IV KVANTTISTATISTIIKAN PERUSTEET... 94

Transkriptio

1 IV KVANTTISTATISTIIKAN PERUSTEET Monhukkastlan symmetraomnasuudet ja statstkka Bose-Ensten jakauma Mkrotlojen lukumäärän laskemnen Tasapanotlaa vastaava partto Ferm-Drac jakauma Mkrotlojen lukumäärän laskemnen Tasapanotlaa vastaava partto Parttofunkto, ssäenerga ja entropa kvanttstatstkassa Hukkasten lukumäärä systeemssä Ssäenerga Entropa Klassnen raja Maxwell-Boltzmann jakauma

2 94 IV Kvanttstatstkan perusteet IV Kvanttstatstkan perusteet 4.1 Monhukkastlan symmetraomnasuudet ja statstkka Mkroskooppset systeemt vodaan jakaa nden kulmalkemäärän mukaan kahteen ryhmään. Ensmmäseen ryhmään kuuluvat ne hukkaset (alkeshukkaset, atomt ta molekyylt) joden kulmalkemäärää kuvaava kvanttluku on kokonasluku (0, 1, 2... ). Nätä hukkasa kutsutaan bosoneks. Toseen ryhmään, fermonehn, kuuluvat ne hukkaset ne jolla kulmalkemäärän kvanttluku on puolkkaan parton monkerta (1/2, 3/2, 5/2...) ja jota kutsutaan fermoneks. Vodaan osottaa, että kulmalkemäärän tsesarvon J yhteyden vastaavan kvanttlukuun j määrttelee yhtälö J = j( j+ 1) (4.1) mssä on Planckn vako. Yhtälön johtamseen (4.1) palataan lähemmn kvanttfyskan kurssn yhteydessä. Kulmalkemäärän arvo lttyy usean mkroskooppsen kappaleen systeemä kuvaavan aaltofunkton symmetraomnasuuksn. Bosonella aaltofunkto on muuttumaton vahdettaessa kahden osasen koordnaatt keskenään. Esmerkks fotont noudattavat bosonen symmetrasääntöä. Fermonella aaltofunkto vahtaa merkknsä koordnaattvahdon seurauksena. Esmerkks elektront ovat fermoneja. Symmetraomnasuukssta seuraa, että kuvattaessa hukkasten sjottumsta er energatlolle e samalle kvantttlalle voda sjottaa enemmän kun yks fermon. Bosonen suhteen vastaavaa rajotusta e ole.

3 4.2 Bose-Ensten jakauma Bose-Ensten jakauma Mkrotlojen lukumäärän laskemnen Tarkastelemme energatasoa E, joka koostuu esmerkssämme 3 omnastlasta, jolle sjotamme 3 hukkasta. Kunka monella peraatteessa fyskaalsest erotettavssa olevalla tavalla hukkaset vodaan sjottaa omnastlolle? Koska hukkaset evät ole ykslönä erotettavssa, monhukkastla on täysn määrätty kun tedetään, kunka monta hukkasta kullakn altlalla on: Taulukko 4. 1 Omnastla Hukkasten lukumäärä tlalla Huomataan, että saamme ( g + n ) ( g 1! ) n! 1! P = = 10 (4.2) mahdollsuutta. Tostamme saman jokaselle energatasolle. Erlasten koko systeemn monhukkastlojen määrä on tällön yksttäslle energatasolle laskettujen monhukkastlojen lukumäären tulo ( g + n 1! ) P. (4.3) ( g 1! ) n! P = = Tasapanotlaa vastaava partto Johdamme seuraavaks termodynaamsta tasapanotlaa vastaavan partton. Käyttämällä Strlngn kaavaa ln x! xln x x saamme ( ) ( ) ( ) ( ). (4.4) ln P = n + g 1 ln n + g 1 n ln n g 1 ln g 1 Entropan logartmn vastaluvun dfferentaalks saadaan

