MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin
|
|
- Pirjo Tikkanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HAAGA-HELIA MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin Katri Währn Kevät 2012
2 1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto- ja jakolaskut ennen yhteen- ja vähennyslaskuja, mikäli näppäilijä ei sotke sitä esimerkiksi ylimääräisillä = -merkeillä. Laskimet eivät laske väärin! Esim * 8 = 7 Tämä menee ihan suoraan laskimella, mutta seuraavassa lausekkeessa jakaja on laitettava sulkuihin, jotta laskin osaisi jakaa kolmea koko jakajalla. 3 2 = 2, 13 7 Funktiot toimivat eri laskimissa eri tavalla ja siksi olisi ainakin epävarmojen laskijoiden parasta käyttää koko ajan samaa laskinta. Yleensä ne funktiot, joihin täytyy syöttää kaksi numeroa (esimerkiksi potenssiin korotus ja juuren ottaminen) funktionäppäin tulee lukujen väliin, mutta lukujen syöttöjärjestys vaihtelee. Vanhojenkin laskinten käyttöohjeita löytyy netistä. Esim.1.2 Kirjoita laskutoimitusten viereen oman laskimesi näppäilyohje (1 0,02) , * ,37 3 1,022 *3000 1,022 * , ,02 *1,03 224,88 Murtolausekkeissa on aina varminta laittaa sekä osoittaja että nimittäjä sulkuihin! 8 1,02 1 * ,12 0,02 1,08 1 * , 1,08 *0, ,00 *0,00 * , , *4 1
3 Harj. 1.1 Laske suoraan laskimella ilman välitulosten kirjoittamista paperille. 4 a) 1 1, 1 7 3*7 1 b) c) 1,02 *1,03 * , d) 461, ,02 *1,0 20 1,018 *0,018 e) * , , ,03 1 f) * , 23 0, g) , ,08 1, ,08 1 h) 8000 * , ,08 *0, i) ,06* j) 6 1 0,
4 2 LASKUSÄÄNTÖJEN KERTAUSTA Merkkisäännöt Yhteen- ja vähennyslaskussa merkin määrää itseisarvoltaan suuremman luvun tai lukujen merkki. Esim = = - 8 Jos + ja merkkejä esiintyy peräkkäin, niin kahdesta samasta merkistä tulee +. Vastaavasti kahdesta eri merkistä tulee -. Esim (-12) (+) + (-9) = = 21 Jos kerto- ja jakolaskussa on pariton määrä merkkejä, vastaus on myös -. Esim.2.3 * (- 4) = - 20 (-7) * (-8) = + 6 (-3) * (-4) * (-) = Harj. 2.1 Sievennä seuraavat lausekkeet: a) (-2) * (-6) = b) (-3) + (- 9) (- 7) = c) (-24) : (-6) = d) (-3) * (- 8 12) + = 3
5 3 ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖ Yhtälön ratkaiseminen Esim. 3.1 Ratkaise seuraavat yhtälöt a) 4x = 40 b) 6 3x = 2x + 86 c) 2 (7x + 3) = 1 3x 2x 1 d) 2x 3 a) 4x = 40 //: 4 Jaetaan x:n kertoimella. 4x x = 112, b) 6 3x = 2x + 86 Siirretään termejä puolelta toiselle. Muista etumerkki! - 3x 2x = 86 6 Yhdistetään termit. - x = 30 //:(-) Jaetaan x:n kertoimella. x = - 6 c) 2 (7x + 3) = 1 Poistetaan sulut. 14x + 6 = 1 Siirretään termi. 14x = 1 6 Yhdistetään termit. 14x = - //:14 Jaetaan x:n kertoimella. x = 14 d) 3x 2x 1 2x // *1 Poistetaan jakajat kertomalla. 3 1*3x 1*(2x 1) 1*2x 3 30x 3*3x = (2x + 1) 30x -9x = 10x + 30x -9x 10x = 11x = x = tai x = 0,4 11 Kaikki, mikä on luvallista ensimmäisen asteen yhtälölle, on sallittua muidenkin yhtälöiden ratkaisussa. 4
6 Harj. 3.1 Ratkaise seuraavat yhtälöt. a) 24 + x = 3x 18 b) 3 ( 2x ) = 4 ( x + 3) 2x 1 x c) 3x Seuraavien tehtävien kohdalla ei vielä keskitytä yhtälön muodostamiseen vaan ratkotaan sellaisia yhtälöitä, joita tuleen eteen seuraavilla opintojaksoilla. Esim. 3.2 Hintaa alennettiin ensin 10 % ja myöhemmin vielä 20 %. Mikä oli alkuperäinen hinta, kun kahteen kertaan alennettu on 86,40? 0,9 * 0,8 * x = 86,4 0,72x = 86,4 //:0,72 x = 120 Esim. 3.3 Mikä pääoma tuottaa kolmessa kuukaudessa 00 euroa, kun korkokanta on 4 %? pääoma * korkokanta *aika = korko x * 0,04 * 12 3 = 00 //*12 x *0,04*3 = 00*12 //:(0,04*3) 00*12 x = 0,04*3 x = Laskimella laskiessa jakaja sulkuihin!
7 Esim. 3.4 Sijoitus ostettiin eurolla ja myytiin eurolla kahdeksan kuukautta myöhemmin. Minkä nettokoron sijoittaja sai, kun joutui maksamaan myyntivoitosta 28 % veroa? 7000 * x * 12 8 = 0,72 * ( ) 7000 * x * 12 8 = 720 //*12 // :(7000*8) 720*12 x = 7000*8 x = 0,14 1,4 % Harj. 3.2 Ratkaise seuraavat yhtälöt. a) 1,1 * 1,04 * x = 9,68 b) 8000 * 0,0 * 12 x = 100 c) * x * 2 1 =
8 4 PROSENTTILASKU 1 Prosentti (%) tarkoittaa yhtä sadasosaa eli 1 % = = 0, Esim prosenttia: 23 % = = 0, , 7, prosenttia: 7, % = 100 = 0, prosenttia: 234 % = = 2, Esim. 4.2 Muunna 20 % a) desimaaliluvuksi ja b) murtoluvuksi 20 a) 20 % = = 0,2 100 b) 20 % = Huom. Jos laskimessa on murtolukunäppäin (esim. a b/c), niin laskin osaa myös sieventää murtoluvut. Prosenttilaskun kolme perussuuretta Prosenttiluku (p) on se luku, jonka perässä on %:n merkki. Lasketaan perusarvosta. Prosenttiarvo (b) on sama asia kuin prosenttiluku, mutta sillä on konkreettinen laatu (esim. euro, kilo, lukumäärä ym.) Perusarvo (a) on se luku, josta prosenttiluku lasketaan. Esimerkiksi se on alkuperäinen hinta, kokonaismäärä, vertailun perustana oleva luku. Sillä on aina sama laatu kuin prosenttiarvolla. Usein sen voi tunnistaa suomen kielen -sta tai -stä päätteestä tai kuin sanan jälkeisestä sanasta. Esim. 4.3 a) Hinta laskee 0 eurosta 40 euroon eli 10 euroa ja 20 %. p = 20 %, b = 10 ja a = 0 b) Ryhmässä on 3 opiskelijaa, joista 20 on tyttöjä. 20 Tyttöjen suhteellinen osuus on 7 % (= * 100 ) 3 p = 7 %, b = 20, a = 3 Tyttöjä on 33 % (= * 100 ) enemmän kuin poikia. 1 p = 33 %, b = (kuinka paljon tyttöjä on enemmän), a = 1 (pojat) 7
9 Peruslaskutoimitukset Paljonko on p % a:sta? p b * a 100 Montako prosenttia b on a:sta? b p a *100 Mitään muita kaavoja ei tarvita prosenttilaskujen laskemiseen, jos osaa yhtälön ratkaisua! Esim. 4.4 Tuotteen hintaa alennetaan 10 %. Mikä on alennettu hinta, kun alkuperäinen on 38? 10 * 38 = 3, ,80 = 34,20 tai 100 % -10 % = 90 % = 0,9 0,9 * 38 = 34,20 Huom. Tällä kurssilla lasketaan yleensä tarkoilla arvoilla. Tällöin vastaukset saa pyöristää miten haluaa. Mitään ainoa oikeata ei ole edes olemassa. Tässä monistesarjassa on pyöristetty pienet hinnat sentteihin ja suuremmat eurojen tarkkuuteen, koska meillä annetaan yleisesti hinnat niin esimerkiksi kauppojen hintalapuissa. Prosenteissa on käytetty sen verran desimaaleja, että niillä on jotakin informaatioarvoa. Esim. 4. Palkkojen yleiskorotus on 2,3 %. Mikä on uusi palkka, kun aikaisempi oli 1 970? 2,3 *1970 4,31 (palkankorotus) ,31 = 2 01,31 tai 100 % + 2,3 % = 102,3 % = 1,023 (eli uusi palkka on 102,3 % alkuperäisestä) 1,023 * 1970 = 2 01,31 Esim. 4.6 Henkilön veroprosentti on 23 % ja bruttopalkka /kk. Kuinka paljon hänen palkasta pidätetään veroa kuukausittain? 23 * = 414 tai 0,23 * 1800 = 414 8
10 Harj. 4.1 Laske seuraavat tehtävät kertoimia käyttäen. a) Tuotteen hintaa korotetaan 14 %. Mikä on korotettu hinta, kun alkuperäinen on 28,60? b) Yrityksen liikevaihto laskee 8,2 %. Mikä on uusi liikevaihto, kun alkuperäinen oli 1,7 milj.? c) Myyjä saa provisiota 3, % myynnistä. Mikä on provisio, jos myynti on /kk? Esim. 4.7 Kuinka monta prosenttia 80 euroa on 30 eurosta? 80 * = 267 % tai 30 2, % Esim. 4.8 Tuotteen hinta nousee 2 eurosta 3 euroon. Montako prosenttia hinta nousee? 3 2 *100 2 = 40 % Esim. 4.9 Taajaman väkiluku laskee 7 800:sta 7 100:aan. Montako prosenttia väkiluku laskee? * = 9,0 % Huom. Muutosprosentin perusarvo on aina lähtötilanne (esim. alkuperäinen hinta, alkuperäinen väkiluku, aikaisempi liikevaihto ym.). 9
11 Esim Yhtiön hallituksessa on miestä ja 2 naista. a) Laske miesten ja naisten suhteelliset osuudet. b) Montako prosenttia miehiä on enemmän kuin naisia? c) Montako prosenttia naisia on vähemmän kuin miehiä? d) Montako prosenttia miesten määrä on naisten määrästä? a) 2 * 100 = 71 % miehiä * % naisia 7 7 b) 2 * % 2 c) 2 * % d) * % 2 Vertailut eivät ole ihan helppoja täytyy olla ainakin huolellinen! Harj. 4.2 Laske. a) Tuotteen hinta laskee 78 eurosta 60 euroon. Montako prosenttia hinta laskee? b) Montako prosenttia 90 on 4:stä? c) Henkilön bruttopalkka on euroa ja nettopalkka 1743 euroa. Mikä on veroprosentti? d) Montako prosenttia hinta nousee, kun se kolminkertaistuu? Harj. 4.3 Korissa on 7 punaista, 20 sinistä ja 2 keltaista palloa. a) Laske prosenttiosuudet. b) Montako prosenttia sinisiä palloja on enemmän kuin keltaisia? c) Montako prosenttia punaisten pallojen määrä on sinisten määrästä? 10
12 Prosenttilaskun sovelluksia Esim Matkan hintaa on korotettu 7 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun korotettu on 246,10? Jos tunnettaisiin alkuperäinen hinta, niin korotettu saataisiin kertoimella 1,07. Nyt täytyy käyttää yhtälön ratkaisua. 1,07 x = 246,10 //:1,07 x = 230 Tämän kaltaiset tehtävät on oppikirjassa (s ) esitelty lisätyn arvon nimellä. Esim Tuotteen hintaa on alennettu 1 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 38,2? Jos tunnettaisiin alkuperäinen hinta, niin alennettu saataisiin kertoimella 0,8. Nyt käytetään yhtälön ratkaisua. 0,8 x = 38,2 //:0,8 x = 4 Tämän kaltaiset tehtävät on oppikirjassa (s. 306) esitelty nimellä vähennetty arvo. Kaikki kahden edellisen esimerkin kaltaiset tehtävät voi ratkaista peruskaavoja ja yhtälönratkaisua apuna käyttäen. Näin ei tarvitse muistaa turhia kaavoja. Jos kuitenkin haluaa käyttää kaavoja, niin ne löytyvät oppikirjasta. Esim Hintaa alennetaan 20 % ja myöhemmin vielä 30 %. Laske lopullinen hinta, kun alkuperäinen on * 28,60 28,60 = 22,40 * 22, tai 6,72 22,40 6,72 = 1,68 0,8 * 28 = 22,40 tai 0,8*0,7*28 = 1,68 0,7 *22,40 = 1,68 Koska 0,8*0,7=0,6, niin uusi hinta on vanhasta 6 % ja kokonaisalennusprosentti 44 %. Huom. Jos prosenttilaskussa tekee mieli laskea prosenttilukuja yhteen tai vähentää, niin on syytä harkita vielä kertaalleen, onko se luvallista. Lupa heltiää vain siinä tapauksessa, että prosenttiluvuilla on sama perusarvo. Peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan yksitellen eli seuraava muutos lasketaan jo muuttuneesta luvusta. Oikaista voi kertoimet kertomalla. 11
13 Esim euron alkuperäinen pääoma kasvaa %:n korko 8 vuotta. Laske kasvanut pääoma kahdeksan vuoden kuluttua, kun korko lisätään pääomaan kerran vuodessa. Lasketaan kokonkorkoperiaatteella eli ensimmäisenä vuonna kasvanut pääoma kasvaa korkoa seuraavana vuonna jne. 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 000 = 8 1,0 * ,28 Jos muutosprosentti on kokoajan sama, niin potenssit nopeuttavat laskuja. Laskimesta b y potenssit löytyvät a, x tai ^. Esim. 4.1 Erä osakkeita myytiin 6000 eurolla. Myyntivoittoveroa (28 %) maksettiin 60 euroa. Mikä oli ostohinta ja paljonko tuli voittoa? 0,28 x = 60 //:0,28 x = 2000 (myyntivoitto) = 4000 (ostohinta) Esim Polttoaineen hintaa korotettiin ensin 8 % ja myöhemmin vielä 7 %. Mikä oli alkuperäinen hinta, kun korotettu on1,4 /l? 1,08 * x * 1,07 = 1,4 1,08 * 1,07 * x = 1,4 1,16 x = 1,4 //: 1,16 x = 1,248 /l Harj. 4.4 Laske. a) Tuotteen hinnasta annettiin 7 % alennusta. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 474,0? b) Tuotteen hintaa alennettiin 1 %. Mikä on alennus, jos alkuperäinen hinta on 60? c) Henkilön bruttopalkka on ja veroprosentti 21 %. Mikä on nettopalkka? 12
14 Harj. 4. Arvonlisävero on 22 % ja se lasketaan verottomasta hinnasta. a) Mikä on arvonlisävero, kun veroton hinta on 78? b) Mikä on veroton hinta, kun verollinen on 36,60? c) Mikä on verollinen hinta, kun veroton on 17? Harj. 4.6 Hintaa alennettiin ensin 1 % ja myöhemmin korotettiin 1 %. Montako prosenttia hinta muuttui? Prosenttiyksikkö Esimerkkejä käytöstä - työttömyysprosenttien vertailu - puolueiden kannatuksen vertailu - korkokannan muutokset Esim Puolueen kannatus nousi,6 %:sta 6,7 %:iin. a) Montako prosenttia kannatus muuttui? b) Montako prosenttiyksikköä kannatus muuttui? a) Oletetaan, että esimerkiksi mielipidetiedustelussa oli 1000 vastaajaa. Tällöin aluksi 6 (= 0,06 * 1000) on ilmoittanut kannattavansa kyseistä puoluetta ja myöhemmässä kyselyssä vastaava luku olisi 67 (= 0,067 * 1000). Lasketaan näistä muutosprosentti: 67 6 *100 19,6 % (kannatus nousi) 6 tai 6,7,6 *100 19,6 %,6 13
15 b) Muutoksen prosenttiyksiköissä voi laske prosenttiluvuista suoraan: 6,7 % -,6 % = 1,1 %-yksikköä (kannatus nousi) Prosenttiyksiköitä ei ole vaikea laskea, mutta yksikkö sana unohtuu tosi helposti. Esim Kun bruttopalkkaa korotettiin 8 %, kiristyi verotus 26 %:sta 2 %-yksiköllä. Korotuksen jälkeen palkasta jäi käteen 1244,16. Kuinka suuri oli käteen saatu nettopalkka ennen palkan korotusta? Bruttopalkka Verot Nettopalkka aluksi 26 % + 8 % lopuksi 28 % 1244,16 Huom. Verot lasketaan aina bruttopalkasta. Lasketaan ensin bruttopalkka lopuksi (Jos palkasta maksetaan 28 % veroa, niin käteen jää 72 %.): 0,72 x = 1244,16 x = 1728 Seuraavaksi lasketaan alkuperäinen bruttopalkka (Jos palkkaa on korotettu 8 %:lla, niin uusi palkka on 108 % alkuperäisestä.): 1,08 x = 1728 x = 1600 Vihdoin voidaan laskea vanha nettopalkka (Otetaan edellisestä verot pois.): 0,74 * 1600 = 1184 Esim Erään navigaattori merkin markkinaosuus oli 20 %. Seuraavana vuonna tämän merkin myynti kasvoi 10 % ja navigaattoreiden kokonaismyynti 40 %. a) Mikä on kyseisen merkin markkinaosuus jälkimmäisessä tilanteessa? b) Montako prosenttiyksikköä ja mihin suuntaan markkinaosuus muuttui? Valitaan alkuperäiseksi kokonaismyynniksi vaikka Voi tietenkin laskea myös kirjaimilla niin kuin lukiossa oli pakkokin. Tämä merkki Muut merkit Kokonaismyynti aluksi (= 0,2 * 10000) (= ) +10 % + 40 % lopuksi (=1,1 * 2000) (= ) (=1,4 * 10000) 2200 a) *100 1,7 % b) Laski 20 %:sta 1,7 %:iin eli 4,3 %-yksikköä. 14
TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn
TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN Katri Währn 2013 JOHDANTO Myyntityön koulutusohjelman matematiikan valintakoe perustuu koulumatematiikkaan riippumatta siitä, onko hakijan
LisätiedotSuhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.
PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.
Lisätiedot(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen
(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden
Lisätiedoti = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Jos vaikka kolmosta ei tiedettäisi, sen saisi ratkaisua jakolaskulla
1 PROSENTTILASKUN PERUSTAPAUKSET 1. Prosenttilaskun perusyhtälö i a = b, jossa i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Kun kaksi kolmesta tunnetaan, voidaan kolmas aina ratkaista
Lisätiedot1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100
1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl
Lisätiedot1 PROSENTTILASKENTAA 7
SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö
Lisätiedot1 PROSENTTILASKENTAA 7
SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö
LisätiedotKORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)
Lisätiedot6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU
6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU Murtoluku Sekaluku Osoittaja Nimittäjä Kokonaisosa Murto-osa Murtoluvun muuttaminen Jos murtoluvun osoittaja on suurempi
LisätiedotProsenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja
Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja 1. Italialainen design-laukku maksaa euroa ja vastaava piraattituote 60 euroa. Kuinka monta prosenttia a) design-laukku on piraattilaukkua kalliimpi b) piraattilaukku
LisätiedotProsentti- ja korkolaskut 1
Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?
LisätiedotVastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3.
Vastaukset. a) 5 b) 4 c) d) -. a) x + = 8 b) x - = -6 c) - x = 4 d) 0 - x =. a) 4 b) c) 5 d) 8 4. a) x 8 b) 5x 5 x c) 5 x d) 6 5. a) kyllä b) ei c) kyllä d) ei 6. a) x x x b) x x x 0 0 0 x c) x x x x 00
LisätiedotProsenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?
PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta
LisätiedotPERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
LisätiedotProsenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?
PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100
Lisätiedot11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja.
113 11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. Esim. Kun sulatetaan 63 g kuparia ja 37 g sinkkiä, saadaan 100 g messinkiä. 63 100 = 114
LisätiedotLaskentaa kirjaimilla
MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Tampereen kesäyliopisto, syksy 2016 Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 1. harjoitus, (la 29.10.2016) 1. Laske seuraavat laskut. Laske kukin lasku ensin käsin kynää ja paperia käyttäen. Anna vastaukset
LisätiedotPolynomi ja yhtälö Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x. Ratkaisu a) 7a b) 12x c) 6x + 6
Polynomi ja yhtälö 103. Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x a) 7a b) 12x c) 6x + 6 104. Ratkaise yhtälöt. a) 2x + 3 = 9 b) 8x + 2 = 5x + 17 a) 2x + 3 = 9 3 2x = 6 : 2 x = 3 b) 8x + 2 = 5x + 17 2
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1
Lisätiedot1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48
Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 3.1 137. 138. a) Yhtiövastikkeesta on rahoitusvastiketta 40 % ja hoitovastiketta 60 %. Ilmaistaan 60 % desimaalilukuna. 60 % = 0,60 Lasketaan hoitovastikkeen määrä euroina. 0,60
LisätiedotKuutio % Kappaleet kertaus
Kuutio % Kappaleet 1-6 + kertaus % 1 1. Prosentti 1 % = 1 100 = 0,01 Prosentti on sadasosa. 2 % = = 20 % = = Alleviivattu muoto on 200 % = = nimeltään prosenttikerroin Esimerkki 1. Kuinka monta prosenttia
LisätiedotEksponenttiyhtälö ja logaritmi
Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 225. Valitse yhtälölle oikea ratkaisu. a) 3 = 9 b) 7 = 7 c) 2 = 16 = 1 = 2 = 3 = 4 a) = 2 b) = 1 c) = 4 226. Päättele yhtälön ratkaisu. a) 10 = 100 b) 10 = 1 000 000 c) 10
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotPerustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko
MAA1 Koe 2.9.2015 Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko Jussi Tyni A-osio. Ratkaise tehtävät tähän monisteelle! Ei
Lisätiedot1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c)
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 PERUSLASKUTAITOJA ALOITA PERUSTEISTA A. a) 5 = 5 = Vastaus: b) ( 6 + 5) = ( ) = Vastaus: c) 0 0 6 Vastaus: 6 d) 8 + 8 : = 8
Lisätiedot9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden
LisätiedotMa9 Lausekkeita ja yhtälöitä II
Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen
LisätiedotHuippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Hank maksaa kunnallisveroa 22 % verotettavasta tulostaan eli 0,22 52 093,84 = 11 460,6448 11 460,64. Hank maksaa kunnallisveroa 11 460,64. Vastaus: 11 460,64 K2. Kimin maksaman
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotKORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus
Lisätiedot8 8 x = x. x x = 350 g
PERUSPROSENTTILASKUT Esimerkki. Kuinka paljon koko pitsa painaa? Mistä määrästä 8 % on 28 grammaa? 100 % 8 %? g 28 g % g 8 28 100 x 8 8 x = 100 28 100 28 x 100 28 8 x x = 350 g TEHTÄVIÄ 1. Laske. a) 5
LisätiedotProsenteilla vertaaminen
Prosenteilla vertaaminen 61. Eevalla on 20 ja hän saa lisää toiset 20. Kuinka monta prosenttia Eevan rahasumma kasvaa? a) 20 % b) 50 % c) 100 % 20 a) 1 100% 20 62. Kuinka monta prosenttia a) 100 on suurempi
LisätiedotOpettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2
Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-
LisätiedotOpettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 9.1 ke 11.1 ma 16.1 ke 18.1 ma 23.1 ke 25.1 ma 30.1 ke 1.2 ma 6.2 ke 8.2
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotHuom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
Lisätiedot6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %
6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...
LisätiedotMAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.
MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotHUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT
1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotNELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
Lisätiedotniin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
LisätiedotMABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005
MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset 5 2.1 Lukujoukot................................ 5 2.2 Peruslaskutoimitukset.......................... 6 2.3
LisätiedotRatkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2
Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku
Lisätiedot16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu
Talousmatematiikka Kotitehtävät 2 - Pakollisten tehtävien ratkaisut 1. Laske valtion tulovero, kunnallisvero, kirkollisvero ja sairausvakuutusmaksu taulukon jokaisen rivin tilanteessa. Laske myös kuinka
Lisätiedot4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?
Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta
Lisätiedot1. Kymmenjärjestelmä ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslaskua
. Kymmenjärjestelmä ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslaskua. Jatka. + 00 000 0 0 0 0 0 0 0 000 + 0 000 0 0 0 0 0 0 0 + 0,0,,,,,,0 0,,,,,,, + 0,,,0,,0,,00. Merkitse laskutapa ja laske. a), +, + 0,,
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotKahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.
10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein
LisätiedotLyhyt, kevät 2016 Osa A
Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotPotenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
Lisätiedot1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
Lisätiedotsin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotYHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus
YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 28.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 28.1.2009 1 / 28 Esimerkki: murtoluvun sieventäminen Kirjoitetaan ohjelma, joka sieventää käyttäjän antaman murtoluvun.
LisätiedotPotenssiyhtälö ja yleinen juuri
Potenssiyhtälö ja yleinen juuri 253. Tutki sijoittamalla, mitkä luvuista ovat yhtälön ratkaisuja. a) x 2 = 1 b) x 3 = 8 x = 2 x = 1 x = 1 x = 2 x 2 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 2 = 1 ja ( 1) 2 = 1 x 3 =
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."
Lisätiedot1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8
SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotA-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.
MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
LisätiedotRationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
LisätiedotAmmatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu
MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
LisätiedotHUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ TIEDOT JA ESIMERKIT:
1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotLAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015
PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske
LisätiedotMAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT
MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä
Lisätiedot5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö
5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
Lisätiedot1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1
Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
Lisätiedotmatematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne
matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne 1 Turun kristillisen opiston oppimateriaaleja -sarja Tekijä: Eeva Rinne Julkaisija: Turun kristillisen opiston säätiö, Lustokatu 7, 20380 Turku. www.tk-opisto.fi
LisätiedotAmmatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu
MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,
Lisätiedot6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %
6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...
Lisätiedot1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9
Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia 3 Peruslaskutoimitukset luvuilla 3 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5 Prosentti 7 Prosenteilla vertaaminen 9 Kuvaaminen koordinaatistossa 11 2 Lausekkeesta yhtälöksi
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot