Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia"

Transkriptio

1 Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti uutaia tällaisiaalleja Mallito uotoiltutehtävisi rataisuiee Muutaat rataisut eivät oieastaa rataise esitettyä ogelaa, vaa atavat äyttöö eriä, jolla rataisu voisi ilaista, seä palautusaava jota äyttäe ueeriset rataisut ovat periaatteessa löydettävissä Moet allit perustuvat joseei suoraa tuloperiaatteesee, jota voi utsua yös laseallise obiatoriia perusperiaatteesi: Jos toiepide T voidaa puraa perääisisi osatoiepiteisi T 1, T 2,, T ja jos osatoiepide T j voidaa tehdä a j eri tavalla, ii toiepide T voidaa tehdä a 1 a 2 a eri tavalla 1 Motao : alio jooa voidaa uodostaa :stä eri aliosta, u saa alio voi esiityä useai ui erra? Rataisu Joaiselle :lle paialle voidaa valita, toisista valioista riippuatta, joi :stä eri aliosta Mahdollisuusie luuäärä o siis } {{ } = pl 2 Motao : eri alio jooa voidaa uodostaa :stä eri aliosta? Rataisu Esiäie alio voidaa valita :llä tavalla, seuraavaa jää 1 ahdollisuutta je Eri jooja tulee oleaa ( 1) ( +1)= appaletta Ku! ( )! =, joojeäärä o! 3 Motao : alio jouoa voidaa uodostaa :stä eri aliosta? Rataisu Edellise perusteella eri aliota voidaa laittaa jooo! eri tavalla Jos x o ysytty jouoje äärä, voidaa edellise uero ( tulos ) lasea yös( uodossa ) x!! Yhtälöstä x! = ( )! rataistaa x =!!( )! = Syboli luetaa : yli (Eglaisi choose ) 4 Misi bioiaava pätee eli Rataisu (a + b) = =0 a b? (a + b) =(a + b)(a + b) (a + b) } {{ } pl Ku oiea puole tulosta poistetaa suleet, ii teri a b saadaa joaisella sellaisella valialla, jossa joistai :sta tulo teijästä poiitaa a ja lopuista :sta teijästä b teijää voidaa valita eri tavalla

2 2 5 Motao eri jooa voidaa uodostaa :stä ollastaja:stä yösestä? ( Rataisu ) Valitaa :lle ollalle paiat + : paia jouosta Tää voidaa tehdä + tavalla 6 Moessao : olla ja : yöse joossa ei ole perääisiä yösiä? Rataisu Kirjoitetaa ollaa jooo Esiäistä ollaa ee, ollie välissä ja viieise olla jälee o yhteesä ( + 1 paiaa ) Joaisessa joo o ysi yöe tai +1 ei yhtää yöstä :llä yöselläo eri ahdollisuutta täyttää äitä paioja Jos >+ 1, joo ei ole ahdollie 7 Moellao tavalla :stä erilaisesta aliosta voidaa valita aliota, jos saa alio voidaa valita useita ertoja, utta aii aliot o valittava aiai erra? (Siis ) Rataisu Ajatellaa :ta loeroa rivissä Esiäisii loeroihi laitetaa esiäiset aliot, sitte laitetaa pasupi väliseiä, sitte seuraavii toiset je Eri valitoje äärä ilaisevat pasupie väliseiie äärät Väliseiiä( tarvitaa ) 1 appaletta 1 ja iide ahdollisia paioja o 1 Eri valitoja o siis 1 8 Moellao tavalla :stä erilaisesta aliosta voidaa valita aliota, jos saa alio voidaa valita useita ertoja? Rataisu Luuäärä o saa ui jos olisi valittava ( + aliota ) ( ja valiassa ) tulisi olla uaa aiie : alio aiai erra, siis = 1 9 Moellao tavalla erilaista aliota voidaa sijoittaa :ää eri laatioo? Rataisu Esiäie pallo voidaa sijoittaa :llä eri tavalla, toie edellisestä riippuatta yös :llä eri tavalla je Tapoja o siis appaletta 10 Moellao tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo? Rataisu Oloot laatiot A, B,, X, issä irjaiia o appaletta Tehtävä o saa ui uodostaa : alio joo irjaiista, u ui irjai voi esiityä ielivaltaise ota ) ertaa (tietysti eitää ertaa) Kohda 7 perusteella eri tapoja o ( Moellao tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos ysiää laatio ei saa jäädä tyhjäsi? Rataisu Tehtävä o saa( ui jos) sijoitettaisii idettistä palloa :ää erilaisee 1 1 laatioo Rataisu o siis = 1

