asettamalla ensin 0x = 0, positiivisille n määritellään nx = x+(n 1)x ja sitten negatiivisille n nx = ( nx). Tämä määritelmä voidaan tehdä myös renkaassa, joka ei ole kokonaisalue. Lause 1.8 Olkoon K kokonaisalue. Tällöin K:ssa pätee supistussääntö, ts. jos k K \ {0} ja x,y K siten, että kx = ky, niin välttämättä x = y. Tällä kurssilla erittäin tärkeässä roolissa ovat polynomit, joten määritellään ne erityisen huolellisesti. Olkoon R tässä kiinteä rengas. Tarkkaan ottaen R- kertoiminen polynomi P on jono R:n alkioita eli P on muotoa P = (a n ) n N, missä a n R kaikille n. Lisäksi vaaditaan, että a n 0 vain äärellisen monelle n. Tällöin voidaan kirjoittaa P = (a 0,a 1,...,a n ), missä luetellaan vain P:n alkupään kertoimet eli tällä merkinnällä tehdään se sopimus, että a k = 0 kun k n + 1. Tämä on kuitenkin toivottoman kömpelö merkintätapa ja käytäntö on korvata merkintä (a 0,a 1,...,a n ) symbolilla n P = a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. k=0 (P) Nyt voi tietysti kysyä, että mikä ihmeen laite on esityksessä (P) oleva X. Ei se ole oikeastaan mikään kysehän on vain vähän kätevämmästä merkinnästä symbolille P = (a 0,a 1,...,a n ). Esimerkiksi siis jos R = Z, niin polynomi P = 2X 3 + 3X 5 tarkoittaa jonoa P = ( 5,3,0,2). Siis tuo symbolin X ylänurkassa oleva luku k ei ole varsinaisesti mikään eksponentti, vaan se kertoo, missä kohdassa jonoa P vastaava kerroin a k R on. Polynomi siis ei ole mikään kuvaus R R, vaan jono R:n alkioita. Polynomit eli jonot P 1 ja P 2 ovat samoja, mikäli niiden kaikki kertoimet ovat täsmälleen samoja. Polynomi P = (a 0,a 1,...,a n ) määrää kyllä kuvauksen R R, jota merkitään symbolilla P, kun määritellään n P(x) = a k x k R kaikille x R. k=0 Tätä kuvausta P : R R sanotaan polynomin P määräämäksi polynomikuvaukseksi. Erittäin tärkeää on huomata, että eri polynomeilla voi olla sama polynomikuvaus eli R(x) = S(x) kaikille x R R = S. Toisinpäin tuo implikaatio tietysti pätee. 6

12 Polynomin aste on sen korkeimman nollasta eroavan kertoimen indeksi eli jos P = k=0 a kx k, niin määritellään deg(p) = max{k a k 0}. Tuo asteen määritelmä ei kuitenkaan toimi nollapolynomille, jossa kaikki kertoimet ovat nollia. Sovitaan erikseen, että nollapolynomin aste on. Astetta 0 olevaa polynomia P = (a 0 ), a 0 0 sanotaan vakiopolynomiksi. R- kertoimisten polynomien joukkoa merkitään symbolilla R[X]. Yhteen- ja kertolasku joukossa R[X] määritellään asettamalla ( n ) ( m ) max{n,m} a k X k + b k X k = (a k + b k )X k ja k=0 k=0 ( n ) ( m ) a k X k b k X k = k=0 k=0 n+m k=0 k=0 i+j=k a i b j X k. Näillä laskutoimituksilla joukosta R[X] tulee rengas, jossa nolla-alkiona on nollapolynomi ja ykkösalkiona vakiopolynomi P = (1). Kuvaus R R[X], a (a) on rengasmonomorfismi, joten R on isomorfinen R[X]:n vakiopolynomeista koostuvan alirenkaan kanssa. Näin voidaan tulkita R polynomirenkaan R[X] alirenkaaksi, ja tätä tulkintaa jatkossa sujuvasti käytetäänkin, eikä siitä aina edes erikseen mainita. Tästä on muun muassa se hyöty, että polynomeja voidaan kertoa R:n alkioilla, kun tulkitaan ne ensin vakiopolynomeiksi. Toisaalta myös tällä tulkinnalla R:n nolla- ja ykkösalkio ovat R[X]:n nolla- ja ykkösalkio. Aina pätee deg(p 1 P 2 ) deg(p 1 ) + deg(p 2 ), mutta jos pohjarengas R on kokonaisalue, saadaan enemmänkin: Lause 1.9 Olkoon R kokonaisalue. Tällöin kaikille P 1,P 2 R[X] \ {0} pätee deg(p 1 P 2 ) = deg(p 1 ) + deg(p 2 ). Huomautus 1.10 Helpolla induktiolla nähdään, että lause 1.9 yleistyy: Kokonaisaluekertoimisille nollasta eroaville polynomeille pätee deg(p 1... P n ) = Kokonaisalueelle pätee myös seuraavaa: n deg(p i ). Lause 1.11 Olkoon R kokonaisalue. Tällöin myös R[X] on kokonaisalue. Kokonaisluvuille pätee tunnettu jakoyhtälö: jos a,b Z ja b 0 niin on olemassa yksikäsitteiset q,r Z, 0 r < b siten että a = qb + r. Vastaava jakoyhtälö saadaan myös polynomirenkaassa, mutta ei ilman lisäoletuksia. Jos pohjarengas R on kunta, pätee kuitenkin aina i=1 7

