Hamiltonin mekaniikka

Transkriptio

1 Luku 7 Hamltonn mekankka Tässä luvussa mekankan formalsma vedään velä Lagrangen mekankkaakn järeämpään muotoon. Tutustumme jo luvussa 3 johnkn kanonsen formalsmn peruspalkohn, kuten kanonsn mpulssehn, syklsn koordnaattehn ja Hamltonn funktoon. Kanonnen formalsm eroaa Lagrangen formalsmsta sten, että kun Lagrangen formalsmssa ol selkeäst erllset koordnaatt {q} ja nopeudet { q}, nn nyt kanonset muuttujajoukot {q} ja {p} ovat samanarvosessa asemassa. Nden välllä vodaan tehdä nk. kanonsa muunnoksa tarkasteltavan ongelman kannalta mahdollsmman tehokkaan muuttujajoukon löytämseks. Vakka nyt esntulevat tarkastelut saattavatkn tuntua tarpeettoman abstraktelta, nllä on tärkeä osa esmerkks srryttäessä kvanttmekankkaan, muotoltaessa statststa fyskkaa ta tarkasteltaessa kaoottsen dynamkan ongelma. Sspä turvavyöt knn ja pää kylmänä eteenpän! 7.1 Hamltonn lkeyhtälöt Lagrangen funkto annetaan koordnaatten, nden nopeuksen ja ajan funktona L({q}, { q}, t). Lsäks olemme määrtelleet kanonset mpulsst p = L q. Kanonsessa formalsmssa systeem kuvataan (q, q)-avaruuden sjasta (q, p)-avaruudessa. Muunnos tehdään antamalla koordnaattnopeudet funktona q = q ({q}, {p}, t). Luvussa 3 johdettu Hamltonn funkto ( ) L H = q L (7.1) q vodaan nyt määrtella lausekkeella H({q}, {p}, t) = p q ({q}, {p}, t) L({q}, { q({q}, {p}, t)}, t). (7.2) 112

2 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 113 Koska kanonset koordnaatt ja mpulsst ovat rppumattoma tosstaan, saadaan Hamltonn funkton gradenteks nden suhteen yhtälöt H q k = p q q k L q k L q q q k = q p d q k dt p k q p q k = ṗ k (7.3) ja H = q k + q p L q p k p k q p k = q k. (7.4) Saatuja yhtälötä H q k = ṗ k (7.5) H p k = q k (7.6) kutsutaan Hamltonn lkeyhtälöks. Yhtälöstä (7.5) näkyy suoraan, että jos koordnaatt q k on syklnen, nn stä vastaava kanonnen mpulss p k on lkevako. Lagrangen yhtälössä on vapausasteden lukumäärän (n) verran tosen kertaluvun dfferentaalyhtälötä, kun taas Hamltonn yhtälössä on 2n kpl ensmmäsen kertaluvun yhtälötä. Teoreettsssa tarkastelussa ensmmäsen kertaluvun yhtälöt ovat usemmten yksnkertasempa kästellä, vakka ntä ols kaksnkertanen määrä. Mkäl lopulta on kutenkn laskettava hukkasen rata, täytyy ṗ k :t velä ntegroda kertaalleen, jotta nstä saadaan nopeus. Lasketaan stten Hamltonn funkton kokonasakadervaatta, josta tulee dh dt = L t. (7.7) Jos Lagrangen funkto e rpu eksplsttsest ajasta, energa (E) on lkevako. Tällön Hamltonn funkto on muotoa H = T + U = E. Hamltonn funkto ja kokonasenerga evät välttämättä ole sama asa! Ne vodaan samastaa varmuudella anoastaan skleronomslle (ajasta rppumattomlle) konservatvslle systeemelle. Tarkastellaan asan valasemseks klasssta esmerkkä, jossa tasasella nopeudella v 0 lkkuvassa kärryssä on jousen (jousvako k) varassa lkkeen suunnassa oskllova massa m. Ohttakoon massa orgon hetkellä t = 0 ollen juur sllon tasapanoasemassaan (el valtaan orgo sllä tavalla). Lagrangen funkto on nyt josta saadaan lkeyhtälöks L(x, ẋ, t) = T U = 1 2 mẋ2 1 2 k(x v 0t) 2, (7.8) mẍ = k(x v 0 t). (7.9)

3 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 114 Tekemällä muuttujan vahdos kärryn mukana lkkuvaan koordnaatstoon x = x v 0 t saadaan tästä tetenkn harmonsen oskllaattorn lkeyhtälö mẍ = kx. (7.10) Hamltonn funkto on puolestaan H(x, p, t) = T + U = p2 2m k(x v 0t) 2. (7.11) H on kärryn ja oskllovan massan muodostaman systeemn kokonasenerga. Se e kutenkaan ole vako, koska ulkosen voman täytyy tehdä työtä, jotta kärryn vauht pysyy oletuksen mukasest vakona v 0. Lasketaan stten L ja H muunnetussa koordnaatessa L (x, ẋ ) = 1 2 mẋ 2 + mẋ v mv kx 2 (7.12) H (x, p ) = (p mv 0 ) m 2 kx mv2 0. (7.13) Selväst H on ajasta rppumaton, ss sälyvä suure, mutta se e ole kokonasenerga. Vakka H ja H ovat er suura ja nllä on erlanen akarppuvuus sekä funktonaalnen muoto, nstä molemmsta saadaan kutenkn samat lkeyhtälöt. Koordnaatston valnta e tetenkään vo muuttaa tse fyskaalsen systeemn omnasuuksa. Hamltonn lkeyhtälöt vodaan johtaa myös varaatoperaatteesta δ L dt = 0 (HT): t2 t2 δ L dt = δ t 1 = = t 1 t2 t 1 t2 t 1 ( ) p q H({q}, {p}, t) dt (7.14) ( p δ q + q δp (( q H ) δp p ( H δp + H )) δq dt p ( ṗ + H ) ) δq dt, mssä δq :n kertomen laskemseks on tehty yks osttasntegront. Kun nyt vaadtaan, että varaatoden δq ja δp kertomet ovat nolla kaklla varaatolla saadaan Hamltonn lkeyhtälöt. Yleensä tässä tarkastelussa vaadtaan (muuttujen q ja p samanarvosuuden vuoks), että δp hävää päätepstessä. Kyseessä e ss ole tarkkaan ottaen luvun 3 Hamltonn peraate (jossa tämä vaadttn van δq:lle). Tätä kutsutaankn sen vuoks joskus modfoduks Hamltonn peraatteeks. Tämä vodaan ottaa samanlaseks mekankan aksoomaks kun Hamltonn peraate Lagrangen mekankassa. Lopulta tärkentä on kutenkn löytää systeemä kuvalevat mahdollsmman käyttökelposet lkeyhtälöt. Esmerkk: Lke konservatvsessa keskesvomakentässä Jälleen vanha tuttu tapaus, jossa T = 1 2 m(ṙ2 +r 2 ϕ 2 ) ja U = U(r). Kanonsen mpulssn koordnaatt ovat p r = mṙ ja p ϕ = mr 2 ϕ ja Hamltonn

