Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia"

Transkriptio

1 Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti uutaia tällaisiaalleja Mallito uotoiltutehtävisi rataisuiee Muutaat rataisut eivät oieastaa rataise esitettyä ogelaa, vaa atavat äyttöö eriä, jolla rataisu voisi ilaista, seä palautusaava jota äyttäe ueeriset rataisut ovat periaatteessa löydettävissä Moet allit perustuvat joseei suoraa tuloperiaatteesee, jota voi utsua yös laseallise obiatoriia perusperiaatteesi: Jos toiepide T voidaa puraa perääisisi osatoiepiteisi T 1, T 2,, T ja jos osatoiepide T j voidaa tehdä a j eri tavalla, ii toiepide T voidaa tehdä a 1 a 2 a eri tavalla 1 Motao : alio jooa voidaa uodostaa :stä eri aliosta, u saa alio voi esiityä useai ui erra? Rataisu Joaiselle :lle paialle voidaa valita, toisista valioista riippuatta, joi :stä eri aliosta Mahdollisuusie luuäärä o siis } {{ } = pl 2 Motao : eri alio jooa voidaa uodostaa :stä eri aliosta? Rataisu Esiäie alio voidaa valita :llä tavalla, seuraavaa jää 1 ahdollisuutta je Eri jooja tulee oleaa ( 1) ( +1)= appaletta Ku! ( )! =, joojeäärä o! 3 Motao : alio jouoa voidaa uodostaa :stä eri aliosta? Rataisu Edellise perusteella eri aliota voidaa laittaa jooo! eri tavalla Jos x o ysytty jouoje äärä, voidaa edellise uero ( tulos ) lasea yös( uodossa ) x!! Yhtälöstä x! = ( )! rataistaa x =!!( )! = Syboli luetaa : yli (Eglaisi choose ) 4 Misi bioiaava pätee eli Rataisu (a + b) = =0 a b? (a + b) =(a + b)(a + b) (a + b) } {{ } pl Ku oiea puole tulosta poistetaa suleet, ii teri a b saadaa joaisella sellaisella valialla, jossa joistai :sta tulo teijästä poiitaa a ja lopuista :sta teijästä b teijää voidaa valita eri tavalla

2 2 5 Motao eri jooa voidaa uodostaa :stä ollastaja:stä yösestä? ( Rataisu ) Valitaa :lle ollalle paiat + : paia jouosta Tää voidaa tehdä + tavalla 6 Moessao : olla ja : yöse joossa ei ole perääisiä yösiä? Rataisu Kirjoitetaa ollaa jooo Esiäistä ollaa ee, ollie välissä ja viieise olla jälee o yhteesä ( + 1 paiaa ) Joaisessa joo o ysi yöe tai +1 ei yhtää yöstä :llä yöselläo eri ahdollisuutta täyttää äitä paioja Jos >+ 1, joo ei ole ahdollie 7 Moellao tavalla :stä erilaisesta aliosta voidaa valita aliota, jos saa alio voidaa valita useita ertoja, utta aii aliot o valittava aiai erra? (Siis ) Rataisu Ajatellaa :ta loeroa rivissä Esiäisii loeroihi laitetaa esiäiset aliot, sitte laitetaa pasupi väliseiä, sitte seuraavii toiset je Eri valitoje äärä ilaisevat pasupie väliseiie äärät Väliseiiä( tarvitaa ) 1 appaletta 1 ja iide ahdollisia paioja o 1 Eri valitoja o siis 1 8 Moellao tavalla :stä erilaisesta aliosta voidaa valita aliota, jos saa alio voidaa valita useita ertoja? Rataisu Luuäärä o saa ui jos olisi valittava ( + aliota ) ( ja valiassa ) tulisi olla uaa aiie : alio aiai erra, siis = 1 9 Moellao tavalla erilaista aliota voidaa sijoittaa :ää eri laatioo? Rataisu Esiäie pallo voidaa sijoittaa :llä eri tavalla, toie edellisestä riippuatta yös :llä eri tavalla je Tapoja o siis appaletta 10 Moellao tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo? Rataisu Oloot laatiot A, B,, X, issä irjaiia o appaletta Tehtävä o saa ui uodostaa : alio joo irjaiista, u ui irjai voi esiityä ielivaltaise ota ) ertaa (tietysti eitää ertaa) Kohda 7 perusteella eri tapoja o ( Moellao tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos ysiää laatio ei saa jäädä tyhjäsi? Rataisu Tehtävä o saa( ui jos) sijoitettaisii idettistä palloa :ää erilaisee 1 1 laatioo Rataisu o siis = 1

