MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä"

Transkriptio

1 MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä

2 Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU.... MTRIISIN OSITUS...8. MTRIISIN TRNSPOOSI.... MTRIISIN DETERMINNTTI.... KKSI- J KOLMIRIVINEN DETERMINNTTI.... DETERMINNTIN MÄÄRITELMÄ.... DETERMINNTIN OMINISUUKSI.... DETERMINNTIN LSKEMINEN KÄÄNTEISMTRIISI MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISMTRIISIN MUODOSTMINEN NELIÖLLINEN LINERINEN YHTÄLÖRYHMÄ MÄÄRITELMIÄ KÄÄNTEISMTRIISIMENETELMÄ CRMERIN SÄÄNTÖ HOMOGEENINEN YHTÄLÖRYHMÄ KOORDINTTIVRUUS MÄÄRITELMÄ KNT LINERIKUVUS MÄÄRITELMÄ LINERIKUVUSTEN YHDISTETTY KUVUS TSON KIERTO...9. MTRIISIN OMINISRVOT.... MÄÄRITELMIÄ.... OMINISUUKSI...

3 Mtrslske perusteet. PERUSSIOIT. Määrtelmä Suorkulmo muotoo järjestett m luvu kvo m m m o m -mtrs. Luvut... m ovt mtrs lkot. lkot vovt oll rel- t komplekslukuj. m -mtrsss o m rvä (vkrvä) j srkett (pstrvä). Mtrs sot olev kertluku m (lusut m kert ). Mtrs lkot deksod ste että j esmmäe deks lmott rv toe deks j lmott srkkee. Khde er mtrs smll kohdll olev lkot sot vstlkoks. Nde dekst ovt tällö smt.. Mtrs o kertluku sllä sä o rvä j srkett. Mtrs kvoests vod korvt merköllä t j m ( j ). Jälkmmästä tp kätetää ku mtrs kertluku o muute selvä. Kks mtrs ovt htä suuret jos e ovt sm kertluku j de vstlkot ovt htä suuret: B b kkll j HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Olkoot j j B C Vodko luvut j vlt ste että ) B

4 b) C? ( j ). Muodost -mtrs jolle j.. Mtrstppejä Mtrslske perusteet j Nelömtrs o mtrs joss rve j srkkede lukumäärä o sm el mtrs jok o kertluku joll. Nelömtrs päälävstäjä o mtrs vsemm läurk j oke lurk väle vo rv. Päälävstäjä muodostuu ss lkost. Nelömtrs o läkolmomtrs jos päälävstäjä lpuolell olevt lkot ovt oll lkolmomtrs jos päälävstäjä läpuolell olevt lkot ovt oll lävstäjämtrs jos päälävstäjä ulkopuolell olevt lkot ovt oll. Lävstäjämtrslle vod kättää kskertst deksot j seurv merktää:. Mtrs 6 7 o läkolmomtrs. o lkolmomtrs. o lävstäjämtrs. dg( ). Ykskkömtrs I o -lävstäjämtrs jok kkk lävstäjälkot ovt kkösä. Ykskkömtrs merktää mös I ku kertluku o muute selvä. Ss jos j I δj mssä δ j (Kroecker delt). jos j. Ykskkömtrs Leopold Kroecker (8-89) ol sksle mtemtkko. Hä tutk lgebr j lukuteor. Kroecker melestä joke mtemtk käste tät kostruod äärellsellä määrällä skel.

5 Mtrslske perusteet I dg() Nollmtrs O kkk lkot ovt oll. Mtrs sot pstvektorks jos sä o v ks srke. Pstvektor merktää lvvll. vkvektorks jos sä o v ks rv. Vkvektor o muoto [ ]. Geometrset vruusvektort j k vod smst kolmrvste pstvektore kss: j k t kolmsrkkeste vkvektore kss: j k [ ] Geometrset tsovektort jvod vstvst smst kksrvste pstvektore kss: j t kkssrkkeste vkvektore kss: j [ ]. Lsk TI-89: Mtrs sötetää hksulkuje väl. lkot erotet plkull rvt puolpsteellä: Esm. mtrs sötetää seurvst: [ ; ]. Ssäsest mtrst estetää hksulkuje välssä ste että rvt o hksulkuje ssällä. Esm. o. mtrs o [[ ][ ]] Geometrset vektort estetää vkvektore. Mtrs lkoh vtt lmottmll hksuluss lko rv- j srkedeks: esm. []. Mtrslsket lttvä opertot löt komeoll d MTH: :Mtr. Ylesmm kätett mtrslske komeot leee prs sjott om Custom-vlkkoo. Ykskkömtrs I määrtetää fuktoll dett().

6 Mtrslske perusteet Lävstäjämtrs vod muodost komeoll dg(lst) mssä lst o lävstäjälkost muodostettu lst: esm. dg({ }) m -stusmtrs muodostet fuktoll rdmt(m). Tämä mtrs lkot ovt kokoslukuj välllä LSKUTOIMITUKSET Mtrselle vod määrtellä lskutomtukset joll o smls omsuuks ku lukuje lskutomtuksll. Lskutomtuks rjott mtrse kertlukuje hteesopvuus.. Mtrs kertome luvull Mtrs ( j ) k k ( k j ). kerrot luvull k ste että joke lko kerrot tällä luvull: Mtrs vstmtrs määrtellää seurvst:. Lsket Yhtee- j väheslsku Mtrse htee- j väheslsku o määrtelt jos mtrsell o sm kertluku. Yhteelskuss vstlkot lsket htee väheslskuss vstlkot väheetää. Khde m -mtrs ( j ) j B ( b j ) summ j erotus määrtellää ss seurvst: ( j j ) ( j j ) B b B b. Lsket