4 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 115 funktoks tulee H(r, ϕ, p r, p ϕ ) = p r ṙ + p ϕ ϕ 1 2 m(ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) + U(r) Hamltonn yhtälöt ovat nyt = 1 2m p2 r + 1 2mr 2 p2 ϕ + U(r). (7.15) p2 ϕ mr 3 + U = ṗ r r U ϕ = 0 = ṗ ϕ p r m = ṙ (7.16) p ϕ mr 2 = ϕ dh = 0. dt Yhtälöstä ensmmänen on radaalnen Newtonn lkeyhtälö, tonen lmasee lkemäärämomentn sälymsen, kolmas ja neljäs ovat kanonsen mpulssn määrttely-yhtälöt ja vmenen energan sälymslak. Esmerkk: Varatun hukkasen lke Tonen tärkeä esmerkk on jälleen varauksen lke sähkö- ja magneettkentssä. Luvussa 3 saatn potentaal muotoon U = q(φ v A), (7.17) mssä Φ on sähkökentän skalaarpotentaal ja A sähkömagneettsen kentän vektorpotentaal. Lagrangen funkto on tetenkn L = 1 2 mṙ2 U. Lasketaan syklstä koordnaatta r vastaava kanonnen mpulss p = L ṙ = mṙ + qa. (7.18) Tämä on elektrodynamkassa okea sälyvä lkemäärä. Se on ss hukkasen mekaannen lkemäärä plus kentästä tsestään tuleva osa. Hamltonn funktoks saadaan stten suoralla laskulla (HT; käytetään vektornotaatota ja summaussääntöä :n yl) H(p, r, t) = ṙ p L(r, ṙ, t) = ṙ p 1 2 mṙ2 + qφ qṙ A = 1 2m (p qa)2 + qφ. (7.19) Tästä saadaan kanonsks lkeyhtälöks sähkömagneettsessa kentässä ṙ = H p = 1 m (p qa ) (7.20) ṗ = H r = q Φ r + q m p A r q2 m A A r. (7.21) Vo olla varsn hyödyllnen harjotustehtävä lähteä nästä yhtälöstä lkkeelle ja johtaa takasn Newtonn lkeyhtälö, mssä vomana on Lorentzn voma.

5 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 116 Tässä tapauksessa kanonnen formalsm e ehkä johtanut kovn kaunseen lopputulokseen, mutta kuten jo luvussa 3 manttn, sähkömagneettnen kenttä vedään juur nällä kenon kvanttmekankkaan. Hamltonn yhtälötä käytetään tok myös klasssessa elektrodynamkassa ja sen sovellutuksssa, esm. laskettaessa varattujen hukkasten ratoja monmutkasssa geometrossa kuten esmerkks erlasssa fuusolattessa (tokamakt, spheromakt, jne.), jossa kuuman plasman hukkasa pdetään vangttuna rakenteeltaan monmutkasn magneettkenttn. Tämä perustuu shen, että löydetään sellanen koordnaatston muunnos, jossa on mahdollsmman monta syklstä koordnaatta. Tähän palataan tuonnempana. 7.2 Legendren muunnokset Edellä tehtn muunnos (q, q) (q, p) antamalla koordnaattnopeudet funktona { q} = { q({q}, {p}, t)}. Hamltonn funkto määrteltn lausekkeella (7.2). Matematkassa tällasa muunnoksa kutsutaan Legendren muunnoksks. Asan yksnkertastamseks tarkastellaan esmerkknä kahden muuttujan funktota f = f(x, y). Sen kokonasdfferentaal on mssä df = u dx + v dy, u = f x ; v = f y. Jospa nyt haluammekn syystä ta tosesta esttää tarkasteltavan fyskaalsen ongelman muuttujen u ja y avulla (mekankan näkökulmasta u vastaa ss kanonsen mpulssn käyttöä nopeuden sjasta). Nyt dfferentaalset suureet ptää lausua du:n ja dy:n avulla Tämä onnstuu muodostamalla uus funkto jollon Nyt puolestaan v ja x ovat g = f ux, dg = df u dx x du = v dy x du. x = g u ; v = g y. Tässä yhteydessä tarkastellaan ss mekankkaa sellasesta näkökulmasta, jossa systeemä halutaan kuvalla koordnaattnopeuksen sjasta kanonsten mpulssen avulla. Tällön Legendren muunnos johtaa Lagrangen funkton käytöstä Hamltonn funkton käyttöön. Kaava (7.2) yhden vapausasteen tapauksessahan on yksnkertasest H(q, p, t) = qp L(q, q, t). (7.22) Mekankan ja kvanttmekankan lsäks Legendren muunnoksa käytetään paljon termodynamkassa. Sellä systeemlle vodaan määrtellä

6 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 117 useta erlasa potentaaleja, joden käyttökelposuus rppuu tarkasteltaven prosessen omnasuukssta, esmerkks stä, sälyykö prosessssa entropa vako lämpötla ta pane vako tlavuus. Termodynamkan ensmmänen pääsääntö lmasee energan sälymsen muodossa du = dq dw, (7.23) mssä U on systeemn ssänen energa, Q lämpömäärä ja W työ. Kaasun reversbellle prosesslle du = T ds p dv, (7.24) mssä T on lämpötla, S entropa, p pane ja V tlavuus. Tässä tlanteessa on ss luonnollsta tarkastella uuta funktona U = U(S, V ), jollon edellsen tarkastelun perusteella T = U S ; p = U V. (7.25) Tlantessa, jossa ptää huomoda ssänen energa ja esmerkks kaasun laajenemseen lttyvää mekaansta energaa, luonnollnen energafunkto on entalpa, joka määrtellään H = U + pv. (7.26) Huom. Tässä H e ss ole Hamltonn funkto! Krjotetaan H:n kokonasdfferentaal dh = du + V dp + p dv = T ds + V dp, (7.27) jollon on melekästä tarkastella funktota H = H(S, p) el tehdä muunnos (S, V ) (S, p) ja T = H S ; V = H p. (7.28) Vastaavast termodynamkassa määrtellään esmerkks Helmholtzn vapaa energa F = U T S ; (S, V ) (T, V ) (7.29) ja Gbbsn vapaa energa G = H T S ; (S, p) (T, p). (7.30) Nästä kutenkn enemmän termofyskan ja statstsen fyskan kurssella. Me palaamme Legendren muunnoksn hetken päästä kanonsten muunnosten yhteydessä. 7.3 Possonn sulut Possonn sulut ovat hyödyllnen työkalu kehtettäessä kvanttmekankan ja statstsen mekankan formalsma. Tarkastellaan kahta kanonsten muuttujen {q} ja {p} sekä ajan t funktota f ja g. Näden Possonn sulut määrtellään lausekkeella [f, g] ( f g f ) g. (7.31) q p p

7 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 118 Tämän määrtelmän avulla on suoravvanen laskutehtävä (HT) osottaa Possonn sulkujen algebrallset omnasuudet [f, g] = [g, f] (7.32) [f, C] = 0, jos C on vako (7.33) [f, g + h] = [f, g] + [f, h] (7.34) [f, g h] = [f, g] h + [f, h] g. (7.35) Possonn sululle on lsäks vomassa ns. Jacobn dentteett [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0. (7.36) Käyttämällä funktona kanonsa koordnatteja tseään, saadaan nden vällle sulkulausekkeet [q, q j ] = 0, [p, p j ] = 0, [q, p j ] = δ j. (7.37) Jos puolestaan lasketaan melvaltasen dervotuvan funkton f({q}, {p}, t) Possonn sulut kanonsten koordnaatten kanssa saadaan yhtälöt [f, q ] = f p [f, p ] = f. (7.38) Possonn sulkujen avulla vodaan lmasta mnkä tahansa mekaansen suureen f({q}, {p}, t) kokonasakadervaatta el lkeyhtälö. Ensnnäkn df dt = ( f q + f ) ṗ + f p t. (7.39) Sovelletaan tähän Hamltonn lkeyhtälötä, jollon df = ( f H f ) H + f dt q p p t = [f, H] + f t. (7.40) Tästä näemme suoraan, että ajasta eksplsttsest rppumaton suure ( f/ t = 0) on lkevako, jos sen Possonn sulku Hamltonn funkton kanssa on nolla. Myös ajasta rppuva suure vo tok olla lkevako, jos ylläolevan yhtälön okea puol on denttsest nolla. Käyttämällä tässä jälleen funktona kanonsa muuttuja tseään saadaan q = [q, H] = H p ṗ = [p, H] = H (7.41) kaklla, el olemme päässeet takasn Hamltonn lkeyhtälöhn.

8 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 119 Lke keskesvomakentässä Tarkastellaan esmerkknä jälleen lkettä keskesvomakentässä ja krjotetaan Hamltonn funkto muodossa H(r, ϕ, p r, p ϕ ) = 1 2m p2 r + 1 2mr 2 p2 ϕ + U(r, ϕ). Lasketaan p ϕ :n akadervaatta Possonn sulkujen avulla ṗ ϕ = [p ϕ, H] = 1 2m [ pϕ, p 2 r] + 1 2m = [p ϕ, U(r)] = U ϕ. [ pϕ, p 2 ϕ/r 2] + [p ϕ, U(r)] Nyt nähdään, että mkäl potentaal U e ole kulman ϕ funkto, nn ṗ ϕ = 0 el ϕ-kulmakoordnaatta vastaava kanonnen mpulss on lkevako. Tämä on tetenkn vanha tuttu lkemäärämomentt (mpulssmomentt). Huom. Tässä kanonsta mpulssa p ϕ e saa sekottaa tavallsen lkemäärän ϕ-komponenttn! (HT: tarkasta molempen suunta ja fyskaalnen dmenso.) Tosaalta p r :n akadervaataks saadaan ṗ r = [p r, H] = p2 ϕ [ pr, r 2] + [p r, U] 2m = p2 ϕ mr 3 U r, mkä on tetenkn radaalnen Newtonn yhtälö. Krjotetaan velä Hamltonn funkto ylesest pallokoordnaatstossa (HT) muodossa ( ) H = 1 p 2 r + p2 θ 2m r 2 + p2 ϕ r 2 sn 2 + U(r). θ Tällön Possonn sulut laskemalla näkee suoraan (HT), että sekä p ϕ että p 2 θ + p2 ϕ/ sn 2 θ ovat lkevakota. 7.4 Kanonset muunnokset Olemme jo ptkn kurssa nähneet, että srtymnen ongelman kannalta edullseen koordnaatstoon on monest mltepä välttämätöntä ongelman ratkasun löytämseks järjellsellä työmäärällä. Lagrangen formalsmssa muunnokset ovat olleet pstemuunnoksa, jossa ss systeemn pakkakoordnaatteja q on muunnettu tyyln Q = Q (q, t) ja nopeudet on laskettu nätä dervomalla. Tällanen muunnos tapahtuu ss konfguraatoavaruudessa (pakka-avaruudessa). Hamltonn formalsmssa kutenkn pakkakoordnaatt q ja mpulsskoordnaatt p ovat molemmat samanarvosa muuttuja ja vastaavat sten ylestettyjä koordnaatteja q Lagrangen formalsmssa. Tämän

9 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 120 vuoks Hamltonn formalsmssa on tarpeen etsä ylesempää näkökulmaa muuttujen q ja p muunnoksn tällä kertaa näden määräämässä 2n-ulottesesssa faasavaruudessa (vaheavaruudessa). Oletetaan, että olemme löytäneet Hamltonn yhtälöt muuttujajoukossa {q 1, q 2,..., q n, p 1, p 2,..., p n }. Määrtellään stten uudet pakka- ja mpulssmuuttujat {Q} ja {P } yhtälöllä Q = Q (q, p, t) P = P (q, p, t). (7.42) Merkntöjen yksnkertastamseks krjotetaan {q} = q, {p} = p, {Q} = Q, {P } = P ja käytetään ndeksejä sllon, kun vtataan yksttäsn muuttujn. Näden kääntesmuunnokset ovat q = q (Q, P, t) p = p (Q, P, t). (7.43) Jos nyt on olemassa funkto K(Q, P, t) sten, että kanonset yhtälöt Q = K P P = K (7.44) Q kuvaavat systeemn lkettä, nn muunnoksa kutsutaan kanonsks muunnoksks. Funktota K kutsutaan joskus Kamltonn funktoks kuvastamaan stä, että se on kanonsest muunnettu Hamltonn funkto. Huom. Vakka kanonnen muunnos tehdäänkn, jotta päästäsn tarkasteltavan ongelman kannalta mahdollsmman tehokkasn koordnaattehn, e muunnos saa rppua ongelmasta (el H:sta). Jos esmerkks halutaan kuvalla kaksulottesta helura uusssa koordnaatessa, nn nden avulla on pystyttävä formulomaan myös Keplern lke kahdessa ulottuvasuudessa. (Täytyy ss olla mahdollsta löytää myös Keplern ongelmaa vastaava Kamlton oskllaattorlle kehtetyssä koordnaatessa.) Tämä e tetenkään tarkota, että koordnaatten tarvtss olla mtenkään ertysen hyvä tähän toseen ongelmaan Generovat funktot Koska Hamltonn yhtälöt ovat sopusonnussa modfodun Hamltonn peraatteen kanssa, vodaan kanonsest muunnetulle koordnaatelle krjottaa δ t2 t 1 ( P Q K) dt = 0. (7.45) Tämän ntegrada vodaan ptää uutena Lagrangen funktona. Jotta yhtälöt kuvasvat samaa systeemä, uus ja vanha Lagrangen funkto saavat erota tosstaan addtvsella vakolla, vakokertomella ta jonkn funkton G akadervaatalla. Nästä kaks ensmmästä ehtoa ovat muunnoksna trvaaleja, joskn muunnoksen skaalaamnen vakokertomella tuo ongelman kästeltäessä Possonn sulkuja, joten suljetaan nämä tapaukset tarkastelun ulkopuolelle.

10 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 121 Mahdollsuus lsätä muunnokseen jonkn funkton akadervaatta osottautuu erttän tehokkaaks työkaluks. Krjotetaan tämä ehto muodossa p q H = P Q K + dg dt. (7.46) Funktota G kutsutaan muunnoksen generovaks funktoks. Tässä yhtälössä on 4n kappaletta muuttuja, mutta koska P :t ja Q:t rppuvat muuttujsta p ja q, jäljelle jää van 2n rppumatonta muuttujaa. Tämän ansosta vodaan generaattorn muuttujks valta ongelman ratkasulle sopvn par joukosta (q, Q), (q, P ), (p, Q), (p, P ). Vastaava muunnoksen generova funktota merktään alandeksellä 1 4. Yksnkertasn mahdollnen kanonnen muunnos on koordnaatston muunnos q Q(q). Tämä on ss edellä manttu pstemuunnos. Se on erkostapaus muunnoksesta, jonka genero funkto G = G 2 (q, P, t). Tutktaan ensn muunnoksa, jotka genero tyyppä G = G 1 (q, Q, t) oleva funkto. Tämän kokonasakadervaatta on dg 1 = ( G1 q + G ) 1 Q + G 1 dt q Q t. (7.47) Nyt kaavasta (7.46) tulee p q H = P Q K + ( G1 q + G 1 Q Q ) + G 1 t. (7.48) Srretään kakk termt yhtälön vasemmalle puolelle ja kerätään rppumattomen funktoden q ja Q kertomet yhteen, jollon saadaan yhtälö ( p G ) 1 q ( P + G ) ( 1 Q + H K G ) 1 = 0. q Q t (7.49) Tämä toteutuu denttsest, kun p = G 1 (7.50) P = G 1 Q (7.51) K = H + G 1 t (7.52) kaklla = 1,..., n. Tässä 2n + 1 yhtälön rytäkässä ss G 1 on joku tunnettu funkto. Sen avulla vodaan esmerkks n:n yhtälön ryhmästä (7.51) ratkasta q = q (Q, P, t) ja sjottamalla tämä n:n yhtälön ryhmään (7.50) saadaan puolestaan yhtälöt p = p (Q, P, t). (Tämä vodaan tehdä myös pänvaston, jos halutaan lausekkeet P :lle ja Q :lle.) Lopuks sjotetaan p :t ja q :t H:n lausekkeeseen, jonka jälkeen mellä onkn lauseke K:lle. El G 1 on generonut kanonsen muunnoksen. Stä nmtys. Huom. Kanonsen muunnoksen johtamnen annetusta generovasta funktosta on ss suoravvanen tehtävä. Paljon hankalampaa on löytää generaattor annetulle muunnokselle.

11 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 122 Kun kerran on päästy alkuun, nn muden rppumattomen muuttujaparen generovat funktot löytyvät tekemällä G 1 :lle Legendren muunnokset: Muuttujaparlle (q, P ): G 2 (q, P, t) = G 1 + P Q. (7.53) Muuttujaparlle (p, Q): G 3 (Q, p, t) = G 1 p q. (7.54) Muuttujaparlle (p, P ): G 4 (p, P, t) = G 1 + P Q p q. (7.55) Nälle on suoravvanen tehtävä johtaa ( ):n kaltanen yhtälöryhmä krjottamalla kunkn G :n kokonasakadervaatta ja sjottamalla se lausekkeeseen (7.46). Esmerkks G 2 :lle saadaan p = G 2 (7.56) Q = G 2 P (7.57) K = H + G 2 t (7.58) ja loput jääkööt harjotustehtävks. Nyt on tärkeää ymmärtää, että jokanen G ( = 1,..., 4) ptää ssällään rajattomast erlasa muunnoksa, jotka soveltuvat er tlantessa. Alandekset vttaavat van shen, mnkätyyppseen muuttujajoukkojen parn lopulta päädytään. Esmerkkejä Mllasa muunnoksa edellä estetyt kanonset muunnokset oken ovat? Tarkastellaan ensks generovaa funktota G 1 = q Q. Yhtälöstä ( ) näkee suoraan, että p = Q P = q Kanonsessa formalsmssa vodaan ss haluttaessa muuntaa koordnaatteja mpulsssuureks ja pänvaston. Tarkastellaan stten generovaa funktota G 3 = p Q. q = G 3 p = Q P = G 3 Q = p

12 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 123 el nän määrtelty G 3 genero denttettmuunnoksen. Saman tekee G 2, jos se määrtellään lausekkeella G 2 = q P. Vahtamalla näden generaattoreden etumerkt, saadaan puolestaan muunnos, joka anoastaan muuttaa muuttujen etumerkt el kääntää faasavaruuden koordnaattakselen suunnat pänvastasks. Palataan stten jo aemmn manttuun pstemuunnokseen ja tarkastellaan generovaa funktota G = G 2 (q, P, t) Q P. Nyt p q H = = + P Q K + dg dt P Q K + ( G2 q + G ) 2 P P Q P P Q + G 2 t, josta seuraa ( p G ) 2 q + q ( Q G ) 2 P P ( H K + G ) 2 = 0. t Nän on saatu G 2 = p (7.59) G 2 P = Q (7.60) K = H + G 2 t. (7.61) Valtaan nyt G 2 (q, P, t) = j P j Q j (q, t), (7.62) mssä Q j :t ovat muuttujen q ja t funktota. Tällön Q = Q (q, t), p = j P j Q j. (7.63) Nästä ensmmänen on selväst pstemuunnos el muunnos, jollasa on tehty ptkn matkaa Lagrangen mekankassa. Jälkmmäsen vo puolestaan kääntää: P = P (q, p, t). Lasekkeen (7.62) määrttelemä muunnos on yks (mutte anoa) pstemuunnoksen Q = Q (q, t) generova funkto. Jos velä Q = q kyseessä on dentteettmuunnos. Harmonnen oskllaattor Ratkastaan mallks kanonsten muunnosten käytöstä vanha tuttu harmonnen oskllaattor. Sen Hamltonn funkto on H(q, p) = p2 2m mω2 0q 2.

13 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 124 Yrtetään löytää muunnos syklseen koordnaattn Q ja kokellaan erttän jälkvsaast, löytyskö muotoa oleva kanonnen muunnos. Nyt p = f(p ) cos Q q = f(p ) mω 0 sn Q K = H p(q,p ),q(q,p ) = f 2 (P ) 2m (cos2 Q + sn 2 Q) = f 2 (P ) 2m. Mutta mkä f(p ) on? Jaetaan muunnosyhtälöt puolttan, jollon p = qmω 0 cot Q = p(q, Q) el muunnos on tyyppä G 1 (q, Q) ja p = G 1 / q = qmω 0 cot Q, joten ntegromalla saadaan generovaks funktoks Nyt G 1 (q, Q) = 1 2 mω 0q 2 cot Q. P = G 1 Q = mω 0q 2 2 sn 2 Q. Ratkastaan stten alkuperäset kanonset muuttujat uusen muuttujen avulla 2P q = sn Q mω 0 p = 2mω 0 P cos Q, joten etstty f(p ) = 2mω 0 P. Koska G e rpu ajasta K = H = E ja K = ω 0 P cos 2 Q + ω 0 P sn 2 Q = ω 0 P. Tästä saadaan suoraan P = E/ω 0. Koska H e rpu Q:sta, Q on syklnen koordnaatt ja se löytyy kanonsesta lkeyhtälöstä Q = K P = ω 0. Tämä on trvaal ntegrotava: Q = ω 0 t+ϕ 0. Ss fksust valttu kanonnen muunnos on tehnyt muunnetusta mpulsssta suureen energa/taajuus ja valnnut koordnaatks oskllaattorn vahekulman. Sjotetaan nämä nyt q:n lausekkeeseen ja olemme löytäneet tutun ratkasun. 2E q = sn(ω 0 t + ϕ 0 ). mω 2 0 Edellä q:ta ratkastaessa ols tetenkn votu valta myös mnus-merkk. Se ols srtänyt oskllaattorn vahetta tekjällä π. No mtäs loa tästä stten ol? Okeastaan koko ongelma ol ratkastu, kun löydettn sopva generaattor. Anoa ntegront ol vakon ntegront ajan suhteen, jota e vo ptää kovn vaatvana tehtävänä. Kuten jo aemmn todettn muunnoskaavojen laskemnen generaattorsta on suoravvanen tehtävä, mutta generaattorn keksmnen näppärää muunnosta varten onkn jo vakeampaa.

14 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA Infntesmaalset kontaktmuunnokset Tarkastellaan seuraavaks ajasta rppumattoma nfntesmaalsa muunnoksa Q = q + δq P = p + δp. (7.64) Kyseessä on ss nfntesmaalsen lähellä dentteettmuunnosta oleva muunnos. Sellasen vo generoda esmerkks funktolla G 2 = q P + ε G(q, P ), (7.65) mssä ε on nfntesmaalnen parametr. G 2 -tyyppselle generaattorlle joten Nyt p = G 2 Q = G 2 P = P + ε G = q + ε G P, (7.66) δp = ε G δq = ε G P. (7.67) ( G(q, P ) = G q, p ε G ) G(q, p) G(q, p) G(q, p) ε. p joten muunnosyhtälössä G(q, p) δp = ε + O(ε 2 ) δq = ε G(q, p) P + O(ε 2 ). (7.68) Jätetään suuruusluokkaa O(ε 2 ) olevat termt pos, jollon G(q, P ) = G(q, p). Koska G:tä e ole rajotettu sen tarkemmn, vodaan valta G(q, p) = H(q, p), (7.69) jollon ε on luonnollsta tulkta peneks ajallseks srrokseks dt. Tällön δq = dt H p = q dt = dq δp = dt H = ṗ dt = dp (7.70) Ss G el tässä tapauksessa Hamltonn funkto H genero muuttujen {q} ja {p} joukossa kanonsen muunnoksen, joka vodaan ymmärtää systeemn lkkeeks akavälllä dt faasavaruudessa (q, p). Hamltonn funkto vodaan sten tulkta lkkeen nfntesmaalseks generaattorks ja

