TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn"

Transkriptio

1 TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN Katri Währn 2013

2 JOHDANTO Myyntityön koulutusohjelman matematiikan valintakoe perustuu koulumatematiikkaan riippumatta siitä, onko hakijan tausta sitten ylioppilas tai jokin keskiasteen tutkinto. Hyvä peruskoulun matematiikan hallinta johtaa ihan hyvään lopputulokseen. Suurimmassa osassa koetehtäviä lasketaan vain numeroilla ja pääpaino onkin myyntityöhön liittyvillä soveltavilla tehtävillä. Myyntityön koulutusohjelmaan päästäkseen opiskelijan tulee saada matematiikan valintakokeesta vähintään 2 pistettä kymmenestä. Tämä moniste on tehty helpottamaan pääsykokeeseen valmistautumista. Moniste ei ole kaiken kattava, mutta nämä asiat osaamalla koe ei ainakaan jää matematiikan osiosta kiinni. Kokeessa on ehdoton paino prosenttilaskulla. Se on myyjän työn kannalta ehdottomasti tärkein matematiikan osa-alue ja sitä myös opiskellaan koulutusohjelman ensimmäisellä pakollisella kurssilla lisää. Sitä voi kerrata mistä tahansa lukion lyhyen matematiikan oppikirjasta tai kauppaopistoon tehdyistä oppikirjoista. Niitä löytyy kaikista kirjastoista. Katri Währn

3 1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto- ja jakolaskut ennen yhteen- ja vähennyslaskuja, mikäli näppäilijä ei sotke sitä esimerkiksi ylimääräisillä = -merkeillä. Laskimet eivät laske väärin! Esim * 8 = 7 Tämä menee ihan suoraan laskimella, mutta seuraavassa lausekkeessa jakaja on laitettava sulkuihin, jotta laskin osaisi jakaa kolmea koko jakajalla = 2, 13 7 Kokeile, että saat seuraavistakin oikeat vastaukset. Mieti sulkujen käyttö. 3*7 1 = ,06 * = Funktiot toimivat eri laskimissa eri tavalla ja siksi olisi ainakin epävarmojen laskijoiden parasta käyttää koko ajan samaa laskinta. Yleensä ne funktiot, joihin täytyy syöttää kaksi numeroa (esimerkiksi potenssiin korotus ja juuren ottaminen) funktionäppäin tulee lukujen väliin, mutta lukujen syöttöjärjestys vaihtelee. Esim.1.2 Seuraava näppäillään laskimeen joko järjestyksessä 2nd x y = tai järjestyksessä nd x y = = 7 Opettele vain ne laskutavat, jotka toimivat omassa laskimessasi. Seuraavilla laskulla voit testata, osaatko? = 1 + 6* 4 = 0,024 Esim.1.3 Pyöritä luku 10,23899 a) kymmenien, b) yhden desimaalin, c) kokonaisluku, d) kahden desimaalin ja e) neljän desimaalin tarkkuuteen. a) 110 b) 10,2 Jos ensimmäinen pois jätettävä numero on tai suurempi, c) 10 niin se korottaa viimeisen jätettävän numeron yhdellä d) 10,24 yksiköllä. Yhdeksikköä ei voi korottaa, joten korotus e) 10,2390 siirtyy seuraavaan numeroon vasemmalle. 1