4 96 IV Kvanttstatstkan perusteet d P = dn n + g n + g ( ln ) ln ( 1) ( 1) ( n + g 1 ) dn + dn ln n + n n = ln n + g 1 + ln n dn = 0. dn (4.5) Sde-ehtona ovat hukkasluvun N = n ja ssäenergan U = ne sälymnen. Dervomalla nämä summat saamme dn = dn = 0 ja du = dne = 0. Kerrotaan dfferentaalt Lagrangen parametrella α ja β d ln P 4.5 kanssa: ja lasketaan yhteen dfferentaaln d ( ln P) + αdn + βdu = ln ( n + g 1) + ln n + α + βe dn = 0. (4.6) Mehtyslukuja n vodaan nyt ptää rppumattomna muuttujna, joten yhtälö 4.6 toteutuu van, jos kakken mehtyslukujen dfferentaalen dn kertomet ovat nolla: el ln n + g 1 + ln n + α + βe = 0 (4.7) n n β ln = βe = e n + g 1 n + g 1 E. (4.8) Olettamalla, että mehtysluvut n ovat suura vomme approksmoda yhtälössä 4.8 n + g 1 n + g. Ratkasemalla n ja merktsemällä β = 1/kT vodaan 4.8 esttää muodossa g n = E e α + 1. (4.9) Lagrangen määräämättömät kertomet α ja β = 1/kT vodaan tämän jälkeen määrätä sde-ehdosta N = n ja U = ne.

5 4.3 Ferm-Drac jakauma 97 Esmerkk 4.1. Laske esmerkn 3.1 parttot, nhn kuuluven mkrotlojen lukumäärät ja energatasojen keskmääräset mehtysluvut olettaen, että hukkaset ovat nyt bosoneja. Oleta g = 1 kaklle energatasolle. j n j 1 2, , , , , , , Σ 6 Salltut makrotlat ovat samat kun MB-jakaumassa, (ks. Kuva 3-2) yhteensä 11 kpl. Mkrotlojen lukumäärät lasketaan nyt kutenkn yhtälöstä 4.3. Koska g = 1, saamme P k = 1, ts. kakkn makrotlohn lttyy van yks mkrotla ja kakk makrotlat ovat nän ollen yhtä todennäkösä. Keskmääräset mehtysluvut saadaan laskemalla kunkn energatason mehtyslukujen summa ja jakamalla se makrotlojen lukumäärällä. Tulokset ovat ohesessa taulukossa. Huomataan, että BE-jakauma panottaa almpa energota. Lasketaan velä sama esmerkk tapaukselle g = 3 BE statstkassa. Makrotlat ovat samat kun yllä ja esmerkssä 3.1. Mkrotlojen lukumäärät on annettu alla olevassa taulukossa. Makrotla P k Huomaamme, että makrotla 6 vastaa nyt termodynaamsta tasapanoa. Sen normtettu todennäkösyys on 0,176. MBjakaumassa tämän makrotlan todennäkösyys ol 0,260. Energatasojen keskmääräset mehtysluvut on annettu ohesessa taulukossa. Vodaan osottaa, että kun g kasvaa, BE-jakauman makrotlojen normtetut todennäkösyydet ja mehtysluvut lähestyvät MB-jakauman vastaava arvoja 4.3 Ferm-Drac jakauma j n j 1 2,83 2 1,60 3 0, , , , ,041 Σ Mkrotlojen lukumäärän laskemnen Laskemme seuraavaks melvaltasen fermonpartton todennäkösyyden ja tlastollsta tasapanoa vastaavat mehtysluvut. Oletamme jälleen, että kukn energataso E jakautuu g omnastlaan, jolla kaklla on sama energa. Kunka monella tavalla eräälle tasolle E vodaan sjottaa n

6 98 IV Kvanttstatstkan perusteet hukkasta? Selvästkn pätee rajotus n g, sllä muuten samalle omnastlalle tulee 2 hukkasta mkä on kellettyä. Tarkastelemme aluks samaa esmerkktapausta, kun Bose-Ensten jakauman kohdalla. Sjotamme 3 hukkasta ( n = 3) energatasolle, johon kuuluu 3 omnastlaa ( g = 3). Koska monhukkastla on täysn määrätty, kun tedetään, kunka monta hukkasta kullakn omnastlalla on, saadaan nyt seuraava taulukko: Taulukko 4. 2 Hukkasten lukumäärä Omnastla tlalla Saamme ss van yhden mahdollsen monhukkastlan. Tästä vodaan päätellä, että mahdollsten monhukkastlojen määrä sjotettaessa n hukkasta g omnastlalle on g! P =. (4.10) n! ( g n)! Huomaa, että 0! = 1. Koska lukja vo tässä vaheessa käydä epäluuloseks yhtälön 4.10 ylespätevyydestä, osotamme sen pätevän velä tosessakn ertystapauksessa. Olkoon nyt g = 4 ja n = 2. Saamme taulukon 4.3 esttämät tlat. Samme yhteensä 6 monhukkastlaa, el mkrotlaa. Sjotta- Taulukko 4. 3 Omnastla Hukkasten lukumäärä tlalla malla annetut degeneraatot ja mehtysluvut yhtälöön 4.10 vomme todeta sen antavan yhteensä 6 mkrotlaa sopusonnussa taulukkomme kanssa. Ylesemmn vomme perustella yhtälön 4.10 seuraavast. Ensmmänen hukkanen vodaan sjottaa mlle tahansa altlosta. Saamme g er mahdollsuutta. Seuraava vodaan sjottaa jäljellä olevlle g 1 tyhjälle altlalle jne. Yhteensä saadaan ss

7 4.3 Ferm-Drac jakauma 99 P = g( g 1)( g 2) ( g n + 1) = g! ( g n )! (4.11) er tapaa sjottaa n fermona g altlalle. Yllä tehty tarkastelu e ottanut huomoon stä, että fermonella e kvanttmekaansna hukkasna ole dentteettä. Anoastaan ne monhukkastlat, jossa omnastlojen mehtysluvut ovat erlaset, ovat adost tosstaan rppumattoma. Tämä otetaan huomoon jakamalla yhtälö (4.11) hukkasten mahdollsten permutaatoden lukumäärällä el tekjällä n!. Nän saamme yhtälön Kuten BE jakaumankn kohdalla partton kokonastodennäkösyys on kullekn energatasolle laskettujen er monhukkastlojen lukumäären tulo: g! P. (4.12) n!( g n )! P = = Tämäkään jakauma e ole normtettu. Sks parttoden todennäkösyyksen summa ole Tasapanotlaa vastaava partto Määrätään ne mehtysluvut n, jolla todennäkösyys 4.12 saa maksmarvon. Sovelletaan samoja menetelmä, kun MB-jakauman johtamsen yhteydessä. P maksm vastaa ln P :n maksmarvoa. Käyttämällä Strlngn kaavaa saadaan ( ) ( ). (4.13) ln P = g ln g n ln n g n ln g n Dfferentaalks (kerrottuna -1:llä) saadaan dn dn d P = dn n + n + g n dn g n n g n ( ln ) ln ( ) ln = ln n ln g n dn = 0 (4.14) Sde-ehtosta saadaan jälleen dn = dn = 0 ja du = dne = 0. Kerrotaan nämä Lagrangen parametrella α ja β ja lasketaan yhteen dfferentaaln ( ln P) d kanssa:

8 100 IV Kvanttstatstkan perusteet d ( ln P) + αdn + βdu = ln n ln ( g n) + α + βe dn = 0 (4.15) Mehtyslukuja n vodaan nyt ptää rppumattomna muuttujna, joten yhtälö 4.15 toteutuu van jos kaklle energatasolle pätee el ln n ln g n + α + βe = 0 (4.16) n βe g = e n = g n + α+ βe e + 1. (4.17) Merktsemällä β = 1/kT ja µ = αkt vodaan (4.11) esttää muodossa n = e g ( E µ ). (4.18) + 1 Yhtälössä 4.18 µ on kemallnen potentaal el systeemn energan lsäys kun shen tuodaan yks elektron lsää systeemn termodynaamsen tlan sälyessä muuten muuttumattomana. Lämpötla ja kemallsen potentaaln arvo vodaan määrätä hukkasmäärän ssäenergan arvosta sde-ehtojen kautta. Ylesest tämä on mahdollsta van numeersest. Vastaavast, jos lämpötla tunnetaan, vodaan kemallsen potentaaln arvo laskea hukkasmäärän ja lämpötlan avulla. Kemallsen potentaaln raja-arvoa matalssa lämpötlossa kutsutaan fermenergaks ja stä merktään usen suureella E F. Usessa oppkrjossa myös kemallsta potentaala merktään suureella, mkä on edellä kerrotun perusteella harhaanjohtavaa. E F

9 4.4 Parttofunkto, ssäenerga ja entropa kvanttstatstkassa Parttofunkto, ssäenerga ja entropa kvanttstatstkassa Kvanttstatstkassa parttofunkto määrtellään yhtälöllä ( E ) Z =± g ln 1± e α, (4.19) mssä plusmerkk pätee fermonelle ja mnusmerkk bosonelle. Johdamme seuraavassa hukkasten kokonasmäärän, ssäenergan ja entropan lausekkeet bosonelle. Fermonelle johtamnen suortetaan ykstyskohta lukuun ottamatta samaan tapaan Hukkasten lukumäärä systeemssä Hukkasluku saadaan parttofunktosta dervomalla parametrn α suhteen Z N = α. (4.20) T Yhtälö 4.20 vodaan johtaa Bose-Ensten jakaumasta seuraavast. Mehtysluvut ovat g n = E e α + 1, joten g N = n = E e α + 1. Tosaalta yhtälön 4.20 mukaan E ( e ) Z ln 1 g = α T α T g E g = e = N. E / / 1 kt = α+ E kt e e 1

10 102 IV Kvanttstatstkan perusteet Ssäenerga Bosonsysteemn ssäenerga saadaan yhtälöstä 2 Z U = kt T. (4.21) α Tulos johdetaan seuraavast. Ssäenergalle saadaan määrtelmän perusteella g U = ne = E E e α + 1. Tosaalta yhtälöstä 4.21 saadaan E ( e ) g ln 1 2 Z 2 U = kt = kt T α T α Entropa 2 = kt g E E g e = E = U. E / 2 / ( 1 kt E kt e ) kt α+ ( e 1) Kvanttsysteemn entropa saadaan yhtälöstä Z U S = kt + αkn + kz = + αkn + kz T α T. (4.22) Todstamme tämän lähten entropan määrtelmästä S = kln P, mssä ( g + n 1! ) P. ( g 1! ) n! P = = Käyttämällä Strlngn kaavaa saadaan ( ) ( ) ( ) ( ). kln P = k n + g 1 ln n + g 1 n ln n g 1 ln g 1 Ryhmttämällä termejä saadaan edelleen

11 4.4 Parttofunkto, ssäenerga ja entropa kvanttstatstkassa 103 n + g 1 n + g 1 kln P = k n ln + g 1 ln n g 1 ( ). Oletamme, että n, g >> 1, jollon vomme jättää yhtälössä esntyvät ykköset huomotta ja saamme n + g g kln P = k n ln g ln n n + g. Sjotamme lopuks Bose-Ensten mehtysluvut (4.9), jollon seventämällä α + E / ln ln kt n g k P = k n ( e ) ( g) ln n + g n 1 = ne + kα n k g ln 1 e T U = + k α N + kz. T Klassnen raja E Tarkastelemalla MB-, FD- ja BE-mehtyslukujen lausekketa huomataan, että jälkmmäset lähestyvät MB-statstkan mehtyslukuja, kun tekjä e α E / kasvaa. Samalla MB-mehtysluvut kt n = ge penenevät, ja vomme olettaa, että n << 1. Kullakn energatasolla on tällön suurella todennäkösyydellä enntään yks hukkanen, ja kvanttefektt, jotka lttyvät denttsten hukkasten sjottumseen saman energatason er omnastlolle ovat merktyksettömä. Osotamme seuraavassa, että tällön yhtälön 4.22 mukanen entropa lähestyy vastaavaa MB-entropaa yht. (3.44). Jos e / on hyvn pen, on lmesest myös e pen ja parttofunkto 4.19 vodaan kehttää sarjaks käyttämällä kehtelmää ln 1 x x (1/ 2) x... Ottamalla huomoon van ensmmänen term saadaan 2 E kt. (4.23) E E Z = ge = e ge

12 104 IV Kvanttstatstkan perusteet Merktään E / Z = e ZMB, mssä kt ZMB = ge on MB-jakauman parttofunkto. Sjottamalla tämä parttofunkto yhtälöön 4.22 saadaan U S = + αkn + ke ZMB. (4.24) T Tosaalta MB jakaumalle e = N / ZMB (Luku III) ja vastaavast α Z α kn = kn ln e = kn ln MB. N Sjottamalla nämä tulokset yhtälöön 4.24 saamme MB entropan (3.44). Vastaavast vodaan todstaa muden kvanttstatstkan tlanfunktoden saavan rajalla e α MB-statstkan mukaset raja-arvot. 4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma Olemme johtaneet MB jakauman jo akasemmn, mutta johdamme sen velä kerran tavalla, joka havannollstaa eroa kvanttstatstkan ja klasssen statstkan välllä. Tarkastellaan jälleen aluks energatasoa E, jonka mehtysluku olkoon n = 2 ja degeneraato g = 3. Koska hukkaslla on nyt dentteett merktsemme ntä krjamlla a ja b. Taulukko 4. 4 Omnastla Hukkasten jakautumnen omnastlolle 1 a,b a a b b b 0 a 0 a,b a b b 0 a 0 b a a,b n Saamme yhteensä 9 = g monhukkastlaa. Edellsä kvanttstatstkan tarkasteluja mukallen vos luulla, että partton todennäkösyys ols n P = g. (4.25) Nän e kutenkaan ole. Hukkaset a ja b vodaan sjottaa myös mulle energatasolle kun tasolle E lman, että n muuttuu, jos vastaavast multa energatasolta tuodaan kaks hukkasta (esmerkks c ja d) tasolle E. Nän päädytään uuteen monhukkastlaan, joka kutenkn lttyy sa-

13 4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma 105 maan parttoon. Todellsuudessa tettyyn parttoon kuuluven monhukkastlojen määrä on paljon suuremp kun 4.25, sllä jos hukkasten kokonasmäärästä valtaan mtkä tahansa kaks hukkasta tasolle E, saadaan kutakn erlasta kahden hukkasen valntaa kohden 9 monhukkastlaa tasolle E. Nän ollen saamme yhtälön 4.25 lmottaman määrän monhuk- kastloja jokaselle erlaselle tavalle jakaa N dentfotavssa olevaa hukkasta tasolle E 1, E 2, E 3,.. mehtyslukujen ollessa knteät n 1, n 2, n 3,... N! Ensmmäselle energatasolle vodaan n 1 molekyylä valta tavalla seuraavalle n 2 molekyylä tavalla jne. Tämä on sama n1!( N n1)! ( N n1 )! n2!( N n1 n2)! kun se mahdollsten sjotustapojen määrä, jonka johdmme MBjakaumalle luvussa III. Erlasten sjotustapojen lukumäärä (er energatasojen kesken) on 1 N! n!. Kakken tettyyn parttoon lttyven monhukkastlojen kokonasmäärä on ss n g N!, (4.26) n! el sama kun jo aemmn luvussa III johtamamme tulos. Mks fermonen ja bosonen kohdalla e tarvnnut ottaa huomoon hukkasten vahtamsta er energatasohn kuuluven omnastlojen kesken? Sks, että se e tuo fyskaalsest erotettavssa oleva uusa monhukkastloja. Kvanttstatstkassa omnastlolla oleven hukkasten lukumäärä määrää ykskästtesest omnastlan. Esmerkk 4.2. Osota, että BE-jakaumafunkto P = P = n g lähestyy "normtettua" MB-funktota kun g >> n. n! Tarkastellaan energatasoon ( g + n ) ( g 1! ) n! E lttyvä tekjötä. BE-jakaumalle saadaan 1!

14 106 IV Kvanttstatstkan perusteet ( ) g + n 1! g g + 1 g g + n 1 P = = g 1! n! n!. Jaettavassa on ss n termä. Jos, n << g emme tee suurta vrhettä, jos jokanen tekjä korvataan suureella g, jollon P n g ja tulo P = P antaa normtetun MB-jakauman, vrt. yht. n! 3.3. Saatu raja-arvo eroaa tekjän N! taka MB-jakauman mkrotlojen lukumäärän lausekkeesta 3.1. Mks emme saa BE-jakauman mkrotlojen lukumäärästä raja-arvona MB-jakauman mkrotlojen lukumäärää? MBjakaumassa hukkaset erotetaan ykslönä tosstaan, joten kussakn jonossa hukkaset vodaan permutoda keskenään. Tästä saadaan tekjä N!. Tämä tekjä e lmesty raja-arvoon lman, että hukkasten dentfotavuus tuodaan ulkopuolelta annettuna uutena omnasuutena mukaan tarkasteluun. Huomattakoon, että tämä normtustekjä e vakuta parttoden suhteellsn todennäkösyyksn, joten termodynaamnen tasapanotla vastaa samaa parttota el mehtyslukuja n. Se, että er jakaumat antavat saman raja-arvon kun g >> n, nähdään myös krjottamalla mehtysluvut seuraavaan muotoon: g g E / 1 kt n = α + e α E e 1 n + = g g E / 1 kt n = α + e α E e + 1 n = (Bose - Ensten) (4.27) (Ferm - Drac) (4.28) E g α+ E/ kt n ge e n = = (Maxwell - Boltzmann). (4.29) Kun yhtälössä 4.27 ja 4.28 jätetään tekjät +1 ja -1 pennä pos ja ratkastaan yhtälöt n :n suhteen saadaan raja-arvona MB-jakauma.