Tiedonleviämisprosessi täydellisessä verkossa

Transkriptio

1 Tiedoleviämisprosessi täydellisessä verossa Pea Aalto Matematiia pro gradu -tutielma Jyväsylä yliopisto Matematiia ja tilastotietee laitos Sysy 213

2 Tiivistelmä Pea Aalto, Tideoleviämisprosessi täydellisessä verossa egl. Iformatio spreadig process i the complete graph, matematiia pro gradu -tutielma, 44 s., Jyväsylä yliopisto, Matematiia ja tilastotietee laitos, sysy 213. Tässä pro gradu -tutielmassa äsitellää jatuva-aiaista stoastista tiedoleviämisprosessia täydellisessä : solmu verossa. Tiedoleviämisprosessi taroittaa seuraavalaista prosessia. Alutilassa yhdellä vero solmulla o tieto. Prosessi uluessa tietävät solmut heräilevät satuaisilla ajahetillä. Herätessää tietävä solmu ottaa yhteyttä johoi toisee solmuu, jolle tietävä solmu siirtää tiedo. Kirjoitelmassa äsitellää tavallise tiedoleviämisprosessi yleistystä, jossa tietävä solmu ryhtyy levittämää tietoa todeäöisyydellä p. Muussa tapausessa, eli todeäöisyydellä 1 p, solmusta tulee passiivie uutelija, eiä se tällöi osallistu tiedo levitysee. Saturaatiohetesi saotaa ajaheteä, jolloi aii vero solmut ovat saaeet tiedo, ja iformoitihetesi ajaheteä, jolloi ysi iiitetty solmu o saaut tiedo. Kirjoitelmassa osoitetaa, että vero oo asvaessa äärettömää saturaatioheti asvaa vauhdilla 1 p log + log p ja iformoitiheti vauhdilla 1 p log p. Työssä osoitetaa myös taremmat jaaumaovergessi tuloset edellä maiituille ajahetille. Lisäsi moe eri solmu iformoitihetie asymptoottie riippuvuusraee selvitetää tarasti. Aalyyttise osuude lisäsi selvitetää simuloii avulla mite opeasti overgessi rajajaaumii suuillee tapahtuu. Työ alussa äydää melo attavasti läpi perusasiat Poisso-prosesseista seä esitellää lyhyesti umeroituva tila-avaruude jatuva-aiaiset Marov-prosessit. Kirjoitelmassa myös esitetää irjallisuutee pohjautue futioaalie suurte luuje lai Marov-prosesseille. Tämä tulose avulla tietylaiste Marov-prosessie äyttäytymistä voidaa approsimoida determiististe differetiaaliyhtälöide avulla. Kyseistä tulosta äytetää tässä irjoitelmassa tiedoleviämisprosessi yhteydessä. Marov-prosessie suurte luuje laii liittye äydää myös läpi Marov-prosessi esittämie tiety stoastise differetiaaliyhtälö rataisua. Avaisaat: täydellie vero, tiedoleviämisprosessi, SI-prosessi, epidemiamalli, Poisso-prosessi, jatuva-aiaie Marov-prosessi 2

3 Sisältö 1 Johdato 4 2 Poisso- ja Marov-prosessit Espoetti- ja Gumbel-jaauma Poisso-prosessi Marov-prosessi Suurte luuje lai Marov-prosesseille 12 4 Tiedoleviämisprosessi Saturaatioheti tavallisessa tiedoleviämisprosessissa Saturaatioheti oheetussa tiedoleviämisprosessissa Tiedoleviämie ysittäisille solmuille Tiedoleviämisprosessi yhteys satuaisii etäisyysii Kovergessi opeus Johtopäätöset 38 A Liite 39 3

4 1 Johdato Tiedoleviämisprosessi taroittaa seuraavalaista prosessia. Otamme esi äärellise jouo toimijoita, joita utsutaa tässä solmuisi. Solmuja voi ajatella esimerisi ysittäisiä ihmisiä. Alutilassa yhdellä solmulla o tieto. Prosessi uluessa solmut heräilevät satuaisilla ajahetillä. Herätessää solmu valitsee satuaisesti joi toise solmu, joho se ottaa yhteyttä. Miäli heräävällä solmulla o tieto, se lähettää tiedo eteepäi satuaisesti valitsemallee aapurisolmulle. Tällöi solmusta, jolle tieto lähetettii, tulee myös tietävä solmu, ja sei voi yt osallistua tiedo levitysee. Jos heräävä solmu lähettää tiedo solmulle, jolla tieto o jo valmiisi, ii tällöi lähetyshetellä ei tapahdu mitää. Tiedoleviämisprosessi tuetaa myös imellä SI-prosessi Susceptible, Ifected [19]. Tämä imi johtuu siitä, että tiedo tilalle prosessissa voi ajatella myös sairaude, eli sairastueet solmut alavat tartuttaa sairautta terveisii solmuihi. Tiedoleviämisprosessi o osa laajempaa epidemiamallie jouoa esim. [13]. Muita epidemiamalleja ovat esimerisi SIR-prosessi esim. [9] ja SIS-prosessi esim. [2]. SIRprosessissa Susceptible,Ifected,Removed/Recovered sairastueet solmut levittävät sairautta vai jou aiaa, joa jälee e poistuvat prosessista, eli paratuvat saade immuiteeti tautii tai uolevat. SIS-prosessissa solmut voivat paratua, mutta e voivat paratumise jälee sairastua uudellee. Tässä työssä ei tutita muita epidemiamalleja ui SI-prosessia. Sairaude leviämise lisäsi ysi täreä tiedoleviämisprosessi sovellus o iformaatio siirtymie tietoveroissa [14]. Tässä irjoitelmassa yleistetää tavallie tiedoleviämisprosessi site, että osa vero solmuista o passiivisia uutelijoita, jota eivät levitä tietoa eteepäi. Tätä prosessia utsutaa tässä työssä oheetusi tiedoleviämisprosessisi, ja tavallie tiedoleviämisprosessi saadaa se erioistapausea. Oheettu tiedoleviämisprosessi o siis eräälaie SI- ja SIR-prosessie välimuoto. Tässä työssä tutitaa tiedoleviämistä aioastaa täydellisessä verossa. Tämä taroittaa sitä, että miä tahasa solmu voi ottaa yhteyttä mihi tahasa toisee solmuu. Miää ei tietysti estäisi tutimasta tiedoleviämistä myös yleisemmässä ei-täydellisessä verossa, jossa aiie solmuje välillä ei välttämättä ole liiä. Tämä o uitei huomattavasti haalampaa. Ee varsiaista asiaa äsitellää perusasioita Poisso- ja Marov-prosesseista Luvuissa 2.2 ja 2.3. Luvussa 3 todistetaa irjaa [12] pohjautue Marov-prosesseille täreä raja-arvotulos, jota äytetää Luvussa 4.3. Luvuissa 4.1 ja 4.2 tarastellaa sitä, mite opeasti tieto leviää aiille solmuille. Tämä ajaheti voidaa ajatella myös etäisyyteä lähtösolmusta siitä auimpaa olevaa solmuu verossa, jossa liie pituudet vaihtelevat. Luvussa 4.3 tarastellaa sitä, mite opeasti joti ealta valitut solmut saavat tiedo. Vastaavasti tämä ajaheti voidaa ajatella etäisyyteä lähtösolmusta iiitettyihi solmuihi. Näille ajahetille sopivasti ormalisoitua johdetaa rajajaaumat vero oo asvaessa äärettömää. Luuje 4.2 ja 4.3 tulosia ei ole tietojei muaa esitetty muualla. Luvussa 4.4 selitetää taremmi mite tiedoleviämisaia liittyy edellä maiittuihi etäisyysii. Luvussa 4.5 tutitaa lyhyesti simuloii avulla, mite opeasti 4

5 overgessi rajajaaumii tapahtuu. Stoastiia perusasiat riippumattomuus, todeäöisyysavaruudet, satuaismuuttujat, ehdolliset odotusarvot etc. oletetaa tuetusi, eiä iihi puututa tässä. Meritöjä ja sopimusia Tässä irjoitelmassa tiedoleviämistä tutitaa tilateessa, jossa vero oo asvaa äärettömää. Kaii jatossa määriteltävät asiat eivät välttämättä ole järeviä pieille. Yleesä o uitei selvää, että riittävä suurille asiat ovat uossa. Tällaisessa tapausessa oletetaa aia, että o riittävä suuri ilma eri maiitaa. Lisäsi sovitaa, että luvuilla α, etc. taroitetaa aia ylöspäi pyöristettyä ooaisluua silloi, u ämä luvut esiityvät idesiä tai muute tilateessa, jossa 2 selvästi vaaditaa ooaisluua. Jaaumaovergessi meritää d äytetää varsi liberaalisti. Esimerisi meritä X d Exp1 taroittaa, että X d X, missä X Exp1. Huomaa myös, että stoastie suppeemie vaioo o yhtäpitävää jaaumasuppeemise assa. Eli P X c > ε aiilla ε >, jos ja vai jos X d c s [21] Theorem 2.7. Tästä syystä tällaisessa tilateessa overgessia meritää aia d. Kirjoitelmassa äytetää varsi vaiituutta matematiia ja stoastiia otaatiota, joa ei tuottae epäselvyysiä. Alle o oottu muutama ehä ei-ii-yleie meritä. Tässä listassa X ja Y ovat satuaismuuttujia. BR - Reaaliste Borel-jouoje ooelma. P X - Jaaumamitta: P X A = PX A, A BR. X st Y - Stoastie suuruusjärjestys: PX > t Y > t aiille t R. X = st Y - Jaaumie yhtäsuuruus: P X = P Y m.v. - Melei varmasti eli todeäöisyydellä 1. R + = [, x y = mix, y x y = maxx, y #A - Jouo A alioide luumäärä. σx - Satuaismuuttuja X geeroima sigma-algebra. { 1, jos tapahtuma A tapahtuu 1 A = 1A = muute. 5

6 Lisäsi piu-o meritää äytetää vaiitueella tavalla. Siis futio fx = ogx, jos fx/gx, u x:lle suoritetaa tilateesta ilmeie rajaäyti yleesä x tai x. Eli esimerisi meritä oh taroittaa sellaista h: futiota f, jolle pätee fh/h, u h. Stoastista prosessia X t t meritää josus se esittelemise jälee vai lyhyesti symbolilla X. Tilateesta o uitei tällöi selvää, että taroitetaa imeomaa oo prosessia eiä yhtä satuaismuuttujaa. Meriät X t = Xt taroittavat luoollisesti yhtä ja samaa satuaismuuttujaa eli prosessi X t = Xt arvoa hetellä t. 2 Poisso- ja Marov-prosessit Tässä luvussa äsitellää lyhyesti perusasioita espoettijaaumasta seä Poissoja Marov-prosesseista. Lisäsi määritellää Gumbel-jaauma ja esitetää ysi täreä sitä oseva tulos Lause 2.8, jota tarvitaa jatossa Luvussa 4. Ne todistuset, jota löytyvät helposti irjallisuudesta, o tässä luvussa sivuutettu. 2.1 Espoetti- ja Gumbel-jaauma Määritelmä 2.1. Satuaismuuttuja X oudattaa espoettijaaumaa parametrilla λ >, jos aiilla t pätee PX > t = e λt. Tällöi meritää X Expλ. Huomautus 2.2. Lisäsi muavuussyistä tässä irjoitelmassa sovitaa, että espoettijaauma parametrilla o äärettömää esittyyt jaauma ja parametrilla ollaa esittyyt jaauma. Välittömästi määritelmästä saadaa seuraavat asi lausetta. Lause 2.3. Jos X Expλ ja lim λ =, ii X d. Lause 2.4. Oloo < λ α, X Expα, Y Expλ. Tällöi i EX = 1 λ ja VarX = 1 λ 2. ii X st Y. iii aiille β > pätee βx Exp α β. Lause 2.5. Oloo X Expλ ja Y ei-egatiivie X:stä riippumato satuaismuuttuja. Tällöi, ehdolla X > Y, satuaismuuttujat X Y ja Y ovat riippumattomia seä aiilla t pätee PX Y > t X > Y = PX > t = e λt. 6

7 Todistus. Oloo A BR. PX Y > t, Y A = PX > y + tdp Y = A =e λt e λy dp Y y = PX > tpx > Y, Y A. A A e λy+t dp Y y Jaamalla yllä oleva yhtälö molemmat puolet luvulla PX > Y saadaa PX Y > t, Y A X > Y = PX > tpy A X > Y, miä o juuri se mitä väitettii. Lause 2.6. Oloo I N idesijouo ja X Expλ, I, riippumattomia. Oletetaa, että λ := I λ <. Tällöi if X = X m täsmällee yhdelle m I I m.v. ja lisäsi pätee if X Expλ. I Meritää M:llä sitä satuaista idesiä, jolla miimi saavutetaa. Tällöi pätee Todistus. [17] Theorem if X M ja PM = = λ I λ. Määritelmä 2.7 Gumbel-jaauma. Saotaa, että satuaismuuttuja ξ oudattaa stadardia Gumbel-jaaumaa eli jos Pξ x = exp e x aiilla x R. ξ Gumbel, 1, Lause 2.8. Oloo Y Exp1 ja X Exp, N, riippumattomia satuaismuuttujia. Tällöi aiilla N pätee ja max 1 Y = st X, max Y log d Gumbel, 1, u. 1 Todistus. Havaitaa esisi, että aiille x ja N pätee P max Y x = PY x aiilla 1 = PY 1 x = 1 e x. 1 7

8 Osoitetaa sitte idutiolla, että satuaismuuttujie X summalla o sama ertymäfutio. Tapaus = 1 o triviaalisti tosi. Olettamalla sitte, että väite o totta 1:lle saadaa PX X x = PX X 1 x X = = = = x x x x PX X 1 x se s ds P max Y x s 1 1 e x s 1 e s ds e s ds e s e x 1 e s ds = 1 e x. Väittee toise osa todistus o suoraviivaie lasu. Oloo x R. Tällöi P max Y log x = PY x + log aiilla 1 1 =PY 1 x + log = 1 e x+log = 1 e x exp e x, u. Lause 2.9. Oloo S Expλ, I N, riippumattomia satuaismuuttujia. Tällöi i ii Jos I Jos I 1 λ <, ii P 1 λ =, ii P I I S < = 1. S = = 1. Todistus. [17] Theorem Poisso-prosessi Määritelmä 2.1 hyppyprosessi, hyppyhetet ja odotusajat. Oloo X t t oiealta jatuva paloittai vaio prosessi umeroituvassa tila-avaruudessa. Tällöi saotaa, että X o hyppyprosessi. Oloo τ = ja reursiivisesti τ = if{t > τ 1 : Xt Xτ 1 }, N. Oloo S = τ τ 1. 8

9 Jos τ = jollai, ii määritellää τ = aiilla >. Tällöi S :ta ei määritellä, u >. Saotaa, että τ 1, τ 2,... ovat prosessi X t hyppyhetiä ja S 1, S 2,... se odotusaioja. Prosessi hyppyhetiä ja odotusajoista puhuttaessa o oleaista, että yseie prosessi o hyppyprosessi. Määritelmä 2.1 hyppyhetet ja odotusajat eivät toimi järevästi muille ui oiealta jatuville paloittai vaioille prosesseille. Tässä irjoitelmassa aii eteetulevat prosessit ovat uitei hyppyprosesseja. Lause Oloo λ >. Oloo Y t t oiealta jatuva asvava prosessi, jolle Y = ja Y t N aiilla t. Tällöi seuraavat ovat yhtäpitäviä: i Y : odotusajat S 1, S 2,... ovat riippumattomia ja aiilla N pätee S Expλ ja Y τ =. ii Prosessilla Y o riippumattomat lisäyset, eli aiille s, t pätee Y t + s Y t σ{y u, u t}. Lisäsi aiilla t pätee PY t + h Y t = = 1 λh + oh, PY t + h Y t = 1 = λh + oh, u h. iii Prosessilla Y o riippumattomat lisäyset, ja aiille t ja s > pätee PY t + s Y t = = λs e λs, N,! eli Y t + s Y t Poissoλs. Todistus. [17] Theorem Määritelmä 2.12 Poisso-prosessi. Oloo prosessi Y t t ute Lauseessa 2.11, jolle pätee joi eli aii lausee olmesta ehdosta. Tällöi saotaa, että Y t o Poisso-prosessi itesiteetillä λ. Lausee 2.11 ohda i ja Lausee 2.5 perusteella o selvää, että miäli Poissoprosessi aloitetaa alusta jollai siitä riippumattomalla satuaisella ajahetellä, ii saadaa uusi Poisso-prosessi, joa o riippumato alupää tapahtumista. Tähä omiaisuutee viitataa jatossa yleesä Poisso-prosessi uohdusomiaisuutea. Eli jos Y t o Poisso-prosessi ja Z siitä riippumato ei-egatiivie satuaismuuttuja, ii tällöi myös prosessi Ŷ t, Ŷ t = Y Z + t, o Poisso-prosessi, joa ei riipu siitä mitä prosessissa Y o tapahtuut ee ajaheteä Z. Seuraavat olme lausetta ovat Poisso-prosessie täreyde perusta. Kasi esimmäistä Lauseet 2.13 ja 2.14 saovat, että Poisso-prosesseja voidaa summata ja paloitella eri osii ja tulosea saadaa Poisso-prosesseja. Lisäsi yhteelasettu itesiteetti säilyy samaa. Kolmas eli Lause 2.15 taas saoo, että Poisso-prosessi itesiteetti o aioastaa aja saalaus. Näi olle yleesä riittää tutia vai ysiöitesiteettisiä Poisso-prosesseja. 9