3 12 Moellao tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos j:tee laatioo tulee sijoittaa j palloa ( = )? Rataisu Esiäisee( laatioo ) voidaa sijoittaa iä hyväsä palloje 1 -alioie osajouo Tapoja o siis Jostää o tehty, toisee laatioo voi sijoittaa jäljelle 1 1 jääeide iä tahasa 2 -alioise osajouo; äitä tapojao je Tapoja o aiiaa! 1!( 1 )! ( 1 )! 2!( 1 2 )! ( ( )! 1!( ( ))! ( )! = 1! 2!! =, 1, 2,, sillä ( )= 13 Jos joo uodostuu :stä erisybolista1, 2,,, se pituus o, jaj esiityy joossa j ertaa, ii oeeo eri järjestysee joo voidaa irjoittaa?! Rataisu Tehtävä o saa ui edellie; vastaus o siis 1! 2!! 14 Moellao tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos iää laatio ei saa jäädä tyhjäsi? Rataisu Luuäärä o ( ) = T (, ) 1, 2,, = 1, 2,, Voidaa osoittaa, että T toteuttaa palautusaava u 1 << T (, ) =(T ( 1, 1) + T ( 1, )), 15 Motao -irjaiista saaa voidaa uodostaa :stä irjaiesta, jos joaista irjaita o äytettävä aiai erra? Rataisu Tehtävä o saa ui edellie 16 Moellao tavalla erilaista aliota voidaa jaaa :si osajouosi, joide oot ovat 1, 2,,? ( ) Rataisu Jos osajouot olisivat iettyjä, luuäärä olisi Oloo 1, 2,, 1-alioisia jouoja r 1, 2-alioisia jouoja r 2 je Kosa jouoje järjestysellä eiole väliä, tehtävä vastaus o ( ) 1, 2,, r 1!r 2!r 3! r! 2 3

4 4 17 Moellao tavalla aliota voidaa jaaa :si epätyhjäsi osajouosi? Rataisu Ku verrataa ueroo 13 ja otetaa huoioo, että jouoteivät yt ole 1 iettyjä, saadaa vastausesi T (, )! 18 Moellao tavalla positiivie ooaisluu voidaa lausua : positiivise ooaisluvu suaa? Rataisu Kysyttyä luua eritää P (, ) Sillä ei ole ysiertaista lauseetta, utta voidaa osoittaa, ettäpätee palautusaava u 1 << P (, ) =P ( 1, 1) + P (, ), 19 Moellao tavalla esieet a 1,a 2,, a voidaa sijoittaa loeroihi A 1,A 2,, A ii, että a i ei ole loerossa A i illää i, 1 i? Rataisu Jos ysytty luuäärä of(), ii f(1) = 0 ja f(2) = 1 Oletetaa, että f() tuetaa, u ja tarastellaa sijoittelua, u esieitä ja loeroita o +1 Oletetaa, että a +1 o sijoitettu loeroo A j, j Sellaisia väärisijoitteluja, joissa a j o sijoitettu loeroo A +1 o f( 1) appaletta Sellaisia väärisijoitteluja, joissa a j ei ole loerossa A +1 o f() appaletta Kosa A j voidaa valita :llä eri tavalla, f( +1)=(f()+f( 1)) Mutta yt f( +1) ( +1)f() =f( 1) f() = ( 1)(f() (f( 1)) ja edellee f(+1) (+1)f()=( 1) 1 (f(2) 1 f(1) = ( 1) 1 tai f() f( 1) = ( 1) 2 =( 1) Tää yhtälö voi irjoittaa uotoo f()! f( 1) ( 1)! = ( 1)! Ku edelliset yhtälöt irjoitetaa arvoilla =2, 3,, ja lasetaa puolittai yhtee, saadaa f() f(1) = ( 1) + ( 1) 1 ( 1)2 + +,! 1!! ( 1)! 2! joa voi sievetää uotoo f() =! (1 ) ( 1) ! 12! 13!! (Suleissa oleva sua lähestyy raja-arvoa e 1 0,368, u ) 20 Mite voidaa lasea yhdistee A 1 A 2 A alioide luuäärä? Rataisu Meritää jouo X alioide luuäärää sybolilla X Kysyyse (ysi) vastaus o A 1 A 2 A = A i A i A j + 1 i<j< i=1 1 i<j A i A j A +( 1) 1 A 1 A 2 A (1)

5 Edelllise aava (jota iitetää sua ja erotuse periaatteesi tai iluusio ja esluusio periaatteesi)perusteleisesitarastellaa alio x, joa esiityy tasa :ssa, 1, jouoista A i, otribuutiota yhtälö eri puolille Vasealle puolelle alio ataa otribuutio 1: se o ysi yhdistee alioista ( Oiea ) puole esiäisee suaa alio tuottaa luvu, toisee suaa luvu, sillä x o uaa aiissa sellaisissa 2 pareissa A i,a j, joissa seä A i että A j ovat iide : osajouo jouossa, joihi x uuluu Vastaavasti olas sua tuottaa luvu je Viieie sua, josta x tuottaa 3 positiivise otribuutio o se, ( jossa ) äydää läpi : osajouo leiauset Tähä suaa otribuutio o 1 eli Mutta ( + +( 1) 1 = ) +( 1) =1 (1 1) =1 2 Alio otribuutio sua oleille puolille o siis saa Kosa x o ielivaltaie, yhtälö (1) o voiassa Muutaa obiatorie lasu- ja harjoitustehtävä 1 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö? 2 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö, jos saa aiie irjaiie o oltava eri irjaiia? 3 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö, jos saassa ei saa olla ahta saaa perääistä irjaita? 4 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä Ö, jos saa irjaite o oltava o oltava eri irjaiia ousevassa tai lasevassa aaosjärjestysessä? 5 Autoje reisterituusissa o asi tai ole irjaita aaostosta A, B, C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z ja luu väliltä 1,, 999 Moio auto voi saada eri reisterituuse? 5 6 Osoita obiatorisesti, että = ja + = Jouossa o aliota Motao eri osajouoa sillä o?

6 6 8 Moellao tavalla ole autoa voidaa pysäöidä seitseälle viereäiselle pysäöitipaialle ii, että joaise ahde auto välii jää aiai ysi tyhjä paia? 9 Moellao tavalla voidaa valita ole ueroa jouosta {0, 1, 2,, 9}, jos jouossa ei saa olla perääisiä ueroita? 10 Kuia suuri osa ahdollisista lottoriveistä o sellaisia, joissa ei esiiy ahta perääistä ueroa? (Lotossa arvotaa 7 ueroa jouosta {1, 2,, 39}) 11 Motao ousevaa jooa a 1 a 2 a 9 a 10 voidaa uodostaa jouo {1, 2,, 20} luvuista? 12 Todista, että luu(2)! o jaollie luvulla (!) 2 13 Sehä yt voidaa tehdä tuhaella ja yhdellä tavalla! Etsi bioiertoiie avulla asia, joa voidaa tehdä tasa 1001:llä eri tavalla 14 Moellao tavalla 52 orttia voidaa jaaa eljälle pelaajalle A, B, C ja D, ii että joaiesaa13orttia? 15 Muua sua uotoo x y 16 Poeriäsi o viide eri orti jouo 52 orti stadardipaasta, jossa o eljä 13 orti aata Lase a) poeriäsie luuäärä; b) sellaiste poeriäsie luuäärä, joissa aii ortit ovat saaa aata ( väri ); c) sellaiste äsie luuäärä, jossa aii ortit ovat saaa aata ja perääisiä ueroita; ässä voi saada joo uero 1 tai uero 14 ( värisuora ); d) sellaiste äsie luuäärä, joissa o eljä saaueroista orttia ( eloset ); e) sellaiste äsie luuäärä, joissa o asi saaueroista orttia ja ole aiitusta uerosta eroavaa utta saaueroista orttia ( täysäsi ); f) sellaiste äsie luuäärä, joissa o ole saaueroista orttia, utta jossa asi uuta orttia ovat eseää eriueroisia ja eriueroisia ui ole saaueroista ( oloset ), g) sellaiste äsie luuäärä, joissa o viisi perääistä ueroa ja ässä voi olla uero 1 tai uero 14 ( suora ); h, i) Ku olet päässyt äi hyvää aluu, voit vielä lasea äsie asi paria ja pari luuäärä Harjoitustehtävie rataisuja 1 Aaosia o 29, ja u joaiselle saa viidelle paialle voi valita irjaie 29:lla eri tavalla, valitoja voi tehdä aiiaa 29 5 = appaletta 2 Esiäie irjai voidaa valita 29:llä eri tavalla, seurava 28:lla je Eri valitoja o = appaletta