4 2 ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖ Yhtälön ratkaiseminen ei ole itsetarkoitus vaan sitä käytetään opinnoissa erilaisten ongelmien ratkaisussa. Ensimmäisen asteen yhtälöille tulee jatkossa paljon käyttöä. Seuraavassa on esimerkkejä kaikkien yhtälöiden ratkaisemisesta. Ensin on helppoja ja sitten vähän vaativampia. Esim. 2.1 Ratkaise seuraavat yhtälöt a) 4x = 40 b) 6 3x = 2x + 86 c) 2 (7x + 3) = 1 3x 2x + 1 d) 2x = 3 a) 4x = 40 //: 4 Jaetaan yhtälön molemmat puolet x:n kertoimella. 4 x 40 = 4 4 x = 112, b) 6 3x = 2x + 86 Siirretään termejä puolelta toiselle. Muista vaihtaa etumerkki! - 3x 2x = 86 6 Yhdistetään termit. - x = 30 //:(-) Jaetaan x:n kertoimella. x = - 6 c) 2 (7x + 3) = 1 Poistetaan sulut. 14x + 6 = 1 Siirretään termi. 14x = 1 6 Yhdistetään termit. 14x = - //:14 Jaetaan x:n kertoimella. x = tai x = -0,37 14 Liike-elämän laskuissa on usein järkevämpää antaa vastaus desimaalilukuna. Pääsykokeissa on kussakin tehtävässä annettu tarkkuus, jolla vastaus pitää antaa. 2

5 d) 3x 2x + 1 2x = // *1 3 Poistetaan jakajat kertomalla yhtälön molemmat puolet samalla luvulla. Kertojan tulee olla sellainen, että kaikki jakajat menevät siihen tasan. Muista kertoa jokainen yhteenlaskettava! 1*3x 1*(2x + 1) 1* 2x = 3 30x 3*3x = (2x + 1) 30x -9x = 10x + 30x -9x 10x = 11x = x = tai x = 0,4 11 Harj. 2.1 Voit harjoitella ratkaisemalla seuraavat yhtälöt. Vastaukset on annettu, mutta miten niihin päästäisiin! a) 24 + x = 3x 18 x = -21 b) 3 ( 2x ) = 4 ( x + 3) x = 13, 2x 1 x c) 3x + = x = -1,31 d) 2 + x = 7 x = -1,7 Jos edelliset yhtälöt tuottivat ongelmia, niin kannattaa kerrata yhtälönratkaisua jostakin oppikirjasta. 3

6 3 PROSENTTILASKU Tässä monisteessa prosenttilasku esitellään laskemalla enimmäkseen kertoimilla, koska lähes kaikki työelämässä paljon laskevat käyttävät kertoimia. Mutta jos pääset toistuvasti oikeisiin lopputuloksiin jollakin toisella tavalla, niin lasket varmasti oikein. Pääsykokeessa kysytään pelkkiä vastauksia, joten laskutavalla ei ole väliä. 1 Prosentti (%) tarkoittaa yhtä sadasosaa eli 1 % = = 0, Esim prosenttia: 23 % = = 0, , 7, prosenttia: 7, % = 100 = 0, prosenttia: 234 % = = 2, Kertoimilla laskeminen tarkoittaa, että laskuissa käytetään prosenteista edellisistä muodoista viimeistä eli desimaalimuotoa. Esim. 3.2 Muunna 20 % a) desimaaliluvuksi ja b) murtoluvuksi 20 a) 20 % = = 0,2 100 b) 20 % = 20 = Huom. Jos laskimessa on murtolukunäppäin (esim. a b/c), niin laskin osaa myös sieventää murtoluvut. Prosenttilaskun kolme perussuuretta Prosenttiluku (p) on se luku, jonka perässä on %:n merkki. Lasketaan perusarvosta. Prosenttiarvo (b) on sama asia kuin prosenttiluku, mutta sillä on konkreettinen laatu (esim. euro, kilo, lukumäärä yms.) Perusarvo (a) on se luku, josta prosenttiluku lasketaan. Esimerkiksi se on alkuperäinen hinta, kokonaismäärä, vertailun perustana oleva luku. Sillä on aina sama laatu kuin prosenttiarvolla. Usein sen voi tunnistaa suomen kielen -sta tai -stä päätteestä tai kuin sanan jälkeisestä sanasta. Perusarvo on aina 100 % ja se on prosenttilukua laskettaessa aina jakajassa. Prosenttilasku onkin yksinkertaisesti prosenttiarvon ja perusarvon suhteiden laskemista ja laskun tuloksena on prosenttiluku. 4

