Vastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3."

Transkriptio

1 Vastaukset. a) 5 b) 4 c) d) -. a) x + = 8 b) x - = -6 c) - x = 4 d) 0 - x =. a) 4 b) c) 5 d) 8 4. a) x 8 b) 5x 5 x c) 5 x d) 6 5. a) kyllä b) ei c) kyllä d) ei 6. a) x x x b) x x x x c) x x x x a) x = 4 b) x = 5 c) x = a) on 97

2 b) ei c) on d) ei 0. x = 0. a) x = b) x = 6 c) x = -6 d) x =. a) x 0 b) x c) y d) y 4. x x x 80 x x = 5. a) x = 9 b) x = 8 dl c) x = 7 kg a) b) 8. x 9. a) x = 9 b) x = 6 0. x = 98

3 . 9. a) kuutio kg ja kartio 6 kg b) kuutio kg ja kartio 4 kg. Ainoa juuri on x = Luku 4 on yhtälön juuri, jos a ( 4) eli 6a 8 0, josta saadaan, että a. 5. a) 4x b) x c) x 4 d) x 9 6. a) x b) x c) x d) x e) x 7. a) x = 8 b) x = 9 c) x = d) x = -6 e) x = - 8. a) a = 4 b) b = c) c = d) d = e) e 9. a) 5 kg b) kg c) kg d) kg 0. 99

4 a) x = b) x = - c) x = d) x = -4. a) 8 b) 5 c) d) 0. a) x 4 b) y 5 c) x 8 d) y. a) x 0 b) x 9 c) z d) z e) y 7 4. a) 4 kg b) kg c) kg 5. a) x = 0 b) x = 0 c) x = - d) x = 6. a) x = b) x = c) y = 5 d) y = 0 7. a) pallo,5 kg ja kartio kg b) pallo 6 kg ja kartio kg

5 9. Yhtälön kaikkien termien etumerkki vaihtuu, mutta sen juuri pysyy samana. 40. a) x 5 b) x 5 c) x = () 4. x = 7 4 () 44. a) 5 b) c) A ja B 45. b a) x a a b) x b c) x = b a a b d) x 46. x = 0, x = x 9 7 () Yhtälön x 0 ratkaisu: x 0 x x 0

6 Sijoitetaan x lausekkeeseen x 6x 5 ja lasketaan sen arvo: ( ) 6( ) Vastaus: a) a b) 6a c) 6a 0 d) 5a a 50. a) x 5 b) 8x c) x 8 d) x x 5. Suoritusjärjestys Tehtävä Siirrä termit Yhdistä termit 4 Ratkaise tuntematon 5 Tarkista tulos Poista sulkeet 5. a) x = b) x = c) x = 5 d) x = 0 5. a) x = b) x = 0 c) x = 5 d) x = 54. a) x = 5 b) x = c) x = 6 d) x = 55. a) x = 6 b) x = c) x = 0

7 d) x = 5 e) x = a) y = b) y = 4 c) y = d) y = e) y = 57. a) x = 5 b) x = c) x = 8 d) x = a) x = 4 b) x = c) x = d) x = 59. a) x = b) x = 5 c) x = 9 d) x = a) x 5 b) x 5 c) x = - d) x 6. a) b) c) d) e) u t 5 z 4 v w 5 0

8 6. a) x = 4 b) x = 6 c) x = - d) x = a) b) x x c) x = -7 d) x = a) x = b) x = c) x = 4 d) x = a) x = 9 b) x a) 8 b) 5 c) x a) x b) x Koska luku x = - on yhtälön ( p) ( ) 9 p 9 p 8 8 p p 6 x( x p) x juuri, toteuttaa se yhtälön. 04

9 70. a) b) c) d) a) x = 8 b) x = 6 c) x = 5 d) x = 0 7. a) x = 8 b) x = -8 c) x = -0 d) x = 6 7. a) x = 9 b) x = c) x = 0 d) x = a) x = 6 b) x = c) x = -0 d) x = a) x 4 b) x = 6 4 c) x 9 d) x = 76. a) x = 0 b) x = 5 c) x = 7 05

