S Fysiikka III (EST 6 op) S Modernin fysiikan tietokoneharjoitukset (Sf, 2 op )

Transkriptio

1 S Fyskka III (EST 6 op) S Modernn fyskan tetokoneharjotukset (Sf, 2 op ) Luennot: prof. Ilkka Tttonen lkka.tttonen@tkk.f Mkro- ja nanoteknkka, Tetote 3,Mcronova prof. Jukka Tulkk jukka.tulkk@tkk.f Laskennallsen teknkan laboratoro Laskuharjotukset: Teppo Häyrynen Päv Sevlä Nkola Chekurov Thomas Lndvall Osmo Vänskä

2 Luennot: T S4 Ke S4 Laskuharjotukset (alkavat vkolla 4): Ma H T E110 To H402 Pe F201 Materaal: Opetusmonste, kalvomateraal, laskuharjotukset Paul A. Tpler, Ralph A. Llewellyn, Modern Physcs Välkokeet: 7.3, 9-12, S4 (1. välkoe) 8.5, 9-12, S4 (2. välkoe)

3 Ssältö: 1 vk. 1. Tlastollsen fyskan perusteet 2. Kvanttfyskan lmömaalma 3. Kvanttmekankan perusteet 4. Aneaaltodynamkka 5. Atomn kvanttmekaannen mall

4 S Fyskka III (EST 6 op) S Modernn fyskan tetokoneharjotukset (Sf, 2 op ) TILASTOLLISEN FYSIIKAN TUTKIMUSKOHTEITA: Lämpöenerga ja lämpötla ja nden vakutus aneen käyttäytymseen. Tasapanotlojen muodostumnen ja aneen olomuodot. Aneen tlan kuvaamnen todennäkösyyksen avulla. Lämpölmöden teknllset sovellutukset.

5 Lämpö on aneen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä ESIMERKKEJÄ: kaasu- ta nestemolekyylen etenems-, pyörmsja värähtelylke elektronen vrttymnen lämmön vakutuksesta knteän aneen hlavärähtelyt elektronn spnen suuntavahtelu tetyn referensssuunnan suhteen fotonen (sähkömagneettsen kentän kvantten) muodostama kaasu.

6 Lämpö ja aneen rakenne STM-kuva rauta-atomesta kuparn pnnalla Lämpö on aneen mkroskooppsten osen satunnaslkkeen energaa, mutta lämmön postamnen systeemstä lsää usen snä esntyvää järjestystä!

7 Tlastollsen fyskan malleja 1/3 KINEETTINEN TEORIA: Kneettsessä kaasuteorassa kuvataan dfferentaalseen alkoon kuuluva molekyylejä keskarvostetun lkeyhtälöden avulla. Sovellutuskohteta esmerkks tasapanotlojen muodostumnen. Kneettsen teoran äärmmänen raja on molekyyldynamkka, jossa yksttästenkn molekyylen lkettä kuvataan lähes tarkast. Esmerkknä mm. deaalkaasun tlanyhtälö, kaasun pane astassa vdt A θ X

8 Tlastollsen fyskan malleja 2/3 TILASTOLLINEN MEKANIIKKA: Kuvaa tasapanotlaa olettamalla hukkasten jakautuvan täysn satunnasest er energatasolle. Tlastollnen mekankka kuvaa van tasapanotloja. Tlastollnen mekankka tarvtsee tetoa yhden hukkasen energatasosta. E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 = 4e = 3e = 2e = 1e = 0e n 5 n 4 n 3 n 2 n 1 = 3 = 0 = 1 = 1 = 5 Hukkasella vo olla myös ssäseen rakenteeseen lttyvää lämpöenergaa.

9 Tlastollsen fyskan malleja 3/3 TERMODYNAMIIKKA: p Kuvaa makroskooppsen systeemn lämpölmötä muutaman tlanmuuttujan ja tlanyhtälön avulla. Tlanmuuttujen arvot helppo mtata. Kuvaa van tasapanotloja. E edellytä tetoa aneen mkroskooppsesta rakenteesta. T 3 T 2 T 1 Tlanmuuttuja stoo tosnsa tlanyhtälö kuten pv = NkT V

10 Lämpöopn 0 pääsääntö Jos kappaleet A ja B ovat termodynaamsessa tasapanossa kappaleen C kanssa, ne ovat tasapanossa myös keskenään. Jos tasapanossa oleven kappaleden vällle asetetaan täydellnen johde, nn nden termodynaamnen tla sälyy muuttumattomana.

