= 2 1,2 m/s 55 m 11 m/s. 18 m 72 m v v0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "= 2 1,2 m/s 55 m 11 m/s. 18 m 72 m v v0"

Transkriptio

1 Kertaustehtävät. c) Loppunopeus on v = as =, /s 55 /s. 8 7 v v0 3,6 s 3,6 s. c) Kiihtyvyys on a = =,0. t 5 s s Kolessa sekunnissa kuljettu atka on 7 s3 = v0t + at = 3,0 s + (,0 /s ) (3,0 s) 55,5. 3,6 s Kahdessa sekunnissa kuljettu atka saadaan vastaavalla tavalla, 7 s = v0t + at =,0s + (,0 ) (,0 s) = 38. 3,6 s s Kolannen sekunnin aikana kuljettu atka: s = s 3 s = 55,5 38 = 7, c) Liikeyhtälöstä Σ F = a saadaan skalaariyhtälö F F = a, kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi. vast F Fvast 350 N 90 N Kiihtyvyys on a = = 5,0 /s. kg 4. a) Olkoon n henkilöiden lukuäärä. Liikeyhtälöstä Σ F = a saadaan skalaariyhtälö F ( G + n g) = ( M + n) a valitsealla suunta ylöspäin positiiviseksi. Ratkaistaan skalaariyhtälöstä henkilöiden lukuäärä n: F G n g = Ma + na F G Ma F Mg Ma n = = g + a ( g + a) 9,0 kn 50 kg 9,8 /s 50 kg,0 /s = + 75 kg (9,8 /s,0 /s ) 3,4 eli 3 henkilöä. 5. c) Kitkakerroin on µ = F F, 0 N 0,0. N = g =,0 kg 9,8/s 0

2 6. c) Koska jäälautta on tasapainossa, on voiassa yhtälö Σ F = 0 eli N + G kok = 0. Kun suunta ylös valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö ρvvg g + jää g = 0. Koska tilavuus on V = Ah ja assa = ρv, saadaan yhtälö ρv Ahg = g + ρjää Ahg. Ratkaistaan yhtälöstä jäälautan pinta-ala: A( ρ hg ρ hg) = g A v jää 70 kg = = 3 3 ρvh ρjääh 000 kg/ 0,5 930 kg/ 0, c) Rinteen suuntainen koponentti on F = Fcos4 = 70 N cos4 60 N. x 8. b) Mekaanisen energian säilyislain ukaan on v = gh, josta nousukorkeus on 4 /s 3,6 v h = = 6,6. g 9,8 /s 9. a) Työperiaatteen ukaan on v = µgs, josta kitkakerroin on v (8,5 /s) µ = = 0,67. gs 9,8 /s 5,5 0. b) Ipulssiperiaatte F t = p saadaan uotoon F t = v v0. Kun pallon alkuperäinen liikesuunta valitaan negatiiviseksi, voian suuruus on v v0 0,5 kg 3 /s 0,5 kg ( 8 /s) F = = 380 N. t 0,00 s. a) Ryhän ajoaika on,0 in + 5,0 in = 6,0 in. Pekan ajoaika on 5,0 in. Koska 5,0 k 6,0 kupikin ajaa saan atkan (s = vt), saadaan yhtälö vpekka h = 0 h,, 60 h 60 josta Pekan nopeus on v Pekka = 4 k/h. b) Pyöräilijän polkiessa pyörän ja aan välinen kitka vie pyörää ja pyöräilijää eteenpäin tietyllä teholla. Vauhdin kasvaessa yös ilanvastus kasvaa ja uuttaa kasvavalla teholla ekaanista työtä esierkiksi läöksi. Lopulta ilanvastus ja uut liikevastukset ovat yhtä suuria kuin liikettä ylläpitävä kitka. Pyöräilijän ponnistellessa läkähtyäisillään tehot ovat aksiissaan. Alaäessä yös painovoia tekee työtä ja uuttaa potentiaalienergiaa liike-energiaksi, utta lopulta loivassa alaäessäkin saavutetaan rajanopeus, jos äki on tarpeeksi pitkä. 0

3 . a) Marjatan nopeus Tuijaan nähden on v = 3,0 /s,8 /s = 0,0 /s. b) Tuijan koordinaatistossa Marjatan nopeus on 0,0 /s ja Marjatan kulkea atka 50. s 50 Näin ollen t = = 50 s v 0,0 /s =. c) Marjatta juoksee (Maan koordinaatistossa) nopeudella 3,0 /s 50 sekunnin ajan eli atkan s = vt = 3,0 /s 50 s = a) Koneen alkunopeus on v 0 = 0 /s ja loppunopeus v = 0 k/h 6, /s. Sijoittaalla aika t = v/a atkan yhtälöön s = at koneen kulkea atka on v v (6,/s),5/s s = at = a = = a a 750. b) Koneen kiihtyvyys yötätuulessa on a t =,6 /s. Koneen nopeuden tulee olla ilan suhteen v i = 6, /s. Koska yötätuuli on v t = /s, nopeus aan suhteen on v = v i + v t = 6, /s + /s = 7, /s. v (7,/s) Edellisen a-kohdan ukaan nousukiidon pituus on s = = a,6/s t,0 k. 4. a) Kuljettu atka saadaan fysikaalisena pinta-alana: aikaväli 0,0 s...4,0 s: s =,0 /s 4,0 s = 4,0 ja aikaväli 4,0 s...6,0 s: s =,0 /s,0 s =,0. Kokonaisatka on s = s + s = 4,0 +,0 = 6,0. b) Etäisyys lähtöpaikasta on 4,0,0 =,0. s 6, 0 c) Keskinopeus on vk = = 0,86 /s. t 7, 0 s 5. a) Raitiovaunu saavuttaa nopeuden 8,0 /s 8,0 sekunnissa. Tässä ajassa raitiovaunu kulkee atkan 0,0 8,0 0 s = v k t = v v + + t = s s t = 8,0 /s 8,0 s = 3. Jarrutettaessa kuljetaan saoin 3. Huippunopeudella 8,0 /s kuljetaan atka 00 (3 + 3 ) =

4 s 36 Tähän kuluu aikaa t = = = 7 s. v 8, 0 /s Lyhin aika on siis t in = 8,0 s + 7 s + 8,0 s = 33 s. [ v] /s b) Yksikkö on [ a] = = = = /s t s s s [ ] 6. a) Auton loppunopeus 8,0 sekunnin kuluttua on v = at = 3,0 /s 8,0 s = 4 /s. v0 + v b) Keskinopeus on v k = = (0 /s + 4 /s) = /s. c) Auton kahdeksassa sekunnissa kulkea atka on s = v k t = /s 8,0 s = 96. (Toinen tapa: s = at = 3,0 /s (8,0 s) = 96.) 7. a) Junan suurin nopeus kuvatulla aikavälillä on luettavissa kuvaajan yliästä pisteestä. Suurin nopeus on likiain 0,5 /s. b) Hetkellinen kiihtyvyys saadaan kohtaan t = 4 s piirretyn tangentin fysikaalisena kulakertoiena: v v v /s 0 /s a(4s) = = = 0,5 /s. t t t 8s 7,0s /s 0 nopeus aika s c) Keskinopeuden laskeiseksi tarvitaan kuljettu atka, joka on (t, v)-koordinaatistossa fysikaalinen pinta-ala. Kuvaajan ja t-akselin välinen alue aikavälillä 0,0 s 5,0 s on,5/s s kolio. Matkan uutos on s = = 75. Junan keskinopeus aikavälillä 0,0 s 5,0 s on v k s 75 = = = 5,0/s. t 5s 04

5 8. a) Ilapallon assa koostuu pallon assasta ja sen sisällä olevan ilan assasta. Ilapalloon kohdistuu paino G. Ilasta palloon kohdistuu noste N ylöspäin. Noste on yhtä suuri kuin pallon syrjäyttään ilan paino. Kun pallo liikkuu ylöspäin, palloon vaikuttaa liikkeen suuntaan nähden vastakkaissuuntainen ilanvastus F. i Ilapallon liikeyhtälö on F = a. Palloon vaikuttaa kole voiaa, joten kokonaisvoia on F = G+ N + F. i b) Maa vetää puoleensa ilapalloa voialla G. Tään voian vastavoia on voia, jolla ilapallo vetää aata ylöspäin. Noste N aiheutuu ilasta ja kohdistuu ilapalloon. Nostevoian vastavoia aiheutuu pallosta ja kohdistuu ilaan. Ilanvastus F i aiheutuu ilasta ja kohdistuu palloon. Ilanvastusvoian vastavoia aiheutuu pallosta ja kohdistuu ilaan. 9. Oletetaan ilanvastus pieneksi kuassakin kohdassa. a) Kuvassa on esitetty jyrkässä äessä olevan kelkan nopeus- ja kiihtyvyysvektorit: Kelkkaan vaikuttava kokonaisvoia on painon, rinteen tukivoian ja kitkavoian sua eli Σ F = G+ N + F µ. Kun suunta rinteen suunnassa alas on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö Σ F = g sin α F µ. b) Pallon nopeus on käyrän (paraabelin) tangentin suuntainen. Palloon kohdistuu paino, joka aiheuttaa pallolle kiihtyvyyden. Kiihtyvyyden suunta on alaspäin. Kokonaisvoia on Σ F = G. G 05

6 0. Voian x-suuntainen koponentti on F x = N cos45 5 N cos60 9,0 N cos0 + 6,0 N cos50 3,65 N. Voian y-suuntainen koponentti on F y = N sin N sin60 9,0 N sin0 6,0 N sin50 3,80 N. Voia resultantti on suunta: R= F + F = ( 3, 65 N) + (3,80 N) 4 N ja voian x y Fy 3,80 N tan β = =, josta kula β 75. F 3,65 N x Resultanttivoian suunta on origosta vasealle yläviistoon. Suuntakula negatiivisen x-akselin suhteen on 75, positiivisen x-akselin suhteen 05.. Vektorit T, T ja G toteuttavat ehdon Σ F = 0. Narujen jännitysvoiat saadaan yhtälöistä T sin 55 =, G josta jännitysvoian T suuruus on T = gsin55 = 7,3 kg 9,8 /s sin55 59 N, ja T sin 35 =, G josta jännitysvoian T suuruus on T = gsin35 = 7,3 kg 9,8 /s sin35 4 N. Jännitysvoiat ovat narujen suuntaiset. 06

7 . a) F vast + F b) Raketin liikeyhtälö on Σ F = a eli F + Fvast + G = a. Kun raketin liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F F vast G = a. Raketin kiihtyvyydeksi saadaan a F Fvast G 6450 N 470 N 450 kg 9,8/s 450 kg = = =. c) Raketin nousuatka on s = at = (3,4789 /s ) (3,0 s) 6. 3, 4789 /s 3,5/s 3. Punnuksen liikeyhtälö on Σ F = a eli T + G = a. Kun suunta ylöspäin on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö T g = a. a) Koska punnus liikkuu vakionopeudella, kiihtyvyys on nolla. Yhtälöstä T g = 0 jousivaa an lukeaksi saadaan T = g =,6kg 9,8/s 6 N. + T a = 0 G b) Kun hissi lähtee alaspäin, skalaariyhtälö on T g = a. Jousivaa an lukea on T g a g a = = ( ) =,6 kg (9,8 /s,7 /s ) 3 N. + T a G c) Kun hissi lähtee ylöspäin, skalaariyhtälö on T g = a ja lukea T g a g a = + = ( + ) =,6 kg (9,8 /s +,7 /s ) 8 N. 07

8 4. Kiihtyvyys a =Δv/Δt on vakio kaikilla alla olevilla aikaväleillä. Hissin kiihtyvyydet saadaan kuvaajasta fysikaalisena kulakertoiena:, 5 /s 0,0 s 4,0 s: a = = 0,375 /s 4,0s 4,0 s 0,0 s: a = 0 /s (liike on tasaista), 5 /s 0,0 s,0 s s: a3 = = 0,75/s.,0s Hissin liikeyhtälö on Σ F = a eli T + G = a. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T g = a kannatinvaijeria jännittävä voia on T = a + g. Kiihtyvyyksiä vastaavat jännitysvoiat ovat T = a + g = +, 480kg (0,375 /s 9,8/s ) 4,9 kn T = g = 480 kg 9,8 /s 4,7 kn ja T 3 = a 3 + g = (a 3 + g) = 480 kg ( 0,75 /s + 9,8 /s ) 4,3 kn. T + 5. Veturin kiihtyvyys on vaunua voialla v a = = t 0 3,6 s,0 s = 0,348 /s 0,3 /s. Veturi vetää F = a + 0,0050 G = a + 0,0050 g = 700 kg 0,348 /s + 0, kg 9,8 /s,0 kn. 6. Aluksi liike on tasaisesti kiihtyvää, kunnes vauhdin kasvaessa ilanvastus pienentää kiihtyvyyden nollaan noin 3 sekunnissa. Tään jälkeen vauhti on vakio, kunnes noin 9 sekunnin kohdalla varjo alkaa avautua. Varjon avauduttua kokonaan vauhti pienenee arvoon 4 /s. 30 s:n jälkeen vauhti pysyy vakiona, kunnes hetkellä 0 s hyppääjä tulee aahan. Nopeuden ollessa vakio hyppääjän liikeyhtälö on Σ F = 0 eli Fi + G = 0. Kun suunta ylös on positiivinen, G + F i = 0, joten ilanvastus F i on yhtä suuri kuin hyppääjään kohdistuva paino G (varusteineen). Näin ollen ilanvastus on F i = G = g = 95 kg 9,8 /s 930 N. Kuvassa on laskuvarjohyppääjä ennen varjon avautuista ja hyppääjään kohdistuvat voiat, kun nopeus on vakio. Hyppääjän kiihtyvyys hetkellä 0 s saadaan piirtäällä kuvaajalle tangentti ja laskealla sen fysikaalinen kulakerroin: kiihtyvyys on noin,4 /s. Hyppykorkeus saadaan fysikaalisen pinta-alan avulla. Yksi ruutu vastaa korkeutta,0 s 5,0 /s = 0. Koska ruutuja on noin 80, korkeudeksi saadaan

9 7. a) Laatikon liikeyhtälö on Σ F = a eli F = µ a. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F µ = a. Laatikon kiihtyvyys on Fµ µ g a = = = µ g = 0,39 9,8 = 3,859 3,8, s s s joka on saalla suurin kiihtyvyys, jolla auto voi lähteä liikkeelle. Vetokoukkuun vaikuttava voia on F = a = 35 kg 3,859 /s 900 N. b) Auton pyörien ja tienpinnan välinen kitka antaa kiihtyvyyden koko systeeille. Liikeyhtälöstä F = a saadaan skalaariyhtälö F μ = μ a g = kok a. Kitkakerroin on μ = a (50 kg + 70 kg + 65 kg) 3,859 /s kok g = a 50 kg 9,8/s 0, a) Liikettä ylläpitävä pienin voia on yhtä suuri kuin kitka eli F = µn = µg = 0,30 5,0 kg 9,8 /s = 4,74 N 5 N. Kappale liikkuu, jos siihen kohdistuva voia on vähintään 5 N. b) Kappaleen liikeyhtälö on Σ F = a eli F + Fµ = a. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Kappale on kiihtyvässä liikkeessä. Skalaariyhtälöstä F F µ = a kappaleen kiihtyvyys on F Fµ a = = 5,0 kg 4 N 4,75 N,9 /s. 9. a) Kappaleen liikeyhtälö on Σ F = a eli F + F = a. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F F µ = a eli F µg = a. Kitkakerroin on F a 4,0 N,0 kg,0 /s µ = = g,0 kg 9,8 /s µ = 0,039 0,0. b) Kun liike on tasaista, vetävän voian F ja liikevastusten, tässä tapauksessa kitkan F µ, sua on nolla eli Σ F = 0. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan F F μ = 0. Vetävä voia on F = F μ = μg = 0,039,0 kg 9,8 /s,0 N. Vetävä voia tekee työtä saalla teholla kuin liikevastukset uuntavat ekaanista työtä uihin energiauotoihin esierkiksi läöksi ja ääneksi. Myös pintojen kuluinen vaatii energiaa. 09

10 30. Koska reki liikkuu vakionopeudella, on F x = 0 eli Fx + F µ = 0. Valitsealla suunta oikealle positiiviseksi saadaan Fx F µ = 0 eli Fcosα µ N = 0. Kitkakertoieksi saadaan cos = F α µ. N Kitkakertoien laskeiseksi tarvitaan vielä suureyhtälö tukivoialle N. Pystysuorassa suunnassa voiien sua on nolla eli G+ N + F y = 0. Kun suuntasopius otetaan huoioon, saadaan skalaariyhtälö G+ N + F y = 0, josta tukivoialle saadaan yhtälö N = G F = g Fsinα. y Kun tukivoian yhtälö N = g Fsinα sijoitetaan kitkakertoien yhtälöön cos = F α µ, kitkakertoieksi saadaan N Fcosα Fcosα 85 N cos3 µ = = = 0,0. N g F sinα 78 kg 9,8 /s 85 N sin 3 3. Auton liikeyhtälö on Σ F= a eli F + F + T = a. µ v Kun auton liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F F, µ v T = a jossa on auton assa. Perävaunun liikeyhtälö on Σ F= a eli T+ Fv = a. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Skalaariyhtälö on T Fv = a. Lasketaan skalaariyhtälöt puolittain yhteen. Fµ Fv T a = T Fv = a Yhtälöstä F F v F = µ v a + a asuntovaunuun kohdistuva liikevastusvoia F v on F = F F ( + ) a v µ v = + = 3,8 kn 0,3 kn (0 kg 860 kg), /s 3 N,3 kn. Auton vetokoukkuun kohdistuva voia on T= a+ F v = kg, /s 3 N,3 kn. 0

11 3. a) Hiihtäjän liikeyhtälö rinteen suunnassa on Σ F = a eli Gx + Fµ = a. Valitaan suunta rinnettä alaspäin positiiviseksi. Saadaan skalaariyhtälö G F = a. Ratkaistaan yhtälöstä hiihtäjän kiihtyvyys: Gx Fµ Gx µ N Gx µ Gy a = = = g sinα µ g cos α ( g sinα µ g cos α) = = = gsinα µ gcosα = = s 9,8/s sin5 0, 9,8/s cos5 3, ,. x s µ b) Yhtälöstä s s 5 = = 4,0 s. a 3,07898 /s = at saadaan ajaksi t c) Massalla ei ole erkitystä tätä allia käytettäessä, koska sen tunnus supistuu laskuista pois. 33. a) Koska luilautailija on paikallaan, tasapainoehto on Σ F = 0 eli Gx + F µ = 0. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, jolloin saadaan skalaariyhtälö Gx F µ = 0 eli Gsinα µ N = 0. 0 Gsinα Gsinα Gsinα Lähtökitkakerroin on µ 0 = = = = tanα = tan 7, 0 0,. N G Gcosα y b) Liukukitkakerroin on pienepi kuin lepokitkakerroin. Tästä johtuen liukukitka F µ (liuku) on pienepi kuin lepokitka ja a-kohdassa laskettu painon pinnan suuntainen koponentti G x. Liikeyhtälö saa uodon Σ F = Gx Fµ (liuku) = a, jossa kiihtyvyys a ei ole kuitenkaan vakio, koska ilanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa. Lopulta voiien sua on nolla. Tällöin lautailijan nopeus on vakio, jos rinteen kaltevuus ei uutu tai jos lautailija ei uuta ilanvastusta esierkiksi eneällä kyykkyyn.

12 34. a) Kitka on Fµ = µ N = µ ( Fy + Gy) = µ ( Fsinα + Gcos α) = 0,5 (45N sin + 4,5kg 9,8/s cos ) = 8,668 N 8,7 N. b) Liikeyhtälö tason suunnassa on Σ F = a eli F + F + G = a. x µ x Kun valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö Fcosα F μ Gsinα = a. Kiihtyvyys on F cosα Fµ g sinα a = 45 N cos 8,668 N 4,5 kg 9,8 /s sin = 3, 7 /s 4,5kg 35. Koska hiihtäjä liukuu vakionopeudella, häneen vaikuttavien voiien sua on nolla: Σ F = 0 eli Fi + Fµ + G x = 0. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, jolloin Fi Fµ + G x = 0 ja ilanvastus on Fi = Gx Fµ = g sin α µ N. Hiihtäjän liikeyhtälö y-suunnassa on F y = 0 eli N + G y = 0. Valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Tällöin on N = Gy = g cosα. Sijoitetaan tukivoia ilanvastuksen yhtälöön, jolloin saadaan Fi = g sinα µ N = g sinα µ g cos α = g(sinα µ cos α) = 7kg 9,8/s (sin8,0 0, cos8,0 ) 4,4 N. Kuvaajasta saadaan tätä ilanvastusta vastaava nopeus, joka on 4 /s.

13 36. Koska köyden jännitysvoia on kaikkialla saa, voidaan erkitä T = T = T. Kappaleen liikeyhtälö on F= a eli T+ G. + F = a x µ Kun valitaan suunta tason suuntaisesti yläviistoon positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T G F = a eli T g sin 30 µ N = a ja edelleen x µ T gsin 30 µ gcos30 = a. Kappaleen liikeyhtälö on F= a eli T + F + G = a. µ x Kun valitaan suunta tason suuntaisesti yläviistoon positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T+ Fµ Gx = a eli T+ µ N g sin 60 = a ja edelleen T+ µ gcos 60 gsin 60 = a. Kirjoitetaan yhtälöt allekkain: T gsin 30 µ gcos30 = a T+ µ g cos 60 g sin 60 = a. Kun alepi yhtälö kerrotaan luvulla ja lasketaan yhtälöt puolittain yhteen, saadaan g sin 30 µ g cos 30 µ g cos 60 + g sin 60 = a( + ). Yhtälöstä saadaan systeein kiihtyvyydeksi a gsin 30 µ gcos30 µ gcos 60 + gsin 60 + =,7 /s. 3

14 37. Vedessä aluiinipalaan kohdistuva noste on N =,0 N 0,63 N = 0,39 N. 0,39 N 9,8 /s 5 3 Aluiinipalan tilavuus on V = = 3, Noste bensiinissä on 3 ρ 000 kg/ 0, 7 N 9,8 /s 3,0 N 0,75 N = 0,7 N. Bensiinin tiheys on ρ = = 690 kg/. 5 3 V 3, Olkoon x purettavan lastin assa. Laivaan kohdistuvan nosteen on oltava saa Suoenlahdella kuin Atlantilla. Saadaan yhtälö ρ A Vg = ρ S Vg. Koska tiheys on ρ = /V, tilavuudelle saadaan yhtälö V = /ρ. Ratkaistaan yhtälöstä ρ x = A ρ purettavan S ρ ρ lastin assa: ρa ρax= ρs. Massaksi saadaan ρ ρ x = = ( A S) kg (06 kg/ 004 kg/ ) 3 ρa 06 kg/ kg. 39. Liikeyhtälö on Σ F = a eli G + N = a. Kun suunta alaspäin valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö g N = a. Koska assa on = ρv ja noste N = ρvg, saadaan yhtälö ρavg ρvvg = ρava, josta kiihtyvyydeksi saadaan ρavg ρvvg ρag ρvg (,70 g/c,00 g/c ) 9,8 /s a = = = 3 ρav ρa,70 g/c 6, /s. 3 3 Veden virtausvastus kasvaa nopeuden kasvaessa, joten kiihtyvyys pienenee. Jos vesi on tarpeeksi syvä, saavutetaan lopulta tilanne, jossa noste ja virtausvastus ovat yhdessä yhtä suuria kuin kappaleen paino. Tällöin kiihtyvyys on nolla ja kappaleen nopeus vakio. 40. a) Uponnut laiva syrjäyttää väheän vettä kuin kelluva laiva, joten veden pinta laskee. b) Syveällä vedessä hydrostaattinen paine on suurepi. Tästä syystä pallon tilavuus pienenee. Syvällä noste on siis pienepi, koska se riippuu pallon tilavuudesta. Ilapallo uppoaa, koska noste pienenee utta ilapalloon kohdistuva paino pysyy saana. 4

15 4. Pallon liikeyhtälö Σ F = Ma eli N + G = Ma, jossa M on kokonaisassa ja N noste. Kun suunta ylös valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö N G = Ma eli N Mg = Ma. Kun pallo laskeutuu, on N = Mg Maalas. Jotta pallo nousisi ylöspäin, assaa on kevennettävä äärällä. Saadaan yhtälö ( M ) aylös = N ( M ) g eli Ma a = M ( g a ) Mg + g. ylös ylös alas Massaksi saadaan Ma + Ma + ylös alas 0 kg (0,03 /s 0, /s ) = = g+ aylös 9,8 /s + 0,03 /s 30 kg. 4. Koska jokaisen esineeseen kohdistuva paino G = g ilassa tiedetään, voidaan G laskea jokaisen esineen assa yhtälöstä =. g esine /g, 6,5 39,8 54,0 70,3 80,5 Koska esineet punnittiin sekä ilassa että vedessä, saadaan noste erotuksesta N = G G. ila vesi Noste on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttään väliaineäärän paino. Syrjäytyneen veden paino on Gvesi = N = vesig = ρvesivvesig = ρvesivesine g. Esineen tilavuus on Vesine = N. ρ g vesi Lasketaan nosteen ja tilavuuden arvot ja kirjoitetaan ne taulukkoon. esine noste (N) 0,0 0,03 0,05 0,07 0,0 0,0 3 tilavuus ( c ),0 3, 5, 7, 0, 0, 5

16 Piirretään taulukkotietojen perusteella kuvaaja (, V)-koordinaatistoon. Kuvaajaksi saadun suoran fysikaalinen kulakerroin on 3 3 V V V 8,9c 0c 0,7c 3 k = = = /g. 70g 0g Tiheyden yhtälöstä ρ = saadaan tilavuudelle yhtälö V. V = ρ = ρ Verrataan tätä yhtälöä origon kautta kulkevan suoran yhtälöön, joka on uotoa y = kx. Huoataan, että kulakerroin on k =. ρ 3 Tiheydeksi saadaan silloin ρ = 7,9g/c. 3 k = 0,7c /g 6

17 43. Voian tekeä työ (s, F)-koordinaatistossa on sen alueen fysikaalinen pinta-ala, jota rajoittavat kuvaaja F = N (6,0 N/) s, s-akseli sekä pystysuorat suorat kohdissa s = 0,0 ja s = 3,0. Voian tekeä työ on W = 8 N 3,0 + 3,0 N 3,0 = 36 J. 44. a) Laukkuun kohdistuvat voiat ovat paino, aan pinnan tukivoia, käden vetävä kosketusvoia ja kitka. Ilanvastusta ei oteta tehtävässä huoioon. b)voian liikkeen suuntainen koponentti on F x, joten työtä tekevän voian suuruus on F x = Fcos α = 6 N cos 35 =,30 N N. c) Voian tekeä työ lasketaan voian liikkeen suuntaisen koponentin F x avulla, joten voian tekeä työ laukun siirtäiseksi on W = F x s =,30 N kj. d) Kitka on yhtä suuri kuin vetävän voian liikkeen suuntainen koponentti, utta vastakkaissuuntainen, joten kitkan tekeä työ on W µ = F µ s =,30 N kj. e) Laukku liikkuu tasaisella nopeudella, joten laukun liikeyhtälö on F = Fx + F µ = 0. Sovitaan liikkeen suunta positiiviseksi, jolloin saadaan skalaariyhtälö F x F µ = 0, eli F x = F µ. Liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa laukun liikeyhtälö on F = Fy + N + G = 0. Valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä F y +N G = 0 pinnan tukivoia on N = G F y = g Fsin α. Kitkan suuruus on F µ = µn, toisaalta F µ = F x = Fcos α, joten kitkakerroin on Fµ F cosα 6 N cos 35 µ = = = 0,3. N g F sinα 8,0 kg 9,8 6 N sin 35 s 7

18 s 0 k 45. Junan nopeus on v = = = 70k /h. Tehon yhtälöstä P = Fv junan kulkua t 3, 0 h P 750 kw vastustava keskiääräinen voia on F = = 39 kn. v 70 3,6 s ηe ηgh ηρvgh 46. Vesivoialaitoksen teho on P t t t 6 P 0 W saadaan h = =. 3 3 ηρvg 0, kg/ 40 9,8/s t, 0 s p = = =, josta pudotuskorkeudeksi Tuulivoialaitoksen teho on P= η ρπ rv, josta tuulivoialaitoksen siiven 3 J 86 0 P pituudeksi saadaan r = = s. 3 3 η ρπv kg 0,3, 9 π 6,5 3 s 48. a) Nopeuden pystykoponentti on v y = 3 /s sin 5 0,3 /s. b) Jos kiipeäisessä tehty työ on gh ja kitkatyö,5gh, kokonaistyö on gh +,5gh =,5gh.,5gh,5 80kg 9,8/s 0,6 Juoksuteho on P = = 500 W. t, 0 s c) Koska hyötysuhde on P P juoksu kok Hukkateho on 500 W 600W = 900 W. 600W = 0, 40, kokonaisteho on P kok = = 500W. 0, 40 d) Hauhduttaiseen tarvitaan enrgiaa E = Pt = 900 W 60 s = 54 kj. Haihtuva hikiäärä saadaan veden oinaishöyrystyisläön avulla. Hien assa on E 54kJ = = 4g. r 60 kj/kg 8

19 49. Junaan kohdistuvan kokonaisvoian tekeä työ on työperiaatteen ukaan yhtä suuri kuin junan liike-energian uutos, eli W = Ek = v v = ( v v ) = kg 37, MJ. 3, 6 s 3, 6 s Keskiääräisen kokonaisvoian tekeä työ on W = F k s, joten junaan kohdistuva liikkeen suuntainen kokonaisvoia on keskiäärin F k 6 W 37, 0 J = = 4 kn. s 7600 Huoaa, että työperiaatteen ukaan kokonaisvoian tekeä työ on yhtä suuri kuin liikeenergian uutos, alaäen kaltevuudesta ei tarvita tietoa. Junaan kohdistuva kokonaisvoia liikkeen suunnassa koostuu lepokitkasta, joka kohdistuu vetäviin pyöriin, liikevastuksista ja painosta (painon radan suuntaisesta koponentista). 50. a) Kaikilla vaunuilla on yhtä suuri nopeus kohdassa A, koska jokaisen ekaaninen energia säilyy. b) Suurin kiihtyvyys on vaunulla. Tää johtuu siitä, että kohdassa A vaunun painon tason suuntainen koponentti on suurepi kuin uilla vaunuilla. c) Kun vaunut lähtevät liikkuaan alas, vaunun 3 kiihtyvyys on alussa suurin, joten alussa vaunulla 3 on suurin nopeus. Koska kaikilla vaunuilla on lopussa yhtä suuri nopeus, vaunun 3 keskinopeus on suurin. Pisteen A ohittaa ensiäisenä vaunu 3, sillä vaunun 3 keskinopeus on suurin. 5. Oletetaan ilanvastus vähäiseksi, joten ekaaninen energia säilyy. Mekaanisen energian säilyislaki on E p,a + E k,a = E p,l + E k,l eli gha + va = ghl + vl. Valitaan potentiaalienergian nollatasoksi lähtötaso hiekkakuopassa. Saadaan yhtälö 0 + va = ghl + vl, joten vl = va ghl. Pallon vauhti sen osuessa reikään on ( ) v = va gha = 5,4 9,8,4,3/s. s s Huoaa, että pallon lentoradasta ei tarvita itään tietoja. 9

20 5. Mekaaninen energia säilyy, jos vaunuun kohdistuva ilanvastus on likiain nolla. Mekaanisen energian säilyislaki on E p,a + E k,a = E p,l + E k,l eli gha + va = ghl + vl. Valitaan vaunun asea aleassa eli jälkiäisessä ittauspisteessä potentiaalienergian nollatasoksi, joten E p,l = 0 J. Ensiäisen ittauspaikan asea pystysuunnassa nollatason suhteen on h a = l sinα, kun α = 8,0 ja l =,0. Mekaanisen energia säilyislain ukaan on gl sinα + va = 0 + vl, joten v = gl sinα + v. Tää ukaan nopeuden pitäisi olla potentiaalienergian nollatasolla l l a v = gl sinα + v = 9,8 /s,0 sin8,0 + (0,34 /s),8 /s. a Huoaa, että vaunun assalla ei ole erkitystä. 53. Mekaanisen energian säilyislain ukaan on ka = v + kx. Koska kappaleen liike-energia on puolet kappaleen potentiaalienergiasta, saadaan yhtälö ka = kx + kx, josta ratkaistaan poikkeaa x: A= x + x A= 3x x = A. 3 A Kappaleen poikkeaaksi saadaan x =. 3 Koska kappaleen liike-energia on puolet kappaleen potentiaalienergiasta, on yös voiassa yhtälö ka = v + v, josta ratkaistaan kappaleen nopeus v: ka = v + v ka = 3v ka v =. 3 Kappaleen nopeudeksi saadaan ka v =. 3 0

21 54. a) Osa auton liike-energiasta uuntuu jousen energiaksi ja osa kitkatyöhön jousen puristuisatkalla x. Mekaniikan energiaperiaatteen ukaan eristäättöässä systeeissä on v kx Fµ x = 0. Ratkaistaan toisen asteen yhtälö kx + F x v = 0 µ ± x = k Fµ ( Fµ ) 4 k( v ) ( ) 50 N ± ( 50 N) N/ 80kg (,0 /s) = N/ x= 0,0584 0,058 tai x= 0,0957 0,09. Negatiivinen arvo ei kelpaa, sillä se tarkoittaisi, että kitka lisäisi systeein ekaanista energiaa töräyksen aikana. Jousen kokoonpuristua on 5,8 c. b) Hidastuvuus on suurin, kun jousi on töräyksessä puristunut ääriasentoonsa. Tällöin suurin jousen voia on F ax = kx = N/ 0, ,6 N. Newtonin II lain ukaan on F kok = a ax. Suuriaksi kiihtyvyydeksi saadaan Suurin hidastuvuus on 4 /s. a F 873,6 N 50 N 80 kg 4 /s kok ax = =. c) Kitkan tekeä työ uuntaa haroniseen jouseen varastoituneen energian uihin energiauotoihin: yhtälöstä kx = F μ s auton liikkua atka töräyksen jälkeen on s = kx = F µ N (0,0584) 50 N 0,076. Vähennetään auton liikkuasta atkasta jousen puristua: 0,76 c 5,84 c 4,4 c. Auton puskuri jää 4,4 c etäisyydelle seinästä. 55. a) Mekaniikan energiaperiaatteen ukaan E p,a + E k,a + W = E p,l + E k,l, jossa W = Fs on liikevastusten tekeä työ. Valitaan auton painopisteen asea pystysuunnassa potentiaalienergian nollatasoksi. Auto pysähtyy lopuksi, joten ekaniikan energiaperiaate on 0 + E k,a + Fs = 0 + 0, kun s jarrutusatka. Liikevastukset ovat F 79 v 00 kg Ek,a 3,6 s = = = = s Voian suunta on liikesuuntaa vastaan. 3,00 kn 3,0 kn. s 96

22 b) Mekaniikan energiaperiaate E p,a + E k,a + W = E p,l + E k,l kirjoitetaan a-kohdan perusteella nopeaalle autolle: 0 + E k,a Fs = E k,l eli va Fs = vl. Yhtälö sievenee uotoon v = v Fs. Auton nopeus töräyshetkellä on l a v l kg 300 N 96 va Fs 3, 6 s k = = = 8, kg s h 56. Mekaniikan energiaperiaatteen ukaan on v W gh + = eli v Fs gh. + = Keskiääräinen liikevastusvoia on 75 gh v 50 kg 9,8 50 kg ( ) s 3,6 s F = = 780 N. s 60 Liikevastusvoia on noin 780 N. 57. Mekaniikan energiaperiaatteen ukaan eristäättöässä systeeissä on a l Ep + W = Ep. Kun koira vetää kelkkaa ja lasta, kelkkaan kohdistuva voia tekee työtä, joka on yhtä suuri kuin kelkan ja lapsen potentiaaienergian uutos ja kitkan kelkkaan tekeä työ. Tätä työtä sanotaan koiran tekeäkis työksi. Työ on Wkoira = Ep + Wvast = gh + Fµ s = gh + µ Ns h = gh + µ g cos α = gh ( + µ cos α ) sinα sinα cos9 = 8kg 9,8/s 8, 0 ( + 0, 0 ), kj. sin9 s + F G x h G G y b) Reitistä riippuatta potentiaalienergian uutos on saa. Kitkan voittaiseksi tehty työ kasvaa loivepia reittejä valittaessa, koska atka kasvaa.

23 58. Ipulssiperiaatteesta F t = v saadaan nopeuden uutokseksi F t 0 N 0,50 s v = = =,0 / s. Nopeus on 5,0 kg v= v0 + ( v) = (3, 0 /s ) + (, 0 /s ) 3, 6 /s. Nopeuden suunta saadaan yhtälöstä v, 0 / s tan α = =, josta α 34. vo 3, 0 / s Nopeus on 3,6 /s ja nopeuden suunta poikkeaa 34 alkuperäisestä liikesuunnasta. 59. Liikeäärä säilyy töräyksessä. Liikeäärän säilyislaki kiottoassa töräyksessä on v + v = ( + ) u. Kun hitaaan auton suunta valitaan v + v = ( + ) u. Autojen nopeudeksi positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö ( ) töräyksen jälkeen saadaan kg kg v + ( v) 3,6 s 3,6 s u = = kg kg = 3, 4 k/h. s Nopeus on noin k/h nopeaan auton liikkeen suuntaan. 60. a) Matkustajan liikeäärän uutos on p = v. Voian F ipulssi atkustajaan v on yhtä suuri kuin atkustajan liikeäärän uutos eli F t = v, joten F =, t voia on suoraan verrannollinen nopeuden uutokseen ja kääntäen verrannollinen voian vaikutusaikaan. Voian F vaikutusaika t atkustajaan on likiain yhtä suuri oleissa autoissa. Matkustajan nopeuden uutos v kevyessä autossa on suurepi kuin raskaassa autossa, joten kevyeässä autossa atkustajaan kohdistuu suurepi voia (esi. turvavyön voia), joka aiheuttaa pahepia ruhjeita. Lisäksi raskaat autot ovat rakenteeltaan vahvepia kuin kevyet autot, ja siksi atkustajat ovat parein suojattuja. b) Jos turvavyötä ei ole, atkustaja jatkavuuden lain ukaan jatkaa liikettään ja törää edessään oleviin esteisiin. Tällaisessa töräyksessä pysäyttävä voia kohdistuu usein pienelle alueelle, jolloin syntyy vaoja. Lisäksi töräyksen vaikutusaika on pieni, joten pysäyttävä voia on suuri. Turvavyötä käytettäessä vyö jakaa voian F vaikutuksen F laajealle alueelle A, jolloin kehoon voian vaikutuskohdassa kohdistuva paine p = A pienenee. Lisäksi turvavyöt joustavat, ikä pidentää voian vaikutusaikaa ja siten voia pienenee. Nää oleat tekijät vähentävät vaoja. Matkustajan törätessä turvatyynyyn voia jakautuu laajalle alueelle, jolloin kehoon kohdistuva paine tyynyn kohdalla jää pieneksi. Myös turvatyynyt joustavat. Moleat seikat vähentävät vaautuisriskiä. 3

24 6. Oletetaan, että auto liikkuu pitkin x-akselia ja auto pitkin y-akselia, kupikin positiiviseen suuntaan, ja että autot töräävät origossa. Autot tarttuvat töräyksessä yhteen, joten töräys on kioton. Kokonaisliikeäärä säilyy eli v + v = ( + ) u. Liikeäärä säilyy yös x- ja y-suunnissa koponenteittain: v = ( + ) u x ja v = ( + ) u y. Ratkaistaan nopeuden u koponentit: u u v 700 kg 33 k/h x = = kg kg v 500kg 54k/h y = = kg kg 3,36 k/h 3,4 /s. Autojen yhteinen nopeus töräyksen jälkeen on ja u = u + u = (3,36 k/h) + (3,4 k/h) 35 k/h. x y Suuntakula α positiivisen x-akselin suhteen saadaan trigonoetrian avulla: uy 3,4 k/h tan α = =, josta α 67. u 3,36 k/h x 4

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. s = 6,0 m + 6,0 m = 12 m.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. s = 6,0 m + 6,0 m = 12 m. TEHTÄVIEN RATKAISUT -. a) Kappaleen nopeus on suurin aikavälillä 0 0 s. b) Kappale liikkuu hitaimmin aikavälillä 30 40 s. c) Kappale on liikkumatta aikavälillä 0 0 s, aikavälillä 0 30 s ja aikavälillä

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

1.5 Tasaisesti kiihtyvä liike

1.5 Tasaisesti kiihtyvä liike Jos pudotat lyijykuulan aanpinnan läheisyydessä, sen vauhti kasvaa joka sekunti noin 9,8 etrillä sekunnissa kunnes törää aahan. Tai jos suoritat autolla lukkojarrutuksen kuivalla asvaltilla jostain kohtuullisesta

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

b) Laskiessani suksilla mäkeä alas ja hypätessäni laiturilta järveen painovoima tekee työtä minulle.

b) Laskiessani suksilla mäkeä alas ja hypätessäni laiturilta järveen painovoima tekee työtä minulle. nergia. Työ ja teho OHDI JA TSI -. Opettaja ja opikelija tekevät hyvin paljon aanlaita ekaanita työtä, kuten liikkuinen, kirjojen ja eineiden notainen, liikkeellelähtö ja pyähtyinen. Uuien aioiden oppiinen

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2011

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2011 MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 0 Tyypillisten virheiden aiheuttaia pisteenetyksiä (6 pisteen skaalassa): - pieni laskuvirhe -/3 p - laskuvirhe, epäielekäs tulos, vähintään - - vastauksessa yksi erkitsevä

Lisätiedot

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n =

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n = S-, ysiikka III (S) välikoe 7000 Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rs seuraaville 6 olekyylien nopeusjakauille: a) kaikkien vauhti 0 / s, b) kolen vauhti / s ja

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Fysiikan lisäkurssin tehtävät (kurssiin I liittyvät, syksy 2013, Kaukonen)

Fysiikan lisäkurssin tehtävät (kurssiin I liittyvät, syksy 2013, Kaukonen) 1. Ylöspäin liikkuvan hissin, jonka massa on 480 kg, nopeus riippuu ajasta oheisen kuvion mukaisesti. Laske kannatinvaijeria jännittävä voima liikkeen eri vaiheissa. (YO, S 84) 0-4s: 4,9 kn, 4..10s: 4,7

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Läpöoppia Haarto & Karhunen Läpötila Läpötila suuren atoi- tai olekyylijoukon oinaisuus Liittyy kiinteillä aineilla aineen atoeiden läpöliikkeeseen (värähtelyyn) ja nesteillä ja kaasuilla liikkeisiin Atoien

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

Kertaustehtäviä ) 2. E = on suoraan verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin. 9,6 m/s. 1. c 2. b 3. b 4. c 5. b 6. c 7. d 8. a 9. b 10.

Kertaustehtäviä ) 2. E = on suoraan verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin. 9,6 m/s. 1. c 2. b 3. b 4. c 5. b 6. c 7. d 8. a 9. b 10. Kertaustehtäviä. c. b 3. b 4. c 5. b 6. c 7. d 8. a 9. b. c. c) Läpötila on T = ( + 73) K = 6 K.. b) Sukellusveneen sisällä on noraali ilanpaine, joka on likiain yhtä suuri kuin ilanpaine eren pinnalla.

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Työ, energia ja energian säilyminen Antti Haarto 0.09.0 Voiman tekemä työ Voiman F tekemä työ W määritellään kuljetun matkan s ja matkan suuntaisen voiman komponentin tulona. Yksikkö:

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Kuva 1: Etäisestä myrskystä tulee 100 metrisiä sekä 20 metrisiä aaltoja kohti rantaa.

Kuva 1: Etäisestä myrskystä tulee 100 metrisiä sekä 20 metrisiä aaltoja kohti rantaa. Kuva : Etäisestä yrskystä tulee 00 etrisiä sekä 20 etrisiä aaltoja kohti rantaa. Myrskyn etäisyys Kuvan ukaisesti yrskystä tulee ensin pitkiä sataetrisiä aaltoja, joiden nopeus on v 00. 0 tuntia yöhein

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

LHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1.

LHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1. S-445 FSIIKK III (ES) Syksy 004, LH 5 Ratkaisut LHSf5-* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden läötilakerroin on R ( b ) R a b Huoaa, että läötilakerroin on annettu oolisen tilavuuden = / ν avulla

Lisätiedot

MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ. Nostotyön suuruus ei riipu a) nopeudesta, jolla kappale nostetaan b) nostokorkeudesta c) nostettavan kappaleen massasta

MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ. Nostotyön suuruus ei riipu a) nopeudesta, jolla kappale nostetaan b) nostokorkeudesta c) nostettavan kappaleen massasta MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ Ympyröi oikea vaihtoehto. Normaali ilmanpaine on a) 1013 kpa b) 1013 mbar c) 1 Pa Kappaleen liike on tasaista, jos a) kappaleen paikka pysyy samana b) kappaleen nopeus pysyy samana

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2007

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2007 MAOL-Pisteityshjeet Fysiikka kevät 007 Tyypillisten virheiden aiheuttaia pisteenetyksiä (6 pisteen skaalassa): - pieni laskuvirhe -/3 p - laskuvirhe, epäielekäs tuls, vähintään - - vastauksessa yksi erkitsevä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIEN RATKAISUT

KERTAUSTEHTÄVIEN RATKAISUT KERTAUSTEHTÄVIEN RATKAISUT 1. Mittausohjelman mukaan veturin nopeus on 1 cm/s. 18 m 7 m / v / v0 m. c) Kiihtyvyys on a = = 3,6 s 3,6 s = / 1,0. t 15 s s Kolmessa sekunnissa kuljettu matka on 1 7 m 1 s3

Lisätiedot

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5 Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona.

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. Fotoni 4 Kertau - 1 Kertautehtäviä Luku 1 1. Oheinen kuvio eittää kolen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. a) Kuka on kulkenut piiän atkan aikavälinä 0...7? b) Milloin B aavuttaa C:n? c) Kenellä

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Työ ja kineettinen energia

Työ ja kineettinen energia Työ ja kineettinen energia Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtälöistä. Työ- ja energiakäsitteiden käyttöönottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

2 Kappaleeseen vaikuttavat voimat

2 Kappaleeseen vaikuttavat voimat Kappaleeseen vaikuttavat voimat. Vuorovaikutus ja voima -. a) Sauvamagneetin ja Maan välillä vallitsee gravitaatiovuorovaikutus. Maan ja magneetin välillä on magneettinen vuorovaikutus. Kosketusvuorovaikutus

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Massakeskipiste Kosketusvoimat

Massakeskipiste Kosketusvoimat Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut. 1 Kuvaan 1 on piiretty kahden suoraviivaisesti samaan suuntaan liikkuvan auton ja B nopeudet ajan funktiona. utot ovat rinnakkain ajanhetkellä t = 0 s. a) Kuvaile auton liikettä ajan funktiona. Kumpi autoista

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

www.mafyvalmennus.fi YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset

www.mafyvalmennus.fi YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset 1. a) Laskuvarjohyppääjän pudotessa häneen vaikuttaa kaksi putoamisliikkeen kannalta merkittävää voimaa: painovoima ja ilmanvastusvoima. Painovoima on likimain

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

b) Piirrä ripustimen voimakuvio (vapaakappalekuva) ja perustele lyhyesti miksi ripustin asettuu piirtämääsi kohtaan. [3p]

b) Piirrä ripustimen voimakuvio (vapaakappalekuva) ja perustele lyhyesti miksi ripustin asettuu piirtämääsi kohtaan. [3p] Fysiikan valintakoe 6.5.207 klo 9-2. Kevyt köysi on kiinnitetty kuvan ukaisesti vasealla kiinteään pisteeseen ja oikealla - assaiseen kappaleeseen. Kiinteän pisteen ja kitkattoan väkipyörän välinen osa

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

Liikemäärä ja törmäykset

Liikemäärä ja törmäykset Liikeäärä a töräykset Haarto & Karhunen www.turkuak.fi Suureita Kaaleen liikeäärä: Vektorisuure Voidaan ilaista koonenttiuodossa,, x x y y z z Voian antaa iulssi: I Aiheuttaa liikeäärän uutoksen Vektorisuure

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU PERUSSARJA PERUSSARJA Vastaa huolellisesti ja siististi! Kirjoita tekstaten koepaperiin oma nimesi, kotiosoitteesi, sähköpostiosoite, opettajasi nimi sekä koulusi nimi. Kilpailuaikaa on 100 minuuttia. Sekä tehtävä-

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Luento 5: Voima ja Liikemäärä

Luento 5: Voima ja Liikemäärä Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton

Lisätiedot

:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)

:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) 'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37

Lisätiedot