Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II"

Transkriptio

1 Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita potenssimerkintää käyttäen. m m m m m ( 00) ( 00). Merkitse ja laske luvun 7 neliö 00 kuutio 6 neliöjuuri 7 kuutiojuuri.. Kirjoita ilman kymmenpotenssia ja laske e) f) , Kirjoita kymmenpotenssimuodossa , , Marika Toivola, Tiina Härkönen, CC BY.0

2 .6 Sievennä. b b b a b c c b b b a b c a c c.7 Esitä juurimuodossa. e) f) 8 7 ( + x) + x x ( x).8 Esitä luvun potenssina..9 Sievennä ottamalla juuren alta pois kaikki mahdolliset luvut Marika Toivola, Tiina Härkönen, CC BY.0

3 .0 Muuta yksinkertaisempaan muotoon ilman laskinta Millä x:n arvoilla lausekkeet on määritelty? x x + + x x +. Kirjoita desimaalilukuna. %, % 0 % 9 %. Kirjoita desimaalilukuna. 00 8, 60. Montako prosenttia on luku on luvusta luku 6 on luvusta 80 luku on luvusta?. Hintoja alennettiin %. Laske tuotteiden uudet hinnat, kun alkuperäiset hinnat olivat,0 7,0. Marika Toivola, Tiina Härkönen, CC BY.0

4 .6 Montako prosenttia patongissa on suolaa, kun 00 gramman patonkitaikinaannoksessa on suolaa 0 grammaa?.7 Mikä on koko luku, jos % jostakin luvusta on 6, 0?.8 Henkilö jäi kiinni rattijuopumuksesta. Hänen humalatilansa oli, promillea. Laske, paljonko henkilön veressä oli puhdasta alkoholia, jos hänessä on verta noin,7 litraa..9 Tietokilpailussa vastaukset soitetaan palvelunumeroon. puhelun hinta on 0,6 /min + paikallispuhelumaksu. Kilpailun palkintojen yhteisarvo on 6700 Oletetaan, että kilpailun järjestäjä saa itselleen 7 % edellä mainitusta maksusta 0,6 /min ja että yksi puhelu kestää keskimäärin minuuttia. Kuinka monta soittoa järjestäjän on saatava palkintojen arvon keräämiseen? (yo syksy 998).0 Suolavesi painaa 90 kg ja siinä on 6,0 % suolaa. Suolapitoisuus on pienennettävä, %:iin vettä lisäämällä. Kuinka paljon vettä on lisättävä? (pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen, syksy 99). Montako prosenttia luku on pienempi kuin luku 8 luku 8 on suurempi kuin luku?. Montako prosenttia saat alennusta, jos joudut maksamaan 6 euron housuista 9,0 euroa?. Erään puolueen kannatus nousi 0 prosentista 0 prosenttiin. Paljonko kannatus kasvoi prosenttiyksikköinä prosentteina? Marika Toivola, Tiina Härkönen, CC BY.0

5 . Perintö- ja lahjaveroasteikko (vuonna 00) perinnön verotettava arvo [ ] vero alarajalla [ ] vero alarajan ylittävästä osasta [%] Rintaperilliset (vanhemmat, puolisot, lapset ja lapsenlapset) maksavat perintöveroa taulukon mukaisesti. Vero on kaksinkertainen sivuperillisille (esim. sisarukset ja sisarusten lapset) ja muille vero on kolminkertainen. Paljonko perintöveroa joutuu maksamaan Elli, jolle mummo on testamentannut Jyri, jolle isä on lahjoittanut 000 Jenny, jolle isän pikkuserkku on testamentannut :n arvoisen asunnon?. Määritä sellaisen neliön sivun pituus, jonka pinta-ala kasvaa,0 m, kun sivu kasvaa 0,0 %. (pääsykoetehtävä insinöörikoulutukseen, kevät 996).6 Koulutuslinjalle hyväksytyistä 07 opiskelijasta oli naisopiskelijoita % enemmän kuin miesopiskelijoita. Määritä nais- ja miesopiskelijoiden määrät muodostamalla sopiva yhtälö ja ratkaisemalla tämä. (yo kevät 00).7 Mikä on uusi hinta, kun hintaa x alennetaan % alennetaan % korotetaan, % korotetaan 60 %?.8 Montako prosenttia luku a on luvusta b luku a on suurempi kuin b luku b on pienempi kuin a?.9 Montako prosenttia luku 0,a on luvusta a,a on luvusta a Marika Toivola, Tiina Härkönen, CC BY.0

6 a on luvusta,0a 0,66a on luvusta a?.0 Autoilija, jolla on 70 % bonus (eli alennus vakuutusmaksuist, maksoi liikennevakuutusmaksua 07,0 vuodessa. Kuinka paljon hän olisi joutunut maksamaan, ellei hänellä olisi ollut lainkaan bonuksia? (yo syksy 99). Karamellipakkausta muutettiin siten, että sisältöä vähennettiin neljänneksellä. Samalla pakkauksen hintaa alennettiin kolmanneksella. Kuinka monta prosenttia karamellien kilohinta tällöin aleni? (yo syksy 987). Tuotteen hintaa korotetaan kolmesti p %, mikä nostaa hinnan kaksinkertaisesti. Määritä korotusprosentti p. (yo syksy 998). Rusinoita saadaan viinirypäleistä kuivattamalla. Kuinka monta prosenttia rypäleiden vedestä haihtuu kuivatuksessa, kun rypäleiden vesipitoisuus on 8 painoprosenttia ja rusinoiden painoprosenttia? (yo kevät 997). Eräällä laivalinjalla matkustajamäärä väheni % edellisvuodesta. Kuinka monta prosenttia matkustajamäärän pitäisi kasvaa, jotta päästäisiin entiseen määrään? (yo kevät 99) Marika Toivola, Tiina Härkönen, CC BY.0

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut? Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta

Lisätiedot

Prosenttilaskentaa osa 2

Prosenttilaskentaa osa 2 Prosenttilaskentaa osa 2 % 1 9. Perusarvon laskeminen Perusarvo = alkuperäinen arvo Esimerkki 1. Mikä on a) luku, josta 72 % on 216 b) aika, josta 40 % on 38 min c) matka, josta 5 % on 400 m Esimerkki

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Vastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3.

Vastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3. Vastaukset. a) 5 b) 4 c) d) -. a) x + = 8 b) x - = -6 c) - x = 4 d) 0 - x =. a) 4 b) c) 5 d) 8 4. a) x 8 b) 5x 5 x c) 5 x d) 6 5. a) kyllä b) ei c) kyllä d) ei 6. a) x x x b) x x x 0 0 0 x c) x x x x 00

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin HAAGA-HELIA MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin Katri Währn Kevät 2012 1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto-

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Kuutio % Kappaleet kertaus

Kuutio % Kappaleet kertaus Kuutio % Kappaleet 1-6 + kertaus % 1 1. Prosentti 1 % = 1 100 = 0,01 Prosentti on sadasosa. 2 % = = 20 % = = Alleviivattu muoto on 200 % = = nimeltään prosenttikerroin Esimerkki 1. Kuinka monta prosenttia

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

2. Luvut. 3 pullollista, joten Timo tarvitsee 25 pulloa litrasta saadaan 17 24, 186. a) 4

2. Luvut. 3 pullollista, joten Timo tarvitsee 25 pulloa litrasta saadaan 17 24, 186. a) 4 LISÄTEHTÄVÄT. Luvut. Kokonaisluvun n tekijät löydetään jakamalla n yksi kerrallaan kaikilla kokonaisluvuilla ykkösestä suurimpaan mahdolliseen kokonaislukuun, joka on korkeintaan n. Jos jakolasku menee

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 3.1 137. 138. a) Yhtiövastikkeesta on rahoitusvastiketta 40 % ja hoitovastiketta 60 %. Ilmaistaan 60 % desimaalilukuna. 60 % = 0,60 Lasketaan hoitovastikkeen määrä euroina. 0,60

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 11.11.2010 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 3: Kerrataan ja sovelletaan

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 3: Kerrataan ja sovelletaan Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio : Kerrataan ja sovelletaan Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Kerrataan ja sovelletaan.desimaaliluvut....tekijöihin

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN Katri Währn 2013 JOHDANTO Myyntityön koulutusohjelman matematiikan valintakoe perustuu koulumatematiikkaan riippumatta siitä, onko hakijan

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

AMMATIKKA top 16.11.2006

AMMATIKKA top 16.11.2006 AMMATIKKA top 16.11.2006 Toisen asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU Nimi Oppilaitos Koulutusala Luokka Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka ja liikenne: O 2.