11 Tlanyhtälöt ja termnen tasapano Kaasun emprnen tlanyhtälö pv = at Palkn tlanyhtälö L L L = F F + b T T AE ( ) ( ) 0 0 0

12 Emprnen lämpötla Olkoon x esmerkks tangon ptuus tetyssä emprsessä lämpötlassa θ. Tällön ylenen emprnen lämpötlaastekko vodaan määrtellä: θ = θ X X Tällanen lämpömttar on täysn sdottu suureen X arvoon tetyssä systeemssä

13 Sähkövastus lämpömttarna Jos vastusta käytettäsn emprsenä lämpömttarna votasn krjottaa θ0 θ = R R0 Tämä e ole kutenkaan tarkka absoluuttnen lämpötla vakka θ0 ols 273,16 K ja R0 vastus tässä lämpötlassa. Mttausalue K Helum Flled Platnum Sheath Thermometer Model 5187L Jos vastuslämpömttar kalbrodaan absoluuttseen lämpötlaan vastukselle pätee x 0 0 ( 2 ( ) ( ) ) 1 0 T T0 R = R + A T T + B mssä A ja B ovat sovtusparametreja ja R vastus ja T lämpötla jääpsteessä. 0

14 Sätelyyn perustuvat lämpömttart Lämpösätelyn mttaamnen el pyrometra on teknkka, jolla kohteen lämpötlaa mtataan käyttäen hyväks kohteen pnnasta sätelevää energaa (mustan kappaleen sätelyä, Luku 5). Pyrometrlla mtataan sen kkunaan osuvan sätelyn energaa 4 E tot=at Kaupallsest valmstetulla pyrometrellä vodaan mtata lämpötloja alueella 50 C C.

15 Kaasulämpötla Onnellsen sattuman johdosta harvalle kaasulle (kaasusta rppumatta) paneen ja tlavuuden tulo on suoraan verrannollnen absoluuttseen lämpötlaan. pv = vako T verrannollsuusvako on sama kaklle harvolle kaasulle Boyle havats kokeellsest, että vakokaasumäärälle paneen ja tlavuuden tulo on vako vakolämpötlassa (Boylen lak). Robert Boyle , englantlanen kemst

16 Kelvnn lämpötla-astekko Kaasun pane, tlavuus ja lämpötla veden jäätymspsteessä p0, V0, T0 ja vastaavast kehumspsteessä p, V, T Oletetaan, että jäätymspsteen ja kehumspsteen väl on 100 lämpötlan ykskköä T 100 = T Saamme yhtälöparn pv = CT 100 pv = p V CT C T p V p V Sjottamalla kokeellset arvot: T = 100 = ( ) Lord Kelvn alas Wllam Thomson , rlantlanen matemaatkko T 0 = 273,15 [ K]

17 Ideaalkaasun tlanyhtälö Kokeellsest havattn, että yhtälössä pv = CT esntyvä vako on suoraan verrannollnen anemäärään: pv = knt mssä N on molekyylen lukumäärä. Boltzmannn vakon k arvoks saatn k pv = = 1, NT 23 J/K Itävaltalanen fyyskko ( ), founder of statstcal thermodynamcs

18 Mool ja Avogadron luku Atompano (ykskötön suure) = atomn massa lausuttuna atommassaykskkönä = hl 12 C sotoopn massan 1/12 osa =1,660 x10-27 kg. Esm. helumn ( 4 He) atompano = 4. Molekyylpano = molekyyln kuuluven atomen atompanojen summa. Esm. veden H 2 O atompano on 2+16 = Mool = atom- ta molekyylpanon osottama grammamäärä anetta. Avogadro osott, että 1 moolssa on ana N A =6,0225x10 23 atoma (ta molekyylä) Amedeo Avogadro Italalanen fyyskko

19 Kaasuvako ja kaasun normaaltla Jos anemäärä lausutaan moolessa deaalkaasun tlanyhtälö on pv =ν RT mssä ν on moolmäärä (ykskkö [ mol ]) ja -1-1 R= kn A = 8,3143 JK mol on kaasuvako Kaasun normaaltla (STP,NTP) määrtellään nykyään: p T = 1,0 atm= 1,0132 bar = 273,15 K

20 Molekyylen nopeuden rms-arvoja Taulukko 2.1 Eräden molekyylen keskmääräsä kneettsä (etenemslke) energota ja rms nopeuksa 25 0 C lämpötlassa. Molekyyl [ ] E, 10 J -20 E Kave, ev K ave v [ m/s] rms H O N He 1363 CO 411 2

