MALLIVASTAUKSET S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe

Transkriptio

1 MALLIVASTAUKSET S-4.7 Fysa III (EST) (6 op). väloe Astassa on, µmol vetyä ( ) ja, µg typpeä ( ). Seosen lämpötla on K ja pane, Pa. Lase a) astan tlavuus, b) vedyn ja typen osapaneet ja c) moleyylen luumäärä cm :ssä aasua. (6p) Ratasu: Mertään ν, µmol, m, µg, T K, p, Pa. Oletetaan aasu deaalaasus. Kumpn seosen aasu toteuttaa erseen deaalaasun tlanytälön: m p V ν RT p V ν RT RT, () M mssä M 8, g mol on typen moolmassa ja p ja p ovat vedyn ja typen osapaneet. a) Daltonn lan muaan p p + p () Ytälöstä () ja () saadaan astan tlavuuden ratasemses m RT m RT p + p ν + p V ν + M V M p Sjottamalla luuarvot saadaan V,9 dm (p) b) () ja () ν RT p 7,7 mpa V p p p 6, mpa (p) c) Moleyylen oonasluumäärä on +. Moolssa on Avogadron luvun lmottama määrä moleyylejä, joten moleyyln oonasluumäärä astassa on m 6, ν +, mol 6, mol 8,7 A + M 8, 6-6 Moleyylen luumääräteys on sten n V cm,4 cm - (p)

2 . a) Maxwell-Boltzmann-jaauman muaan parttofunto el tlasumma on muotoa E Z ge β. Jatuven suureden avulla rjotettuna parttofunton tlasummasta tulee ntegraal β E Z gee ( ) de. Systeemn oonasenerga termsessä tasapanossa dz d d ave Z Z dβ dβ β E sllä tasapanossa metysluvut ovat n ge. Sovellettaessa parttofuntota Z lassseen deaalaasuun, avataan, että neettnen energa on jatuva suure ja tlateys on suoraan verrannollnen energan nelöjuureen (deaalaasulla on van neettstä energaa). Joda yvn tunnettu deaalaasun oonasenergan lausee oonasuasluumäärän ja lämpötlan avulla. Saatat tarvta seuraavan ntegraaln tulosta, β E on U ne E g Ee ( ln Z) T ( ln Z) α x xe dx 4 π. (p) α b) Systeemssä on 5 tunnstettavaa lasssta aasumoleyylä. Madollset energatlat E ovat ε, ε, ε, ε, 4ε, 5ε, 6ε... Kaen uasten yteenlasettu oonasenerga on 5ε. Joanen energatla E on lsäs degenerotunut sten, että g. Lase tämän Maxwell-Boltzmann-statstaa noudattavan systeemn todennäösmmän partton todennäösyys ja almman tlan (energa ε) esmääränen metysluu. (4p) Ratasu: a) Tlateys on suoraan verrannollnen energan nelöjuureen: g ( E) c E, mssä verrannollsuuserron c on vao. (/p) Parttofuntos saadaan Z c Ee βe de. Tedään muuttujanvados E x, jollon de xdx ja saadaan Z c βx c π c x e π ( T ) (/p) β mssä äytettn yväs tetävässä annettua ntegraala ja tetoa β. T

3 Sjotetaan tulos oonasenergan lauseeeseen ja dervodaan: U T T d (ln Z) T T, T d c (ln π ( T ) ) T mä on yvn tunnettu deaalaasun oonasenerga (p). b) Moleyylen oonasluumäärä on 5 Systeemn ssänen energa on U5e g alla. Tedään madollssta parttosta tauluo (p) d c (ln π + ln( T )) Energa/e Mrotlojen lm: n g P! n! el saadaan esm. parttolle : 5!* 4 /4! /! 6 Vastaavast muut: Partto : 64 Partto : 64 Partto 4: 96 Partto 5: 96 Partto 6: 64 Partto 7: Mrotlojen summa 4 (p) ädään, että aen todennäösmmmät ovat parttot, joden mrotlojen luumäärä on suurn el parttot 4 ja 5. (p)

4 Partton todennäösyys W P 4 ja esmääräset metysluvut n j W n,, el almmalle tlalle saadaan: j n (4*6 + ( + +)*64 + ( + )*96)/4,. (p). Lase jotovyön eletronn esmääränen energa metallssa K lämpötlassa, jos eletronteys on cm -. (Oje Käytä yväs eletronen tlateyttä. Täreä / m V vaotejä tlateydessä on ) (6 p) π Ratasu: Vapaalle eletronaasulle pätee / / dn m V E. de / ( E µ )/ T π e + Kun T Ferm-Drac -jaauma on aselfunto:, E < µ ε F ( E µ )/ T e +, E > µ ε F Kesmääränen energa saadaan ntegromalla / ε F / / U dn m V / m 5/ Eave E de E ε / F de π π n 5 / / / / / / m / m ( π ) / ( εf) εf n ε F π n 5 π n 5 m / / m π n 5 / / εf εf π n m 5 mssä Fermenerga on saadaan ( π ) / / εf m V E. ev.5x - J. ave. Sjottamalla n cm V,

5 4. Vastaa sanallsest lyyest seuraavn ysymysn. (p/ysymys) a) Mä on termodynaman tonen pääsääntö? b) Mtä osapuolet osallstuvat Compton-srontatapatumaan? Mtä fysan peruslaeja soveltast sen analysontn? c) Mtä termodynamassa tarotetaan adabaattsella prosesslla? d) Mten emallnen potentaal ja Ferm-energa lttyvät tosnsa Ferm-Dracstatstassa? e) Mten määräytyy delassa etenevän äänaallon oren madollnen taajuus? f) Mtä valosäösessä lmössä tapatuu, jos metalla valasevan lasern ntensteettä lsätään? Entä mtä tapatuu, jos lasern aallonptuutta asvatetaan? Ratasu: a) Erstetty systeem pyr termodynaamseen tasapanotlaan. ds, masmo myös entropan. Marotlaa termodynaamsessa tasapanossa vastaa masmmäärä mrotloja. b) Valo (fotont, SM-aalto...) sroaa eletronesta sten että aallonptuus asvaa. Analysonnssa sovelletaan lemäärän ja energan sälymslaeja. Fotonn lttyy lemäärä p /λ. c) Adabaattsessa prosessssa työtä vo tedä van sten että ssäenerga muuttuu dq du-dw. Lämpötla T lasee laajenemsessa ja nousee ompressossa. d) Kun T, µ E F, el Ferm-energa saadaan emallsen potentaaln rajaarvona matalssa lämpötlossa. e) Koren taajuus saadaan tlanteesta, jossa teen vereäset atomt värätelevät vastaasessa vaeessa, mstä saadaan lyn austsen aallon ptuus (a, mssä a on teen atomen länaapuretäsyys). Taajuus vodaan myös lasea ottamalla uomoon että masm vapausasteden luumäärä on lassa. f) Intensteetn el tuleven fotonen määrän asvattamnen lsää rtoaven fotoeletronen määrää, jos taajuus on ynnysarvoa suuremp el fotonn energa rttää eletronn rrottamseen. Irtoavan eletronn energaan ntensteetn lsäysellä e ole vautusta jos aallonptuus pysyy samana. Jos fotonen energa on ynnysen alapuolella ntensteetn asvattamsella e ole vautusta el eletroneja e rtoa. Kun aallonptuutta asvatetaan, taajuus penenee, fotonen energa väenee ja vastaavast rronneden fotoeletronen saama energa väenee. Kun aallonptuutta asvatetaan ynnyseen ast valosäönen lmö sammuu. 5. a) Kvanttmeaansen armonsen osllaattorn potentaalenerga on muotoa Ep x mω x. Tämän potentaalenergan määräämää ytä omnastlaa vastaa aaltofunto ψ ( x) a π a x / axe, mssä parametr a mω. Mä on vastaava

6 omnasenerga? OJE: Lase energa lätemällä ajasta rppumattomasta Scrödngern ytälöstä. (uom. Pelällä oealla vastausella et saa pstetä.) (p) b) Ysulottesen äärettömän orea potentaallaaton ptuus on a. Lase tämän potentaaln omnasenergoden rppuvuus parametrsta a. (p) Ratasu: a) Annettu: Potentaalenerga: Aaltofunto: ψ ( x) Ep x mω x a π / axe a x /, a mω Mustettavaa: Scrödngern ytälö: d ψ + E pψ Eψ mdx Sjotetaan: d ψ mdx + x ψ Dervodaan: Eψ / a x ( ) / a ψ x α xe, α a π a x a a x ψ '( x) αe + xα x e ( ) / / ψ ' x αe x αa e ax / ax / a ( ) x / ( ) a x / a x x e a x a xe a x e / ( a x) ψ '' α α α ( ) ψ '' x αa xe a αxe + a αx e Sjotus loppuun: a x / a x / 4 a x / axe a xe a xe x xe E xe m α α + α + α α a x / a x / 4 a x / a x / a x / m ax ax ax xx Ex : a ω m

7 mω m ω + + m ω mω x + mω x E E ω x mω x E b) Scrödngern ytälö potentaallaatossa sjatsevalle uaselle: d ψ dx + ψ Ylenen ratasu: ψ x x ( x) Ae + Be Koordnaatston srto a..a..a ja reunaedot: ( ) A B ( a) Ae a Be ψ + a ψ + cos a sn a cos a sn a sn a a nπ nπ a p n π E, p E m m 8ma