10 Lause Oloot I N ja Y t t, I, riippumattomia Poisso-prosesseja itesiteeteillä λ. Oletetaa, että λ := I λ <. Tällöi Y t t, Y t := I Y t, o Poisso-prosessi itesiteetillä λ. Todistus. Kosa aiille prosesseille Y t pätee Lausee 2.11 ohta iii, ja osa Poissoα jaauma odotusarvo o tuetusti α, ii aiille t pätee EY t = E I Y t = I EY t = λt <. Näi olle Y t N aiilla t m.v. Lisäsi tästä ähdää, että prosessi Y o oiealta jatuva, osa ullai ajahetellä vai äärellie määrä prosesseista Y poieaa ollasta ja oiealta jatuvie futioide äärellie summa o myös oiealta jatuva. Selvästi Y o myös asvava, osa se o asvavie prosessie summa. Osoitetaa, että prosessille Y pätee Lausee 2.11 ohta ii. Kosa aiilla prosesseilla Y o riippumattomat lisäyset, ii äi o myös prosessilla Y. Edellee soveltamalla Lausee 2.11 ohtaa iii prosesseihi Y saadaa PY t + h Y t = = I e λ h = e λh = 1 λh + oh, ja PY t + h Y t = 1 = PY t + h Y t = 1, Y j t + h Y t = aiilla j I = λ he λh e λ λh = λhe λh = λh + oh. I Lause Oloo Y t t Poisso-prosessi itesiteetillä λ seä J 1, J 2,... toisistaa ja prosessista Y riippumattomia samoijaautueita ooaisluuarvoisia satuaismuuttujia. Meritää p = PJ 1 = ja K = { Z : p > }. Määritellää prosessit Y, K aavalla Y t Y t = 1 {Ji =}. 1 Tällöi prosessit Y ovat toisistaa riippumattomia Poisso-prosesseja itesiteeteillä p λ. i=1 1

11 Todistus. Oloot Y t toisistaa riippumattomia Poisso-prosesseja itesiteeteillä p λ. Nyt edellise lausee ojalla Y = K Y o Poisso-prosessi itesiteetillä λ. Määritellää satuaismuuttujat J i site, että J i saa arvosee se prosessi Y idesi, joa hyppäsi prosessi Y i:ellä hyppyhetellä. Huomaa, että yhtälö 1 pätee äille prosesseille Y ja Y. Soveltamalla Lausetta 2.6 prosessi Y odotusaioihi saadaa PJ i = = p aiilla i N ja K. Lisäsi edellee Lausee 2.6 ja Poisso-prosessi uohdusomiaisuude perusteella ämä satuaismuuttujat ovat toisistaa ja prosessista Y riippumattomia. Nyt huomataa, että edellie ostrutio voidaai tehdä määrittelemällä esi Poisso-prosessi Y seä siitä riippumattomat satuaismuuttujat J i, ja se jälee jaamalla prosessi Y prosesseihi Y ute yhtälössä 1. Lause Oloo α > ja Y t Poisso-prosessi itesiteetillä λ. Tällöi saadaa Poisso- Ŷt, Ŷ t := Y αt, o Poisso-prosessi itesiteetillä αλ. Erityisesti valitsemalla α = 1 λ prosessi ysiöitesiteetillä. Todistus. Sovelletaa Lausetta 2.4 prosessi Ŷt odotusaioihi. 2.3 Marov-prosessi Seuraavasi esitellää lyhyesti jatuva-aiaie Marov-prosessi umeroituvassa tilaavaruudessa S. Tässä ei yritetä ataa ovi yleistä määritelmää, vaa lähiä ertoa asiaa perehtymättömälle millaisia tässä irjoitelmassa esiityvät jatuva-aiaiset Marov-prosessit ovat. Taremmi jatuva-aiaisesta Marov-prosessista atso esim. [8] Luu 8 tai [17] Luvut 2 ja 3. Esisi Marov-prosessille tarvitaa itesiteettimatriisi Q. Oloo Q = q x,y : x, y S matriisi, jolle pätee ja qx := y x q x,y, u x y q x,y <, aiilla x S. 2 Yhtälö 2 meritää qx äytetää jatossa aia tässä meritysessä. Yleesä lisäsi määritellää itesiteettimatriisi diagoaalialioille q x,x = qx. Tätä tarvitaa, jos itesiteettimatriiseilla halutaa suorittaa lasutoimitusia. Tässä työssä diagoaalialioilla ei ole väliä. Marov-prosessi X t itesiteettimatriisilla Q saadaa raeettua seuraavasti. Laitetaa joaisee tila-avaruude S pisteesee x riippumattomat Poisso-prosessit Y x,y t vastaavilla itesiteeteillä q x,y joaista pistettä y S ohti, joille q x,y >. Sovitaa sitte, että jos X t sattuu olemaa tilassa x silloi, u prosessissa Y x,y tapahtuu hyppy, ii tällöi X siirtyy yseisellä hyppyhetellä tilasta x tilaa y. Määritellää X t vielä oiealta jatuvasi, eli site, että hyppyhetillä ollaa jo uudessa tilassa. Prosessialuarvolla X voi olla miä tahasa jaauma, ja se joudutaa prosessia 11

12 määriteltäessä atamaa matriisi Q lisäsi. Huomaa, että Poisso-prosessi uohdusomiaisuude ojalla tällä Marov-prosessilla X o todella Marov-omiaisuus eli se tulevaisuus ei riipu se meeisyydestä, jos yyheti o tiedossa. Itesiteettimatriisi Q ertoo prosessi X äyttäytymisestä seuraavaa. Kiiitetää esi ajaheti t. Meritää sitte S t :llä odotusaiaa hete t jälee X: seuraavaa hyppyy. Nyt Lauseesta 2.6 seuraa, että ehdolla X t = x pätee S t Expqx. Oletetaa sitte, että qx > ja meritää M:llä X: seuraavaa arvoa ajahete t jälee. Edellee lauseesta 2.6 saadaa, että PM = y X t = x = qx,y. qx Josus saattaa äydä ii, että Marov-prosessi X t hyppyhetille τ pätee aidosti positiivisella todeäöisyydellä τ := lim τ <. Tällöi edellise ostrutio lisäsi joudutaa sopimaa mitä prosessilla tapahtuu ajahete τ jälee, jos prosessi halutaa määritellä aiille t. Seuraava lause taaa, että tätä ogelmaa ei pääse sytymää, miäli itesiteetti matriisi Q o tietyllä tavalla rajoitettu. Lause Oloo X t Marov-prosessi itesiteettimatriisilla Q, jolle pätee Tällöi X t : hyppyhetille τ pätee Todistus. [17] Theorem sup qx <. x lim τ = m.v. 3 Suurte luuje lai Marov-prosesseille Tässä luvussa muotoillaa ja todistetaa esi suurte luuje lai Poisso-prosessille Lause 3.3. Se jälee vastaava tulos saadaa myös aiille Marov-prosesseille, joilla o tarpeesi hyvi äyttäytyvät siirtymäitesiteetit Lause 3.5. Alusi tarvitaa uitei pari lemmaa. Lemma 3.1. Oloot I N ja Y t t, I, toisistaa riippumattomia Poissoprosesseja itesiteeteillä λ. Oloot α R sellaisia, että α λ <. Tällöi I Zt := I α Y t o aiille t hyvi määritelty m.v. ja lisäsi pätee 1 Zt m.v. t α λ. I Todistus. Meritää Zt = I α Y t. 12

13 Oloo t. Kosa EZt = α EY t = t α λ <, I I ii iiitetylle t pätee, että Zt < m.v. Toisaalta, osa Zt o asvava prosessi, ii Zt < aiilla t m.v. Siispä Zt: määrittelevä summa suppeee itseisesti aiilla t m.v. Näi olle Zt o hyvi määritelty. Edellee EZt = E α Y t = α EY t = t α λ. I I I Miäli I o ääretö, ii yllä summause ja odotusarvo järjestyse vaihtamisee voidaa äyttää domioidu overgessi lausetta Lause A.13, sillä aii äärelliset osasummat ovat ylhäältä rajoitettuja satuaismuuttujalla Zt. Lopusi huomataa, että Zt = Zit Zi 1t, i=1 missä summattavat ovat toisistaa riippumattomia ja jaautueet ute Zt Lause Näi olle vahva suurte luuje lai perusteella: 1 Zt m.v. EZt. Lemma 3.2. Oloo f : R + R jatuva futio ja f 1, f 2, : R + R asvavia futioita, joille lim f q fq aiilla q Q +. Tällöi aiilla t pätee lim sup f s fs =. s t eli f f tasaisesti aiissa rajoitetuissa jouoissa. Todistus. Kosa f f pisteittäi Q + :ssa, ii f o asvava Q + :ssa. Tästä saadaa, että f o asvava oo R + :ssa, sillä se o jatuva. Oloo t. Tarvittaessa orvaamalla t jollai sitä suuremmalla ratioaaliluvulla voidaa olettaa, että t Q +. Oloo = q < q 1 < < q = t ratioaalisia. Käyttämällä hyväsi futioide f ja f asvavuutta saadaa: lim sup f s fs s [,t] lim max f q i fq i+1 + f q i+1 fq i i {,..., 1} lim max f q i fq i + f q i+1 fq i fq i fq i+1 i {,..., 1} =2 max i {,..., 1} fq i fq i+1. 13