21 Tlastollsen fyskan malleja 1/3 KINEETTINEN TEORIA: Kneettsessä kaasuteorassa kuvataan dfferentaalseen alkoon kuuluva molekyylejä keskarvostetun lkeyhtälöden avulla. Sovellutuskohteta esmerkks tasapanotlojen muodostumnen. Kneettsen teoran äärmmänen raja on molekyyldynamkka, jossa yksttästenkn molekyylen lkettä kuvataan lähes tarkast. Esmerkknä mm. deaalkaasun tlanyhtälö, kaasun pane astassa vdt A θ X

22 Ideaalkaasun tlanyhtälö ennen senämä jälkeen Molekyylt pstemäsä e panovomaa theys vako nopeysjakauma vako molekyylellä anoastaan kneettstä energaa m on yhden molekyyln massa

23 =n

24 Ideaalkaasun tlanyhtälön johtamnen Ideaalkaasun tlanyhtälön johtamnen perustuu dfferentaalsen kaasualkon aheuttaman keskmääräsen törmäysvoman ja paneen laskemseen p= mnvrms pv = Nmvrms Merktsemällä: U N = mvrms = NEK, ave = NkT saadaan pv = U = NkT 2 2 3

25 KAASUSÄILIÖN PURKAUTUMINEN

26 Molekyylvuo lasketaan määräämällä kuvan punasella puolpallokuorella oleven molekyylen todennäkösyys läpästä aukko sälön kyljessä. Molekyylvuo Molekyylvuo = ykskköpnnan akaykskössä läpäseven molekyylen lukumäärä -1 (ykskkö s m 2 ) 1 j = nv ave 4

27 0 Kaasusälön purkautumsen puolntumsaka Olkoon kaasusälössä oleven molekyylen theys N() t dn 1 N = Avave dt 4 V Olkoon sälössä hetkellä t = 0 N molekyylä N N dn N Avave = dt 4V t 0 N t () = 0 ( Avave /4 N e ) 0 V t Puolntumsaka ( Av /4 V ) t ave e = 1/2 ( Av /4 V) t = ln2 ave t = ln 2 ( Av /4 V ) ave

28 Sälöden tasapanotlan muodostumnen Oletetaan, että okean puolenen sälö on aluks tyhjä. Vasemmalla puolella on aluks pane p 0 ja theys n 0. Molemmat puolet samassa lämpötlassa. 1 dn = A[ nvas ( n0 nvas )] vavedt = Vdnvas 4 kt / V 1 dpvas = A[ 2 pvas p0 ] vavedt 4V p p vas 0 p n vas vas pok = kt = nok + nvas = n0 n t 2 pvas p0 vas ave ln ave dp = Av dt = Av t 2p p 4V 2 p 4V vas 1 Avavet /2V pvas = p0(1 + e ) 2 ok (Huomaa etumerkk!!)

29 Daltonn lak deaalkaasuseokselle Ideaalkaasun molekyylt evät vuorovakuta keskenään (molekyylen välset törmäykset ovat hyvn harvnasa). Jos kaasu koostuu useamman tyypn molekyylestä, nden tlanyhtälöt vodaan laskea puolttan yhteen. pv = N kt = 1, 2,.. tlanyhtälö pätee kaklle komponentelle Kokonaspane p on osapaneden summa (Daltonn lak) Laskemalla puolttan yhteen: V p = N kt = N kt pv = N kt TOT TOT N TOT = molekyylen kokonasmäärä sälössä John Dalton, englantlanen fyyskko

30 Vapausaste ja lketla Jokasta skalaarsuuretta, joka on välttämätön kappaleen aseman määräämseen kutsutaan vapausasteeks. Pstemäsen kappaleen aseman määräämseen tarvtaan kolme skalaarkoordnaatta el psteen pakkavektorn komponentt. Atomn aseman sjantn tarvtaan myös kolme skalaara joten atomlla on kolme vapausastetta (unohdamme elektront) Kaksatomsen molekyyln aseman määräämseen tarvtaan kuus skalaarsuuretta

31 Mks tarvtaan tlastollsta fyskkaa? 1 cm 3 kaasua NTP ssä ~ molekyylä P, T? (pane ja lämpötla?) tarvtaan jotakn estmaatteja jokasen hukkasen dynaamsesta tlasta, todennäkösyysjakauma nstä erlassta dynaamssta tlosta, josta hukkaset löytyvät HUOM! Emme ss oleta kokonaan satunnasta ta kaoottsta käyttäytymstä

32 todennäkösyyskästtetä tarvtaan arvomaan systeemn dynaamsa tloja, e ss kuvaamaan mekansmeja, jotka ovat seurausta hukkasten välsstä vuorovakutukssta dynaamsssa tlossa

33 Esmerkk suuren hukkasmäärän systeemstä N ~10 20 tlat E 1, E 2, E 3,... N tlat joko kvantttuneta (rotaato, vbraato) ta stten spektrn (energan) suhteen jatkuva (translaato, kneettnen energa) U = ne + n E + n E + = ne = n hukkaslukumäärä kokonasenerga

34 Vuorovakuttamattomat hukkaset hukkasen (label ) energa E rppuu van sen koordnaatesta Vuorovakuttavat hukkaset hukkasen (label ) energa E rppuu sen koordnaatesta verrattuna kakkn muhn systeemn hukkasn Onko tämä tovotonta hommaa suurelle hukkasjoukolle?

35 self-consstent feld yksttästen hukkasten välsten kakken vuorovakutusten sjaan käytetään kenttää keskmääränen vuorovakutus kuvataan tsekonsstentllä kentällä keskmääränen potentaalenerga, joka rppuukn enää van hukkasen omsta koordnaatesta

36 Jos koko systeem on erstetty ympärstöstään (solated), kokonasenerga U sälyy törmäykset ja muut vuorovakutukset vakuttavat yksttästen hukkasten tlohn

37 Yksttäset er energatlolla oleven hukkasten lukumäärät saattavat muuttua n, n, n, On järkevää olettaa, että jokn jakauma luvusta n on kakken todennäkösn el todennäkösn PARTITIO Kun tämä saavutetaan, on koko systeem tlastollsessa tasapanossa (statstcal equlbrum) Systeem pysyy tasapanotlassaan, elle joku ulkonen härö (acton) härtse stä Luvut n 1, n 2, n 3, n 4,... vovat kutenkn fluktuoda todennäkösmmän partton ympärllä lman makroskooppsta efektä koko systeemn tasolla

38 El kakken tärken probleema on se, että mten tetyn hukkasjoukon kakken todennäkösn partto löydetään???? Sen jälkeen vodaan uskoa, että makroskooppset suureet, kuten pane ja lämpötla saadaan laskettua (jotenkn ) todennäkösmmästä parttosta Seuraavaks tarvtaan jokn järkevä statstnen jakauma Maxwell-Boltzmann- jakaumalak klassnen statstkka Mutakn on olemassa: Ferm-Drac & Bose-Ensten, molemmat ovat ns. kvanttstatstkkoja, nätä kästellään vähän myöhemmn

39 Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat sen perusoletukset, mtä erlasempa lmötä se kuvaa ja mtä laajemp on sen sovellutusalue. Sks klassnen termodynamkka on tehnyt mnuun syvän vakutuksen. Se on kästyksen mukaan anoa unversaal fyskaalnen teora, joka peruskästtedensä sovellutusalueella on todella pysyvä. Albert Ensten Born: 13 June 1831 n Ednburgh, Scotland Ded: 5 Nov 1879 n Cambrdge, Cambrdgeshre, England By treatng gases statstcally n 1866 he formulated, ndependently of Ludwg Boltzmann, the Maxwell- Boltzmann knetc theory of gases.

40 Peruskästteet Jos hukkaset evät vuorovakuta keskenään ja toteuttavat nämä ehdot ne muodostavat mkro-kanoonsen systeemn Yhden hukkasen energatasot: E 1, E2, E3,.. Energatasojen mehtysluvut: n ; = 1,2,3,... Partto el makrotla = mehtyslukujono: n1, n2, n3,.. Hukkasten kokonasmäärä on vako: N = n = 1 Hukkasten kokonasenerga on vako: U = ne = 1

41 Degeneraato ja mkrotlat Energatasoon E vo lttyä useta omnastloja. Nähn omnastlohn lttyy sama energa ( E ), mutta ne eroavat tosstaan jonkn muun omnasuuden suhteen. Jos erlasa omnastloja on g kappaletta sanotaan taan,että energataso E on g kertasest degenerotunut. Jokasta erlasta (on olemassa jokn fyskaalnen koe jolla ko. ero havataan) tapaa jakaa hukkaset energatasohn E kuuluvlle omnastlolle kutsutaan mkrotlaks. Yhteen makrotlaan el parttoon lttyy yleensä useta mkrotloja

42 Hukkasten denttsyys ja dentteett Klasssessa fyskassa hukkaset vodaan (nden fyskaalsten omnasuuksen muuttumatta) merktä ykslötunnstusta varten! Kunka monella tavalla kaks hukkasta vodaan valta kymmenestä? Kyseessä on kahden järjestämätön otos kymmenestä, jollon mahdollsten valntojen määrä on 10! 2! 10 2! = 45 ( ) Tunnetaan matematkassa bnomkertomena