3 12 Moellao tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos j:tee laatioo tulee sijoittaa j palloa ( = )? Rataisu Esiäisee( laatioo ) voidaa sijoittaa iä hyväsä palloje 1 -alioie osajouo Tapoja o siis Jostää o tehty, toisee laatioo voi sijoittaa jäljelle 1 1 jääeide iä tahasa 2 -alioise osajouo; äitä tapojao je Tapoja o aiiaa! 1!( 1 )! ( 1 )! 2!( 1 2 )! ( ( )! 1!( ( ))! ( )! = 1! 2!! =, 1, 2,, sillä ( )= 13 Jos joo uodostuu :stä erisybolista1, 2,,, se pituus o, jaj esiityy joossa j ertaa, ii oeeo eri järjestysee joo voidaa irjoittaa?! Rataisu Tehtävä o saa ui edellie; vastaus o siis 1! 2!! 14 Moellao tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos iää laatio ei saa jäädä tyhjäsi? Rataisu Luuäärä o ( ) = T (, ) 1, 2,, = 1, 2,, Voidaa osoittaa, että T toteuttaa palautusaava u 1 << T (, ) =(T ( 1, 1) + T ( 1, )), 15 Motao -irjaiista saaa voidaa uodostaa :stä irjaiesta, jos joaista irjaita o äytettävä aiai erra? Rataisu Tehtävä o saa ui edellie 16 Moellao tavalla erilaista aliota voidaa jaaa :si osajouosi, joide oot ovat 1, 2,,? ( ) Rataisu Jos osajouot olisivat iettyjä, luuäärä olisi Oloo 1, 2,, 1-alioisia jouoja r 1, 2-alioisia jouoja r 2 je Kosa jouoje järjestysellä eiole väliä, tehtävä vastaus o ( ) 1, 2,, r 1!r 2!r 3! r! 2 3

4 4 17 Moellao tavalla aliota voidaa jaaa :si epätyhjäsi osajouosi? Rataisu Ku verrataa ueroo 13 ja otetaa huoioo, että jouoteivät yt ole 1 iettyjä, saadaa vastausesi T (, )! 18 Moellao tavalla positiivie ooaisluu voidaa lausua : positiivise ooaisluvu suaa? Rataisu Kysyttyä luua eritää P (, ) Sillä ei ole ysiertaista lauseetta, utta voidaa osoittaa, ettäpätee palautusaava u 1 << P (, ) =P ( 1, 1) + P (, ), 19 Moellao tavalla esieet a 1,a 2,, a voidaa sijoittaa loeroihi A 1,A 2,, A ii, että a i ei ole loerossa A i illää i, 1 i? Rataisu Jos ysytty luuäärä of(), ii f(1) = 0 ja f(2) = 1 Oletetaa, että f() tuetaa, u ja tarastellaa sijoittelua, u esieitä ja loeroita o +1 Oletetaa, että a +1 o sijoitettu loeroo A j, j Sellaisia väärisijoitteluja, joissa a j o sijoitettu loeroo A +1 o f( 1) appaletta Sellaisia väärisijoitteluja, joissa a j ei ole loerossa A +1 o f() appaletta Kosa A j voidaa valita :llä eri tavalla, f( +1)=(f()+f( 1)) Mutta yt f( +1) ( +1)f() =f( 1) f() = ( 1)(f() (f( 1)) ja edellee f(+1) (+1)f()=( 1) 1 (f(2) 1 f(1) = ( 1) 1 tai f() f( 1) = ( 1) 2 =( 1) Tää yhtälö voi irjoittaa uotoo f()! f( 1) ( 1)! = ( 1)! Ku edelliset yhtälöt irjoitetaa arvoilla =2, 3,, ja lasetaa puolittai yhtee, saadaa f() f(1) = ( 1) + ( 1) 1 ( 1)2 + +,! 1!! ( 1)! 2! joa voi sievetää uotoo f() =! (1 ) ( 1) ! 12! 13!! (Suleissa oleva sua lähestyy raja-arvoa e 1 0,368, u ) 20 Mite voidaa lasea yhdistee A 1 A 2 A alioide luuäärä? Rataisu Meritää jouo X alioide luuäärää sybolilla X Kysyyse (ysi) vastaus o A 1 A 2 A = A i A i A j + 1 i<j< i=1 1 i<j A i A j A +( 1) 1 A 1 A 2 A (1)

