HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 /

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / 16.8.2009"

Transkriptio

1 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / Vesa Korhonen Sisältö 0. Johdanto Prosenttilaskun soveltamista Prosentin käsitteestä Arvonlisäverotus Tehtäviä Katelaskelmia Katetuottolaskelma Katetuottolaskelman käyttö Kustannus-, tuotto- ja tulosfunktiot Tehtäviä Indeksit Yksinkertainen indeksisarja Ryhmäindeksi Inflaatio- ja deflaationprosentit Indeksisidonnaisuus ja reaalinen muutos Tehtäviä Yksinkertainen korkolasku Peruskäsitteet Korkopäivien laskutapoja Erilaisia tehtävänasetteluja Keskikorkokanta ja keskisaldo Tehtäviä Koronkorko Erilaisia korkojaksoja Kasvanut ja diskontattu pääoma Relatiiviset ja konformiset korkokannat Tehtäviä Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten loppuarvo Jaksollisten suoritusten alkuarvo Annuiteetti Jaksollisten suoritusten lukumäärä Tehtäviä Kokoava esimerkki Tehtäviä Tavallisia prosenttilaskuja ALV-laskuja Indeksit ja valuutat Korkolaskuja Liite: Kootut linkit... 45

2 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 2(45) 0. Johdanto Opintojaksoon HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat kuuluu kauppamatematiikan osuus. Sitä tässä ollaan nyt ihmettelemässä. Tämän opintojakson osan periaate on koettaa laskea kohtuullisen paljon ja sitä kautta hankkia laskurutiinia. Kun myöhemmillä opintojaksoilla tarvitaan kauppamatematiikan taitoja, tulisi laskujen onnistua ilman suurempia miettimisiä. Laskujen sijaan voisi ehkä puhua yleisemmin numerojen pyörittelystä. Sitä joutuu tekemään jatkuvasti. Pieni esimerkinluonteinen harjoitustehtävä: Minä päivänä (päivä-vuosi-kuukausi) syntynyt on tänään oikeutettu ostamaan tuotteita, joilla on 18 vuoden ikäraja? Jos osasit vastata alle viidessä sekunnissa, hyvä. Jos olet sitä mieltä, että voi sitä puoli minuuttiakin rauhassa miettiä, niin kuvittele itsesi perjantai-iltana marketin kassalle, jossa 100 m pitkä kärsimätön jono odottaa, että saat asian selvitettyä Tähän materiaaliin on sisällytetty muutamia WWW-linkkejä, jotka on myös koottu materiaalin loppuun. Kauppamatematiikan opiskelun apuna voi käyttää myös opintojakson HBL10110 Yleismatematiikka -materiaalia, joka löytynee osoitteesta Yleismatematiikasta eivät opintosuorituksia kuitenkaan saa muut kuin ne opiskelijat, jotka eivät ole opiskelleet matematiikkaa lukiossa.

3 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 3(45) 1. Prosenttilaskun soveltamista Sovelletaan seuraavassa prosenttilaskun perusteita arvonlisäverotukseen. Samassa siis tulevat kerrattua ko. perusteet. Tämän ensimmäisen luvun oppimistavoitteet siis ovat prosenttilaskun perusteiden mieliin palauttaminen ja arvonlisäverotuksen perusperiaatteiden oppiminen. 1.1 Prosentin käsitteestä Prosentti, %, on sadasosa jostakin. Nimitys tulee latinan kielen sanoista per cent, sataa kohden. Sama ilmaus on esimerkiksi englannin kielessä käytössä sellaisenaan. Prosentin hyödyllisyys on juuri siinä, että ei aina tarvitse tietää, että mistä. Ajatellaanpa vaikka sellaista arkista ilmiötä, kuin verokortti. Yksinkertaisimmillaan siinä saattaa olla näkyvissä seuraava tieto: Ennakonpidätys alkaen: Sivutulosta on toimitettava ennakonpidätys 41,5 % Eli suoritettavan ennakonpidätyksen suuruus on kerrottu prosentteina koko palkasta. Silloin verottajan ei tarvitse kertoa kuin yksi luku, jonka perusteella työnantaja osaa tehdä pidätyksen. (Tässä on siis kyseessä sivutuloverokortti, jolloin asia on yksinkertaisimmillaan. Päätoimen palkkatulossa on usein mainittu vielä tuloraja, jonka kohdalla prosentti kiristyy...) Huomattavasti hankalammin käytettävä verokortti olisi seuraava: Ennakonpidätys alkaen Palkka 1 ennakonpidätys 0,42 Palkka 2 ennakonpidätys 0,83 Palkka 3 ennakonpidätys 1,24 Palkka 4 ennakonpidätys 1,66... Palkka 3900 ennakonpidätys 1618,50... Jälkimmäisellä tyylillä verokortti olisi paljon pitempi ja sekavampi. Prosenttien käytöstä on siis selkeää etua. Prosentin sukulainen on promille, tuhannesosa, 0 / 00. Siihen törmää usein pieniä pitoisuuksia mitattaessa. Yksi prosentti on selvästi kymmenen promillea. Esimerkiksi jalometallien pitoisuudet saatetaan ilmoittaa promilleina. Vaikkapa hopealusikan varren takapuolella oleva merkintä 813 kertoo, että lusikassa on 813 promillea (eli 81,3 %) puhdasta hopeaa. Lähdetään jatkossa prosenttilaskujen kanssa soveltaen liikkeelle. Samalla tulemme näkemään muutamia perusasioita arvonlisäveronsta.

4 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 4(45) 1.2 Arvonlisäverotus Arvonlisävero, ALV, on kulutusvero. ALV:n suuruus on pääsääntöisesti 22 %, mutta poikkeuksia on (Taulukko 1). Taulukko 1 Arvonlisäveron verokannat Suomessa Yleinen vero (ellei muuta ole alla sanottu) 22 % Elintarvikkeet ja rehut 17 % Elokuvaliput, lääkkeet, kirjat, liikuntapalvelut, henkilökuljetukset, 8 % TV-maksu, majoituspalvelut, kulttuuri- ja viihdetilaisuudet Lehtien tilausmaksut, lakisääteinen koulutus, sairaanhoitopalvelut, 0 % marjanpoiminta, ym. Mutta, nyt syksyllä 2009, näiden kanssa tulee olla tarkkana! Miksi? Arvonlisäveron perusteena (perusarvona!) on veroton hinta, joka on 100 %. Verollinen hinta saadaan lisäämällä tähän vero, esimerkiksi 22 %: verollinen hinta = veroton hinta + 0,22 veroton hinta = 1,22 veroton hinta Jos taas verollinen hinta tunnetaan, voidaan 1. asteen yhtälön keinoin selvittää veroton hinta: verollinen hinta = 1,22 veroton hinta : 1,22 veroton hinta = verollinen hinta / 1,22 Esimerkki 1.1. Taidekirjan ( Jääkiekon kauneutta Honkavaarasta Niinimaahan ) veroton hinta on 50. Mikä on sen verollinen hinta? Yllä näkyvästä taulukosta huomataan, että verokanta on 8 %. Lisätään siis annettuun verottomaan hintaan 8 %, joten verollinen hinta = 1,08 50 = 54. Esimerkki 1.2. Geelijousitetut lenkkarit maksoivat 69,95. Mikä on veroton hinta? Verokanta on nyt 22 %. Merkitään tuntematonta verotonta hinta x:llä ja muodostetaan sekä ratkaistaan yhtälö: 69,95 = 1,22 x : 1,22 69,95 / 1,22 = x (vaihdetaan yhtälön puolet) x = 57,34.

5 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 5(45) Esimerkki 1.3 (Klassikko!) Kannettavan PC:n veroton hinta on 573. Kuinka monta prosenttia arvonlisävero on verollisesta myyntihinnasta? Lasketaan ensin verollinen hinta: 1, = 699,06. Veron osuus tästä (euroina) on 699,06-573,00 = 126,06. Veron suhde verolliseen hintaan: 126,06 / 699,06 = 0, Vero on siis 18,03 % verollisesta hinnasta. (Se EI ole 22 %. Miksi ei?)

6 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 6(45) 1.4 Tehtäviä Tehtävä 1.1. SpiderMan-vesipyssyn hinta marketin hyllyssä on 9,95. Millä seuraavista saadaan sen veroton hinta a) 0,92 9,95 b) 9,95 / 0,22 c) 9,95 / 1,22 d) 0,22 9,95 Tehtävä 1.2. Hilavitkuttimen (engl. widget) veroton hinta on 12,80. Millä seuraavista voidaan saadaan sen verollinen hinta? (Nyt ei siis ole täyttä varmuutta, että mikä verokanta on.) a) 1,08 12,80 b) 1 / 1,22 12,80 c) 12,80 / 0,22 d) 0,22 12,80 Tehtävä 1.3. Lääkkeiden arvonlisävero laski 12 %:sta 8 %:iin kun arvonlisäverotusta uudistettiin. Kuinka monta prosenttia verolliset hinnat muuttuivat, jos veron määrän väheneminen siirtyi suoraan verolliseen hintaan? Tehtävä 1.4. Täydennä taulukko. Tuote Veroton hinta Verokanta % ALV Verollinen hinta Tallentamaton digiboxi 40,00 Linja-autolippu (JKL- 5,80 Metsolahti th) Koristekapselit 14 (Mondeoon) 14,90 Paali heiniä (hevoselle) 5,00 Sekundakarkit 1 kg (vaimolle) 2,33 Tehtävä 1.5. Kommentoi ALV:n kannalta seuraavaa otetta eräästä ostoskuitista: Putiikki Oy KUKKAKIMPPU 12,90 SEKUNDASEKOITUS 1 KG 5, Välisumma 18,10 Pankkikortti 18,10 %-ALV Veroton Alv Veroll % 10,57 2,33 12, % 4,44 0,76 5,20

7 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 7(45) Tehtävä 1.6. Varmista, että seuraava tilinauha (vuodelta miekka ja kivi...) on oikein laskettu: AIKA PERUSTE SELITYS EURO 1.10.xx xx Peruspalkka 3469,50 Ay-jäsenmaksu JKO ry 1,07 % -37,12 Prosenttivero 22,50 % -780,64 T-TEL/kuel 4,30 % -149,19 T-työttmaksu 0,58% -20,12 Netto 2482,43

8 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 8(45) 2. Katelaskelmia Tässä luvussa pyritään pääsemään kärryille katettuottolaskelman peruskäsitteistä ja niiden käytöstä. Laskurutiini katetuottolaskelman muodostamisessa on toinen tärkeä tavoite. (Lue: Näitä kysytään kokeessa.) 2.1. Katetuottolaskelma Katetuottolaskelma on kätevä työkalu kannattavuuden arviointiin. Kuva 1 esittää erästä katetuottolaskelmaa. Kuva 1 Eräs katetuottolaskelma Tarina tämän taulukon takana olkoon vaikkapa seuraava: Arskan yögrillillä myydään pöytiin tarjoiltuna grillimakkaroita. Vilkkaaseen aikaan makkaroita voi mennä 1200 kpl viikonlopussa. Yhden makkaran hinta on 2,00. Jokaisesta myydystä makkarasta aiheutuu myyjälle 0,50 muuttuva kustannus, ts. mitä enemmän makkaroita myydään, sitä enemmän niistä yhteensä kertyy kustannuksia. Tästä siis tulee nimi muuttuva. Usein tosin puhutaan lyhyesti vain mukuista. Kyse on siis tässä tapauksessa lähinnä tuotteen ostohinnasta. Muita muuttuvien kulujen ryhmiä ovat raakaainekulut, koneiden energiankulutus tai vaikkapa ylityöpalkkiot. Laskemalla myytyjen tuotteiden kappalemäärä kertaa myyntihinta saadaan myyntituotto eli liikevaihto. Tässä täytyy kuitenkin ottaa arvonlisävero huomioon, eli käytetään myyntihintana verotonta hintaa. Grillimakkaralle Arska on veroa lisätessään laskenut x 1,22 = 2,00, joten veroton hinta on x = 2,00 / 1,22 = 1,64. Liikevaihto on siis 1200 kpl 1,64 /kpl = Mukuja taas syntyy 1200 kpl 0,50 / kpl = 600. Vähentämällä nämä luvut toisistaan saadaan katetuotto eli myyntikate. Kulujahan on tietysti muitakin kuin muuttuvia. Grillin vuokra, sähkölasku, yms. asiat on myös otettava huomioon. Nämä ovat kiinteitä kuluja ( kikut ), jotka pysyvät periaatteessa samansuuruisina riippumatta siitä myykö Arska 12 vai makkaraa. Jollakin laskentaperusteella (usein aika hankala operaatio...) on saatu Arskan grillin kiinteiksi kustannuksiksi Vähentämällä nämä kikut katetuotosta Arska voi todeta, että viikonlopun tulos on 68. Kannatti huhkia 3 vrk... Paitsi euroina, esitetään laskelma usein myös prosentteina. Tällöin perusarvona on aina myyntituotto eli liikevaihto, johon kaikki muut luvut suhteutetaan. Prosenttisarakkeen arvot nimetään kuten vastaavat luvut, mutta niihin liitetään (soveltaen) pääte -prosentti. Esimerkiksi katetuottoprosentti.

9 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 9(45) 2.2. Katetuottolaskelman käyttö Jatketaan edellistä esimerkkiä. Masentuneena Arska kertoo laskelmastaan kaverilleen Vekelle. Jälkimmäinen sankari on paria tenttiä vaille merkonomi, joten hänellä löytyy enemmän tietämystä asiasta. Erityisesti Veke tietää, että katetuottolaskelmaa voi käyttää myös takaperin : Jos halutaan saada kaupanteosta joku tietty euromääräinen tulos, voidaan esimerkiksi määrittää tarvittava veroton myyntihinta. Veke syöttää Arskan tietoja Exceliin niin, että on helppo vaihtaa lähtötietojen suuruutta ja sitä kautta kokeilla erilaisia vaihtoehtoja. Samalla hän muuttaa kaikki rahasummat ja prosenttiluvut hieman paremman näköisiksi. Pienellä kokeilulla Veke saa aikaan Kuvassa 2 näkyviä tuloksia. Jos Arska nostaisi makkaran hinnan 2,50 euroon, syntyisi entisellä myynnillä tulosta 560 (Kuva 2, vasemmalla). Arskan silmät pullistuvat päästä, mutta Veke toteaa, että hinnan nosto todennäköisesti laskisi myös myyntiä. Hetken mietittyään he päätyvät tekemään laskelman 1000 kpl myynnillä (Kuva 2, oikealla). Tulos olisi nyt 250. Edelleen kuitenkin selkeästi parempi. Niinpä Arska lupaa harkita asiaa ensi vuodelle... Kuva 2 Kaksi vaihtoehtoista katetuottolaskelmaa Jos joko myyntihinta tai myynti (tai molemmat) laskisivat, saavutettaisiin jossakin kohdassa tilanne, jossa tulos saa arvon 0. Tämä on ns. kriittinen piste, joka on toiminnan kannattavuuden raja. Se voidaan ilmaista joko euromääränä tai myynnin kappalemääränä. Kriittinen piste (euroina) voidaan laskea paitsi kokeilemalla, myös käyttämällä kiinteitä kustannuksia ja katetuottoprosenttia: kiinteät kustannukset ( ) kriittinen piste = 100 katetuottoprosentti (%) Lasku perustuu tietysti siihen, että kriittisessä pisteessä katetuotto ja kiinteät kustannukset ovat yhtä suuret.

10 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 10(45) 2.3. Kustannus-, tuotto- ja tulosfunktiot Kustannuksia, niin kiinteitä kuin muuttuviakin, voidaan tutkia valmistus- tai myyntimäärän x funktiona. Kustannusfunktio tai kokonaiskustannusfunktio, määritellään K(x) = muuttuvat kustannukset + kiinteät kustannukset Jos (kun) tuotteen määrä x tunnetaan, saadaan yksikkökustannusfunktio: k( x) K( x) x Myyntihinnan ja määrän x kautta saadaan tuottofunktio: T(x) = Myyntihinta x Tulosfunktio puolestaan saadaan tuoton ja kustannusten erotuksena: V(x) = T(x) - K(x) Todettakoon jälleen, että taulukkolaskenta (Excel) on kätevä työkalu myös näiden funktioiden muodostamiseen, käsittelyyn ja havainnollistamiseen.

11 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 11(45) 2.4. Tehtäviä Tehtävä 2.1. Miksi Arska lisää ALV:a 22 % eikä 17 %? Tehtävä 2.2. Määritä Arskan yögrillin kriittinen piste euroina ja myynnin kappalemääränä. Tehtävä 2.3. Arska ja Veke analysoivat tarkemmin grillin toimintaa. He päätyvät tulokseen, että myynti on viikonloppuna (pe-la-su) ollut tasaisesti 400 kpl/päivä. Kiinteät kulut jakautuvat myös tasaisesti, 433,33 /päivä. Piirrä samaan koordinaatistoon grillin kustannusfunktio ja tuottofunktio ja määritä siitä kannattavan toiminnan alue (=alue, jossa tulosfunktio saa positiivisen arvon) sekä kriittinen piste. Täsmääkö edelliseen tehtävään? Tehtävä 2.4. Veke pyörittää hieman suurempaa bisnestä kuin Arska. Hänen erään yrityksensä (Säle & Säpäle Oy) tulosprosentti on 10 % ja myyntikate 25 %. Laske kuinka monta prosenttia myyntitulosta ovat a) kiinteät kustannukset, b) muuttuvat kustannukset. c) Laske yrityksen uusi tulos, jos jostain syystä käy niin, että kiinteät kustannukset laskevat 20 % ja muuttuvat taas kasvavat 5 %.

12 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 12(45) 3. Indeksit Tässä luvussa tutustutaan indeksisarjoihin. Oppimistavoitteet ovat yksinkertaisen indeksisarjan muodostaminen ja muutoksen arviointi indeksisarjan avulla. Indeksisarja kuvaa palvelun tai tuotteen (tai minkä tahansa rahalla arvotettavan) hinnan tai määrän muutosta ajan suhteen. Indeksisarjan muodostamiseen tarvitaan havaintosarja. Havaintosarja voi koostua vaikkapa kahvikupin hinnasta uudenvuodenpäivänä vuosina Riippuen siitä onko vertailtavana hinta tai määrä, voidaan puhua hintaindekseistä tai määräindekseistä eli volyymi-indekseistä. Indeksisarjaa muodostettaessa valitaan yksi ajankohdista perusajankohdaksi. Perusajankohdan indeksin arvoksi asetetaan 100,0. Perusajankohta voidaan merkitä indeksiin esimerkiksi näin: Kahvikuppi-indeksi (1967=100). Indeksisarjan arvot lasketaan vertaamalla kunkin ajankohdan arvoa perusarvoon. Näin saatu luku kerrotaan sadalla, jolloin saadaan ko. ajankohdan indeksipisteet. Kyse on siis itse asiassa siitä, kuinka monta prosenttia tarkasteltavan ajankohdan luku on vertailuajankohdan luvusta! Katso myös 3.1 Yksinkertainen indeksisarja Yksinkertainen indeksisarja kuvaa yhden asian (tuotteen, palvelun) muutosta. Alla näkyvän taulukon kaksi ensimmäistä saraketta kuvaavat 95E-bensiinin hinnan kehitystä vuosituhannen vaihteessa. (Alkupään summat on jo etukäteen muunnettu markoista euroiksi.) Vuosi Hinta Indeksi 95E (1999=100) Miten indeksi on laskettu , ,0 0,974 / 0,974 = 1, , ,0 1,130 / 0,974 = 1, , ,8 1,108 / 0,974 = 1, , ,8 1,089 / 0,974 = 1, , ,9 1,129 / 0,974 = 1, , ,9 1,139 / 0,974 = 1,169 Toistan: Indeksilukemia (indeksipistelukemia) muodostettaessa siis lasketaan, montako prosenttia kunkin ajankohdan arvo on perusajankohdan arvosta. Perusajankohdan arvo on tietysti 100 % itsestään, muina aikoina prosenttiluku voi vaihdella. Perusajankohta on usein aikasarjan ensimmäinen arvo, mutta näin ei välttämättä tarvitse olla. Indeksisarjojen(kin) laskennassa taulukkolaskenta (Excel) on erinomainen apuväline!

13 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 13(45) 3.2 Ryhmäindeksi Indeksejä, jotka muodostetaan käyttäen useampaa lähtötietoa, kutsutaan ryhmäindekseiksi. Tarkastellaan tätä pienen esimerkin kautta: Kumppanukset Arska ja Veke nauttivat mielellään lihamakaronilaatikkoa. Tarvittavista raaka-aineista (5 dl makaronia, 500 g jauhelihaa, 4 dl maitoa, 2 kananmunaa) on heille kertynyt ostoskuitteja useamman vuoden ajalta. Niistä saatiin koostetuksi seuraava taulukko raaka-aineiden keskihintojen kehityksestä: Aine Määrä Makaroni ( /kg) 0,4 kg 1,27 1,05 0,95 0,89 0,90 Jauheliha ( /kg) 0,5 kg 5,46 5,48 5,51 5,53 5,92 Maito ( /l) 0,4 l 0,65 0,65 0,63 0,63 0,67 Kananmunat ( /kg) 0,2 kg 1,78 1,78 2,06 2,28 2,21 Yhden lihamakaronilaatikkoannoksen raaka-aineiden hinta ( ostoskorin hinta ) eri vuosina on siis ,4 1,27 + 0,5 5,46 + 0,4 0,65 + 0,2 1,78 = 3, ,4 1,05 + 0,5 5,48 + 0,4 0,65 + 0,2 1,78 = 3, ,4 0,95 + 0,5 5,51 + 0,4 0,63 + 0,2 2,06 = 3, ,4 0,89 + 0,5 5,53 + 0,4 0,63 + 0,2 2,28 = 3, ,4 0,90 + 0,5 5,92 + 0,4 0,67 + 0,2 2,21 = 4,03 Jos valitaan perusvuodeksi 2003, näistä saadaan seuraava Lihamakaronilaatikkoindeksi(2003=100) Vuosi Indeksi Miten se laskettiin? (2003=100) ,0 3,85/3, = 100, ,18 3,78/3, = 98, ,70 3,80/3, = 98, ,48 3,83/3, = 99, ,67 4,03/3, = 104,67 Tästä nähdään mm. se, että vuonna 2005 lihamakaronilaatikko oli 1,3 % halvempaa kuin vuonna 2003, mutta vuonna 2007 se oli 4,67 % kalliimpaa kuin perusvuonna. Tämä yksinkertainenkin esimerkki kuvastaa samalla hyvin ryhmäindeksin ongelmia: Entä jos Arska laittaa hirmuisesti ketsuppia annokseensa, mutta Veke taas ei ollenkaan. Silloin todelliset ateriakustannukset saattavat käyttäytyä aivan eri tavalla kuin indeksi. Tai jos sankarit tekevät annoksia vuorotellen, ja toinen heistä käyttää hieman eri seossuhteita kuin toinen 3.2. Inflaatio- ja deflaationprosentit Muistakin tuotteista kuin lihamakaronilaatikon aineista seurataan hintojen kehitystä. Tilastokeskuksen laskema kuluttajahintaindeksi on eräs ryhmäindeksi, jonka laskennassa käytetään monia kulutustavaroita ja päivittäistuotteita. Kuluttajahintaindeksi antaa laaja-alaisempaa tietoa yleisemmästä hintojen kehityksestä. Hintojen nousuilmiöstä käytetään nimitystä inflaatio. Kyse on siis rahan arvon alenemisesta: Jotta saisi litran

14 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 14(45) 95E:tä tai annoksen lihamakaronilaatikkoa, tarvitaan enemmän rahaa kuin muutama vuosi aikaisemmin. Hintojen nousu luo paineita palkkojen nostamiseen, joka taas aiheuttaa tarvetta nostaa hintoja. Talouskasvu tarvitsee kuitenkin sopivaa inflaatiota pysyäkseen käynnissä. Edellä mainittu kuluttajahintaindeksi on inflaation virallinen mittari. Sitä on nykymuodossaan laskettu lokakuusta 1951 asti. Indeksilukema annetaan kuukausittain. Koska indeksi 1951:10=100 on jo aika epämukavan suuri luku (suuruusluokkaa 1600), käytetään jokapäiväisissä toimissa viiden vuoden välein nollautuvia indeksiarvoja. Tällä hetkellä on käytössä indeksi 2005=100, jonka indeksilukema on kesäkuussa 2009 arvossa 108,7. (Katso Eri indeksien (esim ja 2005) välillä voidaan arvoja vertailla. Kun tunnetaan esimerkiksi vuoden 2005 indeksilukema indeksille, jonka perusvuosi on 2000, voidaan joko vuoden 2000 indeksiä jatkaa 2005:stä eteenpäin, tai laskea vuoden 2005 indeksille arvoja vuosille 2004, 2003, jne. Tätä käsitellään laskuharjoituksissa Indeksisidonnaisuus ja reaalinen muutos Rahan arvon heikkeneminen on väistämätön ilmiö. Niinpä joissakin asioissa, esimerkiksi vuokrasopimuksessa, saattaa olla indeksisidonnaisuus, joka määrittelee jonkin rahasumman muuttuvaksi tietyn indeksin muutosten mukana. Silloin sovituin tarkastusvälein summaa muutetaan indeksin lukeman muuttumisen mukaisesti. Sama toimii myös toisin päin: Voidaan laskea, paljonko jonkin summan pitäisi olla, ja nähdä siitä onko se pysynyt inflaation mukana, ts. mikä esimerkiksi on palkan reaalinen nousu, joka ottaa huomioon rahan ostovoiman vähenemisen. Esimerkki 3.1. Asunto-osakeyhtiön tilintarkastuspalkkio on sidottu elinkustannusindeksiin. Vuonna 2006, kun elinkustannusindeksin 2005=100 lukema oli 101,2 palkkioksi määrättiin 150 : Mikä oli palkkion suuruus vuonna 2008, kun elinkustannusindeksi oli 106,2? Lasketaan kuinka monta prosenttia indeksi on noussut: 106,2 / 101,2 = 1,0494 = 4,94 % Palkkiota tulee siis korottaa 4,94 % alkuperäisestä, eli uusi palkkio on 150 1,0494 = 157,41 Esimerkki 3.2. Ohjelmistosuunnittelijan palkka lamavuonna 1991 oli 7700 markkaa. Kaksi vuotta myöhemmin se oli 7800 markkaa, mutta samalla inflaatio oli syönyt 2,5 % rahan arvosta. Mikä oli palkan reaalinen muutos? Lasketaan mikä olisi vuoden 1991 palkka vuonna 1993, jos se olisi kasvanut inflaatioprosentin verran, ts. inflatoidaan palkka: 1, mk = 7892,50 mk. Palkan reaalinen arvo oli siis itse asiassa pienentynyt. Uuden palkan ostovoima on 7800/7892,50 = 0,988 = 98,8 % entisestä, joten sen reaaliarvo oli pienentynyt 1,2 %.

15 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 15(45) Voitaisiin myös laskea toisin päin, muuntamalla vuoden 1993 palkka vuoden 1991 palkaksi, jolloin olisi kyse deflatoinnista. Näillä laskutavoilla voidaan muodostaa reaalisia aikasarjoja siirtämällä joukko ajan funktiona annettuja arvoja vastaamaan jonkin yhden, tietyn ajankohdan arvoa. Esimerkki 3.3. Lasketaan edellinen esimerkki niin, että deflatoidaan vuoden 1993 palkka vuodelle Rahan arvon muutos on sama kuin edellä. Nyt lasketaan: 7800 mk / 1,025 = 7609,76 mk, ts. vuoden 1993 palkalla saa yhtä paljon asioita kuin vuonna 1991 olisi saanut 7609,76 markalla.. Uuden palkan ostovoima on siis 7609,76/7700,00 = 0,988 = 98,8 % entisestä, joten sen reaaliarvo oli pienentynyt 1,2 %.

16 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 16(45) 3.4. Tehtäviä Tehtävä 3.1. Onko edellä esitetyissä 95E-indeksissä ja Lihamakaronilaatikkoindeksissä havaittavissa yhtäläisyyksiä tai riippuvuuksia? Tehtävä 3.2. Kuinka paljon rahan ostovoima on pienentynyt vuodesta 2005 vuoden 2007 elokuuhun? Tehtävä 3.3. Jos vuoden 2005 alussa tehdyssä vuokrasopimuksessa on silloinen 1500 euron kuukausivuokra sidottu elinkustannusindeksiin, niin mikä olisi uusi vuokrasumma jos sitä tarkistettaisiin elokuussa 2007? Tehtävä 3.4. Bytenibblers Ltd:n Minor Executive Officerin bruttopalkka vuonna 2005 oli Elokuussa 2007 se oli Mikä on palkan reaalinen muutos?

17 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 17(45) 4. Yksinkertainen korkolasku Tarkastellaan seuraavaksi ns. yksinkertaista korkolaskua (joka viittaa lähinnä laskennassa eteen tulevaan aikaan, ei laskijaan). Tämän osan oppimistavoite on lyhytaikaisen korkolaskun perussuureiden hallinta. Yksinkertainen korkolasku on koron laskua lyhyille, alle korkojakson pituisille korkoajoille. Koronkorkolasku (seuraavassa luvussa) on koron laskua pitkille, useiden korkojaksojen korkoajoille. Monet seuraavassa esitettävät käsitteet ja periaatteet soveltuvat molempiin näistä. 4.1 Peruskäsitteet Katsotaan ensin hieman tärkeitä peruskäsitteitä. Korkokanta on yhden korkojakson korko prosentteina pääomasta. Esimerkiksi korkojakso voi olla yksi vuosi ja korkokanta 6 %. Korkokanta määräytyy usein jonkin viitekoron kautta. Viitekorko voi olla esimerkiksi pankkien oma prime-korko tai euribor-korko (Euro Interbank Offered Rate). Talletusten korkolaskun yhteydessä törmätään usein lähdeveron käsitteeseen. Talletukselle maksettavasta korosta menee verottajalle 28 %. Itselle jää siis 72 %. Jos laskun maksu myöhästyy, joutuu maksamaan viivästyskorkoa. Korkolaskun peruskäsitteitä merkitään usein seuraavilla symboleilla: Pääomaa merkitään symbolilla k Korkokantaa merkitään symbolilla p (joskus myös i) Korkoaika merkitään symbolilla t Korko on rahamäärä, joka saadaan korvaukseksi, symboli r Kasvanut pääoma on sijoitetun pääoman ja koron summa, symboli K Jos talletuksen tai lainan kesto on lyhyempi kuin korkokannan korkojakso, käytetään kertoimena korkojakson murto-osaa. Tällöin puhutaan usein osavuoden korosta. Pankki maksaa säästötilille korkoa 1,5 %. Kuinka paljon rahaa on nostettavissa puolen vuoden kuluttua 1000 euron talletuksen tekemisestä, kun pankki tilittää kertyneestä korosta 28 % lähdeverona verottajalle. Jotta lasku onnistuisi, tulee nyt laskea erikseen talletuksesta saatava korko käyttäen pääomaa ja kerrointa 0,015. Tämä tulee vielä kertoa kertoimella ½, koska korkoa saadaan vain puolelta vuodelta. Lisäksi tästä vähennetään vielä 28 % vero, eli nettokorkoa jää 72 % kertyneestä bruttokorosta. Bruttokorko on 1 2 0, ,50 Nettokorkoa jää siis 0,72 7,50 = 5,40. Kun tähän lisätään pääoma, saadaan kokonaissumma: 5, = 1005,40

18 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 18(45) Voitaisiin myös laskea ensin nettokorkokanta, 0,72 1,5 % = 1,08 %, ja käyttää tätä laskussa. Vuoden murto-osien sijasta korkolaskussa käytetään yleensä korkopäivien lukumäärää jaettavana ja vuoden päivien määrää jakajana. Tässä on olemassa eri käytänteitä, joista seuraavassa alaluvussa enemmän. 4.2 Korkopäivien laskutapoja Eri tilanteissa saatetaan käyttää erilasia tapoja koron laskentaan. Seuraavat kolme eurooppalaisten valtioiden mukaan nimettyä tapaa ovat yleisimmät. Saksalaisessa tavassa oletetaan jokaiseen (täyteen) kuukauteen 30 korkopäivää ja kokonaiseen vuoteen 360 päivää. Englantilaisessa tavassa lasketaan sekä kuukauteen että vuoteen todelliset päivät. Ranskalaisessa tavassa lasketaan jokaisen kuukauden todelliset päivät, mutta vuoteen lasketaan kuitenkin 360 päivää. Esimerkki: Lasketaan korkopäivien määrä ajanjaksolla käyttäen eri tapoja. Todetaan ensin, että vuosi 2007 ei ole karkausvuosi (mistä sen tietää?), joten helmikuussa on 28 päivää. Kunkin kuukauden korkopäivät ovat nyt (rautalangasta kuukausittain laskien ). Kuukausi Saksalainen tapa Ranskalainen tapa Englantilainen tapa helmikuu = = = 11 maaliskuu huhtikuu toukokuu kesäkuu heinäkuu elokuu Yhteensä Ranskalainen ja Englantilainen tapa antavat siis saman tuloksen päivien lukumäärälle. Lasketaan sitten kuinka paljon 1000 esimerkkitalletus kasvaa korkoa kyseisenä aikana 1,5 % mukaan eri laskutavoilla. Laskutapojen väliset pienet erot tulevat tästä selvästi näkyviin. Saksalainen tapa Ranskalainen tapa Englantilainen tapa päiviä jakaja korko 174/360 0, = 7,25 175/360 0, = 7,29 175/365 0, = 7,19 Korkopäivien määrä voitaisiin Saksalaisessa tavassa laskea kohtuullisen helposti myös vähennyslaskulla:

19 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 19(45) 8 kuukautta 11 päivää - 2 kuukautta 17 päivää kuukautta 24 päivää = päivää = 174 päivää Koska 11 päivää on vähemmän kuin 17 päivää, täytyy lainata yksi kuukausi, kuten tavallisessakin vähennyslaskussa voidaan joutua tekemään. Ranskalaisessa ja englantilaisessa tavassa on yleensä helpompi tarkastella asiaa kuukausi kerrallaan. Edellä esitetyt laskuperiaatteet voidaan formalisoida seuraavasti: k euron korko t päivältä p % korkokannan mukaan on r euroa. Saksalainen tai Ranskalainen tapa: r k p t k p t Englantilainen tapa: r k p t k p t Kaavaa valitessa tulee t laskea samalla laskutavalla. Lisättäessä näin laskettu korko pääomaan on kaava K = k + r, jolloin siis saadaan uusi, kasvanut pääoma Erilaisia tehtävänasetteluja Tarkastellaan keskeisimpiä yksinkertaisen korkolaskun tilanteita muutaman esimerkin avulla. Korkoaika: Missä ajassa verolliselta tililtä saadaan nettokorkona 60, kun korkokanta on 2,0 %, lähdevero 28 % ja pääoma Ranskalainen koronlaskutapa. Lasketaan ensin nettokorko: 0,72 2,0 % = 1,44 %. Koko vuodelta korkoa kertyisi 0, = Lasketaan kuinka suuri osa tästä on 60, jolloin saamme myös korkoajan suhteen vuoden pituuteen. 60 / 1872 = 0, , = 11,538 Aikaa tarvitaan siis 12 päivää (11 ei vielä riitä). Pääoma tunnetun koron perusteella: Mikä pääoma kasvaa 200 päivässä korkoa 120 korkokannan ollessa 3 % ja lähdeveron 28 %? Ranskalainen koronlaskutapa.

20 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 20(45) Lasketaan ensin nettokorko: 0,72 3 % = 2,16 %. Selvitetään sitten mikä on koko vuoden korkokertymä: Jos 200 päivää tuottaa 120, niin yksi päivä tuottaa 120 / 200 = 0,60 ja 360 päivää silloin 216. Merkitään tuntematonta pääomaa x:llä, ja lasketaan 0,0216 x = 216. Tästä x = Pääoma kasvaneen pääoman perusteella: Mikä pääoma kasvaa viidessä kuukaudessa 4500 :ksi, kun korkokanta on 4 % ja lähdevero 28 %. Saksalainen laskutapa. Jälleen ensin nettokorkokanta: 0,72 4 % = 2,88 %. Saksalaisen tavan viisi kuukautta on 150 päivää. Alkuperäinen pääoma on nyt tuntematon x. Lasku, jossa se on mukana, menee nyt näin: 150 / 360 0,0288 x + x = 4500 (Eli korko euroina + vanha pääoma = uusi pääoma.) Tästä saadaan edelleen 0,012 x + x = 4500 (0, ) x = 4500 x = 4500 / 1,012 = 4446,64. (Tarkistus: 4446, /360 0, ,64 = Näistä esimerkeistä huomataan helposti, että korkolaskussa on kyse vain ja ainoastaan prosenttilaskusta! 4.3. Keskikorkokanta ja keskisaldo Jos samalla instanssilla (vaikkapa Arskalla) on useita lainoja (tai talletuksia), saattaa näillä olla erilaiset korkokannat. Esimerkiksi pitkäaikaisen pankkilainan ja tilapäiseksi tarkoitetun kulutusluoton korkokanta voi olla hyvinkin erilainen. Tämäntyyppisen tilanteen kuvaamisessa saattaa keskikorkokanta olla hyödyllinen käsite. Olkoon Arskalla olemassa kaksi velkaa: Kuukauden pankkilaina 1 000, korkokanta 5 %, ja kuukauden päästä maksuun menevä luottokorttilasku, 1800, korkokanta 9,5 %. Helposti nähdään, että kuukauden aikana Arska joutuu maksamaan korkoa pankkilainasta 30/360 0, = 4,17 luottokortistaan 30/360 0, = 14,25 Yhteensä siis 18,42. Pankkilainalle ja luottokorttivelalle voidaan laskea keskikorkokanta, jossa käytetään pääomilla painotettua korkokannan keskiarvoa, koska korkoajat ovat samat. Näin: ( % ,5 %) / ( ) = 7,893 %

21 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 21(45) Arskan näiden lainojen korkomenot saadaan nyt kätevästi tämän yhden korkokannan avulla: 30/360 0, = 18,42. Arskalla on myös 500 kulutusluotto, jonka hän maksaa kerralla pois vuoden lopussa. Papereistaan Arska toteaa joutuvansa maksamaan korkoa 120 päivää korkokannan 8,75 % mukaan ja vielä 30 päivää korkokannan 8,25 % mukaan. Tälle luotolle voidaan laskea keskikorkokanta, jossa käytetään korkoajoilla painotettua korkokannan keskiarvoa, koska pääoma on koko ajan sama. Näin: (120 8,75 % ,25 %) / (120+30) = 8,65 % Onhan Arskalla myös rahaa pankissa. Lasketaan hänen tililleen keskisaldo. Syyskuun 2007 tiliotteesta saadaan laskettua seuraavaa: Päiväsaldo ( ) Korkopäivät 210, , ,70 17 Painotetaan eri saldoja ottaen huomioon niiden voimassaoloajat: ( , ,70 ) / ( ) = 52,40 Ei tarvinne enää erikseen mainita, mikä tietokonesovellus on erinomainen apuväline myös korkojen laskuun

22 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 22(45) 4.4. Tehtäviä Tehtävä 4.1. Lasketaan, mikä pääoma tuottaa 6 % mukaan 135 päivässä korkoa 121,50. Tehtävä 4.2. Minkä korkokannan mukaan 4820 tuottaa 288 päivässä korkoa 241? Tehtävä euron sijoitus nostetaan 16.8., jolloin sille saadaan korkoa 812 euroa. Milloin talletus on tehty, kun korkokanta on 10,15 % ja korkoaika lasketaan todellisten päivien mukaan? Tehtävä 4.4. Opiskelija ottaa opintolainaa Lainan korkokanta on 9,5 %. Korko erääntyy puolivuosittain, mutta sitä ei makseta vaan se lisätään lainan pääomaan. Laske lainan määrä vuoden kuluttua.

23 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 23(45) 5. Koronkorko Kun talletus on kerryttämässä korkoa pitempään kuin kokonaisen korkojakson, joudutaan yleensä laskemaan korkoa korolle. Esimerkiksi pankissa oleva rahasumma saa kerran vuodessa seurakseen siitä kertyneen koron (miinus lähdevero). Esimerkki 5.1: Talletustilin korko on 3,5 %. Kuinka paljon tilillä on rahaa, kun 1000 talletus kasvaa korkoa kolme vuotta? Lasketaan nettokorkokanta: 0,72 3,5 % = 2,52 %. Vuoden kuluttua rahaa on 1, = 1025,20. Kahden vuoden kuluttua rahaa on 1, ,50 = 1051,04. Kolmen vuoden kuluttua rahaa on 1, ,34 = 1077,52. Tai yksinkertaisemmin potenssin avulla: 1000 (1,0252) 3 = ,07752 = 1077,52. Koska talletuksen alku ja loppu harvemmin sattuu juuri vuodenvaihteeseen (tai yleisemmin: korkojakson alkuun tai loppuun), joudutaan yleensä laskemaan alussa ja/tai lopussa myös osavuoden korkoa. Silloin täytyy olla tietoinen myös sovellettavasta korkopäivien laskutavasta (vrt. edellinen luku). 5.1 Erilaisia korkojaksoja Korkojaksoja on muitakin kuin yksi vuosi. Tässä tiivistelmä korkojaksoista ja niiden nimistä: Korkojakso Lyhennys vuotuinen p.a. (per annum) puolivuosittainen p.s. (per semester) neljännesvuosittainen p.q. (per quartal) kuukausittainen per kk päivittäinen per pv 5.2 Kasvanut ja diskontattu pääoma Kasvanutta pääomaa laskettaessa selvitetään pääoman tuleva arvo, joka sisältää korot ja koronkorot, joita se kerää. Esimerkki 5.1. yllä tekee juuri näin. Kaavana tämä voidaan ilmaista näin: K = (1 + i) n k Asia voi mennä myös toisin päin. Jos asia (esim. tuotannon arvo) alenee jonkin tunnetun prosenttiosuuden esimerkiksi vuodessa, saadaan sen alentunut arvo annetun ajan päästä kaavalla A = (1 - i) n k Kolmas kysymyksenasettelu voi olla se, että mikä pitäisi pääoman arvo olla nyt, että se annettuun aikaan mennessä kasvaisi tietyn summan suuruiseksi (vrt. taas edellinen luku):

24 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 24(45) Esimerkki 5.2: Paljonko pitäisi nyt tallettaa 3 % tilille (miinus verot), että vuoden päästä voisi nostaa tonnin? Entä jos aikaa olisi kaksi vuotta? Lasketaan nettokorkokanta: 0,72 3,0 % = 2,16 %. Tuntematon nykyhetken pääoma olkoon x. Vuoden päästä pitäisi pystyä korkoa lisätessä laskemaan 1,0216 x = 1000, eli saadaan x = 1000 / 1,0216 = 978,86. Jos odotettaisiin kaksi vuotta, saisi pääomaan kaksi korkoa. Lasku olisi 1,0216 1,0216 x = 1000, eli (1,0216) 2 x = 1000, josta x = 1000 / (1,0216) 2 = 958,16 Esimerkki 5.2:n toisen kohdan opetus on se, että jos pääomaa kasvatetaan useampia vuosia, niin pääomaa laskettaessa tulee jakajaan korkotekijä ajan ilmoittamaan potenssiin korotettuna. Sovelletaan tätä diskonttauksen eli nykyarvon laskemisen ajatusta eri maksutapojen vertaamiseen: Esimerkki 5.3: Olkoon korkokanta 5 %. Yritys voi maksaa ostamansa laitteen kahdella eri tavalla. Laske kumpi tulee halvemmaksi. Vaihtoehto A: Kaupantekohetkellä maksetaan , vuoden kuluttua 4000 ja kolmen vuoden kuluttua Vaihtoehto B: Kahden vuoden kuluttua maksetaan kerralla koko kauppasumma Lasketaan kaikille mainituille summille se, minkä arvoisia ne ovat kaupantekohetkellä: Vaihtoehto A:ssa on jo nykyhetkessä. Vuoden kuluttua menevän 4000 nykyarvo on 4000 /1,05 = 3809,52. (Toisin sanoen, jos yritys saisi vuoden maksuaikaa 4000 :lle, sille riittäisi laittaa nyt 3809,52 kasvamaan korkoa.) Kolmen vuoden kuluttua menevän 8000 nykyarvo on 8000 / (1,05) 3 = 6910,70 Vaihtoehto A:n nykyarvo on siis yhteensä , ,70 = 20720,22. Näin paljon pitäisi tällä hetkellä olla rahaa, että A-vaihtoehdon maksut saataisiin hoidettua. Vaihtoehto B:ssä saadaan nykyarvo selville yhdellä laskulla: / (1,05) 2 = 19954,65. Johtopäätös on siis se, että vaihtoehdosta B suoriutumiseen tarvitaan vähemmän tämän hetken rahaa, ja se on halvempi. (Myyjän kannalta asia tietysti on päinvastoin.)

25 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 25(45) Tässä diskonttausajatuksessa ovat korkokannan ja nettokorkokannan käsitteet hieman hämärtyneet. Yleensä tässä yhteydessä puhutaan vain korkokannasta. Tämä liittyy siihen, että korkokanta voi viitata muuhunkin kuin pankkitalletuksen kautta saatavaan tuottoon. Tai kyse voi olla jopa siitä, kuinka suurta tuottoa rahalle halutaan. Kysykää johdon laskentatoimen opettajilta tarkemmin... :-] Edellä on ollut puhetta inflaatiosta, joka syö osaltaan esimerkiksi saatujen korkojen arvoa. Esimerkki 5.4: Pääoma kasvoi viidessä vuodessa 4000 :sta 5500 suuruiseksi. Samana aikana hintaindeksin pisteluku kasvoi lukemasta 107 lukemaan 118. Mikä oli pääoman reaalinen vuosituotto prosentteina? Voidaan lähteä siitä, että selvitetään mikä on 4000 reaaliarvo viiden vuoden kuluttua, ts. inflatoidaan se. Indeksin kasvu on 118/107 = 1,1028 eli 10,28 %, ts. neljää tuhatta viiden vuoden päästä vastaava rahasumma on 1, = 4411,21. Nyt siis viiden vuoden aikana pääoma on kasvanut 5500 / 4411,21 -kertaiseksi, eli 1, kertaiseksi. Toisin sanoen joku tuntematon korkokanta korotettuna viidenteen potenssiin on 1,2468. Otamme siis viidennen juuren luvusta 1,2468 (ei onnistu päässälaskuna useimmilta opiskelijoilta), joka on 1,0451. Reaalinen vuosituotto on siis ollut 4,51 %. Muistettava asia on tässä se, että kasvanut pääoma on saatu kertomalla alkuperäinen pääoma jollakin luvulla. Jos korkojaksoja (vuosia) on mennyt useita, niin on vielä otettava juuri, jotta saadaan yhden vuoden korkokanta. Tässä on siis tavallaan koronkoron määritelmä takaperin! 5.3. Relatiiviset ja konformiset korkokannat Katsotaan tämän luvun lopuksi vielä pari korkokantoihin liittyvää käsitettä, jotka saattavat tulla myöhemmin eteen. Korkokannat ovat relatiivisia, jos korkokanta ja korkojaksojen pituudet ovat suoraan verrannollisia. Esimerkiksi 4 % p.a. ja 2 % p.s. ovat relatiivisia (4 % vuodessa ja 2 % puolessa vuodessa). Relatiiviset korkokannat antavat samasta pääomasta eri suuren koron korkojakson aikana. Esimerkki: 1000 talletetaan 4 % p.a. vuodeksi: 1, = talletetaan 2 % p.s. puoleksi vuodeksi: 1, = 1020 Tätä käsitettä käytetään joskus tasaerillä hoidettavissa lainoissa. Jos lainan korko on 4 % p.a., ja sitä hoidetaan kolmen kuukauden välein, niin korkokanta voi olla 1 % p.q. Silloin ei korkoa laskettaessa tarvitse käyttää osavuoden korkoa. (No, olipas iso apu...!) Hieman hankalampi (ts. käyttökelpoisempi) on se tilanne, kun korkokannat ovat konformisia, eli jos käy niin, että erilaisesta korkojaksosta huolimatta ne antavat jollekin pääomalle samassa ajassa saman koron. Esimerkki: 1000 talletetaan 10 % p.a. vuodeksi: 1, = talletetaan 4,881 % p.s. vuodeksi: (1,04881) = 1100 Mistä tuo 0,04881 tuli? Jotta pääoma + korko yllä olisi yhtäsuuri, pitää päteä 1,10 = (1,04881) 2

26 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 26(45) Niinpä on etsitty luku, joka toiseen korotettuna antaa 1,1 eli on otettu neliöjuuri luvusta 1,1. Jos korkojaksoja on useampia, niin pitää tietysti ottaa korkeampiasteisia juuria (esimerkiksi p.q. - tapauksessa neljäs juuri). Esimerkki 5.5: Arskan kulutusluotto (jatkoa viime luvusta). Arskan 500 kännykkävipin korkokanta on 2,5 % per kk. Mikä on sen korkokanta p.a.? Tutkitaan asiaa niin päin, että ajatellaan pääomaa, joka kasvaa korkoa 2,5 % per kk, ja etsitään vastaava p.a. -korkokanta (tuntematon x). (1,025) = x 500 : 500 (1,025) 12 = x x = 1,345 Eli vastaava korkokanta p.a. on 34,5 %. Lopputulos: Arska on p.a.

27 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 27(45) 5.4. Tehtäviä Tehtävä 5.1. Mikä voisi olla sellainen tilanne, että talletus on tallessa useamman korkojakson, mutta silti ei tarvitse laskea koronkorkoa? (Periaatteessa saatat keksiä kaksikin vastausta...) Tehtävä 5.2. Kokeile tehdä esimerkki 5.4. niin, että deflatoit 5500 viisi vuotta taaksepäin.

28 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 28(45) 6. Jaksolliset suoritukset Harvempi asia nykymaailmassa enää hoituu kertamaksulla. Niinpä rahan kanssa toimiessa törmätään usein jaksollisiin suorituksiin. Kyse on yleisesti sanoen korkojakson välein toistuvista samansuuruisista suorituksista. 6.1 Jaksollisten suoritusten loppuarvo Yksinkertainen perustilanne on esimerkiksi se, että Arska (tai Veke) tallettaa alkaen joka vuoden viimeinen päivä 10 tilille, jonka nettokorkokanta on 3 %. Ja sitten kysytään, että paljonko tilillä on rahaa ? Ensimmäinen kymppi kerää korkoa 5 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 5 10 = 11,59 Toinen kymppi kerää korkoa 4 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 4 10 = 11,25 Kolmas kymppi kerää korkoa 3 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 3 10 = 10,93 Neljäs kymppi kerää korkoa 2 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 2 10 = 10,61 Viides kymppi kerää korkoa 1 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 1 10 = 10,30 Kuudes kymppi ei ehdi kerätä korkoa yhtään mitään, eli se on edelleen 10,00. Excelillä tämäkin on helppo laskea päräyttää, ja saadaan että tilillä on yhteensä 64,68. Raha tuloa ei voi estää. On näin saatu määrättyä talletuksen loppuarvo. Matemaatikot ovat suuressa viisaudessaan kehittäneet käsitteen nimeltä geometrinen sarja, joka noista edellä kuvatuista suorituksista muodostuu. Sivuutamme kuitenkin tässä ko. käsitteen määrittelyn, ja tyydymme toteamaan, että matemaatikkojen 1 keksintöjen perusteella saadaan jaksollisten suoritusten loppuarvo näin: S (1 i) i n 1 k kun i = korkokanta (desimaalilukuna), n = suoritusten lukumäärä ja k = suorituksen euromäärä. Testataan Arskan talletukseen. nyt i = 0,03, n = 6 ja k = 10 : S (1 i) i n 1 k (1 0,03) 0, ,68 Älkää opetelko tätä kaavaa ulkoa, vaan opetelkaa tunnistamaan se, jos se joskus tulee eteen suuren kaavajoukon keskellä. Tämän kaavan antamaa k:n kerrointa sanotaan prolongaatiotekijäksi. Excel-työkalussa on tarjolla funktio nimeltä TULEVA.ARVO() (tai englanninkielisessä FV()). Koska Arska antaa rahaa pois (pankkiin), merkitään maksuerä negatiiviseksi, jolloin tulos tulee oikein päin (paljonko saadaan pankista takaisin). 1 Opekin on matematiikasta valmistunut, joskus viime vuosituhannella, silloin kun Matti Nykänen ensimmäisen kerran hyppäsi mäkeä...

29 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 29(45) Kuva 3 Tuleva arvo Excelissä 6.2 Jaksollisten suoritusten alkuarvo Otetaan sama takaperin: Kuinka paljon on talletettava tilille, jonka nettokorkokanta on 1,5 %, jotta voitaisiin joka vuosi nostaa 500 yhteensä 10 vuoden ajan? Tuntuu aika tikkuiselta tehtävältä. Mutta nyt meillä on kaikki tiedot olemassa, jotta saamme laskettua ko. operaation loppuarvon: S (1 i) i n 1 k (1 0,015) 0, ,36 (Kysymys on siis käännetty niin, että paljonko 500 jaksollisten suoritusten loppuarvo on 10 vuoden päästä.) Tämä on siis summa kymmenen vuoden päässä tulevaisuudessa. Siitä saadaan nykyrahaa diskonttaamalla se nykyisyyteen, korkokannan 10. potenssilla jakamalla: A (1 S i ) n 5351,36 10 (1,015) 4611,09 Jaksollisten suoritusten alkuarvon laskentakaava on siis A (1 S i ) n (1 (1 n i) i) n 1 i k (Saatteeksi samat sanat kuin edellä loppuarvon kaavalle.) Tässä oli kyse diskonttauksesta, ja niinpä k:n edessä olevaa kerrointa sanotaankin diskonttausktekijäksi. Excel-vekkuli tuntee tämän nimellä NA() (tai englanninkielisessä PV().) Kuva 4 esittää edellistä laskua. Nyt on järkevää merkitä 500 eteen miinus, koska se on systeemistä pois otettua rahaa. Sekä prolongaatiotekijöitä että diskonttaustekijöitä on aikaisemmin (ennen Excelin keksimistä...) laskennan helpottamiseksi taulukoitu valmiiksi erilaisille korkokannoille. Nykyisin näitä taulukoita harvemmin tarvitaan.

30 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 30(45) Kuva 4 Excel ja nykyarvo 6.3. Annuiteetti Suurimmalla osalla tämän lukijoista lienee ensimmäisen asuntolainan nosto vielä edessä. Viimeistään siinä vaiheessa on hyvä tuntea annuiteetin käsite, joten katsomme sitä seuraavaksi. Annuiteetti on tasaisin aikavälein toistuva vakioerä. Annuiteetit yhteenlaskettuna vastaavat tiettyä kokonaispääomaa. Kun tämä viimeksi mainittu tieto yhdistetään kahden edellisen alaluvun juttuihin, niin homma alkaakin olla paketissa. Esimerkki. Esimerkki 6.1: Nuoripari (avoliitto tai rekisteröity parisuhde) hankkii auton, jonka hinnasta rahoitetaan pankista otetulla annuiteettilainalla. Laina-aika on kolme vuotta ja korkokanta 5 %. Laske annuiteetin suuruus, kun lainaa lyhennetään kerran vuodessa. Tässä hyödynnetään alkuarvon käsitettä. Jotta laina ja korot saadaan maksetuiksi, on suoritusten alkuarvon oltava , eli se, mitä pankista nostetaan. Alkuarvon kaavaa siis kehiin: 3 1, k 3 1,05 0,05 Eli tilanne on se, että k on tällä kertaa tuntematon. Pienellä pyöräytyksellä (jaetaan molemmat puolet k:n kertoimella) saamme 3 1, k : 7344,17 3 1,05 0,05 2,72 (Anteeksi vähän hämäävä kahden eri jakolaskumerkinnän käyttö ) Jälkimmäiseltä kaavariviltä voimme poimia suoraan kaavan annuiteetin laskemiseksi. Kun vielä muutamme jakolaskun kertolaskuksi (taas tarvittiin murtolukuja!) vaihtamalla osoittajan ja nimittäjän keskenään, tulee kaavaksi tasaerä (1 (1 i) n i) n i 1 A Kaavan suhteen jälleen samat huomautukset: Älä opettele ulkoa, mutta opi tunnistamaan.

31 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 31(45) A:n kerroin on nimeltään annuiteettitekijä. Taulukkolaskentaystävämme osaa tämän kaavalla MAKSU() (englanninkielisessä PMT()). Kuva 5 Annuiteetin laskeminen 6.4. Jaksollisten suoritusten lukumäärä Toinen kysymyksenasettelu voisi olla, että mitä jos annuiteettiin on käytettävissä jokin tietty rahamäärä esim. kuukaudessa, mutta erien lukumäärä on auki. Esimerkiksi juuri lainan maksussa tämä on tavallista: Tiedetään, että lainan hoitoon liikenee muutama satanen kuussa, joten pitää laskea kauanko (=montako erää) jonkin tietyn lainan takaisinmaksuun menee. Esimerkki 6.2:Tallettaja suunnittelee sijoittavansa vuosittain 5000 sijoitustilille, jolle on onnistunut neuvottelemaan 5 % koron (miinus verot). Kuinka monen vuoden kuluttua tilille on kertynyt ? Aina kun vero on mukana, niin aloitetaan nettokorkokannan laskennalla: 0,72 5 % = 3,6 %. Nyt tiedetään loppuarvo, ja korkokanta. Otetaan siis loppuarvon kaava käyttöön: n (1 0,036) ,036 Se, mitä ei tiedetä, on nyt erien määrä n. Koetetaan saada se laskusta ulos: (1 0,036) 0,036 n n (1,036) 1 1 n (1,036) ,72 0,036 0, Nyt näyttää muuten hyvältä, paitsi että tuntematon on eksponentissa. Tarvitaan siis logaritmia. Periaatteessa vielä 1,036-kantaista logaritmia, mutta voimme ottaa apuun logaritmien laskusäännön, joka antaa tämännäköistä: log1,72 n 15,334 log1,036 Tarkoittaa sitä, että tarvitaan 16 erää, koska 15 ei ihan riitä.

32 HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 32(45) Tälle laskulle en anna valmista kaavaa, vaan opetelkaa johtamaan se. Käyttämämme taulukkolaskennan vastaava funktio on NJAKSO() (tai englanniksi NPER()). Kuva 6 Jaksollisten suoritusten lukumäärä

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi. KATETUOTTOLASKENTA laskennassa selvitetään onko liiketoiminta kannattavaa. Laskelmat tehdään liiketoiminnasta syntyvien kustannuksien ja tuottojen perusteella erilaisissa tilanteissa. laskennassa käytetään

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin HAAGA-HELIA MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin Katri Währn Kevät 2012 1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto-

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja.

11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. 113 11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. Esim. Kun sulatetaan 63 g kuparia ja 37 g sinkkiä, saadaan 100 g messinkiä. 63 100 = 114

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU

6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU 6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU Murtoluku Sekaluku Osoittaja Nimittäjä Kokonaisosa Murto-osa Murtoluvun muuttaminen Jos murtoluvun osoittaja on suurempi

Lisätiedot

Käytettyjen tavaroiden tuontihuojennus Ahvenanmaan verorajaa ylitettäessä

Käytettyjen tavaroiden tuontihuojennus Ahvenanmaan verorajaa ylitettäessä Käytettyjen tavaroiden tuontihuojennus Ahvenanmaan verorajaa ylitettäessä Asiakasohje tulli.fi 8.12.2016 Käytettyjen tavaroiden tuontihuojennus Ahvenanmaan verorajaa ylitettäessä Sisällys 1 Käytettyjen

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen

Lisätiedot

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi

Indeksit: muodostus ja käyttö. Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Indeksit: muodostus ja käyttö Tilastokoulu 11.4.2016 Satu Ruotsalainen / Tilastokeskus satu.ruotsalainen@stat.fi Sisältö 1. Indeksin määritelmä ja esimerkkejä 2. Erilaisia indeksejä, Tilastokeskuksen tuottamat

Lisätiedot

YRITYS JA VEROT. Yritystoiminta Pia Niuta

YRITYS JA VEROT. Yritystoiminta Pia Niuta YRITYS JA VEROT Verohallinto Yritystoimintaan liittyvät rekisteröintitoimenpiteet (verohallinto) Toiminnan aloittaminen Muutokset toiminnassa Toiminnan lopettaminen Ennakkoperintärekisteri Ennakkoverotus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut Katetuottotavoite (%) 30 %

Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut Katetuottotavoite (%) 30 % Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut 200 6600 Katetuottotavoite (%) 30 % a) Kriittisessä pisteessä katetuottoa pitäisi kertyä kiinteiden kustannusten verran, joka on

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

Nimi ja opiskelijanro :

Nimi ja opiskelijanro : 1 (6) Lappeenrannan teknillinen yliopisto KATI / Pasi Syrjä A250A0250 Kirjanpidon peruskurssi Tentti 4.2.2016 Nimi ja opiskelijanro : Tentissä ei saa olla mukana kirjallista materiaalia. Laskimen käyttö

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu?

Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu? Millainen on Osuuspankin asuntopalvelu? 1 Mistä asuntopalvelumme koostuu? Olitpa sitten hankkimassa ensimmäistä omaa kotia tai vaihtamassa nykyistä, saat meiltä juuri sinulle sopivan asuntolainan. Hoidamme

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa Harjoituksia 9 Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa 1. Kirjoita yhtälö ja ratkaise x. a) lukujen x ja 6 summa on yhtä suuri kuin lukujen x ja 4 tulo. b) Kun luku x kerrotaan kolmella

Lisätiedot

ASTERI JOHDON RAPORTOINTI - TULOSTEMALLEJA

ASTERI JOHDON RAPORTOINTI - TULOSTEMALLEJA ASTERI JOHDON RAPORTOINTI - TULOSTEMALLEJA Atsoft Oy Mäkinen www.atsoft.fi Puh (09) 350 7530 atsoft@atsoft.fi ASTERI JOHDON RAPORTOINTI ESIMERKKI- JA INSPIRAATIOVIHKONEN Tässä vihkosessa on esitelty erilaisia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

PENNO Selvitä rahatilanteesi

PENNO Selvitä rahatilanteesi PENNO Selvitä rahatilanteesi TIEDÄTKÖ, KUINKA PALJON SINULLA ON RAHAA KÄYTÖSSÄSI? Kuuluuko arkeesi taiteilu laskujen ja välttämättömien menojen kanssa? Tiedätkö, mihin rahasi kuluvat? Tämän Penno-työkirjan

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi kansaneläkeindeksistä ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ

Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi kansaneläkeindeksistä ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi kansaneläkeindeksistä ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Esityksessä ehdotetaan säädettäväksi laki kansaneläkeindeksistä. Se korvaisi nykyisen kansaneläkelaissa säädettyjen

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

3. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO

3. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO . PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO. Prosenttikerroin LUO PERUSTA 0. a) 56 % = 0,56 b) 0, % = 0,00 c),9 % = 0,09 d) 0 % =, Vastaus: a) 0,56 b) 0,00 c) 0,09 d), 0. A: 00 % + 5 % = 05 % =,05 = 05. Vaihtoehdot

Lisätiedot

Vaihdettavat valuutat klo 15.30

Vaihdettavat valuutat klo 15.30 HAAGA-HELIA HARJOITUS 4/Ratkaisut s. / 6 Liike-elämän matematiikka Syksy 20 Käytä tehtävissä tarvittaessa alla olevia valuuttakursseja. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä.

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Merkintöjä

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Verot, palkat ja kehysriihi PALKANSAAJAN OSTOVOIMA 2000-2013

Verot, palkat ja kehysriihi PALKANSAAJAN OSTOVOIMA 2000-2013 Verot, palkat ja kehysriihi PALKANSAAJAN OSTOVOIMA 2000-2013 1 Teemu Lehtinen 9.1.2013 PALKANSAAJAN OSTOVOIMAAN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT 1) Palkka keskituloinen palkansaaja, palkka v. 2013: 39.900 /v (3192

Lisätiedot

Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi liikevaihtoverolain väliaikaisesta muuttamisesta

Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi liikevaihtoverolain väliaikaisesta muuttamisesta 1991 vp - HE 20 Hallituksen esitys Eduskunnalle laiksi liikevaihtoverolain väliaikaisesta muuttamisesta ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Esityksessä ehdotetaan, että liikevaihtovero korotettaisiin väliaikaisesti

Lisätiedot

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut? Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta

Lisätiedot

Tilastokatsaus 2:2014

Tilastokatsaus 2:2014 Tilastokatsaus 2:2014 Vantaa 1 17.1.2014 Tietopalvelu B2:2014 Vantaalaisten tulot ja verot vuonna 2012 (lähde: Verohallinnon Maksuunpanon Vantaan kuntatilasto vuosilta 2004 2012) Vuonna 2012 Vantaalla

Lisätiedot

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN 00 N:o 22 LIITE KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN. Positioriskin laskemisessa käytettävät määritelmät Tässä liitteessä tarkoitetaan: arvopaperin nettopositiolla samanlajisen arvopaperin pitkien

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

HARJOITUS- PAKETTI E

HARJOITUS- PAKETTI E Logistiikka A35A00310 Tuotantotalouden perusteet HARJOITUS- PAKETTI E (6 pistettä) TUTA 17 Luento 18 Jonojen hallinta Hamburger Restaurant Pinball Wizard 1 piste Benny s Arcade 1/4 Luento 19 Projektin

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 a p% =

Lisätiedot

Elinkeinoelämän Keskusliitto EK Muistio 1(8) Työmarkkinat Antti Kondelin 23.1.2008

Elinkeinoelämän Keskusliitto EK Muistio 1(8) Työmarkkinat Antti Kondelin 23.1.2008 Elinkeinoelämän Keskusliitto EK Muistio 1(8) ULOSOTTOPIDÄTYS PALKKAHALLINNOSSA Palkan ulosmittausmenettelyä koskeva ulosottolain muutos (469/2006) tuli voimaan 1.1.2007. Yleinen ulosmittauksen määrä on

Lisätiedot

2.1 Kertaus prosenttilaskennasta

2.1 Kertaus prosenttilaskennasta Verotus 2.1 Kertaus prosenttilaskennasta 1. Alennukset yhteensä 1500 + 800 = 2300 Alennusprosentti 2300 0,184 18,4% 12500 Vastaus: Alennus 18,4 % 2. Reetun alennusprosentti: 99,90 0,8649... 115,50 alennusprosentti100%

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Vanhempainpäivärahan määrän laskurin ohje

Vanhempainpäivärahan määrän laskurin ohje Vanhempainpäivärahan määrän laskurin ohje Vanhempainpäivärahan yleisistä perusteista saat tarkempaa tietoa Lapsiperheet-sivuilta sekä Kelan toimistoista. Päivärahan määrä lasketaan pääsääntöisesti henkilön

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO. Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE

EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO. Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE Lähettäjä: Euroopan komissio Saapunut: 25. heinäkuuta 2011 Vastaanottaja: Neuvoston pääsihteeristö Kom:n

Lisätiedot

Oletus. Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO

Oletus. Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO Oletus 1, 8, 6, 4, 2,, Tammi Helmi Maalis Huhti Touko Kesä Heinä Elo Syys Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO 913 KUM TOT. 912 KUM TOT. Ero ed. vuoteen 1212 KUM TOT. Ennuste ed. vuoden

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat).

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat). Laske kymmeneen Tavoite: Oppilaat osaavat laskea yhdestä kymmeneen ja kymmenestä yhteen. Osallistujamäärä: Vähintään 10 oppilasta kartioita, joissa on numerot yhdestä kymmeneen. (Käytä 0-numeroidun kartion

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry

Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Korkosijoitukset Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset,

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 17.11.2011 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

ENSIASUNNON OSTAJAN ABC

ENSIASUNNON OSTAJAN ABC Unelmien koti kiikarissa? ENSIASUNNON OSTAJAN ABC Ensimmäisen oman asunnon ostaminen saattaa tuntua henkisesti ja rahallisesti isolta päätökseltä, johon liittyy paljon uutta ja tuntematonta. Tämä opas

Lisätiedot

EI MIKÄÄN NÄISTÄ. KUVITETTU MINI-MENTAL STATE EXAMINATION Ohjeet viimeisellä sivulla. 1. Mikä vuosi nyt on? 2. Mikä vuodenaika nyt on?

EI MIKÄÄN NÄISTÄ. KUVITETTU MINI-MENTAL STATE EXAMINATION Ohjeet viimeisellä sivulla. 1. Mikä vuosi nyt on? 2. Mikä vuodenaika nyt on? POTILAS: SYNTYMÄAIKA: TUTKIJA: PÄIVÄMÄÄRÄ: 1. Mikä vuosi nyt on? 2000 2017 2020 1917 EI MIKÄÄN NÄISTÄ 2. Mikä vuodenaika nyt on? KEVÄT KESÄ SYKSY TALVI 3. Monesko päivä tänään on? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Hitas on Helsingin kaupungin omistamille tonteille rakennettujen asuntojen hinta- ja laatutason sääntelyjärjestelmä.

Hitas on Helsingin kaupungin omistamille tonteille rakennettujen asuntojen hinta- ja laatutason sääntelyjärjestelmä. MIKÄ HITAS ON? Hitas on Helsingin kaupungin omistamille tonteille rakennettujen asuntojen hinta- ja laatutason sääntelyjärjestelmä. Hitasin tarkoituksena on tarjota asunnon ostajille kohtuuhintaisia omistusasuntoja

Lisätiedot

Yritysyhteistyömalli HOK-Elannon kanssa!

Yritysyhteistyömalli HOK-Elannon kanssa! Yritysyhteistyömalli HOK-Elannon kanssa Eero Antila Arttu Brade Elsa Nyrhinen Elsa Pekkarinen Iisa Rautiainen Johdanto Matemaattis-luonnontieteellisen tiedekunnan järjestämällä kurssilla Matematiikka ja

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

Aineopinnot ON, OTM

Aineopinnot ON, OTM Kysymyksiin 1, 2, 3 sekä 4 a ja 4 b on vastattava eri arkeille, joihin on merkittävä nimi, opiskelijanumero ja kysymyksen numero. Kysymyksiin 5 a-c on vastattava kysymyspaperissa annettuun vastaustilaan.

Lisätiedot

Tarjoudumme ostamaan tässä mainitut osakkeet tarjouksessa mainituilla ja muuten sovittavilla kauppaehdoilla. Kauppakirja allekirjoitetaan viimeistään.

Tarjoudumme ostamaan tässä mainitut osakkeet tarjouksessa mainituilla ja muuten sovittavilla kauppaehdoilla. Kauppakirja allekirjoitetaan viimeistään. TARJOUS, asunto-osake Tarjoudumme ostamaan tässä mainitut osakkeet tarjouksessa mainituilla ja muuten sovittavilla kauppaehdoilla. 1. Kaupantekopäivä Kauppakirja allekirjoitetaan viimeistään. 2. Kaupan

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Sairauspäivärahan määrän laskennan ohje

Sairauspäivärahan määrän laskennan ohje Sairauspäivärahan määrän laskennan ohje Sairauspäivärahan yleisistä perusteista saat tarkempaa tietoa Kun sairastat -sivuilta sekä Kelan toimistoista. Päivärahan määrä lasketaan pääsääntöisesti henkilön

Lisätiedot

TA-22.1130 Laskentatoimi ja kannattavuus TENTTI 8.1.2009. Nimi KIRJOITA VASTAUKSES I S ELVÄS TI JA YMMÄRRETTÄVÄS TT ÄYTÄ.

TA-22.1130 Laskentatoimi ja kannattavuus TENTTI 8.1.2009. Nimi KIRJOITA VASTAUKSES I S ELVÄS TI JA YMMÄRRETTÄVÄS TT ÄYTÄ. i TA-22.1130 Laskentatoimi ja kannattavuus TENTTI 8.1.2009 Opintokirjan nro Nimi Tutkinto-ohjelma Tehtävä I 2 J /l Pisteet 5 6 Yhteensä KIRJOITA VASTAUKSES I S ELVÄS TI JA YMMÄRRETTÄVÄS TT ÄYTÄ TARVITTAES

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet ja laskin. Laskut erilliselle konseptille, vastaus selkeästi näkyviin!!! Palauta tenttipaperi!!

Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet ja laskin. Laskut erilliselle konseptille, vastaus selkeästi näkyviin!!! Palauta tenttipaperi!! 1 School of Business and Management Yliopisto-opettaja, Tiina Sinkkonen Opiskelijanumero ja nimi: CS31A0101 KUSTANNUSJOHTAMISEN PERUSKURSSI Tentti 01.02.2016 Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 17.11.2011 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Tuhatta euroa Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 - Q4. Liikevaihto

Tuhatta euroa Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 - Q4. Liikevaihto 1 (6) Asiakastieto Group Oyj, pörssitiedotteen liite 5.5.2015 klo 16.00 HISTORIALLISET TALOUDELLISET TIEDOT 1.1. - 31.12.2014 Tässä liitteessä esitetyt Asiakastieto Group Oyj:n ( Yhtiö ) historialliset

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot