MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä

Transkriptio

1 MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä

2 Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU.... MTRIISIN OSITUS...8. MTRIISIN TRNSPOOSI.... MTRIISIN DETERMINNTTI.... KKSI- J KOLMIRIVINEN DETERMINNTTI.... DETERMINNTIN MÄÄRITELMÄ.... DETERMINNTIN OMINISUUKSI.... DETERMINNTIN LSKEMINEN KÄÄNTEISMTRIISI MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISMTRIISIN MUODOSTMINEN NELIÖLLINEN LINERINEN YHTÄLÖRYHMÄ MÄÄRITELMIÄ KÄÄNTEISMTRIISIMENETELMÄ CRMERIN SÄÄNTÖ HOMOGEENINEN YHTÄLÖRYHMÄ KOORDINTTIVRUUS MÄÄRITELMÄ KNT LINERIKUVUS MÄÄRITELMÄ LINERIKUVUSTEN YHDISTETTY KUVUS TSON KIERTO...9. MTRIISIN OMINISRVOT.... MÄÄRITELMIÄ.... OMINISUUKSI...

3 Mtrslske perusteet. PERUSSIOIT. Määrtelmä Suorkulmo muotoo järjestett m luvu kvo m m m o m -mtrs. Luvut... m ovt mtrs lkot. lkot vovt oll rel- t komplekslukuj. m -mtrsss o m rvä (vkrvä) j srkett (pstrvä). Mtrs sot olev kertluku m (lusut m kert ). Mtrs lkot deksod ste että j esmmäe deks lmott rv toe deks j lmott srkkee. Khde er mtrs smll kohdll olev lkot sot vstlkoks. Nde dekst ovt tällö smt.. Mtrs o kertluku sllä sä o rvä j srkett. Mtrs kvoests vod korvt merköllä t j m ( j ). Jälkmmästä tp kätetää ku mtrs kertluku o muute selvä. Kks mtrs ovt htä suuret jos e ovt sm kertluku j de vstlkot ovt htä suuret: B b kkll j HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Olkoot j j B C Vodko luvut j vlt ste että ) B

4 b) C? ( j ). Muodost -mtrs jolle j.. Mtrstppejä Mtrslske perusteet j Nelömtrs o mtrs joss rve j srkkede lukumäärä o sm el mtrs jok o kertluku joll. Nelömtrs päälävstäjä o mtrs vsemm läurk j oke lurk väle vo rv. Päälävstäjä muodostuu ss lkost. Nelömtrs o läkolmomtrs jos päälävstäjä lpuolell olevt lkot ovt oll lkolmomtrs jos päälävstäjä läpuolell olevt lkot ovt oll lävstäjämtrs jos päälävstäjä ulkopuolell olevt lkot ovt oll. Lävstäjämtrslle vod kättää kskertst deksot j seurv merktää:. Mtrs 6 7 o läkolmomtrs. o lkolmomtrs. o lävstäjämtrs. dg( ). Ykskkömtrs I o -lävstäjämtrs jok kkk lävstäjälkot ovt kkösä. Ykskkömtrs merktää mös I ku kertluku o muute selvä. Ss jos j I δj mssä δ j (Kroecker delt). jos j. Ykskkömtrs Leopold Kroecker (8-89) ol sksle mtemtkko. Hä tutk lgebr j lukuteor. Kroecker melestä joke mtemtk käste tät kostruod äärellsellä määrällä skel.

5 Mtrslske perusteet I dg() Nollmtrs O kkk lkot ovt oll. Mtrs sot pstvektorks jos sä o v ks srke. Pstvektor merktää lvvll. vkvektorks jos sä o v ks rv. Vkvektor o muoto [ ]. Geometrset vruusvektort j k vod smst kolmrvste pstvektore kss: j k t kolmsrkkeste vkvektore kss: j k [ ] Geometrset tsovektort jvod vstvst smst kksrvste pstvektore kss: j t kkssrkkeste vkvektore kss: j [ ]. Lsk TI-89: Mtrs sötetää hksulkuje väl. lkot erotet plkull rvt puolpsteellä: Esm. mtrs sötetää seurvst: [ ; ]. Ssäsest mtrst estetää hksulkuje välssä ste että rvt o hksulkuje ssällä. Esm. o. mtrs o [[ ][ ]] Geometrset vektort estetää vkvektore. Mtrs lkoh vtt lmottmll hksuluss lko rv- j srkedeks: esm. []. Mtrslsket lttvä opertot löt komeoll d MTH: :Mtr. Ylesmm kätett mtrslske komeot leee prs sjott om Custom-vlkkoo. Ykskkömtrs I määrtetää fuktoll dett().

6 Mtrslske perusteet Lävstäjämtrs vod muodost komeoll dg(lst) mssä lst o lävstäjälkost muodostettu lst: esm. dg({ }) m -stusmtrs muodostet fuktoll rdmt(m). Tämä mtrs lkot ovt kokoslukuj välllä LSKUTOIMITUKSET Mtrselle vod määrtellä lskutomtukset joll o smls omsuuks ku lukuje lskutomtuksll. Lskutomtuks rjott mtrse kertlukuje hteesopvuus.. Mtrs kertome luvull Mtrs ( j ) k k ( k j ). kerrot luvull k ste että joke lko kerrot tällä luvull: Mtrs vstmtrs määrtellää seurvst:. Lsket Yhtee- j väheslsku Mtrse htee- j väheslsku o määrtelt jos mtrsell o sm kertluku. Yhteelskuss vstlkot lsket htee väheslskuss vstlkot väheetää. Khde m -mtrs ( j ) j B ( b j ) summ j erotus määrtellää ss seurvst: ( j j ) ( j j ) B b B b. Lsket

7 HRJOITUSTEHTÄVÄT : Mtrslske perusteet. Olkoot j B. Määrtä B sekä B.. Olkoot. Määrtä. Kertolsku (. ) Kks mtrs vod kerto keskeää jos kertojss o htä mot srkett ku kerrottvss rvejä. Kertolsku määrtellää seurvst: Olkoo ( j ) kertluku m k j B ( b j ) kertluku k olev mtrs. Tällö tulo B o ker- tluku m olev mtrs C ( c j ) c b b b b j j j k kj s sj s Tuloss B o ss jok lkot lsket seurvst: k htä mot rvä ku mtrsss htä mot srkett ku mtrsss B Tulo :e rv j j:e srkkee lko o : :e rv j B: j:e srkkee vstlkode tuloje summ.. Lsket mtrstulo Lsket mtrstulo 8 7 Tulo.rv j.srkkee lko o lskettu seurvst: c 7 Tulo.rv j.srkkee lko o lskettu seurvst: c ( ) Kosk m -mtrs j -mtrs tulo o m -mtrs o mtrs j pstvektor tulo pstvektor:

8 m m m Mtrslske perusteet 6 m m m Seurvss o estett mtrse lskutomtuste omsuudet. Olkoot B C j kskkömtrs I kertluvult sells mtrsej jolle merktt lskutomtukset vod muodost. Tällö. B B Summ vhdtlk. ( B) C ( B C) Summ ltätälk. ( B ) C ( BC) Tulo ltätälk. ( B C) B C Tulo osttelult. ( B) C C BC 6. I I Ykskkömtrs omsuus 7. k( B) ( k) B kb (k sklr) Sklr srtosäätö Ltätälke sost mtrse tulo j summ vod krjott lm sulkuj esm. BC j B C. Mtrstulost o huomttv seurv: Mtrstulo e ole vhde: leesä B B Mtrstulo e oudt tulo ollsäätöä: tulo B vo oll ollmtrs O vkk O j B O. Jos B B sot että mtrst j B kommutovt. Nelömtrs kertome tsellää lmst ekspoettmerkällä: k k kpl. Lsk TI-89: Mtrse lskutomtukset muodostet kättäe operttoret * ^. HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Suort kertolskut ) b) c) d) 7

9 . Olkoot [ ] j B. Määrtä B j B.. Olkoot B C [ ]. Mtrslske perusteet 7 Lske seurvst tulost e jotk ovt määrteltjä: B B C C BC CB. 6. Olkoo. Määrtä j. 7. Olkoot j. B Määrtä B j B. 8. Osot että kklle -mtrselle o vomss I I. d d d 9. Olkoot D dg j b c b c b c Määrtä tulot D j D. Estä tulos so.. Osot että B B B B. Mllä ehdoll B ( B)( B)?. Olkoo λ λ. λ Osot että k λ k k ) λ kkll k... k λ P λ b) P P( λ ) mssä P jok : polom. P λ

10 Mtrslske perusteet 8. MTRIISIN OSITUS Mtrs ostuksess mtrs jet vk- j pstsuuss os jost kuk muodost mtrs. Tällsst osst koostuv mtrs sot lohkomtrsks. Lohkomtrs os sot lohkoks. Ostus vod lmst vk- j pstsuorll ktkovvoll.. Mtrs vod ostt seurvst: jollo lohkot ovt Lohkoje e suk trvtse oll sm kertluku. Edelle mtrs vod ostt mös seurvst: Lohkomtrsell vod lske kute tvllsll mtrsell jos lohkoje välset mtrsopertot ovt sllttuj. Trkstell mtrs ostust pstvektores vull. Olkoo. m m m Merktää mtrs pstvektoret

11 . m m m Tällö mtrsll o pstvektorostus Olkoo t [ ]. -pstvektor. Tulo Mtrslske perusteet 9 vod esttää seurvss muodoss: m m m m m m m m m Eststä sot vektorede lerkombtoks. Sd Mtrs j pstvektor tulo lerkombtoests: Mtrs j pstvektor tulo o mtrs pstvektorede lerkombto () [ ] Use mtrs j pstvektor tulo ktt hhmott tällä tvll.. Olkoo Tällö

12 Mtrslske perusteet Olkoo t m -mtrs j B p-mtrs. Muodostet B:lle pstvektorostus [ b b ] B b p Tällö mtrstulolle sd seurv pstvektorostus: [ b b ] [ b b ] B b. p b p HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Olkoo. 7 ) Ost mtrs pstvektores vull. Mtkä ovt pstrvostukse pstvektort? b) Ost mtrs vkvektores vull. Mtkä ovt vkrvostukse vkvektort?. MTRIISIN TRNSPOOSI Mtrs T ( bj ) j m m trspoos o mssä b. j j Mtrs trspooss muutet ss rvt srkkeks t srkkeet rveks järjests sälttäe. Esm. T Pstvektor trspoos o vkvektor j vkvektor trspoos o pstvektor: T [ ] Nelömtrs o smmetre jos T. Smmetrse mtrs lkolle pätee j j kkll j j jote lkot sjtsevt smmetrsest päälävstäjä suhtee.. Mtrs

