= m B splini esitys. B splini esitys. Tasaiset B splinit

Transkriptio

1 .2. spln estys ézer estyksen yksnkertasuus ja voma ovat ettämättä sen suoson salasuus. Kakesta huolmatta slläkn on rajotuksensa, jotka ovat yltettävssä splnejä käyttäen. Lsäämällä kontrollpstetä saadaan spln, jota vodaan muokata saadaan oskllomaan halutulla tavalla monpuolsest, lman ézer käyrän rajotuksa. spln estys ézer käyrän hatat, jotka halutaan ylttää splnellä, ovat e pakallsuus ja käyrän asteen suhde kontrollpsteden lukumäärään. E pakallsuus tarkottaa, että vakka kontrollpste vakuttaa vomakkast määrättyyn osaan käyrästä, se vakuttaa myös koko käyrään (vrt. kuva.2. ja.). Jälkmmänen hekkous vttaa shen, että e voda käyttää kuutollsta käyrää n psteen estyksen approksmontn käyttämättä montaa käyräsegmenttä (ta nostamalla astetta kuutollsesta). E ézer käyrä ekä splnkään kulje kontrollpsteden kautta. spln on palottanen kuutopolynom, jossa vo olla vahteleva määrä käyräsegmenttejä (kästellään van kuutollsa, vakka splnellä vos olla mkä tahansa aste). Kyseessä on kuutollnen segmentt määrätyllä välllä ja seuraavalle srryttäessä kertomet vahtuvat. Yksttäselle segmentlle vodaan ézer käyrän kaltasest esttää splnn matrsmuoto: Q U s [ u u 2 u ] Q on :s segmentt ja on neljän kontrollpsteen joukko. Vodaan krjottaa myös: Q + k + k k Tässä on segmenttnumero ja k vastaava lokaal kontrollpstendeks. arametr u saa arvot u segmentssä luku 4. luku 4 spln on m 2:n käyräsegmentn jono Q, Q 4,, Q m, jonka m+ (m ) kontrollpstettä,,, m määrttelevät. Kukn käyräsegmentt määrtellään neljällä kontrollpsteellä, ja jokanen kontrollpste vakuttaa anoastaan neljään segmenttn. Tämä on splnn lokaalsuusomnasuus ja pääetu ézer käyrään verrattuna. spln kattaa pakallsen, ensmmäsen dervaatan ja tosen dervaatan jatkuvuuden, sllä kantafunktot ovat tosen dervaatan melessä jatkuva, palottasa polynomeja. Kantafunktoden lneaarkombnaato on myös stä. Määrtellään koko käyräsegmentten joukko yhtenä splnnä: Q m Tässä on nyt e lokaal kontrollpstendeks ja u globaal parametr. Tasaset splnt S. 4 kaavojen nojalla splnssä on neljä kantafunktota ja kontrollkärkeä, ss kolme enemmän kumpaakn kun käyräsegmenttejä. Ltospstettä u:ssa kutsutaan solmuarvoks. Tasanen spln tarkottaa, että solmut ovat tasavälsä parametrn u arvoja. Kuva.8. esttää kuudella kontrollkärjellä el psteellä,,, 5 määrteltyä spln käyrää sekä erastesten (2, ja 4) polynomen vakutusta. äävahtoehto on kuutollnen, jossa kolmen segmentn käyrässä Q on vasemmalla lähellä pstettä, ja Q 5 okealla lähellä pstettä 5.. luku 42. luku 4

2 Seuraava järjestys valltsee: Q määrtellään pstellä,, 2 ja, jotka on skaalattu arvolla,, 2 ja. Q 4 määrtellään pstellä, 2, ja 4, jotka on skaalattu arvolla, 2, ja 4. Q 5 määrtellään pstellä 2,, 4 ja 5, jotka on skaalattu arvolla 2,, 4 ja 5. Kuva.8. Kuudella kontrollpsteellä määrtelty kolmen segmentn kuutollnen spln. Kuva.9. havannollstaa kontrollpsteen 4 pakan muuttamsen vakutusta, joka vetää segmentn Q 5 sopvaan suuntaan ja vakuttaa vähemmässä määrn myös segmenttn Q 4 (määrtelty nn kään psteen 4 perusteella). Se e slt vakuta segmenttn Q, mkä tässä yhteydessä kuvastaa tärkeää lokaalsuutta. Yksttänen kontrollpste vakuttaa ylesest neljään segmenttn, kuten edellä todettn.. luku 44. luku 45 Kantafunktot ovat nollasta eroava u:n neljässä perättäsessä välssä (kuva..) arvosta u arvoon u +4. Ne ovat kuutollsa koostuen neljästä segmentstä. Jokanen kontrollpste skaalataan yksttäsellä kantafunktolla. Kun solmuarvot ovat tasavälsä, kukn kantafunkto on aksellla srretty kopo (kuva.). Kuva.9. splnn lokaalsuus: steen 4 srtämnen muuttaa pääasassa segmenttä Q 5 ja heman Q 4, mutta e Q. Kuva.. Tasanen kuutollnen spln (.. luku 4. luku 47

3 Kuva.. Kuus splnä, jota on käytetty kuvan.8. käyrän muodostamseen. Splnt ovat tostensa kopota. Kantafunktot summautuvat ykköseks vakutusalueellaan, tässä tapauksessa arvosta u arvoon u, jossa käyrä on määrtelty. Tarkasteltaessa yksttästä segmenttä tämä määrttelee parametrn väln arvosta u arvoon u +. Kantafunktot, jotka ovat kysesellä välllä aktvsa, on korostettu kuvassa.2.. luku 48 Kuva.2. Neljä splnä ovat aktvsa el nollasta eroava kuvan.8. ensmmäselle segmentlle. arametrn arvovälllä u u u + lasketaan neljä splnä asettamalla tässä u : u 2 ( u + u 2 (u u ( 2 + u + ) + 4). luku 49 spln e nterpolo päätekontrollpstetä, kuten e mutakaan. Tämä on kutenkn mahdollsta monstamalla kärkpstetä. Hattana on tosn jatkuvuusomnasuuden hekentymnen. Segmentt luodaan kantafunktolla skaalaten kontrollpsteet. Jos kontrollpste tostetaan, stä käytetään useammn kun kerran yksttäsen segmentn kehttämsessä. Esm. edeltä kuvan.8. vmenen kontrollpste tostetaan kolmest. Saadaan kuvan.. tlanne, jossa on vs segmenttä ja pstettä 5 on käytetty kerran segmentn Q 5, kahdest Q ja kolmest Q 7 laskemsessa. Käyrä kattaa nyt väln u 8 ja yhtyy lopuks psteeseen 5. Kuva.. Monnkertasen loppukontrollpsteen 5 vakutus, joka pakottaa käyrän nterpolomaan kyseessä olevaa pstettä. Estettyä menettely vodaan soveltaa sekä pääteettä välkontrollpstesn. Kuvassa.4. on esmerkkejä tästä. Ensks (kuva.4. (a)) on kahdennettu, jollon se saadaan melken nterpolotua, mutta jatkuvuus segmentten välllä hekkenee. Edelleen (kuva.4. (b)) kolmnkertasta pstettä soveltaen saadaan nterpolont akaan jatkuvuuden hekkenemsen kustannuksella, jollon tulee suora osa psteen molemmn puoln.. luku 5. luku 5

4 E tasaset splnt E tasasessa splnssä parametrn arvovält evät ole välttämättä yhtä suura. Tällön kanta el sekotusfunktot evät enää ole tostensa kopota, vaan vahtelevat välstä väln. Tavallsmmn peräkkästen solmuarvojen välssä oleva arvovälejä supstetaan koht nollaa lsäämällä monkertasa solmuja. Tämä on edeltävää tehokkaampaa nterpolotaessa kontrollpstetä. Kuva.4. (a) steen kahdentamsen ja (b) kolmnkertastamsen vakutus. alataan kuvan.8. tlanteeseen. Snä ol neljä solmuarvoa u, 4, 5, ja solmuvektor [,, 2,, 4, 5,, 7] ja lsäks u. Solmuarvojen väl ol kussakn yhtä kun. E tasasta splnä käytettäessä tlanne on esm. kuvan.5. kaltanen. Monkertasten solmujen ansosta päätepsteet saadaan nterpolotua. Solmuvektor on [,,,,, 2,,,, ].. luku 52. luku 5 Kuva.5. E tasanen spln, joka nterpolo päätekontrollpsteet, sekä (alla) sen kantafunktot. Kuvassa.. havannollstetaan velä spln käyrän joustavuutta. Snä on yhdeksän kontrollpstettä ja solmua. Solmuvektor on [,,,,, 2,, 4, 5,,,, ]. Kuva.. splnn joustavuutta.. luku 54. luku 55

5 eraatteessa mkä tahansa e vähenevä solmuarvojen jono käy solmuvektorsta. Monnkertasa kontrollpstetä käyttäen tuotettu päätepsteden nterpolonnlla e ole täsmälleen samaa vakutusta kun käyttämällä vastaavassa kohdassa monnkertasta arvoa solmuvektorssa. Kuvassa.7. on tästä esmerkk. Jos sovelletaan solmuvektora [,,,,,,, ], saadaan yksttänen segmentt, joka nterpolo :n ja :n. Tällön kantafunkto ovat ézerkantafunktota (kuva.2.) ja tuloksena saadaan ézer käyrä. Täten ézer käyrä on e tasasen splnn erkostapaus. Kuva.7. Monnkertasen solmuarvon ja monnkertasen kontrollpsteen vertalua: (a) käyrä on luotu solmuvektorlla, jossa on nelnkertanen arvo sekä alussa että lopussa, ja (b) loppusolmua on tostettu Monnkertasten solmuarvojen vakutus kantafunkton muotoon on havannollstettu kuvassa.8. Kuvan kohdassa (a) alotetaan tasasesta splnstä, joka on määrtelty solmulle,, 2, ja 4. Tämä on tuotettu s. 49 kaavolla (mutakn käyttökelposa polynomeja on) ja srtämällä kutakn kuutollsta segmenttä,, 2, ja 4 ykskkö u:lla.. luku 5. luku 57 spln käyren omnasuuksen yhteenveto Muutamat ézer käyrlle mantut sekat soveltuvat nn kään spln käyrlle: v Käyrä noudataa kontrollpstemonkulmon muotoa ja rajottuu kontrollspsteden määräämään konveksn petteeseen. v Käyrä mnmo kulussaan vahtelua. v Käyrää vo muuntaa mllä tahansa affnlla muunnoksella, jolla vakutetaan kontrollpstesn. Lsäks splnellä on oheset omnasuudet: Kuva.8. Monnkertasen solmuarvon vakutus yksttäseen kuutollseen spln kantafunktoon: (a) perustlanne [,, 2,, 4] ja (b) tonen solmu kaksnkertasena [,,, 2, ], (c) kolmnkertasena [,,,, 2] sekä nelnkertasena [,,,, ]. v spln kästtää lokaalsta kontrolla; kontrollpste on tekemsssä neljän segmentn kanssa (kuutollsena), ja kontrollpsteen srtämnen vo vakuttaa van nähn segmenttehn.. luku 58. luku 59

6 .. Ratonaalkäyrät Käyrä määrtellään kolmulottesessa avaruudessa: Ratonaalkäyrä on nelulottesessa avaruudessa määrtelty käyrä, joka projsodaan kolmulotteseks. Aluks tarkastellaan ézer käyrää edeltäneen kästtelyn melessä, mutta stten määrtellään e tasasen splnn ratonaalmuoto (NURS), joka on käytännössä yks käytetymmstä. Tässä on: Q( ( x, y, z ) Ratonaalset ézer käyrät Alotetaan katsomalla kolmulottesen ézer käyrän kaksulottesta projektota tasolle z (kuva.9.). Jaetaan z(:lla kaksulottesen ratonaalsen käyrän R( saamseks: R( x( y(, z( z(. luku Kuva.9. Kolmulottesen ézer käyrän projekto Q( tasolle z, jollon saadaan kaksulottenen käyrä R(.. luku Sovelletaan erkosmerkntää krjottamalla ratonaalkäyrän kolmulotteset kontrollpsteet kaksulotteseen avaruuteen: ( w x, w y, w ) Kolmulottenen käyrä krjotetaan nyt: Q( w x w y w Tämä projsodaan kaksulotteseen avaruuteen: R( w x w y, w w Sama kaava pätee nelulottesen käyrän projektossa kolmulotteseen avaruuteen, jollon kontrollpsteet ovat muotoa: Saadaan: ( w x, w y, w z, w ) w R w Ratonaalkäyrät ssältävät kakk e ratonaalsten prteet, ja jos panot asetetaan ykkösks, saadaan tavallnen ézer käyrä. anoarvon muuttamsen vakutus yhdessä kontrollpsteen kera kuvataan kuvassa.2. Kontrollpsteen panoarvon kasvattamnen lsää psteen vakutusta.. luku 2. luku

7 Kuva.2. Ratonaalsen ézer käyrän panoarvojen muuttamsen vakutusta. anoarvojen muuttamsen vakutus eroaa heman kontrollpsteen srtoon verrattuna. Tätä esttää kuva.2. Kuva.2. Ratonaalset ézer käyrät: (a) Kontrollpsteen srto srrättää käyrän jokasta pstettä samansuuntasest kun, mkä on kontrollpsteen srron suunta. (b) anoarvon muuttamnen srtää jokasta käyrän pstettä suoralla, joka kulkee käyrän kysesen psteen ja kontrollpsteen kautta. E ratonaalnen ézer käyrä e kykene esttämään ympyrää tarkast. Sen sjaan ratonaalsa vodaan hyödyntää tässä.. luku 4. luku 5 NURS estykset NURS estykset (Non Unform Ratonal Splnes) lenee suostun CAD työssä. Se kattaa oheset omnasuudet: kontrollpsteden vuorovakuttenen sjottelu ja srto solmujen vuorovakuttenen sjottelu ja srto kontrollpsteden panojen vuorovakuttenen hallnta Edellsen ratonaalkäyrän ja e tasasen splnn omnasuuksen yhdstämsellä saadaan tällanen NURS estys, jossa ssäsolmujen vält evät ole yhtä suura. Muutamat tavallset käyrät ja pnnat, kuten ympyrät ja sylntert, vaatvat e tasasa solmunvälejä. Täten saavutetaan parempa muotoja ja monpuolsuutta esttää laajempaa valkomaa muotoja. Ratonaalnen spln määrtellään nelulottesten kontrollpsteden joukolla: w ( w x, w y, w z, w ) Tällasen käyrän projektokuvausta kolmulotteseen avaruuteen kutsutaan ratonaalseks spln käyräks (k polynomn aste): R( H Ratonaalslla splnellä on samat analyyttset ja geometrset omnasuudet kun e ratonaalslla. n n n w w w, k, k, k. luku. luku 7