2 Kappaleeseen vaikuttavat voimat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Kappaleeseen vaikuttavat voimat"

Transkriptio

1 Kappaleeseen vaikuttavat voimat. Vuorovaikutus ja voima -. a) Sauvamagneetin ja Maan välillä vallitsee gravitaatiovuorovaikutus. Maan ja magneetin välillä on magneettinen vuorovaikutus. Kosketusvuorovaikutus on langan ja magneetin välillä. Magneetin ja ilman välillä on kosketusvuorovaikutus. b) ravitaatiovuorovaikutus: kärryt ja Maa Kosketus/tukivuorovaikutus: lattia ja kärryt Kosketus/työntövuorovaikutus: työntäjä ja kärry Kitkavuorovaikutus: lattia ja kärryt Kosketusvuorovaikutus: kärryt ja ilma c) ravitaatiovuorovaikutus: Maa ja pallo Kosketusvuorovaikutus: ilma ja pallo d) ravitaatiovuorovaikutus: Maa ja auto Kosketus/kitkavuorovaikutus: maanpinta ja auto Kosketus/tukivuorovaikutus: Maa ja auto Kosketus/väliaineen vastus: ilma ja auto e) ravitaatiovuorovaikutus: Maa ja pallo Sähköinen vuorovaikutus: pallot keskenään Kosketus/tukivuorovaikutus: lanka ja pallo Kosketusvuorovaikutus: pallo ja ilma -. a) Maan kanssa ovat etävuorovaikutuksessa Aurinko ja Kuu. Muutkin taivaankappaleet ovat vuorovaikutuksessa Maan kanssa, mutta niiden gravitaatiovuorovaikutus on merkittävästi heikompi. b) Kun autoa työnnetään, se on kosketusvuorovaikutuksessa työntäjien ja tienpinnan kanssa. c) Tilanne, jossa kappale ei olisi vuorovaikutuksessa minkään toisen kappaleen kanssa, on mahdoton. -3. Kuorma-auto on gravitaatiovuorovaikutuksessa Maan kanssa. ravitaatiovuorovaikutus aiheuttaa autoon kohdistuvan painon. Kuorma-auto on kosketusvuorovaikutuksessa tienpinnan kanssa. Tästä aiheutuvat tukivoimat ja kitka, jotka kohdistuvat renkaisiin. Auto on myös kosketusvuorovaikutuksessa laatikon kanssa. Tästä aiheutuvat kitka lavan ja laatikon välillä sekä laatikkoon kohdistuva tukivoima. Tämän tukivoiman vastavoima on voima, jolla laatikko painaa auton lavaa. Auton liikkuessa auto ja lavalla oleva laatikko ovat kosketusvuorovaikutuksessa ilman kanssa. Tästä aiheutuu autoon ja laatikkoon kohdistuva väliaineen vastus. 6

2 . Mekaniikan peruslait -4. a) Hyppääjän liiketila pyrkii jatkumaan. Jos hän hyppäisi suoraan maalialueen yläpuolella, hän joutuisi kauas maalialueelta. b) Mattopiiskan osuessa mattoon matto liikahtaa lyönnin suuntaan, jolloin jatkavuuden lain mukaan roskat jäävät piiskan puoleisella pinnalla matosta jälkeen, irtoavat ja putoavat maahan. Maton liikahdus saa roskat liikkeelle vastakkaisellakin puolella mattoa, ja maton pysähtyessä roskat jatkavat matkaansa ja siten irtoavat. Myös iskuissa syntyvillä paineaalloilla on merkitystä. c) Pulloa ravistettaessa sitä liikutetaan korkki edellä ja sitten pysäytetään yhtäkkiä, jolloin sisällä oleva ketsuppi jatkaa liikettään jatkavuuden lain mukaan. Näin ketsuppi saadaan liikkumaan kohti pullon suuaukossa olevaa suljettua korkkia. Tämän jälkeen korkki voidaan avata ja ketsuppi saadaan ulos. d) Vanhoissa kirveissä on metalliterään kiinnitetty puuvarsi, joka joskus irtoaa. Irronnut varsi kiinnittyy terään, kun varsi työnnetään terän reikään ja sen jälkeen kopautetaan varren päätä tukevaan alustaan. Tällöin joka kopautuksella terä siirtyy jatkavuuden lain mukaan tiukemmin kiinni varteen. Näin kiinnitetty varsi ei ole kuitenkaan turvallinen, koska se voi irrota pian uudestaan. Irronnut terä voi aiheuttaa vahinkoja ja vammoja. Terän kiinnitys on syytä varmistaa esim. kiilan avulla. -5. a) Väite on väärin. Voima ja vastavoima eivät kumoa toisiaan, koska ne vaikuttavat eri kappaleisiin. b) Väite on väärin. Voiman ja vastavoiman lain mukaan Aurinko ja Kuu vetävät toisiaan puoleensa yhtä suurilla voimilla. c) Väite on oikein. Kappaleen saama kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen kappaleen massaan, jos voima on vakio. Raskaampi kappale on vaikeampi saada kiihtyvään liikkeeseen. -6. Auto liikkuu vakionopeudella: Painovoima Maan ja auton välinen vetovoima. Tukivoimat kohdistuvat Maasta auton pyöriin. Näiden vastavoimia ovat pyöristä maahan kohdistuvat voimat eli tienpintaa kuormittavat voimat. Liikettä vastustavat voimat ovat ilmanvastus (ilmasta autoon kohdistuva voima) ja vierimisvastus (vierivän pyörän vierimistä vastustava voima). Liikkeen suuntainen voima on tiestä auton renkaisiin kohdistuva kitkavoima. Liikkeen suuntainen kitka ja liikevastukset ovat itseisarvoltaan yhtä suuret. Lisäksi autoon kohdistuu periaatteessa ilmasta aiheutuva häviävän pieni noste. Auton nopeus kasvaa: Kuten edellä, mutta liikkeen suuntainen kitkavoima, joka vaikuttaa tiestä renkaisiin, on suurempi kuin liikettä vastustava kokonaisvoima. Auton nopeus pienenee: Kuten edellä, mutta liikkeen suunnalle vastakkaissuuntainen voima on suurempi kuin liikkeen suuntainen voima. 7

3 Huomaa, että kun kappale on vuorovaikutuksessa ilman kanssa, voimavektori piirretään yleensä ainoastaan nosteen ja ilmanvastuksen tapauksissa. -7. a) Voimat 3 ja 4 eivät ole voima ja vastavoima, koska ne vaikuttavat samaan kappaleeseen. b) Voiman vastavoima on 3. c) Voiman 6 vastavoima on voima, jolla kappale vetää Maata. d) Voima 5 on tukivoima, jolla naru estää lampun putoamisen. Voima 6 on voima, jolla Maa vetää kappaletta. -8. a) Kun Juho laskeutuu köyden varassa pitkin kallioseinämää, häneen vaikuttavat Maan vetovoima, köyden jännitysvoima, seinän tukivoima, seinän kitka, ilman hyvin pieni noste ja mahdollisesta tuulesta johtuva ilmanvastus. b) i N i i N -9. Kummassakin tapauksessa lukema on 50 N. 8

4 -0. a) b) i S N c) d) i s -. Tehtävässä tarkastellaan pöydällä olevaa kappaletta. Kappale on vuorovaikutuksessa pöydän kanssa (kosketusvuorovaikutus) ja Maan kanssa (gravitaatiovuorovaikutus). Piirroksessa b on esitetty gravitaatiovuorovaikutukseen liittyvät voimat: Maa vetää kappaletta puoleensa voimalla ja kappale vetää Maata puoleensa voimalla. Nämä ovat voima ja vastavoima. Piirroksessa c on esitetty kosketusvuorovaikutukseen liittyvät voimat: kappale painaa pöytää voimalla ja pöytä tukee kappaletta voimalla N. Nämä ovat voima ja vastavoima. Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat on koottu vapaakappalekuvaan a. Kappaleeseen vaikuttavat painovoima ja pinnan tukivoima N. (Kosketusvuorovaikutusta ilman kanssa ei ole otettu huomioon.) -. a) Koska siima kestää 00 N vetovoiman, siima kestää vedon 50 N voimalla. b) Köydenvedossa häviävän joukkueen vetäjien kengänpohjien ja maanpinnan välinen kitka on pienempi. -3. Pienin kiihtyvyys on kappaleella a. Kappaleilla c ja d on sama kiihtyvyys, joka on vertailussa toiseksi pienin. Suurin kiihtyvyys on kappaleilla b ja e. Eli järjestys on lyhyesti a a < a c = a d < a b = a e. 9