13 Mtrslske perusteet o smmetre Seurvss o estett mtrs trspoot lttvä tuloks. Olkoot j B kertluvult sells mtrsej että merktt lskutomtukset vod muodost. Tällö. ( ) T T T B B T T. T T. k k (k sklr). ( B) T T T B Lsk TI-89: Mtrs trspoos muodostet komeoll d MTH: :Mtr: : T Pstvektor vod söttää lskmee vkvektor trspoos. Esm. [ ] T HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Osot että jos j B ovt smmetrsä mtrsej B o smmetre mtrs.. Osot että mtrst T T ovt smmetrsä mtrsej.. Olkoo elömtrs. Osot että mtrs T ovt smmetre.. Olkoo [ ] mtrs pstrvostus. Määrtä mtrs T vkrvostus. T T. Olkoo T B. ( j B ovt elömtrsej) vkrvostus j [ b b ] B pstrvostus. Muodost mtrstulo b 6. Olkoo -elömtrs j -pstvektor. Mtä kertluku o mtrs T T ku c c b j.. MTRIISIN DETERMINNTTI? Määrtä Joksee elömtrs ltt luku jot sot determtks. Mtrs determtt merktää det. Kvo estet mtrs determttmerktä sd korvmll hksulut pstvvll.

14 Mtrslske perusteet. Kks- j kolmrve determtt Kksrvse mtrs.. Lsket determtt determtll trkotet luku Kolmrvse mtrs determtll trkotet luku. Tässä determtt o kehtett esmmäse vkrvsä muk. Kehtelmässä kolmrve determtt o lusuttu kksrvste determtte vull. Kehtelmä kksrvsä determttej kutsut ldetermteks. Kehtelmää muodostettess o oudtettu seurv säätöjä: ldetermtte kertomks otet kolmrvse determt esmmäse vkrv lkot kerrottu luvull. ldetermtt muodostet postmll lkuperäsestä determtst se rv j se srke jok rsteksessä ksee kerro sjtsee. Kolmrve determtt vod kehttää mkä ths rv t srkkee muk kättäe vstvlst säätöä. Kertome j merkt vlt merkkkvo kseseltä rvltä t srkkeelt.. Lsket mtrs determtt kehttämällä se esmmäse rv muk:

15 Mtrslske perusteet ( ) ( ) ( 6) tose srkkee muk: Kertomet sd merkkkvo toselt srkkeelt. ( ) ( 9) ( 6) HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Lske determtt 6 ) b) 8. Lske determtt ) b) 7. Determt määrtelmä Ylesest determt rvo vod lske kehttämällä se jok rv t srkkee muk. Olkoo j -elömtrs. lkot j vstv ldetermtt D j sd postmll det :st :s rv j j:s srke. lko komplemett o j ( ) j j D. Etumerkk ( ) j o helppo ott seurvst merkkkvost Determt kehttämsellä :e rv suhtee trkotet lusekett k k k :e srkkee suhtee trkotet lusekett j

16 k k k Mtrslske perusteet Vod osott että äde lusekkede rvo o sm. Tämä rvo määrtellää mtrs determtks det. Ss kkll deks rvoll det ( ) Determtt ktt kehttää sellse rv t srkkee suhtee joss o mhdollsmm pljo oll.. Seurv determtt o kehtett kolme pstrv suhtee ( 6 ) 8. Lsket -läkolmomtrs determtt kehttämällä se esmmäse pstrv suhtee. Nä muodostuv -rve determtt kehtetää edellee esmmäse pstrv suhtee.. Edellse esmerk läkolmomtrs determtt o lävstäjälkode tulo. Tämä lest melvltst kertluku olev mtrseh: Jos mtrs o läkolmo- t lkolmomtrs se determtt o lävstäjälkode tulo. Ertsest tulos pätee lävstäjämtrselle.. Ykskkömtrs determtt o ks. Lsk TI-89: Mtrs determtt lsket komeoll det(). HRJOITUSTEHTÄVÄT : 8. Lske determtt. 7 6

17 . Determt omsuuks Mtrslske perusteet Otet kättöö mtrs pstvektorostus (vstvst vots kättää vkvektorostust) [ ]. Kätetää seurv merktää osottm että pstvektor o :s srke.. Estetää jot determtte omsuuks. Determt rvost vod todet seurv:. Determt rvo säl jos ) rvt vhdet järjests sälttäe srkkeks ( T ) det det b) jok srkkee (rv) lkoh lsätää tose srkkee (rv) lkot vkoll kerrottu. det k j det ku j. Determt rvo muuttuu vstluvuksee jos kks srkett (rvä) vhdet keskeää. j j det j det j. Determt rvo o oll jos ) jok srkkee (rv) kkk lkot ovt oll ([ ]) det b) determtss o kks sm srkett (rvä). ([ ]) det Determtt o lere ksttäse srkkee t rv suhtee : Lersuutt kästellää lesest möhemm.

18 Mtrslske perusteet 6. Jos determt jok srke (rv) kerrot vkoll o determt rvo kerrottv smll vkoll. ([ k ]) k det( [ ]) det. Jos determt jok srkkee (rv) lkot ovt khde luvu summ vod determtt krjott khde determt summ. ([ b ]) det( [ ]) det( [ b ]) det. Determt esmmäe j toe srke vhdettu:. Determt toe j kolms rv smoj:. Vod osott että mtrse tulo determtt o determtte tulo: Jos j B ovt -elömtrsej det( B) det det( B) Determt määrtelmä muk kkll deks rvoll det det Jos llä olevss summss dekst ovt er lukuj rvo o oll: Ku j o j j j j j j Perustelu: Omsuude muk rttää todst jälkmmäe htälö. Olkoo j j j

19 j B. Mtrslske perusteet 7 Kosk j:e srkkee lkode komplemettej muodostettess postet j:s srke pätee komplemetell B kj kj kkll k. Kosk mtrsss B o kks sm srkett o omsuude b muk det Kehttämällä B: determtt j:e srkkee suhtee sd B j B j Bj Ottmll huomoo htälö () sd väte... Determt lskeme () B. Selvtetää determt määrtelmää perustuvss lskess trvttve kertolskuje määrää sllo ku mtrsss e ole pljo oll. Kätetää kertomfuktot! jok rvo o : esmmäse postvse kokosluvu tulo. Trkemm:! ( )! jos >..!..! ( )! jos >. Seurvss o estett er kertluku oleve determtte lskess trvttve kertolskuje määrä (selvtä ämä tselles!): -rve determtt: kertolskuje määrä: -rve determtt: kolme -rvstä determtt kerrottu kolmell luvull. Kertolskuje määrä: 9 -rve determtt: eljä -rvstä determtt kerrottu eljällä luvull. Kertolskuje määrä: ( ) Tämä vod esttää kertomfuktot kättäe muodoss!!!!!! luet kertom.

20 Mtrslske perusteet 8 -rve determtt: vs -rvstä determtt kerrottu vdellä luvull. Kertolskuje määrä: ( ) Tämä vod esttää kertomfuktot kättäe muodoss!!!!!!! Ylesest -rve determtt: kertolskuje määrä!. k k! Hvt että kertolskuje määrä ksv humst determt kertluvu ksvess. Esmerkks -rvse determt lskemseks trvt 6 kertolsku j -rvse determt lskemseks o 8 8 kertolsku. Määrtelmää perustuv determt lsket o ss tölästä elle mhdotot vähäk suurempkertlukuste determtte tpuksess. Determtt lsketk muutmll mtrs lät lkolmomtrsks. Ylä- t lkolmomtrs determtt sd suor lävstäjälkode tulo. 6. KÄÄNTEISMTRIISI 6. Määrtelmä Käätesmtrsll o mtrslskess sm merkts ku käätesluvull lgebrss. Käätesmtrsll kertomst vod ptää mtrsll jkmse. Plutet mel kskkömtrs käste: kskkömtrs o lävstäjämtrs jok lävstäjälkot ovt kkösä. Ykskkömtrs merktää I t. Ykskkömtrsll o omsuus I I kkll mtrsell ( joll kertolsku o määrtelt). Nelömtrs sot e-sgulrseks jos o olemss sm kertluku olev mtrs B ste että B B I. Mtrs B kutsut mtrs käätesmtrsks el verssks j slle kätetää merktää. Ss mtrs käätesmtrsll o omsuus: I () Vod osott että käätesmtrs määrät llä olevst ehdost kskästtesest. Itse sss vähempk rttää: elömtrs B o mtrs käätesmtrs jos j v jos toe htälöstä B I t pätee. B I I Käätesmtrs muodostme oudtt seurv lskusäätöjä:

21 Mtrslske perusteet 9 Olkoot j B e-sgulrs mtrsej. Tällö mtrst. ( ) T. ( ). ( B) ( ) T B T j B ovt e-sgulrs j Lsk TI-89: Mtrs käätesmtrs o. HRJOITUSTEHTÄVÄT 6:. Määrtä lskmell seurvt käätesmtrst. Trkst kertolskull että ehdot () pätee. ) b). Osot että jos j B ovt e-sgulrs mtrsej tulo B o e-sgulre j ( B) B.. Osot että smmetrse mtrs verss o smmetre. 6. Käätesmtrs muodostme Mtrs verss vod muodost s. djugotu mtrs kättäe. Kertluku olev mtrs djugotu mtrs o dj mssä o lko komplemett (ks. luku.) j j Determt määrtelmä j luvu. tuloste perusteell mtrstulo Ss j j j T det jos j jos j det det dj det det Tästä sd seurv ests käätesmtrslle: I dj j:s lko o

22 Jos det dj det. Mtrslske perusteet Ss jos det o mtrsll käätesmtrs. Tämä pätee käätesestk mkä ähdää seurvst: Jos mtrsll o käätesmtrs I. Ottmll puoltt determtt sd det det det det I Ss det. O stu tulos:. Mtrsll o käätesmtrs el mtrs o e-sgulre jos j v jos det. Kosk djugtss estve determtte lskeme o tölästä ktt mtrs käätesmtrs määrttää djugtt kättäe v ku mtrs kertluku o pe. Kätäössä verss lsket tetokoell t lskmll. E-sgulrse lävstäjämtrs verss o kutek helppo muodost: E-sgulrse lävstäjämtrs verss sd vertomll lävstäjälkot: dg( ) dg( ). Seurv esmerkk ssältää djugtt perustuv käslsketmeetelmä -mtrs käätesmtrs muodostmselle.. Määrtetää -mtrs verss. Lsket es Jos det dj det T. det Edellä olev mtrs sd mtrsst khdell vhdoksell:. Vhdet lävstäjälkot keskeää.

