MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä"

Transkriptio

1 MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä

2 Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU.... MTRIISIN OSITUS...8. MTRIISIN TRNSPOOSI.... MTRIISIN DETERMINNTTI.... KKSI- J KOLMIRIVINEN DETERMINNTTI.... DETERMINNTIN MÄÄRITELMÄ.... DETERMINNTIN OMINISUUKSI.... DETERMINNTIN LSKEMINEN KÄÄNTEISMTRIISI MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISMTRIISIN MUODOSTMINEN NELIÖLLINEN LINERINEN YHTÄLÖRYHMÄ MÄÄRITELMIÄ KÄÄNTEISMTRIISIMENETELMÄ CRMERIN SÄÄNTÖ HOMOGEENINEN YHTÄLÖRYHMÄ KOORDINTTIVRUUS MÄÄRITELMÄ KNT LINERIKUVUS MÄÄRITELMÄ LINERIKUVUSTEN YHDISTETTY KUVUS TSON KIERTO...9. MTRIISIN OMINISRVOT.... MÄÄRITELMIÄ.... OMINISUUKSI...

3 Mtrslske perusteet. PERUSSIOIT. Määrtelmä Suorkulmo muotoo järjestett m luvu kvo m m m o m -mtrs. Luvut... m ovt mtrs lkot. lkot vovt oll rel- t komplekslukuj. m -mtrsss o m rvä (vkrvä) j srkett (pstrvä). Mtrs sot olev kertluku m (lusut m kert ). Mtrs lkot deksod ste että j esmmäe deks lmott rv toe deks j lmott srkkee. Khde er mtrs smll kohdll olev lkot sot vstlkoks. Nde dekst ovt tällö smt.. Mtrs o kertluku sllä sä o rvä j srkett. Mtrs kvoests vod korvt merköllä t j m ( j ). Jälkmmästä tp kätetää ku mtrs kertluku o muute selvä. Kks mtrs ovt htä suuret jos e ovt sm kertluku j de vstlkot ovt htä suuret: B b kkll j HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Olkoot j j B C Vodko luvut j vlt ste että ) B

4 b) C? ( j ). Muodost -mtrs jolle j.. Mtrstppejä Mtrslske perusteet j Nelömtrs o mtrs joss rve j srkkede lukumäärä o sm el mtrs jok o kertluku joll. Nelömtrs päälävstäjä o mtrs vsemm läurk j oke lurk väle vo rv. Päälävstäjä muodostuu ss lkost. Nelömtrs o läkolmomtrs jos päälävstäjä lpuolell olevt lkot ovt oll lkolmomtrs jos päälävstäjä läpuolell olevt lkot ovt oll lävstäjämtrs jos päälävstäjä ulkopuolell olevt lkot ovt oll. Lävstäjämtrslle vod kättää kskertst deksot j seurv merktää:. Mtrs 6 7 o läkolmomtrs. o lkolmomtrs. o lävstäjämtrs. dg( ). Ykskkömtrs I o -lävstäjämtrs jok kkk lävstäjälkot ovt kkösä. Ykskkömtrs merktää mös I ku kertluku o muute selvä. Ss jos j I δj mssä δ j (Kroecker delt). jos j. Ykskkömtrs Leopold Kroecker (8-89) ol sksle mtemtkko. Hä tutk lgebr j lukuteor. Kroecker melestä joke mtemtk käste tät kostruod äärellsellä määrällä skel.

5 Mtrslske perusteet I dg() Nollmtrs O kkk lkot ovt oll. Mtrs sot pstvektorks jos sä o v ks srke. Pstvektor merktää lvvll. vkvektorks jos sä o v ks rv. Vkvektor o muoto [ ]. Geometrset vruusvektort j k vod smst kolmrvste pstvektore kss: j k t kolmsrkkeste vkvektore kss: j k [ ] Geometrset tsovektort jvod vstvst smst kksrvste pstvektore kss: j t kkssrkkeste vkvektore kss: j [ ]. Lsk TI-89: Mtrs sötetää hksulkuje väl. lkot erotet plkull rvt puolpsteellä: Esm. mtrs sötetää seurvst: [ ; ]. Ssäsest mtrst estetää hksulkuje välssä ste että rvt o hksulkuje ssällä. Esm. o. mtrs o [[ ][ ]] Geometrset vektort estetää vkvektore. Mtrs lkoh vtt lmottmll hksuluss lko rv- j srkedeks: esm. []. Mtrslsket lttvä opertot löt komeoll d MTH: :Mtr. Ylesmm kätett mtrslske komeot leee prs sjott om Custom-vlkkoo. Ykskkömtrs I määrtetää fuktoll dett().

6 Mtrslske perusteet Lävstäjämtrs vod muodost komeoll dg(lst) mssä lst o lävstäjälkost muodostettu lst: esm. dg({ }) m -stusmtrs muodostet fuktoll rdmt(m). Tämä mtrs lkot ovt kokoslukuj välllä LSKUTOIMITUKSET Mtrselle vod määrtellä lskutomtukset joll o smls omsuuks ku lukuje lskutomtuksll. Lskutomtuks rjott mtrse kertlukuje hteesopvuus.. Mtrs kertome luvull Mtrs ( j ) k k ( k j ). kerrot luvull k ste että joke lko kerrot tällä luvull: Mtrs vstmtrs määrtellää seurvst:. Lsket Yhtee- j väheslsku Mtrse htee- j väheslsku o määrtelt jos mtrsell o sm kertluku. Yhteelskuss vstlkot lsket htee väheslskuss vstlkot väheetää. Khde m -mtrs ( j ) j B ( b j ) summ j erotus määrtellää ss seurvst: ( j j ) ( j j ) B b B b. Lsket