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)

Lisätiedot

11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja.

11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. 113 11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. Esim. Kun sulatetaan 63 g kuparia ja 37 g sinkkiä, saadaan 100 g messinkiä. 63 100 = 114

Lisätiedot

6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU

6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU 6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU Murtoluku Sekaluku Osoittaja Nimittäjä Kokonaisosa Murto-osa Murtoluvun muuttaminen Jos murtoluvun osoittaja on suurempi

Lisätiedot

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT

HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT 1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c)

KOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c) KOKEITA KURSSI MATEMATIIKAN KOE KURSSI (A). Kirjoita potenssimerkintдnд a) 9 9 9 9 9 b) ( ) ( ) ( ) c) 7 7 7... 7 d) luvun 8 neliц e) luvun kuution vastaluku. 77 kpl. Laske lausekkeen a b arvo, kun a)

Lisätiedot

Sijoittajan perintöverosuunnittelu

Sijoittajan perintöverosuunnittelu Sijoittajan perintöverosuunnittelu Katariina Sorvanto Lakimies Veronmaksajat Mistä perintö- ja lahjaveroa maksetaan? Yleensä kun joko perinnönjättäjä tai -saaja tai lahjanantaja tai -saaja asui kuolinhetkellä/lahjoitushetkellä

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 17.11.2011 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja 1. Italialainen design-laukku maksaa euroa ja vastaava piraattituote 60 euroa. Kuinka monta prosenttia a) design-laukku on piraattilaukkua kalliimpi b) piraattilaukku

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu Talousmatematiikka Kotitehtävät 2 - Pakollisten tehtävien ratkaisut 1. Laske valtion tulovero, kunnallisvero, kirkollisvero ja sairausvakuutusmaksu taulukon jokaisen rivin tilanteessa. Laske myös kuinka

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 17.11.2011 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 15.11.2012 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 13.11.2008 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko

Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko MAA1 Koe 2.9.2015 Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko Jussi Tyni A-osio. Ratkaise tehtävät tähän monisteelle! Ei

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Osa A 1. Määritellään funktio f(x)=x 3 2x 2 +x+7. a) Laske f(1). b) Laske f (2).

MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Osa A 1. Määritellään funktio f(x)=x 3 2x 2 +x+7. a) Laske f(1). b) Laske f (2). 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 14.11.2013 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

3. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO

3. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO . PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO. Prosenttikerroin LUO PERUSTA 0. a) 56 % = 0,56 b) 0, % = 0,00 c),9 % = 0,09 d) 0 % =, Vastaus: a) 0,56 b) 0,00 c) 0,09 d), 0. A: 00 % + 5 % = 05 % =,05 = 05. Vaihtoehdot

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

Mab7_Osa2_Verotus.notebook. April 16, 2015. Suvi Ilvonen 1. huhti 21 10:42

Mab7_Osa2_Verotus.notebook. April 16, 2015. Suvi Ilvonen 1. huhti 21 10:42 huhti 21 10:42 Suvi Ilvonen 1 huhti 21 10:42 Suvi Ilvonen 2 huhti 21 10:42 Suvi Ilvonen 3 huhti 21 10:43 Suvi Ilvonen 4 Valtion tulovero vuonna 2015 Verotettava ansiotulo, euroa Vero alarajan kohdalla,

Lisätiedot

i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Jos vaikka kolmosta ei tiedettäisi, sen saisi ratkaisua jakolaskulla

i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Jos vaikka kolmosta ei tiedettäisi, sen saisi ratkaisua jakolaskulla 1 PROSENTTILASKUN PERUSTAPAUKSET 1. Prosenttilaskun perusyhtälö i a = b, jossa i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Kun kaksi kolmesta tunnetaan, voidaan kolmas aina ratkaista

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 9.1 ke 11.1 ma 16.1 ke 18.1 ma 23.1 ke 25.1 ma 30.1 ke 1.2 ma 6.2 ke 8.2

Lisätiedot

Perintö- ja lahjaverotus keveni. Juha Koponen johtava lakimies

Perintö- ja lahjaverotus keveni. Juha Koponen johtava lakimies Perintö- ja lahjaverotus keveni Juha Koponen johtava lakimies Perintö- ja lahjaverotus Historiasta käyttöön v. 1919 aluksi määräaikainen laki nykyinen laki v. 1940 lukuisia muutoksia Miksi verotulot perinnön/lahjan

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Sijoittajan perintö- ja lahjaverosuunnittelu. Juha-Pekka Huovinen Veronmaksajain Keskusliitto + Verotieto Oy

Sijoittajan perintö- ja lahjaverosuunnittelu. Juha-Pekka Huovinen Veronmaksajain Keskusliitto + Verotieto Oy Sijoittajan perintö- ja lahjaverosuunnittelu Juha-Pekka Huovinen Veronmaksajain Keskusliitto + Verotieto Oy I veroluokan lahja- ja perintöveroasteikot Lahja: Verotettavan osuuden Veron määrä Veroprosentti

Lisätiedot

AMMATIKKA top

AMMATIKKA top AMMATIKKA top 6..006 Toisen asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU Nimi Oppilaitos Koulutusala Luokka Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Tekniikka ja liikenne: O. Matkailu-,

Lisätiedot

ELINTARVIKKEET ELT301 LISÄTIETOKYSYMYKSET JA VASTAUKSET

ELINTARVIKKEET ELT301 LISÄTIETOKYSYMYKSET JA VASTAUKSET ELINTARVIKKEET ELT301 LISÄTIETOKYSYMYKSET JA VASTAUKSET Kysymys 1 Liite 1, Positiot: 118 Sekamehutiiviste, täysmehupitoisuus 35 % 15 000 10,0 l 119 Sekamehutiiviste, täysmehupitoisuus 65 % 12 000 10,0

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT TEHTÄVÄT 1.a) Oheisessa kuviossa janat ja janoihin liittyvät luvut kuvaavat pisteiden välisiä reittejä

Lisätiedot

Untitled.notebook. April 16, 2015. laakso jarno. huhti 21 10:42

Untitled.notebook. April 16, 2015. laakso jarno. huhti 21 10:42 huhti 21 10:42 huhti 21 10:42 huhti 21 10:42 huhti 21 10:43 Verotettava ansiotulo, euroa Valtion tuloveroasteikko 2015 Vero alarajan kohdalla, euroa 16 500 24 700 8 6,5 Vero alarajan ylittävästä tulon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ

3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ 3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Säännön mukaan äänenvoimakkuus kaksinkertaistuu, kun äänilähteiden määrä 10-kertaistuu. Saksofonisteja tarvitaan 1 10 = 10. Vastaus: 10 saksofonistia 2.

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Avio-oikeus jäämistösuunnittelussa

Avio-oikeus jäämistösuunnittelussa Avio-oikeus jäämistösuunnittelussa Lakipäivät avajaistapahtuma 9.10.2017 Juhani Laine lakimies, tiiminvetäjä, OTT 11.10.2017 1 Jäämistösuunnittelu mitä se on? Toimenpiteitä, joilla vaikutetaan jäämistön

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01 KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa:

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa: Kevään Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Nämä ratkaisut tehty alusta loppuun TI-Nspire CX CAS -ohjelmistolla ja tallennettu lopuksi PDF -muotoon. Tarkoituksena on havainnollistaa,

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe 1.6.2010 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET: 1. Koeaika on 2 tuntia (klo 12.00 14.00). Kokeesta saa poistua aikaisintaan

Lisätiedot

Ammattimatematiikan tuki

Ammattimatematiikan tuki Ammattimatematiikan tuki 1) Kuinka monta prosenttia a) 350 grammaa on 15 kilogrammasta b) 20 euroa on 260 eurosta c) 15 minuuttia on 3 tunnista d) 80 senttiä on 20 eurosta e) 56 senttimetriä on 3,2 metristä?

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot