MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

Transkriptio

1 MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta Kombiatoriia ym. Summa-, tulo ja loeroperiaate G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31 Jouot Jouo-opissa perusäsite o eli x u alio x uuluu jouoo ja x / u alio x ei uulu jouoo. Meritätapoja: {2, 4, 5, 8} o jouo joa aliot ovat 2, 4, 5 ja 8 ja B {4, 5, } o jouo, joa aliot ovat aii ooaisluvut j joille pätee 4 j Usei meritää { x B : Px } tai { x : x B, Px } jolloi : aliot ovat e jouo B aliot joille väite Px o tosi. Tyhjä jouo: {} o tyhjä jouo joho ei uulu yhtää aliota, eli x o aia epätosi. B jos pätee, että x jos ja vai jos x B, eli esimerisi {1, 2, 2, 3} {3, 2, 1}. Ei-egatiiviset ooaisluvut jouoia: Jos o luu 0 ii { } o luu 1, {, { }} o luu 2, {, { }, {, { }}} o luu 3 je. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31 Jouo-opi perusmeritöjä Yhdiste tai uioi: x B jos ja vai jos x tai x B. Leiaus: x B jos ja vai jos x ja x B. Jouoerotus: x \ B jos ja vai jos x mutta x / B. Osajouo: B jos joaie : alio o myös B: alio. Potessijouo: P o jouo aiie osajouoje muodostama jouo. Yhtäläisyys: B jos B ja B. Komplemetti: c Ω \ jos Ω ja o selvää miä Ω o. Yhdiste tai uioi: x j J j jos ja vai jos x j jollai j J. Leiaus: x j J j jos ja vai jos x j aiilla j J. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31 B B B B

2 Huom! Usei irjoitetaa B: sijasta B ja silloi irjoitetaa B u o B: aito osajouo, eli B mutta B. Stadardimeritöjä N 0 {0, 1, 2, 3,...} o luoolliste luuje missä 0 o muaa jouo. Meriällä N taroitetaa josus N 0 ja josus {1, 2, 3,...} N 0 \ {0}. Z {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} o ooaisluuje jouo. Q { p q : p, q Z, q 0 } o ratioaaliluuje jouo. R o reaaliluuje jouo. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31 Propositiologiia eli lausealyyli Jos a ovat b lauseita tai väitteitä, jota voivat olla tosia tai epätosia mutta ei mitää siltä väliltä ii Lause a ND b o tosi u a o tosi ja b o tosi Lause a OR b o tosi u a o tosi tai b o tosi ja myös u molemmat ovat tosia. Lause NOT a o tosi u a ei ole tosi eli a o epätosi. Lause a b o tosi u NOT a OR b o tosi, eli u b o tosi tai a o epätosi. Lause a b u a b ND b a o tosi. Matemaattisessa logiiassa äytetää yleisesti ND: sijasta, OR: sijasta ja NOT: sijasta. Impliaatio Logiia lause a b ei täysi vastaa joapäiväise ieleäytö jos a ii b osa se o tosi u a o epätosi eiä sillä välttämättä ole mitää teemistä syy-seuraus suhtee assa. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31 Prediaattilogiia Lause x Px o tosi u Px o tosi aiilla x. Lause x Px o tosi u o olemassa x site, että Px o tosi. Prediaattilogiia o lausealyyli laajeus, jossa operaatiode eli oetiivie NOT, ND, OR, ja lisäsi äytetää uiversaali- ja esistessi vattorit aiilla ja o olemassa, ja lauseide lisäsi äytetää muuttujia x, y,... ja prediaatteja P, Q,.... Prediaateilla o äärellie määrä argumetteja, esim. Px, Qx, y, je., ja prediaatti joide argumettie luumäärä o 0 o lause. Prediaattie lisäsi voidaa äyttää futioita joide arvot uuluvat samaa äsiteltävää aihepiirii domai of discourse ui muuttujat. Futio, jolla ei ole muuttuja o vaio. Fuiot ja vaiot voidaa esittää prediaattie avulla, mutta se o usei ömpelö vaihtoehto. Prioriteettijärjestys Jos ei äytetä suluja, joilla tietei o orei prioriteetti, ii loogiset oetiivit evaluoidaa tavallisesti seuraavassa järjestysessä: Esi NOT, sitte ja, sitte ND ja OR ja lopusi ja. x ja x Lauseet x Px ja x Px ovat lyheteitä lauseista x x Px, x x ND Px, ja taroittavat tietei että aiilla : aliolla x pätee Px ja o olemassa : alio x jolla Px pätee. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31

3 Negaatio NOT, oetiivit ND ja OR seä vattorit ja Kaiilla lauseilla a ja b pätee NOT a ND b NOT a OR NOT b, NOT a OR b NOT a ND NOT b, eli esimerisi NOT a ND b o tosi täsmällee silloi u NOT a OR NOT b o tosi ja lause NOT a ND b NOT a OR NOT b o tautologia osa se o tosi riippumatta a: ja b: totuusarvoista. Samoi aiilla prediaateilla P pätee Epäsuora todistus NOT xpx xnot Px, NOT xpx xnot Px. Lause a b o tosi jos ja vai jos lause NOT b NOT a o tosi ja epäsuorassa todistusessa tehdää vastaoletus, että NOT b o tosi eli että b ei ole tosi ja todistetaa, että NOT a o tosi ja tämä formuloidaa tavallisesti site, että johdetaa tulos joa o ristiriidassa a: assa. Idutioperiaate Jos P o väite joa aiilla 0 o joo tosi tai epätosi ja P 0 o tosi P + 1 o tosi jos P o tosi eli P P + 1 o tosi u 0 ii P o tosi aiilla 0. Josus o tarpee ottaa idutio-oletusesi väite, että Pj o tosi u 0 j se sijaa että pelästää oletetaa, että P o tosi. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. osa maalisuuta I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Karteesie tulo Kahde jouo X ja Y arteesie tulo X Y o jouo joho uuluvat aii järjestetyt parit a, b tai [a, b] missä a X ja b Y, eli X Y { [a, b] : a X ja b Y }. O mota tapaa määritellä järjestettyä paria [a, b] ja usei äytetty tapa o saoa, että [a, b] o jouo {{a}, {a, b}}. Relaatiot Relaatio jouosta X jouoo Y tai relaatio jouossa X jos Y X o arteesise tulo X Y osajouo. Vero? Vero, eli graafi muodostuu jouosta solmuja ja jouosta iide väilisiä aaria tai liejä, esim äi: 4 3 Suuatussa verossa joaisella aarella o lähtösolmu ja ohdesolmu u suutaamattomassa verossa ei tehdä eroa lähtö- ja ohdesolmu välillä. Suuattu vero o järjestetty pari [V, E] V vertex, E edge missä V o jouo tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä ja E V V, eli E o relaatio jouossa V. Suutaamato vero o järjestetty pari [V, E] missä V o jouo tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä ja E { {a, b} : a V, b V }. 2 1 Suutaamato vero voidaa myös ajatella oleva suuattu vero missä relaatio E o symmetrie, eli [a, b] E [b, a] E. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31

4 Erilaisia relaatioita jouossa X Relaatio W jouossa X o reflesiivie jos [x, x] W aiilla x X. symmetrie jos [x, y] W [y, x] W aiilla x ja y X. trasitiivie jos [x, y] W ND [y, z] W [x, z] W aiilla x, y ja z X. atisymmetrie jos [x, y] W ND x y [y, x] / W eli [x, y] W ND [y, x] W x y aiilla x ja y X. asymmetrie jos [x, y] W [y, x] / W aiilla x ja y X. totaalie tai täydellie jos [x, y] W OR [y, x] W aiilla x ja y X. evivalessirelaatio jos W o reflesiivie, symmetrie ja trasitiivie. osittaisjäjestys jos W reflesiivie, atisymmetrie ja trasitiivie. Usei irjoitetaa [x, y] W : sijasta xwy esim. x y eiä [x, y]. Evivalessiluoat Jos X o ei-tyhjä jouo ja o evivalessirelaatio jouossa X, eli o reflesiivie, symmetrie ja trasitiivie, ii se jaaa jouo X osajouoihi Y j, j J joita utsutaa evivalessiluoisi site, että j J Y j X, Y j Y jos j, a b a ja b uuluvat samaa jouoo Y j. Usei ajatellaa, että asi aliota jota ovat evivalettia, eli iide muodostama pari uuluu relaatioo, ovati samat jolloi jouo X sijasta tarastellaa jouoa { Y j : j J }, joa aliot ovat evivalessiluoat. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Futiot Jos X ja Y ovat jouoja ii futio f : X Y o relaatio jouosta X jouoo Y eli X Y : osajouo site, että joaisella x X o olemassa y Y site, että [x, y] f. jos [x, y 1 ] f ja [x, y 2 ] f ii y 1 y 2. Tavallisesti futio esitetää site, että [x, y] f jos ja vai jos y f x vaia xf tms. voisi olla parempi meritätapa jos luetaa vasemmalta oiealle. Toisi saoe, futio f jouosta X jouoo Y o säätö, joa joaisella x X ataa vastausesi ysiäsitteise alio y f x jouosta Y. Jos f : X Y o futio ii X o se määrittely- eli lähtöjouo ja Y o se maalijouo. Y X { f : f o futio jouosta X jouoo Y }. Jos f : X Y o futio ja X ii f : Y o futio f rajoitettua jouoo eli relaatioa f { [x, y] : [x, y] f, x }. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 oyymit futiot Voidaa puhua esim. luvusta 2 ilma seaatumise vaaraa, mutta jos puhutaa lauseeesta x + 3 ei ole välttämättä selvää taroitetaao futiota, joa ataa tulosesi argumettisa joho o lisätty 3 vai tämä futio arvo u argumetti o x. Jos taroitetaa futiota eiä se arvoa ii voidaa irjoittaa x x + 3 tai fuctiox{retur x+3;} tai jotai muuta vastaavaa. Ijetiot, surjetiot ja bijetiot Futio f : X Y o ijetio jos f x 1 f x 2 x 1 x 2 aiilla x 1, x 2 X. surjetio jos aiilla y Y o olemassa x X site, että f x y. bijetio jos se o seä ijetio että surjetio. Evivaletti määritelmä o, että f : X Y o ijetio jos x 1 x 2 f x 1 f x 2 aiilla x 1, x 2 X ja f o surjetio jos arvojouo f X { f x : x X } o sama ui maalijouo Y eli f X Y. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31

5 Yhdistetyt futiot ja ääteisfutiot Jos f : X Y ja g : Y Z ovat asi futiota ii h g f : X Z o futio hx gf x. Jos f : X Y, g : Y Z ja h : Z W ovat futioita ii h g f h g f jote tämä futio voidaa myös irjoittaa muodossa h g f. Jos f : X Y sellaie futio, että o olemassa futio g : Y X site että g f x x ja f gy y aiilla x X ja y Y ii f o äätyvä, g o f : ääteisfutio ja ja useimmite irjoitetaa g f 1. Futio f : X Y o äätyvä jos ja vai jos se o bijetio. Jos f : X Y o äätyvä ii f 1 1 f eli ääteisfutio o myös äätyvä ja se ääteisfutio o f. Huomaa,ettei f 1 ole sama futio ui hx f x 1 joa edyllyttää että Y : tai aiai arvojouo elemeteillä o Ordo eli Iso-O: f Og Jos g o futio, joa o määritelty aiilla riittävä isoilla ooaisluvuilla ii f Og ertoo että myös f o määritelty aiilla riittävä isoilla ooaisluvuilla ja o olemassa vaioita C ja N site, että f C g, N. Tämä meriä äyttö taroittaa myös sitä, ettei ole erityise oleellista mitä vaiot C ja N oieasti ovat tai mite pieisi iitä voi valita. Usei irjoitetaa f Og: sijasta f Og. Jos O + O 2 O 2 : sijasta irjoitetaa O + O 2 O 2 ii pitää muistaa, ettei tästä seuraa O 0! Tässä äsitellää ysiertaisuude vuosi vai tietyillä ooaisluvuilla märiteltyjä futioita ja samoi tarastellaa aioastaa mitä tapahtuu u mutta se ei ole miteää oleellista. Esimerisi pätee myös x4 x 3 x 3 +x2 Ox u x 0. ääteeisalioita miä o esim. tilae jouossa R \ {0} mutta ei jouossa Z. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Jouo mahtavuus eli alioide luumäärä Kahdella jouolla ja B o sama luumäärä alioita ja B eli e ovat yhtä mahtavia, jos o olemassa bijetio B. Jouolla o vähemmä tai yhtä mota aliota ui jouolla B, eli B, jos o olemassa ijetio B. Jouolla o vähemmä alioita ui jouolla B, eli < B, jos o olemassa ijetio B mutta ei bijetiota B. Jos {0, 1, 2,..., 1} ii. Jouo o äärellie jos o olemassa ooaisluu site, että. Jouo o umeroituva jos N ja yliumeroituva jos > N. Huom! Jotta ämä määritelmät olisivat järeviä pitää osoittaa, että o olemassa bijetio {0, 1, 2,..., 1} {0, 1, 2,..., m 1} jos ja vai jos m ja jos o olemassa ijetioita B ja B ii löytyy myös bijetio B. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Summaperiaate, ysiertaisi muoto Jos ja B ovat asi äärellistä jouoa site, että B ii B + B. Tästä seuraa, että jos B ii \ B B. Tuloperiaate, ysiertaisi muoto Jos ja B ovat asi äärellistä jouoa ii B B. Loero- eli yyhyslaaperiaate Jos m 1 esiettä laitetaa 1 laatioo ii aiai yhdessä m laatiossa o vähitää esiettä! Misi? Jos laatioissa olevie esieide luumäärie masimi o ii m jote m ja osa määritelmä muaa m o piei ooaisluu joa o m ii m. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31

6 Tuloperiaate Seulaperiaate eli yleistetty summaperiaate Jos j, j 1, 2,... ovat äärellisiä jouoja ii , j1 j , 1 r+1 r. ji r1 1 j 1 <j 2 <...<j r i1 Jos valita- tai päätösprosessissa o vaihetta ja vaiheessa j o j vaihtoehtoa, riippumatta siitä mitä valitoja tai päätösiä o aiaisemmissa vaiheissa tehty, ja jos aii valiat johtavat erilaisii lopputulosii, ii aiie vaihtoehtoje luumääräsi tulee Toisi saoe, jos C { x 1, x 2,..., x : x 1 1, x 2 2,x1,..., x,x1,...,x 1 }, missä 1 1, joaisella x 1 1 pätee 2,x1 2 ja yleisesti jos x 1 1, x 2 2,x1, x 3 3,x1,x 2 je., ii pätee j,x1,x 2,...,x j 1 j, 1 j, ii silloi C G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Kertoma Jos o positiivie ooaisluu ii Lisäsi 0! 1.! Biomierroi Jos ja ovat ooaisluuja site, että 0 ii!!! jolloi. Multiomierroi Jos j 0 u j 1, 2,..., m ja m ii! 1, 2,..., m 1! 2!... m!. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Järjestetty otos o jouo jossa o aliota eli. Jos valitaa aliota jouosta ja muodostetaa iistä joo [x 1, x 2,..., x ] ja tehdää tämä palauttamatta, eli samaa aliota ei valita mota ertaa jolloi x i x j u i j ii saadaa s. -permutaatio. Näide jooje eli -permutaatioide luumäärä o tuloperiaattee ojalla! ! Jos valitaa aliota jouosta ja muodostetaa iistä joo [x 1, x 2,..., x ] ja tehdää tämä palauttae, eli voidaa valita sama alio mota ertaa jolloi aioa vaatimus o, että x j u 1 j ii tuloperiaattee ojalla äide jooje luumäärä o. Huomaa, että molemmissa tapausissa o oleellista että yseessä o järjestetty otos eli sillä, missä järjestysessä aliot valitaa :sta, o meritystä. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31

7 Otos palauttamatta u järjestystä ei oteta huomioo Jos jouosta, jossa o aliota, valitaa aliota palauttamatta, eli joaista aliota voidaa valita oreitaa erra, eiä valitajärjestysellä ole meritystä ii vaihtoehtoje luumäärä o. Misi? Jos yseie luumäärä o b, ii palauttamatta otettuje järjestettyje otoste luumäärä o b,! osa aliota voidaa järjestää joosi! eri tavalla. Näi olle b,!!! jote b,. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Otos palauttae u järjestystä ei oteta huomioo Jos jouosta, jossa o aliota, valitaa aliota palauttae, eli voidaa valita sama alio mota ertaa, eiä valitajärjestysellä ole meritystä ii vaihtoehtoje luumäärä o , 1 Misi? Oloo {x 1, x 2,..., x }. Ku valitsemme aliota, palauttae, jouosta eiä järjestysellä ole meritystä ii voimme esittää tulose esim. äi: miä o tulittava site, että olemme asi ertaa valiet x 1 :, erra x 2 :, ei ertaaaa x 3 :ta, olme ertaa x 4 :, asi erta x 5 : ja olme ertaa x 6 : jote tässä 6 ja Joaie valita vastaa listaa missä o aliota ja 1 erotusmeriä, eli pituus o + 1, ja valitsemme joosta e 1 paiaa, joihi sijoitamme erotusmerit jolloi aliot sijoitetaa jäljelle jäävii paioihi. Tämä o otos palauttamatta missä valitajärjestysellä ei ole meritystä G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Otos palauttamatta, palauttae, valitajärjestysellä meritystä, ei meritystä: Yhteeveto Valitaa aliota jouosta, jossa o aliota: Valitajärjestysellä o meritystä Valitajärjestysellä ei ole meritystä palauttamatta palauttae!! llooitimallit eli vaihtoehtoie ajattelutapa O sijoitettava palloa :ää umeroituu laatioo. Numeroidut pallot Valitajärjestysellä o meritystä. Idettiset pallot Valitajärjestysellä ei ole meritystä. Joaisee laatioo oreitaa ysi pallo Valita palauttamatta. Joaisee laatioo mielivaltaie määrä palloja Valita palauttae. Palloje luumäärä laatioissa 1 ei rajoitusia! Numeroidut pallot! + 1 Idettiset pallot 1 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31

8 Multiomiertoimet! 1, 2,..., m 1! 2!... m! m. o vaihtoehtoje luumäärä u jouo jaetaa 1, 2,..., m osajouoisi j, j 1,..., m site, että m j1 j, i j u i j, ja j j. o vaihtoehtoje luumäärärä u järjestetää 1 1, 2,..., m oliota tyyppiä y 1, 2 tyyppiä y 2 je. missä m ja samaa tyyppiä olevat oliot ovat idettiset. Jos o jouo, jossa o aliota ja B {y 1,..., y m } o jouo, jossa o m aliota ja 1, 2,..., m ovat ei-egatiivisia luuja site, että m ii o iide futioide 1, 2,..., m f : B luumäärä joille pätee { x : f x y j } j. Biomi- ja multiomiaavat x + y x x m j0 x j y j, j m j 0 1, 2,..., m x x m m. Misi? Biomiaava o erioistapaus multiomiaavasta osa j j, j ja multiomiaava pätee osa x x m voidaa irjoittaa summaa jossa o m termiä jota ovat tyyppiä y 1 y 2... y missä joaie y i {x 1, x 2,..., x m }. Joaie muotoa x x m m termi sytyy siitä, että jouo {1,..., } jaetaa osajouoihi j, j 1,..., m site että i j jos ja vai jos y i x j jolloi siis j j. Tällaisia ositusia o täsmällee 1, 2,..., m appaletta. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31 Futioide luumäärät Oletetaa, että m ja B. Futiode B luumäärä o B m. Misi? Futio f : B o järjestetty m-ooie otos palauttae jouosta jossa o aliota. Ijetioide B luumäärä o! 1... m + 1 m!, m. Misi? Ijetio B o järjestetty m-ooie otos palauttamatta jouosta jossa o aliota. Surjetioide B luumäärä o 1 m. 0 Osajouoje luumäärä: P 2 Jos jouossa o m aliota ii jouossa P o 2 m aliota, eli : osajouoje luumäärä o 2 osa joaista osajouoa B vastaa futio f B : {0, 1} site, että f B x 1 jos x B ja muute 0. G. Gripeberg alto-yliopisto MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, 12. maalisuuta osa I / 31