Konenäkö ja kuva-analyysi. Tuomo Rossi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos

Transkriptio

1 Konenäkö ja kuva-analyys Tuomo Ross Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 9. syyskuuta 2008

2 2

3 Ssältö 1 Matemaattsa estetoja Lneaarset suotmet ja konvoluuto Konvoluuto Esmerkk: slottamnen keskarvostamalla Esmerkk: slottamnen Gaussn ytmellä Srtonvarantt lneaarset systeemt Dskreett konvoluuto Jatkuva konvoluuto Reunalmöt dskreetessä konvoluutossa Okeat kuvantamsjärjestelmät vs srtonvarantt lneaarset systeemt Spataalnen taajuus ja Fourer-muunnos Fourer-muunnos Esmerkk: slmälasen välttämättömyys Näyttestämnen ja alasotumnen Näyttestämnen Alasotumnen Slottamnen ja uudelleennäyttestämnen Kuvapyramdt ja skaalat Gaussn kuvapyramd Laplacen kuvapyramd

4 4 SISÄLTÖ

5 Luku 1 Matemaattsa estetoja 1.1 Lneaarset suotmet ja konvoluuto Useta tärketä kuvamuunnoksa vodaan tehdä saman yksnkertasen malln avulla. Aluks konstruodaan uus taulukko, joka on samankokonen kun kästeltävä pkselkuva. Uuden taulukon alkon arvoks asetetaan panotettu summa kästeltävän kuvan vastnpkselnaapuruston pkselarvosta. Tämän naapuruston määrää suodnmaskn muoto ja koko. Yleensä maskn muoto on nelö ja sen koko on (2k + 1) (2k + 1) pkselä, mssä k = 0,1,... on tarkotukseen soveltuva kokonaslukuvako. Melkuvana vo ajatella suodnmaska lkuteltavan pksel pkselltä yl kästeltävän kuvan ja maskn keskpstettä vastaava tulospkseln arvo saadaan skaalaamalla maska vastaavat pkselarvot maskn panolla ja summaamalla ne yhteen. Huomaa: Tässä tapauksessa käytetään koko ajan kakka pkselnaapurustoja kästeltäessä samoja panokertoma, jollon prosess on lneaarnen, el lopputulos kahden alkuperäsen kuvan summaa kästeltäessä on sama asa kun jos summattasn erkseen kästeltyjen kuven lopputulokset. Lsäks vakokertomella skaalatun alkuperäsen kuvan kästtelyn lopputulos saadaan yhtä hyvn skaalaamalla samalla vakolla alkuperäsestä kuvasta saatu lopputulos. Erlasa panokerronjoukkoja käyttäen saadaan tetenkn erlasa kuvankästtelyoperaatota. Panokertomet vovat esmerkks olla arvoltaan suura lähellä suodnmaskn keskpstettä ja ne vapuvat nopeast nollaan etäännyttäessä keskpsteestä. Tällanen suodn vos esmerkks mallttaa epäfokuksessa olevan lnssjärjestelmän aheuttamaa kuvan sumenemsta. Panokertoma e ole rajotettu postvsks. Esmerkks erotusosamäärää vastaavat, suodnmaskn alueella postvsesta negatvsks muuttuvat panokertomet mallttavat matemaattsta gra- 5

6 6 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA denttoperaattora, jota vo hyödyntää esmerkks haluttaessa korostaa kästeltävästä kuvasta kohta jossa ntensteettvahtelu on suurta. Tällasa sovelluksa ovat esmerkks erlasten reunojen etsntä kuvasta. Tonen tärkeä omnasuus tällasella malllla on sen srtonvaranttus, joka johtuu stä, että lopputulospkseln arvo e rpu sen pakasta kuvassa, vaan sen kästeltävän kuvan vastnpkseln naapuren arvosta. Jos tarkasteltava objekt lkkuu kuvasarjassa, lkkuu sen suodatettu lopputulema vastaavalla tavalla lopputuloskuvasarjassa. Tällaset omnasuudet omaavaa muunnosta kutsutaan lneaarseks suotmeks. Lneaarsten suotmen matemaattseen tarkasteluun käytetään usen konvoluutoks nmettyä matemaattsta operaatota Konvoluuto Suodnmaskn panokertomet määräävät suotmen ytmen (eng. kernel), ja suotmen soveltamsta yllä kuvatulla tavalla nmetään yleensä konvoluutoks. Syystä joka selvää myöhemmn on luontevaa krjottaa prosess matemaattseks kaavaks epälmesellä tavalla: Olkoon annettu suotmen ydn H. Ytmen H konvoluuto kästeltävän kuvan F kanssa on lopputuloskuva R. Kuvan R, j:nnen pkseln arvo saadaan kaavasta R, j = H u, j v F u,v. (1.1) u,v Tässä on tetosest vältetty krjaamasta summausrajat. Sen sjaan oletetaan, että summausalue on rttävän laaja huomomaan kakk ytmen nollasta pokkeavat arvot Esmerkk: slottamnen keskarvostamalla Kuvlla on tyypllsest se omnasuus, että pkseln vär on samankaltanen sen naapurpkselen värn kanssa. Joskus kuvaan on stä otettaessa tullut jostakn syystä kohnaa kuten satunnasa "kuolleta"pkseletä, ta penä nollakeskarvosa satunnaslukuja on jostakn teknsestä syystä summautunut pkselarvohn. Tällasssa tapauksssa on luontevaa yrttää vähentää kuvan härötä korvaamalla jokasen pkseln arvo sen naapurpkselen arvojen panotetulla keskarvolla. Tätä prosessa kutsutaan kuvan slottamseks, engl. smoothng, ta sumeuttamseks, engl. blurrng. Ensmmänen yrtelmä slotusoperaaton mallks on käyttää normaala artmeettsta pkselarvojen keskarvoa yl knntetyn suodnmaskalueen. Vomme

7 1.1. LINEAARISET SUOTIMET JA KONVOLUUTIO 7 esmerkks laskea keskarvon kaksta 2k + 1 2k + 1 pkselstä tarkastelupkseln ympärltä. Kästeltävälle kuvalle F tämä määrää lopputuloksen R, j = 1 (2k + 1) 2 u=+k u= k v= j+k v= j k F u,v. (1.2) Tarkastelemalla huolellsest summausrajat, huomataan että tämä operaato todellakn vastaa kaavan (1.1) mukasta konvoluutota, kunhan ytmen alkoden arvoks asetetaan vako 1/(2k + 1) 2. Tämä tapa on kutenkn huono kuvan slottamseen. Lopputulos e vastaa epäfokuksessa olevan kameran ottamaa kuvaa. Syy on selvä. Oletetaan että lähtökuvan kakk pkselt pats keskmmänen on arvoltaan 0, ja keskmmänen on arvoltaan 1. Panottamaton keskarvosuodatus tuottaa lopputuloksen, jossa kuvan keskellä on harmaa nelö, mutta epäfokuksessa oleva kamera e tom nän. Kameran lnsst ovat yleensä ympyränmuotosa, joten halutun slotusprosessn tuls muuttaa hyvn pen krkas valopste ympyränmuotoseks sumeaks läskäks joka on keskeltä krkas ja vamenee säteen suuntasest mustaks. Tällaseks slotusytmeks valtaan hyvn usen Gaussn ydn Esmerkk: slottamnen Gaussn ytmellä Hyvä formaal matemaattnen mall edellä mantulle "sumealle läskälle"on symmetrnen Gaussn ydn G σ (x,y) = 1 2πσ 2 exp ( x2 + y 2 2σ 2 ). (1.3) Tässä σ on Gaussn ytmen keskhajonta ja yksköt ovat pkselen välsä etäsyyksä. Vakoterm takaa sen, että Gaussn ytmen ntegraal yl koko avaruuden R 2 on yks. Tällä ytmellä on haluttuja omnasuuksa: Jos keskhajonta on hyvn pen (penemp kun yks pksel), on slotusvakutus hyvn vähänen koska panokertomet keskpstettä lukuun ottamatta ovat hyvn penä. Suuremmalla keskhajonnalla lähnaapurpsteet vakuttava lopputulokseen suuremmalla panoarvolla, jollon keskarvostus johtaa lähnaapuren samankaltastumseen. Tämä on hyvä estmaatt pkseln arvolle, ja härökohna postuu suurelta osn kuvan levän sumeutumsen kustannuksella.

8 8 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA Hyvn suur keskhajonta johtaa tlanteeseen, jossa suurn osa ykstyskohdsta katoaa kohnan mukana. Sovelluksa varten täytyy Gaussn ydn dskretoda. Tämä tapahtuu muodostamalla dskreett ydn konstruomalla 2k + 1 2k + 1 -taulukko, jonka arvot ovat H, j = 1 2πσ 2 exp ( ( k 1)2 + ( j k 1) 2 2σ 2 ). (1.4) Keskhajonnan σ valnnalla on vakutusta tarvttavaan taulukon kokoon k. Jos σ on lan pen, on käytännössä anoastaan taulukon keskmmänen alko nollasta pokkeava. Jos σ puolestaan on suur, täytyy koon k olla rttävän suur, jotte velä kohtuullsen suura panokertoma lekkautus pos. 1.2 Srtonvarantt lneaarset systeemt Usemmat kuvantamsjärjestelmät ja -systeemt käyttäytyvät ptkält sten, että nllä on kolme tärkeää omnasuutta: Superpostoperaate: Oletetaan, että R( f + g) = R( f ) + R(g), el syötteden summan vaste on erllsten vasteden summa. Skaalautuvuus: Nollasyötteen vaste on nolla, ja skaalatun syötteen vaste on skaalattu verso alkuperäsen syötteen vasteesta, el R(k f ) = kr( f ). Systeem joka toteuttaa superpostoperaatteen ja on skaalautuva on lneaarnen. Srtonvaranttus: Srtonvarantssa systeemssä vaste srrettyyn syötteeseen on alkuperäsen syötteen vasteen vastaava srtymä. Kameran tapauksessa tämä tarkottaa yksnkertasest esmerkks stä, että jos keskelle kameran näkökenttää asetettu pen valopste näkyy kameran ottamassa kuvassa keskellä kuvaa krkkaana läskänä, ja valopstettä srretään reunaa koht, tuls kuvassa näkyä edelleen sama läskä srtyneenä.

9 1.2. SIIRTOINVARIANTIT LINEAARISET SYSTEEMIT 9 Latetta, järjestelmää ta systeemä joka on lneaarnen ja srtonvarantt kutsutaan lneaarseks srtonvarantks latteeks, järjestelmäks ta systeemks. Mkä on tärkeää on se, että lneaarsen srtonvarantn systeemn vaste annettuun syötteeseen saadaan määrättyä konvoluuton avulla. Ensn tämä sekka todennetaan systeemelle, joden syötteet ja vasteet ovat dskreettejä (lukuvektoreta ta taulukkoja) ja sen jälkeen ylestetään tlanne systeemehn joden syötteet ja vasteet ovat jatkuva 1d- ta 2d-reaalarvosa funktota Dskreett konvoluuto Tarkastellaan tlannetta ensn yksulottesessa tapauksessa ja oletetaan, että on annettu lneaarnen srtonvarantt systeem jonka syötteet ja vasteet ovat vektoreta. Tässä oletetaan että syöte- ja vastevektort ssältävät (numerotuvast) äärettömän määrän alkota. Täten vodaan tostaseks välttää penet tarkennusta vaatvat sekat syötteden ja vasteden alku- ja loppukohdssa. Nähn palataan myöhemmn. Yksulottenen dskreett konvoluuto Oletetaan, että on annettu syötevektor f, joka on ääretön ja ndeksotu kokonasluvulla (el on olemassa -1:s alko jne.) ja jonka :nnettä alkota merktään f :llä, =... 2, 1,0,1,2... Syötevektor f vodaan esttää panotettuna summana kantavektoresta. Sopvat kantavektort ovat sellasa, joden yks alko on arvoltaan 1 muden ollessa arvoltaan 0. Merktään e =...0,0,1,0,0... joka on ss vektor jonka alko on 1 muden alkoden ollessa 0. Määrtellään srto-operaattor Shft( f,), joka palauttaa vektorn jonka j:s alko on vektorn f j :s alko: Shft( f,) j = f j. Esmerkks vektorn Shft(e 0,1) alko numero 1 on 1, muut alkot ovat nolla. Srto-operaattorn avulla vektor f vodaan esttää kantavektorn e 0 avulla seuraavast: f = f Shft(e 0,). (1.5) Merktään lneaarsen srtonvarantn systeemmme vastetta syötevektorn f merknnällä R( f ). Koska systeem on srtonvarantt, täytyy olla vomassa R(Shft( f,k)) = Shft(R( f ),k),

