1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

Transkriptio

1 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen asteen yhtälö Lineaarisia funktioita 41 Funktio 41 Kustannukset ja tuotto 44 Kysyntä ja tarjonta Ei-lineaarisia funktioita 53 Polynomifunktioita 54 Rationaalifunktioita 60 Eksponentti- ja logaritmifunktioita Derivaatta 69 2 LUKUJONOT 77 Peruskäsitteitä 78 Aritmeettinen lukujono 79 Geometrinen lukujono ja sarja 84 3 KORONKORKOLASKENTAA 93 Kasvanut ja alkuperäinen pääoma 95 Konformiset ja relatiiviset korkokannat 102 Jaksolliset suoritukset 109 Tasaerälaina 116

2 4 INVESTOINTILASKELMIA 123 Peruskäsitteitä 124 Nykyarvomenetelmä 125 Annuiteettimenetelmä 128 Sisäisen korkokannan menetelmä 131 Menetelmien vertailua TILASTOT Perusteita 138 Tilasto 138 Peruskäsitteitä 141 Aineiston kerääminen Tilastojen esittäminen 147 Taulukointi 147 Graafinen esittäminen Tunnuslukuja 170 Sijaintiluvut 170 Hajontaluvut Todennäköisyyslaskentaa 185 Todennäköisyyden käsite 185 Laskusääntöjä 190 Odotusarvo Tilastollinen riippuvuus 201 Korrelaatio 202 Korrelaatiokerroin 206 Regressiosuora Aikasarjat 218 Aikasarjan vaihtelukomponentit 219 Trendi 221 Kausivaihtelut 229 Aikasarjan yhdenmukaistaminen Tilastollinen tutkimus VASTAUKSIA 241

3 Jotta grilliyrittäjä voisi laskea eri hintoja vastaavat myyntitulot, hänen on muodostettava funktio, joka ilmoittaa kysynnän määrän hinnan mukaan. Suoraa vastaava funktio on ensimmäistä astetta, joten se on muotoa q = ap + b missä a ja b ovat vakioita. Nämä vakiot saadaan selville sijoittamalla p:n ja q:n paikalle vuorotellen tunnetut arvot. { 90 = a 6 + b 30 = a 12 + b Saadun yhtälöparin ratkaisu on a = 10 ja b = 150, joten kysyntäfunktio on q = 10p Funktion avulla yrittäjä voi laskea eri hintoja vastaavat kysynnät. Lisäksi kertoimesta 10 ilmenee, että hinnan nosto yhdellä markalla vähentää kysyntää 10 kappaleella. Lasketaan vielä taulukkolaskentaohjelmalla eri hintoja vastaavat myyntitulot. Hinta voisi olla myös esim. 50 pennin välein. (Samasta ohjelmasta olisi saanut kuvion piirtämisen yhteydessä myös kysyntäfunktion.)

4 3 KORONKORKOLASKENTAA Matkailuyrityksesi käynnistämiseksi tarvitset luonnollisesti rahoitusta. Päädyt laskelmissasi mk:n lainaan. Suunnittelet maksavasi lainan 5 vuodessa niin, että puolivuosittain maksettava vakiosumma sisältää koron ja lyhennyksen. Kuinka suuri on puolivuosittain maksettava summa, jos vuosikorko on 6 %? Entä kuinka paljon lainasta menee korkoa kaikkiaan? Niin yksityisissä yrityksissä kuin julkisellakin sektorilla rahoitus: tehdyt investoinnit, sijoitukset, lainat, näyttelee pääosaa koko toiminnan kannalta. Finanssimatematiikan tarjoamia menetelmiä käytetään esim. laskettaessa suunnitellun investoinnin kannattavuutta, verrattaessa eri investointimahdollisuuksia, laskettaessa lainojen takaisinmaksueriä, arvioitaessa tuottoa sekä määritettäessä verotusarvoa tiettynä ajankohtana. Tämän luvun tavoitteena on luoda käsitys koronkoron vaikutuksesta ajan mukana sekä antaa laskennalliset valmiudet suoriutua pääomien ja erilaisten jaksollisten maksujen arvon määrittämisestä eri ajankohtina. Tässä niinkuin yleensäkin matematiikan opiskelussa on tärkeää ymmärtää käsiteltävä asia. Ei ole suurtakaan hyötyä opetella kaavoja ulkoa. Menetelmien hallinta ja hyväksikäyttö edellyttävät sekä kokonaisuuden että yksityiskohtien ymmärtämistä. Tulosten tulkintaan ja terveen järjen käyttöön ei koskaan kiinnitetä liikaa huomiota.