14 Kosa f o rajoitetulla välillä tasaisesti jatuva, ii yllä oleva lasu viimeie termi saadaa jaoa tihetämällä mielivaltaise pieesi. Lause 3.3. Oloot Y t t Poisso-prosessi itesiteetillä λ. Silloi aiilla t pätee lim sup 1 Y s λs = s t m.v. Todistus. Oloo t. Nyt Lemma 3.2 avulla saadaa { lim 1 Y q λq = } { lim sup 1 Y s λs = }, 3 s t q Q + osa Poisso-prosessi o asvava ja futio s λs o jatuva. Valitsemalla Lemmassa 3.1 vai ysi Poisso-prosessi ja se ertoimesi yöe saadaa, että aiilla u pätee lim 1 Y u λu = m.v. Näi olle yhtälö 3 vase puoli o umeroituva leiaus melei varmoista tapahtumista, ja väite seuraa tästä. Lause 3.3 ertoo, että u tarasteltavaa aiaväliä suureetaa, mutta samalla pieeetää mittaaavaa, ii prosessi polut alavat muistuttaa melei varmasti suoraa viivaa. Tämä voi ajatella myös site, että otospolusi saadaa suora viiva millä tahasa aiavälillä, jos hyppyje tahtia opeutetaa äärettömää, mutta samalla iide ooa pieeetää sopivalla opeudella. Poisso-prosessi o ysiulotteie prosessi, joa asvaa oo aja esimääri samalla opeudella. Näi ysiertaisee tilateesee ei uiteaa tarvitse tyytyä. Seuraavasi Lause 3.3 yleistetää paljo suuremmalle jouolle Marov-prosesseja. Esisi rataistaa eräälaise stoastie itegraaliyhtälö. Tästä eteepäi tämä luu seurailee irja [12] sivuje 327 ja esitystä. Lause 3.4. Oloot β l : Z d R +, l Z d, futioita, joille M := sup β l x <. x l Oloo Y l toisistaa riippumattomia Poisso-prosesseja itesiteetillä 1. Tällöi o olemassa Z d -arvoie Marov-prosessi X t t siirtymäitesiteeteillä q x,x+l = β l x, joa toteuttaa aiilla t m.v. yhtälö Xt = X + t ly l β l Xsds, X Z d ei-satuaie vaio. 4 l Todistus. Määritellää X t = X aiilla t. Oletetaa sitte, että samassa todeäöisyysavaruudessa ui Y l :t o määritelty prosessi X 1, joa saa oreitaa eri arvoa m.v. Määritellää prosessi t ly l β l X 1 sds. 5 X t = X + l 14

15 Osoitetaa, että X o hyvi määritelty hyppyprosessi. Meritää esisi P Z d = {J Z d : #J }. Havaitaa yt, että mille tahasa t ja J P pätee E Y l t max β lx = EY l t max β lx = t max β lx x J x J x J l l l t β l x = t β l x t sup β l x tm <. l x J x J l x J x Z d l Yllä olevasta saadaa, että l Y l t max x J β l x < aiilla t m.v. Kosa P Z d o umeroituva jouo, saadaa edellee, että yseie summa o äärellie aiilla t ja aiilla J P Z d m.v. Meritää sitte K = {x Z d : X 1 t = x jollai t }. Huomataa, että #K, m.v. osa oletettii, että X 1 saa oreitaa eri arvoa m.v. Nyt aiilla t pätee, että t Y l l β l X 1 sds l Y l t max β lx <. x K Tästä saadaa että yllä oleva yhtälö esimmäie termi o aiilla t m.v. äärellie, ja site myös yhtälössä 5 oiealla olevassa summassa o äärellise mota ollasta poieavaa termiä aiilla ajahetillä t. Näi olle X o hyvi määritelty seä paloittai vaio ja oiealta jatuva, osa Poisso-prosessit ovat sitä ja äärellie summaus selvästii säilyttää ämä omiaisuudet. Meritää X : :etta hyppyheteä τ :lla. Huomaa, että tässä vaiheessa idesi viittaa seä prosessi idesii, että hyppyhete järjestysumeroo. Määritellää sitte prosessi X seuraavasti: X t = X t τ, Nyt X o myös oiealta jatuva ja se :es hyppyheti o myös τ tässä voi olla τ =, mutta tämä ei haittaa mitää. Saatii siis määriteltyä prosessit X aiille N site, että prosessi X hyppää oreitaa ertaa. Sovitaa vielä, että τ =. Osoitetaa yt, että X t = X 1 t, u t < τ. 6 Väite pätee selvästi u = 1. Oletetaa sitte, että väite pätee, :lle. Osoitetaa väite + 1:lle. Oloo t τ. Tällöi X +1 t = X + l ly l t β l X s ds }{{} = X t = X t. 7 =X 1 s Erityisesti huomataa vielä, että esimmäistä hyppyheteä ovat samat prosesseille X +1 ja X, jote τ τ +1. Site lasusta 7 saadaa, että u t τ, ii X +1 t = X +1 t = X t. 15

16 Jos taas τ t < τ +1, ii X +1 t = X +1 t = X +1 τ = X τ = X t. Meritää lim τ = τ. Tämä raja-arvo o varmasti olemassa, osa τ o asvava joo, ute edellä todettii. Nyt voidaa määritellä prosessi X t t<τ asettamalla Xt = lim X t, t < τ. 8 Fatasta 6 seuraa, että tämä raja-arvo o olemassa aiilla t < τ. Lisäsi havaitaa, että X t toteuttaa yhtälö 4 aiilla t < τ. Tässä sivuutetaa todistus siitä, että X t o Marov-prosessi halutuilla siirtymäitesiteeteillä Ks. [12] Theorem 4.1 s 327. Ku tämä o tiedossa, ii Lauseesta 2.16 saadaa, että lim τ =, m.v. 9 Näi olle X o määritelty aiilla t, ja väite o site todistettu. Seuraavasi Marov-prosessi laitetaa hyppimää opeammi, mutta samalla pieeetää hyppyje ooa. Oloot β l, l Z d, futioita, joille pätevät Lausee 3.4 oletuset. Oletetaa uitei yt, että futiot β l o määritelty oo R d :ssä. Oloo sitte N ja Z d :ssä futiot β l x := β l x/. Huomataa, että iiitetylle futiot β l toteuttavat samat oletuset ui futiot β l, jote Lausee 3.4 avulla voidaa määritellä Z d :ssä Marov-prosessi X t, jolla o siirtymäitesiteetit q x,x+l = β l x, ja jolle pätee yhtälö X t = X + l ly l t β l X s ds, 1 missä Y l :t ovat riippumattomia Poisso-prosesseja ysiöitesiteetillä ja X ei ole satuaie. Meritää Bx = lβ l x. 11 l Oletetaa, että futiot β l ovat sellaisia, että summa oiealla puolella aavassa 11 suppeee itseisesti aiilla x R d. Jos futiot β l ovat Marov-prosessi siirtymäitesiteettejä, ii Bx o vetori R d :ssä, joa ertoo yseise prosessi esimääräise muutosopeude eri suutii pisteessä x. Oloo sitte X t = 1 X t. Tällöi X o Marov-prosessi 1 Z d :ssä siirtymäitesiteeteillä q x, x+l = β l x. Meritsemällä Ỹlt = Y l t t ja äyttämällä 16

17 yhtälöä 1 saadaa: X t = 1 X t = X + 1 l t lỹl =X + 1 l =X + 1 l lỹl t ly l β l X s ds + l β l X s ds + t t β l X s ds t lβ l X s B X s ds. 12 Viimeisessä yhtäsuuruudessa summause ja itegroii järjestyse vaihtamie oistuu, osa prosessi X saa hetee t meessä vai äärellise mota eri arvoa ja oletuse muaa l l β lx < aiilla x R d. Lausetta 3.4 seuraeide oletusi ja meriöi voidaa yt muotoilla seuraava lause. Lause 3.5 Suurte luuje lai Marov-prosesseille. Oloo T. Oletetaa, että i O olemassa ei-satuaie futio X : [, R d, jolle pätee Xt = x + t ii O olemassa δ > site, että jouolle pätee BXsds, u T. K := {x R d : x Xu δ jollei u T } ja että o olemassa M site, että l Z d l sup x K β l x <, Bx By M x y, x, y K. iii lim X = x. Tällöi lim sup t T X t Xt = m.v. Todistus. Oletetaa esi, että oo R d :ssä pätee l sup β l x <, 13 x R d ja että o olemassa M site, että l Bx By M x y, x, y R d