23 Mtrslske perusteet. Vhdet e-lävstäjälkode etumerkt.. Olkoo Tällö Ss det( ) HRJOITUSTEHTÄVÄT 6:. Määrtä käätesmtrs.. Määrtä seurve mtrse käätesmtrst. ) b) NELIÖLLINEN LINERINEN YHTÄLÖRYHMÄ 7. Määrtelmä Tässä luvuss trkstell sellse lerse htälörhmä rtksemst joss tutemttom o htä mot ku htälötä. Tällst htälörhmää sot elöllseks. Nelölle lere htälörhmä o ss muoto b b b mssä ovt tutemttom j suureet j j b ovt tuettuj vkot. Yhtälörhmä vod esttää mtrsmuodoss mssä b

24 Mtrslske perusteet b b b b. Mtrs sot htälörhmä kerromtrsks. Nelöllse htälörhmä kerromtrs o elömtrs.. Yhtälörhmä o elölle. Se mtrsmuoto o Ottmll kerromtrslle pstvektorostus [ ] vod htälörhmä esttää vektormuodoss (ks. luku lerkombtoests ()) b. Lsk TI-89: Yhtälörhmä rtkst komeoll F lgebr: Solve. Esmerk htälörhmä rtkst seurvst: solve( -- d d - { }). Lskmell TI-89 vod rtkst kkk lerset htälörhmät (mös e-elöllset). Lersell htälörhmällä vo oll kskästtee rtksu äärettömä mot rtksu t e htää rtksu. Lsk esttää rtksut seurvst: kskästtee rtksu: Lsk t rtksu. äärettömä mot rtksu: Rtksuss Tälle muuttuj trkott melvltst relluku. e htää rtksu: Lsk tulost tekst flse. HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Rtkse lskmell TI-89 seurvt lerset htälörhmät: ) b)

25 c) 6 7 d) 6 Mtrslske perusteet e) u 6 u. Rtkse lskmell TI-89 seurvt lerset htälörhmät: ) b) 7. Käätesmtrsmeetelmä lgebrst tedetää että sklrsell esmmäse stee htälöllä b o kskästtee rtksu jos b b. Esttämällä elölle htälörhmä mtrsmuodoss b sd muodolt smle htälö. Ehto vst t ehto det sllä vod todst Ykskästtessluse: Nelöllsellä htälörhmällä b () o -kästtee rtksu jos j v jos det. Determtt det Johdet ests tälle rtksulle. sot htälörhmä kerrodetermtks. Jos det mtrsll o käätesmtrs (ks. luku 6.). Kerrot t htälö () vsemmlt puoltt käätesmtrsll j edetää seurvst (I o kskkömtrs): b ( ) b I b b O stu tulos:

26 Mtrslske perusteet Käätesmtrsmeetelmä: Jos det elöllse htälörhmä b rtksu o b Kätäössä tätä meetelmää e kt kättää elle käätesmtrs ole tedoss. Erässä ohjelmss (mm. Ecel) rtkst htälörhmät kutek tällä pertteell. Nope tp rtkst htälörhmä o kättää sstemttst elmotmeetelmää.. Rtkst htälörhmä käätesmtrsmeetelmällä. Muodostet mtrsmuoto: Kosk kerrodetermtt o htälörhmällä kskästtee rtksu. Muodostet kerromtrs käätesmtrs (esm. lskmell) Yhtälörhmä rtksu o el

27 Mtrslske perusteet HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Osot että htälöprll cos s s cos α α α α r s o kskästtee rtksu. (α r j s ovt melvlts lukuj).. Rtkse htälörhmät käätesmtrsmeetelmällä (käätesmtrst vot muodost lskmell). ) b) 6 7. Crmer säätö Trkstell elöllse htälörhmä b rtksemst tpuksess. det Muodostet kerromtrslle pstvektorostus [ ] j estetää htälörhmä vektormuodoss (ks. luku 7.) b. () Korvt mtrs pstvektorostukse :s pstvektor vektorll b. Kosk determtt o lere :e srkkee suhtee (ks. luku.) sd htälöä () kättäe htälö b det det det det det Edellse htälö vsemm puole determtest det det j luvu. kohd b muk

28 det j ku j. Ss htälö vod krjott muotoo jost sd det det b O stu det b. det Crmer säätö: Jos elöllse htälörhmä b kerrodetermtt det( ) ku. det b det Mtrslske perusteet 6 htälörhmä rtksu o Crmer sääössä tutemttom lusekkeess mttäjä o htälörhmä kerrodetermtt osottj o stu kerrodetermtst vhtmll tutemttom oke puole vkot. kertome tllle Kosk korkekertlukuste determtte lskeme o tölästä ktt Crmer säätöä kättää v htälöpreh j ehkä kolme tutemttom htälörhm. Yhtälöprelle Crmer säätö t kätevä rtksutv: Gbrel Crmer (7-7) ol svetsläe mtemtkko.

29 Jos htälöpr b b kerrodetermtt D rtksu o b b D. Rtkst htälöpr 7 Crmer sääöllä. b. D Kosk kerrodetermtt 7 o Mtrslske perusteet 7 b. Rtkst htälörhmä Crmer sääöllä. Lsket kerrodetermtt (lskmell) D Lsket determtt (lskmell) D D D Yhtälörhmä rtksu o ste

30 Mtrslske perusteet 8 HRJOITUSTEHTÄVÄT 7:. Rtkse htälörhmät Crmer sääöllä ) b) 7. Homogeee htälörhmä Yhtälörhmää sot homogeeseks jos se o muoto Homogeese htälörhmä mtrsests o ste. Kosk homogeesell htälörhmällä o trvlrtksu vod luvu 7. kskästtesslusee perusteell todet: Homogeesell htälörhmällä o e-trvl rtksu jos j v jos det HRJOITUSTEHTÄVÄT 7: 6. Määrtä vko ste että htälörhmällä o e-trvl rtksu j määrtä rtksu. ) b) 6 8. KOORDINTTIVRUUS 8. Määrtelmä Geometrse vruude vektort vod esttää kskkövektorede j j k vull kskästtesest muodoss

31 u u u j u k. Mtrslske perusteet 9 Tässä estksessä vektor määrät täs se koordtest. O smtekevää mllä smbolll kskkövektoret merktää. Ne vod jop jättää koko pos: vektor vod esttää vkvektor [ u u u ] t pstvektor u u u. Esmmäe koordtt trkott tällö vektor kerrot toe koordtt vektor j kerrot je. Esmerkks lskmess TI-89 o kätössä tämä tppe estsmuoto: vektor estetää vkvektor. Koordttvruudess otetk vektor lähtökohdks tälle ests. Mtrslsket jtelle pstvektor o kätevämp eststp. Sks seurvss kätetää pstvektoret. Yhtä hv vots kättää vkvektoret; ksms o v krjotustvst. E ole mtää stä rjott koordtte lukumäärää kolmee. Koordttej vo oll kuk pljo ths. Jos koordtte lukumäärä o puhut -vektorst t lhest vektorst. Vektorlskess kästeltjä vruus- j tsovektoret sot tässä htedessä geometrsks vektoreks. Geometrs vektoret merktää lävvll esm. koordttvruude vektoret lvvll esm.. Seurvss estetää trvttvt määrtelmät. Koordttvruudell R trkotet kkke -vektorede joukko. Koordttvruude R lkot sot -vektoreks t lhest vektoreks. Relluvut ovt vektor koordttej. Vektor koordtt deksod lesest tällä tvll. Vektort ovt htä suur jos llä o smt koordtt : Vektorede peruslskutomtukset hteelsku j luvull kertome tphtuvt koordtett v kute geometrsll vektorell: Merktä luet kkll.

32 Mtrslske perusteet Nämä lskutomtukset ovt smt ku mtrse lskutomtukset. Nollvektor o vektor jok kkk koordtt ovt oll: Vektor vstvektor o vektor jok koordtt ovt : koordtte vstlukuj. Tällö. Vektorede väheslsku määrtellää vstvektor kättäe:. Vektorede lskutomtukset oudttvt smoj säätöjä ku geometrste vektorede lskutomtukset. Olkoot -vektoret j b sklrej. Tällö. Yhteelsku vhdtlk. Yhteelsku ltätälk. Noll omsuus. Vstvektor omsuus. b b Tulo ltätälk 6. b b Osttelult Ykkösellä kertomse omsuus Sääöt seurvt vstvst mtrslske lskusääöstä t e vod todet okeks suorll lskull. Estetää jodek säätöje todstus. Säätö : Vektorlske htedessä tvlls lukuj (rellukuj) sot sklreks.

33 Mtrslske perusteet Säätö 7: Huomt vrmk että sääöt plutuvt koordtttsoll rellukuje lskusäätöh. Geometrsll vektorell pstee P ( ) pkkvektor o k j r. Ss psteellä j pkkvektorll o smt koordtt. Tämä muk pste j se pkkvektor vots smst. Koordttvruudess tehdää tämä smstus: pste trkott vektor.. Lsket Merktsemällä j k sd u u u u u u u u u k u j u u u Ste geometrset vruusvektort vod kästtää koordttvruude vektoreks. R Vstvst merktsemällä j vod geometrset tsovektort kästtää koordttvruude vektoreks. R

34 Mtrslske perusteet Geometrse vruude geometrs objektej vstv kästtetä vod määrtellä koordttvruudess. Esmerkks pstee kutt kulkevll vektor s suutsell suorll o prmetrests R t ts. Tämä vod esttää koordttmuodoss vstv tp ku geometrsess vruudess. HRJOITUSTEHTÄVÄT 8:. Tote että vektor lskutomtusomsuudet 8 pätevät R :ss.. Olkoo v u Määrtä v u. Olkoo u j v kute edellsessä tehtävässä. Rtkse htälö v u 8. Kt Edellse luvu esmerkstä ähdää että joksell koordttvruude R vektorll o kskästtee ests vektorede j k vull. Vstvll tvll vod todet että koordttvruude vektort vod kskästtesest lusu vektorede R e e e vull: e e e. Vektoret e... sotk koordttvruude kskköktvektoreks. R Ylestetää tämä käste:

35 Mtrslske perusteet Vektorjoo ( ) muodost koordttvruude R k jos joksell koord- ttvruude vektorll b o kskästtee ests muodoss b. () Kertom sot vektor b koordteks kss ( ) j vektor sot vektor b koordttvektorks kss ( ) Muodostet k vektorest pstvektorostettu mtrs [ ].. Yhtälö () vod t krjott muodoss (vrt. luvu lerkombtoests ()) b. Nelöllste htälörhme kskästtesslusee muk tällä o kskästtee rtksu jos j v jos b det. Ss: Vektorjoo ( ) o koordttvruude R kt jos j v jos ([ ]) det R ( e e ). Koordttvruude kskköktvektort e muodostvt koordttv- ruude R k. Tätä kt sot luoollseks kks. Vektor vektor luoollsess kss o vektor tse. Edellä olev muk vektor b koordtt kss ( ) joko htälörhmä b rtksu t käätesmtrs kättäe muodoss. Vektort b. sd koordtt-

36 Mtrslske perusteet muodostvt vruude k sllä determtt R Vektor b koordtt kss sd rtksemll htälörhmä Rtksu o Ss Koordttvektor vod lske mös käätesmtrs kättäe: HRJOITUSTEHTÄVÄT 8:. Tote että vektort

37 muodostvt vruude. Määrtä vektor b R Mtrslske perusteet k. koordtt edellse tehtävä kss. 9. LINERIKUVUS 9. Määrtelmä Kertluku m olev mtrs määrttelee kuvukse L:R m R L joss koordttvruude R vektor kuvutuu koordttvruude Kuvust L sot lerkuvukseks sllä ( b ) L bl L m R vektorks. ku R j b sklrej: ( b) ( b) b L bl L.. Mtrs määrttämä lerkuvus L :R R o L. Ss vruude R vektor kuvutuu vruude R vektorks. Lerkuvuksess ollvektor kuvutuu ollvektorks: sllä L ( )

38 ( ) L L L. Mtrslske perusteet 6 Tätä vod joskus kättää se osottmseks että kuvus e ole lere: todet että ollvektor e kuvudu ollvektorks. Lerkuvukse määrttelevä ehto lest äärellslle summlle: ( ) L( ) L( ) L( ) k k L Tekkss tätä omsuutt sot superpostopertteeks.. Kuvus K : R R K e ole lerkuvus sllä K. k k. Srto el trslto T : R R T. e ole lerkuvus jos. O T Vod osott että tso lerkuvuksess suor kuvutuu suorks mprä kuvutuu ellpsks j -ulottese vruude lerkuvuksess suor kuvutuu suorks tso kuvutuu tsoks pllo kuvutuu ellpsodks Lerkuvuste kuv vo oll mös ltstetä muotoj. Koordttvruukse välset lerkuvukset ovt kkk edellä olev tppsä mtrs määräämä lerkuvuks: Jos L :R R m o lerkuvus L( e e e ) L( e ) L( e ) L( e ) L mssä e... ovt kskköktvektoret (ks. luku 8.). Kättämällä luvu lerkombtoeststä () vod tämä krjott muotoo

39 Mtrslske perusteet 7 [ ] e L e L e L L. Ss Lerkuvus vod esttää mtrstulo L:R R m L mssä [ ] e L e L e L o m -mtrs jok srkke ovt kskköktvektorede kuvt kuvuksess L. Mtrs j lerkuvukse väle vstvuus o kskästtee jote lerkuvus vod smst mtrsestksesä kss.. Projekto vod esttää mtrs vull seurvst: P P : R R P. Määrtetää lerkuvukse mtrs. : L L R R Ksee mtrs o -mtrs [ ] e L e L. Lsket e L L e L L Ss. Sm tuloksee päädtää mös seurvst:

40 Mtrslske perusteet 8. L HRJOITUSTEHTÄVÄT 9:. Osot että kuvus : L L R R o lerkuvus.. Määrtä pstede kuvt lerkuvuksess L L : R R.. Määrtä -tso elö kuv lerkuvuksss jode mtrst ovt ) b) c) d). Määrtä lerkuvukse L : R R L mtrsests. 9. Lerkuvuste hdstett kuvus Edellse luvu muk mtrs vod smst määräämäsä lerkuvukse kss. Trkstell lerkuvuste hdstet kuvukse j mtrstulo välstä htettä. Olkoo k -mtrs B lerkuvukse mtrsests: k M :R R B M R m k-mtrs lerkuvukse mtrsests: m k L :R R L k R Jos R o

41 ( L M ) L( M ) L( B) ( B) ( B). Ss m -mtrs B o lerkuvukse Tämä perusteell Mtrslske perusteet 9 L m M :R R Lerkuvuste hdstettä kuvust vst mtrsestste tulo. 9. Tso kerto mtrsests. Lerkuvuksll vod toteutt tetokoegrfkss j CD-ohjelmss estvä tso j vruude kertoj peluks skluks m. kuvuks. Esmerkkä trkstell tso R kerto. Olkoo K : R R kerto joss k orgo kuvutuu tsellee. Tso kerro määrää kertokulm ω. Olkoo pstee P pkoordttests P o r cosϕ. r sϕ Kuvpstee r ϕ ω. Kättäe s j kos hteelskukvoj sd kuvpsteelle P ests r cos r s cosω s ω P pkoordttests o ( ϕ ω) ( ϕ ω) r cosϕcosω r s ϕs ω r r sϕcosω cosϕs ω s ωr cosϕ cosω s ω cosω r sϕ s ω cosω Tästä ähdää että tso kerto o lerkuvus jok mtrsests o U cos ω s ω s ω ( ω). cos ω. Määrtetää mtrsests tso kerrolle orgo mpär ku kertokulm ω. Rtksu: Kstt mtrsests o cos s U ( ). s cos Ste pste kuvutuu psteeks ω ϕ ( r ϕ). Tällö pste Nämä estetää trgoometr htedessä.

42 U ( ). Mtrslske perusteet HRJOITUSTEHTÄVÄT 9:. Olkoo U ω mtrsests tso kerrolle orgo mpär ku kertokulm o ω. Määrtä ) U ( ) b) U ( 6 ) c) U ( 9 ) 6. Kätetää edellse tehtävä merktöjä. Oko ( 9 ) U ( ) U ( 6 ) U? Osot että lesest pätee: ( α β) U ( α) U ( β) U?. MTRIISIN OMINISRVOT. Määrtelmä Tässä luvuss trkstell elömtrsej jode lkot vovt oll rel- t komplekslukuj. Luku λ o elömtrs omsrvo jos o olemss ollst erov vektor ste että λ. () Vektor sot omsrvoo λ lttväks omsvektorks. o h- Jos mtrs jtell lerkuvukse merktsee ehto () stä että kuvvektor desuute vektor kss. Yhtälö () vod krjott seurv htäptäv muotoh (I o kskkömtrs): λ λi λi ( λi ) Edellstä htälöä vstv htälörhmä o homogeee htälörhmä. Kosk homogeesell htälörhmällä o luvu 7. muk e-trvl rtksu jos j v jos kerrodetermtt det λi sd tulos: Luku vo oll rel- t kompleksluku.

43 Kertluku olev mtrs λ Mtrslske perusteet ( j ) λ det( λi ) omsrvot ovt : krkterstse htälö λ juuret. Omsrvoo λ lttvä omsvektor ( λ I ) e-trvl rtksu. o homogeese htälörhmä Determtte omsuuksst seur että Jos mtrs o läkolmo- t lkolmomtrs se omsrvot ovt lävstäjälkot. Ylesest omsrvoje j omsvektorede määrttäme käs o tölästä. Se ostuu v ku mtrs kertluku o pe ( t ). Kätäössä omsrvot j omsvektort määrtetää lskmll t tetokoell. Omsrvoje j omsvektorede käs lskest estetää seurv esmerkk:. Määrätää mtrs omsrvot j omsvektort. Omsrvot: Rtkst krkterste htälö det ( λi ) ( λ)( λ) λ λ Omsvektort: λ Omsrvo λ : λ ( λ I ) ( I ) 8 λ λ Vlt t jollo t. Omsvektort ovt ss muoto t t. t Omsrvo λ : ( λ I ) ( I )

44 Mtrslske perusteet Vlt t jollo t t. Omsvektort ovt ss muoto t. t. Tutuu lmeseltä (mks?) että tso kertomtrs omsrvot ovt relset jos j v jos kertokulm o t 8. Trkstet s lskemll. Tso kerro mtrsests o U cosω s ω s ω ( ω) cosω. Määrtetää tämä omsrvot rtksemll krkterste htälö λ cosω s ω λ cosωλ s ω λ cosω Tällä o relset juuret jos j v jos dskrmtt cos ω. Tämä o htäptävää ehdo Ss cos ω cosω ±. ω t ω 8. Lsk TI-89: Kometo egvl() tulost mtrs omsrvot lst. Kometo egvc() tulost omsvektort elömtrs joss :s srke o omsrvolst :tee lkoo lttvä omsvektor. Omsvektort o ormeerttu ste että de orm o ks. HRJOITUSTEHTÄVÄT :. Oko mtrs omsvektor?. Tutk ovtko vektort j mtrs omsvektoret j jos ovt mh omsrvoh lttvä ku j Tässä kertokulm o välllä 6.

45 . Määrää kskkömtrs I omsrvot j omsvektort. Mtrslske perusteet. Määrää lävstäjämtrs dg( λ λ λ ) omsrvot j omsvektort.. Määrtä seurve mtrse omsrvot j omsvektort ) b) c) 6. Olkoo 6 Määrtä : omsrvot j omsvektort. Omsuuks Polom P ( λ) det( λi ) sot mtrs krkterstseks polomks. Se o stett olev polom joss korkemm stee term kerro o vkoterm o P det. Omsrvot ovt krkterstse polom ollkoht. lgebr peruslusee muk :e stee polomll o täsmällee relst t mgrst ollkoht kuh ollkohdt lsket kertlukujes muk. Ss -mtrsll o korket er suurt omsrvo. Jos j ovt omsrvoo λ lttvä omsvektoret o mös de lerhdelmä b omsrvoo λ lttvä omsvektor ( jos se e ole ollvektor) (Tote tämä!). Omsvektor e ss ole kskästtee: Jos o omsvektor o mös t omsvektor joksell luvull t. Mtemtkkohjelmt j lskmet use ormeervt omsvektort kskkövektoreks. Käslskutehtävssä omsvektore koordtt ovt se sj use kokoslukuj. HRJOITUSTEHTÄVÄT : 7. Todst: Jos o mtrs omsvektor t o mtrs omsvektor ku t 8. Todst: det ( ) jos j v jos oll o : omsrvo.. 9. Todst: Jos λ o e-sgulrse mtrs omsrvo λ o : omsrvo.. Osot että smmetrse mtrs omsrvot ovt relset.