5 12 %:n vuotuista korkokantaa vastaava relatiivinen puolivuosittainen korkokanta on 6 %. Puolivuosittaista 6 %:n korkokantaa vastaava kasvanut pääoma vuoden kuluttua on 1, = (mk) Relatiivinen korkokanta antaa suuremman kasvaneen pääoman. Jos korko maksetaan m kertaa korkojakson (yleensä vuosi) aikana, niin relatiivinen korkokanta on p % = i m m missä p = korkojakson (yleensä vuotuinen) korkokanta i = korkojakson (yleensä vuotuinen) korkokanta desimaalimuodossa. Jos korkojaksoja (vuosia) on n kappaletta, niin kasvanut pääoma n vuoden jälkeen on K = (1 + i m ) m n k Esim.3.12 Opintolainan määrä on mk ja korkokanta 7,2 %. Puolivuosittain erääntyvä korko lisätään lainapääomaan. Lasketaan lainan määrä kolmen vuoden kuluttua. k = mk i = 0,072 n = 3 m = 2 0,072 K = (1 + ) = 1, ,78 (mk) 2 Jos tunnetaan esimerkiksi kuukausittainen korko tai tuotto, niin vastaavaa vuosituottoa laskettaessa on usein matemaattisesti perustellumpaa käyttää konformista vuosikorkoa kuin relatiivista vuosikorkoa.

6 Korttipakasta vedetään yksi kortti satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys, että saatu kortti on a) pata b) 10 c) ristiässä d) kuvakortti e) muu kuin kuvakortti f) ässä tai kuningas g) pataässä tai ruutu 10? Luokan arpajaisissa on 200 arpaa, joista vain yksi on voittoarpa. A ostaa 15, B 2, C 6 ja D 8 arpaa. Mikä on todennäköisyys, että a) A voittaa b) B tai C voittaa c) joku mainituista voittaa? Tarkastellaan tehtävän 5-50 aineistoa. Millä todennäköisyydellä a) satunnaisesti valittu tulonsaaja on nainen b) satunnaisesti valitun tulonsaajan vuositulo on alle mk c) satunnaisesti valitun tulonsaajan vuositulo on vähintään mk d) satunnaisesti valitun naisen vuositulo on alle mk e) satunnaisesti valitun miehen vuositulo on alle mk? Tutkittaessa mainoksen tehoa kysyttiin asiakkailta, olivatko he nähneet mainoksen ja olivatko ostaneet mainostettua tuotetta. Vastausten lukumääristä saatiin taulukko Oli nähnyt Ei ollut nähnyt mainoksen mainosta Osti tuotetta Ei ostanut tuotetta Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas a) oli nähnyt mainoksen b) osti tuotetta c) oli nähnyt mainoksen ja osti tuotetta d) oli nähnyt mainoksen ja ei ostanut tuotetta e) ei ollut nähnyt mainosta ja osti tuotetta.

7 asteen) r 2 = 100r 2 % avulla. Regressiomallin avulla on syytä tehdä ennusteita vain suunnilleen havaintoarvojen suuruusluokkaa olevilla arvoilla, koska muuttujien käyttäytymisestä ei ole tietoa vaihteluvälin ulkopuolella. Esimerkiksi ihmisen pituus riippuu iästä 0 5-vuotiailla aivan eri tavoin kuin 30-vuotiailla. Regressiosuoran kertoimet voidaan aina määrittää, mutta ennen regressiomallin käyttöönottoa on todettava riippuvuuden lineaarinen luonne. Mikäli havaintoparien joukossa on joku suuresti muista poikkeava arvo, saattaa olla mielekästä jättää se regressiosuoraa laskettaessa pois. Näin saatu suora kuvaa yleensä havaintoaineistoa paremmin kuin poikkeavan havainnon sisältävä suora. Excelillä regressiosuoran yhtälön voi muodostaa hajontakuvion yhteyteen seuraavasti: Piirretään ensin hajontakuvio luomalla ohjattu kaavio Piste (XY) Aktivoidaan hajontakuvion pisteet, jonka jälkeen valitaan Lisää ja Trendiviiva. Kun trendiviivan Asetuksista valitaan Näytä kaava kaaviossa ja Näytä korrelaatiokertoimen arvo kaaviossa, saadaan regressiosuoran yhtälö ja selitysaste näkyviin. Regressiosuoran x:n kertoimen b ja vakion a voi laskea myös ohjatulla funktiolla LINREGR. Eri x:n arvoja vastaavat regressiomallin mukaiset y:n arvot voi laskea tilastofunktioilla SUUNTAUS ja ENNUSTE.