7 3 Esiäie irjai voidaa valita 29:llä eri tavalla Toisesi irjaiesi elpaa iä tahasa uu ui esiäisesi valittu irjai Vaihtoehtoja o siis 28 Kolaesi irjaiesi elpaa iä hyväsä uu ui toisesi valittu irjai Vaihtoehtoja o taas 28 Näi jatae todeta, että ehdo täytäviä viisiirjaiisia saoja o = appaletta 7 4 Joaie viide eri irjaie( jouo ) voidaa asettaa ousevaa tai lasevaa aaosjärjestysee Saoja o siis 2 = = = ! appaletta 5 [Oletteo osaa äheet suoalaista reisteriilpeä, jossa olisi irjai D?] Jos esitetyt ehdot pitävät paiasa, tuuse irjaiosa esiäie ja toie irjai voidaa valita upii 23:llä eri tavalla ja olas 24:llä eri tavalla, osa olae irjaie puuttuie o yös ysi ahdollisuus [Itse asiassa irjai o vai perävauuje tuusissa, ja e voivat alaa yös olla yös W:llä, utta jätetää tää ottaatta huoioo] Kirjaiet voidaa siis valita = eri tavalla Nuero-osaa o 999 valitaahdollisuutta Erilaisia tuusia voi siis olla = appaletta 6 1 rataisu Ajatellaa ole auto vieree jäävää eljää tilaa laatioia, joihi sijoitetaa eljää palloa, joista ui eritsee yhtä vapaata paiaa Autoje välii tulevat laatiot eivät saa jäädä tyhjisi, utta autoje ulopuolella olevat asi laatioa voivat olla tyhjiäi Jos autoje välissä olevissa ahdessa laatioissa o asi palloa, loput asi palloa voidaa sijoittaa olella tavalla: asi vasepaa laitaa, ysi olepii laitoihi tai asi oieaa laitaa Jos välilaatioissa o ole palloa, e voivat olla ahdella eri tavalla Viieie pallo voi sei olla ahdessa paiassa, jote tällaisia ahdollisuusia o 2 2 = 4 Jos viiei aii eljä palloa sijoitetaa ahtee välilaatioo, ii ahdollisuusia o ole: vaseapuoleisessa laatiossa o 1, 2 tai 3 palloa Kaiiaa vaihtoehtoja o siis = 10 appaletta 2 rataisu Neljää viereäisee tyhjää paiaa liittyy viisi viereistä paiaa, joissa joaisessa o auto tai ei ole autoa Eri tapoja sijoitaa ole autoa äille paioille o 5 = Joaista -alioise jouo A-alioista osajouoa B vastaa ( )-alioie osajouo A \ B ja joaista ( )-alioista osajouoa C-alioie osajouo ( A \ C ) - alioisia osajouoja ja ( )-alioisia osajouoja o yhtä paljo, jote = Tarastellaa jouoa A, jossa o + 1 aliota Valitaa iistä ysi, a Kaii jouo A ( + 1)-alioiset osajouot voidaa jaaa ahtee erillisee jouoo, iihi joissa a o uaa ja iihi, joissa a ei ole uaa Edellisiä oyhtäpaljoui-alioisessa jouossa A \{a} o -alioisia osajouoja eli Jäliäisiä oyhtäpaljoui

8 8 jouossa A \{a} o ( + 1)-alioisia osajouoja eli +1 Siis = + 8 Seitseä ei-valittava uero vieressä o ahdesa paiaa, joissa voi olla tai olla 8 oleatta ysi valittavista olesta uerosta Kahdesa alio jouolla o =56 3 osajouoa 9 Osajouo voidaa uodostaa :ssä vaiheessa päättäällä ui jouo alio ohdalla, uluuo se osajouoo vai ei Tuloperiaattee ojalla eri osajouoja o 2 Muaa ovat tällöi jouo itse ja tyhjä jouo 10 Lottorivejäoyhtä ota ui sellaisia 39 eri pituisia olla ja yöse jooja, joissa o tasa seitseä yöstä ja 32 ollaa Rivit, joissa ei ole perääisiäueroita, vastaavat jooja, ( joissa ) ahde yöse välissä o aiai ysi olla Saoi ui ( esellä, ) äitä joojao = appaletta Kosa lottorivejä o aiiaa = appaletta, harvoja rivejä o oi 27,8 % aiista 11 Jos 1 a 1 a 2 a 9 a 10 10, ii a 1 <a 2 +1<a 3 +2<<a ja jos 1 b 1 <b 2 < < b 10 19, ii 1 b 1 b 2 1 b 3 2 b Tehtävässä ysytjä jooja o siis yhtä ota ui aidosti ousevia jooja 1 b 1 <b 2 < < b 10 19; ( äitä ) oyhtä ota ui jouolla {1, 2,, 19} o yealioisia 19 osajouoja eli = (2)! (!) 2 = (2)!!(2 )! = 2 Bioiertoiet ovat ooaisluuja = Etsitää bioierroi = Luvu o oltava Piee oeilu jälee huoaa, että = = elpaa Tasa tavalla voi siis esierisi valita eljä eri pizza täytettä, jos vaihtoehtoja o Ajatellaa ortit aettavasi järjestysessä ( esia:lle, ) sitte B:lle, sitte C:lle ja 52 lopusi D:lle A:lle voidaa jaaa aiiaa erilaista jouoa B: oletoista orttia voidaa tää jälee valita 39:stä ahdollisesta, ja eri vaihtoehtoja o Nyt jäljellä o vielä 26orttia,jaC:lle iistä voidaa ataa 13 eri tavalla D: o 13

9 9 tyytyie jäljelle jääeisii 13 orttii Eri tapoja tehdä jao o siis = 52! ! 39! 39! 13! 26! 26! 13! 13! = 52! (13!) 4 = eli yli viisiyetätuhatta vadriljooaa [O elei ahdotota, että uolla seoitetuista paoista voisi tulla idettiset bridgejaot Mutta uollie seoittaie o oa ogelasa] 15 Käytetää hyväsi bioiertoiie perusoiaisuutta sua o siis saa u =0 = Tehtävä Tää havaito teee ahdollisesi ataa tehtävä sualle obiatorise tulia Ajatellaa jouoa, jossa o 2 aliota, esierisi A = {1, 2,, 2} Jaetaa jouo ahdesi osajouosi, joissa oleissa o aliota, esierisi B = {1, 2,, } ja C = { +1,+2,, 2} Nyt joaie A: osajouo E o uotoa (E B) (E C) Lasetaa aiie A: osajouoje luuäärä ii, että aiilla = 0, 1,, lasetaa sellaiset A: osajouot E, ( joissa ) ( E B) o -alioie ja E C o ( )- alioie Tällaisia jouoja o juuri appaletta Kosa A:lla o aiiaa 2 2 -alioista osajouoa, o tehtävässä ysytty sua 16 ( a) Poeriäsiä ) oyhtä ota ui 52: alio jouolla o viisialioisia osajouoja, 52 siis = appaletta b) Tapoja valita ysi eljästä väristä o 4 ja tapoja 5 13 valita Viide orti jouo 13 ortista o = 5148 c) Värille o 4 vaihtoehtoa ja 5 aliaueroiselle ortille 10 Erilaisia värisuoria o 40 d) Neljästi esiityvä uero voi olla iä hyväsä 13vaihtoehdostajaviidesiä hyväsä lopuista 48 ortista Vaihtoehtoja siis = 642 e) Se uero, joa esiityy olesti, voidaa valita 13 tavalla ja eljästä saaueroisesta ortista voidaa valita ole eljällä tavalla Se uero, jota o asi, voidaa valita ( 12:lla ) tavalla ja tapoja valita e asi, jota eljästä vaihtoehdosta otetaa uaa, o = 6 Erilaisia täysäsiä o = 1872 appaletta 4 2 f) Tapoja valita ole saaueroista orttia o 13 4 = 52 Neljäs ortti voi olla iä hyväsä 48:sta uuueroisesta Viideelle ortille o sitte 44 eri vaihtoehtoa Nyt uitei eriueroiset yhdistelät tulee lasetuisi ahdesti, jote olosäsiä o siis /2 = erilaista g) Ali uero voidaa valita 10:llä eri tavalla Korttie värit voidaa valita ueroista riippuatta Viide orti värit voidaa valita ui toisista riippuatta eljällä eri tavalla Värivalitoja o siis 4 5 = 2 10 = 1024

