Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia"

Transkriptio

1 Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti uutaia tällaisiaalleja Mallito uotoiltutehtävisi rataisuiee Muutaat rataisut eivät oieastaa rataise esitettyä ogelaa, vaa atavat äyttöö eriä, jolla rataisu voisi ilaista, seä palautusaava jota äyttäe ueeriset rataisut ovat periaatteessa löydettävissä Moet allit perustuvat joseei suoraa tuloperiaatteesee, jota voi utsua yös laseallise obiatoriia perusperiaatteesi: Jos toiepide T voidaa puraa perääisisi osatoiepiteisi T 1, T 2,, T ja jos osatoiepide T j voidaa tehdä a j eri tavalla, ii toiepide T voidaa tehdä a 1 a 2 a eri tavalla 1 Motao : alio jooa voidaa uodostaa :stä eri aliosta, u saa alio voi esiityä useai ui erra? Rataisu Joaiselle :lle paialle voidaa valita, toisista valioista riippuatta, joi :stä eri aliosta Mahdollisuusie luuäärä o siis } {{ } = pl 2 Motao : eri alio jooa voidaa uodostaa :stä eri aliosta? Rataisu Esiäie alio voidaa valita :llä tavalla, seuraavaa jää 1 ahdollisuutta je Eri jooja tulee oleaa ( 1) ( +1)= appaletta Ku! ( )! =, joojeäärä o! 3 Motao : alio jouoa voidaa uodostaa :stä eri aliosta? Rataisu Edellise perusteella eri aliota voidaa laittaa jooo! eri tavalla Jos x o ysytty jouoje äärä, voidaa edellise uero ( tulos ) lasea yös( uodossa ) x!! Yhtälöstä x! = ( )! rataistaa x =!!( )! = Syboli luetaa : yli (Eglaisi choose ) 4 Misi bioiaava pätee eli Rataisu (a + b) = =0 a b? (a + b) =(a + b)(a + b) (a + b) } {{ } pl Ku oiea puole tulosta poistetaa suleet, ii teri a b saadaa joaisella sellaisella valialla, jossa joistai :sta tulo teijästä poiitaa a ja lopuista :sta teijästä b teijää voidaa valita eri tavalla

2 2 5 Motao eri jooa voidaa uodostaa :stä ollastaja:stä yösestä? ( Rataisu ) Valitaa :lle ollalle paiat + : paia jouosta Tää voidaa tehdä + tavalla 6 Moessao : olla ja : yöse joossa ei ole perääisiä yösiä? Rataisu Kirjoitetaa ollaa jooo Esiäistä ollaa ee, ollie välissä ja viieise olla jälee o yhteesä ( + 1 paiaa ) Joaisessa joo o ysi yöe tai +1 ei yhtää yöstä :llä yöselläo eri ahdollisuutta täyttää äitä paioja Jos >+ 1, joo ei ole ahdollie 7 Moellao tavalla :stä erilaisesta aliosta voidaa valita aliota, jos saa alio voidaa valita useita ertoja, utta aii aliot o valittava aiai erra? (Siis ) Rataisu Ajatellaa :ta loeroa rivissä Esiäisii loeroihi laitetaa esiäiset aliot, sitte laitetaa pasupi väliseiä, sitte seuraavii toiset je Eri valitoje äärä ilaisevat pasupie väliseiie äärät Väliseiiä( tarvitaa ) 1 appaletta 1 ja iide ahdollisia paioja o 1 Eri valitoja o siis 1 8 Moellao tavalla :stä erilaisesta aliosta voidaa valita aliota, jos saa alio voidaa valita useita ertoja? Rataisu Luuäärä o saa ui jos olisi valittava ( + aliota ) ( ja valiassa ) tulisi olla uaa aiie : alio aiai erra, siis = 1 9 Moellao tavalla erilaista aliota voidaa sijoittaa :ää eri laatioo? Rataisu Esiäie pallo voidaa sijoittaa :llä eri tavalla, toie edellisestä riippuatta yös :llä eri tavalla je Tapoja o siis appaletta 10 Moellao tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo? Rataisu Oloot laatiot A, B,, X, issä irjaiia o appaletta Tehtävä o saa ui uodostaa : alio joo irjaiista, u ui irjai voi esiityä ielivaltaise ota ) ertaa (tietysti eitää ertaa) Kohda 7 perusteella eri tapoja o ( Moellao tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos ysiää laatio ei saa jäädä tyhjäsi? Rataisu Tehtävä o saa( ui jos) sijoitettaisii idettistä palloa :ää erilaisee 1 1 laatioo Rataisu o siis = 1

3 12 Moellao tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos j:tee laatioo tulee sijoittaa j palloa ( = )? Rataisu Esiäisee( laatioo ) voidaa sijoittaa iä hyväsä palloje 1 -alioie osajouo Tapoja o siis Jostää o tehty, toisee laatioo voi sijoittaa jäljelle 1 1 jääeide iä tahasa 2 -alioise osajouo; äitä tapojao je Tapoja o aiiaa! 1!( 1 )! ( 1 )! 2!( 1 2 )! ( ( )! 1!( ( ))! ( )! = 1! 2!! =, 1, 2,, sillä ( )= 13 Jos joo uodostuu :stä erisybolista1, 2,,, se pituus o, jaj esiityy joossa j ertaa, ii oeeo eri järjestysee joo voidaa irjoittaa?! Rataisu Tehtävä o saa ui edellie; vastaus o siis 1! 2!! 14 Moellao tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos iää laatio ei saa jäädä tyhjäsi? Rataisu Luuäärä o ( ) = T (, ) 1, 2,, = 1, 2,, Voidaa osoittaa, että T toteuttaa palautusaava u 1 << T (, ) =(T ( 1, 1) + T ( 1, )), 15 Motao -irjaiista saaa voidaa uodostaa :stä irjaiesta, jos joaista irjaita o äytettävä aiai erra? Rataisu Tehtävä o saa ui edellie 16 Moellao tavalla erilaista aliota voidaa jaaa :si osajouosi, joide oot ovat 1, 2,,? ( ) Rataisu Jos osajouot olisivat iettyjä, luuäärä olisi Oloo 1, 2,, 1-alioisia jouoja r 1, 2-alioisia jouoja r 2 je Kosa jouoje järjestysellä eiole väliä, tehtävä vastaus o ( ) 1, 2,, r 1!r 2!r 3! r! 2 3

4 4 17 Moellao tavalla aliota voidaa jaaa :si epätyhjäsi osajouosi? Rataisu Ku verrataa ueroo 13 ja otetaa huoioo, että jouoteivät yt ole 1 iettyjä, saadaa vastausesi T (, )! 18 Moellao tavalla positiivie ooaisluu voidaa lausua : positiivise ooaisluvu suaa? Rataisu Kysyttyä luua eritää P (, ) Sillä ei ole ysiertaista lauseetta, utta voidaa osoittaa, ettäpätee palautusaava u 1 << P (, ) =P ( 1, 1) + P (, ), 19 Moellao tavalla esieet a 1,a 2,, a voidaa sijoittaa loeroihi A 1,A 2,, A ii, että a i ei ole loerossa A i illää i, 1 i? Rataisu Jos ysytty luuäärä of(), ii f(1) = 0 ja f(2) = 1 Oletetaa, että f() tuetaa, u ja tarastellaa sijoittelua, u esieitä ja loeroita o +1 Oletetaa, että a +1 o sijoitettu loeroo A j, j Sellaisia väärisijoitteluja, joissa a j o sijoitettu loeroo A +1 o f( 1) appaletta Sellaisia väärisijoitteluja, joissa a j ei ole loerossa A +1 o f() appaletta Kosa A j voidaa valita :llä eri tavalla, f( +1)=(f()+f( 1)) Mutta yt f( +1) ( +1)f() =f( 1) f() = ( 1)(f() (f( 1)) ja edellee f(+1) (+1)f()=( 1) 1 (f(2) 1 f(1) = ( 1) 1 tai f() f( 1) = ( 1) 2 =( 1) Tää yhtälö voi irjoittaa uotoo f()! f( 1) ( 1)! = ( 1)! Ku edelliset yhtälöt irjoitetaa arvoilla =2, 3,, ja lasetaa puolittai yhtee, saadaa f() f(1) = ( 1) + ( 1) 1 ( 1)2 + +,! 1!! ( 1)! 2! joa voi sievetää uotoo f() =! (1 ) ( 1) ! 12! 13!! (Suleissa oleva sua lähestyy raja-arvoa e 1 0,368, u ) 20 Mite voidaa lasea yhdistee A 1 A 2 A alioide luuäärä? Rataisu Meritää jouo X alioide luuäärää sybolilla X Kysyyse (ysi) vastaus o A 1 A 2 A = A i A i A j + 1 i<j< i=1 1 i<j A i A j A +( 1) 1 A 1 A 2 A (1)

