Statistinen mekaniikka 1
|
|
- Sanna Sariola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Statstnen mekankka 1 Kevät 2017 Luennotsja Aleks Vuornen (aleks.vuornen@helsnk.f, A322) Laskuharjotusasstentt: Francesco Montanar (francesco.montanar@helsnk.f, A321) Tuomas Tenkanen (tuomas.tenkanen@helsnk.f, A312) Ylestä Luennot ma ja t salssa E204; laskart pe E205 Kursskrjana Arponen & Honkonen, Statstnen fyskka; lsäks prujut nettn ana tstan luennon jälkeen Kurssn kotsvulta prujut, laskart, ajankohtasta tetoa, jne Laskareta yhteensä 5 kpl. Ilmestyvät nettn tstasn ja palautetaan seuraavan vkon tstana luennolla ta luennotsjan postlaatkkoon (Physcumn 3. kerroksen A-sp). Käyään läp perjantan laskartlasuuessa. Laskart evät pakollsa mutta erttän suosteltava: nssä mennään myös luentomateraaln ulkopuolelle ja tämä tulee olemaan osa koealuetta Vkolla e luentoja ekä laskareta, mutta mahollsest pen tsenäsen opskelun projekt, tms. Vmenen luento t ja vmeset laskart pe 3.3. Loppukoe ma 6.3. klo Detaljt myöhemmn kurssn kotsvulla. Suortus: loppukoe 75% ja laskart 25% 1 Tämä luentomonste on kehttynyt vuosen varrella useen kurssn luennotsjoen tomesta; ertysest Ismo Napar ja Joonas Merkanto ovat krjottaneet stä suuren osan. 1
2 Mtä statstnen mekankka oken on? Tutk makroskooppsten systeemen omnasuuksa lähten lkkeelle mkroskooppsesta teorasta ja karkestamalla kuvausta. Ison systeemn kuvaus mkroteoran vapausasten harvon mahollsta. Yksnkertastetust: hukkastason vuorovakutukset + tlastollset menetelmät termofyskan fenomenologset lat (mm. termoynamkan pääsäännöt) Muoostaa termofyskan kurssn (formaaln) pohjan. Kurss onnstunut tehtävässään, jos se tukee termofyskan hallntaa ja ymmärrystä. Statstsen mekankan ja termofyskan kurssen suurn ero formalsmssa. Termofyskka matemaattsest helppo, mutta kvaltatvsen ymmärryksen tasolla haastava. Statstnen merkankka konseptuaalsest yksnkertasemp ja loogsemp, mutta samalla aavstuksen formaalmp ja teknsemp. Pohjateot: termofyskka ja klassnen mekankka tärketä; jatkokursslla (kvanttstatstkka) myös kvanttmekankka sekä ED. Matemaattnen konesto MAPU:lta ja osn FYMM I:ltä. Puuttuva taustatetoja mahollsta kerrata kurssn akana. Materaala 5 op:n kursslle varsn maltllsest, ja luentojen ssältöä mahollsta muokata sen mukaan, mkä tuntuu haastavalta. Ilmottakaa jos/kun jokn epäselvää! Kurssn alustava ssällys Vkot 1-2: klassnen faasavaruus, jakaumen (ensemblejen) teoraa: mkrokanonnen, kanonnen ja suurkanonnen jakauma Vkot 3-4: kneettsen teoran perusteet, Boltzmannn yhtälö ja Maxwell- Boltzmannn jakauman johto Vkot 5-6: fluktuaatot tasapanon ympärllä, statstsen fyskan yhteys termoynamkkaan, vuorovakuttaven systeemen ja faastranstoen perusteet 2
3 KERTAUSTA: LAGRANGEN JA HAMILTONIN FORMALISMI Konservatvsten (kokonasenergan sälyttäven) systeemen mekankkaa voaan kuvata Lagrangen ta Hamltonn formulaatolla, jotka ovat yhteneväsä Newtonn mekankan kanssa. Systeemlle, jota kuvaa N kappaletta koornaatteja q, Lagrangen funkto L määrtellään N L = K U = 1 2 m q 2 U(q 1,..., q N ), mssä K on kneettnen energa, U potentaalenerga, ja q ylestettyjä, ajasta rppuva koornaatteja. Aktota varomalla saaaan lkeyhtätöks tuttu Euler-Lagrangen yhtälö t ( L ) L = 0, q q joka on täysn yhtenevänen Newtonn 2. lan kanssa: t ( L ) = q t m q = m q, L = U = F q q. Hamltonn formalsmn päästään suorttamalla Legenren muunnos N H = p q L, jossa p = L = m q q ja jonka myötä funkton H luonnollsks muuttujks tulevat q ja p. Tälle funktolle saaaan helpost tulos H = K + U = p 2 2m + U(q 1,..., q N ). Hamltonn formalsmssa lkeyhtälöt saavat muoon N 3
4 q t = H, p p t = H q, joka nähään helpost yhtäptäväks Lagrangen lkeyhtälöen kanssa. Hamltonn funkto on kutenkn määrtelty pakka- ja lkemääräavaruuessa, el ns. faasavaruuessa, joka osottautuu erttän hyöyllseks työkaluks statstsessa fyskassa. Lagrangen funkto taas ssältää pelkästään pakka-avaruuen muuttuja. Mustutus: Legenren muunnos Mantsmme yllä, että Hamltonn ja Lagrangen formalsmeja yhstää Legenren muunnos, jossa tonen funkton f(x, y) muuttujsta vahetaan seuraavast (f:n muuttujen lukumäärä rrelevantt tässä; x:n tlalla vos olla 0 ta vakka 5 muuttujaa): Määrtellään ensn uus muuttuja z, ja sen avulla uus funkto g, z f y = Funkton g nfntesmaalnen muunnos on nyt f(x, y) y g yf y f = yz f. g = yz + zy f = yz + zy f x x f y y = yz f x x, joten funkton g rppumattomna muuttujna voaan ptää x:ää ja z:aa, ts. g = g(x, z). Lsäks nähään suoraan, että y = g z. Legenren muunnos on usen termoynamkassakn esntyvä muuttujanvahos, jonka avulla srrytään käyttämään alkuperästen muuttujen sjasta uutta muuttujajoukkoa, joka sop paremmn tarkasteltavan tapauksen reunaehtohn. Takasn alkuperäseen funktoon päästään luonnollsestkn määrttelemällä f zg z g = yz g. Esmerkk: Johetaan Lagrangen ja Hamltonn yhtälöt 2-ulotteselle harmonselle värähteljälle, jossa pano m on jäykän R-ptusen akseln päässä y x 4 g θ R (x,y)
5 Koornaatn (x, y) täytyy selväst toteuttaa ehto x 2 + y 2 = R. Jos krjotamme lkeyhtälön pelkässä koornaatt-avaruuessa, nn tuo ehto täytyy ottaa eksplsttsest huomoon. Vahtoehtosest vomme kutenkn käyttää van yhtä muuttujaa θ, mkä onnstuu näppäräst Lagrangen funkton avulla. Alotetaan krjottamalla L(θ, θ ) = K U. Nyt x = R sn θ, y = R cos θ ja K = 1 2 m(x 2 + y 2 ) = 1 2 m(r2 cos 2 θ + R 2 sn 2 θ)θ 2 = 1 2 mr2 θ 2 Euler-Lagrangen yhtälössä U = mgy = mgr cos θ L(θ, θ ) = 1 2 mr2 θ 2 + mgr cos θ voaan nyt entfoa t ( L ) L θ θ = 0 L θ = mr 2 θ, L = mrg sn θ, θ josta saaaan eelleen helpost ratkeava lkeyhtälö t (mr2 θ ) + mrg sn θ = 0 θ = g sn θ. R Seuraavaks krjotamme Hamltonn funkton käyttäen Legenren muunnosta. Alotetaan lkemäärästä (huomaa menso!) josta Hamltonn funktoks saaaan p θ L θ = mr 2 θ H = p θ θ L = mr 2 θ mr2 θ 2 mgr cos θ = 1 2 mr2 θ 2 mgr cos θ 5
6 H(θ, p θ ) = p θ 2 Tästä on helppo työ johtaa Hamltonn yhtälöks mgr cos θ. 2mR2 θ = H = p θ, p θ t p θ mr 2 = H = mgr sn θ t θ joen nähään olevan yhtäptävä Lagrangen lkeyhtälön kanssa. 6
7 KLASSINEN FAASIAVARUUS (AH 4.1, osn 4.2) Faasavaruus Klasssen N-hukkassysteemn tlaa -ulottesessa avaruuessa voaan kuvata ns. ylestetyllä (pakka)koornaatella q, ja lkemäärllä p, mssä =1,2,,N ja on avaruuen menso. Faasavaruus on koornaatten q=(q 1,q 2,,q N ) ja p=(p 1,p 2,,p N ) vrttämä 2Nulottenen avaruus ss esm. 2-hukkassysteemlle 3-ulottesessa tla-avaruuessa faasavaruus on 12-ulottenen. Faasavaruuen jokanen pste Π = (q, p) vastaa systeemn yhtä mkroskooppsta tlaa, mutta makroskooppsen systeemn tarkkaa sjanta faasavaruuessa on luonnollsest hyvn vakea mtata solla N:n arvolla, ekä tämä ols yleensä ees tarkotuksenmukasta. Systeemn akakehtystä faasavaruuessa, Π = Π(t), voaan kuvata Hamltonn yhtälöllä q t = H p ; p t = H q mssä H = H(Π, t) on Hamltonn funkto. Kuten yllä nämme, nämä evät ole mtään muuta kun normaalt lkeyhtälöt kullekn systeemn hukkaselle. Jos Hamltonn funkto e rpu ajasta, on systeemn käytös faasavaruuessa ajasta rppumatonta snä melessä, että Hamltonn yhtälöen ratkasut el faasraat (trajektort) ovat statonaarsa. Faasraat Faasraoks kutsutaan Hamltonn yhtälön ratkasuja faasavaruuessa. Tetylle yksttäselle monhukkassysteemlle nämä raat: Evät vo lekata tosaan (Hamltonn yhtälöen etermnstsyyen nojalla) 7
8 Evät tyypllsest ala mstään evätkä pääty mhnkään, ovat joko äärettömän ptkä ta perosa Tässä kaks esmerkkä faastrajektoren mahollssta muoosta kaksulottesessa q- p-avaruuessa. Okeanpuolenen tapaus vastaa harmonsta oskllaattora, jollon ympyrämuotosten ratojen säteen nähään olevan verrannollnen hukkasten energan nelöön. (t) (t) Jos halutaan seurata jonkn systeemä kuvaavan faasavaruuen sekä ajan funkton F(Π, t) = F(q, p, t) akakehtystä faasavaruuen mukana vrtaavassa volyymelementssä, on laskettava kokonasakaervaatta: F t = F t + ( F q q t + F p p t ) = F t + ( F H F H ) q p p q = F t + {F, H} mssä {F,H} symbollla merktään funktoen F ja H Possonn sulkuja. Huomaa ervaattojen F t ja F t ero: F t kertoo muutoksen vrtauksen mukana kulkevassa tlavuuselementssä F kertoo muutoksen tetyssä faasavaruuen psteessä t Käytännössä klasssten faasratojen laskemnen onnstuu van molekyylynamkkkasmulaatolla penlle systeemelle ja lyhyllä akaskaalolla. Tätä suurempen 8
9 systeemen kästtelyssä kannattaa turvautua tlastollsn menetelmn, jotka ovatkn tämän kurssn pääteema. Tlastollnen joukko el ensemble Määrtellään myöhempä tarkasteluja slmälläptäen ensn faasavaruuen tlavuusmtta N:n enttsen hukkasen systeemlle -ulottesessa avaruuessa N = 1 N! q p, h =1 mssä N! postaa permutaatosymmetran ja h=6,62607 x Js on Plankn vako. Se kannattaa ssällyttää :n määrtelmään kahesta syystä: [q p]= [h], joten on mensoton luku. Kvanttmekankan epätarkkuusperaatteen mukaan tetyn hukkasen pakkaa ja lkemäärää e vo mtata samanakasest melvaltasen tarkast. Kun valtaan normtustekjäks h, ssältää faasavaruuen elementt (q p)/h karkeast ottaen yhen kvantttlan ja makroskooppsen faasavaruuen osan tlavuus puolestaan vastaa sen ssältämen kvantttlojen määrää. Systeemn makrotlaa kuvaa tyypllsest muutama observaabel (esm. eaalkaasua laatkossa P, T, V ), mutta yhtä makrotlaa vastaa valtavan suur joukko ( kpl.) systeemn mahollsa mkrotloja. Näen mkrotlojen kuvapsteet faasavaruuessa j (j=1,, ) muoostavat tlastollsen joukon el ensemblen. Rajalla M kuvapsteen j jakaumasta saaaan toennäkösyystheys ρ(, t) ta lyhyemmn ρ( ), joka oletetaan normtetuks sten että ρ( )Γ = 1. Jos ϱ( ) tunnetaan, voaan makrotlaa vastaavat fyskaalset suureet laskea ensembleoletusarvona f makro = < f > = ρ( )f( )Γ. 9
10 On kutenkn vaattava, että trajektoreen kulku faasavaruuessa on sellanen, että makrotlan rajotusten määrttelemssä puttessa jokanen faasavaruuen pste vaeltaa melvaltasen lähellä mtä tahansa muuta faasavaruuen pstettä. Tämä on ns. ergosuushypotees. Suureelle f vo ylesest ottaen laskea oletusarvon kahella tapaa: joko keskarvostamalla faasavaruuen psteen yl ta lähtemällä lkkeelle melvaltasesta faasavaruuen psteestä Π(t = 0) ja ottamalla akakeskarvon jonkn rttävän ptkän tarkastelujakson yl. Ergoselle systeemlle suureen f ptkän ajan keskarvo 1 f = lm T T f( (t))t on sama kun ensemblekeskarvo < f > ensemblelle jossa tetty energapnta H( ) = E on tasasest eustettuna, ρ( )~δ(h( ) E). 0 Toellset systeemt ovat yleensä ergosa; esmerkkejä epäergossta systeemestä löytyy lähnnä ns. ntegrotuven (el analyyttsest ratkeaven) systeemen ynamkasta. Lsäks statstsen fyskan laskussa vaataan usen systeemn sekottuvuutta, mllä vtataan shen, että melvaltanen tetyllä energapnnalla määrtelty toennäkösyystheys täyttää vrtauksen myötä ennen ptkää tasasest koko energapnnan. Ns. ergosuusteora tutk vrtausta faasavaruuessa ja on lähesessä yhteyessä kaoottsen ynamkan tutkmukseen (ks. AH 4.2). T Lkeyhtälöt Faasavaruus e ssällä lähtetä ta neluja, jossa toennäkösyyttä syntys lsää ta stä häväs. Sks toennäkösyys tetyssä trajektora ptkn vrtaavassa faasavaruuen elementssä 0 sälyy, mkä vastaa entteettä ρ(, t) = 0. t 0 (t) Tarkastellaan lähemmn tämän ntegraaln muutosta. Se koostuu: toennäkösyystheyen muutoksesta volyymelementn 0 ssällä 10
11 alueen 0 ajallsesta muutoksesta 0 n A v Vrtaus faasavaruuessa tapahtuu nopeuella v = (q, p ) = ( H p, H q ), joten ajassa t tlavuuselementn 0 reunapnnan nfntesmaalsen pntaalaelementn A lke kasvattaa 0 :n tlavuutta määrällä n vta, mssä n on A:ta vastaava pnnan normaalvektor. Tästä saaaan yo. ntegraaln akaervaataks t ρ( ) = 0 ρ t = ρ t + An v ρ 0 0 = ( ρ + (ϱv)) t Atn v t (Gaussn lasta), 0 mnkä ss teämme hävävän. Koska tämä pätee kaklle tlavuuselementelle 0, tulee päteä jatkuvuusyhtälö ρ + (ϱv) = 0. t ρ Jatkuvuusyhtälön vergensstermlle voaan eelleen krjottaa (ϱv) = v ϱ + ϱ v, jossa Hamltonn yhtälöstä seuraa v = ( q + p ) = q p ( H H ) = 0. q p p q 11
12 Tämän tuloksen mukaan vrtaus faasavaruuessa vastaa kokoonpurstumattoman nesteen vrtausta, mkä e lene suurkaan yllätys. Sjottamalla saatu tulos jatkuvuusyhtälöön, saaaan tulokseks 0 = ρ ρ + (ϱv) = + v ϱ t t = ρ t + ρ ρ (q + p ). q p Kuten vme luvussa totesmme, tämä tulos kertoo, että tutkttu suure (toennäkösyystheys) sälyy vakona vrtauksen mukana kulkevassa tlavuuselementssä, ρ( (t), t) = 0. t Tätä tulosta kutsutaan Louvllen lauseeks, jonka toseks muooks saaaan Hamltonn lkeyhtälöstä ρ t = (q = ( H p ρ ρ + p ) q p ρ H ρ ) q q p = ( H ρ H ρ ) q p p q = {H, ρ} = Lρ, mssä L = {H, } on ns. Louvllen operaattor. Saatua yhtälöä kutsutaan Louvllen yhtälöks. Kakkaan on ss nähty, että 12 vrtaus faasavaruuessa vastaa kokoonpurstumattoman nesteen vrtausta, ensembleä kuvaavan toennäkösyystheyen arvo pysyy vakona faasavaruuen vrtausta seurattaessa.
13 Laskuharjotuksssa nähään lsäks, että mkäl ensemblen theysfunkto rppuu faasavaruuesta van Hamltonn funkton kautta, ts. ρ(, t) = ρ(h( ), t), nn ensemble on statonaarnen, el ρ t = 0. Esmerkktehtävä (AH 4.5): Määrää Hamltonn vrtauksen trajektort 2-ulottesessa faasavaruuessa (q, p) hukkaselle vakopanovomakentässä H = p2 2m + mgq. Tutk, mten faasavaruuen alue, joka hetkellä t = 0 on kolmo, kärkpsteet (q 0, p 0 ), (q 0 + a, p 0 ), (q 0, p 0 + b), lkkuu ajan mukana, ja osota, että sen pnta-ala sälyy. 13
Kanoniset muunnokset
Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotKvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotKvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotHamiltonin mekaniikka
Luku 7 Hamltonn mekankka Tässä luvussa mekankan formalsma vedään velä Lagrangen mekankkaakn järeämpään muotoon. Tutustumme jo luvussa 3 johnkn kanonsen formalsmn peruspalkohn, kuten kanonsn mpulssehn,
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotLagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset
Luku 3 Lagrangen mekankka Lähdetään stten opskelemaan abstraktmpaa mutta samalla tehokkaampaa mekankan formalsma, jonka taustalla on kaks suurta matemaatkkoa Joseph- Lous Lagrange (1736 1813) ja Sr Wllam
LisätiedotKäytetään säteille kompleksiesitystä. Tuleva säde on Ee 0 iw t ja peräkkäisiä heijastuneita säteitä kuvaaviksi esityksiksi saadaan kuvasta: 3 ( 2 )
58 Yhtälön (0.4.) mukaan peräkkästen hejastuneen säteen optnen matkaero on D= n tcosqt ja vahe-eroks tulee (kun r = 0) p = kd= D. (.3.) l ässä on huomattava, että hejastuksssa tapahtuvat mahollset p :
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
Lisätiedot5. KVANTTIMEKANIIKKAA
5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrn atommallsta samme jonknlasen kuvan atomn rakenteesta. Kutenkaan Bohrn atommall e pysty selttämään kakka kokeellsa havantoja spektrestä: Mks osa spektren vvosta on tosa vomakkaampa
LisätiedotJäykän kappaleen liike
aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
Lisätiedot9. Muuttuva hiukkasluku
Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotPyörimisliike. Haarto & Karhunen.
Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotMODERNIN FYSIIKAN LUENNOT KEVÄT 2007 OSA I TILASTOLLINEN MEKANIIKKA
MODERNIN FYSIIKAN LUENNOT KEVÄT 7 OSA I TILASTOLLINEN MEKANIIKKA TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 7 Tlastollsen fyskan luennosta käydään keväällä 7 läp anoastaan Kappaleet III-V. Estetona nähn lukuhn
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotIII KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48
III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48 3.1 Johdanto...48 3. Tlastollsen mekankan kästtetä...49 3.3 Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen...51 3.4 Energatlan ssänen vapausaste...54 3.5 Tasapanotlaa
Lisätiedot. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.
LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotIII KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48
III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48 3.1 Johdanto... 48 3. Tlastollsen mekankan kästtetä... 49 3.3 Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen... 51 3.4 Energatlan ssänen vapausaste... 54 3.5 Tasapanotlaa
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
LisätiedotTilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot
Tlastollnen mekankka Peruskästtetä Mkro- ja makrotlat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Ensten jakauma Ferm-Drac jakauma Jakaumafunktot Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat
LisätiedotPUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta
Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotS Fysiikka III (EST 6 op) S Modernin fysiikan tietokoneharjoitukset (Sf, 2 op )
S-114.1327 Fyskka III (EST 6 op) S-114.1427 Modernn fyskan tetokoneharjotukset (Sf, 2 op ) Luennot: prof. Ilkka Tttonen lkka.tttonen@tkk.f Mkro- ja nanoteknkka, Tetote 3,Mcronova prof. Jukka Tulkk jukka.tulkk@tkk.f
LisätiedotBL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka
BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotAamukatsaus 13.02.2002
Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotMittaustulosten käsittely
Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman
Lisätiedottäydellinen atomaarisen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaaminen on mahdotonta (N ~ N A ), joten tarvitaan tilastollista tarkastelua.
PHYS-A00 Termodynamkka (TFM), Luentomustnpanot Luennot 9-0, kertaus: Mkro- ja makrotlat Mkrotla täydellnen atomaarsen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaamnen on mahdotonta ( ~ A ), joten tarvtaan tlastollsta
LisätiedotPro gradu -tutkielma. Whitneyn upotuslause. Teemu Saksala
Pro gradu -tutkelma Whtneyn upotuslause Teemu Saksala Helsngn ylopsto Matematkan ja tlastoteteen latos 5. maalskuuta 2013 0.1 Johdanto Topologset monstot ovat melenkntosa, koska ne ovat määrtelmänsä nojalla
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :
S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 194 1 Setsemän tunnstettavssa olevaa hukkasta on jakautunut kahdelle energatasolle Ylem taso on degenerotumaton ja sen energa on 1, mev korkeam kun alemman tason, joka uolestaan
LisätiedotTILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008
TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 008 Randy Harrsn krjan luvun 9 Statstcal Mechancs alueeseen lttyvä suomenkelnen ohesmateraal. Tämä luentomateraal on teoran osalta laajemp ja perusteellsemp kun Harrsn
LisätiedotUsean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa
Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal
LisätiedotTILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008
TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 8 Randy Harrsn krjan luvun 9 Statstcal Mechancs alueeseen lttyvä suomenkelnen ohesmateraal. Tämä luentomateraal on teoran osalta laajemp ja perusteellsemp kun Harrsn
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE
S-11435, Fyskka III (ES) Tntt 75 1 Stsmän tunnstttavssa olvaa hukkasta on jakautunut kahdll nrgatasoll Ylm taso on dgnrotumaton ja sn nrga on 1, mv korkam kun almman tason, joka uolstaan on dgnrotunut
LisätiedotTaustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon
Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
Lisätiedotb g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti
S4.35 Fyskka (ES) Tntt 4.9. 3 6. Sälö, jonka tlavuus on,5 m, ssältää haa, jonka an on,5 Pa ja lämötla C. (a) Montako moola haa sälössä on? (b) Montako klogrammaa? (c) Mtn an muuttuu, jos lämötla kasvaa
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotMAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2009
MOL-Pstetysohjeet Fyskka kevät 9 Tyypllsten vrheden aheuttama pstemenetyksä (6 psteen skaalassa): - pen laskuvrhe -/3 p - laskuvrhe, epämelekäs tulos, vähntään - - vastauksessa yks merktsevä numero lkaa
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
LisätiedotTyössä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:
LisätiedotMoraalinen uhkapeli: N:n agentin tapaus eli moraalinen uhkapeli tiimeissä
Moraalnen uhkapel: N:n agentn tapaus el moraalnen uhkapel tmessä Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ismo Räsänen 4.3.2008 S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotStatistinen fysiikka I
Statistinen fysiikka I Kevät 2014 Luennoitsija Aleksi Vuorinen (aleksi.vuorinen@helsinki.fi, A322) Laskuharjoitusassitentti Lasse Franti (lasse.franti@helsinki.fi, A312) Yleistä Luennot salissa CK111 aina
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotSähköstaattinen energia
ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotAB TEKNILLINEN KORKEAKOULU
B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit
luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät Ssältö Peruskästtetä Posson-prosess Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst Stokastset prosesst () Tarkastellaan otakn (lkenneteoran kannalta ta stten
LisätiedotA = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:
Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotHallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28
Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
Lisätiedot0 Matemaattisia apuneuvoja
0 Matemaattsa apuneuvoja 0.1 Kokonasdfferentaal Tarkastellaan kahden muuttujan funktota f(x, y), joka on määrtelty xy-tasossa. llon jokaseen tason psteeseen (x, y) lttyy funkton arvo z = f(x, y). Jos funkto
Lisätiedot3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss
LisätiedotLIITE 2 SUORAN SOVITTAMINEN HAVAINTOPISTEISIIN
Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII Tarkastelemme fyskan tössä usen eteen tulevaa tlannetta, jossa olemme mtanneet kpl pstepareja ( X, Y
LisätiedotEräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä
Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä
LisätiedotÄärellisten ryhmien hajotelmat suoriksi tuloiksi
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkelma Vel-Matt Nemnen Äärellsten ryhmen hajotelmat suorks tuloks Informaatoteteden ykskkö Matematkka Kesäkuu 2016 Tampereen ylopsto Informaatoteteden ykskkö NIEMINEN,
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 010 Jukka Maalamp LUENTO 4 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotS , Fysiikka III (ES) Tentti
S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 311005 1 Kuvan mukasessa systeemssä allo sulkee ullon tvst Pullon ssältämän kaasun adabaattvakon γ määrttämseks allo saatetataan helahtelemaan Kun ktka on en, lke on lähes
LisätiedotEsitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
Lisätiedot