15 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 126 systeemn dynaamnen kehtys on jono perättäsä kontaktmuunnoksa. Tälläkn löydöllä on hyödyllnen vastneensa kvanttmekankassa, jossa systeemn akakehtystä kuvataan Hamltonn operaattorn avulla. Tarkastellaan stten, kunka joku annettu funkto f(q, p) muuntuu tällasessa kontaktmuunnoksessa. Ensnnäkn δf = f(q + δq, p + δp) f(q, p) (7.71) ja toseks δf = f δq + f p δp. (7.72) Ilmastaan δq ja δp generaattorn G avulla δf = ε ( f ε G f ε G ) = ε [f, G]. (7.73) q p p Valtaan stten ajasta rppumattoman systeemn Hamltonn funkto H funktoks f el δh = ε [H, G]. Nyt G:n lkeyhtälö on kaavan (7.40) mukasest dg dt = [G, H] + G t. (7.74) Jos nyt G on ajasta rppumaton ( G/ t = 0) ja lkevako (dg/dt = 0), nn [G, H] = 0 δh = 0. Tällön ss H on nvarantt. Tämän vo tulkta nn, että ajasta rppumattomat lkevakot ovat sellasten kontaktmuunnosten generaattoreta, jotka jättävät H:n nvarantks. Tämä vo auttaa lkevakoden etsmsessä Kanonset muunnokset ja Possonn sulut Osotetaan seuraavaks, että Possonn sulut ovat nvarantt kanonsssa muunnokssta el [f, g] q,p = [f, g] Q,P. (7.75) Stten vaan reppaast laskemaan [f, g] q,p = ( f g f ) g q p p = { ( f g Q j + g ) P j + q,j Q j p P j p f ( g Q j + g )} P j p Q j P j = ( g [f, Q j ] Q q,p + g ) [f, P j ] j j P q,p. (7.76) j Sovelletaan tätä tulosta sulkuhn [Q, f] q,p el lasketaan [Q, f] q,p = j ( f [Q, Q j ] Q q,p + f ) [Q, P j ] j P q,p. (7.77) j

16 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 127 Nyt ptää selvttää, mtä ovat [Q, Q j ] q,p ja [Q, P j ] q,p. Lähdetään lkkeelle nfntesmaalsesta kontaktmuunnoksesta G 2 = q P +ε G(q, P ), jolle olemme jo johtaneet tulokset Q = q + ε G P P = p ε G. Nyt saadaan suorlla laskulla (rajalla ε 0) [ [Q, Q j ] q,p = q + ε G, q j + ε G ] P P j [ = q, ε G ] [ + ε G, q j p j p = ε ( 2 G p p j 2 G p j p ] + O(ε 2 ) ) + O(ε 2 ) = O(ε 2 ) = 0, (7.78) ja [Q, P j ] q,p = [ q + ε G = δ j + = δ j + ε, p j ε G ] P q j ] + [ ε G, p j p ( 2 G p q j [ q, ε G q j 2 G q j p ] + O(ε 2 ) ) + O(ε 2 ) = δ j. (7.79) Vakka tämä onkn todstettu van G 2 -tyyppä olevan generaattorn tuottamalle kanonselle muunnokselle, tulos on ylespätevä. Vomme nmttän tehdä ensn kanonsen muunnoksen ajasta rppumattomaan systeemn (q, p) (Q(q, p, t 0 ), P (q, p, t 0 )), jolle Possonn sulkujen nvaranss löytyy näppäräst. Funktota g vodaan nmttän sllon ptää jonkn kuvtteellsen systeemn Hamltonn funktona, joten [f, g] q,p = df/dt. Koska nyt df/dt e vo rppua koordnaatten (q, p) valnnasta, nvaranss on totta. Tämän jälkeen systeemn akakehtys hetkestä t 0 hetkeen t vodaan tulkta jonoks nfntesmaalsa kontaktmuunnoksa, jolle jokaselle relaatot (7.78 ja 7.79) ovat vomassa. Nänollen ne ovat vomassa mlle tahansa kanonselle muunnokselle (q, p) (Q(q, p, t), P (q, p, t)). Sjottamalla nämä relaatot yhtälöön (7.77) saadaan [Q, f] q,p = f P, mstä seuraa tetenkn [f, Q j ] q,p = f/ P j ja vastaavast [f, P j ] q,p = f/ Q j. Sjottamalla nämä yhtälön (7.76) vmeseen lausekkeeseen on nvaranss (7.75) todstettu. Tästä seuraa, että vomme suorttaa laskutomtuksen käyttäen melesä kanonsa muuttuja ja luottaa shen, että lopputulos on oken.

17 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 128 Possonn sulkujen nvaranssn vo tse asassa ottaa kanonsen muunnoksen määrtelmäks. Jos ss on tarve todstaa joku muunnos kanonseks, rttää osottaa, että (7.75) toteutuu. Jos olsmme alunpern kelpuuttaneet kanonsks myös sellaset muunnokset, jossa (7.46):n vasen puol kerrotaan jollan vakolla, ylläoleva tulos e ols vomassa el Possonn sululla ols er numeroarvo er koordnaatstossa. 7.5 Hamltonn-Jacobn teoraa Hamltonn lkeyhtälöden ratkasut ovat muotoa q = H p ; ṗ = H q = q (q 0, p 0, t) p = p (q 0, p 0, t), (7.80) mssä p 0 ja q 0 ovat ntegromsvakota, esm. kanonsten muuttujen q ja p alkuarvojoukot. Nämä yhtälöt vodaan kääntää, jollon q 0j = q 0j (q, p, t) Q j p 0j = p 0j (q, p, t) P j. (7.81) Tämä vodaan tulkta kanonsena muunnoksena (q, p) (Q, P ). Nyt uudet muuttujat ovat vakota (ongelman alkuarvot), joten Hamltonn yhtälöt nälle muuttujlle krjotettuna ovat Q j = K P j = 0 P j = K = 0 (7.82) Q j el muunnettu Hamltonn funkto K e rpu uussta muuttujsta ja on sten vako, joka vodaan asettaa denttsest nollaks. Otetaan stten käyttöön generova funkto G 2 = S = S(q, P, t), jolle on vomassa K = H(q, p, t) + S t = 0. (7.83) Tosaalta muotoa G 2 olevalle generaattorlle on vomassa p = S Q = S P. (7.84) Merktään Q β ja P α, jotka nyt ovat vakota. Nnpä S = S(q, α, t) el S on n+1:n muuttujan (q 1,..., q n, t) funkto. Olemme päässeet yhtälöön H(q, S S, t) + q t = 0. (7.85)

18 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 129 Tämä yhtälö tunnetaan nmellä Hamltonn-Jacobn yhtälö. Se on ss n+1:n muuttujan ensmmäsen kertaluvun osttasdfferentaalyhtälö funktolle S. Funktota S kutsutaan Hamltonn prnspaalfunktoks (mkä on kökkö suomennos englannnkelsestä termstä prncpal functon). Funkto S genero kanonsen muunnoksen, jossa muunnetut koordnaatt ja mpulsst ovat vakota. Nyt tarkasteltavan ongelman ratkasuproseduur on lmenen. Ratkastaan ensn funkto S = S(q, α, t), jonka jälkeen saadaan lasketuks suoraan β = S α (q, α, t). Nämä yhtälöt antavat systeemn radan mplsttmuodossa. Kääntämällä yhtälöt päästään ss radan lausekkesn q = q(α, β, t), joten mellä on ss systeemn rata konfguraatoavaruudessa {q} alkuarvoneen pävneen. Ongelman anoa vakea tehtävä on ratkasta S; mekaansen ongelman ratkasu on ss Hamltonn-Jacobn teorassa sama asa kun sopvan kanonsen muunnoksen löytämnen! Konservatvsessa tapauksessa H = p2 2m + U(r) ja p = S el komponenttmuodossa p Jacobn yhtälö saa muodon = S/ r. Nyt Hamltonn- 1 2m ( S)2 + U(q) + S t = 0. (7.86) Konservatvselle systeemlle H = E, joten E + S/ t = 0, joka on trvaal ntegrotava S = S q (q, α) Et. (7.87) Funkto S separotuu ss pakka- ja akaosnsa. α:t ovat systeemn lkevakota ja koska S q väksnkn rppuu E:stä, kannattaa yhdeks α:ks valta E. on S:n akadervaatta ptkn systeemn rataa (n-ulottesessa q-avaruudessa) ds dt = S q + S t = p q H = L. (7.88) Tästä seuraa S = L dt + vako, joten Hamltonn peraate vodaan krjottaa δs = 0. Nän e onnstuta määräämään S:ää, sllä tässähän rata täytyy tuntea ennestään, mutta yhtälö antaa kutenkn fyskaalsen tulknnan funktolle S: kyseessä on selväst Hamltonn vakutusntegraal. Harmonnen oskllaattor Esmerkknä ongelman ratkasemsesta Hamltonn-Jacobn teorassa tarkastellaan jälleen tuttua lneaarsta harmonsta oskllaatora, jonka Hamltonn funkto on H = p2 2m kq2 = E.

