HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 /

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / 16.8.2009"

Transkriptio

1 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / Vesa Korhonen Sisältö 0. Johdanto Prosenttilaskun soveltamista Prosentin käsitteestä Arvonlisäverotus Tehtäviä Katelaskelmia Katetuottolaskelma Katetuottolaskelman käyttö Kustannus-, tuotto- ja tulosfunktiot Tehtäviä Indeksit Yksinkertainen indeksisarja Ryhmäindeksi Inflaatio- ja deflaationprosentit Indeksisidonnaisuus ja reaalinen muutos Tehtäviä Yksinkertainen korkolasku Peruskäsitteet Korkopäivien laskutapoja Erilaisia tehtävänasetteluja Keskikorkokanta ja keskisaldo Tehtäviä Koronkorko Erilaisia korkojaksoja Kasvanut ja diskontattu pääoma Relatiiviset ja konformiset korkokannat Tehtäviä Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten loppuarvo Jaksollisten suoritusten alkuarvo Annuiteetti Jaksollisten suoritusten lukumäärä Tehtäviä Kokoava esimerkki Tehtäviä Tavallisia prosenttilaskuja ALV-laskuja Indeksit ja valuutat Korkolaskuja Liite: Kootut linkit... 45

2 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 2(45) 0. Johdanto Opintojaksoon HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat kuuluu kauppamatematiikan osuus. Sitä tässä ollaan nyt ihmettelemässä. Tämän opintojakson osan periaate on koettaa laskea kohtuullisen paljon ja sitä kautta hankkia laskurutiinia. Kun myöhemmillä opintojaksoilla tarvitaan kauppamatematiikan taitoja, tulisi laskujen onnistua ilman suurempia miettimisiä. Laskujen sijaan voisi ehkä puhua yleisemmin numerojen pyörittelystä. Sitä joutuu tekemään jatkuvasti. Pieni esimerkinluonteinen harjoitustehtävä: Minä päivänä (päivä-vuosi-kuukausi) syntynyt on tänään oikeutettu ostamaan tuotteita, joilla on 18 vuoden ikäraja? Jos osasit vastata alle viidessä sekunnissa, hyvä. Jos olet sitä mieltä, että voi sitä puoli minuuttiakin rauhassa miettiä, niin kuvittele itsesi perjantai-iltana marketin kassalle, jossa 100 m pitkä kärsimätön jono odottaa, että saat asian selvitettyä Tähän materiaaliin on sisällytetty muutamia WWW-linkkejä, jotka on myös koottu materiaalin loppuun. Kauppamatematiikan opiskelun apuna voi käyttää myös opintojakson HBL10110 Yleismatematiikka -materiaalia, joka löytynee osoitteesta Yleismatematiikasta eivät opintosuorituksia kuitenkaan saa muut kuin ne opiskelijat, jotka eivät ole opiskelleet matematiikkaa lukiossa.

3 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 3(45) 1. Prosenttilaskun soveltamista Sovelletaan seuraavassa prosenttilaskun perusteita arvonlisäverotukseen. Samassa siis tulevat kerrattua ko. perusteet. Tämän ensimmäisen luvun oppimistavoitteet siis ovat prosenttilaskun perusteiden mieliin palauttaminen ja arvonlisäverotuksen perusperiaatteiden oppiminen. 1.1 Prosentin käsitteestä Prosentti, %, on sadasosa jostakin. Nimitys tulee latinan kielen sanoista per cent, sataa kohden. Sama ilmaus on esimerkiksi englannin kielessä käytössä sellaisenaan. Prosentin hyödyllisyys on juuri siinä, että ei aina tarvitse tietää, että mistä. Ajatellaanpa vaikka sellaista arkista ilmiötä, kuin verokortti. Yksinkertaisimmillaan siinä saattaa olla näkyvissä seuraava tieto: Ennakonpidätys alkaen: Sivutulosta on toimitettava ennakonpidätys 41,5 % Eli suoritettavan ennakonpidätyksen suuruus on kerrottu prosentteina koko palkasta. Silloin verottajan ei tarvitse kertoa kuin yksi luku, jonka perusteella työnantaja osaa tehdä pidätyksen. (Tässä on siis kyseessä sivutuloverokortti, jolloin asia on yksinkertaisimmillaan. Päätoimen palkkatulossa on usein mainittu vielä tuloraja, jonka kohdalla prosentti kiristyy...) Huomattavasti hankalammin käytettävä verokortti olisi seuraava: Ennakonpidätys alkaen Palkka 1 ennakonpidätys 0,42 Palkka 2 ennakonpidätys 0,83 Palkka 3 ennakonpidätys 1,24 Palkka 4 ennakonpidätys 1,66... Palkka 3900 ennakonpidätys 1618,50... Jälkimmäisellä tyylillä verokortti olisi paljon pitempi ja sekavampi. Prosenttien käytöstä on siis selkeää etua. Prosentin sukulainen on promille, tuhannesosa, 0 / 00. Siihen törmää usein pieniä pitoisuuksia mitattaessa. Yksi prosentti on selvästi kymmenen promillea. Esimerkiksi jalometallien pitoisuudet saatetaan ilmoittaa promilleina. Vaikkapa hopealusikan varren takapuolella oleva merkintä 813 kertoo, että lusikassa on 813 promillea (eli 81,3 %) puhdasta hopeaa. Lähdetään jatkossa prosenttilaskujen kanssa soveltaen liikkeelle. Samalla tulemme näkemään muutamia perusasioita arvonlisäveronsta.

4 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 4(45) 1.2 Arvonlisäverotus Arvonlisävero, ALV, on kulutusvero. ALV:n suuruus on pääsääntöisesti 22 %, mutta poikkeuksia on (Taulukko 1). Taulukko 1 Arvonlisäveron verokannat Suomessa Yleinen vero (ellei muuta ole alla sanottu) 22 % Elintarvikkeet ja rehut 17 % Elokuvaliput, lääkkeet, kirjat, liikuntapalvelut, henkilökuljetukset, 8 % TV-maksu, majoituspalvelut, kulttuuri- ja viihdetilaisuudet Lehtien tilausmaksut, lakisääteinen koulutus, sairaanhoitopalvelut, 0 % marjanpoiminta, ym. Mutta, nyt syksyllä 2009, näiden kanssa tulee olla tarkkana! Miksi? Arvonlisäveron perusteena (perusarvona!) on veroton hinta, joka on 100 %. Verollinen hinta saadaan lisäämällä tähän vero, esimerkiksi 22 %: verollinen hinta = veroton hinta + 0,22 veroton hinta = 1,22 veroton hinta Jos taas verollinen hinta tunnetaan, voidaan 1. asteen yhtälön keinoin selvittää veroton hinta: verollinen hinta = 1,22 veroton hinta : 1,22 veroton hinta = verollinen hinta / 1,22 Esimerkki 1.1. Taidekirjan ( Jääkiekon kauneutta Honkavaarasta Niinimaahan ) veroton hinta on 50. Mikä on sen verollinen hinta? Yllä näkyvästä taulukosta huomataan, että verokanta on 8 %. Lisätään siis annettuun verottomaan hintaan 8 %, joten verollinen hinta = 1,08 50 = 54. Esimerkki 1.2. Geelijousitetut lenkkarit maksoivat 69,95. Mikä on veroton hinta? Verokanta on nyt 22 %. Merkitään tuntematonta verotonta hinta x:llä ja muodostetaan sekä ratkaistaan yhtälö: 69,95 = 1,22 x : 1,22 69,95 / 1,22 = x (vaihdetaan yhtälön puolet) x = 57,34.

5 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 5(45) Esimerkki 1.3 (Klassikko!) Kannettavan PC:n veroton hinta on 573. Kuinka monta prosenttia arvonlisävero on verollisesta myyntihinnasta? Lasketaan ensin verollinen hinta: 1, = 699,06. Veron osuus tästä (euroina) on 699,06-573,00 = 126,06. Veron suhde verolliseen hintaan: 126,06 / 699,06 = 0, Vero on siis 18,03 % verollisesta hinnasta. (Se EI ole 22 %. Miksi ei?)

6 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 6(45) 1.4 Tehtäviä Tehtävä 1.1. SpiderMan-vesipyssyn hinta marketin hyllyssä on 9,95. Millä seuraavista saadaan sen veroton hinta a) 0,92 9,95 b) 9,95 / 0,22 c) 9,95 / 1,22 d) 0,22 9,95 Tehtävä 1.2. Hilavitkuttimen (engl. widget) veroton hinta on 12,80. Millä seuraavista voidaan saadaan sen verollinen hinta? (Nyt ei siis ole täyttä varmuutta, että mikä verokanta on.) a) 1,08 12,80 b) 1 / 1,22 12,80 c) 12,80 / 0,22 d) 0,22 12,80 Tehtävä 1.3. Lääkkeiden arvonlisävero laski 12 %:sta 8 %:iin kun arvonlisäverotusta uudistettiin. Kuinka monta prosenttia verolliset hinnat muuttuivat, jos veron määrän väheneminen siirtyi suoraan verolliseen hintaan? Tehtävä 1.4. Täydennä taulukko. Tuote Veroton hinta Verokanta % ALV Verollinen hinta Tallentamaton digiboxi 40,00 Linja-autolippu (JKL- 5,80 Metsolahti th) Koristekapselit 14 (Mondeoon) 14,90 Paali heiniä (hevoselle) 5,00 Sekundakarkit 1 kg (vaimolle) 2,33 Tehtävä 1.5. Kommentoi ALV:n kannalta seuraavaa otetta eräästä ostoskuitista: Putiikki Oy KUKKAKIMPPU 12,90 SEKUNDASEKOITUS 1 KG 5, Välisumma 18,10 Pankkikortti 18,10 %-ALV Veroton Alv Veroll % 10,57 2,33 12, % 4,44 0,76 5,20

7 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 7(45) Tehtävä 1.6. Varmista, että seuraava tilinauha (vuodelta miekka ja kivi...) on oikein laskettu: AIKA PERUSTE SELITYS EURO 1.10.xx xx Peruspalkka 3469,50 Ay-jäsenmaksu JKO ry 1,07 % -37,12 Prosenttivero 22,50 % -780,64 T-TEL/kuel 4,30 % -149,19 T-työttmaksu 0,58% -20,12 Netto 2482,43

8 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 8(45) 2. Katelaskelmia Tässä luvussa pyritään pääsemään kärryille katettuottolaskelman peruskäsitteistä ja niiden käytöstä. Laskurutiini katetuottolaskelman muodostamisessa on toinen tärkeä tavoite. (Lue: Näitä kysytään kokeessa.) 2.1. Katetuottolaskelma Katetuottolaskelma on kätevä työkalu kannattavuuden arviointiin. Kuva 1 esittää erästä katetuottolaskelmaa. Kuva 1 Eräs katetuottolaskelma Tarina tämän taulukon takana olkoon vaikkapa seuraava: Arskan yögrillillä myydään pöytiin tarjoiltuna grillimakkaroita. Vilkkaaseen aikaan makkaroita voi mennä 1200 kpl viikonlopussa. Yhden makkaran hinta on 2,00. Jokaisesta myydystä makkarasta aiheutuu myyjälle 0,50 muuttuva kustannus, ts. mitä enemmän makkaroita myydään, sitä enemmän niistä yhteensä kertyy kustannuksia. Tästä siis tulee nimi muuttuva. Usein tosin puhutaan lyhyesti vain mukuista. Kyse on siis tässä tapauksessa lähinnä tuotteen ostohinnasta. Muita muuttuvien kulujen ryhmiä ovat raakaainekulut, koneiden energiankulutus tai vaikkapa ylityöpalkkiot. Laskemalla myytyjen tuotteiden kappalemäärä kertaa myyntihinta saadaan myyntituotto eli liikevaihto. Tässä täytyy kuitenkin ottaa arvonlisävero huomioon, eli käytetään myyntihintana verotonta hintaa. Grillimakkaralle Arska on veroa lisätessään laskenut x 1,22 = 2,00, joten veroton hinta on x = 2,00 / 1,22 = 1,64. Liikevaihto on siis 1200 kpl 1,64 /kpl = Mukuja taas syntyy 1200 kpl 0,50 / kpl = 600. Vähentämällä nämä luvut toisistaan saadaan katetuotto eli myyntikate. Kulujahan on tietysti muitakin kuin muuttuvia. Grillin vuokra, sähkölasku, yms. asiat on myös otettava huomioon. Nämä ovat kiinteitä kuluja ( kikut ), jotka pysyvät periaatteessa samansuuruisina riippumatta siitä myykö Arska 12 vai makkaraa. Jollakin laskentaperusteella (usein aika hankala operaatio...) on saatu Arskan grillin kiinteiksi kustannuksiksi Vähentämällä nämä kikut katetuotosta Arska voi todeta, että viikonlopun tulos on 68. Kannatti huhkia 3 vrk... Paitsi euroina, esitetään laskelma usein myös prosentteina. Tällöin perusarvona on aina myyntituotto eli liikevaihto, johon kaikki muut luvut suhteutetaan. Prosenttisarakkeen arvot nimetään kuten vastaavat luvut, mutta niihin liitetään (soveltaen) pääte -prosentti. Esimerkiksi katetuottoprosentti.

9 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 9(45) 2.2. Katetuottolaskelman käyttö Jatketaan edellistä esimerkkiä. Masentuneena Arska kertoo laskelmastaan kaverilleen Vekelle. Jälkimmäinen sankari on paria tenttiä vaille merkonomi, joten hänellä löytyy enemmän tietämystä asiasta. Erityisesti Veke tietää, että katetuottolaskelmaa voi käyttää myös takaperin : Jos halutaan saada kaupanteosta joku tietty euromääräinen tulos, voidaan esimerkiksi määrittää tarvittava veroton myyntihinta. Veke syöttää Arskan tietoja Exceliin niin, että on helppo vaihtaa lähtötietojen suuruutta ja sitä kautta kokeilla erilaisia vaihtoehtoja. Samalla hän muuttaa kaikki rahasummat ja prosenttiluvut hieman paremman näköisiksi. Pienellä kokeilulla Veke saa aikaan Kuvassa 2 näkyviä tuloksia. Jos Arska nostaisi makkaran hinnan 2,50 euroon, syntyisi entisellä myynnillä tulosta 560 (Kuva 2, vasemmalla). Arskan silmät pullistuvat päästä, mutta Veke toteaa, että hinnan nosto todennäköisesti laskisi myös myyntiä. Hetken mietittyään he päätyvät tekemään laskelman 1000 kpl myynnillä (Kuva 2, oikealla). Tulos olisi nyt 250. Edelleen kuitenkin selkeästi parempi. Niinpä Arska lupaa harkita asiaa ensi vuodelle... Kuva 2 Kaksi vaihtoehtoista katetuottolaskelmaa Jos joko myyntihinta tai myynti (tai molemmat) laskisivat, saavutettaisiin jossakin kohdassa tilanne, jossa tulos saa arvon 0. Tämä on ns. kriittinen piste, joka on toiminnan kannattavuuden raja. Se voidaan ilmaista joko euromääränä tai myynnin kappalemääränä. Kriittinen piste (euroina) voidaan laskea paitsi kokeilemalla, myös käyttämällä kiinteitä kustannuksia ja katetuottoprosenttia: kiinteät kustannukset ( ) kriittinen piste = 100 katetuottoprosentti (%) Lasku perustuu tietysti siihen, että kriittisessä pisteessä katetuotto ja kiinteät kustannukset ovat yhtä suuret.

10 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 10(45) 2.3. Kustannus-, tuotto- ja tulosfunktiot Kustannuksia, niin kiinteitä kuin muuttuviakin, voidaan tutkia valmistus- tai myyntimäärän x funktiona. Kustannusfunktio tai kokonaiskustannusfunktio, määritellään K(x) = muuttuvat kustannukset + kiinteät kustannukset Jos (kun) tuotteen määrä x tunnetaan, saadaan yksikkökustannusfunktio: k( x) K( x) x Myyntihinnan ja määrän x kautta saadaan tuottofunktio: T(x) = Myyntihinta x Tulosfunktio puolestaan saadaan tuoton ja kustannusten erotuksena: V(x) = T(x) - K(x) Todettakoon jälleen, että taulukkolaskenta (Excel) on kätevä työkalu myös näiden funktioiden muodostamiseen, käsittelyyn ja havainnollistamiseen.

11 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 11(45) 2.4. Tehtäviä Tehtävä 2.1. Miksi Arska lisää ALV:a 22 % eikä 17 %? Tehtävä 2.2. Määritä Arskan yögrillin kriittinen piste euroina ja myynnin kappalemääränä. Tehtävä 2.3. Arska ja Veke analysoivat tarkemmin grillin toimintaa. He päätyvät tulokseen, että myynti on viikonloppuna (pe-la-su) ollut tasaisesti 400 kpl/päivä. Kiinteät kulut jakautuvat myös tasaisesti, 433,33 /päivä. Piirrä samaan koordinaatistoon grillin kustannusfunktio ja tuottofunktio ja määritä siitä kannattavan toiminnan alue (=alue, jossa tulosfunktio saa positiivisen arvon) sekä kriittinen piste. Täsmääkö edelliseen tehtävään? Tehtävä 2.4. Veke pyörittää hieman suurempaa bisnestä kuin Arska. Hänen erään yrityksensä (Säle & Säpäle Oy) tulosprosentti on 10 % ja myyntikate 25 %. Laske kuinka monta prosenttia myyntitulosta ovat a) kiinteät kustannukset, b) muuttuvat kustannukset. c) Laske yrityksen uusi tulos, jos jostain syystä käy niin, että kiinteät kustannukset laskevat 20 % ja muuttuvat taas kasvavat 5 %.

12 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 12(45) 3. Indeksit Tässä luvussa tutustutaan indeksisarjoihin. Oppimistavoitteet ovat yksinkertaisen indeksisarjan muodostaminen ja muutoksen arviointi indeksisarjan avulla. Indeksisarja kuvaa palvelun tai tuotteen (tai minkä tahansa rahalla arvotettavan) hinnan tai määrän muutosta ajan suhteen. Indeksisarjan muodostamiseen tarvitaan havaintosarja. Havaintosarja voi koostua vaikkapa kahvikupin hinnasta uudenvuodenpäivänä vuosina Riippuen siitä onko vertailtavana hinta tai määrä, voidaan puhua hintaindekseistä tai määräindekseistä eli volyymi-indekseistä. Indeksisarjaa muodostettaessa valitaan yksi ajankohdista perusajankohdaksi. Perusajankohdan indeksin arvoksi asetetaan 100,0. Perusajankohta voidaan merkitä indeksiin esimerkiksi näin: Kahvikuppi-indeksi (1967=100). Indeksisarjan arvot lasketaan vertaamalla kunkin ajankohdan arvoa perusarvoon. Näin saatu luku kerrotaan sadalla, jolloin saadaan ko. ajankohdan indeksipisteet. Kyse on siis itse asiassa siitä, kuinka monta prosenttia tarkasteltavan ajankohdan luku on vertailuajankohdan luvusta! Katso myös 3.1 Yksinkertainen indeksisarja Yksinkertainen indeksisarja kuvaa yhden asian (tuotteen, palvelun) muutosta. Alla näkyvän taulukon kaksi ensimmäistä saraketta kuvaavat 95E-bensiinin hinnan kehitystä vuosituhannen vaihteessa. (Alkupään summat on jo etukäteen muunnettu markoista euroiksi.) Vuosi Hinta Indeksi 95E (1999=100) Miten indeksi on laskettu , ,0 0,974 / 0,974 = 1, , ,0 1,130 / 0,974 = 1, , ,8 1,108 / 0,974 = 1, , ,8 1,089 / 0,974 = 1, , ,9 1,129 / 0,974 = 1, , ,9 1,139 / 0,974 = 1,169 Toistan: Indeksilukemia (indeksipistelukemia) muodostettaessa siis lasketaan, montako prosenttia kunkin ajankohdan arvo on perusajankohdan arvosta. Perusajankohdan arvo on tietysti 100 % itsestään, muina aikoina prosenttiluku voi vaihdella. Perusajankohta on usein aikasarjan ensimmäinen arvo, mutta näin ei välttämättä tarvitse olla. Indeksisarjojen(kin) laskennassa taulukkolaskenta (Excel) on erinomainen apuväline!

13 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 13(45) 3.2 Ryhmäindeksi Indeksejä, jotka muodostetaan käyttäen useampaa lähtötietoa, kutsutaan ryhmäindekseiksi. Tarkastellaan tätä pienen esimerkin kautta: Kumppanukset Arska ja Veke nauttivat mielellään lihamakaronilaatikkoa. Tarvittavista raaka-aineista (5 dl makaronia, 500 g jauhelihaa, 4 dl maitoa, 2 kananmunaa) on heille kertynyt ostoskuitteja useamman vuoden ajalta. Niistä saatiin koostetuksi seuraava taulukko raaka-aineiden keskihintojen kehityksestä: Aine Määrä Makaroni ( /kg) 0,4 kg 1,27 1,05 0,95 0,89 0,90 Jauheliha ( /kg) 0,5 kg 5,46 5,48 5,51 5,53 5,92 Maito ( /l) 0,4 l 0,65 0,65 0,63 0,63 0,67 Kananmunat ( /kg) 0,2 kg 1,78 1,78 2,06 2,28 2,21 Yhden lihamakaronilaatikkoannoksen raaka-aineiden hinta ( ostoskorin hinta ) eri vuosina on siis ,4 1,27 + 0,5 5,46 + 0,4 0,65 + 0,2 1,78 = 3, ,4 1,05 + 0,5 5,48 + 0,4 0,65 + 0,2 1,78 = 3, ,4 0,95 + 0,5 5,51 + 0,4 0,63 + 0,2 2,06 = 3, ,4 0,89 + 0,5 5,53 + 0,4 0,63 + 0,2 2,28 = 3, ,4 0,90 + 0,5 5,92 + 0,4 0,67 + 0,2 2,21 = 4,03 Jos valitaan perusvuodeksi 2003, näistä saadaan seuraava Lihamakaronilaatikkoindeksi(2003=100) Vuosi Indeksi Miten se laskettiin? (2003=100) ,0 3,85/3, = 100, ,18 3,78/3, = 98, ,70 3,80/3, = 98, ,48 3,83/3, = 99, ,67 4,03/3, = 104,67 Tästä nähdään mm. se, että vuonna 2005 lihamakaronilaatikko oli 1,3 % halvempaa kuin vuonna 2003, mutta vuonna 2007 se oli 4,67 % kalliimpaa kuin perusvuonna. Tämä yksinkertainenkin esimerkki kuvastaa samalla hyvin ryhmäindeksin ongelmia: Entä jos Arska laittaa hirmuisesti ketsuppia annokseensa, mutta Veke taas ei ollenkaan. Silloin todelliset ateriakustannukset saattavat käyttäytyä aivan eri tavalla kuin indeksi. Tai jos sankarit tekevät annoksia vuorotellen, ja toinen heistä käyttää hieman eri seossuhteita kuin toinen 3.2. Inflaatio- ja deflaationprosentit Muistakin tuotteista kuin lihamakaronilaatikon aineista seurataan hintojen kehitystä. Tilastokeskuksen laskema kuluttajahintaindeksi on eräs ryhmäindeksi, jonka laskennassa käytetään monia kulutustavaroita ja päivittäistuotteita. Kuluttajahintaindeksi antaa laaja-alaisempaa tietoa yleisemmästä hintojen kehityksestä. Hintojen nousuilmiöstä käytetään nimitystä inflaatio. Kyse on siis rahan arvon alenemisesta: Jotta saisi litran

14 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 14(45) 95E:tä tai annoksen lihamakaronilaatikkoa, tarvitaan enemmän rahaa kuin muutama vuosi aikaisemmin. Hintojen nousu luo paineita palkkojen nostamiseen, joka taas aiheuttaa tarvetta nostaa hintoja. Talouskasvu tarvitsee kuitenkin sopivaa inflaatiota pysyäkseen käynnissä. Edellä mainittu kuluttajahintaindeksi on inflaation virallinen mittari. Sitä on nykymuodossaan laskettu lokakuusta 1951 asti. Indeksilukema annetaan kuukausittain. Koska indeksi 1951:10=100 on jo aika epämukavan suuri luku (suuruusluokkaa 1600), käytetään jokapäiväisissä toimissa viiden vuoden välein nollautuvia indeksiarvoja. Tällä hetkellä on käytössä indeksi 2005=100, jonka indeksilukema on kesäkuussa 2009 arvossa 108,7. (Katso Eri indeksien (esim ja 2005) välillä voidaan arvoja vertailla. Kun tunnetaan esimerkiksi vuoden 2005 indeksilukema indeksille, jonka perusvuosi on 2000, voidaan joko vuoden 2000 indeksiä jatkaa 2005:stä eteenpäin, tai laskea vuoden 2005 indeksille arvoja vuosille 2004, 2003, jne. Tätä käsitellään laskuharjoituksissa Indeksisidonnaisuus ja reaalinen muutos Rahan arvon heikkeneminen on väistämätön ilmiö. Niinpä joissakin asioissa, esimerkiksi vuokrasopimuksessa, saattaa olla indeksisidonnaisuus, joka määrittelee jonkin rahasumman muuttuvaksi tietyn indeksin muutosten mukana. Silloin sovituin tarkastusvälein summaa muutetaan indeksin lukeman muuttumisen mukaisesti. Sama toimii myös toisin päin: Voidaan laskea, paljonko jonkin summan pitäisi olla, ja nähdä siitä onko se pysynyt inflaation mukana, ts. mikä esimerkiksi on palkan reaalinen nousu, joka ottaa huomioon rahan ostovoiman vähenemisen. Esimerkki 3.1. Asunto-osakeyhtiön tilintarkastuspalkkio on sidottu elinkustannusindeksiin. Vuonna 2006, kun elinkustannusindeksin 2005=100 lukema oli 101,2 palkkioksi määrättiin 150 : Mikä oli palkkion suuruus vuonna 2008, kun elinkustannusindeksi oli 106,2? Lasketaan kuinka monta prosenttia indeksi on noussut: 106,2 / 101,2 = 1,0494 = 4,94 % Palkkiota tulee siis korottaa 4,94 % alkuperäisestä, eli uusi palkkio on 150 1,0494 = 157,41 Esimerkki 3.2. Ohjelmistosuunnittelijan palkka lamavuonna 1991 oli 7700 markkaa. Kaksi vuotta myöhemmin se oli 7800 markkaa, mutta samalla inflaatio oli syönyt 2,5 % rahan arvosta. Mikä oli palkan reaalinen muutos? Lasketaan mikä olisi vuoden 1991 palkka vuonna 1993, jos se olisi kasvanut inflaatioprosentin verran, ts. inflatoidaan palkka: 1, mk = 7892,50 mk. Palkan reaalinen arvo oli siis itse asiassa pienentynyt. Uuden palkan ostovoima on 7800/7892,50 = 0,988 = 98,8 % entisestä, joten sen reaaliarvo oli pienentynyt 1,2 %.

15 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 15(45) Voitaisiin myös laskea toisin päin, muuntamalla vuoden 1993 palkka vuoden 1991 palkaksi, jolloin olisi kyse deflatoinnista. Näillä laskutavoilla voidaan muodostaa reaalisia aikasarjoja siirtämällä joukko ajan funktiona annettuja arvoja vastaamaan jonkin yhden, tietyn ajankohdan arvoa. Esimerkki 3.3. Lasketaan edellinen esimerkki niin, että deflatoidaan vuoden 1993 palkka vuodelle Rahan arvon muutos on sama kuin edellä. Nyt lasketaan: 7800 mk / 1,025 = 7609,76 mk, ts. vuoden 1993 palkalla saa yhtä paljon asioita kuin vuonna 1991 olisi saanut 7609,76 markalla.. Uuden palkan ostovoima on siis 7609,76/7700,00 = 0,988 = 98,8 % entisestä, joten sen reaaliarvo oli pienentynyt 1,2 %.

16 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 16(45) 3.4. Tehtäviä Tehtävä 3.1. Onko edellä esitetyissä 95E-indeksissä ja Lihamakaronilaatikkoindeksissä havaittavissa yhtäläisyyksiä tai riippuvuuksia? Tehtävä 3.2. Kuinka paljon rahan ostovoima on pienentynyt vuodesta 2005 vuoden 2007 elokuuhun? Tehtävä 3.3. Jos vuoden 2005 alussa tehdyssä vuokrasopimuksessa on silloinen 1500 euron kuukausivuokra sidottu elinkustannusindeksiin, niin mikä olisi uusi vuokrasumma jos sitä tarkistettaisiin elokuussa 2007? Tehtävä 3.4. Bytenibblers Ltd:n Minor Executive Officerin bruttopalkka vuonna 2005 oli Elokuussa 2007 se oli Mikä on palkan reaalinen muutos?

17 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 17(45) 4. Yksinkertainen korkolasku Tarkastellaan seuraavaksi ns. yksinkertaista korkolaskua (joka viittaa lähinnä laskennassa eteen tulevaan aikaan, ei laskijaan). Tämän osan oppimistavoite on lyhytaikaisen korkolaskun perussuureiden hallinta. Yksinkertainen korkolasku on koron laskua lyhyille, alle korkojakson pituisille korkoajoille. Koronkorkolasku (seuraavassa luvussa) on koron laskua pitkille, useiden korkojaksojen korkoajoille. Monet seuraavassa esitettävät käsitteet ja periaatteet soveltuvat molempiin näistä. 4.1 Peruskäsitteet Katsotaan ensin hieman tärkeitä peruskäsitteitä. Korkokanta on yhden korkojakson korko prosentteina pääomasta. Esimerkiksi korkojakso voi olla yksi vuosi ja korkokanta 6 %. Korkokanta määräytyy usein jonkin viitekoron kautta. Viitekorko voi olla esimerkiksi pankkien oma prime-korko tai euribor-korko (Euro Interbank Offered Rate). Talletusten korkolaskun yhteydessä törmätään usein lähdeveron käsitteeseen. Talletukselle maksettavasta korosta menee verottajalle 28 %. Itselle jää siis 72 %. Jos laskun maksu myöhästyy, joutuu maksamaan viivästyskorkoa. Korkolaskun peruskäsitteitä merkitään usein seuraavilla symboleilla: Pääomaa merkitään symbolilla k Korkokantaa merkitään symbolilla p (joskus myös i) Korkoaika merkitään symbolilla t Korko on rahamäärä, joka saadaan korvaukseksi, symboli r Kasvanut pääoma on sijoitetun pääoman ja koron summa, symboli K Jos talletuksen tai lainan kesto on lyhyempi kuin korkokannan korkojakso, käytetään kertoimena korkojakson murto-osaa. Tällöin puhutaan usein osavuoden korosta. Pankki maksaa säästötilille korkoa 1,5 %. Kuinka paljon rahaa on nostettavissa puolen vuoden kuluttua 1000 euron talletuksen tekemisestä, kun pankki tilittää kertyneestä korosta 28 % lähdeverona verottajalle. Jotta lasku onnistuisi, tulee nyt laskea erikseen talletuksesta saatava korko käyttäen pääomaa ja kerrointa 0,015. Tämä tulee vielä kertoa kertoimella ½, koska korkoa saadaan vain puolelta vuodelta. Lisäksi tästä vähennetään vielä 28 % vero, eli nettokorkoa jää 72 % kertyneestä bruttokorosta. Bruttokorko on 1 2 0, ,50 Nettokorkoa jää siis 0,72 7,50 = 5,40. Kun tähän lisätään pääoma, saadaan kokonaissumma: 5, = 1005,40

18 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 18(45) Voitaisiin myös laskea ensin nettokorkokanta, 0,72 1,5 % = 1,08 %, ja käyttää tätä laskussa. Vuoden murto-osien sijasta korkolaskussa käytetään yleensä korkopäivien lukumäärää jaettavana ja vuoden päivien määrää jakajana. Tässä on olemassa eri käytänteitä, joista seuraavassa alaluvussa enemmän. 4.2 Korkopäivien laskutapoja Eri tilanteissa saatetaan käyttää erilasia tapoja koron laskentaan. Seuraavat kolme eurooppalaisten valtioiden mukaan nimettyä tapaa ovat yleisimmät. Saksalaisessa tavassa oletetaan jokaiseen (täyteen) kuukauteen 30 korkopäivää ja kokonaiseen vuoteen 360 päivää. Englantilaisessa tavassa lasketaan sekä kuukauteen että vuoteen todelliset päivät. Ranskalaisessa tavassa lasketaan jokaisen kuukauden todelliset päivät, mutta vuoteen lasketaan kuitenkin 360 päivää. Esimerkki: Lasketaan korkopäivien määrä ajanjaksolla käyttäen eri tapoja. Todetaan ensin, että vuosi 2007 ei ole karkausvuosi (mistä sen tietää?), joten helmikuussa on 28 päivää. Kunkin kuukauden korkopäivät ovat nyt (rautalangasta kuukausittain laskien ). Kuukausi Saksalainen tapa Ranskalainen tapa Englantilainen tapa helmikuu = = = 11 maaliskuu huhtikuu toukokuu kesäkuu heinäkuu elokuu Yhteensä Ranskalainen ja Englantilainen tapa antavat siis saman tuloksen päivien lukumäärälle. Lasketaan sitten kuinka paljon 1000 esimerkkitalletus kasvaa korkoa kyseisenä aikana 1,5 % mukaan eri laskutavoilla. Laskutapojen väliset pienet erot tulevat tästä selvästi näkyviin. Saksalainen tapa Ranskalainen tapa Englantilainen tapa päiviä jakaja korko 174/360 0, = 7,25 175/360 0, = 7,29 175/365 0, = 7,19 Korkopäivien määrä voitaisiin Saksalaisessa tavassa laskea kohtuullisen helposti myös vähennyslaskulla:

19 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 19(45) 8 kuukautta 11 päivää - 2 kuukautta 17 päivää kuukautta 24 päivää = päivää = 174 päivää Koska 11 päivää on vähemmän kuin 17 päivää, täytyy lainata yksi kuukausi, kuten tavallisessakin vähennyslaskussa voidaan joutua tekemään. Ranskalaisessa ja englantilaisessa tavassa on yleensä helpompi tarkastella asiaa kuukausi kerrallaan. Edellä esitetyt laskuperiaatteet voidaan formalisoida seuraavasti: k euron korko t päivältä p % korkokannan mukaan on r euroa. Saksalainen tai Ranskalainen tapa: r k p t k p t Englantilainen tapa: r k p t k p t Kaavaa valitessa tulee t laskea samalla laskutavalla. Lisättäessä näin laskettu korko pääomaan on kaava K = k + r, jolloin siis saadaan uusi, kasvanut pääoma Erilaisia tehtävänasetteluja Tarkastellaan keskeisimpiä yksinkertaisen korkolaskun tilanteita muutaman esimerkin avulla. Korkoaika: Missä ajassa verolliselta tililtä saadaan nettokorkona 60, kun korkokanta on 2,0 %, lähdevero 28 % ja pääoma Ranskalainen koronlaskutapa. Lasketaan ensin nettokorko: 0,72 2,0 % = 1,44 %. Koko vuodelta korkoa kertyisi 0, = Lasketaan kuinka suuri osa tästä on 60, jolloin saamme myös korkoajan suhteen vuoden pituuteen. 60 / 1872 = 0, , = 11,538 Aikaa tarvitaan siis 12 päivää (11 ei vielä riitä). Pääoma tunnetun koron perusteella: Mikä pääoma kasvaa 200 päivässä korkoa 120 korkokannan ollessa 3 % ja lähdeveron 28 %? Ranskalainen koronlaskutapa.

20 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 20(45) Lasketaan ensin nettokorko: 0,72 3 % = 2,16 %. Selvitetään sitten mikä on koko vuoden korkokertymä: Jos 200 päivää tuottaa 120, niin yksi päivä tuottaa 120 / 200 = 0,60 ja 360 päivää silloin 216. Merkitään tuntematonta pääomaa x:llä, ja lasketaan 0,0216 x = 216. Tästä x = Pääoma kasvaneen pääoman perusteella: Mikä pääoma kasvaa viidessä kuukaudessa 4500 :ksi, kun korkokanta on 4 % ja lähdevero 28 %. Saksalainen laskutapa. Jälleen ensin nettokorkokanta: 0,72 4 % = 2,88 %. Saksalaisen tavan viisi kuukautta on 150 päivää. Alkuperäinen pääoma on nyt tuntematon x. Lasku, jossa se on mukana, menee nyt näin: 150 / 360 0,0288 x + x = 4500 (Eli korko euroina + vanha pääoma = uusi pääoma.) Tästä saadaan edelleen 0,012 x + x = 4500 (0, ) x = 4500 x = 4500 / 1,012 = 4446,64. (Tarkistus: 4446, /360 0, ,64 = Näistä esimerkeistä huomataan helposti, että korkolaskussa on kyse vain ja ainoastaan prosenttilaskusta! 4.3. Keskikorkokanta ja keskisaldo Jos samalla instanssilla (vaikkapa Arskalla) on useita lainoja (tai talletuksia), saattaa näillä olla erilaiset korkokannat. Esimerkiksi pitkäaikaisen pankkilainan ja tilapäiseksi tarkoitetun kulutusluoton korkokanta voi olla hyvinkin erilainen. Tämäntyyppisen tilanteen kuvaamisessa saattaa keskikorkokanta olla hyödyllinen käsite. Olkoon Arskalla olemassa kaksi velkaa: Kuukauden pankkilaina 1 000, korkokanta 5 %, ja kuukauden päästä maksuun menevä luottokorttilasku, 1800, korkokanta 9,5 %. Helposti nähdään, että kuukauden aikana Arska joutuu maksamaan korkoa pankkilainasta 30/360 0, = 4,17 luottokortistaan 30/360 0, = 14,25 Yhteensä siis 18,42. Pankkilainalle ja luottokorttivelalle voidaan laskea keskikorkokanta, jossa käytetään pääomilla painotettua korkokannan keskiarvoa, koska korkoajat ovat samat. Näin: ( % ,5 %) / ( ) = 7,893 %

21 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 21(45) Arskan näiden lainojen korkomenot saadaan nyt kätevästi tämän yhden korkokannan avulla: 30/360 0, = 18,42. Arskalla on myös 500 kulutusluotto, jonka hän maksaa kerralla pois vuoden lopussa. Papereistaan Arska toteaa joutuvansa maksamaan korkoa 120 päivää korkokannan 8,75 % mukaan ja vielä 30 päivää korkokannan 8,25 % mukaan. Tälle luotolle voidaan laskea keskikorkokanta, jossa käytetään korkoajoilla painotettua korkokannan keskiarvoa, koska pääoma on koko ajan sama. Näin: (120 8,75 % ,25 %) / (120+30) = 8,65 % Onhan Arskalla myös rahaa pankissa. Lasketaan hänen tililleen keskisaldo. Syyskuun 2007 tiliotteesta saadaan laskettua seuraavaa: Päiväsaldo ( ) Korkopäivät 210, , ,70 17 Painotetaan eri saldoja ottaen huomioon niiden voimassaoloajat: ( , ,70 ) / ( ) = 52,40 Ei tarvinne enää erikseen mainita, mikä tietokonesovellus on erinomainen apuväline myös korkojen laskuun

22 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 22(45) 4.4. Tehtäviä Tehtävä 4.1. Lasketaan, mikä pääoma tuottaa 6 % mukaan 135 päivässä korkoa 121,50. Tehtävä 4.2. Minkä korkokannan mukaan 4820 tuottaa 288 päivässä korkoa 241? Tehtävä euron sijoitus nostetaan 16.8., jolloin sille saadaan korkoa 812 euroa. Milloin talletus on tehty, kun korkokanta on 10,15 % ja korkoaika lasketaan todellisten päivien mukaan? Tehtävä 4.4. Opiskelija ottaa opintolainaa Lainan korkokanta on 9,5 %. Korko erääntyy puolivuosittain, mutta sitä ei makseta vaan se lisätään lainan pääomaan. Laske lainan määrä vuoden kuluttua.

23 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 23(45) 5. Koronkorko Kun talletus on kerryttämässä korkoa pitempään kuin kokonaisen korkojakson, joudutaan yleensä laskemaan korkoa korolle. Esimerkiksi pankissa oleva rahasumma saa kerran vuodessa seurakseen siitä kertyneen koron (miinus lähdevero). Esimerkki 5.1: Talletustilin korko on 3,5 %. Kuinka paljon tilillä on rahaa, kun 1000 talletus kasvaa korkoa kolme vuotta? Lasketaan nettokorkokanta: 0,72 3,5 % = 2,52 %. Vuoden kuluttua rahaa on 1, = 1025,20. Kahden vuoden kuluttua rahaa on 1, ,50 = 1051,04. Kolmen vuoden kuluttua rahaa on 1, ,34 = 1077,52. Tai yksinkertaisemmin potenssin avulla: 1000 (1,0252) 3 = ,07752 = 1077,52. Koska talletuksen alku ja loppu harvemmin sattuu juuri vuodenvaihteeseen (tai yleisemmin: korkojakson alkuun tai loppuun), joudutaan yleensä laskemaan alussa ja/tai lopussa myös osavuoden korkoa. Silloin täytyy olla tietoinen myös sovellettavasta korkopäivien laskutavasta (vrt. edellinen luku). 5.1 Erilaisia korkojaksoja Korkojaksoja on muitakin kuin yksi vuosi. Tässä tiivistelmä korkojaksoista ja niiden nimistä: Korkojakso Lyhennys vuotuinen p.a. (per annum) puolivuosittainen p.s. (per semester) neljännesvuosittainen p.q. (per quartal) kuukausittainen per kk päivittäinen per pv 5.2 Kasvanut ja diskontattu pääoma Kasvanutta pääomaa laskettaessa selvitetään pääoman tuleva arvo, joka sisältää korot ja koronkorot, joita se kerää. Esimerkki 5.1. yllä tekee juuri näin. Kaavana tämä voidaan ilmaista näin: K = (1 + i) n k Asia voi mennä myös toisin päin. Jos asia (esim. tuotannon arvo) alenee jonkin tunnetun prosenttiosuuden esimerkiksi vuodessa, saadaan sen alentunut arvo annetun ajan päästä kaavalla A = (1 - i) n k Kolmas kysymyksenasettelu voi olla se, että mikä pitäisi pääoman arvo olla nyt, että se annettuun aikaan mennessä kasvaisi tietyn summan suuruiseksi (vrt. taas edellinen luku):

24 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 24(45) Esimerkki 5.2: Paljonko pitäisi nyt tallettaa 3 % tilille (miinus verot), että vuoden päästä voisi nostaa tonnin? Entä jos aikaa olisi kaksi vuotta? Lasketaan nettokorkokanta: 0,72 3,0 % = 2,16 %. Tuntematon nykyhetken pääoma olkoon x. Vuoden päästä pitäisi pystyä korkoa lisätessä laskemaan 1,0216 x = 1000, eli saadaan x = 1000 / 1,0216 = 978,86. Jos odotettaisiin kaksi vuotta, saisi pääomaan kaksi korkoa. Lasku olisi 1,0216 1,0216 x = 1000, eli (1,0216) 2 x = 1000, josta x = 1000 / (1,0216) 2 = 958,16 Esimerkki 5.2:n toisen kohdan opetus on se, että jos pääomaa kasvatetaan useampia vuosia, niin pääomaa laskettaessa tulee jakajaan korkotekijä ajan ilmoittamaan potenssiin korotettuna. Sovelletaan tätä diskonttauksen eli nykyarvon laskemisen ajatusta eri maksutapojen vertaamiseen: Esimerkki 5.3: Olkoon korkokanta 5 %. Yritys voi maksaa ostamansa laitteen kahdella eri tavalla. Laske kumpi tulee halvemmaksi. Vaihtoehto A: Kaupantekohetkellä maksetaan , vuoden kuluttua 4000 ja kolmen vuoden kuluttua Vaihtoehto B: Kahden vuoden kuluttua maksetaan kerralla koko kauppasumma Lasketaan kaikille mainituille summille se, minkä arvoisia ne ovat kaupantekohetkellä: Vaihtoehto A:ssa on jo nykyhetkessä. Vuoden kuluttua menevän 4000 nykyarvo on 4000 /1,05 = 3809,52. (Toisin sanoen, jos yritys saisi vuoden maksuaikaa 4000 :lle, sille riittäisi laittaa nyt 3809,52 kasvamaan korkoa.) Kolmen vuoden kuluttua menevän 8000 nykyarvo on 8000 / (1,05) 3 = 6910,70 Vaihtoehto A:n nykyarvo on siis yhteensä , ,70 = 20720,22. Näin paljon pitäisi tällä hetkellä olla rahaa, että A-vaihtoehdon maksut saataisiin hoidettua. Vaihtoehto B:ssä saadaan nykyarvo selville yhdellä laskulla: / (1,05) 2 = 19954,65. Johtopäätös on siis se, että vaihtoehdosta B suoriutumiseen tarvitaan vähemmän tämän hetken rahaa, ja se on halvempi. (Myyjän kannalta asia tietysti on päinvastoin.)

25 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 25(45) Tässä diskonttausajatuksessa ovat korkokannan ja nettokorkokannan käsitteet hieman hämärtyneet. Yleensä tässä yhteydessä puhutaan vain korkokannasta. Tämä liittyy siihen, että korkokanta voi viitata muuhunkin kuin pankkitalletuksen kautta saatavaan tuottoon. Tai kyse voi olla jopa siitä, kuinka suurta tuottoa rahalle halutaan. Kysykää johdon laskentatoimen opettajilta tarkemmin... :-] Edellä on ollut puhetta inflaatiosta, joka syö osaltaan esimerkiksi saatujen korkojen arvoa. Esimerkki 5.4: Pääoma kasvoi viidessä vuodessa 4000 :sta 5500 suuruiseksi. Samana aikana hintaindeksin pisteluku kasvoi lukemasta 107 lukemaan 118. Mikä oli pääoman reaalinen vuosituotto prosentteina? Voidaan lähteä siitä, että selvitetään mikä on 4000 reaaliarvo viiden vuoden kuluttua, ts. inflatoidaan se. Indeksin kasvu on 118/107 = 1,1028 eli 10,28 %, ts. neljää tuhatta viiden vuoden päästä vastaava rahasumma on 1, = 4411,21. Nyt siis viiden vuoden aikana pääoma on kasvanut 5500 / 4411,21 -kertaiseksi, eli 1, kertaiseksi. Toisin sanoen joku tuntematon korkokanta korotettuna viidenteen potenssiin on 1,2468. Otamme siis viidennen juuren luvusta 1,2468 (ei onnistu päässälaskuna useimmilta opiskelijoilta), joka on 1,0451. Reaalinen vuosituotto on siis ollut 4,51 %. Muistettava asia on tässä se, että kasvanut pääoma on saatu kertomalla alkuperäinen pääoma jollakin luvulla. Jos korkojaksoja (vuosia) on mennyt useita, niin on vielä otettava juuri, jotta saadaan yhden vuoden korkokanta. Tässä on siis tavallaan koronkoron määritelmä takaperin! 5.3. Relatiiviset ja konformiset korkokannat Katsotaan tämän luvun lopuksi vielä pari korkokantoihin liittyvää käsitettä, jotka saattavat tulla myöhemmin eteen. Korkokannat ovat relatiivisia, jos korkokanta ja korkojaksojen pituudet ovat suoraan verrannollisia. Esimerkiksi 4 % p.a. ja 2 % p.s. ovat relatiivisia (4 % vuodessa ja 2 % puolessa vuodessa). Relatiiviset korkokannat antavat samasta pääomasta eri suuren koron korkojakson aikana. Esimerkki: 1000 talletetaan 4 % p.a. vuodeksi: 1, = talletetaan 2 % p.s. puoleksi vuodeksi: 1, = 1020 Tätä käsitettä käytetään joskus tasaerillä hoidettavissa lainoissa. Jos lainan korko on 4 % p.a., ja sitä hoidetaan kolmen kuukauden välein, niin korkokanta voi olla 1 % p.q. Silloin ei korkoa laskettaessa tarvitse käyttää osavuoden korkoa. (No, olipas iso apu...!) Hieman hankalampi (ts. käyttökelpoisempi) on se tilanne, kun korkokannat ovat konformisia, eli jos käy niin, että erilaisesta korkojaksosta huolimatta ne antavat jollekin pääomalle samassa ajassa saman koron. Esimerkki: 1000 talletetaan 10 % p.a. vuodeksi: 1, = talletetaan 4,881 % p.s. vuodeksi: (1,04881) = 1100 Mistä tuo 0,04881 tuli? Jotta pääoma + korko yllä olisi yhtäsuuri, pitää päteä 1,10 = (1,04881) 2

26 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 26(45) Niinpä on etsitty luku, joka toiseen korotettuna antaa 1,1 eli on otettu neliöjuuri luvusta 1,1. Jos korkojaksoja on useampia, niin pitää tietysti ottaa korkeampiasteisia juuria (esimerkiksi p.q. - tapauksessa neljäs juuri). Esimerkki 5.5: Arskan kulutusluotto (jatkoa viime luvusta). Arskan 500 kännykkävipin korkokanta on 2,5 % per kk. Mikä on sen korkokanta p.a.? Tutkitaan asiaa niin päin, että ajatellaan pääomaa, joka kasvaa korkoa 2,5 % per kk, ja etsitään vastaava p.a. -korkokanta (tuntematon x). (1,025) = x 500 : 500 (1,025) 12 = x x = 1,345 Eli vastaava korkokanta p.a. on 34,5 %. Lopputulos: Arska on p.a.

27 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 27(45) 5.4. Tehtäviä Tehtävä 5.1. Mikä voisi olla sellainen tilanne, että talletus on tallessa useamman korkojakson, mutta silti ei tarvitse laskea koronkorkoa? (Periaatteessa saatat keksiä kaksikin vastausta...) Tehtävä 5.2. Kokeile tehdä esimerkki 5.4. niin, että deflatoit 5500 viisi vuotta taaksepäin.

28 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 28(45) 6. Jaksolliset suoritukset Harvempi asia nykymaailmassa enää hoituu kertamaksulla. Niinpä rahan kanssa toimiessa törmätään usein jaksollisiin suorituksiin. Kyse on yleisesti sanoen korkojakson välein toistuvista samansuuruisista suorituksista. 6.1 Jaksollisten suoritusten loppuarvo Yksinkertainen perustilanne on esimerkiksi se, että Arska (tai Veke) tallettaa alkaen joka vuoden viimeinen päivä 10 tilille, jonka nettokorkokanta on 3 %. Ja sitten kysytään, että paljonko tilillä on rahaa ? Ensimmäinen kymppi kerää korkoa 5 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 5 10 = 11,59 Toinen kymppi kerää korkoa 4 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 4 10 = 11,25 Kolmas kymppi kerää korkoa 3 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 3 10 = 10,93 Neljäs kymppi kerää korkoa 2 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 2 10 = 10,61 Viides kymppi kerää korkoa 1 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 1 10 = 10,30 Kuudes kymppi ei ehdi kerätä korkoa yhtään mitään, eli se on edelleen 10,00. Excelillä tämäkin on helppo laskea päräyttää, ja saadaan että tilillä on yhteensä 64,68. Raha tuloa ei voi estää. On näin saatu määrättyä talletuksen loppuarvo. Matemaatikot ovat suuressa viisaudessaan kehittäneet käsitteen nimeltä geometrinen sarja, joka noista edellä kuvatuista suorituksista muodostuu. Sivuutamme kuitenkin tässä ko. käsitteen määrittelyn, ja tyydymme toteamaan, että matemaatikkojen 1 keksintöjen perusteella saadaan jaksollisten suoritusten loppuarvo näin: S (1 i) i n 1 k kun i = korkokanta (desimaalilukuna), n = suoritusten lukumäärä ja k = suorituksen euromäärä. Testataan Arskan talletukseen. nyt i = 0,03, n = 6 ja k = 10 : S (1 i) i n 1 k (1 0,03) 0, ,68 Älkää opetelko tätä kaavaa ulkoa, vaan opetelkaa tunnistamaan se, jos se joskus tulee eteen suuren kaavajoukon keskellä. Tämän kaavan antamaa k:n kerrointa sanotaan prolongaatiotekijäksi. Excel-työkalussa on tarjolla funktio nimeltä TULEVA.ARVO() (tai englanninkielisessä FV()). Koska Arska antaa rahaa pois (pankkiin), merkitään maksuerä negatiiviseksi, jolloin tulos tulee oikein päin (paljonko saadaan pankista takaisin). 1 Opekin on matematiikasta valmistunut, joskus viime vuosituhannella, silloin kun Matti Nykänen ensimmäisen kerran hyppäsi mäkeä...

29 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 29(45) Kuva 3 Tuleva arvo Excelissä 6.2 Jaksollisten suoritusten alkuarvo Otetaan sama takaperin: Kuinka paljon on talletettava tilille, jonka nettokorkokanta on 1,5 %, jotta voitaisiin joka vuosi nostaa 500 yhteensä 10 vuoden ajan? Tuntuu aika tikkuiselta tehtävältä. Mutta nyt meillä on kaikki tiedot olemassa, jotta saamme laskettua ko. operaation loppuarvon: S (1 i) i n 1 k (1 0,015) 0, ,36 (Kysymys on siis käännetty niin, että paljonko 500 jaksollisten suoritusten loppuarvo on 10 vuoden päästä.) Tämä on siis summa kymmenen vuoden päässä tulevaisuudessa. Siitä saadaan nykyrahaa diskonttaamalla se nykyisyyteen, korkokannan 10. potenssilla jakamalla: A (1 S i ) n 5351,36 10 (1,015) 4611,09 Jaksollisten suoritusten alkuarvon laskentakaava on siis A (1 S i ) n (1 (1 n i) i) n 1 i k (Saatteeksi samat sanat kuin edellä loppuarvon kaavalle.) Tässä oli kyse diskonttauksesta, ja niinpä k:n edessä olevaa kerrointa sanotaankin diskonttausktekijäksi. Excel-vekkuli tuntee tämän nimellä NA() (tai englanninkielisessä PV().) Kuva 4 esittää edellistä laskua. Nyt on järkevää merkitä 500 eteen miinus, koska se on systeemistä pois otettua rahaa. Sekä prolongaatiotekijöitä että diskonttaustekijöitä on aikaisemmin (ennen Excelin keksimistä...) laskennan helpottamiseksi taulukoitu valmiiksi erilaisille korkokannoille. Nykyisin näitä taulukoita harvemmin tarvitaan.

30 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 30(45) Kuva 4 Excel ja nykyarvo 6.3. Annuiteetti Suurimmalla osalla tämän lukijoista lienee ensimmäisen asuntolainan nosto vielä edessä. Viimeistään siinä vaiheessa on hyvä tuntea annuiteetin käsite, joten katsomme sitä seuraavaksi. Annuiteetti on tasaisin aikavälein toistuva vakioerä. Annuiteetit yhteenlaskettuna vastaavat tiettyä kokonaispääomaa. Kun tämä viimeksi mainittu tieto yhdistetään kahden edellisen alaluvun juttuihin, niin homma alkaakin olla paketissa. Esimerkki. Esimerkki 6.1: Nuoripari (avoliitto tai rekisteröity parisuhde) hankkii auton, jonka hinnasta rahoitetaan pankista otetulla annuiteettilainalla. Laina-aika on kolme vuotta ja korkokanta 5 %. Laske annuiteetin suuruus, kun lainaa lyhennetään kerran vuodessa. Tässä hyödynnetään alkuarvon käsitettä. Jotta laina ja korot saadaan maksetuiksi, on suoritusten alkuarvon oltava , eli se, mitä pankista nostetaan. Alkuarvon kaavaa siis kehiin: 3 1, k 3 1,05 0,05 Eli tilanne on se, että k on tällä kertaa tuntematon. Pienellä pyöräytyksellä (jaetaan molemmat puolet k:n kertoimella) saamme 3 1, k : 7344,17 3 1,05 0,05 2,72 (Anteeksi vähän hämäävä kahden eri jakolaskumerkinnän käyttö ) Jälkimmäiseltä kaavariviltä voimme poimia suoraan kaavan annuiteetin laskemiseksi. Kun vielä muutamme jakolaskun kertolaskuksi (taas tarvittiin murtolukuja!) vaihtamalla osoittajan ja nimittäjän keskenään, tulee kaavaksi tasaerä (1 (1 i) n i) n i 1 A Kaavan suhteen jälleen samat huomautukset: Älä opettele ulkoa, mutta opi tunnistamaan.

31 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 31(45) A:n kerroin on nimeltään annuiteettitekijä. Taulukkolaskentaystävämme osaa tämän kaavalla MAKSU() (englanninkielisessä PMT()). Kuva 5 Annuiteetin laskeminen 6.4. Jaksollisten suoritusten lukumäärä Toinen kysymyksenasettelu voisi olla, että mitä jos annuiteettiin on käytettävissä jokin tietty rahamäärä esim. kuukaudessa, mutta erien lukumäärä on auki. Esimerkiksi juuri lainan maksussa tämä on tavallista: Tiedetään, että lainan hoitoon liikenee muutama satanen kuussa, joten pitää laskea kauanko (=montako erää) jonkin tietyn lainan takaisinmaksuun menee. Esimerkki 6.2:Tallettaja suunnittelee sijoittavansa vuosittain 5000 sijoitustilille, jolle on onnistunut neuvottelemaan 5 % koron (miinus verot). Kuinka monen vuoden kuluttua tilille on kertynyt ? Aina kun vero on mukana, niin aloitetaan nettokorkokannan laskennalla: 0,72 5 % = 3,6 %. Nyt tiedetään loppuarvo, ja korkokanta. Otetaan siis loppuarvon kaava käyttöön: n (1 0,036) ,036 Se, mitä ei tiedetä, on nyt erien määrä n. Koetetaan saada se laskusta ulos: (1 0,036) 0,036 n n (1,036) 1 1 n (1,036) ,72 0,036 0, Nyt näyttää muuten hyvältä, paitsi että tuntematon on eksponentissa. Tarvitaan siis logaritmia. Periaatteessa vielä 1,036-kantaista logaritmia, mutta voimme ottaa apuun logaritmien laskusäännön, joka antaa tämännäköistä: log1,72 n 15,334 log1,036 Tarkoittaa sitä, että tarvitaan 16 erää, koska 15 ei ihan riitä.

32 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 32(45) Tälle laskulle en anna valmista kaavaa, vaan opetelkaa johtamaan se. Käyttämämme taulukkolaskennan vastaava funktio on NJAKSO() (tai englanniksi NPER()). Kuva 6 Jaksollisten suoritusten lukumäärä

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Korkolasku ja diskonttaus, L6

Korkolasku ja diskonttaus, L6 Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat Korkolasku, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti i = p 100

Lisätiedot

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC. Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa

Lisätiedot

Jaksolliset suoritukset, L13

Jaksolliset suoritukset, L13 , L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan

Lisätiedot

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100 1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22

Lisätiedot

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48 Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

1.1 Suhteisjako 8. Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18. Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23

1.1 Suhteisjako 8. Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18. Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Suhteisjako 8 1.2 Valuutat 14 Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18 1.3 Verotus 21 Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23 Varallisuusvero

Lisätiedot

11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja.

11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. 113 11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. Esim. Kun sulatetaan 63 g kuparia ja 37 g sinkkiä, saadaan 100 g messinkiä. 63 100 = 114

Lisätiedot

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN Katri Währn 2013 JOHDANTO Myyntityön koulutusohjelman matematiikan valintakoe perustuu koulumatematiikkaan riippumatta siitä, onko hakijan

Lisätiedot

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin. Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA

Lisätiedot

MAB7 Loppukoe 25.9.2014

MAB7 Loppukoe 25.9.2014 MAB7 Loppukoe 25.9.2014 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko konseptin ekalle sivulle yläreunaan! Valitse kuusi tehtävää, joihin vastaat. Muista että välivaiheet perustelevat

Lisätiedot

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja 1. Italialainen design-laukku maksaa euroa ja vastaava piraattituote 60 euroa. Kuinka monta prosenttia a) design-laukku on piraattilaukkua kalliimpi b) piraattilaukku

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Indeksit

Talousmatematiikan verkkokurssi. Indeksit Sivu 1/8 ja niiden käyttö Indeksi on jono lukuja, joilla seurataan jonkin hyödykkeen tai palvelun hinnan muuttumista ajan kuluessa. Indekseillä kuvataan hintatason tai määrien muuttumista. Eri maita koskevissa

Lisätiedot

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk K00 1. Asunto-osakeyhtiö nosti asuntojen yhtiövastikkeita 8,5 %. Kuinka suureksi muodostui 64,5 neliömetrin suuruisen asunnon kuukauden yhtiövastike, kun neliömetriltä oli aiemmin maksettu 12,00 mk kuukaudessa?

Lisätiedot

1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17

1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22

Lisätiedot

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu Talousmatematiikka Kotitehtävät 2 - Pakollisten tehtävien ratkaisut 1. Laske valtion tulovero, kunnallisvero, kirkollisvero ja sairausvakuutusmaksu taulukon jokaisen rivin tilanteessa. Laske myös kuinka

Lisätiedot

i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Jos vaikka kolmosta ei tiedettäisi, sen saisi ratkaisua jakolaskulla

i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Jos vaikka kolmosta ei tiedettäisi, sen saisi ratkaisua jakolaskulla 1 PROSENTTILASKUN PERUSTAPAUKSET 1. Prosenttilaskun perusyhtälö i a = b, jossa i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Kun kaksi kolmesta tunnetaan, voidaan kolmas aina ratkaista

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

Talousmatematiikka (4 op)

Talousmatematiikka (4 op) Talousmatematiikka (4 op) M. Nuortio, T. Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Talousmatematiikka 2012 Yhteystiedot: Matti Nuortio mnuortio@paju.oulu.fi Työhuone M225 Kurssin

Lisätiedot

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Indeksit: muodostus ja käyttö Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Sisältö 1. Indeksin määritelmä ja esimerkkejä 2. Erilaisia indeksejä, Tilastokeskuksen tuottamat

Lisätiedot

1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11

1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11 Sisältö Prosenttilaskua 3 2 Yksinkertainen korkolasku 4 3 Diskonttaus 6 4 Koronkorko 8 5 Korkokannat 9 6 Jatkuva korko 0 7 Jaksolliset suoritukset 8 Luotot ja korkolasku 2 8. Annuiteettiperiaate........................

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t ) Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän

Lisätiedot

Pidätyksen alaisen palkan määrä (sis. luontoisedut) Perusprosentti Lisäprosentti Palkkakauden tuloraja perusprosentille

Pidätyksen alaisen palkan määrä (sis. luontoisedut) Perusprosentti Lisäprosentti Palkkakauden tuloraja perusprosentille TULOVEROTUS 1 Ongelma Ennakonpidätys Kesällä 2012 Satu on kesätöissä. Hän on työnantajansa kanssa sopinut kuukausipalkakseen 1600 euroa. Palkanmaksupäivänä hänen tililleen on maksettu 1159,00 euroa. Satu

Lisätiedot

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA 4.12.2012 Sisällys Johdanto... 1 Aikaan liittyviä laskelmia... 1 Excelin rahoitusfunktioita... 2 Koronkorkolaskenta... 2 Jaksolliset suoritukset... 4 Luotot... 7

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L7

Nykyarvo ja investoinnit, L7 Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto

Lisätiedot

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Matti Lehtinen Desimaaliluvut ovat niin jokapäiväisiä ja niillä laskemiseen niin totuttu, ettei yleensä tule miettineeksi, mitä ne oikeastaan ovat. Joskus kauan

Lisätiedot

Verkkokurssin tuotantoprosessi

Verkkokurssin tuotantoprosessi Verkkokurssin tuotantoprosessi Tietotekniikan perusteet Excel-osion sisältökäsikirjoitus Heini Puuska Sisältö 1 Aiheen esittely... 3 2 Aiheeseen liittyvien käsitteiden esittely... 3 2.1 Lainapääoma...

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6. Swap -sopimukset

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6. Swap -sopimukset Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6 Swap -sopimukset 1. Swapit eli vaihtosopimukset Swap -sopimus on kahden yrityksen välinen sopimus vaihtaa niiden saamat tai maksamat rahavirrat keskenään.

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta. Seuraava esimerkki on yhtälöparin sovellus tyypillisimmillään Lukion ekaluokat suunnittelevat luokkaretkeä Sitä varten tarvitaan tietysti rahaa ja siksi oppilaat järjestävät koko perheen hipat Hippoihin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1

Lisätiedot

Talousmatematiikan tehtäviä

Talousmatematiikan tehtäviä Koonnut: Joonas JoonasD6 Mäkinen versio 2015-02-28 Talousmatematiikan tehtäviä Luvut ja laskutoimitukset 1. Jaa luvut 15, 40, 90 ja 140 alkutekijöihin. 2. Laske kokonaan erikseen paperilla ja laskimella:

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Voimassa toistaiseksi. Osakkeiden numerot. Myyntihinta. Lainaosuus. luku

Voimassa toistaiseksi. Osakkeiden numerot. Myyntihinta. Lainaosuus. luku Asunto Oy Helsingin Emmy Myyntihinnasto pvm 14.08.2012 Osoite Mechelininkatu 3 Voimassa toistaiseksi krs. Huoneisto tyyppi Asunto Pintaala Ominaisuudet Kokonais Lainaosuus Osuus tontin lunastushinnasta

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Kokonaisvaltaista tilanpitoa - kannattavasti eteenpäin. Reijo Käki www.reijokaki.com

Kokonaisvaltaista tilanpitoa - kannattavasti eteenpäin. Reijo Käki www.reijokaki.com Kokonaisvaltaista tilanpitoa - kannattavasti eteenpäin Reijo Käki www.reijokaki.com 1. PÄIVÄ I Voitto ja arvopohjainen päätöksenteko? II Kassavirta ja katetuotto III Heikot lenkit IV Marginaalituottavuus

Lisätiedot

Yksinkertainen korkolasku

Yksinkertainen korkolasku Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua

Lisätiedot

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä.

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä. Tämä Tili-ja kulutusluotot -aineisto on tarkoitettu täydentämään Liiketalouden matematiikka 2 kirjan sisältöä. 1 Sisällysluettelo TILI- JA KULUTUSLUOTOT...3 Esim. 1... 4 Esim. 2... 6 Esim. 3... 7 Esim.

Lisätiedot

Pilkeyrityksen liiketoimintaosaamisen kehittäminen. Timo Värre Jyväskylän ammattikorkeakoulu

Pilkeyrityksen liiketoimintaosaamisen kehittäminen. Timo Värre Jyväskylän ammattikorkeakoulu Pilkeyrityksen liiketoimintaosaamisen kehittäminen Timo Värre Jyväskylän ammattikorkeakoulu 1 Talouden hallinnan keskeiset osat Tulevaisuus Pitääkö kasvaa? KASVU KANNATTAVUUS Kannattaako liiketoiminta?

Lisätiedot

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Nykyarvo ja investoinnit, L14 Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L9

Nykyarvo ja investoinnit, L9 Nykyarvo ja investoinnit, L9 netto netto netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n 0 1 2 3 4 5

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Vuosi jaetaan

Lisätiedot

Investoinnin takaisinmaksuaika

Investoinnin takaisinmaksuaika Investoinnin takaisinmaksuaika Takaisinmaksuaika on aika, jona investointi maksaa hintansa takaisin eli nettotuottoja kertyy perushankintamenon verran Investointi voidaan tehdä, jos takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Nimi ja opiskelijanro :

Nimi ja opiskelijanro : 1 (6) Lappeenrannan teknillinen yliopisto KATI / Pasi Syrjä A250A0250 Kirjanpidon peruskurssi Tentti 4.2.2016 Nimi ja opiskelijanro : Tentissä ei saa olla mukana kirjallista materiaalia. Laskimen käyttö

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Testaa tietosi. 1 c, d 2 a 3 a, c 4 d 5 d

Testaa tietosi. 1 c, d 2 a 3 a, c 4 d 5 d Testaa tietosi 1 c, d 2 a 3 a, c 4 d 5 d Tehtävä 1 En ole. Taseen vastattavaa-puolen tilien ns. normaalisaldot ovat aina tilin kredit-puolella. Esimerkiksi oma pääoma kasvaa kredit-puolella ja oman pääoma

Lisätiedot

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%)

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäisen korkokannan menetelmä Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäinen korkokanta määritellään

Lisätiedot

Paljonko metsäsijoitus tuottaa?

Paljonko metsäsijoitus tuottaa? Paljonko metsäsijoitus tuottaa? Metsä on yksi mahdollinen sijoituskohde. Metsäsijoituksen tuotto riippuu mm. siitä, kuinka halvalla tai kalliilla metsän ostaa, ja siitä, kuinka metsää käsittelee. Kuvan

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 21.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 21.9.2015 1 / 25 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Arvonlaskennan toiminta sijoitusten osalta

Arvonlaskennan toiminta sijoitusten osalta Sivu 1/5 HEDGEHOG OY Arvonlaskennan toiminta sijoitusten osalta 6.10.2014 Tässä on kuvailtu Hedgehog Oy:n käyttämän arvonlaskentajärjestelmän toimintaa sijoitusten merkinnän, tuottosidonnaisten palkkioiden,

Lisätiedot

Ajatuksia hinnoittelusta. Hinta on silloin oikea, kun asiakas itkee ja ostaa, mutta ostaa kuitenkin.

Ajatuksia hinnoittelusta. Hinta on silloin oikea, kun asiakas itkee ja ostaa, mutta ostaa kuitenkin. Ajatuksia hinnoittelusta Hinta on silloin oikea, kun asiakas itkee ja ostaa, mutta ostaa kuitenkin. Hinnoittelu Yritystoiminnan tavoitteena on aina kannattava liiketoiminta ja asiakastyytyväisyys. Hinta

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi kansaneläkeindeksistä ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ

Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi kansaneläkeindeksistä ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi kansaneläkeindeksistä ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Esityksessä ehdotetaan säädettäväksi laki kansaneläkeindeksistä. Se korvaisi nykyisen kansaneläkelaissa säädettyjen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Korkokatto taloyhtiön lainoille Suojaudu korkoriskiltä asettamalla katto korkomenoille

Korkokatto taloyhtiön lainoille Suojaudu korkoriskiltä asettamalla katto korkomenoille Korkokatto taloyhtiön lainoille Suojaudu korkoriskiltä asettamalla katto korkomenoille Korkoriski asunto-osakeyhtiössä Yleistyneiden remonttien takia taloyhtiöt ovat joutuneet nostamaan merkittäviä lainapääomia

Lisätiedot

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto 1. Osio 3/Tosi; Organisaatiokenttää ei mainita (s.35). 2. Osiot 1 ja 2/Epätosia; Puppua. Osio 3/Lähellä oikeata kuvion 2.1 mukaan (s.30). Osio 4/Tosi (sivun 30 tekstin

Lisätiedot

Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu?

Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu? Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu? 1 Mistä asuntopalvelumme koostuu? Olitpa sitten hankkimassa ensimmäistä omaa kotia tai vaihtamassa nykyistä, saat meiltä juuri sinulle sopivan asuntolainan. Hoidamme

Lisätiedot

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit

A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit ehtävä 5.1 Kesäkuun 3. päivä ostaja O ja myyjä M sopivat syyskuussa erääntyvästä 25 kappaleen OMX Helsinki CAP-indeksifutuurin

Lisätiedot

PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN:

PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN: 6 LIITE PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN: K m K 1 A K t K m A K K t K ' K 1 Kirjainten ja merkkien selitykset: ' ' K luoton numero K lyhennyksen

Lisätiedot

LAATUA RAAKA-AINEIDEN JALOSTAMISEEN Elintarvike- ja poroalan koulutushanke ARVONLISÄVERO. Merja Mattila

LAATUA RAAKA-AINEIDEN JALOSTAMISEEN Elintarvike- ja poroalan koulutushanke ARVONLISÄVERO. Merja Mattila LAATUA RAAKA-AINEIDEN JALOSTAMISEEN Elintarvike- ja poroalan koulutushanke ARVONLISÄVERO Merja Mattila ALV ALV tavaroissa ja palveluissa Välillinen voi olla - lain mukaan - hakeutumalla itse (vapaaehtoinen

Lisätiedot

3Eksponentiaalinen malli

3Eksponentiaalinen malli 3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Vaihdettavat valuutat klo 15.30

Vaihdettavat valuutat klo 15.30 HAAGA-HELIA HARJOITUS 4/Ratkaisut s. / 6 Liike-elämän matematiikka Syksy 20 Käytä tehtävissä tarvittaessa alla olevia valuuttakursseja. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä.

Lisätiedot

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka Talouslaskelmat Jarmo Partanen Taloudellisuuslaskelmat Jakeluverkon kustannuksista osa on luonteeltaan kiinteitä ja kertaluonteisia ja osa puolestaan jaksollisia ja mahdollisesti

Lisätiedot

KOLME SUKUPOLVEA ENSIASUNTOA HANKKIMASSA. Kehittämispäällikkö Ilkka Lehtinen 12.3.2012

KOLME SUKUPOLVEA ENSIASUNTOA HANKKIMASSA. Kehittämispäällikkö Ilkka Lehtinen 12.3.2012 KOLME SUKUPOLVEA ENSIASUNTOA HANKKIMASSA Kehittämispäällikkö Ilkka Lehtinen 12.3.2012 KOLME SUKUPOLVEA Munkkivuori 1960 Tapiola 1979 Taka-Töölö 2011 12.3.2012 2 ENSIASUNNON HANKINTA KOLMESSA SUKUPOLVESSA

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa Harjoituksia 9 Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa 1. Kirjoita yhtälö ja ratkaise x. a) lukujen x ja 6 summa on yhtä suuri kuin lukujen x ja 4 tulo. b) Kun luku x kerrotaan kolmella

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

Menot (oikaistut) / Tulot (oikaistut) x 100 = Suorat rahamenot tuloista %

Menot (oikaistut) / Tulot (oikaistut) x 100 = Suorat rahamenot tuloista % Veroilmoituksesta laskettavat tunnusluvut Heikki Ollikainen, ProAgria Oulu Nopea tuloksen analysointi on mahdollista tehdä laskelmalla veroilmoituksesta muutamia yksinkertaisia tunnuslukuja, joiden perusteella

Lisätiedot