5 Edelllise aava (jota iitetää sua ja erotuse periaatteesi tai iluusio ja esluusio periaatteesi)perusteleisesitarastellaa alio x, joa esiityy tasa :ssa, 1, jouoista A i, otribuutiota yhtälö eri puolille Vasealle puolelle alio ataa otribuutio 1: se o ysi yhdistee alioista ( Oiea ) puole esiäisee suaa alio tuottaa luvu, toisee suaa luvu, sillä x o uaa aiissa sellaisissa 2 pareissa A i,a j, joissa seä A i että A j ovat iide : osajouo jouossa, joihi x uuluu Vastaavasti olas sua tuottaa luvu je Viieie sua, josta x tuottaa 3 positiivise otribuutio o se, ( jossa ) äydää läpi : osajouo leiauset Tähä suaa otribuutio o 1 eli Mutta ( + +( 1) 1 = ) +( 1) =1 (1 1) =1 2 Alio otribuutio sua oleille puolille o siis saa Kosa x o ielivaltaie, yhtälö (1) o voiassa Muutaa obiatorie lasu- ja harjoitustehtävä 1 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö? 2 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö, jos saa aiie irjaiie o oltava eri irjaiia? 3 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö, jos saassa ei saa olla ahta saaa perääistä irjaita? 4 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä Ö, jos saa irjaite o oltava o oltava eri irjaiia ousevassa tai lasevassa aaosjärjestysessä? 5 Autoje reisterituusissa o asi tai ole irjaita aaostosta A, B, C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z ja luu väliltä 1,, 999 Moio auto voi saada eri reisterituuse? 5 6 Osoita obiatorisesti, että = ja + = Jouossa o aliota Motao eri osajouoa sillä o?

6 6 8 Moellao tavalla ole autoa voidaa pysäöidä seitseälle viereäiselle pysäöitipaialle ii, että joaise ahde auto välii jää aiai ysi tyhjä paia? 9 Moellao tavalla voidaa valita ole ueroa jouosta {0, 1, 2,, 9}, jos jouossa ei saa olla perääisiä ueroita? 10 Kuia suuri osa ahdollisista lottoriveistä o sellaisia, joissa ei esiiy ahta perääistä ueroa? (Lotossa arvotaa 7 ueroa jouosta {1, 2,, 39}) 11 Motao ousevaa jooa a 1 a 2 a 9 a 10 voidaa uodostaa jouo {1, 2,, 20} luvuista? 12 Todista, että luu(2)! o jaollie luvulla (!) 2 13 Sehä yt voidaa tehdä tuhaella ja yhdellä tavalla! Etsi bioiertoiie avulla asia, joa voidaa tehdä tasa 1001:llä eri tavalla 14 Moellao tavalla 52 orttia voidaa jaaa eljälle pelaajalle A, B, C ja D, ii että joaiesaa13orttia? 15 Muua sua uotoo x y 16 Poeriäsi o viide eri orti jouo 52 orti stadardipaasta, jossa o eljä 13 orti aata Lase a) poeriäsie luuäärä; b) sellaiste poeriäsie luuäärä, joissa aii ortit ovat saaa aata ( väri ); c) sellaiste äsie luuäärä, jossa aii ortit ovat saaa aata ja perääisiä ueroita; ässä voi saada joo uero 1 tai uero 14 ( värisuora ); d) sellaiste äsie luuäärä, joissa o eljä saaueroista orttia ( eloset ); e) sellaiste äsie luuäärä, joissa o asi saaueroista orttia ja ole aiitusta uerosta eroavaa utta saaueroista orttia ( täysäsi ); f) sellaiste äsie luuäärä, joissa o ole saaueroista orttia, utta jossa asi uuta orttia ovat eseää eriueroisia ja eriueroisia ui ole saaueroista ( oloset ), g) sellaiste äsie luuäärä, joissa o viisi perääistä ueroa ja ässä voi olla uero 1 tai uero 14 ( suora ); h, i) Ku olet päässyt äi hyvää aluu, voit vielä lasea äsie asi paria ja pari luuäärä Harjoitustehtävie rataisuja 1 Aaosia o 29, ja u joaiselle saa viidelle paialle voi valita irjaie 29:lla eri tavalla, valitoja voi tehdä aiiaa 29 5 = appaletta 2 Esiäie irjai voidaa valita 29:llä eri tavalla, seurava 28:lla je Eri valitoja o = appaletta

7 3 Esiäie irjai voidaa valita 29:llä eri tavalla Toisesi irjaiesi elpaa iä tahasa uu ui esiäisesi valittu irjai Vaihtoehtoja o siis 28 Kolaesi irjaiesi elpaa iä hyväsä uu ui toisesi valittu irjai Vaihtoehtoja o taas 28 Näi jatae todeta, että ehdo täytäviä viisiirjaiisia saoja o = appaletta 7 4 Joaie viide eri irjaie( jouo ) voidaa asettaa ousevaa tai lasevaa aaosjärjestysee Saoja o siis 2 = = = ! appaletta 5 [Oletteo osaa äheet suoalaista reisteriilpeä, jossa olisi irjai D?] Jos esitetyt ehdot pitävät paiasa, tuuse irjaiosa esiäie ja toie irjai voidaa valita upii 23:llä eri tavalla ja olas 24:llä eri tavalla, osa olae irjaie puuttuie o yös ysi ahdollisuus [Itse asiassa irjai o vai perävauuje tuusissa, ja e voivat alaa yös olla yös W:llä, utta jätetää tää ottaatta huoioo] Kirjaiet voidaa siis valita = eri tavalla Nuero-osaa o 999 valitaahdollisuutta Erilaisia tuusia voi siis olla = appaletta 6 1 rataisu Ajatellaa ole auto vieree jäävää eljää tilaa laatioia, joihi sijoitetaa eljää palloa, joista ui eritsee yhtä vapaata paiaa Autoje välii tulevat laatiot eivät saa jäädä tyhjisi, utta autoje ulopuolella olevat asi laatioa voivat olla tyhjiäi Jos autoje välissä olevissa ahdessa laatioissa o asi palloa, loput asi palloa voidaa sijoittaa olella tavalla: asi vasepaa laitaa, ysi olepii laitoihi tai asi oieaa laitaa Jos välilaatioissa o ole palloa, e voivat olla ahdella eri tavalla Viieie pallo voi sei olla ahdessa paiassa, jote tällaisia ahdollisuusia o 2 2 = 4 Jos viiei aii eljä palloa sijoitetaa ahtee välilaatioo, ii ahdollisuusia o ole: vaseapuoleisessa laatiossa o 1, 2 tai 3 palloa Kaiiaa vaihtoehtoja o siis = 10 appaletta 2 rataisu Neljää viereäisee tyhjää paiaa liittyy viisi viereistä paiaa, joissa joaisessa o auto tai ei ole autoa Eri tapoja sijoitaa ole autoa äille paioille o 5 = Joaista -alioise jouo A-alioista osajouoa B vastaa ( )-alioie osajouo A \ B ja joaista ( )-alioista osajouoa C-alioie osajouo ( A \ C ) - alioisia osajouoja ja ( )-alioisia osajouoja o yhtä paljo, jote = Tarastellaa jouoa A, jossa o + 1 aliota Valitaa iistä ysi, a Kaii jouo A ( + 1)-alioiset osajouot voidaa jaaa ahtee erillisee jouoo, iihi joissa a o uaa ja iihi, joissa a ei ole uaa Edellisiä oyhtäpaljoui-alioisessa jouossa A \{a} o -alioisia osajouoja eli Jäliäisiä oyhtäpaljoui

8 8 jouossa A \{a} o ( + 1)-alioisia osajouoja eli +1 Siis = + 8 Seitseä ei-valittava uero vieressä o ahdesa paiaa, joissa voi olla tai olla 8 oleatta ysi valittavista olesta uerosta Kahdesa alio jouolla o =56 3 osajouoa 9 Osajouo voidaa uodostaa :ssä vaiheessa päättäällä ui jouo alio ohdalla, uluuo se osajouoo vai ei Tuloperiaattee ojalla eri osajouoja o 2 Muaa ovat tällöi jouo itse ja tyhjä jouo 10 Lottorivejäoyhtä ota ui sellaisia 39 eri pituisia olla ja yöse jooja, joissa o tasa seitseä yöstä ja 32 ollaa Rivit, joissa ei ole perääisiäueroita, vastaavat jooja, ( joissa ) ahde yöse välissä o aiai ysi olla Saoi ui ( esellä, ) äitä joojao = appaletta Kosa lottorivejä o aiiaa = appaletta, harvoja rivejä o oi 27,8 % aiista 11 Jos 1 a 1 a 2 a 9 a 10 10, ii a 1 <a 2 +1<a 3 +2<<a ja jos 1 b 1 <b 2 < < b 10 19, ii 1 b 1 b 2 1 b 3 2 b Tehtävässä ysytjä jooja o siis yhtä ota ui aidosti ousevia jooja 1 b 1 <b 2 < < b 10 19; ( äitä ) oyhtä ota ui jouolla {1, 2,, 19} o yealioisia 19 osajouoja eli = (2)! (!) 2 = (2)!!(2 )! = 2 Bioiertoiet ovat ooaisluuja = Etsitää bioierroi = Luvu o oltava Piee oeilu jälee huoaa, että = = elpaa Tasa tavalla voi siis esierisi valita eljä eri pizza täytettä, jos vaihtoehtoja o Ajatellaa ortit aettavasi järjestysessä ( esia:lle, ) sitte B:lle, sitte C:lle ja 52 lopusi D:lle A:lle voidaa jaaa aiiaa erilaista jouoa B: oletoista orttia voidaa tää jälee valita 39:stä ahdollisesta, ja eri vaihtoehtoja o Nyt jäljellä o vielä 26orttia,jaC:lle iistä voidaa ataa 13 eri tavalla D: o 13

9 9 tyytyie jäljelle jääeisii 13 orttii Eri tapoja tehdä jao o siis = 52! ! 39! 39! 13! 26! 26! 13! 13! = 52! (13!) 4 = eli yli viisiyetätuhatta vadriljooaa [O elei ahdotota, että uolla seoitetuista paoista voisi tulla idettiset bridgejaot Mutta uollie seoittaie o oa ogelasa] 15 Käytetää hyväsi bioiertoiie perusoiaisuutta sua o siis saa u =0 = Tehtävä Tää havaito teee ahdollisesi ataa tehtävä sualle obiatorise tulia Ajatellaa jouoa, jossa o 2 aliota, esierisi A = {1, 2,, 2} Jaetaa jouo ahdesi osajouosi, joissa oleissa o aliota, esierisi B = {1, 2,, } ja C = { +1,+2,, 2} Nyt joaie A: osajouo E o uotoa (E B) (E C) Lasetaa aiie A: osajouoje luuäärä ii, että aiilla = 0, 1,, lasetaa sellaiset A: osajouot E, ( joissa ) ( E B) o -alioie ja E C o ( )- alioie Tällaisia jouoja o juuri appaletta Kosa A:lla o aiiaa 2 2 -alioista osajouoa, o tehtävässä ysytty sua 16 ( a) Poeriäsiä ) oyhtä ota ui 52: alio jouolla o viisialioisia osajouoja, 52 siis = appaletta b) Tapoja valita ysi eljästä väristä o 4 ja tapoja 5 13 valita Viide orti jouo 13 ortista o = 5148 c) Värille o 4 vaihtoehtoa ja 5 aliaueroiselle ortille 10 Erilaisia värisuoria o 40 d) Neljästi esiityvä uero voi olla iä hyväsä 13vaihtoehdostajaviidesiä hyväsä lopuista 48 ortista Vaihtoehtoja siis = 642 e) Se uero, joa esiityy olesti, voidaa valita 13 tavalla ja eljästä saaueroisesta ortista voidaa valita ole eljällä tavalla Se uero, jota o asi, voidaa valita ( 12:lla ) tavalla ja tapoja valita e asi, jota eljästä vaihtoehdosta otetaa uaa, o = 6 Erilaisia täysäsiä o = 1872 appaletta 4 2 f) Tapoja valita ole saaueroista orttia o 13 4 = 52 Neljäs ortti voi olla iä hyväsä 48:sta uuueroisesta Viideelle ortille o sitte 44 eri vaihtoehtoa Nyt uitei eriueroiset yhdistelät tulee lasetuisi ahdesti, jote olosäsiä o siis /2 = erilaista g) Ali uero voidaa valita 10:llä eri tavalla Korttie värit voidaa valita ueroista riippuatta Viide orti värit voidaa valita ui toisista riippuatta eljällä eri tavalla Värivalitoja o siis 4 5 = 2 10 = 1024