19 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 130 Hamltonn-Jacobn yhtälöks tulee 1 2m ( ) S q 2 kq2 + S t = 0. Koska systeem on konservatvnen, etstään ratkasua edellä estetyn nnottamana yrtteellä S = S q (q, E) Et, jollon 1 2m Integrotava yhtälö on ss joten S q q = S = mk ( ) 2 Sq + 1 q 2 kq2 = E. mk ( ) 2E k q2. 2E dq k q2 Et. Lasketaan stten kanonnen koordnaatt β el Q β = S m E = k ( ) 2E 1/2 dq k q2 t, josta ( ) m k β + t = k arccos q. 2E Nyt ω 0 = k/m on tetenkn oskllaattorn taajuus ja olemme saaneet tutun tuloksen 2α q = k cos ω 0(t + β). Muunnetun systeemn kanonset muuttujat ovat ss Q = β ja P = E ovat lkevakoota, jotka rppuvat oskllaattorn alkuarvosta, mutta evät selvästkään ole q(0) ja p(0). Keskeslke Tonen tostuva esmerkk on tetenkn lke keskesvomakentässä. Pallokoordnaatston tasossa θ = π/2 Hamltonn funkto on ( ) H(r, ϕ, p r, p ϕ ) = 1 p 2 r + p2 ϕ 2m r 2 + U(r). Koska systeem on konservatvnen S = S q (r, ϕ, α) α 1 t, mssä α 1 = E ja Hamltonn-Jacobn yhtälöks tulee 1 (( r S q ) 2 + ( ϕs q ) 2 ) 2m r 2 + U(r) = α 1. Nyt ϕ on syklnen koordnaatt, joten p ϕ =vako= l α 2 ja ϕ S q = α 2. Tämän ntegraal on muotoa S q = S r (r; α) + ϕα 2

20 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 131 ja ( ) 1 ( r S r ) 2 + α2 2 2m r 2 + U(r) = α 1. Ratkastaan jälkmmäsestä r S r el S r r = 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 Integrodaan tämä ja sjotetaan lausekeeseen S = S q α 1 t = S r +ϕα 2 α 1 t el S = dr 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 + ϕα 2 α 1 t. Kanonset koordnaatt β 1 ja β 2 ovat β 1 = S = α 1 β 2 = S α 2 = m dr 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 t α 2 dr + ϕ. r 2 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 Nämä antavat lkeradan yhtälöt muodossa r(t, α, β) ta ϕ(t, α, β). 7.6 Vakutus- ja kulmamuuttujat Mekaanset systeemt ovat usen tavalla ta tosella perodsa. Harmonnen oskllaattor on ollut tällä kursslla esmerkknä jo lankn monta kertaa, planeettojen radat ovat anakn melken perodsa, klasssessa kuvassa elektront kertävät atomen ytmä, atomt värähtelevät molekyylessä, molekyylestä rakentuva ane johtaa paneaaltoja ja nn edelleen. Perodnen lke vodaan jakaa kahteen perustyyppn: lbraato, jossa systeem helahtelee tasapanoasemansa ympär, ja rotaato, jossa systeem tekee täysä kerroksa. Tällasa tlanteta tarkasteltaessa srrytään usen vakutus- ja kulmamuuttujn. Edellä kästellyssä Hamltonn-Jacobn menetelmässä päädyttn käyttämään kanonsna mpulssena ntegrontvakota α. Merkntöjen yksnkertastamseks krjotetaan α = {α }. Otetaan käyttöön vakutusmuuttujat J (α), jotka määrtellään kaavolla J = p dq kaklla = 1,..., n, (7.89) mssä q :t ovat perodsa muuttuja, ntegront on kunkn täyden perodn yl ja merktään jatkossa jälleen J = {J }. Rajotutaan lsäks sellasn konservatvsn systeemehn, joden edellä estelty S-funkto separotuu täydellsest q-koordnaatessa el S q = S q (q ; α). Edellsen jakson perusteella p = S q /, joten J (α) = Sq (q ; α) dq (7.90)

21 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 132 kaklle. Tässä e tetenkään oleteta summausta :n yl. Integront antaa ss J :n α :tten funktona, josta vodaan kääntää tulos Tämän ansosta S q vodaan lmasta muodossa α = α (J). (7.91) S q = S q (q, J). (7.92) Nyt H = E el vako ja sten anoastaa vakoden {J} funkto H = H(J). (7.93) Samaan tapaan kun edellä määrteltn kanonset muunnokset (β = S/ α ), määrtellään vakutusmuuttuja J vastaavat kulmamuuttujat lausekkeella w = S q J. (7.94) Tämä vastaa kanonsta muunnosta (q, p) (w, J), jonka genero S q (q, J). Koska systeem on konservatvnen, H = E = α 1 (J). Muunnos e rpu ajasta, joten K = H(J), mkä e ole w:n funkto, el kulmamuuttujat ovat syklsä koordnaatteja. Nyt kanonsks lkeyhtälöks tulee joten Ss w :t ovat ajan lneaarsa funktota. ẇ = H J ν (J) = vako, (7.95) w = ν (J)t + β. (7.96) Nyt vodaan esttää kysymys, paljonko kulmamuuttuja w muuttuu, kun koordnaatt q tekee täyden sykln (joko edestakasen helahduksen ta täyden kerroksen)? Lasketaanpa w = j w q j dq j = j 2 S q q j J dq j = j pj J dq j. (7.97) Koska J :t ovat vakota, nden suhteen otetut dervaatat vodaan ottaa ntegraaln ulkopuolelle ja saamme tuloksen w = d p j dq j = dj j = 1. (7.98) dj j dj j Ss kulmamuuttuja kasvaa yhden ykskön täyden perodn akana. Merktään perodn ptuutta τ :lla, jollon w = ν τ = 1. (7.99) Vako ν on ss perodn kääntesluku el q :n perodsen lkkeen taajuus. Vakutus-kulmamuuttujen avulla vodaan ss määrätä lkkeen perod ratkasematta systeemn lkerataa. Vakutusmuuttujan J määrttely-yhtälöstä näkyy suoraan, että J:n dmenso on sama kun mpulssmomentn dmenso [J] = [qp]. Nnpä