13 Lause 1.12 (Jakoyhtälö) Olkoon K kunta ja P 1,P 2 K[X], P 2 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset Q,R K[X], deg R < deg P 2 siten, että P 1 = Q P 2 + R. Sanotaan, että polynomi P 2 R[X] jakaa polynomin P 1 R[X] renkaassa R[X] (tai P 2 on P 1 :n tekijä), jos on olemassa polynomi Q R[X] siten, että P 1 = Q P 2. Sanotaan, että polynomi P R[X] \ {0} on jaoton renkaassa R[X], jos sillä ei ole tekijää S R[X], jolle pätisi 1 deg(s) < deg(p). Huomautus 1.13 Jaottomuuden määritelmässä on oleellista tuo lisämääre: renkaassa R[X]. Esimerkiksi polynomi X 2 2 on jaoton renkaassa Q[X], mutta ei ole jaoton renkaassa R[X], koska tässä renkaassa sillä on tuloesitys X 2 2 = (X 2) (X + 2). Huomautus 1.14 Jos R on kokonaisalue, niin astetta 0 tai 1 oleva polynomi on jaoton aina. Jos P R[X] ei ole jaoton, niin deg(p) 2 ja lauseen 1.9 nojalla P:llä on tekijät Q,S R[X], joille molemmille pätee 1 deg(s),deg(q) < deg(p). Lisäksi, jos P on jaoton ja U R[X] jakaa P:n niin joko U on vakio tai U = k P jollekin vakiolle k R \ {0}. Huomautus 1.15 Jos a 0 on vakio, P R[X] ja a P on jaoton, niin triviaalisti myös P on jaoton. Jos oletetaan, että R on kunta, niin myös käänteinen pätee, eli jos P on jaoton, niin myös a P on jaoton. Tämä seuraa huomautuksen alkuosasta, sillä P = a 1 (a P). Huomautus 1.16 Jos K on kunta, k K \ {0} ja P,U K[X], niin P jakaa U:n k P jakaa U:n P jakaa k U:n. Lause 1.17 Olkoon K kunta. Tällöin polynomirengas K[X] on pääideaalirengas eli kaikki sen ideaalit ovat pääideaaleja. Lause 1.18 Olkoon K kunta ja P K[X] jaoton ei-vakio polynomi sekä K[X] P alkion P määräämä renkaan K[X] pääideaali. Tällöin rengas K[X]/(K[X] P) on kunta. Äärellisen kunnan K tapauksessa tiedetään myös lauseen 1.18 antaman kunnan alkioiden lukumäärä: Lause 1.19 Olkoon K kunta, jonka alkioiden lukumäärä on q N ja P K[X] jaoton polynomi, jonka aste on d 1 sekä K[X] P alkion P määräämä renkaan K[X] pääideaali. Tällöin kunnan K[X]/(K[X] P) alkioiden lukumäärä on q d. Esimerkki 1.20 Olkoon K = Z 2 ja P = X 2 +X+1 Z 2 [X]. On helppo nähdä, että P on jaoton renkaassa Z 2 [X] (siis miten tämä nähdään?), jolloin lauseen 1.18 mukaan K = Z 2 /(Z 2 [X] P) on kunta. Koska P:n aste on 2 ja kunnan Z 2 alkioiden lukumäärä on myös 2, on kunnan K alkioiden lukumäärä lauseen 1.19 mukaan 2 2 = 4. Tämän kunnan K eli tekijärenkaan Z 2 /(Z 2 [X] P) neljä alkiota 8

14 ovat tekijäluokat [0],[1],[X] ja [X + 1]. Jätetään harjoitustehtäväksi varmistua siitä, että muita alkioita ei K:ssa ole, eli jokainen tekijäluokka [P], P Z 2 on jokin noista neljästä. Jätetään harjoitustehtäväksi myös laatia K:n yhteen- ja kertolaskun laskutaulut. Sanotaan, että alkio c R on polynomin P R[X] \ {0} juuri, jos se on P:n määräämän polynomikuvauksen P : R R nollakohta eli pätee P(c) = 0. Lause 1.21 Alkio c R on polynomin P R[X] juuri jos ja vain jos polynomi X c jakaa polynomin P. Kokonaisalueessa lausetta 1.21 voidaan parantaa: Lause 1.22 Olkoon R kokonaisalue, P R[X] ja c 1,...,c k R polynomin P eri juuria. Tällöin polynomi (X c 1 ) (X c 2 )... (X c k ) jakaa polynomin P. Tästä saadaan seurauslause: Lause 1.23 Olkoon R kokonaisalue ja P R[X] astetta d 0. Tällöin P:llä on korkeintaan d eri juurta. Lauseen 1.21 valossa voidaan määritellä polynomin juuren kertaluku: Olkoon P R[X] ja Sanotaan, että c R on polynomin P k-kertainen juuri, jos polynomi (X c) k jakaa polynomin P, mutta (X c) k+1 ei jaa polynomia P. Tämä on hyvin määritelty käsite, eli tällainen yksikäsitteinen k on olemassa jokaiselle polynomille P 0 ja sen jokaiselle juurelle c. Lausetta 1.23 voidaan parantaa: kokonaisalueessa d-asteisella polynomilla on kertaluvut huomioiden korkeintaan d juurta. Täsmällisemmin: Lause 1.24 Olkoon R kokonaisalue ja P R[X] astetta d 0. Olkoot c 1,...,c n R polynomin P eri juuria ja olkoon k i juuren c i kertaluku. Tällöin pätee k k n d. Sanotaan, että kunta K on algebrallisesti suljettu, jos jokaisella polynomilla P K[X] on juuri kunnassa K. Helpoilla esimerkeillä nähdään heti, että esimerkiksi Q ja R eivät ole algebrallisesti suljettuja. Sen sijaan C on algebrallisesti suljettu, mutta tämä osataan todistaa vasta liitteessä, vrt. johdanto. Algebrallisesti suljetussa kunnassa lause 1.24 paranee: Lause 1.25 Olkoon K algebrallisesti suljettu kunta ja P K[X] astetta d 0. Olkoot c 1,...,c n K polynomin P kaikki juuret, c i c j kun i j ja olkoon k i juuren c i kertaluku. Tällöin pätee k k n = d. Tästä saadaan Lause 1.26 Olkoon K algebrallisesti suljettu kunta. Tällöin jokainen polynomi P K[X], jolle deg(p) = d 1, voidaan esittää muodossa P = k(x c 1 )... (X c d ), missä k,c 1,...,c d K ja k 0. 9

15 Olkoon K kunta ja P,Q K[X] \ {0}. Sanotaan, että polynomi S K[X] \ {0} on polynomien P ja Q suurin yhteinen tekijä, jos S on sekä P:n että Q:n yhteinen tekijä ja lisäksi pätee ehto jos T K[X] \ {0} on P:n ja Q:n yhteinen tekijä, niin T jakaa S:n. Huomautus 1.27 Heti huomataan, että suurin yhteinen tekijä ei ole yksikäsitteinen, koska jos S on suurin yhteinen tekijä, niin myös k S on suurin yhteinen tekijä kaikille vakioille k K \ {0}. Toisaalta ei ole itsestään selvää, että suurinta yhteistä tekijää on olemassa. Näin nyt kuitenkin on: Lause 1.28 Olkoon K kunta ja P,Q K[X] \ {0}. Tällöin on olemassa P:n ja Q:n suurin yhteinen tekijä S K[X]. Lisäksi S on mahdollista vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen, ts. jos T on toinen P:n ja Q:n suurin yhteinen tekijä, niin T = k S jollekin k K \ {0}. Päätetään tämä kertausluku tärkeään Bezoutin lauseeseen: Lause 1.29 Olkoon K kunta ja P, Q K[X] \ {0} sekä S K[X] polynomien P:n ja Q:n suurin yhteinen tekijä. Tällöin on olemassa polynomit T,U K[X] siten, että S = T P + U Q. Lauseen 1.29 polynomit T ja U eivät ole yksikäsitteisiä. 2 Lisää polynomeista Tässä luvussa todistetaan muutamia kuntakertoimisiin polynomeihin liityviä tuloksia, joita ei algebran kurssin monisteesta löydy. Koko tämän luvun ajan K on (mielivaltainen) kunta. Olkoon P = n a k X k K[X], missä a n 0. k=0 Sanotaan, että a n K \ {0} on polynomin P johtava kerroin. Sanotaan, että P on perusmuotoinen, jos a n = 1 K. Lause 2.1 Olkoon P K[X] \ {0}. Tällöin on olemassa perusmuotoiset jaottomat polynomit Q 1,...,Q m K[X] \ {0} ja vakio k K \ {0} siten, että P = k Q 1... Q m. Todistus. Tehdään induktio P:n asteen d suhteen. Kun d = 0, niin P on vakio, P = k K. Tällöin voidaan valita Q 1 = 1, jolloin Q 1 on perusmuotoinen, jaoton ja P = k Q 1, eli väite pätee. 10

16 Oletetaan sitten induktiivisesti, että deg(p) = n 1, P = n a k X k, a n 0 k=0 ja että väite pätee kaikille polynomeille U, joille 0 deg(u) < n. Koska K on kunta ja a n K \ {0}, niin on olemassa a 1 n K. Jos P on jaoton, niin määritellään k = a n ja Q 1 = a 1 n P, jolloin Q 1 on perusmuotoinen, huomautuksen 1.15 perusteella jaoton ja sille pätee P = k Q 1, joten induktioväite pätee tässä tapauksessa. Oletetaan sitten, että P ei ole jaoton. Silloin huomautuksen 1.14 nojalla on olemassa polynomit U,V K[X] siten että P = U V ja 1 deg(u),deg(v ) < n. Silloin induktio-oletuksen nojalla on olemassa vakiot k,k K \ {0} ja perusmuotoiset, jaottomat polynomit Q 1,...,Q m,q 1,...,Q s K[X] siten että U = k Q 1... Q m ja V = k Q 1... Q s. Tällöin P = U V = k k Q 1... Q m Q 1... Q s, ja tämä esitys on haluttua muotoa, joten induktioaskel on otettu. Kokonaisluvuille pätee tunnetusti seuraavaa: Jos p on alkuluku ja p jakaa kokonaislukujen a ja b tulon ab, niin p jakaa (ainakin) toisen luvuista a ja b. Kuntakertoimisille polynomeille pätee tämän vastine: Lemma 2.2 Olkoon K kunta ja P K[X] jaoton polynomi. Olkoot lisäksi U,V K[X] siten, että P jakaa polynomin U V. Tällöin P jakaa joko U:n tai V :n. Todistus. Jos P jakaa U:n, niin väite pätee. Voidaan siis olettaa, että P ei jaa U:ta. Osoitetaan, että vakio 1 on P:n ja U:n suurin yhteinen tekijä. (1) Lauseen 1.28 mukaan P:llä ja U:lla on (jokin) suurin yhteinen tekijä S. Tämä S jakaa P:n ja koska P on oletuksen mukaan jaoton, niin huomautuksen 1.14 mukaan joko S = k tai S = k P jollekin vakiolle k K \ {0}. Toisaalta S jakaa myös U:n, jolloin tapauksessa S = k P huomautuksen 1.16 nojalla P = k 1 S jakaa U:n, mikä on vastoin yllä tehtyä oletusta. 11

17 Tämä tapaus ei siis ole mahdollinen, joten S = k K \ {0}. Tällöin huomautuksen 1.27 nojalla 1 = k 1 S on P:n ja U:n suurin yhteinen tekijä ja väite (1) on todistettu. Sovelletaan nyt Bezoutin lausetta Sen ja ehdon (1) nojalla on olemassa polynomit T,W K[X] siten, että Ehdon (2) nojalla saadaan yhtälö 1 = T P + W U. (2) V = V T P + W U V. (3) Koska oletuksen nojalla P jakaa tulon U V, niin on olemassa polynomi A K[X] siten että U V = A P. (4) Ehtojen (3) ja (4) nojalla saadaan V = (V T + W A) P, joten P jakaa V :n ja väite pätee Lemma 2.2 yleistyy: Lemma 2.3 Olkoon P K[X] jaoton polynomi. Olkoot lisäksi U 1,...,U m K[X] siten, että P jakaa polynomin U 1... U m. Tällöin P jakaa jonkin polynomeista U i, i = 1,...,m. Todistus. Tämä seuraa helpolla induktiolla lemmasta 2.2. Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. Lemman 2.3 avulla voidaan osoittaa, että lauseen 2.1 tuloesitys on (melkein) yksikäsitteinen: Lause 2.4 Olkoon P K[X], deg(p) 1. Tällöin on olemassa perusmuotoiset jaottomat polynomit Q 1,...,Q m K[X]\{0}, deg(q i ) 1 kaikille i = 1,...,m ja vakio k K siten, että P = k Q 1... Q m. (1) Lisäksi esitys (1) on tekijöiden Q i järjestystä vaille yksikäsitteinen. Todistus. Koska deg(p) 1, niin P 0, jolloin lauseen 2.1 nojalla esitys (1) on olemassa, paitsi että ehto deg(q i ) 1 kaikille i = 1,...,m ei välttämättä ole voimassa. Jos deg(q i ) < 1, niin kyseessä on vakiopolynomi, ja koska se on perusmuotoinen, niin kyseinen vakio on 1. Nämä mahdolliset Q i :t voidaan silloin poistaa esityksestä (1), jolloin ehto deg(q i ) 1 kaikille i = 1,...,m saadaan myös voimaan. Riittää siis osoittaa esityksen (1) yksikäsitteisyys. 12