7 Peruslaskutoimitukset Paljonko on p % a:sta? p b = * a 100 Montako prosenttia b on a:sta? b p = a *100 Mitään muita kaavoja ei tarvita prosenttilaskujen laskemiseen, jos osaa yhtälön ratkaisua! Eikä ihan välttämättä näitäkään. Esim. 3.3 Tuotteen hintaa alennetaan 10 %. Mikä on alennettu hinta, kun alkuperäinen on 38? Kaavalla: 10 * 38 = 3, ,80 = 34,20 tai mieluummin Kertoimilla: 100 % -10 % = 90 % = 0,9 eli jos hinnasta annetaan 10 % alennusta, niin siitä jää 90 % maksettavaksi. 0,9 * 38 = 34,20 Huom. Tässä monisteessa lasketaan yleensä tarkoilla arvoilla. Tällöin vastauksen saa antaa sopivaksi katsomallaan tavalla. Mitään ainoa oikeata ei ole edes olemassa. Tässä monisteessa on pyöristetty pienet hinnat sentteihin ja suuremmat eurojen tarkkuuteen, koska meillä annetaan yleisesti hinnat niin - esimerkiksi kauppojen hintalapuissa. Prosenteissa on käytetty sen verran desimaaleja, että niillä on jotakin informaatioarvoa. Pääsykokeen tehtävissä on pyydetty vastaus kussakin tehtävässä ilmoitetulla tarkkuudella. Esim. 3.4 Palkkojen yleiskorotus on 2,3 %. Mikä on uusi palkka, kun aikaisempi oli 1 970? Kaavalla: 2,3 *1970 = 4,31 (palkankorotus) ,31 = 2 01,31 tai Kertoimella: 100 % + 2,3 % = 102,3 % = 1,023 (eli uusi palkka on 102,3 % alkuperäisestä) 1,023 * 1970 = 2 01,31

8 Esim. 3. Henkilön veroprosentti on 23 % ja bruttopalkka /kk. Kuinka paljon hänen palkasta pidätetään veroa kuukausittain? Mikä on hänen nettopalkka? 23 *1800 = 414 tai 0,23 * 1800 = 414 (vero) 100 0,77 * 1800 = 1386 (nettopalkka) Harj. 3.1 Seuraavilla tehtävillä voit harjoitella yksinkertaisia kertoimilla laskettavia laskutehtäviä. a) Tuotteen hintaa korotetaan 14 %. Mikä on korotettu hinta, kun alkuperäinen on 28,60? b) Yrityksen liikevaihto laskee 8,2 %. Mikä on uusi liikevaihto, kun alkuperäinen oli 1,7 milj.? c) Myyjä saa provisiota 3, % myynnistä. Mikä on provisio, jos myynti on /kk? a) 32,60 b) 1,606 milj. c) 2870 Esim. 3.6 Kuinka monta prosenttia 80 euroa on 30 eurosta? 80 * = 267 % tai = 30 2, % Esim. 3.7 Tuotteen hinta nousee 2 eurosta 3 euroon. Montako prosenttia hinta nousee? 3 2 * = 40 % tai 1 = 0, 4 40 % 2 Esim. 3.8 Taajaman väkiluku laskee 7 800:sta 7 100:aan. Montako prosenttia väkiluku laskee? * = 9,0 % tai 1 = 0, 09-9,0 % 7800 Huom. Muutosprosentin perusarvo on aina lähtötilanne (esim. alkuperäinen hinta, alkuperäinen väkiluku, aikaisempi liikevaihto yms.). Muutosprosenttilaskuissa on mukana myös vähennyslasku. Tällöin alkuperäinen perusarvo vähennetään pois (kertoimilla laskettaessa vähennetään 1), jolloin jää muutoksen suuruus. 6