10 10 Erilaisia suoria o appaletta (Jos lasetaa värisuorat ( pois, ) jää jäljelle tavallista suoraa h) Pariorttie ueroyhdistelälle o =6 13 vaihtoehtoa ja 13 2 uassai parissa aat voi taas valita uudella tavalla Viides ortti o iä tahasa pariorttie uerosta eroava Mahdollisuusia o 44 erilaista Kasi paria -äsiä o siis = appaletta i) Pariortilla o 13 uerovaihtoehtoa ja 6 aayhdistelävaihtoehtoa Kolas ortti o joi 48 uusta, eljäs joi 44:stä uusta ja viides joi 40:stä uusta Nyt uitei saa yhdistelä tulee lasetusi uudessa eri järjestysessä Vaihtoehtoja o siis /6 = appaletta Tai: Tapoja valita orttipari o 13 6 = 78 appaletta Muide ole orti ueroyhdisteliä o 12 yhtä ota ui ahdetoista alio jouolla olialioisia osajouoja, siis = appaletta Joaie äistä olesta ortista voi olla eljää eri aata Vaihtoehtoja o 4 3 = 64 Kaiiaa vaihtoehtoja o = appaletta Lasettuje luuäärie perustella voi äärittää poeri erilaiste äsie todeäöisyysiä Pelitilae o oiutaisepi Esierisi tieto oista orteista uuttaa vastustajie äsie todeäöisyysiä: jos itsellä o ässäpari, uilla pelaajilla ei voi olla ässäelosia Jos paassa o joeri, luuäärät uuttuvat

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Kiinteätuottoiset arvopaperit Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin.

3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin. 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oesi ealta arvaamato todeäöisyys oudattaa täsmällisiä säätöjä. Tutustutaa iistä eseisimpii. Kertolasusäätö Tarastellaa esi tilaetta, jossa o asi

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viavirrat BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viojen aiheuttajat lastollinen ylijännite Laitteiden toiintahäiriö tai virhetoiinta nhiillinen erehdys Yliuoritus BLA7 ähöveroteniian

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutitolautauta S tudetexamesämde MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 5.9. HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastauste piirteide ja sisältöje luoehdita ei sido ylioppilastutitolautaua arvostelua.

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

RATKAISUT: 15. Aaltojen interferenssi

RATKAISUT: 15. Aaltojen interferenssi Physica 9. paios (6) : 5. a) Ku kaksi tai useapia aaltoja eteee saassa äliaieessa, aaltoje yhteisaikutus issä tahasa pisteessä o yksittäiste aaltoje sua. b) Ku aallot kohtaaat, haaitaa iide yhteisaikutus.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

Palaset irroittaa toisistaan voidaan järjestää uudestaan siten, että ne muodostavat seuraavan laisen

Palaset irroittaa toisistaan voidaan järjestää uudestaan siten, että ne muodostavat seuraavan laisen Seeia Torstai. 8. 000 iboacci lukujoolla tarkoitetaa jooa, joka. ja. luku ovat ykkösiä, ja uut luvut saadaa laskealla kaksi edellistä lukua yhtee. Se o saaut iesä 00 luvulla eläee iboaccicsi kutsutu Leoardo

Lisätiedot

Oppimistavoite tälle luennolle

Oppimistavoite tälle luennolle Oppiistavoite tälle lueolle Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit CHEM-A00 (5 op) Tislaus ja uutto Yärtää erotusprosessie suuittelu perusteet Tutea tislaukse ja uuto toiitaperiaatteet Tutea tpillisipiä