43 E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 Lasketaan esmerkn vuoks ohesen partton todennäkösyys Energatlat E Hukkaslukumäärät kullakn tlalla ovat n n 1 =3, n 2 =0, n 3 =2, n 4 =1, n 5 =4, n 6 =2 näden kombnaato on ss partto Oletetaan ensks ehkä heman oudost, että hukkaset ovat denttsä mutta tosstaan tunnstettava, kuten esm. bljardpallot Pelkästään tlastollsest ajateltuna, partton todennäkösyys lttyy shen, että kunka monella tavalla hukkaset vodaan jakaa kunkn partton kyseessä ollen

44 E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 p q Jos hukkaset vodaan tunnstaa, saadaan ss hukkaset a ja p vahtamalla erlaset parttot E 1 a b c Alotetaan täyttämällä energatasokaavota Kokonashukkaslukumäärä on N E 1 Ensmmänen hukkanen on jokn hukkassta N, ss N vahtoehtoa Kolmas hukkanen vodaan valta N-2 er tavalla Tonen hukkanen vodaan valta N-1 er tavalla Sama partto saadaan, jos nämä kolme hukkasta valtaan mhn tahansa järjestykseen samalle energatasolle 1, jaetaan ss 6:lla = 3!. Tla E 1 vodaan ss valta er tavalla

45 Tla E 2 vodaan valta van yhdellä tavalla el e valta yhtään jäljelläolevsta hukkassta vakkakn n 2 =0!!! huom sama tekjä, joka supstuu pos Tla E3 vodaan täyttää sten, että jäljellä on N-n 1 -n 2 hukkasta Saadaan ss Lopulta saadaan Vodaan ss olettaa, että mtä suuremp on P stä suuremp todennäkösyys on saavuttaa kukn partto, jolle se on laskettu. Jos er tlolla on er fyskaalnen todennäkösyys (esm. korkeat energat epätodennäkösmpä)

46 Edellä ss oletettn, että tlan E mehtystodennäkösyys on g kaks hukkasta on tlalla 1 todennäkösyydellä ja n 1 hukkasta tn:llä Jos nyt hukkaset ovatkn sekä denttsä että tosstaan tunnstamattoma, (esm. a ja p:n vahtamnen johtavat han samanlasn parttohn) vodaan ss kakk N hukkasta permutoda kakn mahdollsn tavon ja ana saadaan sama partto. Nätä er permutaatota on tetyst N! Tämä on Maxwell-Boltzmann-jakauman todennäkösyys

47 Tasapanojakauman johtamnen Reunaehdot N 5 = n = 10 = 1 4 = 1 1 U = n E = 15e Mkrotlojen lukumäärät ( a) P= 10! = ! 1! 3! 0! 2! ( b) P= 10! = ! 1! 1! 0! 3!

48 Esmerkk mkro- ja makrotlosta nσ j Hukkasmäärä N Kokonasenerga = 6 U = Yhteensä 11 makrotlaa jossa 462 mkrotlaa. 6e Todennäkösn partto Keskmääräset mehtysluvut: n P j k k, j k k k, j = P n / 462 = mkrotlojen määrä parttossa n = tason E mehtysluku parttossa k j k j n j 1 2, , , , , , , Σ 6

49 Tämän tn:n todennäkösntä arvoa haettn...

50 The most probable or equlbrum partton mathematcally dffcult to calculate maxmum of P easer to fnd out the maxmum of lnp, whch however gves the same P

51

52

53 Todennäkösn partto Todennäkösn ja myös termodynaamsta tasapanotlaa vastaa partto, johon lttyy enten mkrotloja. Optmontongelma: määrää reunaehdolla N = n ja U = n E mehtysluvut n, n, n sten, että 1 2 3,... g P= N! n! saa suurmman arvon. n

54 Maxwell-Boltzmann- jakauma Todennäkösmmät mehtysluvut ovat mssä parttofunkto (el tlasumma) Z on N n = ge Z Z = ge E E / kt / kt Hukkasten kokonasenerga: N E / kt 2 d U = gee = knt ln( Z) Z dt Parttofunkto ja ssänen energa ovat β:n funktota. Kaasun tlaa kuvaavan suureen keskarvolle pätee ylesest:

55 Molekyylen tlatheys Jokaseen nopeusavaruuden psteeseen lttyy yks omnastla: Pallokuoren tlavuus = pnta-ala paksuus = 2 dv = 4π v dv Tlojen lukumäärä on 2 dn[ vv, + dv] = vako 4π v dv Tlatheys on g v dn / dv ( ) = [ vv, + dv] = vako 4π v 2 Nden tlojen lukumäärä, jossa nopeuden tsesarvo on välllä [ vv, + dv] on verrannollnen kuvan pallokuoren tlavuuteen.

56 Energatlojen theys Käytännössä on edullsempaa esttää tlojen lukumäärä energan ykskköä kohden. Tlatheys energan ykskköä kohden: ( ) = ( [ E, E+ de] / = [ v, v+ dv] / )( / ) g E dn de dn dv dv de 1 2 v= 2 E/ m E = mv 2 dv / de = 1/ 2Em Tlatheys energan ykskköä kohden: 2 ( ) = vako 4π ( 1/ 2 ) = vako 4π ( 2 / )( 1/ 2 ) g E v Em = E m Em = C E

57 Kaasumolekyylen energajakauma Kaasun parttofunkto saadaan korvaamalla [ 0, ] / kt lausekkeessa Z = g e summa energan ntegraallla ja degeneraatotekjä g tlatheydellä C E. 0 E 1 Z = C E e de = C π ( kt) 2 1/2 E/ kt ln Z = ln C π k + lnt = ln Z = ln C + lnt d(ln Z) 3 U = knt = knt dt 2 Sama kun kneettsen teoran antama tulos!

58 Nopeusjakauman mttaamnen Kuvan koejärjestelyllä vodaan mtata uunssa olevaan kaasun nopeusjakauma. Okealla puolella mtatun ja MB-jakauman vertalu. Data estetty suhteellsen nopeuden v/v m, mssä v m on nopeuden todennäkösn arvo, funktona.

59 Energa- ja nopeusjakaumat Energajakauma dn 2π N = 3/2 E e de ( π kt ) 1/2 E / kt Nopeusjakauma dn dv m = 4π N 2π kt 3/2 2 2 mv /2kT v e

60 Nopeusjakauman tunnuslukuja v ave 1 8kT = vdn = N π m 0 = 1,13 v mp 1/2 v mp mp v ave vrms rms = ( ) ave N 0 1/2 1 3kT v v = v dn = m v rms 3kT = m 3 1/2 mv /2kT 2 2v e 0 vmp df mv 2 kt = = = dv kt m mp=maxmum probablty

61 Nopeuden rppuvuus massasta

62 Termnen tasapano oletetaan, että 2 erllstä, mutta vuorovakuttavaa systeemä ovat samassa lämpötlassa => β sama molemmlle systeemelle termodynamkan nollas pääsääntö n = N Z ge E / kt

63 Maxwell-Boltzmann-jakauma tlastollnen mall suurelle joukolle denttsä hukkasa MB-jakauma sovellettuna deaalkaasuun (= e-vuorovakuttavat hukkaset) => erstetty systeem termsessä tasapanossa Tlastollnen mekankka => systeemn makroskooppset tlasuureet termodynamkka (by Carnot, Joule, Kelvn...)

64 Mten vuorovakutukset hukkasten välllä vodaan ottaa huomoon? E = E = E + E E +... p,nt p, j p,12 p,13 p,23 yl. kakken. paren E = 1 2 mv 2 k,nt yl. kakken. hukkasten Ideaalkaasu = ssäenerga on sama kun kneettnen energa Erstetyn systeemn ssäenerga U on vako Kun ulkoset vomat vakuttavat systeemn, ssänen energa e yleensä pysy vakona

65 Termodynamkan peruskästtetä Jos systeemn ssäenerga on alussa U 0 ja tarkastelujakson lopussa U U-U 0 =W ext Systeemn ssäenergan muutos = ulkosten vomen aheuttama työ systeemlle Jos systeem tekee tse työtä, W ext <0 ja U-U 0 <0, U<U 0 W ext e ole laskettavssa suurelle systeemlle summana ottaen huomoon jokasen hukkasen Termn W ext tlalle tullaan termodynamkassa käyttämään edelleen työtä W, mutta myös lämpöä Q

66 Δx F ΔV Kaasun molekyylt vahtavat energaa ja lkemäärää senämolekyylen kanssa 0 Yksttäset vomat fluktuovat joka psteessä paljon törmäyksä suurta pnta-alaa koht p= F/ A F = pa dw = Fdx = padx = pdv dv = Adx W V = pdv helppo ntegraal, jos pane on vako V

67 Lämpö [J], akasemmn [cal] Q kasvaa, jos ulkonen voma tekee työtä systeemlle (lämpöä absorbotuu) Q penenee, jos systeem tekee tse työtä (lämpöä menetetään) U U0 = Q W Termodynamkan ensmmänen pääsääntö

68 U rppuu van systeemn tlasta, mutta e polusta (=tavasta, jolla tähän tlan on tultu) Van sllon, kun systeem on termsessä tasapanossa ja hukkaset noudattavat MB-jakaumaa d dt ( ln ) 2 U = knt Z Dfferentaalmuodossa: du = dq dw eksakt dfferentaal, e rpu polusta erkostapaus: dw = pdv du = dq pdv

69 Erkosprosesst dw = pdv du = dq pdv sokoornen prosess = tlavuus pysyy vakona dv du V = 0 = dq U U = Q 0 V dqv 1 1 U = CV = dt n n T V CV n = moolen lukumäärä omnaslämpökapasteett vakotlavuudessa rppuu mm. materaalsta

70 Erkosprosesst sobaarnen prosess = pane pysyy vakona dp = 0 d( pv ) = pdv du = dq d( pv ) p p dq = du + d( pv ) = d( U + pv ) = dh p p p p p H H = Q 0 p H =entalpa entalpan muutos on sama kun absorbotunut lämpömäärä vakopaneessa W = p( V V ) C p p 1 dqp 1 H = = n dt n T 0 p omnaslämpökapasteett vakopaneessa [J/(mol K)]

71 sotermnen prosess Erkosprosesst deaalkaasulle: U = 3 2 nrt du dq T T = = 0 dw T => Q = T W T adabaattnen prosess dq du a a = 0 = dw a Adabaattsessa prosessssa työtä tehdään van ssäenergan kustannuksella => T laskee adabaattsessa laajenemsessa ja T nousee adab. kompressossa

72 Entropa ja termodynamkan tonen pääsääntö edellä on jo moneen kertaan johdettu systeemn tasapanoa vastaava partto tasapanotla on todennäkösn systeemn jakautumnen olemassaolevlle energatlolle P (ta ln P) saavuttaa sllon maksmarvonsa jos systeem e ole alunpern tasapanoasemassa, ajan mttaan hukkasten välset vuorovakutukset johtavat shen, että systeem hakeutuu kakken todennäkösmpään parttoon kun systeem on tlastollsessa tasapanossa, e systeem pysty enää nostamaan P:n (ta ln P:n) arvoa, elle jokn ulkonen härö vakuta shen penelle systeemlle lasketut parttot saattavat antaa harhaanjohtavan kuvan todellsuudesta, käytännössä luokkaa hukkasen systeemn todennäkösmmät parttot ovat useta kertaluokka harvnasa todennäkösmpä ja penet fluktuaatot systeemssä tapahtuvat sellasten parttoden kesken, jotka tse asassa eroavat van hyvn vähän tosstaan systeemn hakeutumsta tasapanotlaan kuvaa ss suure, joka on verrannollnen ln P:hen

73 Määrtellään entropa: S = kln P N Entropa P N = termodynaamsta tlaa vastaavan partton todennäkösyys S = kln P = k n ln g n ln n + n N ( ) = k n ln n / g + kn E Z S = k n + nln + n kt N 1 Z U Z = ne k n ln kn kn ln kn T + + = + + N T N n ln N E / kt = ge Z n E Z = ln g kt N

74 Lämpö ja työ tlastollsessa mekankassa Systeemn energatlojen muutos lttyy kokonastlavuuden muutokseen.

75 Työ ja lämpö U = ne du = dn E + n de lttyy systeemn dmensoden muuttumseen jos potentaallaatkon koko kasvaa, systeem tekee työtä laajentuakseen ja samalla loogsest ssäenerga vähenee, kvanttmekankassa tämä johdetaan aaltofunkton reunaehdosta dw dq = nde = dne systeemn tekemä työ on postvsta ja energatlojen muutos taas negatvsta, joten eteen mnusmerkk Jos tlavuus ja energatasot evät muutu, vo ssäenerga muuttua myös mehtyslukujen muuttuessa, hukkaset vovat mm. saada lämpöä ja vrttyä korkeammlle energatlolle

76 Edellä osotettn, että käytetty entropan määrtelmä johtaa lausekkeeseen U Z S = + knln + kn T N du U dz ds = dt + kn 2 T T Z Parttofunkto on Z = ge E 1 / kt de E / kt E / kt dz = ge + g 2 e dt kt kt E dz 1 N 1 N kn = g e de + g e EdT Z T Z T Z E / kt E / kt 2 dz 1 1 dw U kn = n de + n E dt = + dt Z T T T T 2 2 ds du dw du + dw dq T T T T = + = = du = dq dw

77 Pane ja tlanyhtälö Mten deaalkaasun pane ja parttofunkto vosvat lttyä tosnsa? p kn = p( Z)? dz dw U = + dt dw pdv 2 Z T T = d(ln Z) = dz Z ln Z ln Z p U knd(ln Z) = kn dv + dt = dv + dt 2 V T T V T T ln Z kn = V yhtälön ptää tetyst toteutua kaklla dv ja dt:n arvolla ln Z p= NkT V T p T T Z = cvt p= 3/2 NkT V Tlastollsesta mekankasta sama tlanyhtälö kun termodynamkasta ja kneettsesta teorasta!

78 Ideaalkaasu gravtaatokentässä Edellä on laskettu deaalkaasun tlanyhtälö kohtuullsen penelle suljetulle systeemlle, jonka gravtaatoenerga on lkman sama kaklle hukkaslle Otetaan seuraavaks tarkasteluun systeem, jossa gravtaato aheuttaa oman kontrbuutonsa jakaumaan

79 g g j = cve 1 2 kn E = mv + mgy = Ekn + Epot Oletetaan, että yksttäsen molekyyln kneettnen ja potentaalenerga ovat tosstaan rppumattoma Z = g g e + j, j [ E, E de ] kn kn kn ( E E )/ kt kn, pot, j + gde kn [ E, E + de ] = mgy, mgy + de = bady pot pot pot pot j pot gde

80 Z = cbav E e e dy = Z Z L 1 2 Ekn / kt mgy / kt kn kn pot 0 0 Z 1 kn = cv π kt 2 ( ) 3 Z pot bkt = e mgl mgl / kt (1 ) 1 3 bkt mgl / kt 5 mgl / kt ln Z = ln cv π ( kt ) ( 1 e ) = lnt + ln(1 e ) + vako 2 mgl 2 ln Z 5 NmgL 2 U = NkT = NkT mgl / kt T V 2 e 1 Osuus U = 3 2 NkT on lke-energaa, loput ss johtuu potentaalenergasta

81 ln Z 5 NmgL 2 U = NkT = NkT mgl / kt T V 2 e 1 Kun lämpötla on korkea ta sälö matala, saadaan Taylorn sarjasta: 5 NmgL 5 NmgL 5 3 U = NkT NkT = NkT NkT = NkT 2 2 (1 + mgl / kt 1) 2 2 mgl / kt ( e 1) Kun lämpötla on matala ta sälö korkea: mgl / kt U NkT NmgLe NkT

82 Paneen rppuvuus korkeudesta tarkastellaan ensn korkeudella y olevaa dfferentaalsta lmapatjaa, jonka paksuus on dy p = F/ A dp = ρgdy pv = NkT 1 p = V NkT N p ρ = m= m V kt p dp = mgdy kt p y dp mg p mgy = dy ln = p kt p kt p p = p e 0 mgy / kt

83 Lämpösätely Lämpmät kappaleet emttovat satunnasvahesta sähkömagneettsta sätelyä. Jos lämpösätely on tasapanossa ympärstön kanssa stä sanotaan mustan kappaleen sätelyks. Lämpösätely koostuu SM-kentän energakvantesta el fotonesta c h Energa: E = hν Lkemäärä: p= Ec Aallonptuus: λ = = ν p

84 Mustan kappaleen sätely varattujen hukkasten värähtelyä Wenn srtymälak

85

86

87 Vertalu BE- ja FD-jakauman välllä 6 hukkaselle 3 jakauman vertalu α = 0

88 Lämpösätelyjakauma Maxwell-Boltzmann jakauma molekyylelle Bose-Ensten jakauma fotonelle Mustan kappaleen sätelyjakauma er lämpötlossa Maxwell Boltzmann ja Bose Ensten jakaumen vertalu samassa lämpötlassa

89 Mtattu aurngon emssospektr Vhreä = Planckn sätelylak Punanen = aurngon emsso lmakehän ulkopuolella Snnen = aurngon emsso meren pnnan tasolla Ilmakehän absorpto vakuttaa aurngon sätelyjakaumaan merenpnnan tasolla. Kuvaan on merktty eräden molekyylen absorpto aallonptuuksa

90 Planckn fotonhypotees Energatheys = SM-mooden theys E( f) = max 3 8π hf 1 c 3 hf / kt e 1 Wenn srtymälak λ T = hc/ k Stefan- Boltzmannn lak: E E tot = at 4 Plackn vako : 34 h = 6, Js Klassnen teora (Raylght - Jeans) 3 8π hf E( f) = kt 3 c (Ekvparttoperaatteenmukanen keskmääränen moodenerga = kt )

91 Bose-Ensten jakaumafunkto 1 F BE = E/ kt e 1 ( ) g E = ce 2 FBE ( E) g ( E) G BE ( ) E e E 2 E/ kt 1 FMB ( E) g ( E)