Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Transkriptio

1 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket B 8. hrjotukset / Rtksut Aheet: Otos j otosjkumt Avst: Artmeette keskrvo, Beroull-jkum, Beroull-koe, χ -jkum, Frekvess, Frekvessjkum, Keskee rj-rvoluse, Normljkum, Odotusrvo, Otos, Otoshjot, Otosjkum, Otoskoko, Otosvrss, Rppumttomuus, Stdrdotu ormljkum, Suhteelle frekvess, Suhteelle osuus, Todeäkösyys, Ykskerte stusotos, Vrss Otokset j otosjkumt Ykskerte stusotos Olkoo X 1, X,, X (ykskerte) stusotos jkumst, jok pstetodeäkösyys- t theysfukto o f(x). Tällö hvot X 1, X,, X ovt rppumttom, dettsest jkutuet stusmuuttuj, joll o sm pstetodeäkösyys- t theysfukto f(x): X1, X,, X X f( x), = 1,,, Otostuusluku Olkoo X 1, X,, X ykskerte stusotos jkumst, jok pstetodeäkösyys- t theysfukto o f(x). Olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok stusmuuttuje X 1, X,, X (mtlle) fukto. Stusmuuttuj T kutsut (otos-) tuusluvuks. Oletet, että otokse pommse jälkee stusmuuttujt X 1, X,, X svt hvtuks rvoksee hvtorvot x 1, x,, x : X 1 = x 1, X = x,, X = x Tällö tuusluku T = g(x 1, X,, X ) s hvtuks rvoksee t fukto g rvo psteessä (x 1, x,, x ): t = g(x 1, x,, x ) Ilkk Mell (008) 1/18

2 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Otosjkum Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse jkumst f(x) j olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok otostuusluku. Kosk tuusluku T o stusmuuttuj, sllä o todeäkösyysjkum, jot kutsut tuusluvu T otosjkumks. Tuusluvu T otosjkum muodost tlstollse mll el todeäkösyysmll tuusluvu T rvoje stusvhtelulle otoksest tosee. Artmeettse keskrvo j otosvrss otosjkumt Artmeette keskrvo j otosvrss Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse jkumst, jok odotusrvo o µ j vrss o. Tällö hvot X 1, X,, X ovt rppumttom stusmuuttuj, joll kkll o sm odotusrvo j vrss: X 1, X,, X E(X ) = µ, = 1,,, Vr(X ) = D (X ) =, = 1,,, Otokse omsuuks vod kuvt hvtorvoje rtmeettsell keskrvoll j vrssll. Määrtellää hvtoje X 1, X,, X rtmeette keskrvo kvll X 1 X = 1 = Määrtellää hvtoje X 1, X,, X otosvrss kvll 1 s = ( X X) 1 = 1 Huom, että sekä rtmeette keskrvo X että otosvrss s ovt hvtoje X 1, X,, X fukto stusmuuttuj, jode smt rvot vhtelevt stusest otoksest tosee. Artmeettse keskrvo odotusrvo j vrss Hvtoje X 1, X,, X rtmeettsell keskrvoll X o em. oletuste pätessä seurv odotusrvo j vrss: E( X ) = µ = = Vr( X) D ( X) Ilkk Mell (008) /18

3 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Huom, että hvtoje X 1, X,, X rtmeettse keskrvo X vrss otoksess o peemp ku hvtoje vrss, jos otoskoko > 1. Lsäks rtmeettse keskrvo vrss X peeee, jos otoskoo et ksv. Artmeettse keskrvo X stdrdpokkem D( X ) = kutsut tvllsest keskrvo keskvrheeks j se kuv rtmeettse keskrvo otosvhtelu om odotusrvos µ ympärllä. Otosvrss odotusrvo Hvtoje X 1, X,, X otosvrssll s o em. oletuste pätessä seurv odotusrvo: E(s ) = Artmeettse keskrvo otosjkum Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ). Tällö hvot X 1, X,, X ovt rppumttom stusmuuttuj, jotk oudttvt sm ormljkum N(µ, ): X 1, X,, X X ~ N(µ, ), = 1,,, Hvtoje X 1, X,, X rtmeette keskrvo X oudtt em. oletuste pätessä ormljkum prmetre µ j / : Ertysest X N µ, E( X ) = µ = = Vr( X) D ( X) mkä pätee myös lm ormlsuusoletust. Artmeettse keskrvo pproksmtve (symptootte) otosjkum Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse jkumst, jok odotusrvo o µ j vrss o. Tällö keskesestä rj-rvoluseest seur, että hvtoje rtmeette keskrvo X oudtt suurss otoksss pproksmtvsest (symptoottsest) ormljkum prmetre µ j / : Ilkk Mell (008) 3/18

4 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset X N µ, Otosvrss otosjkum Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ). Tällö hvot X 1, X,, X ovt rppumttom stusmuuttuj, jotk oudttvt sm ormljkum N(µ, ): X 1, X,, X X ~ N(µ, ), = 1,,, Olkoo s hvtoje X 1, X,, X otosvrss. Stusmuuttuj ( 1)s / oudtt em. oletuste pätessä χ -jkum vpusste ( 1): ( 1) s χ ( 1) Lsäks vod osott, että rtmeette keskrvo X j otosvrss s ovt stusmuuttuj rppumttom: X s Ste suor Studet t-jkum määrtelmä muk X µ t = t( 1) s/ em. oletuste pätessä. Suhteellse frekvess otosjkum Frekvess j suhteelle frekvess Olkoo A S jok otosvruude S tphtum j olkoo p = Pr(A) q = 1 Pr(A) = 1 p Pomt otosvruudest S ykskerte stusotos, jok koko o. Olkoo f A-tyyppste lkode frekvess el lukumäärä otoksess j f pˆ = vstv suhteelle frekvess el osuus. Huom, että sekä frekvess f että suhteelle frekvess pˆ = f / ovt stusmuuttuj, jode smt rvot vhtelevt stusest otoksest tosee. Ilkk Mell (008) 4/18

5 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Frekvess odotusrvo, vrss j otosjkum Frekvess f odotusrvo j vrss: E( f) = p Vr( f ) = D ( f ) = pq joss q = 1 p. Frekvess f oudtt otoksess bomjkum prmetre j Pr(A) = p: f B( p, ) Suhteellse frekvess odotusrvo j vrss Suhteellse frekvess pˆ = f / odotusrvo j vrss: E( pˆ ) = p pˆ pq = pˆ = Vr( ) D ( ) joss q = 1 p. Huom, että suhteellse frekvess ˆp vrss peeee, jos otoskoo et ksv. Suhteellse frekvess pˆ = f / stdrdpokkem pq D( pˆ ) = kutsut tvllsest suhteellse frekvess keskvrheeks j se kuv suhteellse frekvess otosvhtelu om odotusrvos p ympärllä. Suhteellse frekvess otosjkum Keskesestä rj-rvoluseest seur, että suhteelle frekvess ˆp otoksess oudtt em. oletuste pätessä suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum: p pq ˆ N p, Ilkk Mell (008) 5/18

6 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Tehtävä 8.1. () (b) Koe vlmst kuullker kuul, jode hlksjt vhtelevt stusest oudtte ormljkum prmetre µ = 10 mm, = 0.01 mm Pomt kuule joukost ykskerte stusotos, jok koko = 10 j olkoot X j s kuule hlksjode rtmeette keskrvo j otosvrss otoksess. Mtkä ovt rtmeettse keskrvo X j otosvrss s muuokse ( 1)s / jkumt otoksess? Ääestäjstä 5 % ktt puoluett ABC. Pomt ääestäje joukost ykskerte stusotos, jok koko = Mkä o puoluee ABC kttje suhteellse osuude f/ pproksmtve jkum otoksess? Tehtävä 8.1. Mtä opmme? Tehtävä ()-kohdss trkstell rtmeettse keskrvo j otosvrss otosjkum. Tehtävä (b)-kohdss trkstell suhteellse osuude (pproksmtvst) otosjkum. Tehtävä 8.1. Rtksu: () Oletukse muk hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss = 10 µ = 10 mm = 0.01 mm = mm Ste kuule hlksjode rtmeette keskrvo X oudtt otoksess ormljkum N(µ, /), joss µ = E( X ) = 10 mm = Vr( X) = D ( X) = = mm 10 Olkoo s kuule hlksjode vrss otoksess. Tällö stusmuuttuj ( 1) s / oudtt otoksess χ -jkum vpusste 1 = 10 1 = 9 (b) Olkoo A = stusest vlttu ääestäjä ktt puoluett ABC Oletukse muk Pr(A) = p = 0.5 Pomt ääestäje joukost ykskerte stusotos, jok koko o = Ilkk Mell (008) 6/18

7 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Puoluett ABC kttve ääestäje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksess oudtt suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum: p pq ˆ N p, joss ss p = Pr(A) = 0.5 q = Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = 0.75 Ste puoluee ABC kttje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksess oudtt suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum prmetre E( pˆ ) = p= 0.5 pˆ pq = pˆ = = = = Vr( ) D ( ) Tehtävä 8.. () (b) Meste ptuus eräässä mss vhtelee stusest oudtte ormljkum prmetre µ = 180 cm, = 5 cm Pomt meste joukost ykskerte stusotos, jok koko = 100 j olkoot X j s ptuukse rtmeette keskrvo j otosvrss otoksess. Mtkä ovt rtmeettse keskrvo X j otosvrss s muuokse ( 1)s / jkumt otoksess? Koee vlmstmst mutterest 5 % o vlls. Pomt mutterede joukost ykskerte stusotos, jok koko = 100. Mkä o vllste mutterede suhteellse osuude f/ pproksmtve jkum otoksess? Tehtävä 8.. Mtä opmme? Tehtävä ()-kohdss trkstell rtmeettse keskrvo j otosvrss otosjkum. Tehtävä (b)-kohdss trkstell suhteellse osuude (pproksmtvst) otosjkum. Tehtävä 8.. Rtksu: () Oletukse muk hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss = 100 µ = 185 cm = 5 cm = 5 cm Ilkk Mell (008) 7/18

8 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Ste meste ptuukse rtmeette keskrvo X oudtt otoksess ormljkum N(µ, /), joss µ = E( X ) = 185 cm 5 = Vr( X) = D ( X) = = 0.5 cm 100 Olkoo s meste ptuukse vrss otoksess. Tällö stusmuuttuj ( 1)s / oudtt otoksess χ -jkum vpusste 1 = = 99 (b) Olkoo A = stusest vlttu mutter o vlle Oletukse muk Pr(A) = p = 0.05 Pomt muuterede joukost ykskerte stusotos, jok koko o = 100. Vllste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksess oudtt suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum: p pq ˆ N p, joss ss p = Pr(A) = 0.05 q = Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = 0.95 Ste vllste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksess oudtt suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum prmetre E( pˆ ) = p= 0.05 ksv. pˆ pq = pˆ = = = = Vr( ) D ( ) Huomutuks tehtäv 8.1. j 8..: () () Tehtäve 8.1. j 8.. de o kerto stä, mlls ovt tvomste hvost lskettve otostuuslukuje jkumt perusjoukoss, jos hvtoje jkum perusjoukoss tuet. Jtkmme tehtävssä tvllsmpe otostuuslukuje omsuuks tutkmst. Otostuuslukuje jkum koskevt tulokset ovt sä melessä epäopertols, että jkume prmetrej e yleesä tuet. Ilkk Mell (008) 8/18

9 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset () Jos hvtoje jkum prmetrej e tuet, e vod pyrkä estmom el rvom otoksest stuje tetoje perusteell; ks. luku Tlstollste mlle prmetre estmot. (v) Perusjouko prmetre rvost tehtyjä oletuks vod pyrkä testm tlstollsest otoksest stuje tetoje perusteell; ks. luku Tlstollste hypoteese testus. (v) Myös perusjouko jkum tyyppä koskev oletuks vod pyrkä testm tlstollsest otoksest stuje tetoje perusteell; ks. luku Yhteesopvuude, homogeesuude j rppumttomuude testme. Tehtävä 8.3. Olkoot X, = 1,,, rppumttom ormljkutuet stusmuuttuj, jode odotusrvo E(X ) = µ j vrss Vr(X ) = j trkstell seurv todeäkösyyksä: (1) Pr(X > µ + ) () Pr(X 1 + X + + X > (µ + )) (3) Pr( X > µ + ) () Määrää todeäkösyys (1). (b) Todst, että todeäkösyys () o peemp ku todeäkösyys (1), jos >1. (c) Todst, että todeäkösyys () peeee, ku +. (d) Todst, että todeäkösyys (3) o sm ku todeäkösyys (). (e) Määrää todeäkösyys (), ku = 10. Tehtävä 8.3. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell rppumttom stusmuuttuj, jotk oudttvt sm ormljkum j vertll yksttäse muuttuj, muuttuje summ j muuttuje rtmeettse keskrvo jkum. Tehtävä 8.3. Rtksu: Oletukse muk X1, X,, X X N( µ, ), = 1,,, () Helpost ähdää, että X µ Pr( X > µ + ) = Pr > 1 = Pr( Z > 1) joss stdrdotu stusmuuttuj Ilkk Mell (008) 9/18

10 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset X E( X) X µ Z = = D( X ) oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukode muk Pr( Z 1) = jote komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk kysytty todeäkösyys o Pr( Z > 1) = 1 Pr( Z 1) = (b)&(c) Olkoo Y = X = 1 Tällö E(Y) = µ Kosk stusmuuttujt X, = 1,,, o oletettu rppumttomks, Vr(Y) = D (Y) = Ste kklle > 1 pätee Pr( ( )) Pr Y µ Y > µ + = > = Pr( Z > ) < Pr( Z > 1) joss stdrdotu stusmuuttuj Y E( Y) Y µ Z = = D( Y ) oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Todeäkösyydet Pr( Z > ) muodostvt dost väheevä lukujoo, jos + (d) (e) Tulos o trvlst sm ku kohdss (c), kosk Pr( X > µ + ) = Pr( Y > ( µ + )) Jos = 10, (c)-kohdst seur, että Ilkk Mell (008) 10/18

11 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Pr( X1+ X + + X > ( µ + )) = Pr( Y > 10( µ + )) = Pr( Z > 10) = Pr( Z > 3.16) joss stdrdotu stusmuuttuj Y E( Y) Y µ Y 10µ Z = = = D( Y ) 10 oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukode muk Pr( Z 3.16) = jote komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk kysytty todeäkösyys o Pr( Z > 3.16) = 1 Pr( Z 3.16) = Tehtävä 8.4. Oletet, että hvot X, = 1,,, 100 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(1,4). Määrää todeäkösyys, että hvtoje rtmeette keskrvo X s suuremp rvoj ku 1.1. Tehtävä 8.4. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell rtmeettse keskrvo otosjkum. Tehtävä 8.4. Rtksu: Oletet, että hvot X, = 1,,, 100 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss µ = 1 = 4 Olkoo hvtoje X, = 1,,, 100 rtmeette keskrvo X = X = X = = 1 Oletuksst seur, että stusmuuttuj X oudtt ormljkum prmetre µ j / : joss ss X N µ, Ilkk Mell (008) 11/18

12 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset µ = = = = Tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr( X > 1.1) Selväst X µ 1.1 µ Pr( X > 1.1) = Pr > = Pr Z > = Pr Z > 0.5 / / / 100 joss stdrdotu stusmuuttuj X E( X) X µ Z = = D( X ) / oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) ( ) Normljkum tulukode muk Pr(Z 0.5) = jote komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk kysytty todeäkösyys o Pr( X > 1.1) = Pr( Z > 0.5) = 1 Pr( Z 0.5) = = Tehtävä 8.5. Oletet, että suomlste meste ptuus o ormljkutuut prmetre µ = 175 cm j = 5 cm. Pomt meste joukost ykskerte stusotos, jok koko o 100. Määrää lukurvo, jot suuremp rvoj hvtoje rtmeette keskrvo s todeäkösyydellä Tehtävä 8.5. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell rtmeettse keskrvo otosjkum. Tehtävä 8.5. Rtksu: Oletet, että hvot X, = 1,,, 100 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss µ = 175 = 5 Olkoo hvtoje X, = 1,,, 100 rtmeette keskrvo X = X = X = = 1 Ilkk Mell (008) 1/18

13 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Oletuksst seur, että stusmuuttuj X oudtt ormljkum prmetre µ j / : X joss ss X N µ, µ = = = = Tehtävää o määrätä lukurvo, jot suuremp rvoj hvtoje rtmeette keskrvo s todeäkösyydellä Kosk X N µ, stdrdotu stusmuuttuj X E( X) X µ Z = = D( X ) / oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukost äemme, että Pr(Z.33) = Komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk Pr(Z >.33) = 1 Pr(Z.33) = 0.01 Smme ste epäyhtälö X µ Z = >.33 / jost rtmeettselle keskrvolle sd ehto 5 X > µ +.33 = = Ste Pr( X ) = 0.01 Tehtävä 8.6. Ilkk Mell (008) 13/18

14 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Oletet, että hvot X, = 1,,, 101 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(1,4). Määrää lukurvo, jot peempä rvoj hvtoje otosvrss s todeäkösyydellä Tehtävä 8.6. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell otosvrss otosjkum. Tehtävä 8.6. Rtksu: Oletet, että hvot X, = 1,,, 101 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss µ = 1 = 4 Olkoo hvtoje X, = 1,,, 101 rtmeette keskrvo X = X = X = = 1 j otosvrss s 1 X X 1 X X 101 = ( ) = ( ) 1 = = 1 Oletuksst seur, että stusmuuttuj ( 1) s V = joss = 4 = 101 oudtt χ -jkum vpusste ( 1): V χ (100) Tehtävää o määrätä lukurvo, jok erott χ -jkum vsemmlle häälle todeäkösyysmss, jok koko o χ -jkum tulukost ähdää suor, että Pr(V ) = 0.01 ku Kosk V χ (100) ( 1) s 100s V = = = 5s 4 smme epäyhtälö Ilkk Mell (008) 14/18

15 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset 5s jost otosvrsslle s sd ehto Ste s.803 Pr( s.803) = 0.01 Tehtävä 8.7. Oletet, että suomlste meste ptuus o ormljkutuut prmetre µ = 175 cm j = 5 cm. Pomt meste joukost ykskerte stusotos, jok koko o 101. Määrää lukurvo, jot suuremp rvoj otosvrss s todeäkösyydellä Tehtävä 8.7. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell otosvrss otosjkum. Tehtävä 8.7. Rtksu: Oletet, että hvot X, = 1,,, 101 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss µ = 175 = 5 Olkoo hvtoje X, = 1,,, 101 rtmeette keskrvo X = X = X = = 1 j otosvrss s 1 X X 1 X X 101 = ( ) = ( ) 1 = = 1 Oletuksst seur, että stusmuuttuj ( 1) s V = joss = 5 = 101 oudtt χ -jkum vpusste ( 1): V χ (100) Tehtävää o määrätä lukurvo, jok erott χ -jkum okelle häälle todeäkösyysmss, jok koko o 0.01: Ilkk Mell (008) 15/18

16 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset χ -jkum tulukost ähdää suor, että Pr(V ) = 0.01 ku Kosk V χ (100) ( 1) s 100s V = = = 4s 5 smme epäyhtälö 4s jost otosvrsslle s sd ehto Ste s Pr( s ) = 0.01 Tehtävä 8.8. Oletetet, että teemme 100 tosst rppumtot Beroull-koett, joss kostukse kohtee olev tphtum A todeäkösyys o 0.. Määrää todeäkösyys, että tphtum A suhteelle frekvess tostoje joukoss o suuremp ku 10. Tehtävä 8.8. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell suhteellse frekvess (pproksmtvst) otosjkum. Tehtävä 8.8. Rtksu: Olkoo f = tphtum A frekvess tostoje joukoss f pˆ = = tphtume A suhteelle frekvess tostoje joukoss = tostoje lukumäärä Kosk tostoje lukumäärä = 100 o äk suur, vomme melko hyv pproksmod suhteellse frekvess ˆp ottjkum ormljkumll: joss p pq ˆ N p, p = 0. q = 1 p = 0.8 = 100 Ilkk Mell (008) 16/18

17 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Ste stdrdotu stusmuuttuj pˆ E(ˆ) p pˆ p Z = = D( pˆ ) pq/ oudtt pproksmtvsest stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Kosk 10 1 = = tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr ( p ˆ > 0.1) Selväst pˆ p 0.1 p Pr( pˆ > 0.1) = Pr > = Pr Z > = Pr Z >.5 pq / pq / /100 joss stdrdotu stusmuuttuj pˆ E(ˆ) p pˆ p Z = = D( pˆ ) pq/ ( ) oudtt ss pproksmtvsest stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukode muk Pr(Z.5) = jote komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk kysytty todeäkösyys o Pr( pˆ > 0.1) = Pr( Z >.5) = 1 Pr( Z.5) = = Tehtävä 8.9. Oletet, että 30 % suomlsst ktt NATO:o lttymstä. Pomt suomlste joukost ykskerte stusotos, jok koko o 100. Määrää todeäkösyys, että NATO: kttje suhteelle osuus otoksess o peemp ku 0 %. Tehtävä 8.9. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell suhteellse frekvess (pproksmtvst) otosjkum. Tehtävä 8.9. Rtksu: Olkoo f = NATO: kttje frekvess otoksess f pˆ = = NATO: kttje suhteelle frekvess otoksess Ilkk Mell (008) 17/18

18 Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset = otoskoko Kosk otoskoko = 100 o melko suur, vomme melko hyv pproksmod suhteellse frekvess ˆp otosjkum ormljkumll: joss p pq ˆ N p, p = 0.3 q = 1 p = 0.7 = 100 Ste stdrdotu stusmuuttuj pˆ E(ˆ) p pˆ p Z = = D( pˆ ) pq/ oudtt pproksmtvsest stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Tehtävää o määrätä todeäkösyys Selväst Pr( p ˆ < 0.0) pˆ p 0.0 p Pr( pˆ < 0.0) = Pr < pq/ pq/ = Pr Z < /100 = Pr <.18 ( Z ) joss ss stdrdotu stusmuuttuj pˆ E(ˆ) p pˆ p Z = = D( pˆ ) pq/ oudtt pproksmtvsest stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukode muk kysytty todeäkösyys o Pr(Z.18) = Ilkk Mell (008) 18/18