18 ja Otetaa äyttöö seuraavat meriät ɛ = sup t T β l = sup x R d β l x, 1 lỹl l t β l X u du f t = sup X s Xs. s t Nyt äyttämällä yhtälöä 12 ja oletusta 14 saadaa f t = sup X x + s t l X x + ɛ + 1 lỹl t X x + ɛ + M t s β l X u du + M X u Xu du f udu, t T. s B X u B Xu du Huomaa, että f o äärellisellä välillä rajoitettu, osa X o jatuva ja X teee äärellisessä ajassa vai äärellise mota hyppyä. Site Growalli epäyhtälöstä Lause A.1 seuraa f T X x + ɛ e MT. m.v. Osoitetaa sitte, että ɛ, u. ɛ l l 1 l sup u T 1 l sup u T Ỹl u β l X s ds Ỹ l β l u 1 l Y l β l t + β l t, missä viimeie epäyhtälö pätee termeittäi. Lemmasta 3.1 saadaa: lim 1 l Y l β l t + β l t = 2 l β l t = l l l l lim 1 l Y l β l t + β l t. Nyt äyttämällä arvioita 15 ja soveltamalla domioidu overgessi lausetta Lause A.13 summause ja rajaäyi järjestyse vaihtamisee saadaa lim ɛ lim l 1 l sup Ỹ l β l u =, u T m.v., osa Lause 3.3 saoo että joaie summattava termi meee melei varmasti ollaa

19 Siirrytää yt yleisee tapausee, missä 13 ja 14 eivät välttämättä päde oo avaruudessa. Tämä ei uiteaa tuota eää mitää ogelmia, osa X s pysyy lähellä Xs:ää aiilla s T, uha o tapreesi iso. Site futioide β l ja B arvoilla ei ole mitää väliä K: ulopuolella. Oloo B, βl futioita, joille seä B x = Bx, β l x = β l x aiilla x K, l Z d lβl x = B x, aiilla x R d, l ja joille 13 ja 14 pätevät oo R d :ssä olemassaolo s. Lause A.8. Oloo Marov-prosessit X t t, jota o ui samoi määritelty ui vastaava X, mutta joide määrittelyssä o futioide β l sijasta äytetty futioita β l. Yhtälöstä 12 huomataa, että X t = X t aiilla u T := if{t : X t K c }. Havaitaa, että sup Xt Xt < δ T T Xt = X t, u T, t T ja osa todistuse aluosa perusteella lim sup t T ii sama pätee myös prosesseille X. X t Xt =, m.v., Seuraus 3.6. Oloot futiot X ja β l ute Lauseessa 3.5. Oloot X t t, N, Marov-prosesseja 1 Z d :ssä siirtymäitesiteeteillä q x, x = β l x. Tällöi aiilla x+l t pätee X t d Xt, u. Lauseella 3.5 o paljo äyttöä moessa sovellusessa, sillä usei Marov-prosesseilla o hyvi äyttäytyvä drift -futio B. Lisäsi moesti o luoollista tutia systeemejä, joissa tapahtuu paljo pieiä hyppyjä. Tällöi Marov-prosessia voidaa siis approsimoida determiistise differetiaaliyhtälö avulla. Esimerisi tässä irjoitelmassa Lemma 4.15 todistusessa Lause 3.5 o täreässä roolissa. Lisää esimerejä löytyy esimerisi [12] Luu 11 ja [11]. Estimaatteja todeäöisyydelle Psup u t X u Xu > ɛ, atso [11]. 4 Tiedoleviämisprosessi Siirrytää yt tämä irjoitelma pääasiaa eli tutimaa tiedoleviämisprosessia. Tässä luvussa ooaisluu o vero oo, ja tiedoleviämisprosessi äyttäytymistä tutitaa, u. Melei aii satuaismuuttujat tässä luvussa riippuvat :stä, mutta idesiä ei ole aia merattu äyvii, jos riippuvuus siitä selviää satuaismuuttuja määrittely yhteydessä. 19

20 Esisi errotaa täsmällisesti, miälaisesta prosessista o ysymys. Alutilassa yhdellä vero solmulla o tieto. Prosessi uluessa solmut heräilevät satuaisilla ajahetillä toisistaa ja aiemmista tapahtumista riippumatta. Tämä taroittaa sitä, että joaisee solmuu liitetää muista riippumato λ = λ -itesiteettie Poisso-prosessi, ja solmu herää aia sitä vastaava Poisso-prosessi hyppyhetillä. Herätessää solmu valitsee satuaisesti tasajaaumasta aiesta muusta riippumatta joi vero solmu ja ottaa siihe yhteyttä. Tässä oletetaa meritöje helpottamisesi, että solmu voi valita myös itsesä. Tällä oletusella ei ole uiteaa tuloste aalta mitää meritystä s. huomautus 4.6. Miäli heräävällä solmulla o tieto, mutta solmulla, joho otettii yhteyttä, sitä ei ole, ii heräävä solmu siirtää heräämishetellä tiedo eteepäi solmulle, joho se otti yhteyttä. Jos heräävä solmu siirtää tiedo jo tietävälle solmulle tai heräävällä solmulla ei ole tietoa, yseisellä heräämishetellä ei tapahdu mitää. 4.1 Saturaatioheti tavallisessa tiedoleviämisprosessissa Meritää symbolilla T sat = T sat pieitä ajaheteä, jolloi aii vero solmut ovat saaeet tiedo. Eli T sat o se ajaheti, jolloi viimeie tiedosiirto tapahtuu. Tätä ajaheteä saotaa jatossa saturaatiohetesi. Seuraava lause ataa rajajaauma sopivasti ormalisoidulle saturaatiohetelle. Lause 4.1. Täydellisessä verossa tiedoleviämisprosessi saturaatiohetelle pätee missä ξ 1, ξ 2 Gumbel, 1 ja ξ 1 ξ 2. λt sat 2 log d ξ 1 + ξ 2, Edellie lause o aettu ja todistettu papereissa [15] ja [14]. Tässä sovelletaa uitei hiua erilaista meetelmää, jossa ei äytetä geeroivia tai arateristisia futioita, ute edellä maiituissa papereissa. Paperista [14] löytyy vastaava tulos myös Erdősi Réyi satuaisverolle s. Lause Lausetta 4.1 vastaava tulos disreetissä ajassa löytyy esimerisi paperista [18]. Todistetaa seuraavasi Lause 4.1. Esisi otetaa äyttöö muutamia meritöjä ja huomataa että solmuje heräilyitesiteetti λ ei ole todistusissa oleaie. Huomautus 4.2. Oloo T joi hyppy- eli iformoitiheti tiedoleviämisprosessissa, jossa solmuje heräilyitesiteetti o 1, ja T vastaava hyppyheti tiedoleviämisprosessissa, jossa solmuje heräilyitesiteetti o λ. Nyt Lausee 2.15 ojalla λt = st T. Tästä syystä jatossa oo Luvussa 4 oletetaa yleisyyttä meettämättä, että λ = 1 aiilla. Oloo T ajaheti jolloi :es solmu saa tiedo, eli jolloi 1:s tiedosiirto tapahtuu. Tässä siis T 1 =, ja : solmu verossa T sat = T. Heti huomataa, että saturaatioheti T sat voidaa irjoittaa telesooppisea summaa 1 T sat = T +1 T. 2

21 Hetellä T prosessissa o tietävää solmua ja todeäöisyys, että seuraavasi heräävä tietävä solmu ottaa yhteyttä solmuu, jolla tietoa ei vielä ole, o. Näi olle äyttämällä Poisso-prosessie uohdusomiaisuutta ja Lausetta 2.14 havaitaa, että summattavat edellisessä aavassa ovat toisistaa riippumattomia, ja T +1 T Exp. Oloot X 1 toisistaa riippumattomia satuaismuuttujia, joille X Exp, = 1,..., Jatossa tässä luvussa satuaismuuttujat X esiityvät aia tässä roolissa. Miäli o parito, ii T = T +1 T + 1 = +1 2 T +1 T, missä oiea puole summat ovat toisistaa riippumattomia seä symmetrisyyde ja aiempie huomioide ojalla molemmat jaautueet ute sattuu olemaa parillie, ii 2 1 T = T +1 T + 1 = 2 +1 T +1 T T 2 +1 T 2, X. Jos taas missä oiea puole viimeie termi erotus suppeee jaaumassa ollaa Lause 2.3, ja asi muuta termiä ovat jaautueet ute 2 1 X. Edelliset huomiot motivoivat seuraava lemma. Jatossa idesit, 2 α je. taroittavat ylöspäi pyöristettyä ooaisluua. Lemma X log d Gumbel, 1, u. Todistus. Oloo < α < 1. Jaetaa todistus ahtee osaa seuraavasti: X log = α X log α + }{{} 1 d Gumbel,1 /2 1 = α +1 X log 1 α. }{{} 1 Oloot E Exp 2 toisistaa ja aiista satuaismuuttujista X riippumattomia satuaismuuttujia. Määritellää X := mix, E Exp Lause 2.6. Meritää 2 d A := {X = X aiilla = 1,..., α } = {E X aiilla = 1,..., α }. 21