10 d) x = a) x = 9 b) x = 8 c) x = 6 d) x = a) x = b) x = 8 c) x = - d) x 79. a) x 4 b) x 0 c) x d) x = a) b) 8. x = x 7 x 8. a) x = b) x 5 c) x = -4 d) x = 6 8. a) x = b) x = c) x = 9 d) x = h 06

11 85. a) 4 x b) x 86. x = 87. x = 88. x 89. x 90. x 5 x 8 x 4 6 (x 5) (x 8) x 6x 5 6x 6 x x x (-) 9. d r 9. a) b) a h A h A a 9. a) 50 cm b) 5 cm. 94. a) 6 cm b) 5 cm

12 a) b) a h A h A a 96. a) 4,0 cm b) 50 cm 97. a),5 cm b) 8,0 cm 98. a) x = 7 b) x = a + b c) x = a b d) x = a 99. a) x = 5 b b) x a c c) x b c b d) x a 00. a) 59-vuotta b) 5-vuotta c) 86-vuotta d) 4-vuotta 0. a) A a b h b) A b a h c) A h a b 0. a) 6 cm b)

13 x y 04. a) F a m b) V h A c) E m c d) E p h mg 05. a) k S 8 b) Q P 5 c) m dv d) a r 7 s 06. a) m V b) v v at c) 0 l l0 t l0 07. Ratkaistaan m yhtälöstä mgh p t t pt mgh mgh pt : gh pt m gh Sijoitetaan lukuarvot saatuun yhtälöön pt m 7, gh 9,8 4,5 Vastaus: m Kuume on fahrenheitasteina 00,8. Samaa lukemaa mittarit osoittavat 40 asteessa cm 09

14 0. Sijoitetaan a:n ja f:n arvot yhtälöön ja saadaan. 5 b 5) ) b 5 5 b b 55 6b b a) kyllä b) kyllä c) kyllä d) ei. a) 4 < - b) < c) 4 > d) 5 - e) 0 f) 4. a) ei b) on c) on d) on e) ei 5. a) x b) x c) x 5 d) x 4 6. a) x 6 b) x 5 6 0

15 c) x d) x 0 7. a) x 0 b) x 8. a) x 0 b) x 0 c) x d) x 6 e) x 9. ja x s. x. a) x 0 b) x 0 c) x 4 d) x 5. a) x b) x 4 4. a) u b) t 9 c) v 5 5. a) x b) x 0

16 c) x 0 d) x x k 7. a) x b) x 5 8. Jos t > 0, niin 9. 4 x 0. x 8. x 8. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi. a) tosi b) tosi c) epätosi d) epätosi x. Jos t < 0, niin t x. Jos t = 0, niin x voi olla mikä tahansa reaaliluku t 4. a) y = - b) y = - c) ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa reaaliluku d) yhtälöllä ei ole ratkaisua 5. a) x =

17 7 b) x 5 c) x = d) x = - e) ei ratkaisua 6. a) x voi olla mikä tahansa reaaliluku b) yhtälöllä ei ole ratkaisua c) x voi olla mikä tahansa reaaliluku paitsi nolla 7. yhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla 8. a) toteutuu kaikilla x:n arvoilla b) x c) ei ratkaisua d) x 9. a) toteutuu kaikilla x:n arvoilla b) x c) x 0 d) x a) x 0 b) toteutuu kaikilla x:n arvoilla c) x d) x a) yhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla b) yhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla c) ei ratkaisua

18 x a) 8 b) a) x 5 40 b) x 4 6 c) x d) 4x 8 5. a) 5 b) 0 c) 7 d) 5 5. a) x 0 b) 5x 00 c) x a) x = 7 b) x = 0 c) x = a) x 9, x 6 b) x 5, x 7 55., 4 ja 5 56., m ja 4,8 m m 58. 4

19 6, 6 ja ja vuotta , , 6 ja Luvut ovat 64 ja , 7, 8 7. Merkitään ihannepainon painoindeksin ylärajaa vastaavaa painoa x:llä ja alarajaa vastaavaa painoa y:llä. x 5,8 x 5,8 y 0,8 8,7 kg y 0,8 67,0 (kg) Ihannepainoon pääsemiseksi pitää laihduttaa ainakin 9 kg 8,7 kg = 7, kg. 5

20 Alle ihannepainoon pääsemiseksi pitää laihduttaa enemmän kuin 9 kg 67,0 kg = 4 kg kanaa ja 80 lammasta. 7. Yhtälöksi saadaan 9 x 0,0 0 ja vastaukseksi x = 40 km. km 74. A:n tehokkuus on ½ l/min ja B:n / l/min. Merkitään puhdistuksen kuluvaa aikaa x:llä. Koska molemmat käyttävät puhdistukseen saman ajan, saadaan yhtälö l l x x 50l min min 50 l x 60min l l min min Vastaus: 60 min 75. a) 0,0 b) 0,45 c) 0,80 d) 0,05 e) 0,00 f),5 76. a) 0 % b) 8 % c) 7 % d) 5 % 77. a) 4 % b) 7 % c) 0 % d) 0 % e) 4 % f) 75 % a) b) 00 c)

21 d) a) 5 b) 5 7 c) 0 d) a) 5 % b) 75 % c) 7,5 % d), % a) 60 % b) 5 % c) 8,6 % 8. a) 4 % b) % c) 0,4 % d) 05 % 84. a) 00 % b) 50 % c) 5 % a) 0 % b) 6 % c) 7 % d) % 7

22 a) /00 = 0,0 b) /0 = 0, c) /4 = 0,5 d) 47/00 = 0,47 e) 85/00 = 0,85 f) 50/00 =,5 89. a) 50 % b) % c) 0 % d) % 90. a),7 % b) 6, % c) 5, % d) 59, % e), 56 % % ja 95 % 9. matematiikka 89 %, historia 67 %, biologia 88 %, englanti 90 %, uskonto 47 %, hän pärjäsi parhaiten englannissa 9. a) /0, 0,, 0 % b) /5, 0,, 0 % c) /00, 0,0, % d) /, 0, , 66,67 % e) /, 0,5, 50 % f) /, 0,5, 50 % g) 4/5, 0,8, 80 % h) /0, 0,, 0 % 94. a) 5 % b) % c) 00 % 8

23 95. 8 % 96.,5 % 97. a), % b) 7,7 % c) 8, % d) 4,0 % e) 7,5 % % 99.,5 % 00. 7,05 % 0. 0 % 0. 5, % % 04. a),5 % b) 6,7 % c) 6,5 % 05. Merkurius: 5,5 % Venus: 8,6 % Mars: 0,75 % Jupiter: 788 % Saturnus: 955 % Uranus: 454 % Neptunus: 7 % Pluto: 0, % 06. a),0 b) 0,70 9

24 c) 0,0 d) 0,5 e) 0 f), a) b) 7 c) d) 5, e) 00 f) 4,5 08. a) 0 b) 70 c) 0 d) 5 e) 000 f) a) kg b) 4 kg c) 5 kg d) 70 kg 0. 9 kg. a) 00 b) 50 c) 00. a) 8,4 l b) 6,8 l c),8 l. a) 5,5 kg b) 5,8 cm c) 8,04 m d) 9,8 ml e) 0, km 4. a) 08 b) 0,5 0

25 c) 700 d) 4, a) 9 b) 45 c) 80 d) % luvusta 950 on suurempi 9. a) 60 b) 49 c) 7,6 d) 69,5 0. km 9 Todellinen nopeus on mittarin näyttämästä nopeudesta h 0,9 9%. km 00 h km km Kun mittari näytti 85 km/h, oli todellinen nopeus 0, h h. a),5 b), c),0 d),5 e),009. a) 0,5 b) 0, c) 0,8 d) 0,97 e) 0,995. a) 6

26 b) 9, c) 5 d), e) 7 snt 4. a) 7, b) 5 c) 5,5 d) 9,5 snt e) a) 586, b) 87,7 c),5 d) 909,5 e), kg f) 49,5 6. a) 8, b) 49,5 c) 57,4 d) 650 e) 87,0 f) 488,75 7. $ ,40 9. a) $7, b) $707, 0. 5,60. $55,5. tuote alkuperäinen hinta alennus prosentteina alennus euroina alennettu hinta hyppynaru 9 5 %,5 6,75 nyrkkeilyhanskat 6 0 % 6, 55,8 shortsit 6 60 % 9,6 6,4 maastopyörä % 54

27 makuupussi 58 5 %,7 4,. a) laskee 5 % b) nousee 7 % c) laskee 0 % d) nousee 50 % e) nousee 00 % f) nousee % g) laskee 0,9 % 4. a) 6 b) 0,5 c) 97,6 d) 4,4 e) 67, 5. a) 6,5 b),5 c) 00 d) 5 e) 68,75 6. a) 57,5 b) 8,75 c) 9 d) e) 6,5 7. a) 59,5 b) 9,75 c) 95, d),8 e) 65, % mm 4.

28 Yhtiövastike ennen korotusta oli 64,5 m 9. m Korotuksen jälkeen yhtiövastike oli, ,97 4. a) 00 b) 06,0 4. a) 550 b) a) 54 b) 584,50 c) 759, $9 5, ,7 47. a) 7, miljardia b) 7,5 miljardia c) 8,5 miljardia d), miljardia , Vastaus: 48, Joka vuosi maksat saman verran korkoja eli 0, Säästöä kertyy silloin 48, ,50. Huom! Todellinen säästö on vielä enemmän, jos maksat lainan erissä, koska takaisinmaksettavaa lainaa on nyt 800 eikä 48, vuoden kuluttua 5. vuoden kuluttua 5. a) kaksinkertainen b) 50 % 4

29 54. kolminkertainen 55. a) 8 b) 5,6 % 56. a) 50 % b) 5 % c) 40 % d) 70 % 57. a) 9,5 % b) 6,67 % c) 9,5 % d) 6,4 % e) 8, % f) 0,67 % % 59. a) 0 % b) 6,7 % 60. a) 7 prosenttiyksikköä b) 4 prosenttia 6. a) 50 % b) % c) 46 % d) 0 % 6. 8,8 % % 64. 7, % 65. 5

30 4,4 % 66. a) oikeasta korvasta, % ja vasemmasta 66,7 % b) 50 % 67. a) 6,7 % b),5 prosenttiyksikköä 68. a) 445,48 b) 5,6 % 69. a),5 prosenttiyksikköä suurempi b) Asuntolainan korko euroina on 0, = 800, autolainan korko euroina on 0, = 900. Muodostetaan näiden suhde 900, 056. Autolainan korko on siten, kertainen asuntolainaan verrattuna eli 5,6 % suurempi. 70. noin 5,8 % 7. 0 % 7. a) 4, % b) 4 % c) 75,8 % 7. a) % b) 4 % 74. a) kasvoi 50 % b) väheni 5 % c) väheni 5 % Vanha nettopalkka on , Uusi nettopalkka on a) Nettopalkan nousu ,5 = 58,5 58,5 b) Prosentuaalinen nousu 00% 6,7% 877,5 6

31 76. a) 76,80 b) 4,50 c),95 d) 8, ,0 mk Käytetyn maidon litrahinta oli ensimmäisellä viikolla 5,5 mk. 0,8 Litrahinta toisella viikolla oli 5,0 mk. Toisella viikolla käytetty maito tuli halvemmaksi. Toisen viikon maito oli 00 % 4,8 % 5,5 mk 5,0 mk 5,5 mk Vastaus: Toisen viikon maito oli 4,8 % edullisempaa. 78.,0 79. Osasto A: 48 Tyttöjen hyväksymisprosentti: 0,6 6 % 00 Poikien hyväksymisprosentti: 0,5 5 % 0 Osasto B: 4 Tyttöjen hyväksymisprosentti: 0,0 0 % 0 4 Poikien hyväksymisprosentti: 0,9 9 % 600 Siis tyttöjen hyväksymisprosentit ovat yksikköä suuremmat molemmilla osastoilla. Koko laitokseen pyrki 0 tyttöä, joista hyväksyttiin 5. Poikia pyrki 60, joista hyväksyttiin 7. 5 Tyttöjen hyväksymisprosentti: 0,65 6,5 % 0 7 Poikien hyväksymisprosentti: 0,887 8,87 % 60 Siis poikien hyväksymisprosentti koko laitokseen oli suurempi, kuin tyttöjen. 80. Värjätyn alueen ala A B r 5,0 cm 78,5 cm Suuremman ympyrän ala C, jolloin 40 B C 00 Pienemmän ympyrän ala C B 78,5 cm 96 cm A C B 96 cm 78,5 cm 8 cm 7

32 8. a) 8 b) 4 c) 0 d) a) 8 b) c) 400 d) a) 0 % b) 5 % c) 50 % d) 00 % 84. a) 50 % b) 70 % c) 85 % d) % 85. a) 8 b) 400 c) 78 d) 6500 e) a) 90 b) 60 c) 8 d) 640 e) ,6 ha 88. a) 840 b) $0 8

33 kg 94. 5,5 % 95. a) 78 % b) 9 % c) 4 % d) 95 % , ,5 % 98. Merkitään äänioikeutettujen määrää a:lla. Äänestäneiden määrä oli 0,7a. Näistä 57 % äänesti KYLLÄ. KYLLÄ-äänien määrä oli 0,57 0,7a 0,4047a 0, 40a eli 40 % äänioikeutettujen määrästä. 99. Merkitään alkuperäistä perushintaa x (mk). Tällöin:,x,0 x,0, 9,90 Alennettu perushinta on 9,90-4,0 = 5,70. Alennettu myyntihinta on, 5,70 7, Merkitään todellista ajettua matkaa x:llä.,05 x 05 km x 05 km,05 95, km h 40 min,67 h 9

34 Keskinopeus oli 95, km,67 h km 7. h 0. Merkitään edellisvuoden matkustajamäärää a:lla. Nykyinen matkustajamäärä on 0,77a. Seuraavan vuoden matkustajamäärä pitää olla taas a. Matkustajamäärä on siis suurempi edellisen vuoden matkustajamäärää 0,987 a 0,77a 0,77 a 0, 0,77a 0,77a 0,77 Vastaus: Matkustajamäärän pitäisi kasvaa 0 %. 0. Merkitään alkuperäistä myyntihintaa a:lla, jolloin alkuperäinen myyntipalkkio on 0,5a. laskenut myyntihinta on 0,9a, jolloin uusi myyntipalkkio on 0, 0,9a 0, 85a. Siis myyntipalkkio nousi. 0. Merkitään vuoden 995 pesujauheiden kokonaismyyntiä a:lla. Kyseessä olevan pesujauheen myynti oli 0,5a. Vuonna 996 kokonaismyynti oli,0a. Tarkasteltavan pesujauheen myynti oli,0 0,5a 0, 8a. 0,8a 0,8 Osuus koko myynnistä oli 0,6 6 %.,0a,0 04. a) 5 b) 8 c) 6 d) a) x + 4 = 9 b) x - = 7 c) 5 - x = 9 d) + x = a) on b) ei c) on d) ei 07. a) x = -6 b) x = 6 c) x = -0 d) x =

35 - 09. a) x b) c) x d) 0. a) x = b) x = 5 c) x = -0 d) x = -5. a) x = 7 b) x = c) x = -9 d) x = 5. a) x = b) x = 4 c) x = 9 d) x =. a) x = - b) x = 6 c) x = 9 d) x 5 4. a) 4x 6x b) 0 0x c) 0x 5x d) 5x 4x 5. a) x = b) x = 5 c) x = d) x = 6. a) x = b) t 5

36 7. a) x = b) x = c) x = 8. Koska x = on yhtälön juuri, se toteuttaa yhtälön. (a ) 4 a 0 9. a) x = b) x = c) x = 4 d) x = 7 (a ) 4 a 0 0. a) x = b) y = -6 c) a = 0 d) x = 4. a) x = 8 b) a 5 c) x = -. a) x = b) x 5 c) x = 6 d) x =. x = 0 4. a) d b x a b) p n x m c) x d c 6a a 0 5a 5 a :5

37 d) 9 x k 5. a) I T PR b) P W l c) A b h d) V h r 6. a) x 0 b) x 6 7. x x 7 9. a) kaikki x:t kelpaa ratkaisuksi b) ei ratkaisuja 0. 8, 9 ja 0. m wide and 8 m long. 7. Yhtälöksi saadaan 4x ( x ) 0, josta x Olkoon alkuperäinen matkan hinta x markkaa, tällöin kokonaishinta on x. Kun osanottajia olikin 4 oli matkan hinta (x-0). Tästä saadaan yhtälö x 4( x 0) 40 x 0 Vastaus: Jokainen joutui lopulta maksamaan 0 mk.

38 5. Nelinumeroinen palindromi xyyx voidaan esittää muodossa 000x+00y+0y+x, missä x ja y ovat kokonaislukuja väliltä nollasta yhdeksään. Ongelmana on siis osoittaa, että 000x+00y+0y+x on jaollinen luvulla. Merkitään 000x 00y 0y x 00x 0y. Koska 00 x 9x 0 y on kokonaisluku ja 0 y on kokonaisluku, niin jokainen nelinumeroinen palindromiluku on jaollinen luvulla. 6. Oletetaan, että juhlasaliin mahtuu x henkilöä ja ovesta A poistuu a henkilöä minuutissa ja ovesta B x x poistuu b henkilöä minuutissa. Silloin a ja b. Jos molemmat ovet on käytössä, pystyy 8 x x 5 henkilöitä minuutissa poistumaan a b x. salin tyhjentämiseen kuluu tällöin aikaa 8 6 x x 6 7, (min). a b 5x Merkitään tuntematonta numeroa x:llä x x Tämän tulee olla yhtä suuri kuin q 8, missä q on positiivinen kokonaisluku eli 5x q 8. Ainoa yksinumeroinen positiivinen kokonaisluku, jolle yhtälö on mahdollinen on x, jolloin q 0. Vastaus: Epäselvä numero on. 8. a) 0,0 b) 0,09 c) 0,9 d) 0,90 e) 0,045 f) 0,49 g), 9. a) 8 % b) 0 % c) 55 % d),5 % 40. a) 6 % b) 76 % c) 86,5 % 4

39 d) 0 % e) 0 % 4. a) 0 b) 9 50 c) 0 d) a) 7,4 % b) 50 % c) 4,7 % d) 0 % 4. a) 7,5 % b) 7,7 % c) 6,0 % d) 66,7 % 44. 4,7 % 45. a) 5 b) 8 c) 6 d) 46. a) 5 b) 7,5 c) a),6 b) 4,7 cm c) 0,95 l d) 78,9 g 5

40 48. a) 4 b),04 c),6 d) 8, a),4 kg b) 4, kg c) 5,9 kg kg 5. a),9 b),9 c),05 d), e) 5. a) 0,9 b) 0,94 c) 0, d) 0,85 e) 0 5. a) $0 b) $ a) 87, kg b) 0,7 kg c), kg ,8 56. omenat maksoivat,0 /kg ja viinirypäleet maksoivat,70 /kg 57. a) 0 b) 00, c) 46,

41 $76, % 60.,5 % 6. a) 0 % b), % 6. a) 7 prosenttiyksikköä b) 4 prosenttia 6. 5 % % 65. a) 5 b) 55 c) 90 d) 00 e) ,75 kg 67. a) 60 b) 50 c), d) 50 e) 4444, $ a) 7,86 b) 40, c) 85,7 d) 4 e), 70. 7

42 a) 8 b) 00 c) 50 d) % 8

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA Osio 1: Prosentteja

AVOIN MATEMATIIKKA Osio 1: Prosentteja Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Osio 1: Prosentteja Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 9. Prosenttikertoimia ja prosenttiosuuksia Prosentteja on käytetty 1600-luvun

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut? Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA

Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Tehtäviä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 175. Kirjoita prosenttiluvut desimaalilukuina. a) 10 % b) 45 % c) 80 % d) 1,5 % e) 0,2

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 3.1 137. 138. a) Yhtiövastikkeesta on rahoitusvastiketta 40 % ja hoitovastiketta 60 %. Ilmaistaan 60 % desimaalilukuna. 60 % = 0,60 Lasketaan hoitovastikkeen määrä euroina. 0,60

Lisätiedot

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48 Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tampereen kesäyliopisto, syksy 2016 Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 1. harjoitus, (la 29.10.2016) 1. Laske seuraavat laskut. Laske kukin lasku ensin käsin kynää ja paperia käyttäen. Anna vastaukset

Lisätiedot

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100 1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl

Lisätiedot

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa Harjoituksia 9 Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa 1. Kirjoita yhtälö ja ratkaise x. a) lukujen x ja 6 summa on yhtä suuri kuin lukujen x ja 4 tulo. b) Kun luku x kerrotaan kolmella

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin HAAGA-HELIA MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin Katri Währn Kevät 2012 1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto-

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 15.11.2012 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ. Aiheet

YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ. Aiheet YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ Aiheet Yhtälö ja sen ratkaisu Yhtälön ratkaisu lisäämällä ja vähentämällä Yhtälön ratkaisu jakamalla Yhtälön ratkaisu kertomalla Vakiokirjaimia Testaa taitosi 1 Identtiset yhtälöt Ongelmanratkaisua

Lisätiedot

Kuutio % Kappaleet kertaus

Kuutio % Kappaleet kertaus Kuutio % Kappaleet 1-6 + kertaus % 1 1. Prosentti 1 % = 1 100 = 0,01 Prosentti on sadasosa. 2 % = = 20 % = = Alleviivattu muoto on 200 % = = nimeltään prosenttikerroin Esimerkki 1. Kuinka monta prosenttia

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

2. Luvut. 3 pullollista, joten Timo tarvitsee 25 pulloa litrasta saadaan 17 24, 186. a) 4

2. Luvut. 3 pullollista, joten Timo tarvitsee 25 pulloa litrasta saadaan 17 24, 186. a) 4 LISÄTEHTÄVÄT. Luvut. Kokonaisluvun n tekijät löydetään jakamalla n yksi kerrallaan kaikilla kokonaisluvuilla ykkösestä suurimpaan mahdolliseen kokonaislukuun, joka on korkeintaan n. Jos jakolasku menee

Lisätiedot

100-vuotissäätiö RATKAISUT. Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

100-vuotissäätiö RATKAISUT. Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 00-vuotissäätiö Otava RATKAISUT AMMATIKKA top 5..0 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3 Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet

MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet MAA. Koe Jussi Tyni 0.9.0 Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet A-OSIO Vastaa tehtävistä A A kahteen ja palauta vastaukset. Tähän osioon on käytettävissä

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT

HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT 1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5 Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

MAA1 päässälaskut. Laske ilman laskinta tälle paperille. Kirjaa myös välivaihe(et).

MAA1 päässälaskut. Laske ilman laskinta tälle paperille. Kirjaa myös välivaihe(et). MAA1 päässälaskut Nimi: Laske ilman laskinta tälle paperille. Kirjaa myös välivaihe(et). 1. 4 (-5) + (-3) (-6) 2. 1 3 2 5 3 2 3. 5 8 6 7 4. 3 2 3 2 : 3 3 5. 1 0 1 1 1 2 1 3 2 2 2 6. 2 3 3 7. 2 1203 8 400

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 14.11.2013 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja 1. Italialainen design-laukku maksaa euroa ja vastaava piraattituote 60 euroa. Kuinka monta prosenttia a) design-laukku on piraattilaukkua kalliimpi b) piraattilaukku

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 17.11.2011 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Vastaukset. 2. Ottamalla kaapista 4 kenkää ja 3 sukkaa.

Vastaukset. 2. Ottamalla kaapista 4 kenkää ja 3 sukkaa. Vastaukset. -. Ottamalla kaapista kenkää ja sukkaa.. Asetetaan vaakaan kummallekin puolelle aluksi sormusta ja punnitaan. Kolmas kolmen ryhmä on vaa'an ulkopuolella. Rihkamasormus kuuluu punnittavista

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c)

KOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c) KOKEITA KURSSI MATEMATIIKAN KOE KURSSI (A). Kirjoita potenssimerkintдnд a) 9 9 9 9 9 b) ( ) ( ) ( ) c) 7 7 7... 7 d) luvun 8 neliц e) luvun kuution vastaluku. 77 kpl. Laske lausekkeen a b arvo, kun a)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 13.11.2008 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot