6 NUMEERINEN INTEGROINTI
|
|
- Timo-Jaakko Parviainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Elemettmeetelmä peusteet 6. 6 NUMEERINEN INEGROINI 6. Johdto Elemet jäykkyysmts [ k ] j ekvvlette solmukuomtusvekto { } ovt [ ] = [ B] [ E][ B] k dv (6. v e {} = [ B] { 0} dv + [ N] {} f dv + [ N] { p} σ dv (6. v e v e Mts j vekto tegot tkott stä, että de lkot tegod eksee. Yksketsss tpuksss tegot vod tehdä lyyttsest, mutt yleesä o käytettävä umeest tegot. Meetelmä o uset, mutt phte elemettmeetelmää sopvt Guss j Hmme tegot, jote kästellää v tä. Jos tegotv fukto o vko, määäty tegl vo sd ketomll tätä vkot tegotluee mtll, jok o tegotluee tlvuus, pt-l t ptuus se muk, kuk moulottee tegl o. ällö sd tkk tksu, jos mtt tuet tkst. Jos tegd e ole vko, sd umeesell tegoll lkmäääe tulos. Sytyvää lkmäääsyyttä sot tegotvheeks j se suuuus ppuu käytetystä meetelmästä. Numeeste tegotmeetelme jtukse o yleesä muutt tegl ääellseks potetuks summks, jollo tegd voj otet sopvst vltuss tegotpstessä j ästä lsket potettu keskvo. A e 6. Yksulottee Guss-Legede tegot Määätty yksulottee tegl o muoto b I = g(xdx (6. Sjotuksell x = ( + (+ b dx = (b d (6. Numeee tegot Mtt Lähteemäk
2 Elemettmeetelmä peusteet 6. tegl (6. meee stddmuotoo Kuv 6. Emoj. I = + f( d (6.5 joss f( = (b g[(x( ] /. Kv (6.5 muk tegot vod muut lskettvks kuv 6. emoj yl, jote jotut tkstelem tätä tpust. Itegllle (6.5 vod lske lkvo kvst I f( + f( + L+ f( = f( = (6.6 Luvut lmsevt tegotpstede sjt, luvut f( ovt tegd vot tegotpstessä j luvut ovt poketomet. Kosk stddmuotosess teglss (6.5 tegotväl mtt o, o poketome summ. Guss tegoss tegotpsteet ovt välllä [, + ], että kvst (6.6 tulee tkk tulos mhdollsmm koke-steslle polyomelle. Jos tegotpstetä o kpl, pstede sjt j poketomet pystytää vltsem ste, että kv (6.6 o tkk steluku olevlle polyomelle. ällö tegotpsteet ovt tegotvälllä symmetsest j symmetste vstpstede poketomet ovt yhtä suuet. Jos tegotpstede lukumäää o pe, vod sjt j ketomet määttää edellä estettyje omsuukse peusteell. Yhde pstee tegoss = j tegotpste o kohdss = 0 j poketome vo o. Esmmäse stee polyomt tegotuvt tkst. Khde pstee tegoss = j =, jote kolme stee polyomt tegotuvt tkst. Itegotpsteet ovt j sekä poketomet j, lle o vomss = j =. Ylee kolme stee polyom o f( = A + B + C + D. Ku tämä tegod emoj yl, seu tulos I = ( A + B + C + D d = A + C / (6.7 Kvst (6.6 sd vstvst I = f( + = ( A + B f( + C + D + ( A + B + C + D (6.8 Numeee tegot Mtt Lähteemäk
3 Elemettmeetelmä peusteet 6. Ottmll huomoo yhteydet = j = seu I = ( A + C (6.9 Kvost (6.7 j (6.9 sd = ( A + C = A + C / = / (6.0 Khde pstee tegolle sd ss = / = / = = Kuv 6. Itegotpsteet. = = = = / 0, (6. jot o velä hvollstettu kuvss 6.. Kolme pstee tegoss o = j = 5. Peusomsuuksst seu =, = 0 j =. Yleselle vdee stee polyomlle o vomss 5 I = ( A + B + C + D + E + F d = A + C / + E / 5 (6. Kvst (6.6 seu, ku otet smll huomoo peusomsuudet I + = f( + f( + f( = ( A + C + E A (6. Mektsemällä yllä olevt lusekkeet (6. j (6. yhtä suuks seu vtmukset = / 5 = 0 = / 5 + = / = = / 5 (6. = 5 / 9 = 8 / 9 = 5 / 9 Kuv 6. Itegotpsteet. Jälkmmässtä vtmuksst seu = / 5, jote = (/ (5 / = 5 / 9. Esmmäsestä vtmuksest sd = ( / 5 = 8 / 9. Kolme pstee tegolle o ss = = 5 / 9 0, = 8 / 9 0, = = / 5 0, = 0 (6.5 Kv (6.5 tuloks o hvollstettu kuvss 6.. Numeee tegot Mtt Lähteemäk
4 Elemettmeetelmä peusteet 6. Jos tegotpstede määä o suu, o edellä käytetty meetelmä työläs, kosk pstede j poketome määtyksee stv yhtälöyhmä o epälee. Lsket helpottuu, jos johdoss käytetää hyväks Legede polyomej, mstä johtue Guss tegost käytetää myös mtystä Guss-Legedetegot. Itegotpstetä j poketom löytyy tulukotu kjllsuudest. ulukoss 6. o tvttvt tedot tegotsteesee = 5 skk. Elemettmeetelmässä tegotste o tvllsmm, t. ulukko 6. Guss-Legede tegot. 0, , ± 0, , , , ± 0, , ± 0, , ± 0, , , , ± 0, , ± 0, , Kks- j kolmulottee Guss tegot Elemettmeetelmässä ptteglt plutet muuttuje vhdoll jok yksketse emoelemet yl lskettvks. Nelsvuste tsoelemette emoelemett o kuv 6. emoelö. Peustpukse vod tkstell pttegl I = f(, d d (6.6 - Kuv 6. Emoelö. Ku tegl (6.6 sovellet Guss tegot es -suuss j stte -suuss, sd kv Numeee tegot Mtt Lähteemäk
5 Elemettmeetelmä peusteet 6.5 I f(, (6.7 = j= j j Kv (6.7 tegotpsteet (, j j poketomet j j sd tulukost 6.. Kuvss 6.5 o kolme lmm tegotstee Guss psteet. / / / 5 / 5 / / / 5 / 5 Kuv 6.5 Emoelö Guss tegotpstetä. Kksulottesess x Guss tegoss o tegotpstettä. Vod todst, että x tegot tego tkst e muuttuje j polyomt, jode steluku o koket molemmt muuttujt huomoo otte. Elemettmeetelmä tlvuusteglt vod plutt muuttuje vhdoll emoelemet yl lsketuks. Kuusthose tlkvelemet tegoss käytetää kuv 6.6 emokuutot, jollo peustpus o ζ I = f(,, ζd ddζ (6.8 Ku tegl (6.8 käytetää Guss tegot, j ζ suuss, sd kv Kuv 6.6 Emokuuto. I j k f(, j, ζk (6.9 = j= k = Kvss (6.9 olevt tegotpsteet (, j, ζk j poketomet, j j k sd tulukost 6.. Ku tegotpstetä o kpl kolmess suuss, o de lukumäää. Sd ss pstee, 8 pstee, 7 pstee je. tegot. Vod osott, että xx-tegoll sd lskettu tkst e muuttuje, j ζ polyomt, jode steluku o kkk muuttujt huomoo otte. Numeee tegot Mtt Lähteemäk
6 Elemettmeetelmä peusteet Kks- j kolmulottee Hmme tegot Kolmsvuset tsoelemett j tetedelemett vtvt omt tegotmeetelmäsä, kosk de emoelemetessä e tegod vkojoll, kute emoelö j -kuuto tpuksss. Kolmsvuse tsoelemet yl ulotetut teglt vod muut kuv 6.7 emokolmo yl lskettvks. Peustpus o tegl I = f(, d d ( Hmme tegoss tegl (6.0 lsket lkmäääsest summst Kuv 6.7 Emokolmo I f(, (6. = joss luvut ovt poketomet j, vstvt tegotpsteet. Nätä o ( ulukko 6. Hmme tegot emokolmo lueess. Aste m Pstetä Koodtt Pot / / / / / /6 0 / / 0 /6 /6 /6 /6 /6 / /6 /6 /6 / /6 / / -7/96 /5 /5 /5 /5 /5 /5 5/96 5/96 5/96 Numeee tegot Mtt Lähteemäk
7 Elemettmeetelmä peusteet 6.7 kjllsuudest tulukotu suullk -voll. ulukoss 6. o -voh, j lttyvät tedot. Kosk tegotluee mtt o /, o poje summ myös /. Astett m olev Hmme tegot lskee tkst muuttuje j polyome teglt, jode kokemm stee tem j steluku toteutt ehdo + j m. Nelthose tetedelemet yl ulotetut teglt vod muut kuv 6.8 mukse emoteted yl lskettvks. ällö peustpus o I = f(,, ζdζ dd (6. Hmme tegoss tegl (6. lsket lkmäääsest summst Kuv 6.8 Emoteted. I = f(,, ζ (6. joss tegotpsteet ovt (,, ζ j poketomet. ulukoss 6. o, j 5 pstee Hmme tegot tvttvt tedot. Lsätpuks löytyy kjllsuudest. Itegotluee mtt o /6, jote poketome summ o smo /6. Astett m olev Hmme tegot lskee tkst muoto j k ζ oleve polyomteme teglt, ku + j + k m. ulukko 6. Hmme tegot emoteted lueess. Aste m Pstetä Koodtt / / ζ / Pot /6 b b b / / / / 5 5 = b = 0 c c c -/5 d d d /0 c=/ 5 d d e /0 d=/6 d e d /0 e=/ e d d /0 Numeee tegot Mtt Lähteemäk
10. VAKIOLÄMPÖTILASSA JA VAKIOPAINEESSA TAPAHTUVAN PROSESSIN MINIMI- JA MAKSIMI-TYÖMÄÄRÄ
32 0. VAKIOLÄMPÖTILASSA JA VAKIOPAINEESSA TAPAHTUVAN PROSESSIN MINIMI- JA MAKSIMI-TYÖMÄÄRÄ 0. M- j kstyö Trkstell vkoläpötlss j vkopeess tphtuv prosess P:A f B. Terodyk esäe pääsäätö o D U = Q(P) - W(P),
LisätiedotSähköstaattinen potentiaalienergia lasketaan jatkuville varausjakaumille käyttäen energiatiheyden
Jkso 4. Sähkösttkst muut Tämän oson lskuj e tvtse nättää. Tämän jkson tehtävät ovt sllsltt el tähän on ksttu kkk ne sähkösttkn st, jot e kästelt edellsssä jksoss. Se e tkot, että nämä st evät ols täketä.
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotPalloventtiilit Hitsattu rakenne
Iteret_escrpto ellskoot P Läpötl-lue Mterl 10-400 25-10 ºC - + 200 ºC Teräs Käyttökohteet Sulkuvettll läpälle j kuulle vedelle sekä pellle j ksulle. Lduvrstus Täyttää Ruots vroste vtukset kukoläpö j -kylä
LisätiedotJARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE
LIITE JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE Jrruje surtuskyvy määrtys jrrudymmetrllä Määräksktsstuksess rsk kurm-ut j erävuu jrrujärjestelmä surtuskyky määrtetää jrrudymmetrmttuksll. Jrrujärjestelmä mttussuurede
LisätiedotMATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä
MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU....
Lisätiedot7. Arbitrage Pricing Theory
7. Atg Pcg Thoy Cptl Asst Pcg odl CAP mll sovltms lttyy ust hstt. stmotv pmt määä ksv sotuskohtd lukumäää ksvss kohdtt odotusvo vss -/ kovss -/ stmotv pmt sm. 5 kohdtt 5 75 pmt. stmoss tvttv dt välttämättä
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET
Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedotja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
LisätiedotELEC-E8419 syksyllä 2017 Sähkönsiirtojärjestelmät 1
ELECE849 sksllä 7 ähkösrtoärestelmät lmukodu verko tehoko Perodt I II, 5 optopstettä Ls Hrl 9.8.7 Lueo dst Tehokohtälöt, Ertppset solmut tehokolskuss Gussedel terto tehokohtälöde rtksumeetelmää Letv teto:
LisätiedotEDE Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy Matematiikan ja matriisilaskennan kertausta
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Mtemtiik j mtriisilske kertust Yleistä Kirjoittele täe joiti kurssi keskeisiä sioit iille,
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotJohdnto Numeers rtsumenetelm ytett ess on oltv stys nden mtemttsst perustest se nden soveltuvuudest j truudest. Tetooneohjelmn on oltv vrheet n j robu
Johdnto Numeers rtsumenetelm ytett ess on oltv stys nden mtemttsst perustest se nden soveltuvuudest j truudest. Tetooneohjelmn on oltv vrheet n j robust el yenev tunnstmn teht v t sngulrteett, jot se e
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
LisätiedotELEC-E8419 Sähkönsiirtojärjestelmät 1 Silmukoidun verkon tehonjako. Kurssi syksyllä 2015 Periodit I-II, 5 opintopistettä Liisa Haarla
ELECE849 ähkösrtoärestelmät lmukodu verko tehoko Kurss sksllä 05 Perodt III, 5 optopstettä Ls Hrl Lueo dst Tehokohtälöt, Ertppset solmut tehokolskuss Gussedel terto tehokohtälöde rtksumeetelmää Letv teto:
LisätiedotDigipalvelujen ja tiedonhallinnan sääntely , Kuntamarkkinat neuvotteleva virkamies Tomi Voutilainen, valtiovarainministeriö
Dgplveluje j tedohll säätely 11.9.2019, Kutmrkkt euvottelev vrkmes Tom Voutle, vltovrmsterö Keskee säätely Tedohlltlk: tedohllt j tetoturvllsuus Lk sähkösestä sost vromstom ss: sähköse so meettelyt Tetosuojlsäädätö
LisätiedotGeometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedota) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että
TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotJarmo Kuusela PL 467 65101 VAASA 20.10.2009 MAAPERÄTUTKIMUS LAKEUDEN ANKKURI, SEINÄJOKI
YT Rkes Oy Jrmo Ksel P 6 MAAPERÄTUTKMUS 6 VAASA MAAPERÄTUTKMUS AKEUDEN ANKKUR, SENÄJOK Ylesä YT Rkes Oy: (Jrmo Ksel) omeksos o KS-Geokosl sor ohjkmkse es mlle kede Akkrll Seäjoell Aleell eh okrks seessä,
LisätiedotViime kerralta: Puheentuotto (vokaalit)
Vme elt: Puheetuotto volt Solle glottheäte Äätöväylä Suodtue tuloe ytyvä ää Vme elt: Kelly-Lochbum yhtälöt Mllet äätöväylää tuje ute vull: 3 Vme elt: Rtooetee ll ole -uod Kelly-Lochbum yhtälöde mue toetee
Lisätiedot1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
Lisätiedot601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
Lisätiedot2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt
.. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...
LisätiedotKohina. Mittaustekniikan perusteet / luento 8. Kohina. Kohina. Kohinan mittaaminen
Mttutkk prutt / luto 8 Koh Koh mttm Koh lttyvää trmolog Kohtyypt Mttuvhvt Kohll trkott lktro järjtlmää pot fluktutot, jok hutuu jok ltt, kompot t mtrl fykt Ku mtt pä glj, mttuk lrj (pmmä mtttv gl) määrää
LisätiedotS FYSIIKKA III (ES) Syksy 2004, LH 10. Ratkaisut
S-4 FYSIIKKA III (ES) Syksy 004, LH 0 Rtksut LH0-* Jäähdytyskneen tmv Crnt n kne luvutt 0,0 kj lämöä hunelmn smll, kun kneen mttr tekee työtä 0,0 J Hunelmn lämötl n C () Kunk ljn lämöä kne tt lemmst lämösälöstä?
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
Lisätiedot7 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON OMINAISVÄRÄHTELY
Värähtelye 7. 7 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEIN VAIENEAON OINAISVÄRÄHEY 7. Johdto Use vpusstee systee leyhtälöt ovt ylesessä tpusess [ ]{&& } [ C]{ & } [ K]{ } { F} 7. Ku veust e ole, eevät leyhtälöt 7. uotoo
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13
MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli
1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotTasapainojen määrittäminen tasapainovakiomenetelmällä
Luento 6: sutspnot eskvkko 3.1. klo 8-1 771 - Termodynmset tspnot (Syksy 18) http://www.oulu.f/pyomet/771/ Tspnojen määrttämnen tspnovkomenetelmällä Trkstel homogeenst ksufsrektot. Esm.: (g) + (g) = (g)
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket B 8. hrjotukset / Rtksut Aheet: Otos j otosjkumt Avst: Artmeette keskrvo, Beroull-jkum, Beroull-koe, χ -jkum, Frekvess,
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan
A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
Lisätiedot7. Menetysjärjestelmät
Ssältö Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Lisätiedot2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI
37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä
Lisätiedot3.7. Rekursiivisista lukujonoista
.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemilyysi lbortorio Mt-.090 Sovellettu todeäköisyyslsku Nordlud Hrjoitus 10 (vko 47/003) (ihe: Väliestimoiti, Liie luvut 10.6, 11.7, 1.1-13.5, 14.4-14.5) 1. Kemillise prosessi sto X o ormlijkutuut.
LisätiedotTYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 06: Ekvivalentti systeemi
6/ VÄRÄHTEYMEKANKKA SESS 6: Evvle sysee JHDANT Use äyä pplee uodos sysee vod orv yhde vpussee evvlell llll os se pplede se/ul-se vod lusu s oord vull. Tällö sysee geoers vod uodos yheyde se e pplede leloe
Lisätiedottehtävän n yleinen muoto
t-.474 tettste lgorte ohelot Sple-eetel eetelä lsellset tet. lueto: P-tehtävä ylee uoto S ysteelyys bortoro Telle oreoulu tettste lgorte ohelot Kevät 008 / P-teht tehtävä ylee uoto Stdrduoto selle uoto
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.
/ ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin ja Gaussin lait -> sähkökentän voimakkuus ja sähkövuon tiheys
ATE180 Kenttäteoian peusteet 018 1 / Tehtävä 1. Pisteessä P 1 (,, -4) sijaitsee - mc suuuinen negatiivinen vaaus ja pisteessä P (1, -4, ) on positiivinen C vaaus. Määitä positiiviseen vaaukseen vaikuttava
LisätiedotPainokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät
Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotBaltian Tie 2001 ratkaisuja
Balta Te 001 ratkasuja 1. Olkoot tehtävät T, = 1,,..., 8. Eräs mahdollsuus jakaa tehtävät kahdeksalle opskeljalle O j, j =1,,..., 8 o ohesessa taulukossa T 1 T T T 4 T T 6 T 7 T 8 O 1 O O O 4 O O 6 O 7
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
LisätiedotMATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä
LisätiedotYleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys
Ylestä Teäsakenteden ltokset (EC3-1-8, EC3-1-8-NA) Teäsakenteden lttämsessä tosnsa vodaan käyttää seuaava menetelmä: uuv-, ntt- ja nveltappltokset htsausltokset lmaltokset Ltos ja knntys Ltosta asttavan
Lisätiedot766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen
76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotJÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINEMATIIKKA
JÄYKÄN KLEEN TSKINEMTIIKK TSLIIKKEEN LUKITTELU Liikkee yyppi Esimerkki ( Suoriiie rslio (b Käyräiiie rslio (c Roio (d Yleie soliike TRNSLTI Trslioss kikki pisee liikku smll ll eli kpplee liikeil uemisee
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotTyöntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen yleiset laskuperusteet
Työtekijä eläkeli (TyEL) mukise eläkevkuutukse yleiset lskuperusteet Sisällysluettelo 1 LASKUPERUSTEMALLI 1 11 Korkoutuvuus 1 1 Kuolevuus 1 13 Työkyvyttömyys 1 1 Perheellisyys 11 Avioisuus 1 Aviopuolisoide
LisätiedotTiedonhallintalaki (HE 248/2018 vp) Täytäntöönpanosuunnitelma. Juhta
Tedohlltlk (HE 248/2018 vp) Täytätööposuutelm Juht 24.4.2019 Tedohlltl tvotteet Tvottee uudst j yhteästää julkse hllo tedohllt koskev ylessäätelyä sekä vähetää teksluotese säätely trvett ertyslsäädäössä
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotMenetelmiä formuloinnin parantamiseen
Meetelmiä formuloii prtmisee Mikko Korpel Dimitris Bertsims & Robert Weismtel, 2005, Optimiztio over Itegers, ch 2.-2.5 S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri-
LisätiedotOpettajan opas. Shakkilinna
Opettj ops Sh www.sh.f fo@sh.f Sttees eho vetäjäe Sääöt hs j pem ästteee shpe pesteet ymmee ehot ( mtt). Yhde hee äpäymsee vo hyv äyttää myös 0 mtt. ehotte ssätö o päässs opetst j pemst, ehttävä eveysä
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotTYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET
TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Voimntulo Perusteet tulevt voimn 11008 Sisällysluettelo 1 LASKUPERUSTEMALLI1
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotL 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )
76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti
Lisätiedotwww.espegard.fi OSALLISTU KOLMEN ESPEGARD-TULIPADAN ARVONTAAN Lue lisää sivulla 8
I P A L K u 2 0 2 j n m 0.. y 3 Sy Vom ä vero Eegrd r P ä www.eegrd.f l yn y Kto jouet etttr OSALLISTU KOLMEN ESPEGARD-TULIPADAN ARVONTAAN Lue lää vull 8 Tuotenro. 278 (25 + 229 + 00 l 03) Sätytelne +
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
Lisätiedot