9 Esim. 3.9 Yhtiön hallituksessa on miestä ja 2 naista. a) Laske miesten ja naisten suhteelliset osuudet. b) Montako prosenttia miehiä on enemmän kuin naisia? c) Montako prosenttia naisia on vähemmän kuin miehiä? d) Montako prosenttia miesten määrä on naisten määrästä? 2 a) * 100 = 71 % miehiä *100 = 29 % naisia 7 7 Suhteelliset osuudet lasketaan kokonaismäärästä eli se tulee jakajaan. 2 b) *100 = 10 % 2 Jos kysymyksen asettelussa on kuin sana, niin se on vertailun kohde eli perusarvo ja tuleen näin ollen jakajaan. 2 c) *100 = 60 % d) *100 = 20 % 2 -stä pääte on myös varma merkki perusarvosta. Vertailut eivät ole ihan helppoja täytyy olla ainakin huolellinen! Harj. 3.2 Laske. a) Tuotteen hinta laskee 78 eurosta 60 euroon. Montako prosenttia hinta laskee? b) Montako prosenttia 90 on 4:stä? c) Henkilön bruttopalkka on euroa ja nettopalkka 1743 euroa. Mikä on veroprosentti? d) Montako prosenttia hinta nousee, kun se kolminkertaistuu? a) 23,1 % b) 200 % c) 17 % (Verot lasketaan bruttopalkasta.) d) 200 % Harj. 3.3 Korissa on 7 punaista, 20 sinistä ja 2 keltaista palloa. a) Laske prosenttiosuudet. b) Montako prosenttia sinisiä palloja on enemmän kuin keltaisia? c) Montako prosenttia punaisten pallojen määrä on sinisten määrästä? a) 24 %, 69 %, 7 % b) 900 % c) 3 % 7

10 Prosenttilaskun sovelluksia Kertoimilla laskemista voi soveltaa myös sellaisissa tilanteissa, joissa ei tunneta lukua, josta prosentit pitäisi laskea. Yhtälön voi aina muodostaa periaatteella: kerroin * alkuarvo = loppuarvo Jos alkuarvoa ei tunneta, laitetaan sen paikalle x. Näin saadaan helppo yhtälö ratkaistavaksi. Esim Matkan hintaa on korotettu 7 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun korotettu on 246,10? Jos tunnettaisiin alkuperäinen hinta, niin korotettu saataisiin kertoimella 1,07. Nyt täytyy käyttää yhtälön ratkaisua. 1,07 x = 246,10 //:1,07 x = 230 Huom. Pitää laske juuri näin, EI 0,93 * 246,10!!! Laske paljonko tästä tulee. Mikä selittää eron? Esim Tuotteen hintaa on alennettu 1 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 38,2? Jos tunnettaisiin alkuperäinen hinta, niin alennettu saataisiin kertoimella 0,8. Nyt käytetään yhtälön ratkaisua. 0,8 x = 38,2 //:0,8 x = 4 Kaikki kahden edellisen esimerkin kaltaiset tehtävät voi ratkaista peruskaavoja ja yhtälönratkaisua apuna käyttäen. Näin ei tarvitse muistaa kaavoja. Jos kuitenkin haluaa käyttää kaavoja, niin ne löytyvät jostakin oppikirjasta. Esim Hintaa alennetaan 20 % ja alennettua hintaa myöhemmin vielä 30 %. Laske lopullinen hinta, kun alkuperäinen on 28. 0,8 * 28 = 22,40 tai 0,8*0,7*28 = 1,68 0,7 *22,40 = 1,68 Koska 0,8*0,7=0,6, niin uusi hinta on vanhasta 6 % ja kokonaisalennusprosentti on silloin 44 %. Huom. Jos prosenttilaskussa tekee mieli laskea prosenttilukuja yhteen tai vähentää, niin on syytä harkita vielä kertaalleen, onko se luvallista. Lupa heltiää vain siinä tapauksessa, että prosenttiluvuilla on sama perusarvo. Peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan yksitellen eli seuraava muutos lasketaan jo muuttuneesta luvusta. Kertoimet kertomalla voi oikaista. 8