10 10 Erilaisia suoria o appaletta (Jos lasetaa värisuorat ( pois, ) jää jäljelle tavallista suoraa h) Pariorttie ueroyhdistelälle o =6 13 vaihtoehtoa ja 13 2 uassai parissa aat voi taas valita uudella tavalla Viides ortti o iä tahasa pariorttie uerosta eroava Mahdollisuusia o 44 erilaista Kasi paria -äsiä o siis = appaletta i) Pariortilla o 13 uerovaihtoehtoa ja 6 aayhdistelävaihtoehtoa Kolas ortti o joi 48 uusta, eljäs joi 44:stä uusta ja viides joi 40:stä uusta Nyt uitei saa yhdistelä tulee lasetusi uudessa eri järjestysessä Vaihtoehtoja o siis /6 = appaletta Tai: Tapoja valita orttipari o 13 6 = 78 appaletta Muide ole orti ueroyhdisteliä o 12 yhtä ota ui ahdetoista alio jouolla olialioisia osajouoja, siis = appaletta Joaie äistä olesta ortista voi olla eljää eri aata Vaihtoehtoja o 4 3 = 64 Kaiiaa vaihtoehtoja o = appaletta Lasettuje luuäärie perustella voi äärittää poeri erilaiste äsie todeäöisyysiä Pelitilae o oiutaisepi Esierisi tieto oista orteista uuttaa vastustajie äsie todeäöisyysiä: jos itsellä o ässäpari, uilla pelaajilla ei voi olla ässäelosia Jos paassa o joeri, luuäärät uuttuvat

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

Laskennallisen kombinatoriikan 17 perusongelmaa

Laskennallisen kombinatoriikan 17 perusongelmaa Laskeallise kobiatoriika 17 perusogelaa Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, joukkoje je. lukuääriä, o taustalla joki uutaista peruslaskutavoista tai laskuogelista. Tässä esitellää

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Klassinen todennäköisyys

Klassinen todennäköisyys TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia Klassie todeäöisyys Multiomiertoimet Johdatus todeäöisyyslasetaa Klassie todeäöisyys ja ombiatoriia TKK (c) Ila Melli (004) Klassie todeäöisyys

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi 55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev:

Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev: LH0- H vetyioi perustila eergia (ytimie välimata, 06 Å) eergia verrattua systeemii, jossa perustilassa oleva vetyatomi ja H -ioi ovat äärettömä auaa toisistaa o,65 ev Lase a) H : eergia verrattua systeemii

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

8. Ortogonaaliprojektiot

8. Ortogonaaliprojektiot 44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH, Rataisut LHSf-* Kaasusäiliö o jaettu ahtee osaa, joide välisee eristävää seiämää o tehty iei ymyrämuotoie auo, joa halaisija o D Säiliö molemmissa osissa o helium aasua

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutitolautauta S tudetexamesämde MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 5.9. HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastauste piirteide ja sisältöje luoehdita ei sido ylioppilastutitolautaua arvostelua.

Lisätiedot

Oletteko tyytyväinen: 1. Saamanne tiedon määrään kerhopaikkaa hakiessanne?

Oletteko tyytyväinen: 1. Saamanne tiedon määrään kerhopaikkaa hakiessanne? ILTAPÄIVÄTOIMINNAN KYSELY KEVÄÄLLÄ, VANHEMPIEN OSUUS, KAIKKI KERHOT 1/5 Oletteo : 1. Saamae tiedo määrää erhoaiaa haiessae? Erittäi osaa tyytymätö tyytymätö saoa 13 % 53 % 7 % 23 % 3 % 17 % 48 % 28 % 7

Lisätiedot

Oppimistavoite tälle luennolle

Oppimistavoite tälle luennolle Oppiistavoite tälle lueolle Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit CHEM-A00 (5 op) Tislaus ja uutto Yärtää erotusprosessie suuittelu perusteet Tutea tislaukse ja uuto toiitaperiaatteet Tutea tpillisipiä

Lisätiedot

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7. Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S< 1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

1. Kaikki kaatuu, sortuu August Forsman (Koskimies)

1. Kaikki kaatuu, sortuu August Forsman (Koskimies) olo q» date reliioso olo 7 K (2003) KE2a7 1. Kaikki kaatuu, sortuu uust Forsma (Koskimies) olo 14 olo 21 3 3 3 3 3 3 3 3 Ÿ ~~~~~~~~~~~ π K (2003) KE2a7 uhlakataatti (kuoro) - 2 - Kuula: - 3 - uhlakataatti

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

1 Pöytäkirja Avaa haku

1 Pöytäkirja Avaa haku D yn as t y t i et o pa l ve l u Sivu 1 / 9 Poistuminen ( Toimielimet 1 Jätelautakunta 1 Pöytäkirja 17.12.2013 Avaa haku 1 Jätelautakunta Pöytäkirja 17.12.2013 Pykälä 15 Edellinen asia 1Seuraava asia M

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

η = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe

η = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe S-11445 Fysiikka III (Sf) välikoe 710003 1 Läpövoiakoneen kiertoprosessin vaiheet ovat: a) Isokorinen paineen kasvu arvosta p 1 arvoon p b) adiabaattinen laajeneinen jolloin paine laskee takaisin arvoon

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

BH60A0900 Ympäristömittaukset

BH60A0900 Ympäristömittaukset BH60A0900 Yäitöittauket Lakuhajoitu Kuiva ja kotea kaau, tilavuuvita ehtävä Savukaau läötila o 00 ja aie 99 kpa. ekittäviät kaaukooetit ovat 0 %, H 0 %, 0 % ja lout tyeä. ikä o a) kotea ja kuiva kaau tilavuukie

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009

KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 KIIKUNJOEN KALATALOUDELLINEN TARKKAILU VUONNA 2009 Kymijoe vesi ja ympäristö ry: julaisu o 199/2010 Jussi Mätye ISSN 1458-8064 TIIVISTELMÄ Tässä raportissa äsitellää Kiiu-, Savero- ja Silmujoe sähöoealastus-

Lisätiedot

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Uudelleenpainotus ja imputointi Perusteita

Uudelleenpainotus ja imputointi Perusteita Heisigi yliopisto Matematiia ja tilastotietee laitos Otatameetelmät Sysy 008 Uudelleepaiotus ja imputoiti Perusteita Prof. Risto Lehtoe, Helsigi yliopisto.1.008 Uudelleepaiotus Otostasoise tiedo äyttö

Lisätiedot

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI.

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI. A Nimi Uolevi sai koiranpennun, mutta siltä puuttuu vielä nimi. Uolevi on jo päättänyt, mitä kirjaimia nimessä tulee olla. Lisäksi hän haluaa, että nimi muodostuu toistamalla kaksi kertaa sama merkkijono.

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin

Lisätiedot

Keskijännitejohdon jännitteen alenema

Keskijännitejohdon jännitteen alenema Keskijäitejohdo jäittee aleea Kiviraa johtolähtö Ei ole ieltä laskea jäittee aleeaa pääuutajalta asti vaa lasketaa se P097: ltä. Xpoweri ukaa jäite uutaolla P097 o 0575,8V. Jäitteealeea uutao P097-P157

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, roottorin epätasapaino ja alustan liike

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, roottorin epätasapaino ja alustan liike 15/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhde vapausastee vaieeva pakkovärähtely, roottori epätasapaio ja alusta liike ROOTTORIN EPÄTASAPAINO Kute sessiossa VMS13 tuli esille, aiheuttaa pyörivie koeeosie epätasapaio

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot