Harjoitustehtävien ratkaisut

Transkriptio

1 Johdatus numeerisiin menetelmiin Harjoitustehtäviä. Esitä luvun 7 8 a) tarkka arvo desimaalilukuna b) kolmidesimaalinen likiarvo c) nolladesimaalinen likiarvo d) Likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella 7 a) 8 =0,875. b) c) d) 7 8 0, ,88..2 Esitä 234 euron a) likiarvo sentin tarkkuudella b) likiarvo euron tarkkuudella c) likiarvo kymmenen euron tarkkuudella a) 234,00 euroa. b) 234 euroa. c) 230 euroa..3 Ilmoita edellä järkevällä numeromäärällä annettujen Maan halkaisijan pituuksien keskiarvo yhden kilomerin tarkkuudella. Laske tästä tuloksesta Maan ympärysmitta. (2)

2 Keskiarvo 2756km 274km =2735 km. 2.4 Tasaisella kankaalla kasvaa mänty, jonka varjon pituus on jotain 22,5 metrin ja 22,8 metrin välillä. Tietokoneohjelman avulla saat tietää, että Aurinko on noin 5 asteen korkeudella horisontista. Kuinka korkea mänty on? Merkitään Auringon korkeutta h:lla, varjon pituutta s:llä sekä männyn korkeutta l:llä. Trigonometriasta: tan h = l s, joten l=s tan h. Auringon korkeus ilmoitetaan 5 asteeksi. Se on siis välillä [50,5;5,4] astetta. Varjon pituus on välillä [22,5;22,8] metriä. Koska tangentti - funktio kasvaa puheena olevalla välillä, niin mänty on enintään 29 metriä korkea ja vähintään 27 metriä korkea. Vastaus: Männyn korkeus on 28 metriä ± metri..5 Kuinka suuri on mittauksen suhteellinen virhe, jos mittausarvossa 670 nanosekuntia on kolme merkitsevää numeroa? Kolmen merkitsevän numeron tarkkuuden arvoksi 670 nanosekuntia pyöristyvät 665 nanosekuntia ja 675 nanosekuntia, joten suhteellinen virhe on 5 ns 670 ns =0,3 prosenttia. Harjoitustehtäviä 2.6 Opin Wikipediasta, että Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400 luvulla π:lle arvon 355 3, jota parempi murtolukuarvio on vasta. Muunna nämä liukulukumuotoon. Kuinka monen 3302 merkitsevän numeron tarkkuudella ne antavat piin arvon, kun edelleen Wikipediasta: Piin likiarvo katkaistuna 30 desimaalin jälkeen on 3, ? Koska 2(2)

3 , ja , , niin 7 ja 0 merkitsevän numeron tarkkuudella, jos luvut vain katkaistaan, jälkimmäinen 9 merkitsevän numeron tarkkuudella, kun pyöristetään. Katkaiseminen on siis perusteetta optimistisempi! Vastaus: Seitsemän ja 0 tai 9 merkitsevän numeron tarkkuudella. Wikipedia: Luku π todistettiin irrationaaliseksi 700-luvulla..7 Laske e x dx. Ilmoita vastaus 0 a) kolmen b) kuuden desimaalin tarkkuudella. e x dx=e e 0 =e, joka on suunnilleen a) 2,78 b) 2, Vastaus: a) 2,78 b) 2, Antilla on euron alkupääoma, jonka hän haluaa kaksinkertaistaa kahdeksan vuoden aikana. Hän arvioi, että hänellä on varaa sijoittaa tilille lisää 000 euroa joka vuosi. Tämän lisätalletuksen hän suorittaa aina kunkin korkovuoden alussa, yhteensä kahdeksan kertaa. Kuinka suuri on tilin vuotuisen koron oltava, jotta Antti onnistuu? Kesken säästöprojektin Antti ei nosta tililtä mitään eikä maksa lähdeveroa. Merkitään alkupääomaa p:llä, maksuerien määrää n:llä, maksuerän suuruutta k:lla, loppupääomaa P:llä sekä korkokerrointa x:llä. Geometrisen summan kaava antaa yhtälön 8 P= p x x i = p x x x8 i = x, 3(2)

4 jossa P = euroa ja p = euroa. Tämä on hankala ratkaistava tarkasti. Mutta korot ovat yleensä joitakin prosentteja. Kokeillaan ensin arvoa (yritettä) 4 %, x on,04. P:ksi saadaan nyt yli euroa. Kokeillaan arvoa x =,0. Nyt P:ksi saadaan noin 9 97 euroa. Jatketaan kokeiluja. Lopulta saadaan P = ,388 euroa, kun x =,064. Pyritään P:n arvossa puolen sentin tarkkuuteen. Tämä saadaan, kun x =,064. Vielä x:n arvokin, antaa P:n arvon 9 999,999. Tämä on jo kymmenesosasentin tarkkuudella oikein. Kokeillaan vielä arvoa, Nyt saadaan jo ,000 euroa. ksi kelpaa x =, Tarkista! Vastaus: Koron on oltava vähintään, prosenttia vuodessa..9 Pohdi seuraavaa tilannetta. Saat kaksi näytettä jotain nestettä. Toisen nestemäärän painoksi ilmoitetaan 483,626 grammaa ja toisen 483,625 grammaa. Tilavuudet ovat samat 0 merkitsevän numeron tarkkuudella. Ovatko näytteet samaa nestettä? Neste-erien massojen erotus on 0,00 grammaa. Massat ilmoitettiin kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella, mutta erotukseen jäi vain yksi merkitsevä numero. Entä, jos alkuperäiset massojen arvot oli pyöristetty arvoista 483,62649 grammaa ja 483,6245 grammaa? Erotus olisi tällöin 0,0098 grammaa eli pari kertaa äskeinen..0 Etsi laskimen tai tietokoneen avulla yhtälön x 2 x 3 =0 ratkaisut kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. x = 0,49 tai x = 2,99. 2 Polynomien jakamisesta tekijöihin Harjoitustehtäviä 3 2. Laske 5 4i 4 5i. Vastaus: i. 4(2)

5 2.2 Laske 3 2i. Vastaus: i. 2.3 Laske x yi. Vastaus: x yi x 2 y Laske a) i 3 b) i 3 a) i 3 b) i 3 = =. Kaksi kolmesta ykkösenjuuresta ovat tässä. Mikähän se kolmas on? 2.5 Osoita, että a bi c di = ac bd c 2 d bc ad 2 c 2 d 2 i eli että a,b ac bd = c,d c 2 d 2, bc ad c 2 d 2. Lavenna nimittäjän liittoluvulla. 2.6 Ratkaise yhtälö 5(2)

6 x 2 x =0. ± = ± 3 i = 2 2 ± 3 2 i. Harjoitustehtäviä 4 Suorita seuraavat jakolaskut. Ilmoita vastauksena joko osamäärä tai vaillinainen osamäärä ja jakojäännös. 2.7 x 3 x 2 x x 2. Vastaus: x. 2.8 x 3 x 2 x x 2. Vastaus: Vaillinainen osamäärä x 2 3x 5, jakojäännös x 5 3x 4 5x 3 5x 2 4x 2 x 2 Vastaus: x 4 5x 3 5x 2 5x x 5 3x 4 5x 3 5x 2 4x 2 x 2 4 Vastaus: x 3 3x 2 x x 5 3x 4 5x 3 5x 2 4x 2 x 3 3x 2 4x 2 Vastaus: x 2. 6(2)

7 Harjoitustehtäviä 5 Jaa seuraavat polynomit tekijöihin. 2.2 x 5 3x 4 5x x 2 Vastaus: x 3 x 2 x 2 x x. 2.3 x 5 3x 4 5x 3 5x 2 4x 2 Vastaus: x 3 x 2 x 2 x x. 2.4 x 5 7x 4 7x 3 03x 2 8x 360 Vastaus: x 3 x 2 x 3 x 4 x x 4 7x 3 22x 2 63x 36 Vastaus: x 3 x 2 x 3 x 4 x x 3 7x 2 Vastaus: x 3x 2x. 2.7 Etsi yhtälön x 4 =0 kaikki juuret. Vastaus: x 4 = x 2 x 2, joten juuret ovat, +, i ja +i. 3 Yhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Harjoitustehtäviä 6 3. Arvioi Esimerkin 23 toista ratkaisua samalla menetelmällä kuin minä arvioin ensimmäistä ratkaisua. Valitse etukäteen tarkkuus, johon haluat päätyä ja pidä sitten siitä kiinni. Vastaus: Kuusinumeroinen vastaus on esimerkin yhteydessä. Harjoitustehtäviä Ratkaise yhtälö ln x x =0 kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Vastaus: 0,278 ( ) Harjoitustehtäviä Ratkaise yhtälö x cos x 2 =0 neljän desimaalin tarkkuudella. Vastaus: 0,4508. ( f ' x =sin x 0 ) 7(2)

8 3.4 Ratkaise yhtälö x 5 x 0,=0 kolmen desimaalin tarkkuudella. Vastaus:,043; 0,54; 0,937. Harjoitustehtäviä Ratkaise yhtälö x ln x =0 kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella. Valitse alkuarvoksi x 0 =. 3.6 Ratkaise yhtälö e x sin x =0 kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella. Harjoitustehtäviä Ratkaise yhtälö x e x =0 kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella. Valitse alkuarvoiksi x 0 = ja x = 2. [Vastaus: 0,567 43] 3.8 Laske :n likiarvo kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella funktion f x =sin x avulla. Harjoitustehtäviä 3.9 Ratkaise Esimerkin 29 yhtälö x 5 7x 8=0 seuraavalla tavalla: Ota ensin vasemmalla x tekijäksi eli kirjoita x x 4 7 8=0 ja siirrä sitten 8 oikealle puolelle. Kirjoita vielä tämä muotoon x = g(x) ja ratkaise yhtälö siitä. 3.0 Ratkaise yhtälö x 3 4 cos x 2 3 =0 kuuden desimaalin tarkkuudella. [Vastaus:,043843] 3. Yhtälöllä 2 2 x 2x=0 on kaksi juurta. Niistä toinen on x = 3. Etsi toisen viisidesimaalin likiarvo. [Vastaus: 0,69009] 4 Funktion approksimoinnista Harjoitustehtäviä 2 4. Arvioi ensimmäisen asteen interpolointipolynomin avulla funktiota log(x) + x 2 väleillä [0,90;0,672], [0,67;,5] ja [2,000;3,000]. Kuinka suuri on absoluuttinen virhe kussakin tapauksessa suurimmillaan? Vastaus: Suorat ovat vastaavasti y = 2,4x 2,94, y =,4x 2,5 sekä y =,76x 2,05 ja suurimmat virheet vastaavasti alle 0,09, 0, ja 0, Arvioi ensimmäisen asteen interpolointipolynomin avulla funktioita f x =x sin x, 8(2)

9 f x =x cos x välillä [ 4 ; ]. Kommentoi tulosta. 4 Vastaus: Suorat ovat,45058x, ja,45058x, Tasan samat! Sopiiko tämä menetelmä tähän vai ei, riippuu tarkkuusvaatimuksista. 4.3 Arvioi ensimmäisen asteen interpolointipolynomin avulla polynomia f x = 4 x3 5 4 x x 9 välillä [4,00;5,00]. Vastaus: y = 5x Arvioi ensimmäisen asteen interpolointipolynomin avulla polynomia f x = 4 x3 5 4 x x 9 välillä [9,50;0,5]. Ratkaise numeerisesti yhtälö f(x) = 0, x [9,50 ;0,5]. Vastaus: y = 3,5625x 33,688, x = 9, Harjoitustehtäviä Piirrä Esimerkin 38 Taylorin polynomi ja sini - funktion kuvaaja kohdan x = ympäristössä samaan kuvaan. Vastaus: 2 9(2)

10 4.6 Muodosta funktion f x =e x neljännen asteen Taylorin polynomi kohdassa x = 0. Vastaus: P 4 x = 24 x4 6 x3 2 x 2 x 4.7 Muodosta funktioitten f x =sin x ja g x =cos x neljännen asteen Taylorin polynomit kohdassa x = 0. Vastaus: Sini funktio: P 4 x = x 8 x3, kosini funktio: P 4 x = 24 x4 2 x 2. 5 Numeerisesta derivoinnista Harjoitustehtäviä 4 5. Laske aulukon tietojen perusteella esineen nopeus hetkellä,25 sekuntia. t [s] s [m] 0,000 0, ,500,72583,000 5,90333,500 2, ,000 2,6330 2,500 33,4578 3,000 47,2993 3,500 63, ,000 82,45320 Vastaus: Noin 3 m/s ( = 2,5 5,90 2 0,25 ). 5.2 Arvioi funktion f x = derivaattaa kohdassa x =. Käytä h:n arvoa 0,0 sekä x 2 seitsemää merkitsevää numeroa välituloksissa. Vertaa tulosta tarkkaan arvoon. Vastaus: f' = 2 6 Numeerisesta integroinnista Harjoitustehtäviä 5 6. Laske määrätyn integraalin e x dx arvo vähintään viiden desimaalin tarkkuudella. Käytä 0 0(2)

11 keskipistesääntöä ja sen parametrin n arvoa vähintään 0. Vastaus: Pyöristä e. 6.2 Laske määrätyn integraalin 2 e x dx arvo vähintään kolmen desimaalin tarkkuudella. Käytä keskipistesääntöä. Kuinka suuri suorakaidesäännön parametrin n täytyy olla, että pyöristetyssä ratkaisussa on merkitseviä numeroita oikein vähintään nuo kolme kappaletta? Vastaus: I = e 2 e. Ohjelmointitaitoja tarvittaneen: n on noin Laske määrätyn integraalin tarkkuudella. Käytä keskipistesääntöä. Vastaus: I = 2. sin x dx arvo vähintään neljän merkitsevän numeron Harjoitustehtäviä a) Suorat x = 2, x = 0, y = 0 ja y = ln(x) määräävät suljetun kuvion. Arvioi sen alaa puolisuunnikassäännön perusmuodon avulla. B) Suorat x = 2, x = 3, y = 0 ja y = ln(x) määräävät suljetun kuvion. Arvioi sen alaa puolisuunnikassäännön perusmuodon avulla. Vertaa näitä kahta tulosta tarkkoihin arvoihin, jotka ovat 0 ln 5 8 [ ln 2 ] 3,6396 ja ln , Vastaus: Likiarvot ovat,98 ja 0,8959. Eivät kovin tarkat siis. Usein likiarvolaskuissa ei paljon parempaa tarkkuutta tarvitakaan. Harjoitustehtäviä Arvioi funktioitten y = /x, x =, x = 4 ja y = 0 väliin jäävän alueen pinta-alaa puolisuunnikassäännön avulla. Käytä viittä osaväliä. Arvioi tuloksen tarkkuutta vertaamalla sitä laskimen numeerisen integroinnin antamaan arvoon. Vastaus: Laskin:,38629, puolisuunnikassääntö:,4348. (2)

12 6.6 Arvioi e - x 2 dx. Kuinka monta osaväliä tarvitset, että 5. merkitsevä numero ei enää muutu? - Vastaus: Laskin:, Arvion tulos,4936 ei muutu, kun jakovälejä on vähintään 2 5 kappaletta (symmetria y akselin suhteen). 6.7 Portin kautta kulki kahden sekunnin välein suoritetuissa mittauksissa hiukkasia oheisen taulukon mukaisella vauhdilla. Taulukon yksiköt ovat 0 9 kappaletta sekunnissa ja sekunti Kuinka monta hiukkasta kulki portista mittaussession aikana? Vastaus: 6, kappaletta. Harjoitustehtäviä Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat suorat x = 0 ja x = 2 sekä käyrä y=. x 2 Käytä Simpsonin sääntöä ja jaa integroimisväli kuuteen osaväliin. Vastaus: Simpsonin sääntö:, (Laskimen tarkka arvo:,07 48) 6.9 Laske normaalijakauman kertymäfunktion arvo Simpsonin säännön avulla, kun normaalijakauman parametrit ovat 0 ja. Vastaus: Simpsonin sääntö: 0,8366. (Laskimen ja taulukkokirjan tarkka arvo: 0,843) 2(2)