Moniulotteisuuden ihmeitä: Shapiron syklinen epäyhtälö

Transkriptio

1 6 Solmu /08 Moiulotteisuude ihmeitä: Shpiro syklie epäyhtälö Es V Veslie Mtemtik oh sttistik Åo Akdemi Edellisessä Solmu umeross rtikkeliss [7] kerrottii Nesitti epäyhtälöstä: Nesitti epäyhtälö Jos j ovt positiivisi relilukuj ii Tämä o eräs klssisimmist esimerkeistä loistvist mtemttisist ogelmist Ogelm o tyylikäs helppo muotoill j ymmärtää j se voi rtkist lukuisill eri tvoill j kuiteki mikää iv yksikertie ide ei toimi v joti hiem epätrivili rtkisu etee o pkko tehdä rtkisutvst riippumtt Tässä rtikkeliss trkstelemme Nesitti epäyhtälö yleistämistä usemmille muuttujille Korkemmiss ulottuvuuksiss tämä joht vrsi mielekiitoisee j yllättävää hvitoo j trjo toislt loistv tekosyy esitellä moi kuiit epäyhtälöihi liittyviä ideoit j tuloksi Cuhy Shwrzi epäyhtälö Aloitmme esi lkuperäisestä kolme muuttuj tpuksest jtke sitte eljä muuttuj tpuksee j siitä ylöspäi Eräs tehoks tp käsitellä ämä esimmäiset tpukset perustuu Cuhy Shwrzi epäyhtälöö mikä oki miiot sillä se o muuteki vrsi tärkeä epäyhtälö Se o myös esiityyt pitkä mtemtiik ylioppilskokeiss syksyllä 04 Cuhy Shwrzi epäyhtälö Jos o positiivie kokoisluku j jos j ovt relilukuj ii Todistus Relilukuje eliöt ovt i epäegtiivisi Voimme site todist Cuhy Shwrzi epäyhtälö vikkp kirjoittmll vsemm j oike puole erotukse eliöide summ O hiem äppärämpää tehdä tämä erotukselle khdell kerrottu: k k l k k l k l l k k l + k l l k k k k k l k k l + l k k k l l k l k l l k 0 l l l

2 Solmu /08 7 Nesitti epäyhtälö Atkmme luksi Nesitti epäyhtälölle erilie todistus kui rtikkeliss [7] Tällä kert käytämme Cuhy Shwrzi epäyhtälöä Nesitti epäyhtälö todistus Todistukse jtukse o lisätä epäyhtälö vsemmlle puolelle sopiv ylimääräie tekijä j loitt käyttämällä Cuhy Shwrzi epäyhtälöä ii että ikävältä tutuvt imittäjät häviävät: Cuhy Shwrzi epäyhtälö muk Kosk lisäksi tiedämme yt siis että + + j riittää eää todist että Mutt tämä viimeie seur suor Cuhy Shwrzi epäyhtälöstä sillä oh oltv Neljä muuttuj + + O luoollist kysyä voisiko Nesitti epäyhtälöä yleistää usemmille muuttujille jollki tvll? Osoittutuu että tämä o mhdollist Esimerkiksi eljälle muuttujlle pätee seurv epäyhtälö Luse Jos j d ovt positiivisi relilukuj ii pätee + d + d + + d + Todistus Aloitmme jällee käyttämällä Cuhy Shwrzi epäyhtälöä jok ojll voimme rvioid + d + d + + d d + d + + d + + d Kosk khdelle reliluvulle x j y i pätee o oltv x y 0 x + y xy Tällä khde muuttuj ritmeettis-geometrisell epäyhtälöllä voimme rvioid termeittäi että + d + d + + d + d d d + d + + d + d Yhdistämällä tämä iemp rvioo j sievetämällä sd hluttu epäyhtälö Viisi muuttuj + d + d + + d + Nyt o luoollist jtk kysymällä mitä viide muuttuj tilteess käy Osoittutuu että se toimii odotetulisesti: Luse Jos d j e ovt positiivisi relilukuj ii + d + d + e + d e + + e + 5 Todistus Aloitmme smoi kui iemmiki rvioimll esi Cuhy Shwrzi epäyhtälöllä + d + d + e + d e + + e + + d + e + d + d + e + de + d + e + e Kertomll eliö + d + e uki voimme jtk d + e + e Riittää siis todist että d + e + d + d + e + de + d + e + e

3 8 Solmu /08 Mutt tämä voi tehdä helposti vikkp Cuhy Shwrzi epäyhtälöä käyttäe kosk sehä muk d + e d + d + e + e d + d + e + e d + d + e + de + d + e + e Kuusi muuttuj Miittkoo vielä että smlisi työklui pystyy todistm myös kuude muuttuj versio: Luse Jos d e j f ovt positiivisi relilukuj ii + d + d + e + d e + f + e f + + f 3 + Jätämme tämä todistmise lukij pohdittvksi Shpiro ogelm Vuo 954 Shpiro esitti kysymykse: päteekö kikille kokoisluvuille 3 j positiivisille reliluvuille epäyhtälö ? Tämä kysymys o tieteki vrsi luoollie yllä lueteltuje erikoistpuste vloss Lighthill osoitti että epäyhtälö ei päde 0 muuttuj tpuksess mikä vsi uude kysymykse siitä mille kikille muuttujie lukumäärille epäyhtälö pätee? Moie moituiste kääteide j useide mtemtikoide hkeroii jälkee lopulliseksi vstukseksi osoittutui että se pätee prillisille muuttujie lukumäärille j prittomille 3 Rkii j Drifeldi tulokset Tieteki yt voi kysyä kuik phsti epäyhtälö oikest epäoistuu isoill muuttujie lukumäärillä? O vrsi kiitois että Shpiro ogelm kltie ilmio kuiteki toteutuu kikill Rki imittäi todisti että jokisell kokoisluvull 3 löytyy vkio γ site että kikille positiivisille reliluvuille pätee γ j lisäksi että peräti γ γ missä γ Myöhemmi luvu γ rvoj prettii moee kert j o luoollist kysyä mikä o se prs mhdollie rvo Sokeri pohjll hluisimme kerto Fieldsi mitlisti Drifeldi vrsi uore löytämästä tuloksest jok kertoo luvu γ prh mhdollise rvo Nimittäi: Drifeldi luse Kikille Z + j positiivisille reliluvuille pätee γ missä γ o eräs tietty positiivie relivkio jolle γ Lisäksi tässä luku γ ei voi korvt millää isommll reliluvull Epäyhtälö oike puoli o siis vi reilu proseti pieempi kui Shpiro ehdottm! Aiomme lopuksi esittää todistukse tälle Drifeldi söpölle epäyhtälölle Sivuutmme kuiteki se osoittmise että tämä vkio γ rvo o tosi prs mhdollie Optimlisuude todistus o hiem työläs mutt jtus o vrsi yksikertie: Ku o ettu mielivltise piei positiivie reliluku ε vlit esi riittävä isoksi j sitte muuttujt site että epäyhtälö todistuksess jokie rvio o hyvi trkk Tällä tvll voi vlit luvut site että epäyhtälö vsemm puole lusekkee rvo o pieempi kui γ + ε/ Koveksit fuktiot Olkoot j relilukuj joille < Kutsumme relilukuje joukkoj ] [ ] [ j ] [ voimiksi väleiksi joukkoj ] ] [ ] j [ [ suljetuiksi väleiksi j joukkoj puolivoimiksi väleiksi [ [ j ] ] Määritelmä Olkoo I R joki väli Somme että fuktio f : I R o koveksi jos kikill λ [0 ] j kikill x y I pätee λfx + λ fy f λx + λ y Tässä määritelmässä esiityvä epäyhtälö soo että fuktio f kuvj pisteet x fx j y fy yhdistävä j ei käy kuvj lpuolell Käytäössä o usei helppo käyttää seurv kriteeriä

4 Solmu /08 9 Luse Olkoo I R voi väli j olkoo f : I R derivoituv fuktio Tällöi f o koveksi jos j vi jos derivtt f o ksvv fuktio Jos f o khdesti derivoituv ii se o koveksi jos j vi jos se toie derivtt ei s egtiivisi rvoj Kriteeri jälkimmäie os seur välittömästi edellisestä j edellie os o välirvolusee sovellus mutt sivuutmme yksityiskohdt Tässä o ehkä selvetävää huomt että derivt f ksvvuus trkoitt sitä että siirrettäessä pistettä x fx fuktio f kuvj pitki oikelle siihe piirretty kuvj tgetti voi kiertää vi vstpäivää mutt ei kosk myötäpäivää Esimerkkejä Fuktiot j x x : R R x e x : R R x x : R + R ovt koveksej Tämä voi hvit esimerkiksi siitä että iide derivtt j ovt ksvvi fuktioit Se sij fuktiot x x: R R x e x : R R x x : R + R Lusekkeide x e x j /x määräämie fuktioide kuvjt Nämä kolme fuktiot ovt koveksej 0 05 j x si x: R R x x 3 + x : R R eivät ole koveksej Tämä äkee vikkp siitä että -0 j si 0 + si π < si π si 0 + π < jolloi koveksisuude määritelmä ei päde erikoistpuksess λ / Lusekkeide si x j x 3 + x määräämie fuktioide kuvjt Nämä kksi fuktiot eivät ole koveksej -05-0

5 30 Solmu /08 Jesei epäyhtälö Toie tärkeistä työkluist joit trvitsemme Drifeldi epäyhtälö todistmisee o Jesei epäyhtälö jot käytämme todistukse viimeisessä skeleess Se o kuiteki vrsi vhv j tehoks työklu jote sille ktt omist joki verr ik Jesei epäyhtälö Olkoot I väli j f : I R koveksi fuktio Olkoo lisäksi Z + olkoot x x x relilukuj väliltä I j olkoot p p p relilukuj väliltä [0 ] site että p + p + + p Tällöi p fx + p fx + + p fx Erityisesti pätee fx + + fx fp x + p x + + p x x + + x f Todistus Jälkimmäie epäyhtälö tieteki seur edellisestä vlitsemll yksikertisesti p p p / jote riittää todist vi edellie Todistmme se iduktioll Tpus o itse siss trivili sillä silloi epäyhtälö molemmt puolet ovt yhtä suuret Tpus puolest o täsmällee sm kui koveksisuude määritelmä Oletet siis että olemme todisteet se jollki kokoisluvull eitää muuttuj tpuksess j olkoot x x x + lukuj väliltä I j olkoot p p p + lukuj väliltä [0 ] site että p + p + + p + Merkitää yksikertisuude vuoksi P p + + p jolloi p + P Todistmme Jesei epäyhtälö + muuttujlle soveltmll iduktio-oletukse muuttuj versiot j koveksisuude määritelmä khde muuttuj versiot: p fx + + p fx + p + fx + p P P fx + + p P fx + P fx + p x + + p x P f + P fx + P f P px + + p x + P x + P fp x + + p x + p + x + Esimerkkejä Jesei epäyhtälö käytöstä Ktsokmme pikisesti läpi pri yksikertist esimerkkiä Jesei epäyhtälö käytöstä: Kvdrttis-ritmeettie epäyhtälö Olkoo Z + j olkoot x x x positiivisi relilukuj Tällöi x + x + + x x + x + + x Todistus Olemme jo iemmi todeeet että fuktio x x : R R o koveksi Site Jesei epäyhtälö ojll x + + x x + + x mistä väite seurki ottmll eliöjuuret puolitti Aritmeettis-geometrie epäyhtälö Olkoo Z + j olkoot x x x positiivisi relilukuj Tällöi x + x + + x Todistus Merkitää esi x x x y log x y log x Ekspoettifuktio exp: R R o koveksi kute iemmi todettii Site Jesei epäyhtälö ojll eli e y + + e y x + + x kute pitiki Vkio γ rvo e y++y/ e y e y x x Vkio γ täsmällie määrittely Drifeldi epäyhtälössä o hiem hieosyie Määrittelemme pufuktio g : R R jost vdimme että gx e x j gx e x + e x/ kikill x R j lisäksi vdimme että g o koveksi Tällisell fuktioll o sellie omiisuus että Drifeldi epäyhtälö pätee vkioll γ g0 Ei ole hkl vkuuttu siitä että prs tp vlit g o ott miimi lusekkeide e x j /e x + e x/ määräämistä fuktioist j pikt origo ympäristöö ilmestyvä epäkoveksi os kuvjie yhteisellä tgetill

6 Solmu /08 3 Trkemmi o geometrisesti selvää että o olemss yksikäsitteie suor l jok sivu molempie fuktioide e x j /e x + e x/ kuvji lhlt Tämä suor sivu kuvj y e x josski pisteessä x y missä x > 0 j kuvj y /e x + e x/ josski pisteessä x y missä x < 0 Määrittelemme fuktio g kokreettisesti settmll /e x + e x/ ku x < x y y gx x x + y ku x x x j x x e x ku x > x Lusekkeide e x j /e x + e x/ kuvjt luvut josski järjestyksessä Tällöi Todistus Jälkimmäie epäyhtälö seur helposti edellisestä vihtmll lukuje merkit jote riittää todist vi edellie Todistmme se iduktioll muuttujie lukumäärä suhtee Todistettv epäyhtälö pätee trivilisti ku muuttujie lukumäärä o Oletet sitte että kokoisluku o sellie että epäyhtälö pätee muuttujie lukumäärällä j olkoot relilukuj kute suuruusjärjestysepäyhtälö muotoiluss Oletet esi että ei ole suuri luvuist jolloi siis löytyy ideksi i { } jolle i j kikille j { } j i > Tällöi eli i i 0 i i + i + i eli lusekkee + + rvo ei pieee ku vihdmme luvut i j keskeää Site voimme olett että l kikille l { } Mutt tässä tpuksess todistettvss epäyhtälössä oike j vsemm puole viimeiset termit ovt yhtä suuret j se seur suor iduktiooletukse muuttuj suuruusjärjestysepäyhtälöstä Suuruusjärjestysepäyhtälö sovelluksi Lusekkeide e x j /e x + e x/ kuvjie yhteie tgetti Ylempi leikkuspiste sijitsee pystykseli pisteessä Yhteie tgetti leikk pystykseli hiem lemmss pisteessä γ Vkio γ rvo epäyhtälössä o lähellä rvo siksi että kuvioo sytyvä kolmio o ii litteä Suuruusjärjestysepäyhtälö Toie trvittv työklu Drifeldi epäyhtälö todistmisee o suuruusjärjestysepäyhtälö: Suuruusjärjestysepäyhtälö Olkoo Z + j olkoot j relilukuj joille j Olkoot lisäksi Ee jtkmist äytämme pri esimerkkiä siitä mite suuruusjärjestysepäyhtälöä voi käyttää Luse Olkoot j positiivisi relilukuj Tällöi Todistus Olkoot luvut j missä ths suuruusjärjestyksessä Tällöi luvut j ovt myös smss suuruusjärjestyksessä Esimerkiksi jos o isoi luvuist j ii silloi o isoi luvuist j Ti jos esimerkiksi o toiseksi piei luvuist j ii silloi o toiseksi piei luvuist Kosk lukuje j lukuje suuruusjärjestykset ovt smt o siis suuruusjärjestysepäyhtälö muk oltv

7 3 Solmu /08 Luse Olkoot j positiivisi relilukuj Tällöi Todistus Symmetri vuoksi voimme olett että Tällöi myös j toislt myös j j jolloi voimme sovelt suuruusjärjestysepäyhtälöä khdesti rvioidksemme Drifeldi epäyhtälö todistus Todistkmme lopuksi Drifeldi epäyhtälö häe om rgumetti [] seurte Eli olkoo Z + j olkoot positiivisi relilukuj Määritellää yksikertisuude vuoksi S Tvoitteemme o osoitt että S γ g0 missä g o iemmi määrittelemämme koveksi fuktio Aloitmme muuttujvihdoll 3 jolloi j S Olkoot seurvksi luvut luvut järjestettyä uudellee ii että Tällöi luvut j luvut ovt smss suuruusjärjestyksessä jolloi suuruusjärjestysepäyhtälö ojll S l + l+ l Lisäämme lusekkee symmetri hiem kirjoittmll vielä S l + l+ l l + l+ + l + l+ l l l + l+ + l+ + l l l l + l+ + l+ + l l Otmme käyttöö jällee uudet muuttujt settmll d l l l+ jokiselle l { } jolloi siis Lisäksi d d d d d d Lisäksi setmme e l l + l+ + l+ + l jokiselle l { } jolloi siis S e l l Kiiitetää seurvksi l { } j trkstell yhtä termiä e l Esiäki e l l+ + l+ l + l + l l+ l l+ + l+ + l + l + l+ + d l d l + l + l+ d l + d l + l + l+

8 Solmu /08 33 Tästä seur että jos d l ii silloi sulkeide sisällä toie termi o selvästi epäegtiivie jolloi e l d l Jos ts d l < ii silloi sulkeide sisällä toie termi o egtiivie j kosk Cuhy Shwrzi epäyhtälöllä voimme rvioid + l + l+ + l l+ + d l smme termille e l rvio e l + d l d dl + l + dl d l dl + d l d l dl + d l + d l Nyt voimme siis rvioid S e l l l d l d l + l d l < d l + d l Tehkäämme vielä viimeie muuttujvihto settmll jolloi x log d x log d x log d x + x + + x log d d d log 0 Näide uusie muuttujie vull voimme kirjoitt viimeise rviomme muodoss S l x l 0 e x l + l x l <0 e x l + e x l / Kosk e x gx j /e x + e x/ gx kikill x R voimme edellee rvioid S gx l l Lopuksi kosk g oli koveksi fuktio voimme Jesei epäyhtälöllä rvioid S l j olemme vlmiit gx l g x + x + + x g0 Ogelmi pohdittvksi Ogelm Olkoot j positiivisi relilukuj Osoit että Ogelm Olkoot j positiivisi relilukuj Osoit että Ogelm 3 Olkoot j positiivisi relilukuj Osoit että Ogelm 4 Olkoot α β j γ kolmio kulmt rdieiss Osoit että t α + t β + t γ 3 Ogelm 5 Olkoot α β j γ kolmio kulmt Osoit että si α + si β + si γ 3 3 Ogelm 6 Todist että jos p [ [ jos Z + j jos x x x ovt positiivisi relilukuj ii p x p + xp + + xp x + x + + x Ogelm 7 Osoit potessikeskirvoje epäyhtälö: Jos r j s ovt positiivisi relilukuj joille r s jos Z + j jos x x x ovt positiivisi relilukuj ii r x r + x r + + xr x s s + x s + + xs Ogelm 8 Olkoot d e j f positiivisi relilukuj Osoit että Lähteet + d + d + e + d e + f + e f + + f 3 + Alkuperäie lähde Nesitti epäyhtälölle o [] j Shpiro ogelmlle [] Shpiro ogelm vrhisemp histori o lyhyesti esitelty kirj [0] kppleess j myöhempää histori eriomisess rtikkeliss [] Drifeldi todistust voi ihmetellä vikkp häe lkuperäise rtikkelis kääöksestä [] egliksi Klssisi epäyhtälöitä o käsitelty moie muide teoste ohell kirjoiss [8 0 3] Solmu sivuill rtikkeleiss [ ] j Iteretissä vikkp mtemtiik olympivlmeukse mterilisivuill [9 4]

9 34 Solmu /08 Viitteet [] Clusig A: A review of Shpiro s yli iequlity kokoomteoksess [5] 7 3 [] Drifel d V G: A yli iequlity Mthemtil Notes [3] Ervll-Hytöe A-M: Aritmeettie j geometrie keskirvo Solmu / [4] Hlmetoj M: Epäyhtälöistä os Solmu /00 4 [5] Hlmetoj M: Epäyhtälöistä os Solmu 3/00 8 [6] Hlmetoj M: Krmt epäyhtälö Solmu 3/ [7] Lehtori K: Lumov yhtälö j hieo epäyhtälö Solmu / [8] Hug P K: Serets i Iequlities: volume si iequlities GIL Pulishig House 007 [9] Lpplie J j A-M Ervll-Hytöe: Epäyhtälöoppi mtemtiikkolympiliste tehtävii kirjllisuus/eykirjpdf [0] Mitriović D S: Alyti Iequlities Die Grudlehre der mthemtishe Wisseshfte 65 Spriger-Verlg 970 [] Nesitt A M: Prolem 54 Edutiol Times [] Shpiro H S: Prolem 403 Ameri Mthemtil Mothly [3] Steele J M: The Cuhy Shwrz Mster Clss A itrodutio to the rt of mthemtil iequlities MAA Prolem Books Cmridge Uiversity Press 004 [4] Vderlid P: Epäyhtälöide kieltämätö viehätys kirjllisuus/vderlidpdf [5] Wlter W toim: Geerl Iequlities 6 6th Itertiol Coferee o Geerl Iequlities Oerwolfh De Itertiol Series i Numeril Mthemtis 03 Spriger 99 Solmu mtemtiikkdiplomit Solmu mtemtiikkdiplomit I X tehtäviee ovt tulostettviss osoitteess mtemtiikklehtisolmufi/diplomihtml Alimmt tsot ovt koulu lkuu ylimmissä riittää pohtimist lukiolisilleki Opettjille lähetetää pyyöstä vstukset koulu sähköpostii Pyyö voi lähettää osoitteesee juh piste ruokolie t yhoo piste om