7 HRJOITUSTEHTÄVÄT : Mtrslske perusteet. Olkoot j B. Määrtä B sekä B.. Olkoot. Määrtä. Kertolsku (. ) Kks mtrs vod kerto keskeää jos kertojss o htä mot srkett ku kerrottvss rvejä. Kertolsku määrtellää seurvst: Olkoo ( j ) kertluku m k j B ( b j ) kertluku k olev mtrs. Tällö tulo B o ker- tluku m olev mtrs C ( c j ) c b b b b j j j k kj s sj s Tuloss B o ss jok lkot lsket seurvst: k htä mot rvä ku mtrsss htä mot srkett ku mtrsss B Tulo :e rv j j:e srkkee lko o : :e rv j B: j:e srkkee vstlkode tuloje summ.. Lsket mtrstulo Lsket mtrstulo 8 7 Tulo.rv j.srkkee lko o lskettu seurvst: c 7 Tulo.rv j.srkkee lko o lskettu seurvst: c ( ) Kosk m -mtrs j -mtrs tulo o m -mtrs o mtrs j pstvektor tulo pstvektor:

8 m m m Mtrslske perusteet 6 m m m Seurvss o estett mtrse lskutomtuste omsuudet. Olkoot B C j kskkömtrs I kertluvult sells mtrsej jolle merktt lskutomtukset vod muodost. Tällö. B B Summ vhdtlk. ( B) C ( B C) Summ ltätälk. ( B ) C ( BC) Tulo ltätälk. ( B C) B C Tulo osttelult. ( B) C C BC 6. I I Ykskkömtrs omsuus 7. k( B) ( k) B kb (k sklr) Sklr srtosäätö Ltätälke sost mtrse tulo j summ vod krjott lm sulkuj esm. BC j B C. Mtrstulost o huomttv seurv: Mtrstulo e ole vhde: leesä B B Mtrstulo e oudt tulo ollsäätöä: tulo B vo oll ollmtrs O vkk O j B O. Jos B B sot että mtrst j B kommutovt. Nelömtrs kertome tsellää lmst ekspoettmerkällä: k k kpl. Lsk TI-89: Mtrse lskutomtukset muodostet kättäe operttoret * ^. HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Suort kertolskut ) b) c) d) 7

9 . Olkoot [ ] j B. Määrtä B j B.. Olkoot B C [ ]. Mtrslske perusteet 7 Lske seurvst tulost e jotk ovt määrteltjä: B B C C BC CB. 6. Olkoo. Määrtä j. 7. Olkoot j. B Määrtä B j B. 8. Osot että kklle -mtrselle o vomss I I. d d d 9. Olkoot D dg j b c b c b c Määrtä tulot D j D. Estä tulos so.. Osot että B B B B. Mllä ehdoll B ( B)( B)?. Olkoo λ λ. λ Osot että k λ k k ) λ kkll k... k λ P λ b) P P( λ ) mssä P jok : polom. P λ

10 Mtrslske perusteet 8. MTRIISIN OSITUS Mtrs ostuksess mtrs jet vk- j pstsuuss os jost kuk muodost mtrs. Tällsst osst koostuv mtrs sot lohkomtrsks. Lohkomtrs os sot lohkoks. Ostus vod lmst vk- j pstsuorll ktkovvoll.. Mtrs vod ostt seurvst: jollo lohkot ovt Lohkoje e suk trvtse oll sm kertluku. Edelle mtrs vod ostt mös seurvst: Lohkomtrsell vod lske kute tvllsll mtrsell jos lohkoje välset mtrsopertot ovt sllttuj. Trkstell mtrs ostust pstvektores vull. Olkoo. m m m Merktää mtrs pstvektoret

11 . m m m Tällö mtrsll o pstvektorostus Olkoo t [ ]. -pstvektor. Tulo Mtrslske perusteet 9 vod esttää seurvss muodoss: m m m m m m m m m Eststä sot vektorede lerkombtoks. Sd Mtrs j pstvektor tulo lerkombtoests: Mtrs j pstvektor tulo o mtrs pstvektorede lerkombto () [ ] Use mtrs j pstvektor tulo ktt hhmott tällä tvll.. Olkoo Tällö

12 Mtrslske perusteet Olkoo t m -mtrs j B p-mtrs. Muodostet B:lle pstvektorostus [ b b ] B b p Tällö mtrstulolle sd seurv pstvektorostus: [ b b ] [ b b ] B b. p b p HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Olkoo. 7 ) Ost mtrs pstvektores vull. Mtkä ovt pstrvostukse pstvektort? b) Ost mtrs vkvektores vull. Mtkä ovt vkrvostukse vkvektort?. MTRIISIN TRNSPOOSI Mtrs T ( bj ) j m m trspoos o mssä b. j j Mtrs trspooss muutet ss rvt srkkeks t srkkeet rveks järjests sälttäe. Esm. T Pstvektor trspoos o vkvektor j vkvektor trspoos o pstvektor: T [ ] Nelömtrs o smmetre jos T. Smmetrse mtrs lkolle pätee j j kkll j j jote lkot sjtsevt smmetrsest päälävstäjä suhtee.. Mtrs

13 Mtrslske perusteet o smmetre Seurvss o estett mtrs trspoot lttvä tuloks. Olkoot j B kertluvult sells mtrsej että merktt lskutomtukset vod muodost. Tällö. ( ) T T T B B T T. T T. k k (k sklr). ( B) T T T B Lsk TI-89: Mtrs trspoos muodostet komeoll d MTH: :Mtr: : T Pstvektor vod söttää lskmee vkvektor trspoos. Esm. [ ] T HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Osot että jos j B ovt smmetrsä mtrsej B o smmetre mtrs.. Osot että mtrst T T ovt smmetrsä mtrsej.. Olkoo elömtrs. Osot että mtrs T ovt smmetre.. Olkoo [ ] mtrs pstrvostus. Määrtä mtrs T vkrvostus. T T. Olkoo T B. ( j B ovt elömtrsej) vkrvostus j [ b b ] B pstrvostus. Muodost mtrstulo b 6. Olkoo -elömtrs j -pstvektor. Mtä kertluku o mtrs T T ku c c b j.. MTRIISIN DETERMINNTTI? Määrtä Joksee elömtrs ltt luku jot sot determtks. Mtrs determtt merktää det. Kvo estet mtrs determttmerktä sd korvmll hksulut pstvvll.