10 10 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA ja lsäks koska se on lneaarnen on vomassa R(k f ) = kr(f), R( f + g) = R( f ) + R(g). Nämä sekat yhdessä tarkottavat stä, että R( f ) = R ( f Shft(e 0,) = R( f Shft(e 0,)) f R(Shft(e 0,)) = = f Shft(R(e 0 ),). ) (1.6) Mutta tämä tarkottaa stä, että vomme määrätä systeemn vasteen mhn tahansa datavektorn f, kunhan van tunnemme sen vasteen vektorn e 0. Tätä vastetta R(e 0 ) kutsutaan yleensä systeemn (ykskkö)mpulssvasteeks. Ykskkömpulssvasteta mtataan monsta lattesta. Nätä mm. kultakorvahfstt tutkalevat tarkast vahvstntestraportesta ja päättelevät latteen sopvuutta oman latteston osaks. Merktään nyt systeemn ykskkömpulssvastetta g = R(e 0 ). Nyt ss R( f ) = f Shft(g,) = g f. (1.7) Tämä määrttää yksulottesen dskreetn konvoluuto-operaaton, jota merktään operaattorsymbollla. Jos tarkastellaan vasteen R( f ) alkota j, saadaan lauseke R( f ) j = g j f, (1.8) joka on analognen kaavan (1.1) esttämän kaksulottesen konvoluutolausekkeen kanssa, ja tse asassa selttää sen alkuperän. Lneaarsen srtonvarantn systeemn vaste syötteeseen saadaan ss konvoluuto-operaatolla syötteestä ja systeemn ykskkömpulssvasteesta. Kaksulottenen dskreett konvoluuto Tässä tapauksessa sekä syöte että vaste ovat äärettömä kaksulottesa taulukota, joden rvejä ja sarakketa ndeksodaan kokonasluvun. Merktään tällasen

11 1.2. SIIRTOINVARIANTIT LINEAARISET SYSTEEMIT 11 taulukon F alkota, j F, j :llä. Kaksulottesessa dskreetssä tapauksessa ykskkömpulss on ääretön taulukko E, jonka alkot ovat kakk nolla pats E 0,0 = 1. Jos G = R(E) on systeemn R ykskkömpulssvaste, johtaa vastaava päättely kun edellä yksulottesessa tapauksessa tulokseen, jonka mukaan systeemn vaste syötteeseen F on R(F), j = G u, j v F u,v = G F. (1.9) u,v Merknnällä täsmennetään kyseessä olevan kaksulottenen konvoluuto-operaato Jatkuva konvoluuto Useat lneaarset srtonvarantt systeemt tuottavat jatkuvan vasteen jatkuvaan syötteeseen. Esmerkknä vakka kameran lnss joka kokoaa valonformaaton joka vodaan mallttaa kaksulottesen funktona, ja tuottaa flmpnnalle stä tosen representaaton joka edelleen vodaan meltää tosena kaksulottesena funktona. Useat lnssjärjestelmät ovat lkmäärn srtonvarantteja. Tällasa systeemejä tutkmalla saamme selvlle sen mtä nformaatota katoaa, kun jatkuvaa kaksulottesta funktota (lnssstön flmpnnalle ta ccd-kennolle kuvaamaa valonformaatota) approksmodaan dskreetllä funktolla (ccd-kennon näyttestämllä vakolla pkselarvolla). Luonnollnen systeemn tomnnan kuvaus pohjautuu sen vasteeseen melko outoon otukseen, n.k. δ-funktoon, joka tse asassa e ole funkto perntesessä melessä. Yksulottenen jatkuva konvoluuto Johdetaan jatkuva tapaus lähten lkkeelle aemmn estetystä dskreetstä tapauksesta. Otetaan lähtökohdaks dskreett syöte ja muodostetaan stä palottan vako ja joka psteessä määrtelty laatkosta koottu porrasfunkto. Sen jälkeen penennetään ja penennetään laatkoden leveyttä ja tutktaan mtä raja-arvona saadaan. Systeemmme ottaa syötteekseen yksulottesen reaalarvosen funkton ja palauttaa vasteenaan tosen vastaavanlasen funkton. Merktään jälleen R( f (x)):llä systeemn vastetta syötefunktoon f (x), ja korostamme vasteen olevan funkton merktsemällä stä tarvttaessa R( f (x))(u):lla. Lneaarsuus tarkottaa tätä notaatota käytettäessä omnasuutta R( f (x) + g(x))(u) = R( f (x))(u) + R(g(x))(u), R(k f (x))(u) = kr( f (x))(u),

12 12 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA mssä k on jokn reaallukuvako. Srtonvaranttutta varten määrtellään srtooperaattor Shft, joka kuvaa funktot funktoks seuraavast Shft( f,c)(u) = f (u c), el esmerkks Shft( f, 1)(1) = f (0). Srto-operaattorn avulla lausuttuna srtonvaranttusomnasuus tarkottaa, että (funktoden argumentt postettu selkeyden vuoks) R(Shft( f,c)) = Sh ft(r( f ),c). Määrtellään laatkkofunkto box ε seuraavast { 0, x ε/2, box ε (x) = 1, x < ε/2, Olkoon nyt jatkuva syötefunkto f (x). Konstruodaan tasavälnen pstestö x, mssä x +1 x = ε. Muodostetaan dskreett vektor f, jolle f = f (x ), ja joka edustaa funktota f (x). Muodostetaan jatkuvalle funktolle f (x) porrasfunktoapproksmaato f f Shft(box ε,x ), (1.10) joka annetaan syötteeks lneaarselle srtonvarantlle systeemllemme, jonka vaste on tällön panotettu summa srretystä box ε -funkton vastesta: ( ) R f Shft(box ε,x ) = R( f Shft(box ε,x )) = f R(Shft(box ε,x )) = = f Shft(R( box ε ε ε),x ) f Shft(R( box ε ε ),x )ε (1.11) Tähän saakka on noudatettu dskreetn tapauksen menettelytapaa. Huomaa, että lopputulos mustuttaa porrasfunkton ntegraala. Estellään nyt raja-arvona n.k. δ-funkto, jonka avulla hodetaan term box ε /ε: δ(x) = lm ε 0 box ε ε. (1.12)

13 1.2. SIIRTOINVARIANTIT LINEAARISET SYSTEEMIT 13 Eräs melenkntonen δ-funkton omnasuus on se, että käytännön srtonvarantella systeemellä on olemassa vaste δ-funktolle ja vasteella on kompakt kantaja (el vaste on nolla posluken äärellstä määrää äärellsä välejä). Hyvä melkuvamall δ-funktolle kaksulottesessa tapauksessa on äärmmäsen krkas äärmmäsen pen valopste. Jos valopstettä penennetään samalla valon ntensteettä nostaen energan sälyessä vakona odotamme kameramme kuvassa näkyvän penen, mutta äärellsen valoläskän epäfokuksessa olevan lnssn taka. δ-funkto on luonnollnen vastne dskreetlle ykskkömpulsslle e 0 jatkuvassa tapauksessa. Nyt lauseke f Shft(R( box ε ε ),x )ε muuttuu ntegraalks raja-arvona, kun ε 0. Samalla porrasfunktoapproksmaatomme lähestyy raja-arvonaan syötefunktota f ja Z R( f )(x) = Z R(δ)(x x ) f (x )dx = g(x x ) f (x )dx, (1.13) mssä olemme esttäneet ykskkömpulssvasteelle merknnän g = R(δ) ja jättäneet merktsemättä ntegrontrajat. Integraal vo olla yl koko reaalakseln ta äärellsen väln jos g:n ja h:n kantajat ovat kompakteja. Tämä operaato on nmeltään jatkuva konvoluuto, ja sen avulla saadaan lneaarsen ja srtonvarantn systeemn vaste syötteestä ja systeemn ykskkömpulssvasteesta Z R( f ) = g f = g(x x ) f (x )dx, käyttäen jälkeen -merkntää konvoluuto-operaattorlle. Konvoluuto on symmetrnen el ja assosatvnen tarkottaen, että (g h)(x) = (h g)(x) ( f (g h)) = (( f g) h). Assosatvsuuden taka vomme löytää yhden lneaarsen srtonvarantn systeemn, joka tom kun kahden systeemn kooste. Tämä on hyödyllnen omnasuus tutkttaessa näyttestystä.

14 14 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA Kaksulottenen jatkuva konvoluuto Kaksulottesessa tapauksessa "laatkkofunkto"määrtellään tulona box ε (x,y) = box ε (x)box ε (y) ja δ-funkto raja-arvona δ(x,y) = lm ε 0 box ε (x,y) ε 2. Vastaava (teknsemp) tarkastelu johtaa lopputulokseen Z Z R( f )(x,y) = g(x x,y y ) f (x,y )dx dy = g(x,y) f (x,y), (1.14) mssä g(x, y) = R(δ(x, y)) on systeemn R ykskkömpulssvaste ta psteen levtysfunkto (engl. pont spread funton), joka nm tulee kameran optkan epätäydellsyyden aheuttamasta etäsen penen krkkaan kohteen kuvautumsesta sumeaks läskäks. Tämä on hyvä melkuva ykskkömpulssvasteen olemuksesta Reunalmöt dskreetessä konvoluutossa Käytännön tetokonelaskennassa e voda käyttää äärettömä datavektoreta ta taulukota. Tämän taka täytyy jotenkn huolehta äärellsen (kuva)datataulukon kästtelystä taulukon reunojen lähstöllä. Reunojen lähstöllä ja reunolla konvoluuton laskennassa tarvttasn arvoja, jota e ole olemassa lankaan. Tätä ongelmaa vo lähestyä usealla vahtoehtosella tavalla: Konvoluuton tulosta e lasketa lankaan reunan lähstöllä. Tämä tarkottaa stä, että konvoluuton tulos lasketaan van nlle tulostaulukon alkolle, joden laskennassa tarvttava kakk lähtödata on saatavlla. Tällä tavalla e sorruta kenotekoseen peukalontn, mutta hattana on se, että tulostaulukon koko on penemp kun syötteen. Tostuva laskenta kutstaa lopputuloksen huomattavast. Laajennetaan lähtödataa kenotekosest vakoarvolla. Tässä tapauksessa todellsen syötedatan vakutus vähenee merkttäväst reunan lähstöllä. Tämä vo merkttäväst väärstää tulosta, ertysest se vo vakuttaa merkttäväst tulosdatan dervaattaan. Etuna on tetenkn se, että tulostaulukon koko sälyy syötetaulukon kokosena. Laajennetaan lähtödataa muulla tavalla. Lähtödata vodaan esmerkks meltää tuplaperodseks. Jos lähtödatataulukon koko on m m, asetetaan

15 1.3. SPATIAALINEN TAAJUUS JA FOURIER-MUUNNOS 15 laskennassa tarvttava sarake m + 1 vastaamaan saraketta 1 jne. Tämä taktkka puolestaan saattaa vakuttaa merkttäväst tulosdatan toseen dervaattaan reunan lähettyvllä Okeat kuvantamsjärjestelmät vs srtonvarantt lneaarset systeemt Kuvantamsjärjestelmät ovat van lkmäärn lneaarsa. Valokuvaflm e ole lneaarnen. Se e ole herkkä ertysen hekolle valolle ja se saturotuu (ylvalottuu) lan krkkaassa valastuksessa. Posluken nämä äärpäät on lneaarnen mall kutenkn yleensä käyttökelponen. CCD-kamerat ovat lneaarsa normaaltyöskentelyalueella. Lämpökohnan taka ne kutenkn antavat hyvn penen vasteen nollasyötteelle (tämän taka astronomt jäähdyttävät kamerotaan) ja myös ne saturotuvat hyvn krkkaalla syötteellä. Useat ccd-kamerat ssältävät elektronkkaa jolla jäljtellään perntestä flmä, koska hmset ovat tottuneet perntesn valokuvn. Srtonvaransskn on van approksmaato todellsuudesta, koska lnssstöllä on tapumus väärstää kuvaa etenkn lähellä reuna-alueta. 1.3 Spataalnen taajuus ja Fourer-muunnos Edellä käytettn trkkä, jossa sgnaal f (x, y) estettn panotettuna summana hyvn suuresta (ta äärettömästä) määrästä hyvn penä (ta äärettömän penä) laatkkofunktota. Tämä tapa korostaa ajatusta stä, että sgnaal on vektoravaruuden alko, el vektor. Laatkkofunktot muodostavat erään kannan tähän vektoravaruuteen ja panokertomet muodostavat vektorn alkottasen estyksen tässä "laatkkokannassa". Tarvtsemme velä uuden työkalun kästelläksemme jäljellä olevat kaks avonta kysymystä: Vakka onkn selvää, ette kuvan dskreett pkselrepresentaato vo ssältää jatkuvan kuvasgnaaln kakkea nformaatota, emme velä tedä mkä osa nformaatosta katoaa. On myös selvää, ettemme vo tputtaa dskreetn pkselrepresentaaton resoluutota yksnkertasella tavalla ottamalla mukaan van joka k:nnen pkseln (shakklaudan kuvasta vos tulla kokomusta ta kokovalkonen). Kunka resoluutota stten turvallsest ja mnmvahngon pudotetaan?

16 16 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA Nämä molemmat avomet ongelmat lttyvät kuvasgnaalssa esntyvn nopesn muutoksn. Esmerkks resoluuton pudottamnen alkeellsest saattaa hukata nopeta vahteluta, koska ne tapahtuvat matalaresoluutoversoon valttujen pkselen välsessä osassa alkuperästä dataa. Koska vomme tulkta kuvasgnaalmme vektoravaruuden alkona, vomme myöskn tehdä vektoravaruuteen kannanvahdon, ja tutka saman sgnaaln estystä uudessa kannassa. Sopva uus kanta koostuu jatkuvassa tapauksessa äärettömästä määrästä er suuntn etenevstä ja er taajussta sntasoaallosta. Kun sgnaal estetään tällasessa kannassa, on nopeast muuttuva nformaato helppo havata, sllä korkeataajusa tasoaaltokantavektoreta vastaavat sgnaalvektorn alkot ovat tällön suura. Vektorestyksen alkoden arvot ovatkn suoraan verrannollsa vastaavan sntasoaaltokantafunkton merkttävyyteen sgnaaln esttäjänä Fourer-muunnos Kesktytään aluks jatkuvaan Fourer-muunnokseen, koska stä tarvtaan lähnnä kästteellsenä apuneuvona tässä vaheessa. Haluttu kannanvahto taajuusrepresentaatoon tehdään Fourer-muunnoksella. Määrtellään sgnaaln g(x, y) Fourermuunnokseks tuplantegraal F(g(x,y))(u,v) = Z Z g(x,y)e 2π(ux+vy) dxdy. (1.15) Oletetaan, että ntegraal on hyvn määrtelty, kuten se on sovelluksssamme (tarkempaa detaljtetoa matematkan kursselta). Fourer-muunnos kuvaa kompleksarvosen funkton g(x, y) toseks kompleksarvoseks funktoks F(g(x, y))(u, v) (kuvasgnaalt g(x, y) ovat komplekssa sgnaaleja, nden magnaarosa sattuu van olemaan 0). Knntetään pste (u, v) ja tutktaan muunnoksen arvoa tässä psteessä. Eksponenttfunktolauseke vodaan aukkrjottaa muotoon e 2π(ux+vy) = cos(2π(ux + vy)) sn(2π(ux + vy)). Sekä reaalterm että magnaarterm ovat xy-tason sntasoaaltoja, joden suunta ja taajuus määräytyy parametresta u ja v. Jos tutktaan esmerkks reaaltermä, havataan sen olevan vako kunhan lausekkeen ux +vy arvo on vako, el ptkn xytason suora joden suunnalle pätee tanθ = v/u. Reaaltermn gradenttvektor on kohtsuorassa tätä suoraa vastaan, ja reaaltermä vastaavan sntasoaallon taajuus

17 1.3. SPATIAALINEN TAAJUUS JA FOURIER-MUUNNOS 17 on u 2 + v 2. Tällasa sntasoaaltoja kutsutaan spataalsks taajuuskomponenteks. Integraal (1.15) tulee tulkta ssätulona. Jos u ja v knntetään, on ntegraaln arvo x ja y-koordnaatten määräämään sntasoaallon ja alkuperäsen sgnaaln ssätulo. Analoga on hyödyllnen, koska ssätulothan mttaavat yhden vektorn "määrää"tosen vektorn suuntaan. Avan samon muunnoksen arvo tetyllä u ja v vodaan tulkta mttaustuloksena stä kunka paljon annetun taajusta ja suuntasta sntasoaaltoa sgnaalmme ssältää. Sgnaaln Fourer-muunnos koostaa tämän mttaustulosnformaaton kaklla mahdollslla arvolla u ja v, el kakkn er suuntn etenevlle ertaajuslle sntasoaallolle! Fourer-muunnos on lneaarnen, el: F(g(x,y) + h(x,y)) = F(g(x,y)) + F(h(x,y)), F(kg(x,y)) = kf(g(x,y)), ja sllä on kääntesmuunnos, jolla alkuperänen sgnaal vodaan palauttaa Fourermuunnoksestaan. Tämä on van tonen kannanvahto vektoravaruudessa ja se on muotoa: g(x,y) = Z Z F(g(x,y))(u,v)e 2π(ux+vy) dudv. (1.16) Fourer-muunnokset tunnetaan suljetussa muodossa useassa hyödyllsessä tapauksessa. Muutama nästä on taulukotu taulukkoon 1.1. Vmenen taulukon muunnospar tunnetaan myös konvoluutoteoreemana: konvoluuto pakkatasossa on kertolasku taajuustasossa ja kertolasku pakkatasossa on konvoluuto taajuustasossa! Tämä on tärkeää useassa tapauksessa. Esm dskreettä Fourer-muunnosta soveltamalla vodaan n.k. FFT-algortmn avulla laskea tehokkaast konvoluutota ertysest, jos maskn koko on suur. Funkto Fourer-muunnos δ(x, y) 1 f x (x,y) uf( f )(u,v) e π(x2 +y 2 ) e π(u2 +v 2 ) = j= δ(x,y j) = j= δ(u,v j) sn(πu) sn(πv) box 1 (x)box 1 (y) πu πv ( f g)(x,y) F( f )F(g)(u,v) Taulukko 1.1: Erätä Fourer-muunnospareja

18 18 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA Fourer muunnoksen arvo tetyssä psteessä u, v rppuu koko muunnettavasta funktosta. Tämä on selvää, koska ntegraal lasketaan yl muunnettavan funkton koko määrttelyjoukon. Tästä seuraa mm. se, että penkn pakallnen muutos muunnettavassa funktossa (esm. dskreetssä tapauksessa yksttäsen pkselarvon muuttamnen) muuttaa kakka Fourer-kertoma. Tämän taka Fourerkertomet ovatkn aka hankala datan representaatokeno. On esmerkks hyvn vakeaa päätellä Fourer-kertomsta onko alkuperäsessä muunnettavassa kuvasgnaalssa joku tetty kuvo Esmerkk: slmälasen välttämättömyys Konvoluutoteoreeman ja toseks vmesen taulukkorvn muunnosparn avulla saamme dealsodun matemaattsen todstuksen slle mks slmälast ovat välttämättömät tattovrheestä kärsvlle! Tattovrheen taka kohde e tarkennu täsmälleen verkkokalvolle vaan se tarkentuu joko verkkokalvon eteen ta taakse. Kummassakn tapauksessa yksttänen pste projsotuu verkkokalvolle kekoks, jota tässä approksmodaan laatkkofunktona. Tattovrhenen slmä on ss tässä ettämättä heman kenotekosessa esmerkssä lneaarnen srtonvarantt systeem, jonka hypoteettnen ykskkömpulssvaste on g(x, y) = R(δ(x, y)) = box 1 (x)box 1 (y). Systeemn vaste syötteeseen saatn ykskkömpulssvasteen ja syötesgnaaln f (x, y) konvoluutona. Konvoluutoteoreeman mukaan vastaava tulos saadaan kertomalla syötteen Fourer-muunnos ykskkömpulssvasteen Fourermuunnoksella ja ottamalla tuloksesta kääntesmuunnos f (x,y) g(x,y) = F 1 (F( f (x,y))f(g(x,y))) = F 1 (F( f (x,y)) sn(πu) πu sn(πv) ). πv Koska funkto sn(x)/x saa arvon 0 kun x =... 2π, π,π,2π... kuvautuu osa alkuperäsen sgnaaln Fourer-kertomsta nollaks. Tämä on peruuttamaton vahnko, sllä alkuperästä nformaatota e vo enää tämän jälkeen palauttaa takasn (se vaats nollalla jakamsen, ja edes avot evät ole shen mljoonen vuosen evoluuton akana oppneet)! 1.4 Näyttestämnen ja alasotumnen Paneudutaan nyt kysymykseen stä mkä on jatkuvan ja dskreetn kuvasgnaaln ero. Ertysest yrtetään selvttää mtä nformaatota hukkuu, kun kuva näyttestetään ja stä muodostetaan dskreett pkseltaulukko. Hyvä yksnkertanen es-

19 1.4. NÄYTTEISTÄMINEN JA ALIASOITUMINEN 19 merkk on shakkruudukon jatkuva kuvasgnaal. Oletetaan että nelömäsen ruudun koko on kaks ykskköä suuntaansa. Jos naapurnäytteden etäsyys on yks ykskkö, vodaan näyttestysruudukko oken asemomalla taata, että jokasta valkosta ja mustaa ruutua vastaa neljä näytepkselä. Jos näytteet otetaan kahden ykskön välen, saadaan sltkn yks näyte per ruutu. Jos näyttetä otetaankn kolmen ykskön välen käy västämättä sten, ette kaksta ruudusta saada näytettä ja neljän ykskön välen näyttestetty pkselkuva vo olla kokomusta ta kokovalkonen. Ongelma näyttäs lttyvän näytteden lukumäärään suhteessa näyttestettävään funktoon. Tämä vodaan formalsoda melko tarkast ja tästä vodaan johtaa melko kattava mall Näyttestämnen Näyttestämsella tarkotetaan jatkuvan sgnaalfunkton arvojen keräämstä dskreetn hlan hlapstessä. Yksulottesessa tapauksessa sgnaalfunkto on kuvaus reaalluvulta reaalluvulle, ja näyttestämnen tarkottaa dskreetn arvojoukon pomntaa tällasesta kuvauksesta dskreetssä määrttelyjoukon pstestössä. Tärken erkostapaus on kerätä näytteet tasavälseltä pstestöltä, joten vomme olettaa että näytteet kerätään reaallukuakseln kokonaslukupstessä. Tämä tarkottaa stä, että käytössämme on operaato Sample 1d, jonka syöte on funkto f (x) ja joka palauttaa kokonasluvulla ndeksotavan reaallukuvektorn f : f = Sample 1d ( f (x)), f = f (), =... 2, 1,0,1,2... (1.17) Kaksulottenen tapaus on hyvn samankaltanen kun yksulottenen. Vakka näyttestys voskn perustua epäsäännöllseen hlaan (kuten slmän verkkokalvolla), jatkamme sllä oletuksella, että näytteet kerätään tason kokonaslukukoordnaattpstessä. Tämä on myös hyvä mall usemmlle dgtaalslle kamerolle. Lopullset näyttestetyt kuvat ovat suorakulmasa äärellsen kokosa kaksulottesa taulukota, sllä kuva-alue on tällanen ja sen ulkopuolella näyttetä e oteta (näytearvot asetetaan nollks). Kaksulottenen näyttestys vodaan esttää operaaton Sample 2d avulla. Tämän syöte on funkto F(x,y) reaallukutasolta reaallukuaksellle ja se palauttaa kaksulottesen taulukon F, j jonka sekä rvejä että sarakketa ndeksodaan kokonasluvulla: F = Sample 2d (F(x,y)), F, j = f (, j),, j =... 2, 1,0,1,2... (1.18)

20 20 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA Näyttestetyn sgnaaln ntegrotuva mall Tarvtsemme jatkoanalyysa varten ntegrotuvan malln näyttestetystä sgnaalsta. Tätä tarvtaan ertysest Fourer-muunnosta varten, jossa mallmme ja komplekssen eksponenttfunkton lausekkeen tulo täytyy pystyä ntegromaan. Sgnaaln ntegraaln tuls selvästkn yhtyä sen näytearvotaulukon alkoden summaan. Emme ss vo mallttaa näyttestettyä sgnaala funktona, jonka arvo on nolla, pats kokonaslukukoordnaattpstessä jossa sen arvo ols näytearvo, koska tällasen funkton ntegraal ols 0. Aemmn estetyllä δ-funktolla on tärkeä omnasuus, jota vodaan hyödyntää ntegrotuvan malln muodostuksessa: Z aδ(x) f (x)dx = a lm ε 0 Z ε 0 = = a lm = a f (0), box ε f (x)dx ε box ε ε f (ε)shft(box ε,ε)ε (1.19) el δ-funkton ja jatkuvan funkton f tulon ntergaaln arvo on f (0). Tästä saamme sovelaan malln: asetamme jokaseen näyttestyspsteeseen δ- funkton, jonka arvoa panotamme psteeseen lttyvällä näytearvolla. Tämä saadaan akaan kertomalla näyttestetty sgnaal joukolla δ-funktota, jota on yks per näytepste. Nän ollen vomme uudelleen määrtellä näyttestysoperaattorn yksulottesessa tapauksessa: Sample 1d ( f (x)) = = f ()Shft(δ(x),) = f (x) = δ(x ). (1.20) Summalauseketta = δ(x ) kutsutaan (lmesestä syystä) kampafunktoks (engl. comb functon). Sen kaksulottenen vastne on n.s. naulasänkyfunkto (engl. bed-of-nals functon) jonka avulla kaksulottenen näyttestämnen vodaan muotolla seuraavast: Sample 2d (F(x,y)) = = = F(x,y) j= = F(, j)δ(x,y j) δ(x,y j). j= (1.21) Molemmlla näyttestysoperaattorella on nyt haluttu omnasuus: ne palauttavat ntegrotavan otuksen, jonka ntegraaln arvo on näytearvojen summa.

21 1.4. NÄYTTEISTÄMINEN JA ALIASOITUMINEN Alasotumnen Näyttestyksessä nformaatota katoaa. Näytämme mten lan htaast/harvast näyttestämällä saatu näytearvojoukko tulktsee alkuperästä jatkuvaa sgnaala väärn: Alkuperäsen sgnaaln korkeataajuset spataalset taajuuskomponentt lmenevät matalataajusna spataalsna taajuuskomponenttena näyttestetyssä sgnaalssa. Tämä lmö tunnetaan nmellä alasotumnen. Näyttestetyn sgnaaln Fourer-muunnos Aemmn johdmme näyttestetylle sgnaallle malln, joka saadaan kertomalla alkuperänen jatkuva sgnaal naulasänkyfunktolla. Konvoluutoteoreeman mukaan tämän tulon Fourer-muunnos on näden kahden funkton Fourer-muunnosten konvoluuto. Taulukon 1.1 mukaan naulasänkyfunkton Fourer-muunnos on tonen, taajuustason naulasänkyfunkto. Funkton konvoluuto naulasänkyfunkton kanssa muodostaa summan naulasänkyfunkton δ-pkkehen srretystä funkton koposta. Tässä tapauksessa konvoluuto lasketaan ss alkuperäsen sgnaaln Fourer-muunnoksen kanssa ja efekt on se, että tuloksena saadaan srrettyjä Fourer-muunnoksa jotka summataan yhteen: F(Sample 2d (F(x,y))) = F ( F(x, y) = = F(u,v) F ( = F(u,v) = = = ) δ(x,y j) j= δ(x,y j) j= δ(u,v j) j= = F(u,v j), j= ) (1.22) mssä funkton F(x,y) Fourer-muunnosta on merktty F(u,v):llä. Jos sgnaaln srrettyjen Fourer-muunnosten kantajat evät lekkaa tosaan vodaan alkuperänen sgnaal palauttaa täydellsest takasn lekkaamalla yks Fourer-muunnoskopo talteen ja muuntamalla se takasn kääntesmuunnoksella. Kutenkn usen käy nn, että srrettyjen Fourer-muunnosten kantajat lekkaavat tonen tosaan. Tällasessa tapauksessa emme pysty palauttamaan alkuperästä sgnaala täydellsenä takasn. Tämä johtuu stä, että kantajen lekkausalueella on summautunut yhteen saman Fourer-muunnetun sgnaaln matala- ja

22 22 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA korkeataajuset kertomet. Jos tunnetaan van summan arvo, e tästä tedosta pysty ykskästtesest päättelemään summautuneta termejä. Tämä lmö tapahtuu ana kun näytteenottotaajuus on alle kaks kertaa sgnaaln ssältämä korken taajuuskomponentt. Tämä tulos tunnetaan krjallsuudessa Nyqustn teoreemana Slottamnen ja uudelleennäyttestämnen Nyqustn teoreema tarkottaa, että on vaarallsta pudottaa kuvan resoluutota yksnkertasest ottamalla matalaresoluutorepresentaaton van joka k:s pksel. Ennen stä lähtökuva tulee alpäästösuodattaa sten, että sen ne spataalset taajuuskomponentt, jotka taajuudeltaan ylttävät uuden näytteenottotaajuuden, postuvat. Tämän vos tehdä tarkast kuvasgnaaln Fourer-muunnoksen avulla nollaamalla kakk Fourer-kertomet F(u, v), jotka lttyvät lan korkesn taajuuksn u 2 + v 2 > F tol ja muuntamalla sgnaal kääntesellä Fourer-muunnoksella takasn pakkatasoon. Yhtäptäväst, muunnos ols "mahdollsta"tehdä suoraan pakkatasossa sellasella konvoluutoytmellä G(x, y) jonka panokertomet ovat muotoa (sn x sn y)/(xy). Menetelmä e kutenkaan ole käytännöllnen, koska kysesen panokerronfunkton kantaja on ääretön. Tärken tapaus on se, että haluamme puolttaa sekä kuvan vaaka- että pystyresoluuton. Oletamme, että alkuperänen kuva e ole alasotunut (jos se ols, e mtään ols tehtävssä kun kuva on alunpern näyttestetty on mahdollnen alasotumnen jo tapahtunut). Näyttestetyn kuvan Fourer-muunnos koostuu nyt tason kokonaslukukoordnaattpstesn keskttynestä Fourer-muunnoskoposta. Resoluuton puolttamnen tarkottaa stä, että Fourer-muunnoskopot keskttyvät tason pstesn, joden koordnaatt ovat puolen ykskön monkertoja (ta vahtoehtosest muunnokset efektvsest levttyvät kaks kertaa laajemmalle alalle, koska puolta harvemmalla näytteenottotaajuudella aemp korken taajuus näyttäytyy efektvsest kaks kertaa korkeampana). Tämä tarkottaa myös stä, että välttyäksemme alasotumselta täytyy sgnaal ensn alpäästösuodattaa sten, että suodatuksen jälkeen sgnaaln korken taajuus on enntään puolet aemmasta korkemmasta taajuudesta. Lallsta kastan kavennusta tulee kutenkn välttää, jottemme turhan paljon köyhdytä nformaatossältöä. Koska Gaussn ydn vamenee nopeast, ja Gaussn ytmen Fourer-muunnos on tonen, taajuustason Gaussn ydn (katso taulukko 1.1), vo stä käyttää käytännön approksmaatona deaalselle alpäästösuotmelle. Ytmen koon määräävän keskhajonnan σ valnta on sovelluskohtasta. Jos σ on suur, täytyy masknkn olla suur, ja vakka alasotumnen onkn tällön vähästä (koska ytmen alkot ovat taajuusrajan jälkeen hyvn penä) katoaa nformaatota sen taka, ette ydn

23 1.5. KUVAPYRAMIDIT JA SKAALAT 23 ole tasanen sälytettävän taajuusrajan alapuolella. Vastaavast valtsemalla pen σ sälyy nformaaton taajuusrajan alapuolella melko koskemattomana, mutta alasotumnen vo olla runsaampaa. Valtsemalla aluks σ = 1 saa usen kelvon alkuarvauksen kokeellseen keskhajonnan valntaan. 1.5 Kuvapyramdt ja skaalat Kuva näyttää erlaselta er skaalossa tarkasteltuna ja monssa tapauksssa on hyödyllstä esttää kuva esmerkks kokoelmana erresoluutossta estyksstään. Tällön puhutaan kuvapyramdesta (nmtys joka tulee vsuaalsen analogan kautta) Gaussn kuvapyramd Kuvapyramd on kokoelma saman kuvan representaatota er resoluutolla, el n.k. monskaalarepresentaato. Tyypllsest tetyn pyramdn tason kuvarepresentaaton pysty- ja vaakaresoluuto on puolet edeltävän tason resoluutosta. Jos er tasot melletään pnotun päällekkän, muodostuu pyramd. Gaussn kuvapyramdssa jokasen tason representaato slotetaan symmetrsellä Gaussn ytmellä ja uudelleennäyttestetään seuraavan tason representaatoks. Pyramdn muodostamnen on suoravvasnta, jos kuvan dmensot ovat kakkosen potensseja ta nden monkertoja. Matalaresoluutosn estys on tetenkn ankarmmn slotettu verso, ja ylesest pyramdn tasoja kutsutaan harvan skaalan (engl. coarse scale) versoks alkuperäsestä kuvasta. Kuvapyramdn muodostamsen esttämsen yksnkertastamseks tehdään ensn se oletus, että alkuperänen kuva on nelö ja kuva vaaka- ja pystydmenso on 2 k, mssä k on kokonasluku. Määrtellään operaattor S joka puolttaa vaaka- ja pystyresoluuton. Täsmällsemmn j,k:s pksel matalaresoluutokuvassa S (I) on alkuperäsen kuvan I pksel 2 j,2k. Lsäks Gaussn pyramdn P Gauss (I) tasolle n käytetään merkntää P Gauss (I) n. Gaussn pyramdn tasot määrtellään lähten lkkeelle alkuperäsestä kuvasta I seuraavast: P Gauss (I) 1 = I, P Gauss (I) n+1 = S (G σ P Gauss (I) n ) (1.23) Gaussn pyramdn sovelluksa Gaussn pyramdn avulla vodaan kuvasta hakea er tarkkuustason rakenteta tehokkaast. Jos tavotteena on esmerkks löytää seepran radat, on yks mahdoll-

24 24 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA suus soveltaa erlasa suotma kuvan täysresoluutoverson. Tällön ongelmaks tulee hyvn helpost suotmen vaste kakenlaseen epärelevanttn kuvanformaatoon, kuten radan yksttästen karvojen suuntavahteluhn tms. Tällasten efekten mallttamnen suotmen panokertoma säätämällä johtaa vakeuksn: suodnmasken täytyy olla suura, jollon suotmen soveltamnen hdastuu. Lsäks sopven kertomen hakemnen tulee hyvn haastavaks ja laskennallsest kallks. Käytännöllsemp ratkasu onkn soveltaa penempmasksa suotma vähemmän detaljeja ssältävään matalaresoluutosempaan versoon kuvasta. Gaussn pyramd tarjoaa valmks kokoelman tällasa versota ja mahdollstaa er tarkkuustason rakenteden tehokkaan haun. Tonen tärkeä sovellus on spataalnen haku. Tyypllnen tlanne on sellanen, että olemme pakallstaneet knnostavan psteen yhdestä kuvasta ja tavotteena on löytää vastnpste tosesta kuvasta. Tonen kuva on esmerkks kuvattu tosesta suunnasta (stereonäkö) ta vastnpste on lkkunut joko kameran ta kuvattavan kappaleen lkuttua (lkeanalyys). Vastnpsteen haku alkuperäsestä kuvaparsta on epätehokasta, koska pahmmassa tapauksessa kakka vastnpstepareja tulee verrata keskenään samankaltasuuden maksmomseks. Nykynen melko unversaal ratkasu on hakea ensn vastaavuuksa ankarast slotetusta matalaresoluutoversosta ja stten tarkentaa hakua shen osaan kuvasta, josta paras matalaresoluutovastaavuus löyty. Tämä tehostaa hakua merkttäväst. Jos alkuperänen kuvaresoluuto on pkselä, vastaa harvmman estystason 4 4 resoluuton yks pksel pkseln neljännestä koko kuvassa Laplacen kuvapyramd Gaussn kuvapyramd tallettaa redundantta nformaatota, koska jokanen taso on alpäästösuodatettu verso edeltävästä tasosta. Tällönhän matalataajunen nformaato tulee talletettua useaan kertaan. Gaussn kuvapyramdn taso on samalla ennuste stä edeltävästä suurresoluutosemmasta tasosta. Tämä ennuste e tetenkään ole eksakt, mutta se samalla tarkottaa stä ette ole välttämätöntä tallettaa kakkea nformaatota korkeamman resoluuton tasolla. Laplacen kuvapyramdn deana onkn tallettaa ennusteen vrhe. Laplacen pyramda vo velä täydentää orentaatonformaatolla. Laplacen pyramdn muodostamseks tarvtsemme resoluuton nosto-operaattorn (engl. upsamplng operator). Selvästkään emme pysty luomaan kuvaan uutta nformaatota tyhjästä, mutta vomme helpost suurentaa resoluutota monsta-

25 1.5. KUVAPYRAMIDIT JA SKAALAT 25 malla pkselarvoja. Määrtellään seuraavaks tällanen resoluuton nosto-operaattor S, joka ottaa syötteekseen pyramdn tason n + 1 representaaton ja tuottaa stä korkearesoluutosemman tason n estyksen. Tarkemmn sanottuna korkearesoluutosen kuvan S (I) neljän pkseln (2 j 1,2k 1), (2 j 1,2k), (2 j,2k 1) ja (2 j, 2k) arvoks asetetaan kuvan I pkseln j, k arvo. Laplacen kuvapyramd muodostetaan valtsemalla sen matalaresoluutosmmaks tasoks Gaussn kuvapyramdn matalaresoluutosn taso. Jokanen korkearesoluutonen taso Laplacen pyramdssa saadaan erotuksena vastaavan tason Gaussn pyramdn representaatosta ja ennusteesta joka saadaan seuraavaks matalamman resoluuton Gaussn pyramdn tasosta resoluuton nosto-operaattorlla. Aukkrjotettuna tämä tarkottaa: P Laplace (I) n = P Gauss (I) n, P Laplace (I) k = P Gauss (I) k S (P Gauss (I) k+1 ) = P Gauss (I) k S (S (G σ P Gauss (I) k )), (1.24) msää n on matalmman resoluuton taso. Estystavan nm (Laplacen pyramd) on vähän harhaanjohtava, koska dervaattaoperaattoreta e konstruktossa tarvta. Nmtys perustuu slle sekalle, että pyramdn jokanen taso vastaa lkptäen Gausssten suodnten erotuksena saatavaa suodnta joka puolestaan on approksmaato Gaussn suotmen tosena dervaattana (Laplace-operaattorlla) saatavasta suotmesta. Laplacen kuvapyramdn jokanen taso vodaan meltää kuvan kastapäästösuodatettuna versona, el kuvan representaatona tetyn taajuusväln spataalsten taajuuskomponentten avulla.tämä johtuu stä, että tetyllä resoluutolla estetystä kuvanformaatosta vähennetään matalamman resoluuton verson antama ennuste, joka vastaa matalataajusa spataalsa taajuuskomponentteja. Tämä puolestaan antaa olettaa, että tetyt kuvan spataalset taajuuskomponentt lmenevät vomakkana vastena tetyllä pyramdn tasolla ja hekkona vastena mulla tasolla. Laplacen kuvapyramdlla on velä yks tärkeä omnasuus: Alkuperäsen kuvan palauttamnen Laplacen pyramdstaan on helppoa. Tämä tehdään palauttamalla stä Gaussn pyramd, jonka suurresoluutosn taso on alkuperänen kuva. Gaussn pyramdn palauttamnen on hetkessä hodeltu: Lähdetään lkkeelle matalmman resoluuton tasosta, joka on samalla Gaussn pyramdn matalmman resoluuton taso. Tämän resoluuto nostetaan seuraavaa tasoa vastaavaks ja lsätään shen seuraavan tason Laplacen pyramdn representaato jne:

26 26 LUKU 1. MATEMAATTISIA ESITIETOJA Work_mage n = P Laplace (I) n = P Gauss (I) n, Work_mage k = P Laplace (I) k + S (Work_mage k+1 ), k = n 1,...,1, I = Work_mage 1. (1.25)