7 HRJOITUSTEHTÄVÄT : Mtrslske perusteet. Olkoot j B. Määrtä B sekä B.. Olkoot. Määrtä. Kertolsku (. ) Kks mtrs vod kerto keskeää jos kertojss o htä mot srkett ku kerrottvss rvejä. Kertolsku määrtellää seurvst: Olkoo ( j ) kertluku m k j B ( b j ) kertluku k olev mtrs. Tällö tulo B o ker- tluku m olev mtrs C ( c j ) c b b b b j j j k kj s sj s Tuloss B o ss jok lkot lsket seurvst: k htä mot rvä ku mtrsss htä mot srkett ku mtrsss B Tulo :e rv j j:e srkkee lko o : :e rv j B: j:e srkkee vstlkode tuloje summ.. Lsket mtrstulo Lsket mtrstulo 8 7 Tulo.rv j.srkkee lko o lskettu seurvst: c 7 Tulo.rv j.srkkee lko o lskettu seurvst: c ( ) Kosk m -mtrs j -mtrs tulo o m -mtrs o mtrs j pstvektor tulo pstvektor:

8 m m m Mtrslske perusteet 6 m m m Seurvss o estett mtrse lskutomtuste omsuudet. Olkoot B C j kskkömtrs I kertluvult sells mtrsej jolle merktt lskutomtukset vod muodost. Tällö. B B Summ vhdtlk. ( B) C ( B C) Summ ltätälk. ( B ) C ( BC) Tulo ltätälk. ( B C) B C Tulo osttelult. ( B) C C BC 6. I I Ykskkömtrs omsuus 7. k( B) ( k) B kb (k sklr) Sklr srtosäätö Ltätälke sost mtrse tulo j summ vod krjott lm sulkuj esm. BC j B C. Mtrstulost o huomttv seurv: Mtrstulo e ole vhde: leesä B B Mtrstulo e oudt tulo ollsäätöä: tulo B vo oll ollmtrs O vkk O j B O. Jos B B sot että mtrst j B kommutovt. Nelömtrs kertome tsellää lmst ekspoettmerkällä: k k kpl. Lsk TI-89: Mtrse lskutomtukset muodostet kättäe operttoret * ^. HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Suort kertolskut ) b) c) d) 7

9 . Olkoot [ ] j B. Määrtä B j B.. Olkoot B C [ ]. Mtrslske perusteet 7 Lske seurvst tulost e jotk ovt määrteltjä: B B C C BC CB. 6. Olkoo. Määrtä j. 7. Olkoot j. B Määrtä B j B. 8. Osot että kklle -mtrselle o vomss I I. d d d 9. Olkoot D dg j b c b c b c Määrtä tulot D j D. Estä tulos so.. Osot että B B B B. Mllä ehdoll B ( B)( B)?. Olkoo λ λ. λ Osot että k λ k k ) λ kkll k... k λ P λ b) P P( λ ) mssä P jok : polom. P λ

10 Mtrslske perusteet 8. MTRIISIN OSITUS Mtrs ostuksess mtrs jet vk- j pstsuuss os jost kuk muodost mtrs. Tällsst osst koostuv mtrs sot lohkomtrsks. Lohkomtrs os sot lohkoks. Ostus vod lmst vk- j pstsuorll ktkovvoll.. Mtrs vod ostt seurvst: jollo lohkot ovt Lohkoje e suk trvtse oll sm kertluku. Edelle mtrs vod ostt mös seurvst: Lohkomtrsell vod lske kute tvllsll mtrsell jos lohkoje välset mtrsopertot ovt sllttuj. Trkstell mtrs ostust pstvektores vull. Olkoo. m m m Merktää mtrs pstvektoret

11 . m m m Tällö mtrsll o pstvektorostus Olkoo t [ ]. -pstvektor. Tulo Mtrslske perusteet 9 vod esttää seurvss muodoss: m m m m m m m m m Eststä sot vektorede lerkombtoks. Sd Mtrs j pstvektor tulo lerkombtoests: Mtrs j pstvektor tulo o mtrs pstvektorede lerkombto () [ ] Use mtrs j pstvektor tulo ktt hhmott tällä tvll.. Olkoo Tällö

12 Mtrslske perusteet Olkoo t m -mtrs j B p-mtrs. Muodostet B:lle pstvektorostus [ b b ] B b p Tällö mtrstulolle sd seurv pstvektorostus: [ b b ] [ b b ] B b. p b p HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Olkoo. 7 ) Ost mtrs pstvektores vull. Mtkä ovt pstrvostukse pstvektort? b) Ost mtrs vkvektores vull. Mtkä ovt vkrvostukse vkvektort?. MTRIISIN TRNSPOOSI Mtrs T ( bj ) j m m trspoos o mssä b. j j Mtrs trspooss muutet ss rvt srkkeks t srkkeet rveks järjests sälttäe. Esm. T Pstvektor trspoos o vkvektor j vkvektor trspoos o pstvektor: T [ ] Nelömtrs o smmetre jos T. Smmetrse mtrs lkolle pätee j j kkll j j jote lkot sjtsevt smmetrsest päälävstäjä suhtee.. Mtrs

13 Mtrslske perusteet o smmetre Seurvss o estett mtrs trspoot lttvä tuloks. Olkoot j B kertluvult sells mtrsej että merktt lskutomtukset vod muodost. Tällö. ( ) T T T B B T T. T T. k k (k sklr). ( B) T T T B Lsk TI-89: Mtrs trspoos muodostet komeoll d MTH: :Mtr: : T Pstvektor vod söttää lskmee vkvektor trspoos. Esm. [ ] T HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Osot että jos j B ovt smmetrsä mtrsej B o smmetre mtrs.. Osot että mtrst T T ovt smmetrsä mtrsej.. Olkoo elömtrs. Osot että mtrs T ovt smmetre.. Olkoo [ ] mtrs pstrvostus. Määrtä mtrs T vkrvostus. T T. Olkoo T B. ( j B ovt elömtrsej) vkrvostus j [ b b ] B pstrvostus. Muodost mtrstulo b 6. Olkoo -elömtrs j -pstvektor. Mtä kertluku o mtrs T T ku c c b j.. MTRIISIN DETERMINNTTI? Määrtä Joksee elömtrs ltt luku jot sot determtks. Mtrs determtt merktää det. Kvo estet mtrs determttmerktä sd korvmll hksulut pstvvll.

14 Mtrslske perusteet. Kks- j kolmrve determtt Kksrvse mtrs.. Lsket determtt determtll trkotet luku Kolmrvse mtrs determtll trkotet luku. Tässä determtt o kehtett esmmäse vkrvsä muk. Kehtelmässä kolmrve determtt o lusuttu kksrvste determtte vull. Kehtelmä kksrvsä determttej kutsut ldetermteks. Kehtelmää muodostettess o oudtettu seurv säätöjä: ldetermtte kertomks otet kolmrvse determt esmmäse vkrv lkot kerrottu luvull. ldetermtt muodostet postmll lkuperäsestä determtst se rv j se srke jok rsteksessä ksee kerro sjtsee. Kolmrve determtt vod kehttää mkä ths rv t srkkee muk kättäe vstvlst säätöä. Kertome j merkt vlt merkkkvo kseseltä rvltä t srkkeelt.. Lsket mtrs determtt kehttämällä se esmmäse rv muk:

15 Mtrslske perusteet ( ) ( ) ( 6) tose srkkee muk: Kertomet sd merkkkvo toselt srkkeelt. ( ) ( 9) ( 6) HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Lske determtt 6 ) b) 8. Lske determtt ) b) 7. Determt määrtelmä Ylesest determt rvo vod lske kehttämällä se jok rv t srkkee muk. Olkoo j -elömtrs. lkot j vstv ldetermtt D j sd postmll det :st :s rv j j:s srke. lko komplemett o j ( ) j j D. Etumerkk ( ) j o helppo ott seurvst merkkkvost Determt kehttämsellä :e rv suhtee trkotet lusekett k k k :e srkkee suhtee trkotet lusekett j

16 k k k Mtrslske perusteet Vod osott että äde lusekkede rvo o sm. Tämä rvo määrtellää mtrs determtks det. Ss kkll deks rvoll det ( ) Determtt ktt kehttää sellse rv t srkkee suhtee joss o mhdollsmm pljo oll.. Seurv determtt o kehtett kolme pstrv suhtee ( 6 ) 8. Lsket -läkolmomtrs determtt kehttämällä se esmmäse pstrv suhtee. Nä muodostuv -rve determtt kehtetää edellee esmmäse pstrv suhtee.. Edellse esmerk läkolmomtrs determtt o lävstäjälkode tulo. Tämä lest melvltst kertluku olev mtrseh: Jos mtrs o läkolmo- t lkolmomtrs se determtt o lävstäjälkode tulo. Ertsest tulos pätee lävstäjämtrselle.. Ykskkömtrs determtt o ks. Lsk TI-89: Mtrs determtt lsket komeoll det(). HRJOITUSTEHTÄVÄT : 8. Lske determtt. 7 6

17 . Determt omsuuks Mtrslske perusteet Otet kättöö mtrs pstvektorostus (vstvst vots kättää vkvektorostust) [ ]. Kätetää seurv merktää osottm että pstvektor o :s srke.. Estetää jot determtte omsuuks. Determt rvost vod todet seurv:. Determt rvo säl jos ) rvt vhdet järjests sälttäe srkkeks ( T ) det det b) jok srkkee (rv) lkoh lsätää tose srkkee (rv) lkot vkoll kerrottu. det k j det ku j. Determt rvo muuttuu vstluvuksee jos kks srkett (rvä) vhdet keskeää. j j det j det j. Determt rvo o oll jos ) jok srkkee (rv) kkk lkot ovt oll ([ ]) det b) determtss o kks sm srkett (rvä). ([ ]) det Determtt o lere ksttäse srkkee t rv suhtee : Lersuutt kästellää lesest möhemm.

18 Mtrslske perusteet 6. Jos determt jok srke (rv) kerrot vkoll o determt rvo kerrottv smll vkoll. ([ k ]) k det( [ ]) det. Jos determt jok srkkee (rv) lkot ovt khde luvu summ vod determtt krjott khde determt summ. ([ b ]) det( [ ]) det( [ b ]) det. Determt esmmäe j toe srke vhdettu:. Determt toe j kolms rv smoj:. Vod osott että mtrse tulo determtt o determtte tulo: Jos j B ovt -elömtrsej det( B) det det( B) Determt määrtelmä muk kkll deks rvoll det det Jos llä olevss summss dekst ovt er lukuj rvo o oll: Ku j o j j j j j j Perustelu: Omsuude muk rttää todst jälkmmäe htälö. Olkoo j j j

19 j B. Mtrslske perusteet 7 Kosk j:e srkkee lkode komplemettej muodostettess postet j:s srke pätee komplemetell B kj kj kkll k. Kosk mtrsss B o kks sm srkett o omsuude b muk det Kehttämällä B: determtt j:e srkkee suhtee sd B j B j Bj Ottmll huomoo htälö () sd väte... Determt lskeme () B. Selvtetää determt määrtelmää perustuvss lskess trvttve kertolskuje määrää sllo ku mtrsss e ole pljo oll. Kätetää kertomfuktot! jok rvo o : esmmäse postvse kokosluvu tulo. Trkemm:! ( )! jos >..!..! ( )! jos >. Seurvss o estett er kertluku oleve determtte lskess trvttve kertolskuje määrä (selvtä ämä tselles!): -rve determtt: kertolskuje määrä: -rve determtt: kolme -rvstä determtt kerrottu kolmell luvull. Kertolskuje määrä: 9 -rve determtt: eljä -rvstä determtt kerrottu eljällä luvull. Kertolskuje määrä: ( ) Tämä vod esttää kertomfuktot kättäe muodoss!!!!!! luet kertom.

20 Mtrslske perusteet 8 -rve determtt: vs -rvstä determtt kerrottu vdellä luvull. Kertolskuje määrä: ( ) Tämä vod esttää kertomfuktot kättäe muodoss!!!!!!! Ylesest -rve determtt: kertolskuje määrä!. k k! Hvt että kertolskuje määrä ksv humst determt kertluvu ksvess. Esmerkks -rvse determt lskemseks trvt 6 kertolsku j -rvse determt lskemseks o 8 8 kertolsku. Määrtelmää perustuv determt lsket o ss tölästä elle mhdotot vähäk suurempkertlukuste determtte tpuksess. Determtt lsketk muutmll mtrs lät lkolmomtrsks. Ylä- t lkolmomtrs determtt sd suor lävstäjälkode tulo. 6. KÄÄNTEISMTRIISI 6. Määrtelmä Käätesmtrsll o mtrslskess sm merkts ku käätesluvull lgebrss. Käätesmtrsll kertomst vod ptää mtrsll jkmse. Plutet mel kskkömtrs käste: kskkömtrs o lävstäjämtrs jok lävstäjälkot ovt kkösä. Ykskkömtrs merktää I t. Ykskkömtrsll o omsuus I I kkll mtrsell ( joll kertolsku o määrtelt). Nelömtrs sot e-sgulrseks jos o olemss sm kertluku olev mtrs B ste että B B I. Mtrs B kutsut mtrs käätesmtrsks el verssks j slle kätetää merktää. Ss mtrs käätesmtrsll o omsuus: I () Vod osott että käätesmtrs määrät llä olevst ehdost kskästtesest. Itse sss vähempk rttää: elömtrs B o mtrs käätesmtrs jos j v jos toe htälöstä B I t pätee. B I I Käätesmtrs muodostme oudtt seurv lskusäätöjä:

21 Mtrslske perusteet 9 Olkoot j B e-sgulrs mtrsej. Tällö mtrst. ( ) T. ( ). ( B) ( ) T B T j B ovt e-sgulrs j Lsk TI-89: Mtrs käätesmtrs o. HRJOITUSTEHTÄVÄT 6:. Määrtä lskmell seurvt käätesmtrst. Trkst kertolskull että ehdot () pätee. ) b). Osot että jos j B ovt e-sgulrs mtrsej tulo B o e-sgulre j ( B) B.. Osot että smmetrse mtrs verss o smmetre. 6. Käätesmtrs muodostme Mtrs verss vod muodost s. djugotu mtrs kättäe. Kertluku olev mtrs djugotu mtrs o dj mssä o lko komplemett (ks. luku.) j j Determt määrtelmä j luvu. tuloste perusteell mtrstulo Ss j j j T det jos j jos j det det dj det det Tästä sd seurv ests käätesmtrslle: I dj j:s lko o

22 Jos det dj det. Mtrslske perusteet Ss jos det o mtrsll käätesmtrs. Tämä pätee käätesestk mkä ähdää seurvst: Jos mtrsll o käätesmtrs I. Ottmll puoltt determtt sd det det det det I Ss det. O stu tulos:. Mtrsll o käätesmtrs el mtrs o e-sgulre jos j v jos det. Kosk djugtss estve determtte lskeme o tölästä ktt mtrs käätesmtrs määrttää djugtt kättäe v ku mtrs kertluku o pe. Kätäössä verss lsket tetokoell t lskmll. E-sgulrse lävstäjämtrs verss o kutek helppo muodost: E-sgulrse lävstäjämtrs verss sd vertomll lävstäjälkot: dg( ) dg( ). Seurv esmerkk ssältää djugtt perustuv käslsketmeetelmä -mtrs käätesmtrs muodostmselle.. Määrtetää -mtrs verss. Lsket es Jos det dj det T. det Edellä olev mtrs sd mtrsst khdell vhdoksell:. Vhdet lävstäjälkot keskeää.

23 Mtrslske perusteet. Vhdet e-lävstäjälkode etumerkt.. Olkoo Tällö Ss det( ) HRJOITUSTEHTÄVÄT 6:. Määrtä käätesmtrs.. Määrtä seurve mtrse käätesmtrst. ) b) NELIÖLLINEN LINERINEN YHTÄLÖRYHMÄ 7. Määrtelmä Tässä luvuss trkstell sellse lerse htälörhmä rtksemst joss tutemttom o htä mot ku htälötä. Tällst htälörhmää sot elöllseks. Nelölle lere htälörhmä o ss muoto b b b mssä ovt tutemttom j suureet j j b ovt tuettuj vkot. Yhtälörhmä vod esttää mtrsmuodoss mssä b

24 Mtrslske perusteet b b b b. Mtrs sot htälörhmä kerromtrsks. Nelöllse htälörhmä kerromtrs o elömtrs.. Yhtälörhmä o elölle. Se mtrsmuoto o Ottmll kerromtrslle pstvektorostus [ ] vod htälörhmä esttää vektormuodoss (ks. luku lerkombtoests ()) b. Lsk TI-89: Yhtälörhmä rtkst komeoll F lgebr: Solve. Esmerk htälörhmä rtkst seurvst: solve( -- d d - { }). Lskmell TI-89 vod rtkst kkk lerset htälörhmät (mös e-elöllset). Lersell htälörhmällä vo oll kskästtee rtksu äärettömä mot rtksu t e htää rtksu. Lsk esttää rtksut seurvst: kskästtee rtksu: Lsk t rtksu. äärettömä mot rtksu: Rtksuss Tälle muuttuj trkott melvltst relluku. e htää rtksu: Lsk tulost tekst flse. HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Rtkse lskmell TI-89 seurvt lerset htälörhmät: ) b)

25 c) 6 7 d) 6 Mtrslske perusteet e) u 6 u. Rtkse lskmell TI-89 seurvt lerset htälörhmät: ) b) 7. Käätesmtrsmeetelmä lgebrst tedetää että sklrsell esmmäse stee htälöllä b o kskästtee rtksu jos b b. Esttämällä elölle htälörhmä mtrsmuodoss b sd muodolt smle htälö. Ehto vst t ehto det sllä vod todst Ykskästtessluse: Nelöllsellä htälörhmällä b () o -kästtee rtksu jos j v jos det. Determtt det Johdet ests tälle rtksulle. sot htälörhmä kerrodetermtks. Jos det mtrsll o käätesmtrs (ks. luku 6.). Kerrot t htälö () vsemmlt puoltt käätesmtrsll j edetää seurvst (I o kskkömtrs): b ( ) b I b b O stu tulos:

26 Mtrslske perusteet Käätesmtrsmeetelmä: Jos det elöllse htälörhmä b rtksu o b Kätäössä tätä meetelmää e kt kättää elle käätesmtrs ole tedoss. Erässä ohjelmss (mm. Ecel) rtkst htälörhmät kutek tällä pertteell. Nope tp rtkst htälörhmä o kättää sstemttst elmotmeetelmää.. Rtkst htälörhmä käätesmtrsmeetelmällä. Muodostet mtrsmuoto: Kosk kerrodetermtt o htälörhmällä kskästtee rtksu. Muodostet kerromtrs käätesmtrs (esm. lskmell) Yhtälörhmä rtksu o el

27 Mtrslske perusteet HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Osot että htälöprll cos s s cos α α α α r s o kskästtee rtksu. (α r j s ovt melvlts lukuj).. Rtkse htälörhmät käätesmtrsmeetelmällä (käätesmtrst vot muodost lskmell). ) b) 6 7. Crmer säätö Trkstell elöllse htälörhmä b rtksemst tpuksess. det Muodostet kerromtrslle pstvektorostus [ ] j estetää htälörhmä vektormuodoss (ks. luku 7.) b. () Korvt mtrs pstvektorostukse :s pstvektor vektorll b. Kosk determtt o lere :e srkkee suhtee (ks. luku.) sd htälöä () kättäe htälö b det det det det det Edellse htälö vsemm puole determtest det det j luvu. kohd b muk

28 det j ku j. Ss htälö vod krjott muotoo jost sd det det b O stu det b. det Crmer säätö: Jos elöllse htälörhmä b kerrodetermtt det( ) ku. det b det Mtrslske perusteet 6 htälörhmä rtksu o Crmer sääössä tutemttom lusekkeess mttäjä o htälörhmä kerrodetermtt osottj o stu kerrodetermtst vhtmll tutemttom oke puole vkot. kertome tllle Kosk korkekertlukuste determtte lskeme o tölästä ktt Crmer säätöä kättää v htälöpreh j ehkä kolme tutemttom htälörhm. Yhtälöprelle Crmer säätö t kätevä rtksutv: Gbrel Crmer (7-7) ol svetsläe mtemtkko.

29 Jos htälöpr b b kerrodetermtt D rtksu o b b D. Rtkst htälöpr 7 Crmer sääöllä. b. D Kosk kerrodetermtt 7 o Mtrslske perusteet 7 b. Rtkst htälörhmä Crmer sääöllä. Lsket kerrodetermtt (lskmell) D Lsket determtt (lskmell) D D D Yhtälörhmä rtksu o ste

30 Mtrslske perusteet 8 HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Rtkse htälörhmät Crmer sääöllä ) b) 7. Homogeee htälörhmä Yhtälörhmää sot homogeeseks jos se o muoto Homogeese htälörhmä mtrsests o ste. Kosk homogeesell htälörhmällä o trvlrtksu vod luvu 7. kskästtesslusee perusteell todet: Homogeesell htälörhmällä o e-trvl rtksu jos j v jos det HRJOITUSTEHTÄVÄT 7: 6. Määrtä vko ste että htälörhmällä o e-trvl rtksu j määrtä rtksu. ) b) 6 8. KOORDINTTIVRUUS 8. Määrtelmä Geometrse vruude vektort vod esttää kskkövektorede j j k vull kskästtesest muodoss

31 u u u j u k. Mtrslske perusteet 9 Tässä estksessä vektor määrät täs se koordtest. O smtekevää mllä smbolll kskkövektoret merktää. Ne vod jop jättää koko pos: vektor vod esttää vkvektor [ u u u ] t pstvektor u u u. Esmmäe koordtt trkott tällö vektor kerrot toe koordtt vektor j kerrot je. Esmerkks lskmess TI-89 o kätössä tämä tppe estsmuoto: vektor estetää vkvektor. Koordttvruudess otetk vektor lähtökohdks tälle ests. Mtrslsket jtelle pstvektor o kätevämp eststp. Sks seurvss kätetää pstvektoret. Yhtä hv vots kättää vkvektoret; ksms o v krjotustvst. E ole mtää stä rjott koordtte lukumäärää kolmee. Koordttej vo oll kuk pljo ths. Jos koordtte lukumäärä o puhut -vektorst t lhest vektorst. Vektorlskess kästeltjä vruus- j tsovektoret sot tässä htedessä geometrsks vektoreks. Geometrs vektoret merktää lävvll esm. koordttvruude vektoret lvvll esm.. Seurvss estetää trvttvt määrtelmät. Koordttvruudell R trkotet kkke -vektorede joukko. Koordttvruude R lkot sot -vektoreks t lhest vektoreks. Relluvut ovt vektor koordttej. Vektor koordtt deksod lesest tällä tvll. Vektort ovt htä suur jos llä o smt koordtt : Vektorede peruslskutomtukset hteelsku j luvull kertome tphtuvt koordtett v kute geometrsll vektorell: Merktä luet kkll.

32 Mtrslske perusteet Nämä lskutomtukset ovt smt ku mtrse lskutomtukset. Nollvektor o vektor jok kkk koordtt ovt oll: Vektor vstvektor o vektor jok koordtt ovt : koordtte vstlukuj. Tällö. Vektorede väheslsku määrtellää vstvektor kättäe:. Vektorede lskutomtukset oudttvt smoj säätöjä ku geometrste vektorede lskutomtukset. Olkoot -vektoret j b sklrej. Tällö. Yhteelsku vhdtlk. Yhteelsku ltätälk. Noll omsuus. Vstvektor omsuus. b b Tulo ltätälk 6. b b Osttelult Ykkösellä kertomse omsuus Sääöt seurvt vstvst mtrslske lskusääöstä t e vod todet okeks suorll lskull. Estetää jodek säätöje todstus. Säätö : Vektorlske htedessä tvlls lukuj (rellukuj) sot sklreks.

33 Mtrslske perusteet Säätö 7: Huomt vrmk että sääöt plutuvt koordtttsoll rellukuje lskusäätöh. Geometrsll vektorell pstee P ( ) pkkvektor o k j r. Ss psteellä j pkkvektorll o smt koordtt. Tämä muk pste j se pkkvektor vots smst. Koordttvruudess tehdää tämä smstus: pste trkott vektor.. Lsket Merktsemällä j k sd u u u u u u u u u k u j u u u Ste geometrset vruusvektort vod kästtää koordttvruude vektoreks. R Vstvst merktsemällä j vod geometrset tsovektort kästtää koordttvruude vektoreks. R

34 Mtrslske perusteet Geometrse vruude geometrs objektej vstv kästtetä vod määrtellä koordttvruudess. Esmerkks pstee kutt kulkevll vektor s suutsell suorll o prmetrests R t ts. Tämä vod esttää koordttmuodoss vstv tp ku geometrsess vruudess. HRJOITUSTEHTÄVÄT 8:. Tote että vektor lskutomtusomsuudet 8 pätevät R :ss.. Olkoo v u Määrtä v u. Olkoo u j v kute edellsessä tehtävässä. Rtkse htälö v u 8. Kt Edellse luvu esmerkstä ähdää että joksell koordttvruude R vektorll o kskästtee ests vektorede j k vull. Vstvll tvll vod todet että koordttvruude vektort vod kskästtesest lusu vektorede R e e e vull: e e e. Vektoret e... sotk koordttvruude kskköktvektoreks. R Ylestetää tämä käste:

35 Mtrslske perusteet Vektorjoo ( ) muodost koordttvruude R k jos joksell koord- ttvruude vektorll b o kskästtee ests muodoss b. () Kertom sot vektor b koordteks kss ( ) j vektor sot vektor b koordttvektorks kss ( ) Muodostet k vektorest pstvektorostettu mtrs [ ].. Yhtälö () vod t krjott muodoss (vrt. luvu lerkombtoests ()) b. Nelöllste htälörhme kskästtesslusee muk tällä o kskästtee rtksu jos j v jos b det. Ss: Vektorjoo ( ) o koordttvruude R kt jos j v jos ([ ]) det R ( e e ). Koordttvruude kskköktvektort e muodostvt koordttv- ruude R k. Tätä kt sot luoollseks kks. Vektor vektor luoollsess kss o vektor tse. Edellä olev muk vektor b koordtt kss ( ) joko htälörhmä b rtksu t käätesmtrs kättäe muodoss. Vektort b. sd koordtt-

36 Mtrslske perusteet muodostvt vruude k sllä determtt R Vektor b koordtt kss sd rtksemll htälörhmä Rtksu o Ss Koordttvektor vod lske mös käätesmtrs kättäe: HRJOITUSTEHTÄVÄT 8:. Tote että vektort

37 muodostvt vruude. Määrtä vektor b R Mtrslske perusteet k. koordtt edellse tehtävä kss. 9. LINERIKUVUS 9. Määrtelmä Kertluku m olev mtrs määrttelee kuvukse L:R m R L joss koordttvruude R vektor kuvutuu koordttvruude Kuvust L sot lerkuvukseks sllä ( b ) L bl L m R vektorks. ku R j b sklrej: ( b) ( b) b L bl L.. Mtrs määrttämä lerkuvus L :R R o L. Ss vruude R vektor kuvutuu vruude R vektorks. Lerkuvuksess ollvektor kuvutuu ollvektorks: sllä L ( )

38 ( ) L L L. Mtrslske perusteet 6 Tätä vod joskus kättää se osottmseks että kuvus e ole lere: todet että ollvektor e kuvudu ollvektorks. Lerkuvukse määrttelevä ehto lest äärellslle summlle: ( ) L( ) L( ) L( ) k k L Tekkss tätä omsuutt sot superpostopertteeks.. Kuvus K : R R K e ole lerkuvus sllä K. k k. Srto el trslto T : R R T. e ole lerkuvus jos. O T Vod osott että tso lerkuvuksess suor kuvutuu suorks mprä kuvutuu ellpsks j -ulottese vruude lerkuvuksess suor kuvutuu suorks tso kuvutuu tsoks pllo kuvutuu ellpsodks Lerkuvuste kuv vo oll mös ltstetä muotoj. Koordttvruukse välset lerkuvukset ovt kkk edellä olev tppsä mtrs määräämä lerkuvuks: Jos L :R R m o lerkuvus L( e e e ) L( e ) L( e ) L( e ) L mssä e... ovt kskköktvektoret (ks. luku 8.). Kättämällä luvu lerkombtoeststä () vod tämä krjott muotoo

39 Mtrslske perusteet 7 [ ] e L e L e L L. Ss Lerkuvus vod esttää mtrstulo L:R R m L mssä [ ] e L e L e L o m -mtrs jok srkke ovt kskköktvektorede kuvt kuvuksess L. Mtrs j lerkuvukse väle vstvuus o kskästtee jote lerkuvus vod smst mtrsestksesä kss.. Projekto vod esttää mtrs vull seurvst: P P : R R P. Määrtetää lerkuvukse mtrs. : L L R R Ksee mtrs o -mtrs [ ] e L e L. Lsket e L L e L L Ss. Sm tuloksee päädtää mös seurvst:

40 Mtrslske perusteet 8. L HRJOITUSTEHTÄVÄT 9:. Osot että kuvus : L L R R o lerkuvus.. Määrtä pstede kuvt lerkuvuksess L L : R R.. Määrtä -tso elö kuv lerkuvuksss jode mtrst ovt ) b) c) d). Määrtä lerkuvukse L : R R L mtrsests. 9. Lerkuvuste hdstett kuvus Edellse luvu muk mtrs vod smst määräämäsä lerkuvukse kss. Trkstell lerkuvuste hdstet kuvukse j mtrstulo välstä htettä. Olkoo k -mtrs B lerkuvukse mtrsests: k M :R R B M R m k-mtrs lerkuvukse mtrsests: m k L :R R L k R Jos R o

41 ( L M ) L( M ) L( B) ( B) ( B). Ss m -mtrs B o lerkuvukse Tämä perusteell Mtrslske perusteet 9 L m M :R R Lerkuvuste hdstettä kuvust vst mtrsestste tulo. 9. Tso kerto mtrsests. Lerkuvuksll vod toteutt tetokoegrfkss j CD-ohjelmss estvä tso j vruude kertoj peluks skluks m. kuvuks. Esmerkkä trkstell tso R kerto. Olkoo K : R R kerto joss k orgo kuvutuu tsellee. Tso kerro määrää kertokulm ω. Olkoo pstee P pkoordttests P o r cosϕ. r sϕ Kuvpstee r ϕ ω. Kättäe s j kos hteelskukvoj sd kuvpsteelle P ests r cos r s cosω s ω P pkoordttests o ( ϕ ω) ( ϕ ω) r cosϕcosω r s ϕs ω r r sϕcosω cosϕs ω s ωr cosϕ cosω s ω cosω r sϕ s ω cosω Tästä ähdää että tso kerto o lerkuvus jok mtrsests o U cos ω s ω s ω ( ω). cos ω. Määrtetää mtrsests tso kerrolle orgo mpär ku kertokulm ω. Rtksu: Kstt mtrsests o cos s U ( ). s cos Ste pste kuvutuu psteeks ω ϕ ( r ϕ). Tällö pste Nämä estetää trgoometr htedessä.

42 U ( ). Mtrslske perusteet HRJOITUSTEHTÄVÄT 9:. Olkoo U ω mtrsests tso kerrolle orgo mpär ku kertokulm o ω. Määrtä ) U ( ) b) U ( 6 ) c) U ( 9 ) 6. Kätetää edellse tehtävä merktöjä. Oko ( 9 ) U ( ) U ( 6 ) U? Osot että lesest pätee: ( α β) U ( α) U ( β) U?. MTRIISIN OMINISRVOT. Määrtelmä Tässä luvuss trkstell elömtrsej jode lkot vovt oll rel- t komplekslukuj. Luku λ o elömtrs omsrvo jos o olemss ollst erov vektor ste että λ. () Vektor sot omsrvoo λ lttväks omsvektorks. o h- Jos mtrs jtell lerkuvukse merktsee ehto () stä että kuvvektor desuute vektor kss. Yhtälö () vod krjott seurv htäptäv muotoh (I o kskkömtrs): λ λi λi ( λi ) Edellstä htälöä vstv htälörhmä o homogeee htälörhmä. Kosk homogeesell htälörhmällä o luvu 7. muk e-trvl rtksu jos j v jos kerrodetermtt det λi sd tulos: Luku vo oll rel- t kompleksluku.

43 Kertluku olev mtrs λ Mtrslske perusteet ( j ) λ det( λi ) omsrvot ovt : krkterstse htälö λ juuret. Omsrvoo λ lttvä omsvektor ( λ I ) e-trvl rtksu. o homogeese htälörhmä Determtte omsuuksst seur että Jos mtrs o läkolmo- t lkolmomtrs se omsrvot ovt lävstäjälkot. Ylesest omsrvoje j omsvektorede määrttäme käs o tölästä. Se ostuu v ku mtrs kertluku o pe ( t ). Kätäössä omsrvot j omsvektort määrtetää lskmll t tetokoell. Omsrvoje j omsvektorede käs lskest estetää seurv esmerkk:. Määrätää mtrs omsrvot j omsvektort. Omsrvot: Rtkst krkterste htälö det ( λi ) ( λ)( λ) λ λ Omsvektort: λ Omsrvo λ : λ ( λ I ) ( I ) 8 λ λ Vlt t jollo t. Omsvektort ovt ss muoto t t. t Omsrvo λ : ( λ I ) ( I )

44 Mtrslske perusteet Vlt t jollo t t. Omsvektort ovt ss muoto t. t. Tutuu lmeseltä (mks?) että tso kertomtrs omsrvot ovt relset jos j v jos kertokulm o t 8. Trkstet s lskemll. Tso kerro mtrsests o U cosω s ω s ω ( ω) cosω. Määrtetää tämä omsrvot rtksemll krkterste htälö λ cosω s ω λ cosωλ s ω λ cosω Tällä o relset juuret jos j v jos dskrmtt cos ω. Tämä o htäptävää ehdo Ss cos ω cosω ±. ω t ω 8. Lsk TI-89: Kometo egvl() tulost mtrs omsrvot lst. Kometo egvc() tulost omsvektort elömtrs joss :s srke o omsrvolst :tee lkoo lttvä omsvektor. Omsvektort o ormeerttu ste että de orm o ks. HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Oko mtrs omsvektor?. Tutk ovtko vektort j mtrs omsvektoret j jos ovt mh omsrvoh lttvä ku j Tässä kertokulm o välllä 6.

45 . Määrää kskkömtrs I omsrvot j omsvektort. Mtrslske perusteet. Määrää lävstäjämtrs dg( λ λ λ ) omsrvot j omsvektort.. Määrtä seurve mtrse omsrvot j omsvektort ) b) c) 6. Olkoo 6 Määrtä : omsrvot j omsvektort. Omsuuks Polom P ( λ) det( λi ) sot mtrs krkterstseks polomks. Se o stett olev polom joss korkemm stee term kerro o vkoterm o P det. Omsrvot ovt krkterstse polom ollkoht. lgebr peruslusee muk :e stee polomll o täsmällee relst t mgrst ollkoht kuh ollkohdt lsket kertlukujes muk. Ss -mtrsll o korket er suurt omsrvo. Jos j ovt omsrvoo λ lttvä omsvektoret o mös de lerhdelmä b omsrvoo λ lttvä omsvektor ( jos se e ole ollvektor) (Tote tämä!). Omsvektor e ss ole kskästtee: Jos o omsvektor o mös t omsvektor joksell luvull t. Mtemtkkohjelmt j lskmet use ormeervt omsvektort kskkövektoreks. Käslskutehtävssä omsvektore koordtt ovt se sj use kokoslukuj. HRJOITUSTEHTÄVÄT : 7. Todst: Jos o mtrs omsvektor t o mtrs omsvektor ku t 8. Todst: det ( ) jos j v jos oll o : omsrvo.. 9. Todst: Jos λ o e-sgulrse mtrs omsrvo λ o : omsrvo.. Osot että smmetrse mtrs omsrvot ovt relset.

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE

JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE LIITE JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE Jrruje surtuskyvy määrtys jrrudymmetrllä Määräksktsstuksess rsk kurm-ut j erävuu jrrujärjestelmä surtuskyky määrtetää jrrudymmetrmttuksll. Jrrujärjestelmä mttussuurede

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

solmujoukko V omassa säiliössä (sekvenssi) kaarijoukko E kaarialkio-säiliössä kussakin kaarialkiossa viite sen alku- ja loppusolmuun

solmujoukko V omassa säiliössä (sekvenssi) kaarijoukko E kaarialkio-säiliössä kussakin kaarialkiossa viite sen alku- ja loppusolmuun Grf-tetorkenteen toteutus Grfn toteutus? Perustp : krlst e f Tetorkenteet, syksy 7 Grf-tetorkenteen toteutus Perusopertoen työmäärä krlstss...: ovtko solmut u j v verekkäsä?: O(m) solmun lsäys: O() solmun

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

1, MITÄ TARKOITETAAN SEURAAVILLA TERMEILLÄ:

1, MITÄ TARKOITETAAN SEURAAVILLA TERMEILLÄ: KRANPDON TNTT 14.4.2014 LAY/OTK OT: Vst jkseen kysymykseen erllselle pperlle (must merktä nm myös krjnptu"t.u"ppern). ös et vst jhnkn kysymykseen, jätä nmetty vstuspper myös kysesen tehtävän slt' rrävär:

Lisätiedot

Kohina. Mittaustekniikan perusteet / luento 8. Kohina. Kohina. Kohinan mittaaminen

Kohina. Mittaustekniikan perusteet / luento 8. Kohina. Kohina. Kohinan mittaaminen Mttutkk prutt / luto 8 Koh Koh mttm Koh lttyvää trmolog Kohtyypt Mttuvhvt Kohll trkott lktro järjtlmää pot fluktutot, jok hutuu jok ltt, kompot t mtrl fykt Ku mtt pä glj, mttuk lrj (pmmä mtttv gl) määrää

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12 Pallollse puolustae: Sokea ja ta käspallo/ Lppupallo Tavote: aalteo estäe sjottue puolustavalle puolelle, potku ta heto estäe, syöttäse estäe rstäe taklaus, pae tla vottase estäe sjottue puolustavalle

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Suomen metsäkeskus. Zonation ja luonnonhoidon alueellinen suunnittelu yksityismetsissä

Suomen metsäkeskus. Zonation ja luonnonhoidon alueellinen suunnittelu yksityismetsissä Suomen metsäkeskus Zonton j luonnonhodon lueellnen suunnttelu ykstysmetsssä Johtv luonnonhodon sntuntj Mtt Seppälä METSO j Zonton semnr Ksvu j vkuttvuutt METSO luonnonhotoon 2014-2016 Zonton kehttämsen

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

Markovin ketju. Stokastinen prosessi. Markovin ketju. Markovin malli: DNA esimerkki. M-ketju:homogeeninen ja ei-homogeeninen

Markovin ketju. Stokastinen prosessi. Markovin ketju. Markovin malli: DNA esimerkki. M-ketju:homogeeninen ja ei-homogeeninen Soke roe Mkäl lmöö lyy uuu (okuu), uhu ok roee. Soke roe vod myö ähdä oukko umuuu X() oll o ey relo x(). Proe o oääre, o e lolle omuude evä muuu myöä (em. odourvo, vr). Ak vo oll kuv dkree, mo X() Mrkov

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Sonera Ethernet. Palvelukuvaus 1.6.2013

Sonera Ethernet. Palvelukuvaus 1.6.2013 1 (19) Soner Ethernet Plvelukuvus Yrtystedot TelSoner Fnlnd Oyj Teollsuusktu 15, 00510 Helsnk Kotpkk: Helsnk Y-tunnus 1475607-9, ALV REK Yhteystedot Vhde 020401 www.soner.f/operttorelle 2 (19) Ssällys

Lisätiedot

Kirkkonummen kunta Yhdyskuntatekniikan toimiala Pöyry Finland Oy / Veikko Urmas 13.5.2015

Kirkkonummen kunta Yhdyskuntatekniikan toimiala Pöyry Finland Oy / Veikko Urmas 13.5.2015 rkkoumm kut dyskuttkk tom öyry Fd y / kko rms M - D M yrkv j oktty strbyt, strbykr, oktyt, oktytörmä, oktyoku jk-t, ysäkötut tuuokk strbyt o v mt, jok muuttuu kduks o yrkv j okty kv-u ääktu j v myös joukkokttä

Lisätiedot

Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm

Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

Valonlähteiden värintoisto-ominaisuuksien kuvaaminen

Valonlähteiden värintoisto-ominaisuuksien kuvaaminen TEKNILLINEN KORKEAKOULU Sähö- j tetolennetenn ossto MIKES TKK Mttusten Vlonlähteden värntosto-omnsuusen uvmnen 1.9.2008 Ales Sormnen les.sormnen()t.f Mttustenn erostyö urssn S-108.3120 Erostyö Opntopsteet

Lisätiedot

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet Putkitekniikn perusteet 1 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään...3 2. Putkitekniikn perusteet...4 3. Putken eri ost...8 4. Diodi...12 5. Triodi...18 6. Tetrodi...31 7. Pentodi...33 8. Lähdeluettelo...39

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä Tutkimussetelmien tilstollisist menetelmistä Jnne Pitkäniemi VTM, MS (iometry HY, Knsnterveystieteen litos 1 Kohorttitutkimuksen siruen j ltisteen välinen ssositio Tpusverrokki tutkimus Poikkileikkustutkimus

Lisätiedot