5 Edelllise aava (jota iitetää sua ja erotuse periaatteesi tai iluusio ja esluusio periaatteesi)perusteleisesitarastellaa alio x, joa esiityy tasa :ssa, 1, jouoista A i, otribuutiota yhtälö eri puolille Vasealle puolelle alio ataa otribuutio 1: se o ysi yhdistee alioista ( Oiea ) puole esiäisee suaa alio tuottaa luvu, toisee suaa luvu, sillä x o uaa aiissa sellaisissa 2 pareissa A i,a j, joissa seä A i että A j ovat iide : osajouo jouossa, joihi x uuluu Vastaavasti olas sua tuottaa luvu je Viieie sua, josta x tuottaa 3 positiivise otribuutio o se, ( jossa ) äydää läpi : osajouo leiauset Tähä suaa otribuutio o 1 eli Mutta ( + +( 1) 1 = ) +( 1) =1 (1 1) =1 2 Alio otribuutio sua oleille puolille o siis saa Kosa x o ielivaltaie, yhtälö (1) o voiassa Muutaa obiatorie lasu- ja harjoitustehtävä 1 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö? 2 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö, jos saa aiie irjaiie o oltava eri irjaiia? 3 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö, jos saassa ei saa olla ahta saaa perääistä irjaita? 4 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä Ö, jos saa irjaite o oltava o oltava eri irjaiia ousevassa tai lasevassa aaosjärjestysessä? 5 Autoje reisterituusissa o asi tai ole irjaita aaostosta A, B, C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z ja luu väliltä 1,, 999 Moio auto voi saada eri reisterituuse? 5 6 Osoita obiatorisesti, että = ja + = Jouossa o aliota Motao eri osajouoa sillä o?

6 6 8 Moellao tavalla ole autoa voidaa pysäöidä seitseälle viereäiselle pysäöitipaialle ii, että joaise ahde auto välii jää aiai ysi tyhjä paia? 9 Moellao tavalla voidaa valita ole ueroa jouosta {0, 1, 2,, 9}, jos jouossa ei saa olla perääisiä ueroita? 10 Kuia suuri osa ahdollisista lottoriveistä o sellaisia, joissa ei esiiy ahta perääistä ueroa? (Lotossa arvotaa 7 ueroa jouosta {1, 2,, 39}) 11 Motao ousevaa jooa a 1 a 2 a 9 a 10 voidaa uodostaa jouo {1, 2,, 20} luvuista? 12 Todista, että luu(2)! o jaollie luvulla (!) 2 13 Sehä yt voidaa tehdä tuhaella ja yhdellä tavalla! Etsi bioiertoiie avulla asia, joa voidaa tehdä tasa 1001:llä eri tavalla 14 Moellao tavalla 52 orttia voidaa jaaa eljälle pelaajalle A, B, C ja D, ii että joaiesaa13orttia? 15 Muua sua uotoo x y 16 Poeriäsi o viide eri orti jouo 52 orti stadardipaasta, jossa o eljä 13 orti aata Lase a) poeriäsie luuäärä; b) sellaiste poeriäsie luuäärä, joissa aii ortit ovat saaa aata ( väri ); c) sellaiste äsie luuäärä, jossa aii ortit ovat saaa aata ja perääisiä ueroita; ässä voi saada joo uero 1 tai uero 14 ( värisuora ); d) sellaiste äsie luuäärä, joissa o eljä saaueroista orttia ( eloset ); e) sellaiste äsie luuäärä, joissa o asi saaueroista orttia ja ole aiitusta uerosta eroavaa utta saaueroista orttia ( täysäsi ); f) sellaiste äsie luuäärä, joissa o ole saaueroista orttia, utta jossa asi uuta orttia ovat eseää eriueroisia ja eriueroisia ui ole saaueroista ( oloset ), g) sellaiste äsie luuäärä, joissa o viisi perääistä ueroa ja ässä voi olla uero 1 tai uero 14 ( suora ); h, i) Ku olet päässyt äi hyvää aluu, voit vielä lasea äsie asi paria ja pari luuäärä Harjoitustehtävie rataisuja 1 Aaosia o 29, ja u joaiselle saa viidelle paialle voi valita irjaie 29:lla eri tavalla, valitoja voi tehdä aiiaa 29 5 = appaletta 2 Esiäie irjai voidaa valita 29:llä eri tavalla, seurava 28:lla je Eri valitoja o = appaletta