11 Esim euron alkuperäinen pääoma kasvaa %:n korkokannalla 8 vuotta. Laske kasvanut pääoma kahdeksan vuoden kuluttua, kun korko lisätään pääomaan kerran vuodessa. 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 000 = 8 1,0 *000 = 7387,28 Jos muutosprosentti on kokoajan sama, niin potenssit nopeuttavat laskuja. Laskimesta b y potenssit löytyvät a, x tai ^. Esim Polttoaineen hintaa korotettiin ensin 8 % ja myöhemmin vielä 7 %. Mikä oli alkuperäinen hinta, kun korotettu on1,4 /l? 1,08 * x * 1,07 = 1,4 1,08 * 1,07 * x = 1,4 1,16 x = 1,4 //: 1,16 x = 1,248 /l Esim.3.1 Asunnon hinta nousi neljässä vuodessa eurosta euroon. a) Montako prosenttia asunnon hinta nousi? b) Montako prosenttia asunnon hinta nousi keskimäärin vuosittain? a) Tämä on normaali muutosprosentti *100 = ,4 % tai = 1, ,4 % b) Kun lasketaan vuotuista nousua, niin täytyy ottaa huomioon, että hinnat nousevat koronkorkoperiaatteella. Tämä tarkoittaa, että korotus laskettaisiin kertoimet kertomalla, jos tietäisimme nousuprosentit. Nyt tuntematon x on se kerroin. x * x * x * x * = x 4 * = //: x = // x = 4 = 1, 060 6,0 % Esim Erä osakkeita myytiin 6000 eurolla. Myyntivoittoveroa (30 %) maksettiin 600 euroa. Mikä oli ostohinta ja paljonko tuli voittoa? 0,3 x = 600 //:0,3 x = 2000 (myyntivoitto) = 4000 (ostohinta) 9

12 Seuraavaksi on vielä muutamia harjoituksia prosenttilaskusta. Aina on hyvä myös itse laskea, vaikka olisi mielestään ymmärtänyt kaiken edellä olevan: Harj. 3.4 Laske. a) Tuotteen hinnasta annettiin 7 % alennusta. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 4,70? b) Tuotteen hintaa alennettiin 1 %. Mikä on alennus, jos alkuperäinen hinta on 60? c) Henkilön bruttopalkka on ja veroprosentti 21 %. Mikä on nettopalkka? a) 490 b) 84 c) 1817 Harj. 3. Arvonlisävero on 24 % ja se lasketaan verottomasta hinnasta. a) Mikä on arvonlisävero, kun veroton hinta on 78? b) Mikä on veroton hinta, kun verollinen on 37,20? c) Mikä on verollinen hinta, kun veroton on 17? d) Mikä on verollinen hinta, kun arvonlisävero on 28,80? a) 18,72 b) 30 c) 21,08 d) 148,80 Harj. 3.6 Hintaa alennettiin ensin 1 % ja myöhemmin korotettiin 1 %. Montako prosenttia hinta muuttui? laski 2,2 % Prosenttiyksikkö Prosenttiyksikköä tulee käyttää aina kun vähennetään vertailun vuoksi prosenttilukuja toisistaan. Esim Puolueiden kannatus: Vaalien kannatusprosentit lasketaan hyväksytyistä äänistä (noin 2 milj.) ja vaaligalluppien kannatusprosentit annetuista vastauksista (yleensä ). Kun näitä prosenttilukuja sitten vertailun vuosi vähennetään toisistaan, niin käytettävän laadun pitäisi olla prosenttiyksikkö. Muita esimerkkejä prosenttiyksikön käytöstä - työttömyysprosenttien vertailu - verotuksen muutokset - korkokannan muutokset 10

13 Esim Puolueen kannatus nousi,6 %:sta 6,7 %:iin. a) Montako prosenttia kannatus muuttui? b) Montako prosenttiyksikköä kannatus muuttui? a) Oletetaan, että esimerkiksi mielipidetiedustelussa oli 1000 vastaajaa. Tällöin aluksi 6 (= 0,06 * 1000) on ilmoittanut kannattavansa kyseistä puoluetta ja myöhemmässä kyselyssä vastaava luku olisi 67 (= 0,067 * 1000). Lasketaan näistä muutosprosentti: 67 6 *100 = 19,6 % (kannatus nousi) 6 tai myös prosenttiluvuilla saa suoraan laskea 6,7,6 *100 = 19,6 %,6 b) Muutoksen prosenttiyksiköissä voi laske prosenttiluvuista suoraan: 6,7 % -,6 % = 1,1 %-yksikköä (kannatus nousi) Prosenttiyksiköitä ei ole vaikea laskea, mutta yksikkö sana unohtuu tosi helposti. Esim Kun bruttopalkkaa korotettiin 8 %, verotus kiristyi 26 %:sta 2 %-yksiköllä. Korotuksen jälkeen palkasta jäi käteen 1244,16. Kuinka suuri oli käteen saatu nettopalkka ennen palkan korotusta? Bruttopalkka Verot Nettopalkka aluksi 26 % + 8 % lopuksi 28 % 1244,16 Huom. Verot lasketaan aina bruttopalkasta. Täytä yllä olevaa taulukkoa seuraavien välivaiheiden mukaisesti: Lasketaan ensin bruttopalkka lopuksi (Jos palkasta maksetaan 28 % veroa, niin käteen jää 72 %.): 0,72 x = 1244,16 x = 1728 Seuraavaksi lasketaan alkuperäinen bruttopalkka (Jos palkkaa on korotettu 8 %:lla, niin uusi palkka on 108 % alkuperäisestä.): 1,08 x = 1728 x = 1600 Vihdoin voidaan laskea vanha nettopalkka (Otetaan edellisestä palkasta verot pois.): 0,74 * 1600 =

14 Lopuksi seuraavassa esimerkissä käydään läpi tapaus, jossa lähtölukuina on pelkkiä prosenttilukuja. Tällöin on näppärintä ottaa aluksi joku vertailuluku (yksi tai tarvittaessa useampia), joista lähtee liikkeelle. Sitten lasketaan tehtäväksi annon prosenttimuutokset. Lopuksi lasketaan esimerkiksi kysytty muutosprosentti. Huom. Mitkään yksikertaiset yhteen- tai vähennyslaskut eivät toimi! Esim Erään navigaattorimerkin markkinaosuus oli 20 %. Seuraavana vuonna tämän merkin myynti kasvoi 10 % ja navigaattoreiden kokonaismyynti kasvoi 40 %. a) Mikä on kyseisen merkin markkinaosuus jälkimmäisessä tilanteessa? b) Montako prosenttiyksikköä ja mihin suuntaan markkinaosuus muuttui? Valitaan alkuperäiseksi kokonaismyynniksi vaikka Voi tietenkin laskea myös kirjaimilla. Tämä merkki Muut merkit Kokonaismyynti aluksi (= 0,2 * 10000) (= ) +10 % + 40 % lopuksi (=1,1 * 2000) (= ) (=1,4 * 10000) 2200 a) *100 = 1,7 % b) Laski 20 %:sta 1,7 %:iin eli 4,3 %-yksikköä. 12

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin HAAGA-HELIA MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin Katri Währn Kevät 2012 1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto-

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Jos vaikka kolmosta ei tiedettäisi, sen saisi ratkaisua jakolaskulla

i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Jos vaikka kolmosta ei tiedettäisi, sen saisi ratkaisua jakolaskulla 1 PROSENTTILASKUN PERUSTAPAUKSET 1. Prosenttilaskun perusyhtälö i a = b, jossa i = prosenttiluku desimaalimuodossa a = perusarvo b = prosenttiarvo Kun kaksi kolmesta tunnetaan, voidaan kolmas aina ratkaista

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100 1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1

Lisätiedot

6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU

6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU 6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU Murtoluku Sekaluku Osoittaja Nimittäjä Kokonaisosa Murto-osa Murtoluvun muuttaminen Jos murtoluvun osoittaja on suurempi

Lisätiedot

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja 1. Italialainen design-laukku maksaa euroa ja vastaava piraattituote 60 euroa. Kuinka monta prosenttia a) design-laukku on piraattilaukkua kalliimpi b) piraattilaukku

Lisätiedot

11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja.

11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. 113 11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. Esim. Kun sulatetaan 63 g kuparia ja 37 g sinkkiä, saadaan 100 g messinkiä. 63 100 = 114

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Kuutio % Kappaleet kertaus

Kuutio % Kappaleet kertaus Kuutio % Kappaleet 1-6 + kertaus % 1 1. Prosentti 1 % = 1 100 = 0,01 Prosentti on sadasosa. 2 % = = 20 % = = Alleviivattu muoto on 200 % = = nimeltään prosenttikerroin Esimerkki 1. Kuinka monta prosenttia

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Vastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3.

Vastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3. Vastaukset. a) 5 b) 4 c) d) -. a) x + = 8 b) x - = -6 c) - x = 4 d) 0 - x =. a) 4 b) c) 5 d) 8 4. a) x 8 b) 5x 5 x c) 5 x d) 6 5. a) kyllä b) ei c) kyllä d) ei 6. a) x x x b) x x x 0 0 0 x c) x x x x 00

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 3.1 137. 138. a) Yhtiövastikkeesta on rahoitusvastiketta 40 % ja hoitovastiketta 60 %. Ilmaistaan 60 % desimaalilukuna. 60 % = 0,60 Lasketaan hoitovastikkeen määrä euroina. 0,60

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48 Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset

Lisätiedot

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu Talousmatematiikka Kotitehtävät 2 - Pakollisten tehtävien ratkaisut 1. Laske valtion tulovero, kunnallisvero, kirkollisvero ja sairausvakuutusmaksu taulukon jokaisen rivin tilanteessa. Laske myös kuinka

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tampereen kesäyliopisto, syksy 2016 Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 1. harjoitus, (la 29.10.2016) 1. Laske seuraavat laskut. Laske kukin lasku ensin käsin kynää ja paperia käyttäen. Anna vastaukset

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT

HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT 1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1 TEHTÄVÄT 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ TIEDOT JA ESIMERKIT:

HUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ TIEDOT JA ESIMERKIT: 1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan! Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22

Lisätiedot

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Lyhyt, kevät 2016 Osa A Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet SI-järjestelmä Antti Haarto 21.05.2012 Fysiikka ja muut luonnontieteet Ihminen on aina pyrkinyt selittämään havaitsemansa ilmiöt Kreikkalaiset filosofit pyrkivät selvittämään ilmiöt

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut? Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

8 8 x = x. x x = 350 g

8 8 x = x. x x = 350 g PERUSPROSENTTILASKUT Esimerkki. Kuinka paljon koko pitsa painaa? Mistä määrästä 8 % on 28 grammaa? 100 % 8 %? g 28 g % g 8 28 100 x 8 8 x = 100 28 100 28 x 100 28 8 x x = 350 g TEHTÄVIÄ 1. Laske. a) 5

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa Harjoituksia 9 Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa 1. Kirjoita yhtälö ja ratkaise x. a) lukujen x ja 6 summa on yhtä suuri kuin lukujen x ja 4 tulo. b) Kun luku x kerrotaan kolmella

Lisätiedot

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen kuudennen luokan matematiikan koe 2014

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen kuudennen luokan matematiikan koe 2014 Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen kuudennen luokan matematiikan koe 2014 MFKA-Kustannus Oy Rautatieläisenkatu 6, 0020 HELSINKI, puh. (09) 102 378 http://www.mfka.fi Peruskoulun

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 28.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 28.1.2009 1 / 28 Esimerkki: murtoluvun sieventäminen Kirjoitetaan ohjelma, joka sieventää käyttäjän antaman murtoluvun.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko

Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko MAA1 Koe 2.9.2015 Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko Jussi Tyni A-osio. Ratkaise tehtävät tähän monisteelle! Ei

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Prosentti Prosentti on arkielämän matematiikkaa. Kuitenkin prosenttilaskut ovat oppilaiden mielestä

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk K00 1. Asunto-osakeyhtiö nosti asuntojen yhtiövastikkeita 8,5 %. Kuinka suureksi muodostui 64,5 neliömetrin suuruisen asunnon kuukauden yhtiövastike, kun neliömetriltä oli aiemmin maksettu 12,00 mk kuukaudessa?

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot