7. Menetysjärjestelmät

Transkriptio

1 Ssältö Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k <, plvelot = k) Egset-mll (skkt k <, plvelot < k) Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss lueto7.ppt S Lkeeteor perusteet Kevät 26 2 Ykskerte lkeeteoreette mll Ääretö ärestelmä Askkt spuu keskmäär opeudell (skst per kyks.) / = keskmääräe skkde välk Askkt plvell :llärkksell plvelll Kuk plvel plvelee keskm. opeudell (skst per kyks.) / = keskmääräe skk plveluk Järestelmässä o + m skspkk vähtää plvelupkk korket m odotuspkk Estyvät skkt (ode spuess ärestelmä o täys) meetetää Ääretö määrä plvelot plvelupkko ( = ), e yhtää odotuspkk (m = ) Yhtäkää skst e meetetä, ekä keekää trvtse edes odott plveluu pääsyä. Estoto ärestelmä. Tällse (hypotettse) ärestelmä lyys o tyypllsest huomttvst helpomp ku vstv todellse ärestelmä, oss vo oll v äärelle määrä plvelot. Joskus tämä o o tp sd edes pproksmtvst teto vstvst todellsest ärestelmästä. + m 3 4

2 Puhds meetysärestelmä Ssältö Äärelle määrä plvelot ( < ), plvelupkko, e yhtää odotuspkk (m = ) Jos skk spuess kkk plvelt ovt käytössä el ärestelmä o s. estotlss (use puhut myös täydestä ärestelmästä), kysee sks postuu koko ärestelmästä pääsemättä plveluu ollek. Järestelmä o ss estolle (hävölle) estyvä sks meetetää. Käyttää kokem plvelu ldu klt kostv suure o esm todeäkösyys, että ärestelmä o täys skk spuess Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k <, plvelot = k) Egset-mll (skkt k <, plvelot < k) Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss 5 6 Posso-mll (M/M/ ) Tlsrtymäkvo Määrtelmä: Posso-mll o seurvle ykskerte lkeeteoreette mll: ääretö määrä rppumttom käyttää (k = ) spumste vält IID oudtte Exp()-kum odotusrvoll / spumsprosess o ss Posso-prosess testeetllä ääretö määrä plvelot ( = ) plvelut IID oudtte Exp()-kum odotusrvoll / e odotuspkko (m = ) Huom. Kedll merköllä kyseessä o M/M/ -oomll ääretö ärestelmä, ss estoto Merktä: = / = lkeetesteett 7 Trk. ärestelmässä oleve skkde lkm:ää X(t) t fukto Oletet, että X(t) = ollk hetkellä t Lyhyellä kvälllä (t, t+h] vo tphtu seurv: t:llä h + o(h) systeem spuu uus sks (heutte tlsrtymä + ) os >, t:llä h + o(h) oku systeemssä olev skk plvelu päättyy (heutte tlsrtymä ) Prosess X(t) o selvästk Mrkov-prosess tlsrtymäkvo 2 2 Huom. Prosess X(t) o pelkstymätö sk-prosess äärettömällä tl-vruudell S = {,,2,...} 3 8

3 Tspokum () Tspokum (2) Lähdetää lkkeelle loklest tspoyhtälöstä: Sovellet stte kumehto: π = π + ( + ) π + = π = π ( + ) + = π π, =,,2,K! = π π! = = = π = = =! ( e ) = e (LBE) (N) 9 Tspotlteess systeemssä oleve skkde lkm X oudtt ss Posso-kum: X Posso() P X { = } = π = e,! 2 E[ X ] =, D [ X ] = =,,2, K Huom. Isestvsyys plvelu kum suhtee: Itse sss tulos pätee ylesemmk: ekspoetlse plvelukkum sst vod plvelulle vlt mkä ths kum, ok odotusrvo o / (tätä sot sestvsyydeks plvelu kum suhtee) Vomme ss M/M/ -mll sst trkstell ylesempää M/G/ -mll Ssältö Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k <, plvelot = k) Egset-mll (skkt k <, plvelot < k) Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss Posso-mll soveltuu vrtv vkoopeuksse dtlketee kuvmsee vuotsoll sks = vkoopeukse UDP-vuo = uuse vode spumstesteett (vuot per kyks.) h = / = keskmääräe vuo kesto (kyks.) = / = lkeetesteett r = yksttäse vuo bttopeus (dtyks. per kyks.) N = ktvste vode lukumäärä oudtte Posso()-kum Ku vode yhtee lähetysopeus Nr ylttää lk opeude C = r, btteä kto hävösuhde p loss kertoo kdoee lketee osuude koko lketeestä: E[( Nr C) + ] E[( N ) + ] = = = = loss ( ) p e E[ Nr] E[ N ]! + 2

4 Multpleksotumsetu Ssältö Lsket trottu lkee ste että hävösuhde p loss < % Multpleksotumsetu kuv yhdelle kpsteettykskölle trotu lketee määrä / kpsteet fukto ormeerttu lkee / Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k <, plvelot = k) Egset-mll (skkt k <, plvelot < k) Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss kpsteett 3 4 Erlg-mll (M/M//) Tlsrtymäkvo Määrtelmä: Erlg-mll o seurvle ykskerte lkeeteoreette mll: ääretö määrä rppumttom käyttää (k = ) spumste vält IID oudtte Exp()-kum odotusrvoll / spumsprosess o ss Posso-prosess testeetllä äärelle määrä plvelot ( < ) plvelut IID oudtte Exp()-kum odotusrvoll / e odotuspkko (m = ) Huom. Kedll merköllä kyseessä o M/M// -oomll puhds estoärestelmä, ss estolle Merktä: = / = lkeetesteett 5 Trk. ärestelmässä oleve skkde lkm:ää X(t) t fukto Oletet, että X(t) = ollk hetkellä t Lyhyellä kvälllä (t, t+h] vo tphtu seurv: os <, t:llä h + o(h) systeem spuu uus sks (heutte tlsrtymä + ) os >, t:llä h + o(h) oku systeemssä olev skk plvelu päättyy (heutte tlsrtymä ) Prosess X(t) o selvästk Mrkov-prosess tlsrtymäkvo 2 ( ) Huom. Prosess X(t) o pelkstymätö sk-prosess äärellsellä tl-vruudell S = {,,2,,} 6

5 Tspokum () Tspokum (2) Lähdetää ällee lkkeelle loklest tspoyhtälöstä: π = π + ( + ) π + = π = π ( + ) + π = π, =,, K,! Sovellet stte kumehto: π = π! = = = π = =! (LBE) (N) 7 Tspotlteess systeemssä oleve skkde lkm X oudtt ss s. ktkstu Posso-kum: P{ X = } = π =!, =,, K, =! Huom. Isestvsyys plvelu kum suhtee: Tulos pätee ällee ylesemmk: ekspoetlse plveluk-kum sst vod plvelulle vlt mkä ths kum, ok odotusrvo o / Vomme ss M/M// -mll sst trkstell ylesempää M/G// -mll 8 Akesto Kutsuesto Akesto B t = se osuus st, ollo systeem o täys = t, että systeem o melvltse hetkeä täys el tlss = π : B = = = = t : P{ X } π! =! Kutsuesto B c = de spuve kutsue osuus, otk meetetää = t, että spuv sks meetetää = t, että skk spuess systeem o täys el tlss Posso-prosess PASTA-omsuude muk: spuv sks äkee systeem tsposs. Tästä päättelemme, että kutsuesto o Erlg-mllss täsmällee sm ku kestok: B = B =! c t =! Kute emm o o todettu, tämä o s. Erlg (esto)kv 9 2

6 Ssältö Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k <, plvelot = k) Egset-mll (skkt k <, plvelot < k) Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss 2 Erlg-mll soveltuu puhellketee kuvmsee rukoverkoss, oss yhtä lkkä kuormttve käyttäe lukumäärä o hyv suur sks = puhelu = kutsu = uuse kutsue spumstesteett (kutsu per kyks.) h = / = keskmääräe kutsu kesto el ptok (kyks.) = / = lkeetesteett = lk kpsteett Ku uude kutsu spuess koko lk kpsteett o käytössä, kutsu estyy kutsuesto B c kertoo tämä tphtum todeäkösyyde B =! c =! 22 Multpleksotumsetu Ssältö Lsket trottu lkee ste että kutsuesto B c < % Multpleksotumsetu kuv yhdelle kpsteettykskölle trotu lketee määrä / kpsteet fukto ormeerttu lkee / Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k <, plvelot = k) Egset-mll (skkt k <, plvelot < k) Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss kpsteett 23 24

7 Bommll (M/M/k/k/k) O-off-tyyppe sks () Määr. Bommll o seurvle ykskert. lkeeteor. mll: äärelle määrä rppumttom skkt (k < ) skkt o-off-tyyppsä (ss välllä outlt välllä plveluss ) outeolot IID oudtte Exp(ν)-kum odotusrvoll /ν okselle skklle om plvel ( = k) plvelut IID oudtte Exp()-kum odotusrvoll / e odotuspkko (m = ) Huom. Kedll merköllä: M/M/k/k/k -oomll ko. systeem o estoto (vkkk äärelle) O-off tyyppe sks: outl plveluss 25 Merk. X (t):llä skk ( =,2,,k ) tl hetkellä t Ideksot: tl = outl, tl = plveluss Lyhyellä kvälllä (t, t+h] vo tphtu seurv: osx (t) =, t:llä νh + o(h) sks srtyy plveluu (heutte tlsrtymä ) osx (t) =, t:llä h + o(h) skk plvelu päättyy (heutte tlsrtymä ) Prosess X (t) o selvästk Mrkov-prosess tlsrtymäkvo ν Huom. Prosess X(t) o pelkstymätö sk-prosess äärellsellä tl-vruudell S = {,} 26 O-off-tyyppe sks (2) Tlsrtymäkvo Prosess X (t) tspokum lskemseks lähdetää lkkeelle loklst tspoyhtälöstä: ( ) ( ) ( ) ( ) π ν = π π = ν π Jkumehdo muk: ( ) ( ) ( ) π + π = π + ν ( ) = ( ) π =, ν + ( ) π = ν ν + Tspotlteess yksttäse skk tl X oudtt ss Beroull-kum ostumstodeäkösyydellä ν/(ν+) trottu lkee o tässä tpuksess ν/(ν+) Tästä vots suor päätellä (kosk skkt oletettu tosst rppumttomks), että koko systeem tl X (so. systeemssä oleve skkde lkm:) tspokum o B(k, ν/(ν+))-kum 27 Trk. ärestelmässä oleve skkde lkm:ää X(t) t fukto Oletet, että X(t) = ollk hetkellä t Lyhyellä kvälllä (t, t+h] vo tphtu seurv: os < k, t:llä (k )νh + o(h) oku outl olevst skkst srtyy plveluu (heutte tlsrtymä + ) os >, t:llä h + o(h) oku systeemssä olev skk plvelu päättyy (heutte tlsrtymä ) Prosess X(t) o selvästk Mrkov-prosess tlsrtymäkvo kν (k )ν 2ν ν 2 (k ) k k k Huom. Prosess X(t) o pelkstymätö sk-prosess äärellsellä tl-vruudell S = {,,,k} 28

8 Tspokum () Tspokum (2) Lähdetää ällee lkkeelle loklest tspoyhtälöstä: π ( k ) ν = π + ( + ) (LBE) ( k ) ν π + = π ( + ) k k π =! ( ν ) π ( )( ),,,, k!( k )! = ν π = K Sovellet stte kumehto: k k k ( )( ν π = π ) = (N) = = k k k k ( )( ν π ) ( ν = = + ) = ( ) ν + = 29 Tspotlteess systeemssä oleve skkde lkm X oudtt ss bomkum: X B( k, ν ) ν + k { } ( )( ν k P X = = π = ) ( ), ν + ν + E[ X ] = kν, ν + 2 D [ X ] = k ν = ν + ν + =,, K, k kν 2 ( ν + ) Huom. Isestvsyys plvelu outeolo kum suhtee: Tässä tpuksess tulos o sestv sekä plvelu että outeolo kum suhtee Vomme ss M/M/k/k/k -mll sst trkstell ylesempää G/G/k/k/k - mll 3 Ssältö Egset-mll (M/M///k) Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k <, plvelot = k) Egset-mll (skkt k <, plvelot < k) Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss 3 Egset-mll o seurvle ykskerte lkeeteor. mll: äärelle määrä rppumttom skkt (k < ) skkt o-off-tyyppsä (ss välllä outlt välllä plveluss ) outeolot IID oudtte Exp(ν)-kum odotusrvoll /ν vähemmä plvelot ku skkt ( < k) plvelut IID oudtte Exp()-kum odotusrvoll / e odotuspkko (m = ) Huom. Kedll merköllä: M/M///k -oomll ko. systeem o estolle O-off tyyppe sks: outl plveluss Oletus: Estotlteess (so. systeem olless täys skk hlutess plveluu) ko. sks lott uude outeolokso. esto! oute oute 32

9 Tlsrtymäkvo Tspokum () Trk. ärestelmässä oleve skkde lkm:ää X(t) t fukto Oletet, että X(t) = ollk hetkellä t Lyhyellä kvälllä (t, t+h] vo tphtu seurv: os <, t:llä (k )νh + o(h) oku outl olevst skkst srtyy plveluu (heutte tlsrtymä + ) os >, t:llä h + o(h) oku systeemssä olev skk plvelu päättyy (heutte tlsrtymä ) Prosess X(t) o selvästk Mrkov-prosess tlsrtymäkvo kν (k )ν (k +2) ν (k +)ν 2 ( ) Huom. Prosess X(t) o pelkstymätö sk-prosess äärellsellä tl-vruudell S = {,,,} 33 Lähdetää ällee lkkeelle loklest tspoyhtälöstä: π ( k ) ν = π + ( + ) (LBE) ( k ) ν π + = π ( + ) k π k =! ( ν ) π k = ( )( ν ) π,!( )! Sovellet stte kumehto: k π = π ( )( ν ) = = = = k π ( )( ν ) = =,, K, (N) 34 Tspokum (2) Akesto Tspotlteess systeemssä oleve skkde lkm X oudtt ss s. ktkstu bomkum: k k k ( )( ν ) ( )( ) ( ) ν ν + ν + P{ X = } = π = =, =, K, k k k ( )( ν ) ( )( ) ( ) ν ν + ν + = = Trottu lkee o tässä tpuksess kν/(ν+) Huom. Isestvsyys plvelu outeolo kum suhtee: Tässäk tpuksess tulos o sestv sekä plvelu että outeolo kum suhtee Vomme ss M/M///k -mll sst trkstell ylesempää G/G///k - mll 35 Akesto B t = se osuus st, ollo systeem o täys = t, että systeem o melvltse hetkeä täys el tlss = π : k ( )( ν ) Bt : = P{ X = } = π = k ( )( ν ) = 36

10 Kutsuesto () Kutsuesto (2) Kutsuesto B c = de spuve kutsue osuus, otk meetetää = t, että spuv sks meetetää = t, että skk spuess systeem o täys el tlss Kosk Egset-mllss spumsprosess e ole Posso-prosess (mkse?), myöskää PASTA-omsuutt e vod hyödytää kutsuesto lskettess Kute tull seurvst klvost äkemää, Egset-mllss tos käy, että spuv skk äkemä tlkum pokke edellä ohdetust tspokumst (so. prosess X(t) sttorsest kumst) Tästä ts seur, että Egset-mllss kutsu- kesto pokkevt tosst Merk. π *:llä t:ttä, että spuv sks äkee systeem tlss Trkstell ptkää kso (,T): Tästä st systeem vettää keskmäär π T tlss, mä k spuu keskmäär (k )ν π T skst (otk ss kkk äkevät systeem tlss ) Kke kkk kvälllä (,T) spuu keskmäär Σ (k )ν π T skst Nä olle ( k ) ν πt ( k ) π π * = =, =,, K, ( k ) ν π T ( k ) π = = Kutsuesto (3) Kutsuesto (4) Vod osott (osot!) että k ( )( ν ) π * =, =,, K, k ( )( ν ) = Ku rppuvuus skkde lkm:stä k merktää eksplsttsest äkyv, smme seurv tulokse: π *( k) = π ( k ), =,, K, Tos soe spuv sks äkee sellse systeem tsposs, oss o yks sks vähemmä (hä tse!) 39 Vltsemll = smme kutsuestolle kv Bc ( k) = π *( k) = π ( k ) = Bt ( k ) Egset-mllss ss kutsuesto k: skk systeemssä o sm ku kesto k : skk systeemssä: k ( )( ν ) Bc ( k) = Bt ( k ) = k ( )( ν ) = Tämä o Egset (esto)kv 4

11 Ssältö Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss Kertust: ykskerte lkeeteoreette mll Posso-mll (skkt, plvelot ) Sovellus vrtv dtlketee mlltmsee vuotsoll Erlg-mll (skkt, plvelot < ) Sovellus puhellketee mlltmsee rukoverkoss Bommll (skkt k <, plvelot = k) Egset-mll (skkt k <, plvelot < k) Sovellus puhellketee mlltmsee ltytäverkoss 4 Egset-mll soveltuu puhellketee kuvmsee ltytäverkoss, oss yhtä lkkä kuormttve käyttäe lukumäärä o kohtle sks = puhelu = kutsu ν = uuse kutsue spumstesteett per outls käyttää / = keskmääräe kutsu kesto el ptok (kyks.) k = käyttäe lukumäärä = lk kpsteett Ku uude kutsu spuess koko lk kpsteett o käytössä, kutsu estyy kutsuesto B c kertoo tämä tphtum todeäkösyyde k ( )( ν ) Bc = k ( )( ν ) = 42 Multpleksotumsetu Oletet, että ltytälkkä kuormtt k = käyttäää Lsket trottu lkee kν/(ν+) ste että kutsuesto B c < % Multpleksotumsetu kuv yhdelle kpsteettykskölle trotu lketee määrä kν/((ν+)) kpsteet fukto.8 ormeerttu lkee kν/((ν+)) kpsteett 43