18 Olkoon sitä varten P:llä kaksi tyyppiä (1) olevaa esitystä P = k Q 1... Q m = k S 1... S n. (2) Pitää osoittaa, että m = n, k = k ja että Q i :t ovat samat polynomit kuin S i :t; mahdollisesti kuitenkin eri järjestyksessä. Todistetaan tämä induktiolla m:n suhteen. Kun m = 1, ehdosta (2) saadaan k Q 1 = k S 1... S n. (3) Ehdon (3) ja huomautuksen 1.16 nojalla jokainen S i jakaa Q 1 :n. Koska Q 1 on jaoton ja S i :t eivät ole vakioita, niin huomautuksen 1.14 perusteella jokaiselle i on olemassa vakio k i K siten, että Q 1 = k i S i. Koska sekä Q 1 että S i :t ovat perusmuotoisia, niin kaikille i on oltava k i = 1, ja silloin S i = Q 1 kaikille i. Esityksestä (3) saadaan tällöin Ehdon (4) ja huomautuksen 1.10 perusteella k Q 1 = k Q n 1. (4) deg(q 1 ) = n deg(q 1 ), ja koska deg(q 1 ) 1, niin on oltava n = 1. Ehto (3) antaa silloin yhtälön k Q 1 = k S 1. (5) Koska sekä Q 1 että S 1 ovat perusmuotoisia, niin ehdon (5) nojalla on oltava k = k ja silloin myös Q 1 = S 1. Näin induktioväite on todistettu tapauksessa m = 1. Oletetaan sitten, että induktioväite pätee m:lle ja todistetaan se (m + 1):lle. Olkoon siis k Q 1... Q m Q m+1 = k S 1... S n. (6) Pitää osoittaa, että m + 1 = n, k = k ja että Q i :t ovat samat polynomit kuin S i :t; mahdollisesti kuitenkin eri järjestyksessä. Esityksen (6) ja huomautuksen 1.16 nojalla Q m+1 jakaa tulon S 1... S n. Koska Q m+1 on jaoton, niin voidaan soveltaa lemmaa 2.3, jonka mukaan Q m+1 jakaa jonkun polynomeista S i. Järjestämällä tarvittaessa polynomit S i uudelleen, voidaan olettaa, että Q m+1 jakaa polynomin S n. Kuten edellä induktion alkuaskeleessa, on tällöin jaottomuuden ja perusmuotoisuuden nojalla oltava Q m+1 = S n. Koska K on kunta, niin lauseen 1.11 nojalla K[X] on kokonaisalue, jossa lauseen 1.8 perusteella pätee supistussääntö. Koska siis Q m+1 = S n, niin ehdon (6) ja supistussäännön nojalla k Q 1... Q m = k S 1... S n 1. (7) 13

19 Induktio-oletuksen ja ehdon (7) nojalla k = k ja m = n 1 sekä Q i :t ovat samat polynomit kuin S i :t; mahdollisesti eri järjestyksessä. Induktioväite seuraa tästä. Yleisesti annetun polynomin jaottomuuden testaaminen on hyvin vaikea ongelma joissakin erikoistapauksissa ratkaisu on tietysti helppo. Kuten huomautuksessa 1.13 todettiin, oleellista jaottomuudessa on paitsi itse polynomi, myös se kerroinrengas, missä jaottomuutta tarkastellaan. Esimerkiksi siis polynomi X 2 2 on jaoton (miksi?) renkaissa Z[X] ja Q[X], muttei renkaassa R[X]. Vastaavasti polynomi X on jaoton (miksi?) renkaissa Z[X], Q[X] ja R[X], muttei renkaassa C[X]. Jatkoa varten osoittautuu ratkaisevan tärkeäksi, että renkaiden Z[X] ja Q[X] välillä ei ole tässä suhteessa eroa. Tämän sanoo lause 2.8. Siinä tulkitaan Z Q:n alirenkaaksi, jolloin Z[X] on automaattisesti Q[X]:n alirengas. Todistetaan kuitenkin ensin pari lemmaa. Lemma 2.5 Olkoot Q,R Z[X] ja p alkuluku siten, että vakio p jakaa tulon QR renkaassa Z[X]. Tällöin p jakaa joko Q:n tai R:n renkaassa Z[X]. Todistus. Olkoon Q = n m a k X k ja R = b k X k, a k,b k Z, k=0 k=0 jolloin polynomien tulon määritelmän mukaan QR = n+m k=0 c k X k, missä c k = k a i b k i. Polynomien kertolaskun ja jaollisuuden määritelmistä seuraa välittömästi, että vakiopolynomi jakaa Z-kertoimisen polynomin renkaassa Z[X] jos ja vain jos kyseinen vakio jakaa Z:ssa kaikki polynomin kertoimet. Riittää siis osoittaa, että joko p jakaa kaikki kertoimet a k, k = 0,...,n tai sitten p jakaa kaikki kertoimet b k, k = 0,...,m. Oletuksen nojalla p jakaa kaikki kertoimet c k, k = 0,...,n + m. Tehdään antiteesi: p ei jaa kaikkia lukuja a k eikä myöskään kaikkia lukuja b k. Tällöin voidaan valita k a = min{k p ei jaa lukua a k } ja k b = min{k p ei jaa lukua b k }. Oletuksen mukaan p siis jakaa kaikki kertoimet c k, joten erityisesti p jakaa kertoimen c ka+k b eli luvun c ka+k b = k a+k b i=0 14 i=0 a i b ka+k b i. (1)

20 Kun summassa (1) on 0 i < k a, niin luvun k a valinnan nojalla p jakaa a i :n, ja silloin p jakaa myös luvun a i b ka+k b i. Vastaavasti kun summassa (1) on k a < i k a + k b, niin 0 k a + k b i < k b, joten luvun k b valinnan nojalla p jakaa b ka+k b i:n, ja silloin p jakaa myös luvun a i b ka+k b i. Näin p jakaa summan (1) jokaisen termin lukuunottamatta mahdollisesti termiä, jossa i = k a. Koska p jakaa koko summan (1) ja kaikki muut termit mahdollisesti tätä yhtä lukuunottamatta, niin p:n on jaettava myös tämä termi, joka syntyy i:n arvolla i = k a ja on a ka b ka+k b k a = a ka b kb. (2) Koska p on alkuluku ja jakaa tulon (2), niin se jakaa toisen tämän tulon tekijöistä a ka tai b kb. Lukujen k a ja k b valinnan nojalla tämä on kuitenkin mahdotonta: p nimenomaan ei jaa lukuja a ka tai b kb. Näin antiteesi johti ristiriitaan, joten lemma on todistettu. Lemma 2.6 Olkoon P Z[X] jaoton polynomi ja n Z \ {0}. Tällöin myös tulo n P on jaoton polynomi renkaassa Z[X]. Todistus. Merkkiä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että n 1. Tapaus n = 1 on triviaali, joten voidaan olettaa, että n 2. Tällöin n voidaan esittää alkulukujen tulona, n = p 1... p m. (1) Tulossa voi tietysti esiintyä sama alkuluku useampaan kertaan. Tehdään induktio tarvittavien alkulukujen lukumäärän suhteen eli esityksessä (1) olevan luvun m 1 suhteen. Olkoon ensin m = 1, jolloin n = p 1 on alkuluku. Tehdään antiteesi: n P ei ole jaoton. Koska Z on kokonaisalue, niin tällöin huomautuksen 1.14 mukaan on olemassa Q,R Z[X], 0 < deg(q),deg(r) < deg(p) ja n P = Q R. (2) Ehdon (2) nojalla vakio n jakaa tulon Q R ja koska n on alkuluku, se jakaa lemman 2.5 nojalla renkaassa Z[X] joko Q:n tai R:n. Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että n jakaa Q:n, jolloin siis on olemassa Q Z[X] siten, että Q = n Q. Tällöin ehdon (2) nojalla n P = n Q R, josta supistussäännön nojalla P = Q R. (3) Koska ehdon (2) mukaan 0 < deg(r) < deg(p), niin ehto (3) merkitsee sitä, että P ei ole jaoton renkaassa Z[X]. Tämä on vastoin oletusta, joten tarvittava ristiriita saatiin aikaan, ja induktion alkuaskel on otettu. Induktion yleinen askel onkin nyt helpompi. Oletetaan, että väite pätee m:lle ja todistetaan se (m + 1):lle. Olkoon n muotoa n = p 1... p m p m+1. 15

21 Merkitään n = p 1... p m. Induktio-oletuksen nojalla n P on jaoton renkaassa Z[X]. Koska p m+1 on alkuluku, niin induktion alkuaskeleen nojalla p m+1 n P on on jaoton renkaassa Z[X]. Induktioväite seuraa tästä, koska p m+1 n = n. Huomautus 2.7 On ehkä syytä huomata, että lemman 2.6 väite on triviaali renkaassa Q[X] eli pätee seuraavaa: Jos P Q[X] on jaoton polynomi ja q Q \ {0}, niin myös tulo q P on jaoton polynomi renkaassa Q[X]. Tämä seuraa helposti huomautuksesta 1.16, koska Q on kunta. Vastaava tulos saadaan missä tahassa polynomirenkaassa K[X], kun K on kunta. Lemman 2.6 varsinainen sisältö on siis siinä, että se toimii ei-kunnassa Z, jossa ei jakolaskua tunneta. Lause 2.8 Olkoon P Z[X] Q[X] kokonaislukukertoiminen polynomi. Tällöin P on jaoton renkaassa Z[X] jos ja vain jos se on jaoton renkaassa Q[X]. Todistus. Väitteen tämä suunta on triviaali; se seuraa suoraan jaottomuuden määritelmästä. Tämä suunta on lauseen varsinainen sisältö. Olkoon siis P jaoton renkaassa Z[X]. Tehdään antiteesi: Se ei ole jaoton renkaassa Q[X]. Tällöin huomautuksen 1.14 nojalla on olemassa Olkoot Q,R Q[X], 0 < deg(q),deg(r) < deg(p) ja P = Q R. (1) Q = m α i X i ja R = i=0 k β i X i, missä α i,β i Q. i=0 Rationaaliluvut α i ja β i voidaan esittää muodossa α i = a i b i, β i = c i d i, a i,c i Z, b i,d i Z \ {0}. Merkitään n b = b 0... b m Z \ {0} ja n d = d 0... d k Z \ {0}. Lavennetaan ehdon (1) yhtälö P = Q R luvulla n = n b n d Z \ {0}, jolloin saadaan yhtälö n P = ( m i=0 a i n b X i b i ) ( k i=0 c i n d d i X i ). (2) Lukujen n b ja n d määritelmän nojalla b i :t ovat luvun n b tekijöitä ja vastaavasti d i :t ovat luvun n d tekijöitä. Tämä merkitsee sitä, että esityksessä (2) olevat polynomit Q = m i=0 a i n b b i X i ja R = k i=0 c i n d d i X i 16

22 ovat kokonaislukukertoimisia eli Q,R Z[X]. Koska n b,n d,n 0, niin deg(q ) = deg(q), deg(r ) = deg(r) ja deg(n P) = deg(p). Silloin ehdon (1) nojalla 0 < deg(q ),deg(r ) < deg(n P). Koska siis n P = Q R, niin tällöin n P ei ole jaoton renkaassa Z[X]. Oletuksen mukaan itse P on kuitenkin jaoton renkaassa Z[X], joten lemman 2.6 mukaan n P on myös jaoton tässä renkaassa. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite pätee. Esimerkki. Onko polynomilla P = X 3 +X 2 +X +2 rationaalijuuria? Väitetään, että ei ole ja todistetaan tämä. Tehdään antiteesi että on. Tällöin lauseen 1.21 nojalla P ei ole jaoton renkaassa Q[X] eikä se silloin lauseen 2.8 nojalla voi olla jaoton myöskään renkaassa Z[X]. Silloin on olemassa astetta 1 ja 2 olevat kokonaislukukertoimiset polynomit Q = ax + b ja R = cx 2 + dx + e siten, että P = Q R. Koska P on perusmuotoinen, niin on oltava ac = 1. Koska a, c Z, niin tällöin on oltava a = c = ±1. Merkkiä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että a = c = 1. Tällöin P = Q R = (X + b)(x 2 + dx + e). Polynomikuvaukselle P : Z Z pätee tällöin P( b) = ( b + b)(( b) 2 db + e) = 0 eli b Z on P:n juuri. Helposti kuitenkin nähdään, että P on kasvava ja P( 2) < 0 < P( 1), joten kokonaislukujuuria ei voi olla. Tämä ristiriita todistaa väitteen. Myös seuraava jaollisuusehto osoittautuu jatkossa hyödylliseksi: Lause 2.9 (Eisensteinin ehto) Olkoon P = n a i X i Z[X] Q[X]. i=0 Oletetaan, että on olemassa alkuluku p siten, että p jakaa kaikki kertoimet a 0,...,a n 1, p ei jaa kerrointa a n p 2 ei jaa kerrointa a 0. Tällöin P on jaoton renkaassa Q[X]. Todistus. Koska p ei jaa lukua a n, niin a n 0, ja silloin deg(p) = n. Tehdään antiteesi: P ei ole jaoton renkaassa Q[X]. Tällöin lauseen 2.8 nojalla P ei ole jaoton myöskään renkaassa Z[X]. Siten on olemassa polynomit Q = m b i X i Z[X] ja R = i=0 ja k c i X i Z[X] i=0 siten, että P = Q R ja (1) 0 < deg(q),deg(r) < deg(p) = n. (2) 17

23 Voidaan lisäksi olettaa, että b m 0 ja c k 0, jolloin ehdon (2) nojalla saadaan 0 < m,k < n (3) ja lisäksi koska Z on kokonaisalue lauseen 1.9 perusteella m + k = n. Tällöin ehdon (1) ja polynomien tulon määritelmän mukaan Vastaavasti pätee a n = b m c k. (4) a 0 = b 0 c 0. (5) Oletuksen nojalla p jakaa luvun a 0, ja koska p on alkuluku, se jakaa ehdon (5) perusteella ainakin toisen luvuista b 0 tai c 0. Toisaalta kuitenkin oletuksen mukaan p 2 ei jaa lukua a 0, joten ehdon (5) nojalla p ei voi jakaa molempia lukuja b 0 ja c 0. Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että p jakaa luvun b 0 ja (6) p ei jaa lukua c 0. (7) Oletuksen mukaan p ei jaa lukua a n, joten ehdon (4) perusteella p ei jaa lukua b m. (8) Koska ehdon (3) perusteella m 1, niin ehdon (8) nojalla voidaan valita Ehdon (3) nojalla pätee j = min{i = 1,...,m p ei jaa lukua b i }. Ehdon (1) ja polynomien tulon määritelmän mukaan joten a j = 1 j < n. (9) j b i c j i, i=0 j 1 b j c 0 = a j b i c j i. (10) Luvun j valinnan ja ehdon (6) nojalla p jakaa jokaisen b i :n kun i = 0,1,...,j 1, jolloin p jakaa ehdossa (10) olevan summan jokaisen termin ja siten koko summan. Lisäksi oletuksen ja ehdon (9) nojalla p jakaa luvun a j. Silloin ehdon (10) nojalla p jakaa luvun b j c 0. Koska p on alkuluku, niin se jakaa tällöin ainakin toisen luvuista b j tai c 0. Luvun j valinnan nojalla p ei voi jakaa lukua b j, joten se jakaa luvun c 0. Tämä on vastoin ehtoa (7). i=0 18

24 Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite pätee. Esimerkki. Tutkitaan Eisensteinin ehdon avulla polynomin P = 2 9 X X4 + X jaottomuutta renkaassa Q[X]. Koska Q on kunta, niin huomautuksen 1.15 nojalla voidaan ensin laventaa nimittäjät pois eli riittää tutkia kokonaislukukertoimisen polynomin P = 9 P = 2X X 4 + 9X jaottomuutta. Lauseen 2.8 nojalla riittää tutkia P:n jaottomuutta renkaassa Z[X]. Eisensteinin ehdon nojalla riittää keksiä alkuluku, joka jakaa kertoimet 3,9 ja 15, joka ei jaa kerrointa 2 ja jonka neliö ei jaa kerrointa 3. Tällaisen keksiminen ei ole kovin vaikeaa: kolmonen kelpaa. Siten P on jaoton renkaassa Z[X] ja siten myös renkaassa Q[X], jolloin myös P on jaoton renkaassa Q[X]. Todistetaan tässä vielä yksi jatkossa tarvittava lemma: Lemma 2.10 Olkoon L kunta ja K sen alikunta. Olkoot P,Q K[X], Q 0 ja R L[X] siten, että Q R = P. Tällöin myös R K[X]. Todistus. Olkoon Q = m k=0 a kx k, missä a 0,...,a m K, a m 0. Tehdään induktio R:n asteen suhteen. Kun deg(r) = 0, niin R on vakio, R = r L. Pitää siis osoittaa, että r K. Oletuksen nojalla r Q K[X] eli m ra k X k K[X]. k=0 Erityisesti tällöin ra m K ja koska a m K \ {0}, niin r = (ra m ) a 1 m K eli väite pätee. Tehdään sitten induktio-oletus, että n 1 ja että väite pätee korkeintaan (n 1)- asteisille polynomeille, ja olkoon deg(r) = n. Tällöin R on muotoa R = n b k X k, b 0,...,b n L, b n 0. k=0 Koska Q R = P K[X], niin P = m+n k=0 c k X k, missä c k = i+j=k Erityisesti c m+n = a m b n, joten, koska a m K \ {0}, a i b j K kaikille k = 0,...,m + n. b n = c m+n a 1 m K. (1) 19

25 Siten väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että Merkitään n 1 S = b k X k L[X] k=0 b 0,...,b n 1 K. (2) ja T = b n X n L[X], jolloin R = S + T. Väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että S K[X]. (3) Koska R = S + T ja Q R = P, niin Q (S + T) = P, jolloin Q S = P Q T. (4) Ehdon (1) nojalla T K[X] ja silloin oletusten nojalla P Q T K[X]. Tällöin ehdon (4) nojalla Q S K[X]. (5) Koska deg(s) n 1, niin induktio-oletuksen ja ehdon (5) perusteella väite (3) seuraa. 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta Lukualueitten ja/tai algebran kurssilla on konstruoitu rationaalilukujen kunta Q. Tässä konstruktiossa ikäänkuin lisätään kokonaislukujen renkaaseen Z (joka ei ole kunta) muotoa m/n olevat termit, ja saadaan aikaan kunta, jota sitten Q:ksi kutsutaan. Samankaltaisella metodilla mikä hyvänsä kokonaisalue voidaan täydentää kunnaksi. Käydään kertauksen vuoksi tämä prosessi vielä ilman todistuksia läpi. Määritellään ensin joukkoon Z (Z \ {0}) relaatio asettamalla (p,q) (a,b) jos pb = aq. (1) Tämä relaatio on ekvivalenssirelaatio. On kuitenkin huomattava, että relaation transitiivisuus on epätriviaalia, sillä sen todistamisessa tarvitaan Z:n supistussääntöä. Koska jokaisessa kokonaisalueessa supistussääntö toimii lauseen 1.8 nojalla, niin vastaava relaatio on ekvivalenssirelaatio missä tahansa kokonaisalueessa. Joukossa Z (Z \ {0}) voidaan määritellä yhteen- ja kertolasku asettamalla (p,q) + (a,b) = (pb + aq,qb) ja (p,q) (a,b) = (pa,qb). (2) Nämä ovat hyvin määriteltyjä laskutoimituksia. Huomaa, että ei tämäkään aivan triviaalia ole: pitää tietää, että qb 0. Tämä seuraa sitä, että Z on kokonaisalue. Vastaavat laskutoimitukset voidaan määritellä missä hyvänsä kokonaisalueessa. Pitkähköjen laskelmien (joissa supistussääntö on tärkeässä roolissa) jälkeen havaitaan, että yllä määritellyt laskutoimitukset ovat yhteensopivia 20