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009

KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 Kymijoe vesi ja ympäristö ry: julaisu o 199/2010 Jussi Mätye ISSN 1458-8064 TIIVISTELMÄ Tässä raportissa äsitellää Kiiu-, Savero- ja Silmujoe sähöoealastus-

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

Konttorikonemiehet Oy

Konttorikonemiehet Oy m m Konttorionemiehet Oy MALLISTO 2011-2012 Konttorionemiehet Oy Hintoihin sisältyy alv 23 %. Voimassa 31.1.2012 saaa Kaii hinnat voimassa 31.1.2012 saaa. Eri turvaluoat toimistopapereille Konttorionemiehet

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

Toimilaitteet AJAC, pneumaattinen

Toimilaitteet AJAC, pneumaattinen Toiilaitteet AJAC, peuaattie Käyttökohteet euaattie syliteritoiilaite autoaattisee kiii/auki- tai säätökäyttöö. Kaikille 90 käätyville sulkuvettiileille, esi. pallo-, läppä- ja tulppa. Laaduvaristus Toiilaittee

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12

Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12 Pallollse puolustae: Sokea ja ta käspallo/ Lppupallo Tavote: aalteo estäe sjottue puolustavalle puolelle, potku ta heto estäe, syöttäse estäe rstäe taklaus, pae tla vottase estäe sjottue puolustavalle

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut.

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut. MIGUITEETTIONGELM KNTOLLONVIHEMITTUKSESS JUKK TOLONEN Tenillinen oreaoulu Maanmittaustieteiden laitos otolone@cc.hut.fi . Johdanto Satelliittipaiannus perustuu vastaanottimen a satelliittien välisen etäisyyden

Lisätiedot

Lapinlahden@helluntaiseurakunta.fi. Pastori Teuvo Tikkanen 040 505 1139 teuvo.tikkanen@lapinlahdenhelluntaiseurakunta.fi

Lapinlahden@helluntaiseurakunta.fi. Pastori Teuvo Tikkanen 040 505 1139 teuvo.tikkanen@lapinlahdenhelluntaiseurakunta.fi Lapinlahdenti ehdeoltluunslteahistei uraunnan YHTEYS K e s ä- E l o u u 2 0 1 6 L A P I N L A H D E N H E L L UN T A I S E UR A K UN T A w w w. l a p i n l a h d en h el l u n t a i s eu ra u n t a. f

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 2 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja ostovoiman

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa

Lisätiedot

www.kastowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän.

www.kastowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän. Uusi KASTOwin Mestariteos sarjatuotantona www.astowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän. Enemmän uin ainutlaatuinen: Uusi KASTOwin. Kannattavan automaattisahausen asi täreintä teijää ovat: suuri leuuteho

Lisätiedot

Maantien 152 (Kehä IV) alustava suunnittelu FOCUS -alueen kohdalla

Maantien 152 (Kehä IV) alustava suunnittelu FOCUS -alueen kohdalla .. Maantien (Kehä IV) alustava suunnittelu FOCUS -alueen ohdalla Aluevaussuunnitela Tuusula Yhteystiedot P (Jaaonatu ) Vantaa Kotipaia Vantaa Y-tunnus - Puh. Fasi www.poyry.fi Pöyry Finland Oy Copyright

Lisätiedot

i lc 12. Ö/ LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 4,0 3,8 4,0 1 ( 5 ) L i e d o n a mma t ti - ja aiku isopisto

i lc 12. Ö/ LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 4,0 3,8 4,0 1 ( 5 ) L i e d o n a mma t ti - ja aiku isopisto i lc 12. Ö/ 1 ( 5 ) LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 1=Täysi n en mi eltä. 2=Jokseenki n er i m ieltä, 3= En osaa sanoa 4= Jokseenki n sa m a a mieltä, 5= Täysin sa ma a

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 205 PERUSTEIDEN SOVELTAMINEN 2 IKÄÄN JA PALKKAAN LIITTYVÄT SUUREET 2 2. IKÄLASKU 2 2.2 VAKUUTUSMAKSUN PERUSTEENA OLEVA PALKKA JA SEN ARVIOIMINEN

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003

Lisätiedot

Bernoullijakauma. Binomijakauma

Bernoullijakauma. Binomijakauma Beroulljaauma Beroull oe o ahde mahdollse ulostulo oe, jossa taahtumsta äytetää mtysä ostume ja eäostume. Esmerejä: rahahetto (ruua ta laava), lase sytymä (tyttö ta oa), helö verryhmä ( ta c ), oselja

Lisätiedot

KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA 2

KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA 2 KAUNIAISTEN KAUPUNKI GRANKULLA STAD KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA Myyjä Kauniaisten aupuni, Kauniaistentie 0, 0700 Kauniainen.

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 1 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Pakkauksen sisältö: Sire e ni

Pakkauksen sisältö: Sire e ni S t e e l m a t e p u h u v a n v a r a s h ä l y t ti m e n a s e n n u s: Pakkauksen sisältö: K e s k u s y k sikk ö I s k u n t u n n i s ti n Sire e ni P i u h a s a rj a aj o n e st or el e Ste el

Lisätiedot

Jäykistävän seinän kestävyys

Jäykistävän seinän kestävyys Esimeri Jäyistävän seinän estävyys 1.0 Kuormitus Jäyistävän seinän ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Laselman ysinertaistamisesi tarastellaan seinästä vain iuna-auon vasemman puoleista osaa,

Lisätiedot

KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA 2

KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA 2 KAUNIAISTEN KAUPUNKI GRANKULLA STAD KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA Myyä Kauniaisten aupuni, Kauniaistentie, 0700 Kauniainen.

Lisätiedot

9 ALIKERAVA 381 AK-58 AK-69 LPA-22 259 K-8 LPA-22 LPA 314 K-27 AK-43 LPA AK-43 T-1 2:146 SAMPOLANKATU SIBELIUKSENTIE. i-21. 40 db. 40 db +68.10.

9 ALIKERAVA 381 AK-58 AK-69 LPA-22 259 K-8 LPA-22 LPA 314 K-27 AK-43 LPA AK-43 T-1 2:146 SAMPOLANKATU SIBELIUKSENTIE. i-21. 40 db. 40 db +68.10. 8 0 8. Kp 0 8. 8. LPA- :6 0--6-M60.7 8..6 6 I II.8 KESKUSTA K-8 t 7 II 0 SAMPOLANKATU...0 SIBELIUKSENTIE.. 0 öintitalo SANTANIITYNKUJA Santaniitynuja 8 8.6 8. 8 AK-6 8 SANTANIITYNKUJA pp/t LPA 0 AK- 7

Lisätiedot

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

BH60A0900 Ympäristömittaukset

BH60A0900 Ympäristömittaukset BH60A0900 Yäitöittauket Lakuhajoitu Kuiva ja kotea kaau, tilavuuvita ehtävä Savukaau läötila o 00 ja aie 99 kpa. ekittäviät kaaukooetit ovat 0 %, H 0 %, 0 % ja lout tyeä. ikä o a) kotea ja kuiva kaau tilavuukie

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) 2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

NUMMELAN CITYMARKETIN LAAJENNUKSEN LIIKENTEELLISET VAIKUTUKSET

NUMMELAN CITYMARKETIN LAAJENNUKSEN LIIKENTEELLISET VAIKUTUKSET T UMM TYMKT UKS KTST VKUTUKST ähtöohdat uelan ityaret laajenee noin errosneliöetrin uudella liietilalla aajennus johtaa uutosiin pysäöinnin järjestelyissä Uusia pysäöintipaioja ei uitenaan tule uin yenunta

Lisätiedot

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015 Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015 Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus

KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus KERTAUSHARJOITUKSIA Tilastoje esittämie. a) -9 vuotiaita tyttöjä 377 Koko väestö 9 73 77 Näide tyttöje osuus 3, 0 % 9 73 b) Pojat ja tytöt: 3 377 + 77 = 39 4 39 4 Osuus koko väestöstä, % 9 73 c) Ikäluokka

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet. Kokooma 16.3.2009. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 26.1.2009.

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet. Kokooma 16.3.2009. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 26.1.2009. Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet Koooma 6.3.29. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 26..29. Voimaantulosäännöset TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN

Lisätiedot