5 -4. a) yysikko oli Sir Isaac Newton. b) Kyseinen vuorovaikutus on gravitaatiovuorovaikutus. Runossa kuvattu omena on kiihtyvässä liikkeessä. c) Omenan maapalloon kohdistama vetovoima on yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin omenan paino. d) Mato ei voi havaita putoamisen aikana painovoiman vaikutusta, koska omenan ja madon välinen tukivoima on nolla. -5. Kiihdyttävä voima on Newtonin II lain mukaan = ma = 87 kg 0,80 m/s 70 N. -6. a) Auton kiihtyvyys on 95 0m/s m/s Δv 3, 6 a = = 6 m/s Δt, 0 s eli hidastuvuus on 6 m/s. b) Turvavyön kuljettajaan kohdistama voima on = ma = 75 kg 6,4 m/s,0 kn. -7. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Kelkkaan vaikuttava kokonaisvoima on Σ =,55kN,5kN = 0,400kN = 400 N. Dynamiikan peruslaista Σ 400 N, m/s a = =. m 80kg Σ = ma kelkan kiihtyvyydeksi saadaan 30

6 -8. Koska auto pysähtyy jarrutuksen jälkeen, jarrutukseen kulunut aika on Δv 0 v0 v0 t = = =. a a a Tässä ajassa auto kulkee matkan v0 v0 v0 v0 v0 s = v0t + at = v0 + a = + =. a a a a a Ratkaistaan yhtälöstä auton kiihtyvyys. Auton alkunopeus on v 0 = 58 km/h = 6, m/s ja jarrutusmatka 8 m. Auton kiihtyvyys on v0 (6,m/s) a = = 7, m/s. s 8m a) Tarvittava voima on = ma = 7 kg ( 7, m/s ) 50 N. Pysäyttämiseen tarvittavan voiman suuruus on 50 N. b) Henkilön paino on = mg = 7 kg 9,8 m/s 706 N, joka on suurempi kuin 50 N, joten a-kohdassa laskettu voima ei riitä nostamaan henkilöä Maasta. c) Pysähtyminen kestää t v a 6,m/s 7, m/s 0 = =, s. -9. a) Auton kiihtyvyys on 50 m/s Δv 3, 6 a = =, 39 m/s Δt 0s ja tarvittava voima = ma = 800 kg,39 m/s, kn. b) Tangon massa on N m = = 0kg. g 9,8m/s c) Koska painovoima ei vaikuta auton kiihtyvyyteen, kohdan a) vastaus olisi =, kn eli sama kuin Maassa. Kuussa tangon massa olisi suurempi eli N m = 0,65 9,8m/s 690kg. -0. Sovitaan suunta oikealle positiiviseksi. Koska vaunun nopeus pienenee tasaisesti, sen kiihtyvyys on vakio. 3

7 v v N Tasaisesti muuttuvassa liikkeessä keskinopeus on v k m m 4, +,9 v0+ v s s m = = = 3,55. s Koska toisaalta on vk = s/, t hidastumiseen kulunut aika on s 80 m t = = 78,87 s. v 3,55 m/s Vaunun kiihtyvyys on k m m,9 4, Δv s s m a = = 0,0648. t 78,87 s s Liikesuunnalle vastakkainen kokonaisvoima on v ( ) = ma= 8000kg 0, 0648 m/s 300N. Voima on 300 N ja suunta kuvan mukaisesti vasemmalle. -. a) Oletetaan vastusvoimat pieniksi. Aluksi liike on tasaisesti kiihtyvää. Δv Kiihtyvyys on a =, josta alkukiihdytykseen kuluva aika on t t a,m/s Δv,5 m/s = = 0,4s. Tänä aikana vaunu kulkee matkan s = at =,m/s (0,4s) 65,m. Vaunu jarruttaa tasaisesti, joten a Δv 0m/s,5m/s = =,36 m/s. t3 9,5 s Jarrutuksen aikana vaunun kulkema matka on s = a t3,36 m/s (9,5 s) 59,4 m. = Tasaisen liikkeensä aikana vaunu kulkee matkan 3

8 s = 450 m 65, m 59,4 m = 35,5 m. Tähän matkaan kuluu aikaa 35,5m 6,0s. 45 m/s 3, 6 Kokonaisaika on 0,4 s + 6,0 s + 9,5 s 46 s. 0 0 v t s b) Kokonaisvoima voidaan määrittää dynamiikan peruslain = ma perusteella. Aikavälillä 0 0,4 s kiihtyvyys on, m/s ja kokonaisvoima = ma = 35000kg, m = 4kN s. Ajan t = 6,0s vaunu liikkuu tasaisella nopeudella, jolloin kiihtyvyys on nolla ja myös kokonaisvoima on nolla. m Ajan t 3 = 9,5 s kiihtyvyys on a =,36 ja kokonaisvoima s m = ma = kg,36 46 kn. s Voima on jarruttava voima. 33

9 .3 Liikeyhtälö -. a) Henkilö työntää seinää: vaikuttavat voimat ovat painovoima, seinän pinnan tukivoima ja kitka sekä kengänpohjiin kohdistuvat lattian tukivoima ja kitka. N N b) Jääkiekko hidastuvassa liikkeessä: vaikuttavat voimat ovat painovoima, jään pinnan tukivoima sekä liikettä vastustavat kitka ja ilmanvastus. i c) Vakionopeudella ylöspäin nouseva raketti: vaikuttavat voimat ovat alas suuntautuvat painovoima ja ilmanvastus, joiden summa on yhtä suuri kuin ylös suuntautuva voima, joka syntyy purkautuvien palamiskaasujen rakettiin aiheuttamasta voimasta. i 34

10 d) Putoava pallo: vaikuttavat voimat ovat painovoima ja ilmanvastus (ja noste). Jos voimien summa on nolla, pallo putoaa vakionopeudella. Muutoin pallo on kiihtyvässä tai hidastuvassa liikkeessä matkalla alas. (Nouseva ilmavirtaus voi aiheuttaa hidastuvan liikkeen varsinkin, jos pallo on kevyt.) noste i -3. a) Auto lähtee liikkeelle kiihdyttäen. Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat laatikon paino, lavan tukivoima, kitkavoima liikkeen suuntaan ja liikesuunnalle vastakkainen ilmanvastus. i b) Auto liikkuu vakionopeudella. Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat laatikon paino ja lavan tukivoima sekä kitkavoima ja ilmanvastus, jotka ovat yhtä suuria keskenään. i c) Auto jarruttaa. Vaikuttavat voimat ovat laatikon paino ja lavan tukivoima. Kitkavoima ja ilmanvastus ovat liikkeen suunnalle vastakkaiset. i 35

11 -4. a) b) Kappaleen liikeyhtälö on Σ = maeli + μ = ma. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi suunnaksi, saadaan skalaariyhtälö µ = ma. Kiihtyvyys on μ 755 N 60 N 3,9 m/s a = =. m 35kg -5. a) Tiinan massa m = 65 kg ja vaa an näyttö m = 55 kg. Tiinaan vaikuttavat voimat ovat painovoima ja vaa an pinnan tukivoima. Tiinan liikeyhtälö on Σ = ma eli + N = ma. Kun valitaan suunta alaspäin positiiviseksi, skalaariyhtälöstä N = ma saadaan hissin kiihtyvyydeksi N mg m g m m a= = = g = m m m 65kg ' ' 65kg 55kg 9,8m/s,5m/s. Hissi on kiihtyvässä liikkeessä alaspäin tai hidastuvassa liikkeessä ylöspäin. b) Koska vaa an lukema on sama kuin Tiinan massa, hissi on paikoillaan tai etenee vakionopeudella. c) Vaa an lukema on 75 kg. Tiinaan vaikuttavat voimat ovat painovoima ja vaa an pinnan tukivoima. Tiinan liikeyhtälö on Σ = ma eli + N = ma. Kun valitaan suunta alaspäin positiiviseksi, skalaariyhtälöstä N = ma saadaan hissin kiihtyvyydeksi N 65kg 75kg 9,8m/s,5m/s a = =. m 65kg Hissi on hidastuvassa liikkeessä alaspäin tai kiihtyvässä liikkeessä ylöspäin. -6. Kiekon kiihtyvyys on v v0 0,6 m/s a = = = 0,0 m/s ja voima t 8,0s ma = = 0,70kg ( 0,0m/s ) = 0,034 N. 36

12 Liikettä vastustava kitkavoima on liikkeen suunnalle vastakkainen ja sen suuruus on 0,034 N = 34 mn. -7. a) p, vast i b) Perävaunun liikeyhtälö on Σ = ma eli Tp + p,vast = mpa. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi suunnaksi, jolloin skalaariyhtälö on T = m a. p p,vast P Voima, jolla auto vetää perävaunua, on T m a p = p,vast + p = 90 N kg 0,50 m/s 70 N. -8. Resultantti saadaan kosinilauseen avulla: = + (340 N) (90 N) 340 N 90 N cos65. Voima on 60 N N 340 N 60 N 340 N 90 N 65 37

13 x Pekka vetää voimalla P. Kosinilauseesta (70N) = P + (0N) 0N P cos 43 saadaan yhtälö (yhtälöstä on yksinkertaisuuden vuoksi jätetty yksiköt pois) P 3,8 P = 0. Yhtälön ratkaisu on P = 40,8 N tai P = 8,0 N. Pekka vetää 40 N voimalla. Näistä jälkimmäinen arvo ei kelpaa, koska silloin kulman x tulisi olla tylppä kulma. Sinilauseesta 0N sin x 70N = sin 43 saadaan ristiin kertomalla kulma x 6. Karitan tulee vetää Pekan suuntaan nähden oikealle yläviistoon 80 6 = 8 kulmassa..4 Voimien lakeja -30. Punnuksen liikeyhtälö on Σ = ma eli T + mg = ma. Kun suunta ylöspäin on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö T mg = ma. a) Koska punnus liikkuu vakionopeudella, kiihtyvyys on nolla. Yhtälöstä T mg = 0 jousivaa an lukemaksi saadaan T T = mg =, 6 kg 9,8m/s 6 N. a =

14 b) Kun hissi lähtee alaspäin, skalaariyhtälö on T mg = ma. Jousivaa an lukema on = = ( ) =,6 kg(9,8m/s,7 m/s ) 3 N. T mg ma m g a T a + c) Kun hissi lähtee ylöspäin, skalaariyhtälö on T mg = ma ja lukema T = mg + ma = m( g + a) =,6 kg (9,8 m/s +,7 m/s ) 8 N. -3. a) Hissin liikeyhtälö on Σ = ma eli T + ( m+ m) g = ( m+ m) a, jossa T on kannatinvaijerin maksimikuormitus. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, skalaariyhtälöstä T ( m + m ) g = ( m + m ) a saadaan hissin kiihtyvyydeksi = T g = 5,3 kn a 9,8m/s,m/s. m + m 650 kg kg b) Hissin liikeyhtälö on Σ = maeli N + mg = ma, jossa N on matkustajien hissin lattiaan kohdistama voima. Kun suunta ylöspäin on positiivinen, skalaariyhtälöstä N mg = ma saadaan voiman N suuruudeksi N = m g+ m a= m g+ a = +. ( ) 640 kg (9,8m/s,05 m/s ) 7,6 kn -3. Reen ja pulkan liikeyhtälö on Σ = ma a = m = m + m = 50N. 73,5kg Narussa vaikuttava jännitysvoima on 50 N T = ma = 8,5 kg 9 N. 73,5 kg. Kiihtyvyys on 39

15 -33. T T + a a mg mg Kirjoitetaan liikeyhtälöt kummallekin kappaleelle erikseen. Koska langan jännitysvoima on jokaisessa kohdassa yhtä suuri, on T = T = T. Kappaleen m liikeyhtälö on Σ = m a. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö m g m a. T = Kappaleen m liikeyhtälö on Σ = m a. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T mg = ma. Saadaan yhtälöpari T mg = ma. T mg = ma Kerrotaan alempi yhtälö luvulla ja lasketaan yhtälöt yhteen (eli vähennetään puolittain ylemmästä yhtälöstä alempi). Näin saadaan g m m ) = ( m m ) a, ( + josta saadaan kiihtyvyydeksi m m,0 kg a = g = 9,8m/s, m/s. m + m 6,0 kg Langan jännitysvoima on T = m a + m g = m ( a + g) = 7,0 kg (,3 m/s + 9,8m/s Kappale m törmää lattiaan nopeudella v = as =,3 m/s,0 m,6 m/s. ) 77 N. 40

16 -34. Käytetään tehtävän ratkaisussa sinilausetta. Saadaan verranto =, sin 8,50 sin 7,50 josta vaakasuorassa olevan vaijerin jännitysvoimaksi saadaan = Yhtälöstä 559 N. sin 7,50 7,50 kg 9,8m/s sin 8,50 = sin 90 sin 7,50 vaijerin vinon osan jännitysvoimaksi saadaan 564 N Kuormien ja ero on Δ = (5, 0 kg,0 kg) 9,8 m/s 37,3 N. Kuvaajan perusteella venymät ovat 60 mm ja 40 mm ja niiden erotus on Δx = 0 mm. Jousen jousivakioksi saadaan Δ 37,3 N k = = 6,867 N/mm. Δx 0 mm a) Jousen venymän muutos ilman kuormaa verrattuna kuormaan on Δ (, 0 kg 0 kg) 9,8 m/s Δ x = = = 5, 7 mm. k 6,867 N/mm Alkukohta on siis 40 mm 5,7 mm 4 mm (4,9 mm) kohdalla. b) Koska aloituskohta on 4,9 mm, kuorman 3 kanssa venymä on 30 mm. Kuorma 3 venytti jousta 30 mm 4,9 mm = 5,7 mm. Näin ollen = kx = 6,867 N/mm 5,7mm = 39,N ja kuorman 3 massa on 39,N m = = 4,0 kg. g 9,8m/s 4

17 -36. Ratkaistaan jousen venymä. Jousi lyhenee tasapainoasemasta venymänsä verran. Värähtelyn jaksonajaksi saadaan kuvasta T =, s. j Värähtelevän jousen jaksonajan ja jousivakion välinen yhtälö korotetaan puolittain toiseen potenssiin: m T = 4π, k josta jousivakioksi saadaan m 4π 0,500 kg 4π k = = 3,708 N/m. T (, s) Kun värähtely on vaimentunut ja punnus riippuu venyneessä jousessa, vallitsee tasapainotila, jolloin Σ = 0 eli j + = 0. Valitaan positiiviseksi suunnaksi suunta ylöspäin, joten j = 0 eli ky mg = 0. Kun punnus irrotetaan, jousi palautuu tasapainoasemaansa ja jousen lyhenemäksi y saadaan mg 0,500 kg 9,8m/s y = = 0,36 m. k 3,708 N/m -37. Kiihtyvyys a =Δv/Δt on vakio kaikilla alla olevilla aikaväleillä. Hissin kiihtyvyydet saadaan kuvaajasta fysikaalisena kulmakertoimena:, 5 m/s 0 4 s: a = = 0,375 m/s 4,0s 4 0 s: a = 0 (liike on tasaista) 0 s: a, 5 m/s,0s 3 = = 0,75m/s. T Hissin liikeyhtälö on Σ = ma eli T + = ma. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T mg = ma kannatinvaijeria jännittävä voima on T = ma+ mg. + 4

18 Kiihtyvyyksiä vastaavat jännitysvoimat ovat T = ma + mg = +, 480kg (0,375 m/s 9,8m/s ) 4,9 kn T = mg = 480 kg 9,8 m/s 4,7 kn ja T 3 = ma 3 + mg = m(a 3 + g) = 480 kg ( 0,75 m/s + 9,8 m/s ) 4,3 kn a) Talvirenkaiden kuviointi on tehty siten, että lumisissa ja jäisissä olosuhteissa renkaiden pito tienpinnalla olisi mahdollisimman hyvä. Talvirenkaan kuvioiden raot ovat suuremmat kuin kesärenkaassa, ja pinnassa voi olla pitoa parantava hienorakenne. Lisäksi talvirenkaiden kumi on pehmeämpää kuin kesärenkaiden. Tällaiset renkaat tarttuvat mahdollisimman lujasti tienpinnan pieniinkin epätasaisuuksiin. Kesärenkaiden kuvioiden tarkoitus on poistaa märällä pinnalla vettä renkaiden ja tien välistä. Jos kulutuspinta on ohut ja urat matalat, renkaat eivät pysty syrjäyttämään vettä tai sohjoa riittävästi. Tällöin auto voi joutua vesi- tai sohjoliirtoon eikä autoa voi silloin ohjata. b) Jos nastarenkaita ei käytettäisi, tienpinnat kestäisivät paremmin. Talvella nastarenkaiden käyttö on perusteltua kitkan suurentamiseksi ja liikenneturvallisuuden lisäämiseksi. c) Kitka estää renkaan sutimisen, joten sen suunta on auton etenemissuunnan mukainen. Kitka on lepokitkaa, koska rengas ei sudi Hyvin pieni kitkakerroin on esimerkiksi ainepareilla teflon ja teflon sekä teräs ja jää a) Junan pysäyttää pyörien ja kiskojen välinen kitkavoima. b) Lämmittäminen pehmentää kumia, jolloin se pureutuu tiukemmin asfalttipinnan hienorakenteeseen. Renkaiden pito paranee, koska kitka renkaan ja tienpinnan välillä suurenee. Tämän ansiosta mm. kaarteet voidaan ajaa suuremmalla nopeudella. -4. a) Tienpinnan ja renkaiden välinen kitka antaa autolle kiihtyvyyden. Jos auton kiihdytys on rauhallista ja renkaat eivät pyöri tyhjää, kitka on lepokitkaa. Jos pyörät sutivat, kitka on liukukitkaa. b) Kun auto lähtee liikkeelle, laatikko pyrkii jatkavuuden lain mukaan pysymään paikallaan. Jos laatikko pysyy autoa kiihdytettäessä lavan suhteen paikoillaan, lavan ja laatikon välinen kitka on lepokitkaa. Jos laatikko liukuu lavalla, kitka on liukukitkaa. 43

19 -4. a) Lennettäessä korkealla lentokoneeseen kohdistuva ilmanvastus on pienempi, koska ilma korkealla on harvempaa. Tällöin polttoainetta kuluu vähemmän kuin matalalla lennettäessä. b) Pakkasella lumikiteet eivät sula paineen vaikutuksesta jalan alla. Lumen narskuminen pakkasella johtuu siitä, että hauraiden lumikiteiden kiderakenne hajoaa askelten voimasta. Varsinkin uuden pakkaslumen kiteet ovat teräväreunaisia ja reunojen hankautuminen toisiaan vasten synnyttää myös narskumista a) Väliaineen vastusta pyritään hyödyntämään esimerkiksi soudussa ja uinnissa. Keihäänheittäjät, kuulantyöntäjät, seiväshyppääjät ja painonnostajat käyttävät magnesiumia, jotta saadaan parempi ote välineestä, eli magnesiumia käytetään lisäämään kitkaa. b) Kitkaa ja väliaineen vastusta pyritään vähentämään mm. uinnissa, mäkihypyssä, autourheilussa (väliaineen vastusta vähennetään, kitkaa lisätään), syöksylaskussa ja kelkkailussa c w on muotokerroin, ρ tiheys, A pinta-ala ja v nopeus. Muotokertoimen pienentämisellä pyritään pienentämään ilman vastuksen vaikutusta polttoaineen kulutukseen. Aikaisemmin autojen nopeudet olivat pienemmät ja ilmanvastuksen vaikutus pienempi. Myös polttoaineiden uhkaava loppuminen ja niiden kohonneet hinnat ovat vaikuttaneet siihen, että autojen muotoiluun ja muotokertoimiin on kiinnitetty enemmän huomiota a) Autojen etujarrujen on oltava tehokkaammat kuin takajarrujen, koska tällöin (esim. lukko)jarrutuksessa auto etenee liikkeen suunnassa eikä käänny poikittain. b) Jos auton etupyörät pyörivät (kitka lepokitkaa) ja takapyörät lukkiutuvat (kitka liukukitkaa), auton peräpää pyrkii kääntymään sivulle (vrt. käsijarrukäännöksen teko), koska liukukitka on pienempi kuin lepokitka. Liukuva perä kääntyy edelle, koska sivuttaisliikkeeseen joutuneen perän nopeus (vektorisuure) on suurempi kuin auton etuosan. c) Lukkiutumattoman jarrujärjestelmän (ABS) toiminta perustuu siihen, että auton pyörien pyörintänopeutta voidaan tarkkailla. Se tapahtuu anturien ja mikroprosessorien avulla, jotka ohjaavat kuhunkin jarruun menevää nestepainetta. Pyörän pyörimisnopeutta mitataan monta kertaa sekunnissa. Jos pyörä pyrkii lukkiutumaan, venttiili avautuu ja päästää painetta pois kyseisen pyörän nestepiiristä. Lukkiutumattomissa jarruissa sovelletaan ns. sumeaa logiikkaa Monissa laitteissa liukuminen muutetaan kuulalaakereiden avulla vierimiseksi, jolloin kitka pienenee. 44

20 -47. a) Potkukelkkaan vaikuttavat voimat ovat paino, jään pinnan tukivoima, kitkavoima (liikkeen suuntaa vastaan) ja ilmanvastus (suunta riippuu tuulesta). i b) Höyheneen vaikuttavat voimat ovat ilmanvastus (liikkeen suuntaa vastaan) ja paino. i c) Kuorma-autoon vaikuttavat voimat ovat paino, tienpinnan tukivoima, kitkavoima (liikkeen suuntaan, mahdollistaa liikkeen), ilmanvastus ja vierimisvastus liikesuuntaa vastaan. vast d) Pyöräilijään vaikuttavat paino, satulan, ohjaustangon sekä polkimien tukivoimat ja ilmanvastus, jonka suunta riippuu tuulesta. vast 45

21 -48. a) Tarvittava voima on µ = µn = µmg = 0, kg 9,8 m/s 940 N. b) v -49. a) Kappale lähtee liikkeelle hetkellä t =, s, kun kappaleeseen vaikuttava voima ylittää lepokitkan suurimman arvon 4,5 N. b) Kun kappale liikkuu tasaisella nopeudella, liikekitka on yhtä suuri kuin vetävä voima: kuviosta saadaan µ =,5 N. Liikekitka on µ = µn = µmg, josta saadaan liikekitkakertoimeksi μ,5 N μ = = mg, 8 kg 9,8m/s 0,4. c) Kuviosta saatava suurin lepokitka on µ 0 = 4,5 N. Lepokitkakerroin on 4,5 N μ = = mg,8 kg 9,8m/s μ 0 0 0, a) Lähtö- ja liikekitkan ero on µ0 µ = µ 0 mg µmg = mg(µ 0 µ) = 4 kg 9,8 m/s (0,30 0,0) 4 N. b) Kappaleen liikeyhtälö on Σ = ma eli + = ma. μ Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö µ = ma, josta kiihtyvyys on a 0,30mg 0, 0mg m m 0,0 0,0 9,8m/s 0,98 m/s μ = = = g =. 46

22 -5. Koska hyppääjä putoaa vakionopeudella, on häneen kohdistuva väliaineen vastus yhtä suuri kuin hänen painonsa eli = mg = 9 kg 9,8m/s 900 N. Annetulla nopeudella ei ole mitään merkitystä tehtävän ratkaisun kannalta. -5. Koska kiekko on hidastuvassa liikkeessä ja lopulta pysähtyy, on v= v0 at = 0. Tästä saadaan kiekon liikkeelläoloajaksi v 0 t =. a Kitkavoima on = μmg = ma josta saadaan a= μg. Aika on μ, v0 5m/s t = = = 6,99s. μg 0,5 9,8m/s Kiekon liukuma matka on 5m/s s = vkt = 6,99s 0m (tai s = v0t at = 5 m/s 6,99 s 0,5 9,8 m/s (6,99 s) 0 m) Auton liikeyhtälö on Σ = ma. Lähtökitka aiheuttaa auton kiihtyvyyden eli = μ mg = ma. μ 0 0 Yhtälöstä saadaan auton suurimmaksi hetkelliseksi kiihtyvyydeksi a = μ g =. 0 0, 77 9,8m/s 7,6m /s 47

23 -54. Reen liikeyhtälö on Σ = ma. Kun reen liikesuunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö μ = ma. Kitkavoima on µ = µmg. Yhtälöstä µmg = ma saadaan kitkakertoimeksi ma 750 N 40kg 0,0m/s μ = = 0,7. mg 40 kg 9,8m/s -55. Liikeyhtälö on Σ = ma = 0 eli i + = 0, koska putoaminen tapahtuu vakionopeudella. Kun suunta ylöspäin valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö i mg = 0 eli w 0 c Aρv mg =. Laskuvarjon pinta-ala on mg 85kg 9,8/s A = = 58m. c ρv,4,93kg/m (4,0 m/s) w -56. Lavalla olevan laatikon liikeyhtälö on Σ = ma eli μ 0 = ma. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi. Yhtälöstä μ 0mg = ma saadaan kitkakertoimeksi a,8 m/s μ 0 = = 0,8 < 0,37. g 9,8m/s Näin ollen laatikko ei liu u. 48

24 -57. a) a + T + T a mg N mg b) Alusta on kitkaton. Koska langassa vallitsee sama jännitysvoima, on T = T = T. Liikeyhtälöstä Σ = ma saadaan skalaariyhtälöt T = ma T m. g = ma Kun yhtälöparista eliminoidaan T, saadaan m Kiihtyvyys on a m g = m a. m g 3,0 kg 9,8 m/s = = 5,9 m/s m + m,0 kg + 3,0 kg a. Alustan ja kappaleen välinen kitkakerroin on 0,0. Liikeyhtälöstä Σ = ma saadaan skalaariyhtälöt T μmg = ma T mg = ma. Eliminoidaan yhtälöparista T, jolloin kiihtyvyydeksi saadaan m g μm a = m + m g 3,0 kg 9,8m/s 0,0,0 kg 9,8m/s = 5,m/s. 5,0 kg -58. Liikeyhtälö on Σ = ma eli = μ ma. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö µ = 0,58µN = 0,58µmg = ma. Kiihtyvyydeksi saadaan a = 0,58 µg = 0,58 0,8 9,8 m/s,0 m/s. Maksimikiihtyvyyttä on vaikea saavuttaa, koska lepokitka muuttuu helposti liikekitkaksi, joka on pienempi kuin lepokitkan maksimiarvo. Kiihtyvyys pienenee auton nopeuden kasvaessa, koska tällöin ilmanvastus kasvaa Junan liikeyhtälö on Σ = ma. Kun junan liikkeelle vastakkainen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö 49

25 μ = Ma eli µmg = Ma, jossa M = 800 t + 89 t = 889 t ja m on veturin massa. Hidastuvuus on μmg 0, kg 9,8m/s a = = 0,069 m/s. M kg Yhtälöstä v= as saadaan jarrutusmatkaksi 65 m/s v 3, 6 s = =,4 km. a 0,069m/s -60. Kirjan paino on = 5,0 N. Lepokitka ylöspäin on = μn = 0,60 N = 7, N >, μ eli kirja pysyy paikoillaan. -6. a) Lähtökitka on m μ 0 = μ0n = μ0mg = 0, 6, kg 9,8 = 3,06 N. s Liikekitka on m μ = μn = μmg = 0,, kg 9,8, 47 N. s Koska jousivaa an lukema =, N on pienempi kuin lähtökitka eli < μ 0, kappale on levossa. Kappaleen liikeyhtälö on Σ = ma = 0. Kun valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö = 0. Kitkavoimaksi saadaan μ μ = =, N (lepokitkaa). b) Kun kappaletta vedetään jousivaa alla vakionopeudella, vetävä voima on yhtä suuri kuin kitka eli = =,5N (liikekitkaa). μ 50

26 -6. Kappaleen kiihtyvyydeksi saadaan (t, v)-koordinaatistosta Δv 4,5m/s a = = = 4,5 m/s Δt,0s. Liikeyhtälö lattian suunnassa on Σ = ma. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö μ = ma eli μmg = ma. Kitkakerroin on ma 35,0 N 4,0 kg 4,5 m/s μ = = 0, 43. mg 4,0 kg 9,8m/s -63. a) Kun kappale kelluu, sen tiheys on pienempi kuin nesteen tiheys. b) Kun kappale uppoaa, sen tiheys on suurempi kuin nesteen tiheys. c) Kun kappale leijuu, sen tiheys on yhtä suuri kuin nesteen tiheys a) Meriveden tiheys on suurempi kuin järviveden tiheys. Näin ollen merivedessä uiminen on helpompaa, koska noste merivedessä on suurempi kuin järvivedessä. b) Vedessä kiven kannatteleminen on helpompaa veden nosteen vuoksi. Myös ilmassa kiveen kohdistuu noste, mutta se on kaasuissa huomattavasti pienempi kuin nesteissä Kun lasikuvusta imetään ilmaa pois, ilmanpaine kuvun sisällä pienenee ja ilman tiheys alenee. Tällöin ilman noste pienenee ja lasipallo painuu alaspäin a) Epäily rautalaivojen kellumisesta johtui siitä, että raudan tiheys oli suurempi kuin veden. Rautalaivan pysyminen pinnalla johtuu veden nosteesta. Kelluva laiva on ontto, eli valtaosa laivan tilavuudesta on ilmaa. Laiva syrjäyttää painonsa (ei tilavuutensa) verran vettä. b) Pelastusliivit on tehty vedenpitävästä kevyestä, kelluvasta materiaalista. Pelastusliivien varassa ihminen kelluu, vaikka uimiseen tai veden pinnalla pysymiseen tarvittavat voimat vedessä loppuisivat. Varsinaisten pelastusliivien (ei uimaliivien) etupuolella on suuret kellukkeet, jotka kääntävät veden varaan joutuneen tajuttoman henkilön selälleen, jolloin pää pysyy veden yläpuolella. 5

27 -67. Valuuko vesi reunan yli jään sulettua? Olkoon V veden pinnan yläpuolella oleva tilavuus ja V veden pinnan alapuolella oleva tilavuus. Jään tiheys on m jää ρ jää =, Vjää josta saadaan m = ρ V = ρ ( V + V ). jää jää jää jää Noste on yhtä suuri kuin jääpalan pinnanalaisen osan syrjäyttämän veden paino: N = mjää g ρ Vg= m g ρ V HO jää Vg= ρ ( V+ V) g HO jää ρ = V V + V ( V + V ) g jää ρ ρ = ρ HO jää HO g. Jääpalan massa on yhtä suuri kuin siitä syntyneen veden massa. Merkitään jäästä syntyneen veden tilavuudeksi x: m ρ ρ ρ jää = m jäästä tullut vesi ( V + V ) = ρ x jää HO jää x = V + V HO Toisaalta edellä saatiin tulos V V + V ρ = ρ jää HO. Yhdistetään tulokset eli x V =, josta saadaan x = V. V+ V V+ V Jäästä sulanut vesi täyttää täsmälleen sen tilavuuden, joka oli jääkappaleen pinnanalaisella osalla. Siksi vesi ei valu reunan yli jään sulettua. V V 5

28 -68. Vesivoimistelua käytetään hoitokeinona. Veden keventävästä vaikutuksesta (nosteesta) johtuen esim. voimisteleminen vedessä on helpompaa kuin ilmassa ja se rasittaa niveliä vähemmän. Toisaalta veden vastus estää liikkeitä. Näin lihakset joutuvat työskentelemään voimakkaammin kuin esimerkiksi ilmassa altaan reunalla ja hyvin heikotkin lihakset voivat kuntoutua a) yysikkoa tarvittiin ratkaisemaan ongelma, miten pallot saadaan pysymään vedessä paikoillaan. b) Teos liittyy nosteeseen. c) Ilmalla täytetyt koripallot kelluvat veden pinnalla. Taideteoksen tiedoissa ilmoitetaan veden olevan suolavettä. Suolaveden konsentraatio on suurempi altaan pohjalla, joten myös tiheys on suurin siellä. Pallojen sisällä on jotakin ainetta niin, että niiden keskitiheys on suurempi kuin suolaveden tiheys pinnalla mutta pienempi kuin suolaveden tiheys pohjalla Kelluva kappale syrjäyttää oman painonsa verran vettä. Kummankin lelun syrjäyttämän veden paino on yhtä suuri kuin astiaan mahtuvan lisäveden paino, jos lelua ei olisi astiassa. Kaikissa tilanteissa punnitustulos on sama. -7. Koska kuulan nopeus on vakio, on kuulaan vaikuttavien voimien summan oltava nolla. Kuulaan vaikuttavat alaspäin painovoima ja ylöspäin noste sekä väliaineen vastus. Voimien resultantin suuruus on + N + vastus = a) Noste on N =,40 N 0,84 N = 0,56 N. b) Nosteen yhtälöstä N = ρvg saadaan lasipalan tilavuudeksi N 0,56 N V = = ρg 000 kg/m 9,8m/s 3 57 cm 3. c) Lasin tiheys on ρ = m / g,40n/9,8m/s 3 V = V = 57,cm 500 kg/m 3. d) T -73. a) Kiven paino on 53

29 = mg =, kg 9,8 m/s N. b) Kiveen kohdistuva noste on m 3, kg N = ρvg = ρ g = 000kg/m 9,8m/s 4,7 N. ρ 3 k 500 kg/m c) Kivi pysyy paikoillaan, kun sitä tuetaan ylöspäin suuntautuvalla = N =,8 N 4,7 N = 7, N voimalla Pallon tilavuus on V 4 π r 4 π(0,05m) 65,45cm = =. Arkhimedeen lain mukaan pallon upotessa sen syrjäyttämän veden määrä on 65,45 cm 3. Tämän vesimäärän massa on m = ρv =,00 g/cm 3 65,45 cm 3 = 65,45 g. Vaa an lukema on 995 g + 65,45 g 060 g Tasapainoehto on Σ = 0 eli jää + N = 0. Kun valitaan suunta alaspäin positiiviseksi, saadaan jää N = 0 eli jääkuution paino on yhtä suuri kuin veden aiheuttama noste. A x h mg N Olkoon x jääkuution vedenpinnan alapuolella olevan sivun pituus, A pohjan pinta-ala sekä h kuution sivun pituus: jää = N m jää g = ρ vesi Vg, supistetaan g ρ jää V = ρ vesi Ax ρ jää Ah = ρ vesi Ax, supistetaan A ja ratkaistaan x x = ρ ρ jää vesi 3 90kg/m h = 3, 0 m = 0,9 m 000 kg/m Jäästä on pinnan alapuolella 9 cm ja pinnan yläpuolella 8 cm. Pinnan yläpuolella on kuution tilavuudesta 0,08 m,0 m,0 m = 0,08 m 3 eli 8 % koko tilavuudesta. 54

30 -76. Laituriin kohdistuvan nosteen on oltava yhtä suuri kuin styroksin, puuosien ja kuorman painon. Tasapainoehto on Σ = 0 eli kok + N = 0. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan yhtälö N kok = 0, joten kok = N eli henkilöt + puuosat + styroksi = ρ vesi Vg. Tarvittavan styroksimäärän paino on styroksi = n m styroksi g = n ρ styroksi Vg, jossa n on tarvittavien styroksikellukkeiden lukumäärä. Kokonaispaino on kok = 4 75 kg 9,8 m/s + 95 kg 9,8 m/s + n 5 kg/m 3 0,075 m 3 9,8m/s = 3874,95 N + 8,39 n. Veden noste on N = ρ vesi Vg = 000 kg/m 3 n 0,075 m 3 9,8 m/s = 735,75 N. Kirjoitetaan yhtälö kok = N eli 3874,95 N + n 8,39 N = n 735,75 N. Yhtälöstä saadaan ratkaisuksi n = 5,4, joten styroksikellukkeita tarvitaan 6 kpl Pienoismalli keveni 640 g = 0,640 kg, jolloin syrjäytetyn veden massa on myös 0,640 kg. Pienoismalliin kohdistuva noste on yhtä suuri kuin syrjäytetyn vesimäärän paino, eli noste on N = 0,640 kg 9,8 m/s 6,8 N. a) Pienoismallin tilavuus on N 6,8 N V = = = 6,40 0 m = 640 cm. 3 ρg 000 kg/m 9,8m/s b) Koska mittakaava on : 0, dinosauruksen tilavuus on ,40 0 m = 5,m 3. c) Dinosauruksen massa olisi m= ρv = kg/m 5, m 500 kg. 55

31 -78. Kuumailmapalloon liittyviä tietoja: Jos pallon tilavuus on 550 m 3, pallon sisälämpötila on noin C. Tällöin käytetään kolmea kaasupulloa, joista jokaisen massa 50 kg. Pallon päällä on venttiili, josta lämmintä ilmaa voi laskea ulos. Paine kuumailmapallon sisä- ja ulkopuolella on likimain sama, joten pallon sisällä olevan lämpimän ilman tiheys on pienempi kuin ympäröivän ilman tiheys. Tästä aiheutuu palloon noste, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin pallon, lämmenneen ilman ja kuorman yhteinen paino. Kaasupolttimien avulla voidaan vaikuttaa pallon sisällä olevan ilman lämpötilaan. Rajatapauksessa palloon kohdistuva noste on yhtä suuri kuin pallon kokonaispaino. Tasapainoehto on Σ = 0 eli kok + N = 0. Valitaan suunta alaspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä kok N = 0 saadaan yhtälö m ki g + m kuorma g + m pallo g = ρ ilma Vg. Kuuman ilman massa voidaan kirjoittaa muotoon m ki = ρ ki V. Yhtälöstä ρ ki Vg + m kuorma g + m pallo g = ρ ilma Vg kuorman massa on m kuorma = ρ ilma V ρ ki V m pallo = (ρ ilma ρ ki )V m pallo = (,3 kg/m 3 0,85 kg/m 3 ) 60 m 3 3 kg = 49 kg Tasapainoehto on Σ = 0 eli N + kok = 0. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö N kok = 0 eli ρvg = (m + ma)g. Yhtälöstä ρahg = (m + m a )g saadaan uppoamalle yhtälö h = m ma ρa + ρa. Siirretään mittaustulokset (m, h)-koordinaatistoon. 56

32 mm h m g Suoran fysikaalinen kulmakerroin on Δ h 3, 0 cm = 0,cm/g. Δm 7g Saadaan yhtälö 0,cm/g ρ A =, josta liuoksen tiheys on ρ = =, g/cm 3. A 0,cm/g π (, 6 cm) 0,cm/g Astian massa saadaan suoran ja h-akselin leikkauspisteen avulla. Kun m = 0, astian massa on ma = ρah 0 =, g/cm 3 π (,6 cm) 3,0 cm 7 g..5 Voiman komponentit -80. Voiman komponentit ovat x = cosα = 4N cos7 3 N ja y = sinα = 4N sin7 7,0 N. 57

33 -8. Voimien akselien suuntaiset komponentit ovat x = N ja y = N, x = N ja y = N, 3x = N ja 3y = 3 N. Voimien summa x-suunnassa on Σ x =,0 N ja y-suunnassa =,0 N. Dynamiikan peruslain mukaan Σ = ma, joten akselien suuntaiset kiihtyvyydet ovat,0 N m,0 N m a x = = 4,0 ja a = =,0 y. 0,50 kg s 0,50 kg s Kiihtyvyys on m m m a = a x + a y = ( 4,0 ) + (,0 ) 4,5. s s s Kiihtyvyyden suunta on a y,0 m/s tanα = =, josta α 7. a 4,0m/s x Σ y -8. a) Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat työntövoima, paino mg, pinnan tukivoima N ja kitkavoima μ. mg N b) Koska mies työntää laatikkoa vakionopeudella, liikeyhtälö x-suunnassa on Σ x = 0. Kun valitaan liikkeen suunta positiiviseksi suunnaksi, saadaan skalaariyhtälö cosθ μ = 0. Koska laatikko ei nouse ilmaan, liikeyhtälö pystysuunnassa on Σ y = 0. Valitsemalla suunta ylöspäin positiiviseksi saadaan skalaariyhtälö N mg sinθ = 0, josta tukivoima on N = mg+ sinθ. Kitkavoima on = μn = μ( mg + sinθ ). μ 58

34 Sijoitetaan kitkavoima x-suuntaiseen skalaariyhtälöön ja ratkaistaan : cosθ μ( mg + sinθ ) = 0 cosθ μmg μ sinθ = 0 (cosθ μ sinθ ) = μmg, josta työntövoima on μmg 0,3 47 kg 9,8 m/s = cosθ μ sinθ cos30 0,3sin 30 = = 0 N a) Nyt = N, eli paino ja tukivoima ovat yhtä suuret. b) Nyt y + = N, eli paino on pienempi kuin tukivoima c) Nyt y + N =, eli paino on suurempi kuin tukivoima. Piirrä vapaakappalekuva. a) b) c) N N N -84. T T T y T T T y Vasemmanpuoleinen taulu: Koska taulu pysyy seinällä, on voimassa Σ y = 0 eli T + T + = 0. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T = 0 saadaan langan jännitysvoimaksi 6,3 kg 9,8 m/s T = = 3 N. Oikeanpuoleinen taulu: Koska taulu pysyy seinällä, on voimassa Σ = 0 eli T + T + = 0. Ty = T y = Ty. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T y = 0 eli T sinα mg = 0 saadaan langan jännitysvoimaksi y y y 59

35 mg 6,3 kg 9,8 m/s T = = 44 N. sinα sin 45 Jännitysvoimat ovat suuremmat oikeanpuoleisessa taulussa T Koska tasapainotilanteessa = 0, oheisen voimakuvion mukaan on T tan 5 =, josta kysytty vaakasuora voima on T = tan 5 = 0kg 9,8m/s tan 5 550N T T T 75 y T y 5 mg Nostolava on tasapainossa, joten Σ y = 0 eli T + T + = 0. Ty = T y = Ty. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö Tsinα + Tsinα mg = 0. Massaksi saadaan Tsinα kn sin5 m = = 630 kg. g 9,8m/s y y 60

36 -87. T 30 T T mg mg T Koska on voimassa Σ = 0, vektorikuviosta saadaan tan 60 = josta voima ja T mg, T = mg tan60 = 4,5kg 9,8m/s tan60 76N, mg cos60 =, T josta voima T mg 4,5 kg 9,8m/s = = 88 N. cos 60 cos vast x 7 7 y Pulkkailijan liikeyhtälö on Σ = ma eli x + vast = max. Kun rinteen suunta alaspäin valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö VAST =. x ma x Vastusvoimien suuruus on VAST = ma = mg sinα ma = m( g sinα a = 6 kg (9,8m/s x x sin7 x,4m/s ) 9 N. x ) 6

37 -89. x vast y Sannan liikeyhtälö on Σ = ma eli + x + vast = max. Valitaan suunta rinnettä ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä x vast = max vaijerin jännitysvoimaksi saadaan = x + vast + ma = 63kg 9,8m/s x = mg sinα + vast + ma sin N + 63kg, m/s x 300 N a) Kourussa vierivälle pallolle antaa kiihtyvyyden painovoiman tason suuntainen komponentti yhdessä pallon ja tason pinnan välisen lepokitkan kanssa. Lepokitka estää liukumisen ja pienentää kiihtyvyyttä. (Tähän ilmiöön tutustutaan kurssilla Pyöriminen ja gravitaatio.) b) Pallon kiihtyvyys muuttuu, kun tason kaltevuutta suurennetaan. Kaltevuuden suurentuessa painovoiman tason suuntainen komponentti ja samoin kiihtyvyys suurenevat. -9. a) Laatikko liikkuu,0 sekunnissa alas,0 m ja oikealle 4,0 m, joten matka tasoa pitkin on s = (,0m) + (4,0m) 4,47 m. Matka tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kappaleen lähtiessä levosta saadaan yhtälöstä s = at. Kappaleen kiihtyvyys on s 4,47 m a = =, m/s. t (,0 s) b) Lasketaan ensin tason kaltevuuskulma,0m tan α =, 4,0m josta saadaan α = 6, 565. Kappaleen liikeyhtälö tason suunnassa on Σ = ma. Valitaan tason suunta alaspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä x μ = ma saadaan liukukitkaksi 6

38 = ma μ x = mg sinα ma = 5kg 9,8m/s sin 6,565 5kg,36 m/s 54 N. -9. Alaspäin + Ylöspäin + x x y Oletetaan ensin, että kappale, jonka massa on 5,0 kg, liikkuu alaspäin. Rajatapauksessa on voimassa yhtälö Σ = 0 eli + μ + x = 0. Valitaan tason suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä + μ x = 0 saadaan langassa vallitsevaksi jännitysvoimaksi = x μ = sinα μn = sinα μ cosα = (sinα μ cosα) = 5,0 kg 9,8m/s (sin5 0,30 cos5 ) 7,39 N. Koska kappaleeseen m vaikuttavan langan jännitysvoiman suuruus on 7,39 N, massaksi saadaan 7,39 N m = = = 0,75 kg. g 9,8m/s Tutkitaan seuraavaksi tilanne, jossa kappale, jonka massa on 5,0 kg, liikkuu ylöspäin. Rajatapauksessa on voimassa yhtälö Σ = 0 eli + μ + x = 0. Valitaan tason suunta alaspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä μ x = 0 saadaan langassa vallitsevaksi jännitysvoimaksi = μmgcosα + mgsin α = mg( μ cosα + sin α) = + 5,0 kg 9,8 m/s (0,30 cos5 sin5 ) 34, N. y 63

39 Koska nyt kappaleeseen m vaikuttavan langan jännitysvoiman suuruus on 34, N, massaksi saadaan 34,N m = = g 9,8m/s 3,5 kg. Näin ollen kappaleen m massa voi vaihdella välillä0,75kg < m < 3,5kg. Testaa, osaatko. c,. a, 3. a, 4. b, 5. ab, 6. b, 7. a, 8. a, 9. c, 0. b 64

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima

Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima Jos kaksi eri kappaletta vaikuttavat toisiinsa jollain tavalla, niiden välillä on vuorovaikutus Kahden kappaleen välinen vuorovaikutus saa aikaan kaksi vastakkaista voimaa,

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Kertauskysymyksiä. KPL1 Suureita ja mittauksia. KPL2 Vuorovaikutus ja voima. Avain Fysiikka KPL 1-4

Kertauskysymyksiä. KPL1 Suureita ja mittauksia. KPL2 Vuorovaikutus ja voima. Avain Fysiikka KPL 1-4 Kertauskysymyksiä KPL1 Suureita ja mittauksia 1. Suure on kappaleen ominaisuus, joka voidaan jollain tavalla mitata 2. Mittayksiköksi, tai lyhyemmin yksiköksi 3. Si-järjestelmä on kansainvälinen mittayksikköjärjestelmä

Lisätiedot

Fysiikan lisäkurssin tehtävät (kurssiin I liittyvät, syksy 2013, Kaukonen)

Fysiikan lisäkurssin tehtävät (kurssiin I liittyvät, syksy 2013, Kaukonen) 1. Ylöspäin liikkuvan hissin, jonka massa on 480 kg, nopeus riippuu ajasta oheisen kuvion mukaisesti. Laske kannatinvaijeria jännittävä voima liikkeen eri vaiheissa. (YO, S 84) 0-4s: 4,9 kn, 4..10s: 4,7

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus)

Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus) Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus) 1) MEKANIIKKA Vuorovaikutus vuorovaikutuksessa kaksi kappaletta vaikuttaa toisiinsa ja vaikutukset havaitaan molemmissa kappaleissa samanaikaisesti lajit: kosketus-/etä-

Lisätiedot

Piirrä kirjaan vaikuttavat voimat oikeissa suhteissa toisiinsa nähden. Kaikki kappaleet ovat paikallaan

Piirrä kirjaan vaikuttavat voimat oikeissa suhteissa toisiinsa nähden. Kaikki kappaleet ovat paikallaan Voimakuvioita kirja Piirrä kirjaan vaikuttavat voimat oikeissa suhteissa toisiinsa nähden. Kaikki kappaleet ovat paikallaan Kirja lattialla Kirja, jota painetaan kepillä Kirja, jota painetaan seinään Kirja,

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

1. Tasainen liike. Kappale liikkuu vakionopeudella niin, että suunta ei muutu

1. Tasainen liike. Kappale liikkuu vakionopeudella niin, että suunta ei muutu 1. Tasainen liike Kappale liikkuu vakionopeudella niin, että suunta ei muutu matka nopeus aika aika Nopeuden laskeminen Yhtälö kirjoitettuna suureilla ja niiden tunnuksilla: Yksiköt alinna nopeus = matka

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut. 1 Kuvaan 1 on piiretty kahden suoraviivaisesti samaan suuntaan liikkuvan auton ja B nopeudet ajan funktiona. utot ovat rinnakkain ajanhetkellä t = 0 s. a) Kuvaile auton liikettä ajan funktiona. Kumpi autoista

Lisätiedot

2.11 Väliaineen vastus

2.11 Väliaineen vastus Jokainen, joka on taistellut eteenpäin kohti kovaa vastatuulta tai yrittänyt juosta vedessä, tietää omasta kokemuksestaan, että väliaineella todellakin on vastus. Jos seisoo vain hiljaa paikoillaan vaikkapa

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU PERUSSARJA PERUSSARJA Vastaa huolellisesti ja siististi! Kirjoita tekstaten koepaperiin oma nimesi, kotiosoitteesi, sähköpostiosoite, opettajasi nimi sekä koulusi nimi. Kilpailuaikaa on 100 minuuttia. Sekä tehtävä-

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

a) Kun skootterilla kiihdytetään ylämäessä, kitka on merkityksettömän pieni.

a) Kun skootterilla kiihdytetään ylämäessä, kitka on merkityksettömän pieni. AVOIN SARJA Kirjoita tekstaten koepaperiin oma nimesi, kotiosoitteesi, sähköpostiosoitteesi, opettajasi nimi sekä koulusi nimi. Kilpailuaikaa on 1 minuuttia. Sekä tehtävä- että koepaperit palautetaan kilpailun

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat!

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat! Parry Hotteri tutki näkymättömiä voimia kammiossaan Hän aikoi tönäistä pallon liikkeelle pöydällä olevassa ympyrän muotoisessa kourussa, joka oli katkaistu kuvan osoittamalla tavalla. Hän avasi Isaac Newtonin

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

www.mafyvalmennus.fi YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset

www.mafyvalmennus.fi YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset 1. a) Laskuvarjohyppääjän pudotessa häneen vaikuttaa kaksi putoamisliikkeen kannalta merkittävää voimaa: painovoima ja ilmanvastusvoima. Painovoima on likimain

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1. Työn tavoitteet Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa.

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Työ, energia ja energian säilyminen Antti Haarto 0.09.0 Voiman tekemä työ Voiman F tekemä työ W määritellään kuljetun matkan s ja matkan suuntaisen voiman komponentin tulona. Yksikkö:

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

On määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin. Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko).

On määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin. Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko). TYÖ 5b LIUKUKITKAKERTOIMEN MÄÄRITTÄMINEN Tehtävä Välineet Taustatietoja On määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko) Kitkavoima

Lisätiedot

= 2 1,2 m/s 55 m 11 m/s. 18 m 72 m v v0

= 2 1,2 m/s 55 m 11 m/s. 18 m 72 m v v0 Kertaustehtävät. c) Loppunopeus on v = as =, /s 55 /s. 8 7 v v0 3,6 s 3,6 s. c) Kiihtyvyys on a = =,0. t 5 s s Kolessa sekunnissa kuljettu atka on 7 s3 = v0t + at = 3,0 s + (,0 /s ) (3,0 s) 55,5. 3,6 s

Lisätiedot

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

Luento 5: Voima ja Liikemäärä

Luento 5: Voima ja Liikemäärä Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton

Lisätiedot

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015.

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Tässä jaksossa harjoittelemme Newtonin toisen lain soveltamista. Newtonin toinen laki on yhtälön

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta

Lisätiedot

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

RATKAISUT. Luokka 1. Tehtävä 1. 1 a + 1 b = 1 f. , a = 2,0 m, b = 0,22 m. 1 f = a+ b. a) Gaussin kuvausyhtälö

RATKAISUT. Luokka 1. Tehtävä 1. 1 a + 1 b = 1 f. , a = 2,0 m, b = 0,22 m. 1 f = a+ b. a) Gaussin kuvausyhtälö RATKAISUT Luokka 1 Tehtävä 1 a) Gaussin kuvausyhtälö 1 a + 1 b = 1 f, a =,0 m, b = 0, m. 1 f = a+ b ab = f = ab,0 m 0, m = a+ b,0 m+ 0, m = 0,198198 m 0,0 m 1 p b) b = 0,5 m 1 a = b f bf a= bf b f = 0,5m

Lisätiedot

Vuorovaikutuskaavion ja voimakuvion muodostamista ja Newtonin 3. lain osaamista testaavia tehtäviä

Vuorovaikutuskaavion ja voimakuvion muodostamista ja Newtonin 3. lain osaamista testaavia tehtäviä Vuorovaikutuskaavion ja voimakuvion muodostamista ja Newtonin 3. lain osaamista testaavia tehtäviä 1. a) Piirrä laskuvarjohyppääjälle ja kelluvalle korkille vuorovaikutuskaaviot, jossa on myös vuorovaikutustyyppi

Lisätiedot

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin?

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin? Luokka 3 Tehtävä 1 Pieni punnus on kiinnitetty venymättömän langan ja kevyen jousen välityksellä tukevaan kannattimeen. Alkutilanteessa punnusta kannatellaan käsin, ja lanka riippuu löysänä kuvan mukaisesti.

Lisätiedot

VOIMA, LIIKE JA TASAPAINO

VOIMA, LIIKE JA TASAPAINO MUISTA RAPORTTI: LIIKETTÄ VASTUSTAVAT VOIMAT TIETOA JA TUTKIMUKSIA -Mitä tein? -Mitä ennustin? -Mitä tuloksia sain? -Johtopäätökseni Kitka Kitka on kahden toisiaan hankaavan kappaleen vuorovaikutuksesta

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Theory Finnish (Finland)

Theory Finnish (Finland) Q1-1 Kaksi tehtävää mekaniikasta (10 pistettä) Lue yleisohjeet ennen tehtävien aloittamista. Osa A: Piilotettu kiekko (3,5 pistettä) Tässä tehtävässä käsitellään umpinaista puista sylinteriä, jonka säde

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta 21.7.2009 Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Kiihdyttäviä autoja, lipsuvia hihnoja, loistavia tehtäviä, loistavaa filosofiaa LAske! Sisältö Alustavia lähtökohtia mekaniikkaan...

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

MOOTTORIPYÖRÄILYN FYSIIKKAA

MOOTTORIPYÖRÄILYN FYSIIKKAA 1 MOOTTORIPYÖRÄILYN FYSIIKKAA Luonnonlait antavat edellytykset moottoripyörän hallinnalle Moottoripyörän hallinta perustuu luonnonlakeihin. Niiden armoilla on jokainen moottoripyöräilijä. Moottoripyöräilyn

Lisätiedot

AVOIMEN SARJAN VASTAUKSET JA PISTEITYS

AVOIMEN SARJAN VASTAUKSET JA PISTEITYS AVOIME SARJA VASTAUKSET JA PISTEITYS 1. Käytössäsi on viivoitin, 10 g:n punnus, 2 :n kolikko sekä pyöreä kynä. Määritä kolikon ja viivoittimen massa. Selosta vastauksessa käyttämäsi menetelmät sekä esitä

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Ensimmäisen luennon aihepiirit. Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat TUULEN LUONNONTIETEELLISET PERUSTEET

SMG-4500 Tuulivoima. Ensimmäisen luennon aihepiirit. Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat TUULEN LUONNONTIETEELLISET PERUSTEET SMG-4500 Tuulivoima Ensimmäisen luennon aihepiirit Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat 1 TUULEN LUONNONTIETEELLISET PERUSTEET Tuuli on ilman liikettä suhteessa maapallon pyörimisliikkeeseen.

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut 1 Huvipuiston vuoristoradalla vaunu (massa m v = 1100 kg) lähtee levosta liikkeelle

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

DEE Tuulivoiman perusteet

DEE Tuulivoiman perusteet DEE-53020 Tuulivoiman perusteet Aihepiiri 2 Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtoihin vaikuttavien voimien yhteisvaikutuksista syntyvät tuulet Globaalit ilmavirtaukset 1 VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT

Lisätiedot

RATKAISUT: 12. Lämpöenergia ja lämpöopin pääsäännöt

RATKAISUT: 12. Lämpöenergia ja lämpöopin pääsäännöt Physica 9 1. painos 1(7) : 12.1 a) Lämpö on siirtyvää energiaa, joka siirtyy kappaleesta (systeemistä) toiseen lämpötilaeron vuoksi. b) Lämpöenergia on kappaleeseen (systeemiin) sitoutunutta energiaa.

Lisätiedot

MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ. Nostotyön suuruus ei riipu a) nopeudesta, jolla kappale nostetaan b) nostokorkeudesta c) nostettavan kappaleen massasta

MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ. Nostotyön suuruus ei riipu a) nopeudesta, jolla kappale nostetaan b) nostokorkeudesta c) nostettavan kappaleen massasta MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ Ympyröi oikea vaihtoehto. Normaali ilmanpaine on a) 1013 kpa b) 1013 mbar c) 1 Pa Kappaleen liike on tasaista, jos a) kappaleen paikka pysyy samana b) kappaleen nopeus pysyy samana

Lisätiedot

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 1 Voimat mekanismeissa Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 12.2.2016 Sisältö Staattiset voimat Staattinen tasapainotila Vapaakappalekuva Tasapainoyhtälöt Kitkavoimat Hitausvoimat Hitausvoimien

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Toisen luennon aihepiirit VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT TUULET

SMG-4500 Tuulivoima. Toisen luennon aihepiirit VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT TUULET SMG-4500 Tuulivoima Toisen luennon aihepiirit Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtoihin vaikuttavien voimien yhteisvaikutuksista syntyvät tuulet Globaalit ilmavirtaukset 1 VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

Massa ja paino. Jaana Ohtonen Språkskolan Kielikoulu. torsdag 9 januari 14

Massa ja paino. Jaana Ohtonen Språkskolan Kielikoulu. torsdag 9 januari 14 Massa ja paino Pohdi Miten pallon heittäminen poikkeaa kuulan heittämisestä? Auto lähtee liikkeelle rajusti kiihdyttäen. Mitä tapahtuu peilistä roikkuvalle koristeelle? Pohdi Miten pallon heittäminen poikkeaa

Lisätiedot