14 Mtrslske perusteet. Kks- j kolmrve determtt Kksrvse mtrs.. Lsket determtt determtll trkotet luku Kolmrvse mtrs determtll trkotet luku. Tässä determtt o kehtett esmmäse vkrvsä muk. Kehtelmässä kolmrve determtt o lusuttu kksrvste determtte vull. Kehtelmä kksrvsä determttej kutsut ldetermteks. Kehtelmää muodostettess o oudtettu seurv säätöjä: ldetermtte kertomks otet kolmrvse determt esmmäse vkrv lkot kerrottu luvull. ldetermtt muodostet postmll lkuperäsestä determtst se rv j se srke jok rsteksessä ksee kerro sjtsee. Kolmrve determtt vod kehttää mkä ths rv t srkkee muk kättäe vstvlst säätöä. Kertome j merkt vlt merkkkvo kseseltä rvltä t srkkeelt.. Lsket mtrs determtt kehttämällä se esmmäse rv muk:

15 Mtrslske perusteet ( ) ( ) ( 6) tose srkkee muk: Kertomet sd merkkkvo toselt srkkeelt. ( ) ( 9) ( 6) HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Lske determtt 6 ) b) 8. Lske determtt ) b) 7. Determt määrtelmä Ylesest determt rvo vod lske kehttämällä se jok rv t srkkee muk. Olkoo j -elömtrs. lkot j vstv ldetermtt D j sd postmll det :st :s rv j j:s srke. lko komplemett o j ( ) j j D. Etumerkk ( ) j o helppo ott seurvst merkkkvost Determt kehttämsellä :e rv suhtee trkotet lusekett k k k :e srkkee suhtee trkotet lusekett j

16 k k k Mtrslske perusteet Vod osott että äde lusekkede rvo o sm. Tämä rvo määrtellää mtrs determtks det. Ss kkll deks rvoll det ( ) Determtt ktt kehttää sellse rv t srkkee suhtee joss o mhdollsmm pljo oll.. Seurv determtt o kehtett kolme pstrv suhtee ( 6 ) 8. Lsket -läkolmomtrs determtt kehttämällä se esmmäse pstrv suhtee. Nä muodostuv -rve determtt kehtetää edellee esmmäse pstrv suhtee.. Edellse esmerk läkolmomtrs determtt o lävstäjälkode tulo. Tämä lest melvltst kertluku olev mtrseh: Jos mtrs o läkolmo- t lkolmomtrs se determtt o lävstäjälkode tulo. Ertsest tulos pätee lävstäjämtrselle.. Ykskkömtrs determtt o ks. Lsk TI-89: Mtrs determtt lsket komeoll det(). HRJOITUSTEHTÄVÄT : 8. Lske determtt. 7 6

17 . Determt omsuuks Mtrslske perusteet Otet kättöö mtrs pstvektorostus (vstvst vots kättää vkvektorostust) [ ]. Kätetää seurv merktää osottm että pstvektor o :s srke.. Estetää jot determtte omsuuks. Determt rvost vod todet seurv:. Determt rvo säl jos ) rvt vhdet järjests sälttäe srkkeks ( T ) det det b) jok srkkee (rv) lkoh lsätää tose srkkee (rv) lkot vkoll kerrottu. det k j det ku j. Determt rvo muuttuu vstluvuksee jos kks srkett (rvä) vhdet keskeää. j j det j det j. Determt rvo o oll jos ) jok srkkee (rv) kkk lkot ovt oll ([ ]) det b) determtss o kks sm srkett (rvä). ([ ]) det Determtt o lere ksttäse srkkee t rv suhtee : Lersuutt kästellää lesest möhemm.

18 Mtrslske perusteet 6. Jos determt jok srke (rv) kerrot vkoll o determt rvo kerrottv smll vkoll. ([ k ]) k det( [ ]) det. Jos determt jok srkkee (rv) lkot ovt khde luvu summ vod determtt krjott khde determt summ. ([ b ]) det( [ ]) det( [ b ]) det. Determt esmmäe j toe srke vhdettu:. Determt toe j kolms rv smoj:. Vod osott että mtrse tulo determtt o determtte tulo: Jos j B ovt -elömtrsej det( B) det det( B) Determt määrtelmä muk kkll deks rvoll det det Jos llä olevss summss dekst ovt er lukuj rvo o oll: Ku j o j j j j j j Perustelu: Omsuude muk rttää todst jälkmmäe htälö. Olkoo j j j

19 j B. Mtrslske perusteet 7 Kosk j:e srkkee lkode komplemettej muodostettess postet j:s srke pätee komplemetell B kj kj kkll k. Kosk mtrsss B o kks sm srkett o omsuude b muk det Kehttämällä B: determtt j:e srkkee suhtee sd B j B j Bj Ottmll huomoo htälö () sd väte... Determt lskeme () B. Selvtetää determt määrtelmää perustuvss lskess trvttve kertolskuje määrää sllo ku mtrsss e ole pljo oll. Kätetää kertomfuktot! jok rvo o : esmmäse postvse kokosluvu tulo. Trkemm:! ( )! jos >..!..! ( )! jos >. Seurvss o estett er kertluku oleve determtte lskess trvttve kertolskuje määrä (selvtä ämä tselles!): -rve determtt: kertolskuje määrä: -rve determtt: kolme -rvstä determtt kerrottu kolmell luvull. Kertolskuje määrä: 9 -rve determtt: eljä -rvstä determtt kerrottu eljällä luvull. Kertolskuje määrä: ( ) Tämä vod esttää kertomfuktot kättäe muodoss!!!!!! luet kertom.

20 Mtrslske perusteet 8 -rve determtt: vs -rvstä determtt kerrottu vdellä luvull. Kertolskuje määrä: ( ) Tämä vod esttää kertomfuktot kättäe muodoss!!!!!!! Ylesest -rve determtt: kertolskuje määrä!. k k! Hvt että kertolskuje määrä ksv humst determt kertluvu ksvess. Esmerkks -rvse determt lskemseks trvt 6 kertolsku j -rvse determt lskemseks o 8 8 kertolsku. Määrtelmää perustuv determt lsket o ss tölästä elle mhdotot vähäk suurempkertlukuste determtte tpuksess. Determtt lsketk muutmll mtrs lät lkolmomtrsks. Ylä- t lkolmomtrs determtt sd suor lävstäjälkode tulo. 6. KÄÄNTEISMTRIISI 6. Määrtelmä Käätesmtrsll o mtrslskess sm merkts ku käätesluvull lgebrss. Käätesmtrsll kertomst vod ptää mtrsll jkmse. Plutet mel kskkömtrs käste: kskkömtrs o lävstäjämtrs jok lävstäjälkot ovt kkösä. Ykskkömtrs merktää I t. Ykskkömtrsll o omsuus I I kkll mtrsell ( joll kertolsku o määrtelt). Nelömtrs sot e-sgulrseks jos o olemss sm kertluku olev mtrs B ste että B B I. Mtrs B kutsut mtrs käätesmtrsks el verssks j slle kätetää merktää. Ss mtrs käätesmtrsll o omsuus: I () Vod osott että käätesmtrs määrät llä olevst ehdost kskästtesest. Itse sss vähempk rttää: elömtrs B o mtrs käätesmtrs jos j v jos toe htälöstä B I t pätee. B I I Käätesmtrs muodostme oudtt seurv lskusäätöjä:

21 Mtrslske perusteet 9 Olkoot j B e-sgulrs mtrsej. Tällö mtrst. ( ) T. ( ). ( B) ( ) T B T j B ovt e-sgulrs j Lsk TI-89: Mtrs käätesmtrs o. HRJOITUSTEHTÄVÄT 6:. Määrtä lskmell seurvt käätesmtrst. Trkst kertolskull että ehdot () pätee. ) b). Osot että jos j B ovt e-sgulrs mtrsej tulo B o e-sgulre j ( B) B.. Osot että smmetrse mtrs verss o smmetre. 6. Käätesmtrs muodostme Mtrs verss vod muodost s. djugotu mtrs kättäe. Kertluku olev mtrs djugotu mtrs o dj mssä o lko komplemett (ks. luku.) j j Determt määrtelmä j luvu. tuloste perusteell mtrstulo Ss j j j T det jos j jos j det det dj det det Tästä sd seurv ests käätesmtrslle: I dj j:s lko o

22 Jos det dj det. Mtrslske perusteet Ss jos det o mtrsll käätesmtrs. Tämä pätee käätesestk mkä ähdää seurvst: Jos mtrsll o käätesmtrs I. Ottmll puoltt determtt sd det det det det I Ss det. O stu tulos:. Mtrsll o käätesmtrs el mtrs o e-sgulre jos j v jos det. Kosk djugtss estve determtte lskeme o tölästä ktt mtrs käätesmtrs määrttää djugtt kättäe v ku mtrs kertluku o pe. Kätäössä verss lsket tetokoell t lskmll. E-sgulrse lävstäjämtrs verss o kutek helppo muodost: E-sgulrse lävstäjämtrs verss sd vertomll lävstäjälkot: dg( ) dg( ). Seurv esmerkk ssältää djugtt perustuv käslsketmeetelmä -mtrs käätesmtrs muodostmselle.. Määrtetää -mtrs verss. Lsket es Jos det dj det T. det Edellä olev mtrs sd mtrsst khdell vhdoksell:. Vhdet lävstäjälkot keskeää.

23 Mtrslske perusteet. Vhdet e-lävstäjälkode etumerkt.. Olkoo Tällö Ss det( ) HRJOITUSTEHTÄVÄT 6:. Määrtä käätesmtrs.. Määrtä seurve mtrse käätesmtrst. ) b) NELIÖLLINEN LINERINEN YHTÄLÖRYHMÄ 7. Määrtelmä Tässä luvuss trkstell sellse lerse htälörhmä rtksemst joss tutemttom o htä mot ku htälötä. Tällst htälörhmää sot elöllseks. Nelölle lere htälörhmä o ss muoto b b b mssä ovt tutemttom j suureet j j b ovt tuettuj vkot. Yhtälörhmä vod esttää mtrsmuodoss mssä b

24 Mtrslske perusteet b b b b. Mtrs sot htälörhmä kerromtrsks. Nelöllse htälörhmä kerromtrs o elömtrs.. Yhtälörhmä o elölle. Se mtrsmuoto o Ottmll kerromtrslle pstvektorostus [ ] vod htälörhmä esttää vektormuodoss (ks. luku lerkombtoests ()) b. Lsk TI-89: Yhtälörhmä rtkst komeoll F lgebr: Solve. Esmerk htälörhmä rtkst seurvst: solve( -- d d - { }). Lskmell TI-89 vod rtkst kkk lerset htälörhmät (mös e-elöllset). Lersell htälörhmällä vo oll kskästtee rtksu äärettömä mot rtksu t e htää rtksu. Lsk esttää rtksut seurvst: kskästtee rtksu: Lsk t rtksu. äärettömä mot rtksu: Rtksuss Tälle muuttuj trkott melvltst relluku. e htää rtksu: Lsk tulost tekst flse. HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Rtkse lskmell TI-89 seurvt lerset htälörhmät: ) b)

25 c) 6 7 d) 6 Mtrslske perusteet e) u 6 u. Rtkse lskmell TI-89 seurvt lerset htälörhmät: ) b) 7. Käätesmtrsmeetelmä lgebrst tedetää että sklrsell esmmäse stee htälöllä b o kskästtee rtksu jos b b. Esttämällä elölle htälörhmä mtrsmuodoss b sd muodolt smle htälö. Ehto vst t ehto det sllä vod todst Ykskästtessluse: Nelöllsellä htälörhmällä b () o -kästtee rtksu jos j v jos det. Determtt det Johdet ests tälle rtksulle. sot htälörhmä kerrodetermtks. Jos det mtrsll o käätesmtrs (ks. luku 6.). Kerrot t htälö () vsemmlt puoltt käätesmtrsll j edetää seurvst (I o kskkömtrs): b ( ) b I b b O stu tulos:

26 Mtrslske perusteet Käätesmtrsmeetelmä: Jos det elöllse htälörhmä b rtksu o b Kätäössä tätä meetelmää e kt kättää elle käätesmtrs ole tedoss. Erässä ohjelmss (mm. Ecel) rtkst htälörhmät kutek tällä pertteell. Nope tp rtkst htälörhmä o kättää sstemttst elmotmeetelmää.. Rtkst htälörhmä käätesmtrsmeetelmällä. Muodostet mtrsmuoto: Kosk kerrodetermtt o htälörhmällä kskästtee rtksu. Muodostet kerromtrs käätesmtrs (esm. lskmell) Yhtälörhmä rtksu o el

27 Mtrslske perusteet HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Osot että htälöprll cos s s cos α α α α r s o kskästtee rtksu. (α r j s ovt melvlts lukuj).. Rtkse htälörhmät käätesmtrsmeetelmällä (käätesmtrst vot muodost lskmell). ) b) 6 7. Crmer säätö Trkstell elöllse htälörhmä b rtksemst tpuksess. det Muodostet kerromtrslle pstvektorostus [ ] j estetää htälörhmä vektormuodoss (ks. luku 7.) b. () Korvt mtrs pstvektorostukse :s pstvektor vektorll b. Kosk determtt o lere :e srkkee suhtee (ks. luku.) sd htälöä () kättäe htälö b det det det det det Edellse htälö vsemm puole determtest det det j luvu. kohd b muk

28 det j ku j. Ss htälö vod krjott muotoo jost sd det det b O stu det b. det Crmer säätö: Jos elöllse htälörhmä b kerrodetermtt det( ) ku. det b det Mtrslske perusteet 6 htälörhmä rtksu o Crmer sääössä tutemttom lusekkeess mttäjä o htälörhmä kerrodetermtt osottj o stu kerrodetermtst vhtmll tutemttom oke puole vkot. kertome tllle Kosk korkekertlukuste determtte lskeme o tölästä ktt Crmer säätöä kättää v htälöpreh j ehkä kolme tutemttom htälörhm. Yhtälöprelle Crmer säätö t kätevä rtksutv: Gbrel Crmer (7-7) ol svetsläe mtemtkko.

29 Jos htälöpr b b kerrodetermtt D rtksu o b b D. Rtkst htälöpr 7 Crmer sääöllä. b. D Kosk kerrodetermtt 7 o Mtrslske perusteet 7 b. Rtkst htälörhmä Crmer sääöllä. Lsket kerrodetermtt (lskmell) D Lsket determtt (lskmell) D D D Yhtälörhmä rtksu o ste

30 Mtrslske perusteet 8 HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Rtkse htälörhmät Crmer sääöllä ) b) 7. Homogeee htälörhmä Yhtälörhmää sot homogeeseks jos se o muoto Homogeese htälörhmä mtrsests o ste. Kosk homogeesell htälörhmällä o trvlrtksu vod luvu 7. kskästtesslusee perusteell todet: Homogeesell htälörhmällä o e-trvl rtksu jos j v jos det HRJOITUSTEHTÄVÄT 7: 6. Määrtä vko ste että htälörhmällä o e-trvl rtksu j määrtä rtksu. ) b) 6 8. KOORDINTTIVRUUS 8. Määrtelmä Geometrse vruude vektort vod esttää kskkövektorede j j k vull kskästtesest muodoss

31 u u u j u k. Mtrslske perusteet 9 Tässä estksessä vektor määrät täs se koordtest. O smtekevää mllä smbolll kskkövektoret merktää. Ne vod jop jättää koko pos: vektor vod esttää vkvektor [ u u u ] t pstvektor u u u. Esmmäe koordtt trkott tällö vektor kerrot toe koordtt vektor j kerrot je. Esmerkks lskmess TI-89 o kätössä tämä tppe estsmuoto: vektor estetää vkvektor. Koordttvruudess otetk vektor lähtökohdks tälle ests. Mtrslsket jtelle pstvektor o kätevämp eststp. Sks seurvss kätetää pstvektoret. Yhtä hv vots kättää vkvektoret; ksms o v krjotustvst. E ole mtää stä rjott koordtte lukumäärää kolmee. Koordttej vo oll kuk pljo ths. Jos koordtte lukumäärä o puhut -vektorst t lhest vektorst. Vektorlskess kästeltjä vruus- j tsovektoret sot tässä htedessä geometrsks vektoreks. Geometrs vektoret merktää lävvll esm. koordttvruude vektoret lvvll esm.. Seurvss estetää trvttvt määrtelmät. Koordttvruudell R trkotet kkke -vektorede joukko. Koordttvruude R lkot sot -vektoreks t lhest vektoreks. Relluvut ovt vektor koordttej. Vektor koordtt deksod lesest tällä tvll. Vektort ovt htä suur jos llä o smt koordtt : Vektorede peruslskutomtukset hteelsku j luvull kertome tphtuvt koordtett v kute geometrsll vektorell: Merktä luet kkll.

32 Mtrslske perusteet Nämä lskutomtukset ovt smt ku mtrse lskutomtukset. Nollvektor o vektor jok kkk koordtt ovt oll: Vektor vstvektor o vektor jok koordtt ovt : koordtte vstlukuj. Tällö. Vektorede väheslsku määrtellää vstvektor kättäe:. Vektorede lskutomtukset oudttvt smoj säätöjä ku geometrste vektorede lskutomtukset. Olkoot -vektoret j b sklrej. Tällö. Yhteelsku vhdtlk. Yhteelsku ltätälk. Noll omsuus. Vstvektor omsuus. b b Tulo ltätälk 6. b b Osttelult Ykkösellä kertomse omsuus Sääöt seurvt vstvst mtrslske lskusääöstä t e vod todet okeks suorll lskull. Estetää jodek säätöje todstus. Säätö : Vektorlske htedessä tvlls lukuj (rellukuj) sot sklreks.

33 Mtrslske perusteet Säätö 7: Huomt vrmk että sääöt plutuvt koordtttsoll rellukuje lskusäätöh. Geometrsll vektorell pstee P ( ) pkkvektor o k j r. Ss psteellä j pkkvektorll o smt koordtt. Tämä muk pste j se pkkvektor vots smst. Koordttvruudess tehdää tämä smstus: pste trkott vektor.. Lsket Merktsemällä j k sd u u u u u u u u u k u j u u u Ste geometrset vruusvektort vod kästtää koordttvruude vektoreks. R Vstvst merktsemällä j vod geometrset tsovektort kästtää koordttvruude vektoreks. R

34 Mtrslske perusteet Geometrse vruude geometrs objektej vstv kästtetä vod määrtellä koordttvruudess. Esmerkks pstee kutt kulkevll vektor s suutsell suorll o prmetrests R t ts. Tämä vod esttää koordttmuodoss vstv tp ku geometrsess vruudess. HRJOITUSTEHTÄVÄT 8:. Tote että vektor lskutomtusomsuudet 8 pätevät R :ss.. Olkoo v u Määrtä v u. Olkoo u j v kute edellsessä tehtävässä. Rtkse htälö v u 8. Kt Edellse luvu esmerkstä ähdää että joksell koordttvruude R vektorll o kskästtee ests vektorede j k vull. Vstvll tvll vod todet että koordttvruude vektort vod kskästtesest lusu vektorede R e e e vull: e e e. Vektoret e... sotk koordttvruude kskköktvektoreks. R Ylestetää tämä käste:

35 Mtrslske perusteet Vektorjoo ( ) muodost koordttvruude R k jos joksell koord- ttvruude vektorll b o kskästtee ests muodoss b. () Kertom sot vektor b koordteks kss ( ) j vektor sot vektor b koordttvektorks kss ( ) Muodostet k vektorest pstvektorostettu mtrs [ ].. Yhtälö () vod t krjott muodoss (vrt. luvu lerkombtoests ()) b. Nelöllste htälörhme kskästtesslusee muk tällä o kskästtee rtksu jos j v jos b det. Ss: Vektorjoo ( ) o koordttvruude R kt jos j v jos ([ ]) det R ( e e ). Koordttvruude kskköktvektort e muodostvt koordttv- ruude R k. Tätä kt sot luoollseks kks. Vektor vektor luoollsess kss o vektor tse. Edellä olev muk vektor b koordtt kss ( ) joko htälörhmä b rtksu t käätesmtrs kättäe muodoss. Vektort b. sd koordtt-

36 Mtrslske perusteet muodostvt vruude k sllä determtt R Vektor b koordtt kss sd rtksemll htälörhmä Rtksu o Ss Koordttvektor vod lske mös käätesmtrs kättäe: HRJOITUSTEHTÄVÄT 8:. Tote että vektort

37 muodostvt vruude. Määrtä vektor b R Mtrslske perusteet k. koordtt edellse tehtävä kss. 9. LINERIKUVUS 9. Määrtelmä Kertluku m olev mtrs määrttelee kuvukse L:R m R L joss koordttvruude R vektor kuvutuu koordttvruude Kuvust L sot lerkuvukseks sllä ( b ) L bl L m R vektorks. ku R j b sklrej: ( b) ( b) b L bl L.. Mtrs määrttämä lerkuvus L :R R o L. Ss vruude R vektor kuvutuu vruude R vektorks. Lerkuvuksess ollvektor kuvutuu ollvektorks: sllä L ( )

38 ( ) L L L. Mtrslske perusteet 6 Tätä vod joskus kättää se osottmseks että kuvus e ole lere: todet että ollvektor e kuvudu ollvektorks. Lerkuvukse määrttelevä ehto lest äärellslle summlle: ( ) L( ) L( ) L( ) k k L Tekkss tätä omsuutt sot superpostopertteeks.. Kuvus K : R R K e ole lerkuvus sllä K. k k. Srto el trslto T : R R T. e ole lerkuvus jos. O T Vod osott että tso lerkuvuksess suor kuvutuu suorks mprä kuvutuu ellpsks j -ulottese vruude lerkuvuksess suor kuvutuu suorks tso kuvutuu tsoks pllo kuvutuu ellpsodks Lerkuvuste kuv vo oll mös ltstetä muotoj. Koordttvruukse välset lerkuvukset ovt kkk edellä olev tppsä mtrs määräämä lerkuvuks: Jos L :R R m o lerkuvus L( e e e ) L( e ) L( e ) L( e ) L mssä e... ovt kskköktvektoret (ks. luku 8.). Kättämällä luvu lerkombtoeststä () vod tämä krjott muotoo

39 Mtrslske perusteet 7 [ ] e L e L e L L. Ss Lerkuvus vod esttää mtrstulo L:R R m L mssä [ ] e L e L e L o m -mtrs jok srkke ovt kskköktvektorede kuvt kuvuksess L. Mtrs j lerkuvukse väle vstvuus o kskästtee jote lerkuvus vod smst mtrsestksesä kss.. Projekto vod esttää mtrs vull seurvst: P P : R R P. Määrtetää lerkuvukse mtrs. : L L R R Ksee mtrs o -mtrs [ ] e L e L. Lsket e L L e L L Ss. Sm tuloksee päädtää mös seurvst:

40 Mtrslske perusteet 8. L HRJOITUSTEHTÄVÄT 9:. Osot että kuvus : L L R R o lerkuvus.. Määrtä pstede kuvt lerkuvuksess L L : R R.. Määrtä -tso elö kuv lerkuvuksss jode mtrst ovt ) b) c) d). Määrtä lerkuvukse L : R R L mtrsests. 9. Lerkuvuste hdstett kuvus Edellse luvu muk mtrs vod smst määräämäsä lerkuvukse kss. Trkstell lerkuvuste hdstet kuvukse j mtrstulo välstä htettä. Olkoo k -mtrs B lerkuvukse mtrsests: k M :R R B M R m k-mtrs lerkuvukse mtrsests: m k L :R R L k R Jos R o

41 ( L M ) L( M ) L( B) ( B) ( B). Ss m -mtrs B o lerkuvukse Tämä perusteell Mtrslske perusteet 9 L m M :R R Lerkuvuste hdstettä kuvust vst mtrsestste tulo. 9. Tso kerto mtrsests. Lerkuvuksll vod toteutt tetokoegrfkss j CD-ohjelmss estvä tso j vruude kertoj peluks skluks m. kuvuks. Esmerkkä trkstell tso R kerto. Olkoo K : R R kerto joss k orgo kuvutuu tsellee. Tso kerro määrää kertokulm ω. Olkoo pstee P pkoordttests P o r cosϕ. r sϕ Kuvpstee r ϕ ω. Kättäe s j kos hteelskukvoj sd kuvpsteelle P ests r cos r s cosω s ω P pkoordttests o ( ϕ ω) ( ϕ ω) r cosϕcosω r s ϕs ω r r sϕcosω cosϕs ω s ωr cosϕ cosω s ω cosω r sϕ s ω cosω Tästä ähdää että tso kerto o lerkuvus jok mtrsests o U cos ω s ω s ω ( ω). cos ω. Määrtetää mtrsests tso kerrolle orgo mpär ku kertokulm ω. Rtksu: Kstt mtrsests o cos s U ( ). s cos Ste pste kuvutuu psteeks ω ϕ ( r ϕ). Tällö pste Nämä estetää trgoometr htedessä.

42 U ( ). Mtrslske perusteet HRJOITUSTEHTÄVÄT 9:. Olkoo U ω mtrsests tso kerrolle orgo mpär ku kertokulm o ω. Määrtä ) U ( ) b) U ( 6 ) c) U ( 9 ) 6. Kätetää edellse tehtävä merktöjä. Oko ( 9 ) U ( ) U ( 6 ) U? Osot että lesest pätee: ( α β) U ( α) U ( β) U?. MTRIISIN OMINISRVOT. Määrtelmä Tässä luvuss trkstell elömtrsej jode lkot vovt oll rel- t komplekslukuj. Luku λ o elömtrs omsrvo jos o olemss ollst erov vektor ste että λ. () Vektor sot omsrvoo λ lttväks omsvektorks. o h- Jos mtrs jtell lerkuvukse merktsee ehto () stä että kuvvektor desuute vektor kss. Yhtälö () vod krjott seurv htäptäv muotoh (I o kskkömtrs): λ λi λi ( λi ) Edellstä htälöä vstv htälörhmä o homogeee htälörhmä. Kosk homogeesell htälörhmällä o luvu 7. muk e-trvl rtksu jos j v jos kerrodetermtt det λi sd tulos: Luku vo oll rel- t kompleksluku.

43 Kertluku olev mtrs λ Mtrslske perusteet ( j ) λ det( λi ) omsrvot ovt : krkterstse htälö λ juuret. Omsrvoo λ lttvä omsvektor ( λ I ) e-trvl rtksu. o homogeese htälörhmä Determtte omsuuksst seur että Jos mtrs o läkolmo- t lkolmomtrs se omsrvot ovt lävstäjälkot. Ylesest omsrvoje j omsvektorede määrttäme käs o tölästä. Se ostuu v ku mtrs kertluku o pe ( t ). Kätäössä omsrvot j omsvektort määrtetää lskmll t tetokoell. Omsrvoje j omsvektorede käs lskest estetää seurv esmerkk:. Määrätää mtrs omsrvot j omsvektort. Omsrvot: Rtkst krkterste htälö det ( λi ) ( λ)( λ) λ λ Omsvektort: λ Omsrvo λ : λ ( λ I ) ( I ) 8 λ λ Vlt t jollo t. Omsvektort ovt ss muoto t t. t Omsrvo λ : ( λ I ) ( I )

44 Mtrslske perusteet Vlt t jollo t t. Omsvektort ovt ss muoto t. t. Tutuu lmeseltä (mks?) että tso kertomtrs omsrvot ovt relset jos j v jos kertokulm o t 8. Trkstet s lskemll. Tso kerro mtrsests o U cosω s ω s ω ( ω) cosω. Määrtetää tämä omsrvot rtksemll krkterste htälö λ cosω s ω λ cosωλ s ω λ cosω Tällä o relset juuret jos j v jos dskrmtt cos ω. Tämä o htäptävää ehdo Ss cos ω cosω ±. ω t ω 8. Lsk TI-89: Kometo egvl() tulost mtrs omsrvot lst. Kometo egvc() tulost omsvektort elömtrs joss :s srke o omsrvolst :tee lkoo lttvä omsvektor. Omsvektort o ormeerttu ste että de orm o ks. HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Oko mtrs omsvektor?. Tutk ovtko vektort j mtrs omsvektoret j jos ovt mh omsrvoh lttvä ku j Tässä kertokulm o välllä 6.

45 . Määrää kskkömtrs I omsrvot j omsvektort. Mtrslske perusteet. Määrää lävstäjämtrs dg( λ λ λ ) omsrvot j omsvektort.. Määrtä seurve mtrse omsrvot j omsvektort ) b) c) 6. Olkoo 6 Määrtä : omsrvot j omsvektort. Omsuuks Polom P ( λ) det( λi ) sot mtrs krkterstseks polomks. Se o stett olev polom joss korkemm stee term kerro o vkoterm o P det. Omsrvot ovt krkterstse polom ollkoht. lgebr peruslusee muk :e stee polomll o täsmällee relst t mgrst ollkoht kuh ollkohdt lsket kertlukujes muk. Ss -mtrsll o korket er suurt omsrvo. Jos j ovt omsrvoo λ lttvä omsvektoret o mös de lerhdelmä b omsrvoo λ lttvä omsvektor ( jos se e ole ollvektor) (Tote tämä!). Omsvektor e ss ole kskästtee: Jos o omsvektor o mös t omsvektor joksell luvull t. Mtemtkkohjelmt j lskmet use ormeervt omsvektort kskkövektoreks. Käslskutehtävssä omsvektore koordtt ovt se sj use kokoslukuj. HRJOITUSTEHTÄVÄT : 7. Todst: Jos o mtrs omsvektor t o mtrs omsvektor ku t 8. Todst: det ( ) jos j v jos oll o : omsrvo.. 9. Todst: Jos λ o e-sgulrse mtrs omsrvo λ o : omsrvo.. Osot että smmetrse mtrs omsrvot ovt relset.

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE

JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE LIITE JARRUDYNAMOMETRIN LASKENTAOHJELIITE Jrruje surtuskyvy määrtys jrrudymmetrllä Määräksktsstuksess rsk kurm-ut j erävuu jrrujärjestelmä surtuskyky määrtetää jrrudymmetrmttuksll. Jrrujärjestelmä mttussuurede

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

10. VAKIOLÄMPÖTILASSA JA VAKIOPAINEESSA TAPAHTUVAN PROSESSIN MINIMI- JA MAKSIMI-TYÖMÄÄRÄ

10. VAKIOLÄMPÖTILASSA JA VAKIOPAINEESSA TAPAHTUVAN PROSESSIN MINIMI- JA MAKSIMI-TYÖMÄÄRÄ 32 0. VAKIOLÄMPÖTILASSA JA VAKIOPAINEESSA TAPAHTUVAN PROSESSIN MINIMI- JA MAKSIMI-TYÖMÄÄRÄ 0. M- j kstyö Trkstell vkoläpötlss j vkopeess tphtuv prosess P:A f B. Terodyk esäe pääsäätö o D U = Q(P) - W(P),

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Tasapainojen määrittäminen tasapainovakiomenetelmällä

Tasapainojen määrittäminen tasapainovakiomenetelmällä Luento 6: Ksutspnot Keskvkko 7.9. klo 8-1 771 - Termodynmset tspnot (Syksy 17) http://www.oulu.f/pyomet/771/ Tspnojen määrttämnen tspnovkomenetelmällä Trkstelln homogeenst ksufsrektot. Esm.: (g) + (g)

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

solmujoukko V omassa säiliössä (sekvenssi) kaarijoukko E kaarialkio-säiliössä kussakin kaarialkiossa viite sen alku- ja loppusolmuun

solmujoukko V omassa säiliössä (sekvenssi) kaarijoukko E kaarialkio-säiliössä kussakin kaarialkiossa viite sen alku- ja loppusolmuun Grf-tetorkenteen toteutus Grfn toteutus? Perustp : krlst e f Tetorkenteet, syksy 7 Grf-tetorkenteen toteutus Perusopertoen työmäärä krlstss...: ovtko solmut u j v verekkäsä?: O(m) solmun lsäys: O() solmun

Lisätiedot

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

ELEC-E8419 Sähkönsiirtojärjestelmät 1 Silmukoidun verkon tehonjako. Kurssi syksyllä 2015 Periodit I-II, 5 opintopistettä Liisa Haarla

ELEC-E8419 Sähkönsiirtojärjestelmät 1 Silmukoidun verkon tehonjako. Kurssi syksyllä 2015 Periodit I-II, 5 opintopistettä Liisa Haarla ELECE849 ähkösrtoärestelmät lmukodu verko tehoko Kurss sksllä 05 Perodt III, 5 optopstettä Ls Hrl Lueo dst Tehokohtälöt, Ertppset solmut tehokolskuss Gussedel terto tehokohtälöde rtksumeetelmää Letv teto:

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

7. Menetysjärjestelmät

7. Menetysjärjestelmät Ssältö Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Sähköstaattinen potentiaalienergia lasketaan jatkuville varausjakaumille käyttäen energiatiheyden

Sähköstaattinen potentiaalienergia lasketaan jatkuville varausjakaumille käyttäen energiatiheyden Jkso 4. Sähkösttkst muut Tämän oson lskuj e tvtse nättää. Tämän jkson tehtävät ovt sllsltt el tähän on ksttu kkk ne sähkösttkn st, jot e kästelt edellsssä jksoss. Se e tkot, että nämä st evät ols täketä.

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0. BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Kohina. Mittaustekniikan perusteet / luento 8. Kohina. Kohina. Kohinan mittaaminen

Kohina. Mittaustekniikan perusteet / luento 8. Kohina. Kohina. Kohinan mittaaminen Mttutkk prutt / luto 8 Koh Koh mttm Koh lttyvää trmolog Kohtyypt Mttuvhvt Kohll trkott lktro järjtlmää pot fluktutot, jok hutuu jok ltt, kompot t mtrl fykt Ku mtt pä glj, mttuk lrj (pmmä mtttv gl) määrää

Lisätiedot

1, MITÄ TARKOITETAAN SEURAAVILLA TERMEILLÄ:

1, MITÄ TARKOITETAAN SEURAAVILLA TERMEILLÄ: KRANPDON TNTT 14.4.2014 LAY/OTK OT: Vst jkseen kysymykseen erllselle pperlle (must merktä nm myös krjnptu"t.u"ppern). ös et vst jhnkn kysymykseen, jätä nmetty vstuspper myös kysesen tehtävän slt' rrävär:

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

tehtävän n yleinen muoto

tehtävän n yleinen muoto t-.474 tettste lgorte ohelot Sple-eetel eetelä lsellset tet. lueto: P-tehtävä ylee uoto S ysteelyys bortoro Telle oreoulu tettste lgorte ohelot Kevät 008 / P-teht tehtävä ylee uoto Stdrduoto selle uoto

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan. 2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus NodeCount(v /* lskee solmun v lipuun solmujen lukumäärän */ if solmu v on null return 0 else return + NodeCount(v.left + NodeCount(v.right Rekursio: lgoritmi kutsuu itseään Usein hjot j hllitse -perite:

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit (2)

6. Stokastiset prosessit (2) Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella

Lisätiedot

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12 Pallollse puolustae: Sokea ja ta käspallo/ Lppupallo Tavote: aalteo estäe sjottue puolustavalle puolelle, potku ta heto estäe, syöttäse estäe rstäe taklaus, pae tla vottase estäe sjottue puolustavalle

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset. 7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.

Lisätiedot