22 Käyttämällä Lausetta 2.6 saadaa jote PE < X = =, PA c α PE < X = α = 1 α α + 1 2, u. Siispä PA 1, u. Lausee 2.8 ojalla α X log α d Gumbel, 1. Site Lauseesta A.4 saadaa, että myös α X log α 1 A = α X log α 1 A d Gumbel, 1, u. Väittee esimmäie osa seuraa tästä edellee Lausee A.4 avulla. 2 Lausee 2.3 perusteella X suppeee jaaumassa ollaa, jote summaus voidaa ysiertaisuude vuosi tehdä sama tie :ee asti. 2 2 Huomataa, että = Kirjoitetaa tämä avulla Huomataa, että + /2 = α +1 /2 = α +1 X log 1 α = 1 log 1 α 2 /2 = α +1 /2 = α +1 + X /2 = α +1 1 α 1 = 1. =/2 1 log 2. Site hajotelma 17 alemma rivi molemmat termit suppeevat ollaa Lausee A.12 ojalla. Käyttämällä Lausetta 2.4 ja satuaismuuttujie X riippumattomuutta saadaa = Var /2 = α +1 Kosa lisäsi /2 = α +1 X = E /2 = α +1 /2 = α +1 /2 = α Var X = = α +1 /2 = α +1 X = aiilla, 22 1, u

23 ii soveltamalla Marovi epäyhtälöä Lause A.1 ähdää, että myös hajotelma 17 esimmäie termi suppeee jaaumassa ollaa. Toise osa ja samoi oo lemma väite seuraa äyttämällä Slutsy lemmaa Lause A.2. Meritää jatossa T puoli pieitä ajaheteä, jolloi vähitää puolet vero solmuista o iformoitu. Eli : solmu verossa T puoli = T 2. Lemma 4.4. Täydellisessä verossa pätee T puoli log d Gumbel, 1, u. T sat T puoli log d Gumbel, 1, u. Todistus. Seuraa suoraa Lemmasta 4.3 ja sitä edeltävistä päättelyistä. Lause 4.1 seuraa yt Lauseesta A.6, sillä T puoli T sat T puoli. 4.2 Saturaatioheti oheetussa tiedoleviämisprosessissa Seuraavasi siirrytää oheettuu tiedoleviämisprosessii, jossa solmu tiedo saatuaa alaa levittää sitä todeäöisyydellä p = p, 1]. Todeäöisyydellä 1 p solmusta tulee pelä uutelija, ja tällöi se ei tiedo saatuaa tee prosessi loppuaiaa eää mitää. Se, ryhtyyö solmu levittäjäsi vai uutelijasi, ei riipu muitte solmuje valioista, eiä mistää muustaaa mitä prosessissa o aiemmi tapahtuut. Jatossa tavallisella tiedoleviämisprosessilla taroitetaa tiedoleviämisprosessia, jossa aii solmut ovat levittäjiä. Tavallie tiedoleviämisprosessi saadaa siis oheetusta tiedoleviämisprosessista valitsemalla p = 1. Lause 4.1 yleistyy oheetulle tiedoleviämisprosessille. Lausee 4.1 meriöi saadaa seuraava tulos. Lause 4.5. Oletetaa, että p 1 ɛ, u, jollai ɛ >. Tällöi täydellisessä verossa oheetu tiedoleviämisprosessi saturaatiohetelle pätee pλt sat 2 log log p d ξ 1 + ξ 2. Huomautus 4.6. Tilae, jossa solmu ei sallitaaa ottaa yhteyttä itseesä, vastaa tilaetta, jossa joaie solmu heräilee itesiteetillä 1 λ Lause Meritää saturaatioheteä tällaisessa prosessissa symbolilla T sat. Nyt lausee 4.5 ojalla 1 λt sat 2 log log p ξ 1 ξ 2, mutta osa 1log + log p ii Lausee A.5 ojalla myös 1 T sat 2 log log p d ξ 1 + ξ 2. 23

24 Todistetaa esi muutamia lemmoja, joista voidaa sitte oota todistus Lauseelle 4.5. Otetaa esisi äyttöö hiema meritöjä ja määritelmiä. Jatossa levittäjisi saotaa solmuja, jota alavat tiedo saatuaa levittää sitä eteepäi. Levittävisi solmuisi saotaa { levittäjiä, joilla o tieto. 1, jos i:s tiedo saaut solmu o levittäjä Oloo L i = i = 1,...,., jos i:s tiedo saaut solmu o uutelija, Siis L 1 = 1 ja L i Berp, u i 2. Oloo S := i=1 L i. Eli S o levittävie solmuje määrä hetellä T. Tässä T o luoollisesti edellee samassa roolissa ui aiemmii, eli ajaheti u :es solmu saa tiedo. Seuraava lemma avulla saturaatiohete T sat jaauma saadaa heti irjoitettua tuettuje jaaumie avulla. Lemma 4.7. Oloo 2 ja X Exp, = 1,..., 1, eseää ja aiista L i :stä riippumattomia satuaismuuttujia. Tällöi pätee Erityisesti saturaatiohetelle pätee 1 X = st T +1 T 1 S. 1 T sat = st X. S Todistus. Meritää S = S 1,..., S 1 ja K = {x N 1 : PS = x > }. Käyttämällä hyväsi Lausetta 2.4 saadaa PT 2 T 1 t 1,..., T T 1 t 1 = x K PT 2 T 1 t 1,..., T T 1 t 1 S = xps = x = 1 P x K x 1 X 1 t 1,..., 1 x 1 X 1 t 1 1 =P X 1 t 1,..., 1 X 1 t 1 S 1 S 1, PS = x missä toie yhtäsuuruus voidaa perustella samaa tapaa ui tehtii luvu alussa ee Lemmaa 4.3. Nyt imittäi ehdolla S = x N 1 prosessissa o x appaletta levittäjiä hetellä T ja todeäöisyys, että seuraavasi heräävä levittäjä ottaa yhteyttä ei-tietävää solmuu o. Näi olle ehdolla S = x pätee T +1 T Exp x = x Exp, sillä oletuse muaa S o riippumato siitä mitä huhuleviämisprosessissa muute tapahtuu. Lisäsi Poisso-prosessi uohdusomiaisuude ojalla ehdolla S = x satuaismuuttujat T +1 T ovat toisistaa riippumattomia. Seuraavasi havaitaa, että levittäjie suhteellie osuus o suurella todeäöisyydellä lähellä p :ää suurilla : arvoilla. 24

25 Lemma 4.8. Oloo < α < 1 ja α + 1 < β 1 seä < c 1. Määritellää 2 2 A = { S / p δ p α aiilla c β }. Oletetaa, että p, u. Tällöi aiilla δ > pätee Todistus. Havaitaa esisi, että PA 1, u. PA c =P S p > δ p α jollai c β P S p > δc p β α jollai c β =P max S p > δc p β α 1 P 1 p + max L i p > δc p β α P max 2 2 i=2 L i p > δc p β α 1. i=2 Oletuse muaa p, jote myös δc p β α. Site u o riittävä suuri, ii δc p β α 1 >, ja Kolmogorovi masimaaliepäyhtälö ojalla Lause A.9 saadaa P max 2 L i p > δc p β α 1 Var L i p δc p β α 1 2. i=2 Lisäsi Var i=2 i=2 L i p = 1p1 p p. Näi olle Var L i p δc p β α 1 2 pδc p β α 1 2, u. i=2 Levittävie solmuje osuus tietävistä solmuista tiedetää siis ohtalaise tarasti, uha prosessi o ollut äyissä joi aiaa. Prosessi loppupää jaaumaa päästää siis äsisi Lemma 4.7 avulla. Prosessi alussa levittävie solmuje suhteellie osuus tietävistä solmuista voi uitei vaihdella hyvii paljo. Tämä ogelma rataistaa site, että hetee T puoli asti tutitaa pelie levittäjie muodostamaa aliveroa. Tässä aliverossa imittäi o äyissä tavallie tiedoleviämisprosessi, missä uutelijoita ei ole olleaa. Seuraava lemma ertoo, että puolet aiista vero solmuista o saaut tiedo suuillee samaa aiaa ui puolet aiista levittäjistä. Meritää esi κ = if{ : S S /2} eli κ o se idesi, jolla osasumma S ylittää puolet oo summasta S. Nyt siis T κ o se ajaheti, u puolet levittäjistä o saaut tiedo. 25

26 Lemma 4.9. Jos p 1 ɛ jollai ɛ >, ii p T puoli T κ d, u. Todistus. Oloo α, 1 2 sellaie, että p α, u. Määritellää tapahtuma A = { S p p α aiilla 4 }. Perustellaa esisi, että A :ssä κ o lähellä luua 2. Jouossa A pätee S 4 p 4 + p 1 α p 2 p 1 α S 2. Kesimmäie epäyhtälö o totta suurille, osa p α. Tästä saadaa, että tarpeesi suurille pätee 1 A κ 1 A if { 1 : S p } 2 p 1 α = 1 A if { 4 : S p } 2 p 1 α. Nyt äyttämällä tietoa, että A :ssä S p+ p 1 α aiilla saadaa, 4 että 1 A if { 4 : S p 2 } p 1 α 1 A if { 4 : p + p 1 α p 2 } p 1 α =1 A α. p Yhdistämällä yllä olevat lasut ja meritsemällä := että riittävä suurilla pätee 1 A κ 1 A. 2 2 p 1 α Vastaavi perustei saadaa riittävä suurille 1 A κ 1 A if { 1 : S p 2 + } p 1 α =1 A if { 4 : S p 2 + } p 1 α 1 A if { 4 : p p 1 α p 2 + } p 1 α =1 A p 1 α = 1 A +, missä siis + = p 1 α. Edellisistä arvioista 1 A κ:lle saadaa, että riittävä suurille pätee p1 A T puoli T κ p + 1 T + T = p = T +1 T. = st p = saadaa siis, S X 18

27 Viimeisessä yhtäsuuruudessa äytettii Lemmaa 4.7. Huomataa vielä, että jos o riittävä suuri, ii tapahtuma A määritelmästä saadaa + 1 p1 A = S X p p p α. Tällöi suoraa p p X p α. 19 = Kosa p α, ii 1. Lemma 4.8 ojalla P A 1. Siispä arvioide 18 ja 19 seä Lausee A.4 ojalla riittää osoittaa, että Kosa EX = aiille δ > pätee + P X > δ 1 δ = + = X d, u. 2, ii Marovi epäyhtälö Lause A.1 avulla saadaa, että + = Kovergessi seuraa siitä, että p α = δ +o1 2 δ = Seuraavasi osoitetaa piei teie lemma. Lemma 4.1. Jos p 1 4ɛ, ii Todistus. Kaiille δ > pätee P ɛ S p 1 > δ P S ɛ S p 1 d, u. p 1 > δ p S = P p > δp ɛ 2 +ɛ, u, + +o1. missä epäyhtälö pätee riittävä suurille, osa jos o o iso, ii p > ɛ. Kovergessi seuraa Lauseesta 4.8. Lemma Jos p 1 ɛ jollai ɛ >, ii Todistus. Kirjoitetaa esisi pt puoli log p = S T κ log S + p S S = T κ log S pt puoli log p d Gumbel, p S T κ + log S S + p + pt puoli T κ p S S 27 log S + log S p + pt puoli T κ. 21

28 Ku tutitaa pelästää levittäjie muodostamaa aliveroa, ii saadaa tavallie tiedoleviämisprosessi täydellisessä verossa, jossa o S appaletta solmuja, ja jossa solmut heräilevät itesiteetillä S, sillä todeäöisyys, että levittäjä ottaa herätessää yhteyttä toisee levittäjää o S. Kosa lisäsi S d, u, ii Lemmasta 4.4 s. myös huomautus 4.2 saadaa, että S T κ log S d Gumbel, 1. Lemma 4.9 ojalla pt puoli T κ d. Lemma 4.1 ojalla S d 1, jote Lausee A.7 ojalla log S d. p p Havaitaa vielä, että S aia, jote u ɛ >, ii isoilla pätee S p S S log S = 1 p S log S ɛ S 1 p d S, u. p Kovergessi seuraa Slutsy lemmasta Lause A.2, sillä Lemma 4.1 ojalla imittäjä overgoi yösee ja osoittaja ollaa, uha ɛ o riittävä piei. Nyt oo lemma väite seuraa Slutsy lemmasta, u edellä olevat overgessit sijoitetaa hajotelmaa 21. Seuraavasi voidaai jo oota todistus Lauseelle 4.5. Lausee 4.5 todistus. Kirjoitetaa [ ] pt sat 2 log log p = pt puoli log p + p [ ] pt sat T puoli log. Edellä jo osoitettii, että esimmäie summattava eli prosessi aluosa overgoi Gumbel-jaaumaa. Tehtävää o siis eää todeta toise termi suppeemie ja summattavie asymptoottie riippumattomuus. Määritellää tapahtuma A = { S p p α aiilla } 2, missä α, 1 o sellaie, että p α. Oloot satuaisuuttujat X 2 log 1 ute Lemmassa 4.7 ja t, s R. Lemmasta 4.7 saadaa P pt sat T puoli log t, pt puoli log p s =P p 1 = X log t, p S X log p s. S 28

29 Lemma 4.8 ojalla PA 1, jote P p =P p 1 = 2 1 = 2 Meritsemällä a = P p 2 1 X log t, p S 2 1 X log t, p S 1 = 2 1 P a = 2 p p+ α X log p s S X log p s, A + o1. S suoraa A : määritelmästä saadaa 2 1 X log t, p S 2 1 X log t, p X log p s, A S X log p s. S Siitä, että satuaismuuttujat X ovat toisistaa ja satuaismuuttujista S riippumattomia seuraa 1 P a = 2 = X log t, p 1 =P a X log t P p X log p s S 2 1 Käyttämällä uudestaa Lemmaa 4.7 saadaa X log p s. S 1 P a X log t P p = X log p s S 1 =P a X log t P pt puoli log p s. 22 = 2 Ku ääetää summaus toisipäi, Lemmasta 4.3 saadaa että 1 X log d Gumbel, 1, u. 23 = 2 Edellee α: valiasta seuraa, että a 1 log, ja site yhtälö 23 seä Lausee A.5 ojalla yhtälö 22 esimmäie tuloteijä suppeee luuu F ξ t := Pξ 1 t. Toie tuloteijä suppeee luuu F ξ s Lemma 4.11 ojalla. Site edellisistä arvioista saadaa, että P pt sat T puoli log t, pt puoli log p s F ξ tf ξ s + o1. 29

30 Vastaavi perustei äyttämällä lisäsi eljäelle riville metäessä aleellista epäyhtälöä PA B PA PB c saadaa, että P pt sat T puoli log t, pt puoli log p s =P p 1 = 2 p P p α p P p α p =P p α p =P p α 2 1 X log t, p S 1 X log t, p = 2 X log p s S X log t, p = 2 1 = 2 1 = 2 X log t P F ξ tf ξ s, u. 2 1 p X log p s, A S X log p s o1 S 2 1 X log p s o1 S X log t P pt puoli log p s o1 Edellisistä arvioista saadaa siis, että pt sat T puoli log t, pt puoli log p s d ξ 1, ξ 2, missä ξ 1, ξ 2 Gumbel, 1 ja ξ 1 ξ 2. Väite seuraa yt äyttämällä Lausetta A.7, osa x, y x + y o jatuva futio. Esitetää tämä luvu loppuu vertailu vuosi vielä Lausee 4.5 äöie tulos Erdősi Réyi satuaisverossa paperista [14]. Oloo G = G, p vero, jossa o solmua ja ui solmu välillä lii muista lieistä riippumatta todeäöisyydellä p = p, 1]. Määritellää tähä veroo tavallie tiedoleviämisprosessi aiva vastaavasti ui täydellisee verooi. Eli solmu voi ottaa yhteyttä mihi tahasa vero muuhu solmuu, mutta yt lisävaatimusea sille, että tieto voi siirtyä solmulta i solmulle j o, että i: ja j: välillä o lii. Huomaa, että Lausee 2.14 ojalla voitaisii tämä prosessi määritellä yhtäpitävästi myös site, että joaie solmu lähettää tietoa itesiteetillä 1 joaisee siitä lähtevää liii. Lause 4.12 [14] Theorem 3.1. Oletetaa, että, u. Tällöi log 3 tavallise tiedoleviämisprosessi saturaatiohetelle T sat verossa G pätee missä ξ 1, ξ 2 Gumbel, 1 ja ξ 1 ξ 2. p pλt sat 2 log ξ 1 + ξ 2, Huomaa, että valitsemalla p = 1 joo Lauseessa 4.5 tai Lauseessa 4.12 saadaa Lause

31 4.3 Tiedoleviämie ysittäisille solmuille Tässä alaluvussa jatetaa edellee samoilla meriöillä ui aiemmii tässä luvussa. Tarastellaa oheettua tiedoleviämisprosessia parametrilla p = p täydellisessä : solmu verossa. Valitaa tasajaaumasta appaletta solmuja riippumatta aiesta mitä prosessissa muute tapahtuu, mutta ei uiteaa valita sitä solmua, jolla o tieto prosessi alaessa. Numeroidaa valitut solmut 1,..., ja meritää τ i :llä heteä, jolloi solmu i saa tiedo. Seuraava lause ertoo ajahetie τ i asymptoottise jaauma ja riippuvuusraetee. Huomaa, että o yt iiitetty eiä se riippu :stä. Lause Oletetaa, että o olemassa sellaie ɛ >, että p 1 ɛ, u. Tällöi pλτ j log p d j=1 ξ + Z j j=1, u, missä ξ, Z 1,..., Z ovat toisistaa riippumattomia ja ξ Gumbel, 1 seä Z j :t ovat stadardeja logistisesti jaautueita satuaismuuttujia eli F t := PZ i t = et e t + 1, t R. Tapausessa p = 1 tämä Lause o esitetty ja todistettu paperissa [2] ja hiema erilaisella meetelmällä paperissa [1]. Paperista [2] löytyy myös vastaava tulos Erdősi Réyi satuaisverossa yhdelle solmulle eli tapauselle = 1 s. Lause Vastaava tulos ofiguraatiomallille eri asteluvu jaaumille tapausessa = 1 = p löytyy esim. papereista [3] ja [4]. Jatossa voidaa olettaa, että λ = 1 s. Huomautus 4.2. Määritellää F t = 1 i=1 i 1 1 X /2 1 X t. Tässä X :t ovat edellee samoja ui aiemmii tässä luvussa ute Lemmassa 4.7. Sovitaa määritelyssä, että tyhjä summa o. Lemma Kaiilla t R pätee Todistus. Oloo F t d F t, u. βx = x1 x. Nyt F t t o Marov-prosessi 1 Z + :ssa siirtymäitesiteeteillä q, +1 = = β/, 2 1. Havaitaa, että F toteuttaa logistise differetiaaliyhtälö F t = βf t, eli F t = 1 t 2 + βf sds. 31

32 Lisäsi F = 1 1 = F. Väite ei-egatiivisille t saadaa tästä Seurause avulla, sillä β o rajoitettu ja Lipschitz-jatuva oo R:ssä. Määritellää sitte F t = 1 i 1 1 X i=1 /2 1 X < t, t. Huomaa, että miäli t ei ole prosessi F t hyppyheti ii F t = F t. Kosa iiitetyllä t prosessi F t ei m.v. hyppää, ii riittää osoittaa, että F t d F t aiilla t >. Havaitaa, että F t t o Marov-prosessi siirtymäitesiteeteillä q, 1 = = β/, Lisäsi F t = F t toteuttaa yhtälö F = β F ja lim F = F. Näi olle taas Seurausta 3.6 hyväsi äyttäe aiilla t < pätee F t d F t = F t, u. Paraetaa vielä hiua edellistä lemmaa. Lemma Oloo a luujoo, jolle pätee lim a t R pätee F a t d F t. 1. Tällöi aiilla Todistus. Oloo t R ja ɛ >. Kosa F o jatuva voidaa valita sellaie δ >, että ɛ 1 := F t + δ F t + F t δ F t < ɛ/2. Oloo riittävä suuri, jotta a t t < δ. Tällöi äyttämällä hyväsi prosessi F asvavuutta saadaa P F a t F t > ε P F t δ F t + F t + δ F t > ε P F t δ F t δ + F t + δ F t + δ + ɛ 1 > ε P F t δ F t δ + F t + δ F t + δ > ɛ/2 P F t δ F t δ > ε/4 + P F t + δ F t + δ > ɛ/4, u. Todistetaa vielä ysi lemma. Otetaa sitä varte äyttöö muutama meritä. Oloo Nt = N t tietävie solmuje määrä hetellä t oheetussa tiedoleviämisprosessissa. Määritellää H t = NT puoli + t/p, t R. 32

33 Lemma Oletetaa, että o olemassa sellaie α, 1 2, että p α, u. Tällöi aiilla t R pätee H t d F t, u. Todistus. Lemmaa 4.7 hyväsi äyttäe havaitaa, että H t = st 1 i=1 i 1 1 /2 1 X S X t/p, 24 S missä S määritellää samoi ui Lausee 4.5 todistusessa. Huomaa tässä, että T puoli = 2 1 st S X. Määritellääi yt H t uudestaa ute aavassa 24, ii että jaaumie yhtäsuuruude sijasta pätee otoste yhtäsuuruus. Tässä ei meetetä mitää, osa tavoitteea o todistaa aioastaa H t: jaauma suppeemie. Kiiitetää t <. Oloo α, 1 ja β 1, 1 sellaisia, että p α ja 1 + α < β < Kirjoitetaa esisi H t = 1 = 1 = 1 i=1 2 1 i= i= β Määritellää sitte tapahtuma i 1 1 /2 1 1 /2 1 X S =i /2 1 =i X t/p S X t/p S X t/p + o1. S 25 A = { 1 S p < p α aiilla β }. 1 Ehdolla A pätee p+ 1 p α S p p α H t:lle esitystä 25, saadaa A :ssä arviot ja H t 1 H t i= β i= β /2 1 =i /2 1 =i X p p α t p X p + p α t p aiilla β. Site, äyttämällä + o1 = F p p α + o1 = F p + p α p p t + o1 t + o1. Kosa p± p α p± p α d 1, ii Lemma 4.15 ojalla F p t F t. Lemma p 4.8 ojalla PA 1, u, jote edelliste arvioide ja Lemma A.4 ojalla myös H t d F t. 33

34 Oloo sitte t. Väite saadaa todistettua tässä tilateessa melei samalaisella lasulla ui äse. Kirjoitetaa esisi H t = 1 i= i 1 X t/p + 1. S 2 Tämä avulla saadaa, samoi ui äse, A :ssä arvio p p α p + p α F t H t F t, p p mistä väite seuraa. Lausee 4.13 todistus. Kirjoitetaa = 2 pτ i log p = pt puoli log p + pτ i T puoli. Meritää Osoitetaa, että L = pt puoli log p. pτ 1 T puoli,..., pτ T puoli, L d Z 1,..., Z, ξ, jolloi väite seuraa siitä, että futio x 1,..., x, y y +x 1,..., y +x o jatuva. Oloo a = a 1,..., a R mielivaltaie. Numeroimalla tarvittaessa valitut solmut uudestaa voidaa olettaa, että a 1 a 2 a. Määritellää tapahtuma A := {pτ 1 T puoli a 1,..., pτ T puoli a } = {solmulla i o tieto hetellä T puoli + a i /p}. i=1 Kiiitetää t R ja osoitetaa, että PA, L t d F a 1... F a F ξ t, missä F ξ t = exp e t o siis Gumbel, 1 jaauma ertymäfutio. Meritää edellee Nt:llä tietävie solmuje määrää hetellä t. Nyt E [1 A σn] = max, H a 1 H a 2 1 H a 1 =: G a, sillä solmut, joide tiedosaatia tarastellaa, oli valittu riippumatta siitä, mitä prosessissa muute tapahtuu. Tässä voidaa esimerisi ajatella, että solmut valitaai vasta se jälee, u tiedoleviämisprosessi o jo tapahtuut. Tällöi edellie yhtälö o ilmeie. Toisaalta, jos prosessi N arvot tiedetää joaisella ajahetellä t, ii tällöi tiedetää myös L : arvo. Tästä saadaa, että PA, L t = E1 A 1 {L t} = E [ E 1 A 1 ] {L t} σn =E [ 1 {L t}e 1 A σn ] = E [ 1 {L t}g a 34 ] 26

35 Meritää F a = F a 1 F a. Yhtälöstä 26 saadaa F a F ξ t PA, L t = F a F ξ t E [ ] 1 {L t}g a = E F ξ t F a PL t G a 1 {L t} E F F ξ t a PL t G a. 27 Lemma 4.16 ja Slutsy lemma Lause A.2 ojalla G a ojalla PL t F ξ t, u. Site edellee Slutsy lemmasta saadaa, että F a F ξ t PL t G d a, u. d F a. Lemma 4.11 Lisäsi tämä satuaismuuttuja o rajoitettu. Näi olle yhtälö 27 ali rivi suppeee ollaa, u, ja site lause o todistettu. Esitetää tämä luvu loppuu vielä Lausee 4.5 äöie tulos Erdősi Réyi satuaisverossa. Oloo G = G, p Erdősi Réyi satuaisvero. Lause 4.17 [2] Theorem 7. Oletetaa, että, u. Tällöi log 2 lausee 4.13 meriöi tavalliselle tiedoleviämisprosessille verossa G pätee. p pλτ 1 log d ξ + Z, u, missä ξ Gumbel, 1 Z o logistisesti jaautuut ξ:stä riippumato satuaismuuttuja. 4.4 Tiedoleviämisprosessi yhteys satuaisii etäisyysii Oloo G suutaamato : solmu vero, jossa liie pituudet ovat toisistaa riippumattomia ja oudattavat espoettijaaumaa parametrilla 1. Valitaa tarasteltavasi joi vero solmu. Kysytää, mite pitä mata tästä solmusta o siitä auimpaa olevaa solmuu, u uljetaa lyhitä reittiä piti. Tämä välimata o jaaumaltaa sama ui tavallise tiedoleviämisprosessi saturaatioheti prosessissa, jossa solmut lähettävät tietoa joaisee liii erisee itesiteetillä 1. Tämä voidaa ähdä site, että määritellää veroo G tiedoleviämisprosessi site, että joaie solmu lähettää tietoa itesiteetillä 1 joaisee siitä lähtevää liii. Otetaa verosta asi solmua i ja j, joide välillä o lii. Oletetaa, että äistä ahdesta solmusta tiedo sai aiemmi solmu i. Määritellää lii i j pituudesi aia siitä, u i sai tiedo, siihe, u i lähetti tiedo esimmäise erra solmulle j. Nyt aiilla lieillä ämä pituudet ovat toisistaa riippumattomia ja espoettijaautueita parametrilla 1. Voidaa ajatella, että lähtösolmusta lähdetää ulemaa 35