7 3 Esiäie irjai voidaa valita 29:llä eri tavalla Toisesi irjaiesi elpaa iä tahasa uu ui esiäisesi valittu irjai Vaihtoehtoja o siis 28 Kolaesi irjaiesi elpaa iä hyväsä uu ui toisesi valittu irjai Vaihtoehtoja o taas 28 Näi jatae todeta, että ehdo täytäviä viisiirjaiisia saoja o = appaletta 7 4 Joaie viide eri irjaie( jouo ) voidaa asettaa ousevaa tai lasevaa aaosjärjestysee Saoja o siis 2 = = = ! appaletta 5 [Oletteo osaa äheet suoalaista reisteriilpeä, jossa olisi irjai D?] Jos esitetyt ehdot pitävät paiasa, tuuse irjaiosa esiäie ja toie irjai voidaa valita upii 23:llä eri tavalla ja olas 24:llä eri tavalla, osa olae irjaie puuttuie o yös ysi ahdollisuus [Itse asiassa irjai o vai perävauuje tuusissa, ja e voivat alaa yös olla yös W:llä, utta jätetää tää ottaatta huoioo] Kirjaiet voidaa siis valita = eri tavalla Nuero-osaa o 999 valitaahdollisuutta Erilaisia tuusia voi siis olla = appaletta 6 1 rataisu Ajatellaa ole auto vieree jäävää eljää tilaa laatioia, joihi sijoitetaa eljää palloa, joista ui eritsee yhtä vapaata paiaa Autoje välii tulevat laatiot eivät saa jäädä tyhjisi, utta autoje ulopuolella olevat asi laatioa voivat olla tyhjiäi Jos autoje välissä olevissa ahdessa laatioissa o asi palloa, loput asi palloa voidaa sijoittaa olella tavalla: asi vasepaa laitaa, ysi olepii laitoihi tai asi oieaa laitaa Jos välilaatioissa o ole palloa, e voivat olla ahdella eri tavalla Viieie pallo voi sei olla ahdessa paiassa, jote tällaisia ahdollisuusia o 2 2 = 4 Jos viiei aii eljä palloa sijoitetaa ahtee välilaatioo, ii ahdollisuusia o ole: vaseapuoleisessa laatiossa o 1, 2 tai 3 palloa Kaiiaa vaihtoehtoja o siis = 10 appaletta 2 rataisu Neljää viereäisee tyhjää paiaa liittyy viisi viereistä paiaa, joissa joaisessa o auto tai ei ole autoa Eri tapoja sijoitaa ole autoa äille paioille o 5 = Joaista -alioise jouo A-alioista osajouoa B vastaa ( )-alioie osajouo A \ B ja joaista ( )-alioista osajouoa C-alioie osajouo ( A \ C ) - alioisia osajouoja ja ( )-alioisia osajouoja o yhtä paljo, jote = Tarastellaa jouoa A, jossa o + 1 aliota Valitaa iistä ysi, a Kaii jouo A ( + 1)-alioiset osajouot voidaa jaaa ahtee erillisee jouoo, iihi joissa a o uaa ja iihi, joissa a ei ole uaa Edellisiä oyhtäpaljoui-alioisessa jouossa A \{a} o -alioisia osajouoja eli Jäliäisiä oyhtäpaljoui

8 8 jouossa A \{a} o ( + 1)-alioisia osajouoja eli +1 Siis = + 8 Seitseä ei-valittava uero vieressä o ahdesa paiaa, joissa voi olla tai olla 8 oleatta ysi valittavista olesta uerosta Kahdesa alio jouolla o =56 3 osajouoa 9 Osajouo voidaa uodostaa :ssä vaiheessa päättäällä ui jouo alio ohdalla, uluuo se osajouoo vai ei Tuloperiaattee ojalla eri osajouoja o 2 Muaa ovat tällöi jouo itse ja tyhjä jouo 10 Lottorivejäoyhtä ota ui sellaisia 39 eri pituisia olla ja yöse jooja, joissa o tasa seitseä yöstä ja 32 ollaa Rivit, joissa ei ole perääisiäueroita, vastaavat jooja, ( joissa ) ahde yöse välissä o aiai ysi olla Saoi ui ( esellä, ) äitä joojao = appaletta Kosa lottorivejä o aiiaa = appaletta, harvoja rivejä o oi 27,8 % aiista 11 Jos 1 a 1 a 2 a 9 a 10 10, ii a 1 <a 2 +1<a 3 +2<<a ja jos 1 b 1 <b 2 < < b 10 19, ii 1 b 1 b 2 1 b 3 2 b Tehtävässä ysytjä jooja o siis yhtä ota ui aidosti ousevia jooja 1 b 1 <b 2 < < b 10 19; ( äitä ) oyhtä ota ui jouolla {1, 2,, 19} o yealioisia 19 osajouoja eli = (2)! (!) 2 = (2)!!(2 )! = 2 Bioiertoiet ovat ooaisluuja = Etsitää bioierroi = Luvu o oltava Piee oeilu jälee huoaa, että = = elpaa Tasa tavalla voi siis esierisi valita eljä eri pizza täytettä, jos vaihtoehtoja o Ajatellaa ortit aettavasi järjestysessä ( esia:lle, ) sitte B:lle, sitte C:lle ja 52 lopusi D:lle A:lle voidaa jaaa aiiaa erilaista jouoa B: oletoista orttia voidaa tää jälee valita 39:stä ahdollisesta, ja eri vaihtoehtoja o Nyt jäljellä o vielä 26orttia,jaC:lle iistä voidaa ataa 13 eri tavalla D: o 13

9 9 tyytyie jäljelle jääeisii 13 orttii Eri tapoja tehdä jao o siis = 52! ! 39! 39! 13! 26! 26! 13! 13! = 52! (13!) 4 = eli yli viisiyetätuhatta vadriljooaa [O elei ahdotota, että uolla seoitetuista paoista voisi tulla idettiset bridgejaot Mutta uollie seoittaie o oa ogelasa] 15 Käytetää hyväsi bioiertoiie perusoiaisuutta sua o siis saa u =0 = Tehtävä Tää havaito teee ahdollisesi ataa tehtävä sualle obiatorise tulia Ajatellaa jouoa, jossa o 2 aliota, esierisi A = {1, 2,, 2} Jaetaa jouo ahdesi osajouosi, joissa oleissa o aliota, esierisi B = {1, 2,, } ja C = { +1,+2,, 2} Nyt joaie A: osajouo E o uotoa (E B) (E C) Lasetaa aiie A: osajouoje luuäärä ii, että aiilla = 0, 1,, lasetaa sellaiset A: osajouot E, ( joissa ) ( E B) o -alioie ja E C o ( )- alioie Tällaisia jouoja o juuri appaletta Kosa A:lla o aiiaa 2 2 -alioista osajouoa, o tehtävässä ysytty sua 16 ( a) Poeriäsiä ) oyhtä ota ui 52: alio jouolla o viisialioisia osajouoja, 52 siis = appaletta b) Tapoja valita ysi eljästä väristä o 4 ja tapoja 5 13 valita Viide orti jouo 13 ortista o = 5148 c) Värille o 4 vaihtoehtoa ja 5 aliaueroiselle ortille 10 Erilaisia värisuoria o 40 d) Neljästi esiityvä uero voi olla iä hyväsä 13vaihtoehdostajaviidesiä hyväsä lopuista 48 ortista Vaihtoehtoja siis = 642 e) Se uero, joa esiityy olesti, voidaa valita 13 tavalla ja eljästä saaueroisesta ortista voidaa valita ole eljällä tavalla Se uero, jota o asi, voidaa valita ( 12:lla ) tavalla ja tapoja valita e asi, jota eljästä vaihtoehdosta otetaa uaa, o = 6 Erilaisia täysäsiä o = 1872 appaletta 4 2 f) Tapoja valita ole saaueroista orttia o 13 4 = 52 Neljäs ortti voi olla iä hyväsä 48:sta uuueroisesta Viideelle ortille o sitte 44 eri vaihtoehtoa Nyt uitei eriueroiset yhdistelät tulee lasetuisi ahdesti, jote olosäsiä o siis /2 = erilaista g) Ali uero voidaa valita 10:llä eri tavalla Korttie värit voidaa valita ueroista riippuatta Viide orti värit voidaa valita ui toisista riippuatta eljällä eri tavalla Värivalitoja o siis 4 5 = 2 10 = 1024

10 10 Erilaisia suoria o appaletta (Jos lasetaa värisuorat ( pois, ) jää jäljelle tavallista suoraa h) Pariorttie ueroyhdistelälle o =6 13 vaihtoehtoa ja 13 2 uassai parissa aat voi taas valita uudella tavalla Viides ortti o iä tahasa pariorttie uerosta eroava Mahdollisuusia o 44 erilaista Kasi paria -äsiä o siis = appaletta i) Pariortilla o 13 uerovaihtoehtoa ja 6 aayhdistelävaihtoehtoa Kolas ortti o joi 48 uusta, eljäs joi 44:stä uusta ja viides joi 40:stä uusta Nyt uitei saa yhdistelä tulee lasetusi uudessa eri järjestysessä Vaihtoehtoja o siis /6 = appaletta Tai: Tapoja valita orttipari o 13 6 = 78 appaletta Muide ole orti ueroyhdisteliä o 12 yhtä ota ui ahdetoista alio jouolla olialioisia osajouoja, siis = appaletta Joaie äistä olesta ortista voi olla eljää eri aata Vaihtoehtoja o 4 3 = 64 Kaiiaa vaihtoehtoja o = appaletta Lasettuje luuäärie perustella voi äärittää poeri erilaiste äsie todeäöisyysiä Pelitilae o oiutaisepi Esierisi tieto oista orteista uuttaa vastustajie äsie todeäöisyysiä: jos itsellä o ässäpari, uilla pelaajilla ei voi olla ässäelosia Jos paassa o joeri, luuäärät uuttuvat

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Laskennallisen kombinatoriikan 17 perusongelmaa

Laskennallisen kombinatoriikan 17 perusongelmaa Laskeallise kobiatoriika 17 perusogelaa Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, joukkoje je. lukuääriä, o taustalla joki uutaista peruslaskutavoista tai laskuogelista. Tässä esitellää

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Kiinteätuottoiset arvopaperit Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2 / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usea vapausastee vaeeato oasvärähtely osa MONINKERAISE OMINAISAAJUUDE Sesso MS oreeratu oasuodo { lasetaeetelässä oletett, että o ysertae oasulataauus. arastellaa velä tapausta,

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,

Lisätiedot

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin.