22 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 133 sen kanonsen konjugaatn el kulmamuuttujan dmenso on juur kulman dmenso, mkä SI-ykskössä on ykkönen. Tällasa luonnollsa kanonsa konjugaattpareja ovat ss (r, p), (θ, L ), (t 0, E) jne. Kvanttmekankassa nähn parehn lttyy Hesenbergn epätarkkuusperaate el mtä tarkemmn parn tonen jäsen tedetään, stä suuremp epätarkkuus lttyy parn toseen jäseneen. Mutta fyskaalslta perusteltaan se on jo tonen tarna. Manttakoon velä, että jossan klasssen mekankan oppkrjossa juur vakutus-kulmamuuttuja kutsutaan kanonsks muuttujks (esm. Landau Lfshtz). Harmonsen oskllaattorn perod Nällä työkalulla onnstumme määrttämään harmonsen oskllaatorn perodn ratkasematta sen lkettä. Hamltonn funkto on ss Nyt J = H = p2 2m kq2 = E. p dq = 2E mk k q2 dq. Integraal yksnkertastuu sjotuksella q = 2E/k sn θ, jollon m 2π m J = 2E cos 2 θ dθ = 2πE k 0 k. Koska H = E, saadaan H = J k 2π m, joten H J = ν = 1 k ( = ω ) 0 2π m 2π Tämä tulos tetenkn ptkn saada Kanonsta häröteoraa Fyskaalsten systeemen lkeyhtälöt ovat usen e-ntegrotuva. Vakka yhtälöt vodaan johtaa esm. Hamltonn-Jacobn teoralla, nden ntegromnen analyyttsest e välttämättä onnstu. Monest systeemn ntegrotumattomuus johtuu lkeyhtälön termestä, jota vo approksmoda pennä. Kuten epälneaarsten oskllaattoreden yhteydessä opttn, hyödyllnen tapa kästellä systeemn lkettä on tällön häröteora. Oletetaan, että fyskaalsen systeemn dynamkka vodaan esttää ntegrotuvalla Hamltonn funktolla, johon on lsätty joku pen härö. Tätä menetelmää käytetään esmerkks tavaanmekankassa. Maan rata Aurngon ympär on ntegrotuva systeem, johon lähnnä Mars ja Jupter tuottavat härötä. Häröt ovat kutenkn varsn penä. Tarkastellaan häröteoraa kanonsen formalsmn kenon, jollon stä kutsutaan kanonseks häröteoraks. Sen dea on seuraavanlanen.

23 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 134 Kuvallaan systeemn Hamltonn funktota ntegrotuvalla osalla H 0 ja penellä häröllä H H = H 0 + H. (7.100) Jätetään aluks H huomotta ja muunnetaan H 0 kanonsest käyttäen tyyppä G 2 (q, P, t) olevaa generovaa funktota S 0 (q, P, t) sellasn kanonsn muuttujn (Q, P ), jolla K 0 (Q, P ) = 0. Hamltonn-Jacobn teoran perusteella funkto S 0 toteuttaa yhtälön H 0 (q, S 0 q, t) + S 0 t = 0. (7.101) Hamltonn yhtälöden mukaan sllon uudet muuttujat Q 0 ja P 0 ovat lkevakota. Tehdään stten sama kanonnen muunnos Q(q, P, t) = S 0 P (q, P, t) (7.102) p(q, P, t) = S 0 (q, P, t) (7.103) koko Hamltonn funktolle H = H 0 + H, jollon saadaan muunnettu Hamltonn funkto K(Q, P, t) = H + S 0 t = H(q(Q, P, t), p(q, P, t), t) (7.104) joka on ss nyt koko systeemn Hamltonn funkto uusssa koordnaatessa (Q, P ). Tämän avulla vodaan antaa Hamltonn lkeyhtälöt uuslle koordnaatelle: Q = K(Q, P, t) (7.105) P P = K(Q, P, t). (7.106) Q Pelkkä kanonnen muunnos e tetenkään tee systeemmstä ntegrotuvaa, mutta nyt vomme käyttää hyväks stä, että härö on pen ja uudet muuttujat nän lkman vakota. Dervonten jälkeen sjotetaan yhtälön okealle puolelle (Q, P )-muuttujks häröttömät muuttujat (Q 0, P 0 ). Tämän jälkeen yhtälöt ntegrodaan ajan suhteen ja saadaan ensmmäsen kertaluvun ratkasut uuslle koordnaatelle Q = Q 1 (t, Q 0, P 0 ) ja P = P 1 (t, Q 0, P 0 ). Välttömäst huomataan, että medän e välttämättä tarvtse pysähtyä tähän. Ensmmäsen kertaluvun ratkasuthan vodaan nyt sjottaa lkeyhtälöden ( ) okealle puolelle, jollon yhtälöt saadaan edelleen ntegrotua. Tämä johtaa tosen kertaluvun ratkasuhn Q 2 (t, Q 0, P 0 ) ja P 2 (t, Q 0, P 0 ) ja nn edelleen. Iteraatoprosess vodaan krjottaa muodossa Q +1 = ( K) P (Q, P, t) (7.107) P +1 = ( K) Q (Q, P, t), (7.108) mssä dervonnn jälkeen tehdyt sjotukset on merktty näkyvn. Huom. Tässä ndekst vttaavat ss terontkerrokseen evät muuttujajoukkojen P ja Q elementtehn, jota on n kapaletta kumpakn!

24 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 135 Perheln kertymä Tarkastellaan esmerkknä planeetan perheln suunnan kertymstä. Ertoten Merkuruksen perheln kertymä on ollut hstorallsest tärkeä, koska sllä ol merkttävä asema ylesen suhteellsuusteoran todentamsessa. Bertrandn teoreeman tunnetun tuloksen mukaan ympyräratojen häröt johtavat tosessa kertaluvussa suljettuhn ratohn van Keplern ( (1/r)) ja Hooken ( r 2 ) potentaalen tapauksessa. Nässä tlantessa radat ovat suljettuja ja Keplern lkkeessä perheln suunta on vako. Planeettakunta e kutenkaan ole kahden kappaleen ongelma. Toset planeetat härtsevät tarkasteltavan planeetan lkettä ja seurauksena on planeetan perheln kertymä. Hamltonn funkto on nyt H = H 0 + H(r, ϕ, t) ( ) = 1 p 2 r + p2 ϕ 2m r 2 k r + H(r, ϕ, t). Olemme jo aemmn ratkaseet radan Hamltonn-Jacobn teorassa lman härötermä β 1 = S m dr = t α 1 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 α 2 dr = + ϕ, β 2 = S α 2 r 2 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 mssä nyt U(r) = k/r, α 1 = E P 01 ja α 2 = p ϕ = l = P 02. Nän saadaan muunnetuks koordnaateks m dr Q 01 = ( 2m P 01 + k ) t, P 02 2 r r 2 joka antaa ajan pakan funktona t = t(r 0 ), ja P 02 dr Q 02 = ( r 2m 2 P 01 + k ) P 02 2 r r 2 + ϕ, joka puolestaan antaa pakan radan vahekulman avulla el mssä p = P 2 02 mk = r = r 0 (ϕ) = p 1 + ɛ cos(ϕ Q 02 ), l mk ; ɛ = 1 + 2P 01P02 2 mk 2 = 1 + 2El2 mk 2. Rataelementtenä lmastuna Q 01 = τ el perhelaka, Q 02 = ϖ el perheln ptuus ja ɛ tetenkn radan eksentrsyys.

25 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 136 Nyt ϖ = K/ l, joten ϖ = l T 0 K dt = l 2π 0 H(r 0, ϕ 0, t 0 ) mr 2 0 l mssä jälkmmäsessä yhtälössä on käytetty tetoa l = mr 2 0 ϕ. dϕ, Jos esmerkks härö-hamlton on muotoa H = C/r 2, saadaan perheln ptuudeks ϖ == l 2π 0 H(r 0, ϕ 0, t 0 ) mr 2 0 l dϕ = l 2πmC l = 2πmC l 2. Sovelletaan tätä stten Merkuruksen rataan. Havantojen mukaan planeetan perhel kertyy 5600 /100 a (ss kaarsekunteja 100 vuodessa). Suurmman osan tästä (5026 /100 a) aheuttaa kevättasauspsteen prekesso, joten todellsta perheln kertymää on 574 /100 a. Muden planeettojen aheuttamat häröt ovat muotoa GM m H(r, ϕ, t) =, r 2 + R 2 2rR cos ψ mssä R = R (t) on planeetan rata ja ψ = (r, R ). Numeerset laskut, jossa huomodaan kakken muden planeettojen häröt antavat yhdessä keskmääräsen kertymänopeuden ϖ = 531 /100 a. Tämä tulos tunnettn jo 1800-luvulla ja puuttuvlle 43 vuossadassa etsttn kuumesest seltystä. Hyvn suosttu seltysyrtys ol oletus Merkuruksen radan ssäpuolella olevasta planeetasta, jolle annettn nmeks Vulkanus. Vulkausta e kutenkaan löytynyt. Vuonna 1916 Ensten julkas ylesen suhteellsuusteoransa, jonka mukaan avaruuden kaareutumnen tuo velä yhden korjaustermn, joka on muotoa H = h/r 3. Tämä antaa kertymän ϖ == l 2π Suhteellsuusteora antaa h:ks 0 mh (1 + ɛ cos ϕ) dϕ = 2πm 2 kh l p l l 3 = 6πm2 kh l 4. h = k c 2 l 2 m 2, mstä tulee juur tuo puuttuva 43 /100 a. Tämä ol yks ensmmäsä ylesen suhteellsuusteoran suura vottoja. Myös klpalevat gravtaatoteorat ennustvat perheln kertymää, muttevät okean suurusta. Kysymykseen perheln kertymästä jä kutenkn yks epävarmuustekjä, nmttän Aurngon mahdollsesta ltstymsestä johtuva vakutus. Aurngon muoto on vakea mtata tarkast, mutta parhaat nykyakaset havannot osottavat, että efekt on nn pen, ette se vakuta tähän tulokseen. 7.8 Adabaattset nvarantt Kvanttfyskan aamuhämärssä vuonna 1911 kerrotaan herrojen Lorentzn ja Enstenn pohtneen seuraavanlasta mekaansta ongelmaa. Olkoon mellä katosta rppuva helur, jonka vars on katossa olevasta

26 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 137 re ästä pujotettu lanka. Lankaa joko nostetaan ta lasketaan hyvn htaast helurn perodn verrattuna, jollon helurn vars joko lyhenee ta ptenee. On selvää, että tässä prosessssa helurn tehdään työtä ja sten sen kokonasenerga e säly. Lorentzn Enstenlle esttämä kysymys ol, mkäs tässä tlanteessa stten sälyy. Ensten vastas, että energa (E) on verrannollnen taajuuteen (ν) el J = E/ν on sälyvä suure. Tällasa melken perodsen systeemn jonkun parametrn (tässä tapauksessa helurn varren ptuuden) htaan muutoksen seurauksena sälyvä suureta kutsutaan adabaattsks nvaranteks. Tarkastellaan asaa Hamltonn mekankan välnellä. Systeemä kuvaavan parametrn λ hdas muutos vodaan esttää muodossa T dλ/dt λ, (7.109) mssä T on lkkeen jakso. Jos λ ols vako, systeem ols tarkast perodnen sälyttäen sekä energan että energasta rppuvan perodn. Olkoon nyt H(q, p; λ) systeemn Hamltonn funkto, joka ss rppuu ajasta rppuvasta parametrsta λ(t). Nyt de dt = H t = H dλ λ dt. (7.110) Okeanpuolenen lauseke rppuu myös nopeast oskllovsta muuttujsta q ja p. Koska tlannetta tarkastellaan htaast muuttuvan parametrn akaskaalassa, vodaan ylläolevasta lausekkeesta ottaa akakeskarvo perodsen lkkeen yl. Merktään tätä de dt = dλ dt H. (7.111) λ Koska λ muuttuu htaast, laskettaessa H:n keskarvoa rttää tarkastella pelkästään nopeta muuttuja q ja p. Okealla puolella oleva keskarvo on ss H = 1 λ T T 0 H λ dt. (7.112) Hamltonn lkeyhtälöstä q = H/ p seuraa ( ) H 1 dt = dq, (7.113) p joten perod T on T = T 0 dt = dq ( ) H 1. (7.114) p Energan muutoksen akakeskarvo vodaan nyt krjottaa muodossa de = dλ ( H/ λ) dq ( H/ p) 1. (7.115) dt dt dq ( H/ p) 1 Nyt on tärkeää mustaa, että osttasdervaattojen kyseessä ollen e vo automaattsest krjottaa ( H/ p) 1 = p/ H)! Nyt ntegronnt täytyy tehdä ptkn rataa q ptäen λ vakona. Sellasella radalla Hamltonn funkton arvo on vako E ja kanonnen mpulss p on koordnaatn q ja kahden vakoparametrn E ja λ funkto el p = p(q; E, λ). Tästä seuraa, että ( ) H 1 = p p E. (7.116)

27 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 138 Dervodaan yhtälöä H(q, p; λ) = E parametrn λ suhteen ( ) ( ) H H p λ + = 0 (7.117) p λ el H/ λ H/ p = p λ. (7.118) Edellä olevan mukasest nmttäjän ntegraalssa ( H/ p) 1 = p/ E, jollon saadan de = dλ ( p/ λ) dq, (7.119) dt dt ( p/ E) dq mkä vodaan saattaa muotoon ( p de E dt + p λ ) dλ dq = 0. (7.120) dt Sulkulauseke on p:n keskarvon akadervaatta, joten ntegraal on muotoa dj/dt = 0, (7.121) mssä J = p dq. (7.122) Olemme ss osottaneet, että J on vako, kun λ:aa muutetaan htaast el adabaattnen nvarantt. Nyt J on systeemn energan funkto. Dervodaan stä E:n suhteen J p E = dq = T, (7.123) E josta seuraa E J = ν. (7.124) Palataan stten takasn Lorentzn ja Enstenn helurn. Kyseessä on yksulottenen systeem, jonka lke vodaan kuvata kaksulottesessa faasavaruudessa (q, p). Perodsen systeemn rata faasavaruudessa on suljettu käyrä. Integraal J = p dq laskettuna käyrän ympär on sen ssään jäävä pnta-ala. Adabaattselle nvarantlle tämä pnta-ala on vako. Lorentzn ja Enstenn helurn Hamltonn funkto on H = p2 2m mω2 q 2, mssä ω on oskllaattorn omnastaajuus, mkä kutenkn tässä tapauksessa on htaast muuttuvan varren ptuuden funkto. Oskllaattorn radan faasavaruudessa määrää yhtälö H(p, q) = E. Rata on ellps, jonka puolakselt ovat 2mE ja 2E/mω 2. Ellpsn pnta-alaks tulee sllon J = E/ν, joka on nyt sälyvä suure el energa on verrannollnen taajuuteen, kuten Ensten ovals.

28 LUKU 7. HAMILTONIN MEKANIIKKA 139 Tämä esmerkk osottaa, että kunhan lke on rttävän lkperodsta, nn adabaattnen nvarantt on han okeast sälyvä suure ekä jokn lkarvo. Nyt energa e ole sälyvä suure, mutta koska energa on verrannollnen taajuuteen, nden suhde sälyy. Tämä on puolestaan juur adabaattnen nvarantt. Syy mks adabaattset nvarantt lmestyvät fyskkaan juur kvanttteoran kehttelyn alkuvahessa johtu stä, että rttävän htaat muutokset atomen ympärstössä, esm. sähkömagneettsssa kentssä evät aheuttaneet srtymä kvantttlojen välllä. Sten tällasssa muutoksssa sälyven adabaattsten nvarantten löytymnen ol tervetullutta. Nykypävän fyskassa adabaattsa nvarantteja hyödynnetään ertoten tutkttaessa varattujen hukkasten lkettä magneettkentssä kentssä kuten maapallon lähavaruus (esm. van Allenn sätelyvyöt), fuusolatteet, hukkaskhdyttmet, jne. Jos magneettkenttä muuttuu paljon htaammn kun hukkasen pyörmslke magneettkentän ympär, hukkasen magneettnen momentt on adabaattnen nvarantt. Tästä on suurta hyötyä esmerkks konstruotaessa varatusta hukkassta muodostuvan plasman koossaptolatteta, jotka ovat välttämättömä fuusoenergan tuottamseks.