kx ) toiseksi alimman energiatilan aaltofuntio on . Osoita, että tämä funktio on aaltoyhtälön ratkaisu ja määrää sitä vastaava energian ominaisarvo.

Transkriptio

1 1 Hrmonisen oskillttorin ( V = ( 1/ ) k ) toiseksi limmn energitiln ltofuntio on - / f( ) = Ce 1 / 1 / missä = bmw / g, j w = k / mf soit, että tämä funktio on ltoyhtälön rtkisu j määrää sitä vstv energin ominisrvo Schrödingerin yhtälö on d f - + V( ) f = Ef (1) m d Derivoimll sdn d f = - / C e - - / e d F H d f C e e 4 3 e d = - - / - - / + - / = C- 3 e - / e - / I K vstvsti toinen derivtt on Sijoittmll tämä yhtälöön (1) sdn (suistmll vkio C j eonenttifunktio yhteisinä tekijöinä ois) m m V = E missä liike-energi sisältyy hksulkutermiin Sijoittmll louksi otentilienergi, missä k = w m j edelleen = m w / sdn 3 w w - m w m E m + = (4) Kolmnnen steen termit kumoutuvt, joten f on yhtälön (1) ominisfunktio ominisrvolle = ( / ) 3 w () (3) Esimerkki 31 Todennäköisyysvirrn lusekkeen johtminen Trkstelln oheisen kuvn 3-b esittämää suljetun S innn rjm tilvuutt V Ajn kuluess todennäköisyys sille, että hiukknen on tilvuudess V voi muuttu Kunkin jnhetkenä kokonistodennäköisyys on todennäköisyystiheyden integrli tilvuuden V yli ( r, t) dv Merkitsemme todennäköisyystiheyden virt V differentilisen innn ds läi dφ = j ds, missä j on virrn tiheys j ds on int vsten kohtisuor vektori, jonk ituus on differentilisen innn l Hiukksen kokonistodennäköisyyden muutos ikyksikköä Kuv 3-b Todennäköisyysvirrn lskeminen tilvuutt V rjoitttvn innn S läi

2 kohden lueess V on itseisrvoltn yhtä suuri kuin hiukksvirrn vuo luett rjoittvn innn läi Jos hiukksvirrn vuo on ositiivinen tiedämme, että todennäköisyys ienenee eli todennäköisyyden derivtt on otettv negtiivisen j ds = ( r, t) dv (1) S V Yhtälössä on vsemmmll todennäköisyysvirrn vuo tilvuuselementtiä V vstvn suljetun innn S läi j oikell tilvuuselementtiä V vstvn kokonistodennäköisyyden ikderivtt vstkkismerkkisenä Elektronin integroitu esiintymistodennäköisyys tilvuuselementissä V voi vähentyä vin siten, että todennäköisyystiheyttä virt ulos elementin sisältä sitä rjoittvn innn läi Huom, että yhtälö 1 on muodoltn trklleen sm kuin klssisen sähkömgnetismin sähkövirrn ti nesteen virtuksen jtkuvuusyhtälöt Kosk tilvuus V on vlittu mielivltisesti voidn yhtälö 1 esittää vektorinlyysin mukn myös differentilisess muodoss j = ( r,t) Trkstelln lähemmin todennäköisyystiheyden ikderivtt Schrödingerin yhtälön erusteell + V = i m (3) + V = i m Kertomll ylemi yhtälö uolittin funktioll j lemi funktioll smme + V = i m + V = i m (4) skemll yhtälöt 4 uolittin yhteen j järjestelemällä m ( ) = i r (,) t (5) Yhtälön 5 vsen uoli voidn vielä kirjoitt grdientin vull muotoon ( ) = i (,) r t 6 mi Vertmll nyt yhtälöjä j 6 smme todennäköisyysvirrlle lusekkeen j = ( ), (7) mi Kun yhtälössä 7 grdientti korvtn derivtll d / d sdn yhtälö

3 ( ) j = mi ψ ψ ψ ψ 3 ) Atomin ltess viritetystä tilst erustiln fotoniemissioll hvittiin emittoituvn sektriviivn 6 leveydeksi E 1, 1 ev Mikä oli tiln elinik? b) ske vetytomin rekyylienergi sähköisessä diolitrnsitioss 3d ) Heisenbergin yhtälöstä 1 / E 66 1 s t = = b) Rekyylienergin on suurell trkkuudell ( E / c) γ M missä E γ on fotonin energi j M tomin mss Tässä trnsitioenergi on E γ 1 1 = E = 19eV Rekyylienergiksi sdn sijoittmll 1, 9 1 ev 4 ske energin odotusrvo, kun äärettömän kovss otentililtikoss (-kselin välillä, ) sijitsevn hiukksen ltofunktio jnhetkellä t = on muoto Y (, t = ) = A( - ) Riiuuko energin odotusrvo jst? Huom, että nnettu ltofunktio ei ole otentililtikon oministil Kyseessä on siis ei sttionäärinen til j energin odotusrvo on otentililtikon ominisenergioiden inotettu keskirvo Käyttämällä energin odotusrvon määritelmää sdn: E = y H" yd yyd soittjst sdn y H " y d A =- m - -d f f

4 f f Sijoittmll Derivointi nt - = - - = - y " H y d A = - d= A - A m m H 3 K = 6m Nimittäjästä sdn yy d = A - d = A 3 joten energin odotusrvo on F f 5 f, y H" yd E = 5 = m yyd Energin odotusrvo ei riiu jst Ktso rujust energin odotusrvon lskeminen ei-sttionääriselle tillle 5soit energin j liikemäärän säilymislin vull, että elektroni j ositroni eivät voi nnihiloutu siten, että nnihiltioss muodostuu vin yksi gmm kvntti (fotoni) Säilymislit : iikemäärän säilyminen g = (1) Energin säilyminen Eg = E+ + E- () Yhtälöstä () sdn ( Eg = cg ) F HG b g b g I K J (3) cg = c + + mc mc Neliöimällä yhtälö (1) smme g Eg (4) c F = + + = H G I K J Yhtälöistä (3) seur neliöimällä I

5 b g b g e b gj b g g e - j (5) = + m c + + m c + + m c + m c Sijoittmll (5) yhtälöön (4) (merkitään liikemäärävektoreiden välistä kulm q ) F + - = + - = H G I + K J + F H G mc mci cosq mc K J (6) Rtkisemll F mc cosq = + + H G mc I K J M + F H G mc I K J P Q 1 1 P > mikä on mhdotont Se, että nnihiloituminen yhdeksi fotoniksi on mhdotont voidn äätellä myös esimerkiksi seurvsti Trkstelln nnihiloitumist elektroni-ositroni rin msskeskiistekoordintistoss Tällöin niiden kokonisliikemäärä = (kert mekniikn kurssi) Kosk fotoni etenee vlon noeudell kikiss koordintistoss, sillä on nnihiloitumisen thduttu nollst oikkev liikemäärä myös elektroni-ositroni rin msskeskiistekoordintistoss, eikä liikemäärän säilymislki sd toteutumn 6 E ( ) Esimerkki 3 Hiukknen liikkuu otentiliss, jok rjoitt hiukksen jollekin lueelle -kseli soit, että ikn j liikemäärän odotusrvoille ätee klssiset liikeyhtälöt P M P d = / m,j d de = d Tulos on nimeltään Ehrenfestin teoreem soitmme ensin Schrödingerin ikriiuvn yhtälön j Hmiltonin hermiittisyyden vull (jst riiumttomn) oerttorin A odotusrvolle ätevän utuloksen: d 1 A = AH HA i dotusrvo määritellään A = ψ Aψd (8) Kosk A ei riiu ekslisiittisesti jst, on ikriiuvuutt vin tilnfunktioiss ψ Derivoimll 8 smme d dψ dψ A = Aψ ψ A d + (9) Aikriiuvn Schrödingerin yhtälön erusteell

6 dψ dψ 1 = = Hψ i dψ 1 = Hψ i (1) Sijoittmll 1 yhtälöön 9 smme d 1 A = ( H ψ) A ψ + ψ A ( H ψ) d i (11) Hermiittisyyden erusteell ( ) kimmme utuloksen H ψ χ d = ψ H χ d mielivltisill ψχ Sijoittmll χ = Aψ smme d 1 ( ) 1 A = ψ HA AH ψ d = HA AH i i (1) Sovelletn tätä ikkoerttorille: d 1 ( ) 1 = ψ H H ψ d = H H i i (13) Pikkoerttorin j Hmiltonin H = + E ( ) kommutttori lsketn seurvsti: Kosk m E knss smme kommutttoriksi kommutoi otentilin ( ) 1 [ H] = = ( ),, m m (14) ike uoli lsketn käyttämällä tulost ( ) = i Kertomll tämä oerttorill ensin vsemmlt j sitten oikelt, smme i = = i (15) skemll yhteen = i (16) Yhdistämällä louksi 13, 14 j 16 d = / m Seurvksi trkstelemme liikemäärän odotusrvon liikeyhtälöä Yhtälön 1 erusteell d 1 = H H (17) i

7 Nyt liikemäärä kommutoi liike-energioerttorin knss, muttei otentilin knss Smme H H = V V = (,) t ( V V) (,) t i i i (18) Trkstelln lähemmin integrndi: E E = i E E = i E E = ( ) ( ) E E i + E E = i (19) Sijoittmll tämä yhtälöön 18 1 = (, )( ) (, ) i d t E E t 1 E E = ( t, ) i ( t, ) i = () Tulos tunnetn Ehrenfestin teoreemn Ehrenfestin teoreemn vull voidn ymmärtää miten klssinen mekniikk seur symtoottisen rj-rvon kvnttimekniikst Mkroskooisi kleit kuvvien ltokettien disersio on häviävän hidst j fysiklisten suureiden suhteellinen keskioikkem keskirvost hyvin ieni