3.6 Todennäköisyyden laskusääntöjä Onneksi ennalta arvaamaton todennäköisyys noudattaa täsmällisiä sääntöjä. Tutustutaan niistä keskeisimpiin. 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä 3.6 Todeäöisyyde lasusäätöjä Oesi ealta arvaamato todeäöisyys oudattaa täsmällisiä säätöjä. Tutustutaa iistä eseisimpii. Kertolasusäätö Tarastellaa esi tilaetta, jossa o asi

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

Klassinen todennäköisyys

Klassinen todennäköisyys TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Multiomiertoimet Johdatus todeäöisyyslasetaa Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi 55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Diskreetin ateatiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Tuntitehtävät 31-32 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 35-36 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 33-34 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

Eulerin φ-funktion ominaisuuksia

Eulerin φ-funktion ominaisuuksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

F e. R kertaa ioniparien lukumäärä N. Kun laskemme tämän yhteen Coulombin attraktioenergian kanssa saamme kiteen kokonaisenergiaksi.

F e. R kertaa ioniparien lukumäärä N. Kun laskemme tämän yhteen Coulombin attraktioenergian kanssa saamme kiteen kokonaisenergiaksi. S-436, FYSIIKKA IV (EST) Kevät 5, LH Rtisut LH- Lse liui Ferieergi olettll että joie toi luovutt yhde eletroi johtovyöhö Johtvuuseletroit uodostvt vp vuoroviutttto eletroisu Kliui tiheys o 8,5 g / c 3

Lisätiedot

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev:

Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev: LH0- H vetyioi perustila eergia (ytimie välimata, 06 Å) eergia verrattua systeemii, jossa perustilassa oleva vetyatomi ja H -ioi ovat äärettömä auaa toisistaa o,65 ev Lase a) H : eergia verrattua systeemii

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 23: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 1

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 23: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 1 / VÄRÄHTELYEANIIA SESSIO : Usean vapausasteen vaeneaton onasvärähtely osa JOHDANTO Usean vapausasteen systeen leyhtälöt ovat ylesessä tapausessa uotoa [ ]{ & } [ C]{ & } [ ] { } { F} & ( un vaennusta e

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

8. Ortogonaaliprojektiot

8. Ortogonaaliprojektiot 44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie

Lisätiedot

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viavirrat BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viojen aiheuttajat lastollinen ylijännite Laitteiden toiintahäiriö tai virhetoiinta nhiillinen erehdys Yliuoritus BLA7 ähöveroteniian

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta.

, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta. Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) TEKIE YTEEVETO I Otata-asetelmat ja estimoitiasetelmat Perusjouo ja muuttujat Äärellie perusjouo U = {,...,,..., } Tulosmuuttuja y tutemattomat arvot Y,,Y,,Y

Lisätiedot

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH, Rataisut LHSf-* Kaasusäiliö o jaettu ahtee osaa, joide välisee eristävää seiämää o tehty iei ymyrämuotoie auo, joa halaisija o D Säiliö molemmissa osissa o helium aasua

Lisätiedot

Oletteko tyytyväinen: 1. Saamanne tiedon määrään kerhopaikkaa hakiessanne?

Oletteko tyytyväinen: 1. Saamanne tiedon määrään kerhopaikkaa hakiessanne? ILTAPÄIVÄTOIMINNAN KYSELY KEVÄÄLLÄ, VANHEMPIEN OSUUS, KAIKKI KERHOT 1/5 Oletteo : 1. Saamae tiedo määrää erhoaiaa haiessae? Erittäi osaa tyytymätö tyytymätö saoa 13 % 53 % 7 % 23 % 3 % 17 % 48 % 28 % 7

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutitolautauta S tudetexamesämde MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 5.9. HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastauste piirteide ja sisältöje luoehdita ei sido ylioppilastutitolautaua arvostelua.

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

RATKAISUT: 15. Aaltojen interferenssi

RATKAISUT: 15. Aaltojen interferenssi Physica 9. paios (6) : 5. a) Ku kaksi tai useapia aaltoja eteee saassa äliaieessa, aaltoje yhteisaikutus issä tahasa pisteessä o yksittäiste aaltoje sua. b) Ku aallot kohtaaat, haaitaa iide yhteisaikutus.

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto DEE-54 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Lueto 7 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Risto Mikkoe..4 Läöjohtuise leie osittaisdiffereretiaalihtälö t E g c p Sähköageettiste järjestelie läösiirto

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2. / ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot